1、2016 年 河 南 省 商 丘 市 虞 城 县 中 考 一 模 数 学一 、 选 择 题 (每 题 3 分 ， 共 2 4 分 ， 下 列 各 小 题 均 有 四 个 答 案 ， 其 中 只 有 一 个 是 正 确 的 )1 .下 列 各 数 ： -1 2 ； -(-1 )2 ； -1 3 ； -(-1 )-2 ， 其 中 结 果 等 于 -1 的 是 ( )A. B. C. D. 解 析 ： -1 2 =-1 ， 符 合 题 意 ； -(-1 )2 =-1 ， 符 合 题 意 ； -1 3 =-1 ， 符 合 题 意 ； -(-1 )-2 =-1 ， 符 合题 意 .答 案 ： D.2 .
2、下 列 剪 纸 图 案 中 ， 属 于 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： A、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ； C、 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 正 确 ；D、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；答 案 ： C.3 .下 列 调 查 中 ， 最 适 合 用 普 查 方 式 的 是 ( )A.调 查 某 品 牌 牛 奶 质 量 合 格 率B.调 查 某 幼 儿 园 一 班 学 生 的 平 均 身 高C.调 查 某 市
3、 中 小 学 生 收 看 纪 念 抗 日 战 争 胜 利 7 0 周 年 大 阅 兵 的 情 况D.调 查 某 省 九 年 级 学 生 一 周 内 网 络 自 主 学 习 的 情 况解 析 ： 调 查 某 品 牌 牛 奶 质 量 合 格 率 ， 适 合 用 抽 样 方 式 ， A 不 合 题 意 ； 调 查 某 幼 儿 园 一 班 学 生 的 平 均 身 高 ， 适 合 用 普 查 方 式 ， B 符 合 题 意 ；调 查 某 市 中 小 学 生 收 看 纪 念 抗 日 战 争 胜 利 7 0 周 年 大 阅 兵 的 情 况 ， 适 合 用 抽 样 方 式 ， C 不 合题 意 ；调 查 某
4、省 九 年 级 学 生 一 周 内 网 络 自 主 学 习 的 情 况 ， 适 合 用 抽 样 方 式 ， D 不 合 题 意 ；答 案 ： B.4 .如 图 所 示 ， 实 数 a= 3， 则 在 数 轴 上 ， 表 示 -a 的 点 应 落 在 ( )A.线 段 AB 上B.线 段 BC 上C.线 段 CD 上 D.线 段 DE 上解 析 ： a= 3，-a=- 3，-2 - 3 -1 ，答 案 ： A.5 .如 图 所 示 ， 将 一 个 透 明 的 圆 柱 形 玻 璃 容 器 (不 计 壁 厚 )中 装 入 体 积 为 容 器 一 半 容 积 的 水 ， 当水 平 放 置 该 容 器
5、时 ， 水 面 的 形 状 为 ( ) A.圆B.椭 圆C.一 般 的 平 行 四 边 形D.矩 形解 析 ： 由 水 平 面 与 圆 柱 的 底 面 垂 直 ， 得 水 面 的 形 状 是 矩 形 .答 案 ： D.6 .某 校 动 漫 社 团 有 2 0 名 学 生 代 表 学 校 参 加 市 级 “ 动 漫 设 计 ” 比 赛 ， 他 们 的 得 分 情 况 如 表 ：人 数 4 6 8 2分 数 8 0 8 5 9 0 9 5那 么 这 2 0 名 学 生 所 得 分 数 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是 ( )A.9 5 和 8 5 B.9 0 和 8 5C.9 0 和 8 7
6、 .5D.8 5 和 8 7 .5解 析 ： 9 0 分 的 有 8 人 ， 人 数 最 多 ， 故 众 数 为 9 0 分 ；处 于 中 间 位 置 的 数 为 第 1 0 、 1 1 两 个 数 ， 为 8 5 分 ， 9 0 分 ， 中 位 数 为 8 7 .5 分 .答 案 ： C.7 .把 抛 物 线 y=x2 +1 向 左 平 移 3 个 单 位 ， 再 向 下 平 移 2 个 单 位 ， 得 到 的 抛 物 线 表 达 式 为 ( )A.y=(x-3 )2 +2B.y=(x-3 )2 -1C.y=(x+3 )2 -1D.y=(x-3 )2 -2解 析 ： 将 抛 物 线 y=x2
7、 +1 向 左 平 移 3 个 单 位 所 得 直 线 解 析 式 为 ： y=(x+3 )2 +1 ；再 向 下 平 移 2 个 单 位 为 ： y=(x+3 ) 2 +1 -2 .即 ： y=(x+3 )2 -1 .答 案 ： C.8 .某 学 习 小 组 中 有 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 位 同 学 ， 为 解 决 尺 规 作 图 ： “ 过 直 线 AB 外 一 点 M， 作 一直 线 垂 直 于 直 线 AB” ， 各 自 提 供 了 如 下 四 种 方 案 ， 其 中 正 确 的 是 ( )A.甲 、 乙 B.乙 、 丙C.丙 、 丁D.甲 、 乙 、 丙解 析 ： 甲 作
8、了 AB 垂 直 平 分 过 点 M 的 线 段 ； 乙 作 了 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 ； 丙 作 了 以 AM 为直 径 的 圆 ； 丁 的 作 法 不 明 确 .答 案 ： D.二 、 填 空 题 (每 题 3 分 ， 共 2 1 分 )9 .将 一 个 长 为 2 ， 宽 为 4 的 长 方 形 通 过 分 割 拼 成 一 个 等 面 积 的 正 方 形 ， 则 该 正 方 形 的 边 长为 .解 析 ： 长 方 形 的 面 积 为 ： 2 4 =8 ，则 正 方 形 的 面 积 也 为 8 ， 所 以 正 方 形 的 边 长 为 ： 8 2 2 ，答 案 ： 2 2.1
9、 0 .阿 里 巴 巴 2 0 1 5 年 “ 双 十 一 ” 全 天 交 易 额 突 破 9 1 2 .1 7 亿 元 ， 将 数 字 “ 9 1 2 .1 7 亿 ” 用 科 学记 数 法 表 示 为 .解 析 ： 将 9 1 2 .1 7 亿 用 科 学 记 数 法 表 示 为 9 .1 2 1 7 1 0 1 0 .答 案 ： 9 .1 2 1 7 1 0 1 0 .1 1 .如 图 所 示 ， 将 一 个 含 6 0 角 的 直 角 三 角 形 按 照 如 图 放 置 在 作 业 纸 上 ， 纸 上 横 线 是 一 组 平 行 线 ， 若 1 =2 0 ， 则 2 = .解 析 ：
10、3 =1 8 0 -9 0 -6 0 =3 0 ， AB CD， 1 + 3 = 2 =2 0 +3 0 =5 0 ，答 案 ： 5 0 .1 2 .小 明 手 里 有 6 张 完 全 一 样 的 卡 片 ， 其 中 4 张 正 面 画 上 记 号 “ A” ， 另 外 2 张 卡 片 被 画 上 记号 “ B” ， 先 将 其 背 面 朝 上 洗 匀 ， 让 小 东 从 中 随 机 抽 取 2 张 卡 片 ， 则 他 抽 出 的 两 张 均 有 “ A”记 号 的 卡 片 的 概 率 等 于 .解 析 ： 列 表 得 ： A A A A B BA AA AA AA BA BAA AA AA
11、AA BA BAA AA AA AA BA BA A AA AA AA BA BAB AB AB AB AB - BBB AB AB AB AB BB - 共 有 3 0 种 等 可 能 的 结 果 ， 他 抽 出 的 两 张 均 有 “ A” 记 号 的 卡 片 的 有 1 2 种 情 况 ， 他 抽 出 的 两 张 均 有 “ A” 记 号 的 卡 片 的 概 率 为 ： 12 230 5 .答 案 ： 25 .1 3 .如 图 所 示 ， 将 一 个 矩 形 ABCD 纸 片 ， 剪 去 两 个 完 全 相 同 的 矩 形 后 ， 剩 余 的 阴 影 部 分 纸 片 面积 大 小 为 2
12、 4 ， 且 AB=8 ， 则 被 剪 掉 的 矩 形 的 长 为 . 解 析 ： 设 被 剪 掉 的 矩 形 的 长 为 x， 则 宽 为 (8 -x)，依 题 意 得 ： x x-(8 -x)=2 4 ，解 得 x=6 (舍 去 负 值 ). 答 案 ： 6 .1 4 .如 图 所 示 ， 格 点 ABC 绕 点 B 逆 时 针 旋 转 得 到 EBD， 图 中 每 个 小 正 方 形 的 边 长 是 1 ， 则图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 .解 析 ： 由 图 可 知 ABC=4 5 ， ABE=9 0 . 2 22 2 8AB ， S 阴 影 =S 扇 形 ABE+S ABC
13、-S BDE-S 扇 形 DBC=S 扇 形 ABE-S 扇 形 DBC= 2 290 8 90 1360 360 =2 4 =74 .答 案 ： 74 . 1 5 .如 图 所 示 ， 线 段 AB=8 cm， 射 线 AN AB 于 点 A， 点 C 是 射 线 上 一 动 点 ， 分 别 以 AC、 BC为 直 角 边 作 等 腰 直 角 三 角 形 ， 得 ACD 与 BCE 中 ， 连 接 DE 交 射 线 AN 于 点 M， 则 CM 的长 为 .解 析 ： 如 图 作 EH AN 于 H， BA AN， EH AN， BAC= EHC=9 0 ， ABC+ ACB=9 0 ， A
14、CB+ ECH=9 0 ， ABC= ECH， BCE 和 ACD 都 是 等 腰 三 角 形 ， BC=CE， AC=DC， BCE= ACD=9 0 在 ABC 和 HCE 中 ，BAC EHCABC HCEBC CE ABC HCE， AC=EH=CD=EH， AB=CH， 在 DCM 和 EHM 中 ，CD EHDCM EHMCMD EMH ， DCM EHM. CM=HM， 1 1 42 2CM CH AB .答 案 ： 4 .三 、 解 答 题 (本 大 题 8 个 小 题 ， 共 7 5 分 ) 1 6 .先 化 简 ， 再 求 值 ： 22 24 2 124 4 4a a a
15、aa a a ， 其 中 a= 3+2 .解 析 ： 先 根 据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式 进 行 化 简 ， 再 把 a 的 值 代 入 进 行 计 算 即 可 .答 案 ： 原 式 = 24 2 122a aa aa = 4 12 2a a = 32a ，当 a= 3+2 时 ， 原 式 = 3 = 33 2 2 . 1 7 .如 图 所 示 ， AB 为 半 圆 O 的 直 径 ， 点 D 是 半 圆 弧 的 中 点 ， 半 径 OC BD， 过 点 C 作 AD 的平 行 线 交 BA 延 长 线 于 点 E.(1 )判 断 CE 与 半 圆 OD 的 位 置 关
16、 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 .(2 )若 BD=4 ， 求 阴 影 部 分 面 积 . 解 析 ： (1 )直 接 利 用 圆 周 角 定 理 结 合 平 行 线 的 性 质 得 出 CO EC， 即 可 得 出 答 案 ；(2 )利 用 已 知 得 出 ADB 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 进 而 得 出 ECO 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 由 S 阴 影 部 分 =S ECD-S 扇 形 AOC求 出 答 案 .答 案 ： (1 )CE 与 半 圆 OD 相 切 ，理 由 ： AB 为 直 径 ， ADB=9 0 ， AD DB， CO DB， CO AD， EC
17、AD， CO EC， CE 与 半 圆 OD 相 切 ； (2 ) 点 D 平 分 半 圆 弧 ， B=4 5 ， ADB 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， BD=4 ， AB=4 2 ， CO=2 2 ， CO DB， AOC= ABD=4 5 ，由 (1 )知 CO EC， ECO 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 2 2451 2 2 2 2 42 360ECD AOCS S S 扇 形影 部 分 （ ） （ ）阴 .1 8 .某 课 外 活 动 小 组 为 了 了 解 本 校 学 生 上 网 目 的 ， 随 机 调 查 了 本 校 的 部 分 学 生 ， 根 据 调 查 结果 ，
18、统 计 整 理 并 制 作 了 如 下 尚 不 完 整 的 统 计 图 ： 根 据 以 上 信 息 解 答 下 列 问 题 ： (1 )参 与 本 次 调 查 的 学 生 共 有 人 ；(2 )在 扇 形 统 计 图 中 ， m 的 值 为 ；(3 )补 全 条 形 统 计 图 ；(4 )中 学 生 上 网 玩 游 戏 、 聊 天 交 友 已 经 对 正 常 的 学 习 产 生 较 多 负 面 影 响 ， 为 此 学 校 计 划 开 展一 次 “ 合 理 上 网 ” 专 题 讲 座 ， 每 班 随 机 抽 取 1 5 名 学 生 参 加 ， 小 明 所 在 的 班 级 有 5 0 名 学 生
19、，他 被 抽 到 听 讲 座 的 概 率 是 多 少 ？解 析 ： (1 )根 据 ： 玩 游 戏 人 数 玩 游 戏 的 百 分 比 =总 人 数 ， 计 算 可 得 ；(2 )根 据 ： 聊 天 交 友 人 数 总 人 数 1 0 0 可 得 m 的 值 ；(3 )总 人 数 查 资 料 的 百 分 比 可 得 人 数 ， 补 全 条 形 图 即 可 ；(4 )用 抽 取 人 数 除 以 班 级 总 人 数 可 得 概 率 .答 案 ： (1 )9 0 3 0 %=3 0 0 (人 )；(2 ) 75 100 25300m ； (3 )3 0 0 2 0 %=6 0 (人 )， 补 全 图
20、 形 如 下 ：(4 )小 明 被 抽 到 听 讲 座 的 概 率 是 15 350 10 .答 案 ： (1 )3 0 0 ， (2 )2 5 . 1 9 .某 商 店 前 后 两 次 从 外 地 购 进 热 销 精 品 玩 具 8 0 件 ， 前 后 两 次 玩 具 进 价 分 别 为 2 0 元 /件 、 3 0元 /件 ， 且 后 一 次 比 前 一 次 多 花 了 9 0 0 元 钱 .(1 )求 前 后 两 次 分 别 购 进 玩 具 的 件 数 .(2 )该 商 店 对 这 批 玩 具 第 一 次 以 5 0 元 /件 的 价 格 卖 出 一 部 分 ， 第 二 次 又 以 4
21、0 元 /件 的 价 格 将 剩余 部 分 售 完 ， 若 该 商 店 要 想 赚 取 不 低 于 1 5 0 0 元 的 利 润 ， 求 第 一 次 应 卖 出 件 的 范 围 .解 析 ： (1 )设 前 一 次 购 进 玩 具 x 件 ， 第 二 次 购 进 玩 具 y 件 ， 根 据 进 货 钱 数 =单 价 数 量 及 二 次共 进 货 8 0 件 ， 得 出 关 于 x、 y 的 二 元 一 次 方 程 组 ， 解 方 程 组 即 可 得 出 结 论 ；(2 )设 第 一 次 卖 出 a 件 ， 则 第 二 次 卖 出 8 0 -a 件 ， 根 据 利 润 =出 售 总 钱 数 -
22、进 货 钱 数 得 出 关 于 a的 一 元 一 次 不 等 式 ， 解 不 等 式 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1 )设 前 一 次 购 进 玩 具 x 件 ， 第 二 次 购 进 玩 具 y 件 ，由 题 意 得 ： 8030 20 900 x yy x ， 解 得 ： 3050 xy .答 ： 前 后 两 次 分 别 购 进 玩 具 的 件 数 为 3 0 件 和 5 0 件 .(2 )设 第 一 次 卖 出 a 件 ， 则 第 二 次 卖 出 8 0 -a 件 ， 根 据 题 意 得 ： 5 0 a+4 0 (8 0 -a)-(2 0 3 0 +3 0 5 0 ) 1 5
23、0 0 ，解 得 ： a 4 0 ，又 a 8 0 ， 4 0 a 8 0 .则 第 一 次 卖 出 玩 具 件 数 范 围 为 4 0 a 8 0 .2 0 .如 图 所 示 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 双 曲 线 0ky xx （ ） 上 有 一 点 A(-2 ， 2 )， AB y 轴 于点 B， 点 C 是 x 轴 正 半 轴 上 一 动 点 ， 直 线 CB 交 双 曲 线 于 点 D， DE x 轴 于 点 E， 连 接 AE，AD， BE.(1 )当 点 C 运 动 时 ， 四 边 形 ADBE 的 形 状 能 变 成 菱 形 吗 ？ 如 果 能 ， 求 出 此
24、时 点 C 的 位 置 ， 若 不能 ， 说 明 理 由 .(2 )小 明 经 过 探 究 发 现 ： 点 C 运 动 会 影 响 四 边 形 ADBE 形 状 ， 但 是 AD 与 BE 的 位 置 关 系 始 终 不 变 ， 请 你 帮 他 解 释 其 中 的 原 因 .解 析 ： (1 )若 四 边 形 ADBE 为 菱 形 ， 则 AB 与 DE 互 相 垂 直 平 分 ， 则 B 和 D 的 坐 标 可 求 得 ， 然后 利 用 待 定 系 数 法 求 得 直 线 BC 的 解 析 式 ， 进 而 求 得 C 的 坐 标 ；(2 )设 D 的 坐 标 是 4a a（ ， ） ， 利
25、用 利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 利 用 a 表 示 出 AD 和 BE 的 解 析 式 ， 根 据 直 线 平 行 的 条 件 即 可 判 断 .答 案 ： (1 )若 四 边 形 ADBE 为 菱 形 ， 则 AB 与 DE 互 相 垂 直 平 分 ，由 题 意 得 ， A(-2 ， 2 )， B(0 ， 2 ).则 反 比 例 函 数 的 解 析 式 是 4y x ， E(-1 ， 0 )D(-1 ， 4 ).设 直 线 BD 的 解 析 式 是 y=kx+b，将 B(0 ， 2 )， D(-1 ， 4 )代 入 y=kx+b， 可 得 ： 24 b k b ，解 得 ： 22
26、kb - ，则 直 线 BD 的 解 析 式 是 y=-2 x+2 ， 所 以 C 的 坐 标 是 (1 ， 0 )；(2 )设 D 的 坐 标 是 4a a（ ， ） ， 直 线 AD 的 解 析 式 是 y=kx+b， 则 E(a， 0 ). 将 A(-2 ， 2 )， D 4a a（ ， ） 代 入 可 得 ： 42 2ka ba k b ，解 得 ： 242k ab a ，则 直 线 AD 的 解 析 式 是 2 42y xa a （ ） .同 理 可 得 直 线 BE 的 解 析 式 是 2 2y xa ， AD 和 BE 始 终 平 行 . 2 1 .如 图 所 示 ， 某 古 代
27、 文 物 被 探 明 埋 于 地 下 的 A 处 ， 由 于 点 A 上 方 有 一 些 管 道 ， 考 古 人 员 不能 垂 直 向 下 挖 掘 ， 他 们 被 允 许 从 B 处 或 C 处 挖 掘 ， 从 B 处 挖 掘 时 ， 最 短 路 线 BA 与 地 面 所 成的 锐 角 是 5 6 ， 从 C 处 挖 掘 时 ， 最 短 路 线 CA 与 地 面 所 成 的 锐 角 是 3 0 ， 且 BC=2 0 m， 若 考古 人 员 最 终 从 B 处 挖 掘 ， 求 挖 掘 的 最 短 距 离 .(参 考 数 据 ： sin5 6 =0 .8 3 ， tan5 6 1 .4 8 ， 3
28、 1 .7 3 ， 结 果 保 留 整 数 )解 析 ： 作 AD BC 交 CB 延 长 线 于 点 D， 执 行 额 AD 即 为 文 物 在 地 面 下 的 深 度 .设 AD=x.通 过 解 直 角 ABD 求 得 56xBD tan ； 通 过 解 直 角 ACD 求 得 CD= 3x， 由 此 列 出 关 于 x 的 方 程 ，通 过 方 程 求 得 AD 的 长 度 .最 后 通 过 解 直 角 三 角 形 ABD 来 求 AB 的 长 度 即 可 .答 案 ： 作 AD BC 交 CB 延 长 线 于 点 D， 执 行 额 AD 即 为 文 物 在 地 面 下 的 深 度 .根
29、 据 题 意 得 CAD=3 0 ， ABD=5 6 .设 AD=x.在 直 角 ABD 中 ， ABD=5 6 ， 56xADBD tan ABD tan . 在 直 角 ACD 中 ， ACB=3 0 ， 3 3CD AD x ， 3 2056xx tan .解 得 x 1 8 .9 7 ， 18.97 2356 0.83ADAB sin .答 ： 从 B 处 挖 掘 的 最 短 距 离 为 2 3 米 .2 2 .问 题 背 景 ： AOB、 COD 是 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 ， 现 将 直 角 顶 点 以 及 两 直 角 边 都 重 合在 一 起 ， 如 图 1 所 示
30、， 点 P 是 CD 中 点 ， 连 接 BP 并 延 长 到 E 使 PE=BP， 连 接 EC， 作 平 行 四边 形 ACEF， 小 林 针 对 平 行 四 边 形 ACEF 形 状 进 行 了 如 下 探 究 ：观 察 操 作 ： (1 )小 林 先 假 设 小 等 腰 直 角 三 角 形 的 直 角 边 非 常 小 ， 这 时 三 角 形 可 以 看 作 一 个 点 ，如 图 2 所 示 ， 并 提 出 猜 想 四 边 形 ACEF 是 ；猜 想 证 明 ： (2 )小 林 对 比 图 1 和 图 2 的 情 形 ， 完 成 了 (1 )中 的 猜 想 ， 请 借 助 图 1 帮 他
31、 证 明 这 个 猜 想 .拓 展 延 伸 ： (3 )如 图 3 所 示 ， 现 将 等 腰 直 角 三 角 形 COD 绕 点 O 逆 时 针 旋 转 一 定 角 度 ， 其 它 条件 都 不 改 变 ， 原 来 结 论 是 否 仍 然 成 立 ？ 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1 )根 据 已 知 直 接 证 明 有 一 个 直 角 且 邻 边 相 等 即 可 ；(2 )通 过 证 明 三 角 形 CEP 和 三 角 形 DBP 全 等 ， 结 合 等 量 代 换 即 可 证 明 ；(3 )与 (2 )同 理 可 证 EC=DB， EC DB， 进 一 步 证 明 AOC BOD，
32、 结 合 等 量 代 换 和 平 行 线 的 性 质 即 可 解 答 .答 案 ： (1 )正 方 形 ；如 图 2 ， AOB 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AOE=9 0 ， AO=BO， OE=BO， AO=OE， 平 行 四 边 形 ACEF 是 正 方 形 ；(2 )如 图 1 ， P 是 CD 的 中 点 ， PC=PD，在 CPE 和 BPD 中 ，PC PECPE DPBPE PB ， CPE BPD， EC=DB， OA=OB， OC=OD， AC=DB， EC=AC， 平 行 四 边 形 ACEF 是 菱 形 ， CPE BPD， CEP= DBP， EC OB， O
33、=9 0 ， ACE=9 0 ， 菱 形 ACEF 是 正 方 形 ；(3 )如 图 3 ， 与 (2 )同 理 可 证 CPE BPD， EC=DB， EC DB， AOC+ COB= COB+ DOB=9 0 ， AOC= DOB，在 AOC 和 BOD 中 ，OA OBAOC BODOC OD ， AOC BOD， COD=9 0 ， AOC 可 以 看 作 BOD 顺 时 针 绕 点 O 旋 转 9 0 得 到 ， AC DB， AC=DB， EC=AC， 平 行 四 边 形 ACEF 是 菱 形 ， EC DB， AC EC， 菱 形 ACEF 是 正 方 形 .2 3 .如 图 所
34、 示 ， 将 一 边 长 为 3 的 正 方 形 放 置 到 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 其 顶 点 A、 B 均 落 在 坐 标 轴上 ， 一 抛 物 线 过 点 A、 B， 且 顶 点 为 P(1 ， 4 )(1 )求 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2 )点 M 为 抛 物 线 上 一 点 ， 恰 使 MOA MOB， 求 点 M 的 坐 标 ；(3 )y 轴 上 是 否 存 在 一 点 N， 恰 好 使 得 PNB 为 直 角 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 直 接 写 出 满 足 条 件 的 所有 点 N 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ：
35、 (1 )由 正 方 形 的 性 质 可 知 OA=OB=3 ， 从 而 得 到 点 A 的 坐 标 ， 设 抛 物 线 的 解 析 式 为y=a(x-1 )2 +4 ， 把 A(0 ， 3 )代 入 可 求 得 a 的 值 ， 从 而 得 到 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2 )由 全 等 三 角 形 对 应 边 相 等 可 知 MA=BM， 从 而 可 知 点 M 在 AB 的 垂 直 平 分 线 上 ， 故 此 点 M为 直 线 OC 与 抛 物 线 的 交 点 ， 然 后 求 得 直 线 OC 与 抛 物 线 的 交 点 坐 标 即 可 ；(3 )设 N(0 ， t).分 为 PNB
36、=9 0 、 NPB=9 0 、 PBN=9 0 三 种 情 况 画 出 图 形 ， 然 后 依 据 相 似三 角 形 对 应 边 成 比 例 列 出 关 于 t 的 方 程 求 解 即 可 .答 案 ： (1 ) 正 方 形 的 边 长 为 3 ， A(0 ， 3 )， B(3 ， 0 ).设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a(x-1 )2 +4 . 把 A(0 ， 3 )代 入 得 ： a+4 =3 ， 解 得 a=-1 ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=-(x-1 ) 2 +4 =-x2 +2 x+3 .(2 )如 图 1 所 示 ： MOA MOB， AM=BM. 点 M
37、在 AB 的 垂 直 平 分 线 上 . OACB 为 正 方 形 ， OC 为 AB 的 垂 直 平 分 线 .设 OC 的 解 析 式 为 y=kx， 将 C(3 ， 3 )代 入 得 ： 3 k=3 ， 解 得 ： k=1 ， 直 线 OC 的 解 析 式 为 y=x.由 y=x 与 y=-x2 +2 x+3 得 ： x=-x2 +2 x+3 ， 解 得 ： 1 21 13 1 132 2x x ， . 1 13 1 13 1 13 1 132 2 2 2M M （ ， ） ， （ ， ） . 点 M 的 坐 标 为 1 13 1 13 1 13 1 132 2 2 2 （ ， ） 或
38、（ ， ） .(3 )设 N(0 ， t). 当 PNB=9 0 时 ， 如 图 2 所 示 .连 接 PN、 BN， 过 点 P 作 PM y 轴 ， 垂 足 为 M.由 PMN NOB， 得 ： 41 3 tt ， 解 得 ： t 1 =1 ， t2 =3 . 当 NPB=9 0 时 .如 图 3 所 示 ； 连 接 PN、 BN， 过 点 P 作 x 轴 的 平 行 线 ， 交 BC 延 长 线 与 点 M.由 PMN NOB， 得 ： 414 2 t ， 解 得 ： 72t . 当 PBN=9 0 时 ， 如 图 4 所 示 ， 过 点 P 作 x 轴 的 平 行 线 ， 交 BC 延 长 线 与 点 M. 由 PMB NOB 得 ： 2 43t ， 解 得 ： 32t .综 上 所 述 ， 点 N 的 坐 标 为 (0 ， 1 )、 (0 ， 3 )、 (0 ， 72 )、 (0 ， - 32 ).
