1、2016年 河 南 省 信 阳 市 中 考 一 模 数 学一 、 选 择 题 ：1. 下 列 各 组 数 中 ， 互 为 倒 数 的 是 ( )A.2和 -2B.-2和 12C.-2和 -12D.-12 和 2解 析 ： 根 据 乘 积 为 1的 两 个 数 互 为 倒 数 ， 可 得 一 个 数 的 倒 数 .2 (12 )=1， 故 C 正 确 .答 案 ： C.2. 下 列 不 是 三 棱 柱 展 开 图 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 三 棱 柱 展 开 图 有 3 个 四 边 形 ， 2 个 三 角 形 ， C 选 项 不 是 三 棱 柱 展 开 图 .答 案 ： C.3
2、. 据 统 计 ， 今 年 春 节 期 间 (除 夕 到 初 五 )， 微 信 红 包 总 收 发 次 数 达 321亿 次 ， 几 乎 覆 盖 了 全国 75%的 网 民 ， 数 据 “ 321亿 ” 用 科 学 记 数 法 可 表 示 为 ( )A.3.21 10 8B.321 108C.321 109D.3.21 1010解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n为 整 数 .确 定 n 的 值 时 ，要 看 把 原 数 变 成 a 时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移
3、 动 的 位 数 相 同 .当 原 数 绝 对 值 1时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1 时 ， n是 负 数 .答 案 ： D.4. 如 图 ， 把 等 腰 直 角 三 角 板 的 直 角 顶 点 放 在 刻 度 尺 的 一 边 上 ， 若 1=60 ， 则 2 的 度 数为 ( )A.30B.40C.50D.60 解 析 ： 直 尺 的 两 边 互 相 平 行 ， 1=60 ， 3= 1=60 . 3+ 2=90 ， 2=90 - 3=90 -60 =30 .答 案 ： A.5. 为 了 解 某 社 区 居 民 的 用 电 情 况 ， 随 机 对 该 社 区 10
4、户 居 民 进 行 调 查 ， 下 表 是 这 10户 居 民2015年 4 月 份 用 电 量 的 调 查 结 果 ： 那 么 关 于 这 10 户 居 民 月 用 电 量 (单 位 ： 度 )， 下 列 说 法 错 误 的 是 ( )A.中 位 数 是 50B.众 数 是 51C.方 差 是 42D.极 差 是 21解 析 ： 10 户 居 民 2015年 4 月 份 用 电 量 为 30， 42， 42， 50， 50， 50， 51， 51， 51， 51，平 均 数 为 110(30+42+42+50+50+50+51+51+51+51)=46.8，中 位 数 为 50 ； 众 数
5、为 51 ， 极 差 为 51-30=21 ， 方 差 为110(30-46.8) 2+2(42-46.8)2+3(50-46.8)2+4(51-46.8)2=42.96.答 案 ： C.6. 一 次 函 数 y=kx+b的 图 象 如 图 ， 则 当 0 x 1时 ， y 的 范 围 是 ( ) A.y 0B.-2 y 0C.-2 y 1D.无 法 判 断解 析 ： 因 为 一 次 函 数 y=kx+b 的 图 象 与 两 坐 标 轴 的 交 点 分 别 为 (1， 0)、 (0， -2)，所 以 当 0 x 1， 函 数 y的 取 值 范 围 是 ： -2 y 0.答 案 ： B.7. 如
6、 图 ， ABCD中 ， AE 平 分 BAD， 若 CE=3cm， AB=4cm， 则 ABCD的 周 长 是 ( ) A.20cmB.21cmC.22cmD.23cm解 析 ： 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， AD=BC=10， AB=DC， AD BC， DAE= BEA， AE 平 分 BCD， BAE= DAE， BEA= BAE， BE=AB=4cm， BC=BE+CE=7cm， ABCD的 周 长 =2(DC+BC)=2(4+7)=22cm.答 案 ： C. 8. 如 图 ， 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 y=-x+a 与 x、 y 轴 的 正 半
7、轴 分 别 交 于 点 B 和 点 A， 与 反比 例 函 数 y=-3x 的 图 象 交 于 点 C， 若 BA： AC=2： 1， 则 a的 值 为 ( ) A.2B.-2C.3D.-3解 析 ： 作 CE x轴 于 E， AO CE， BA： AC=2： 1， AO=OB=a， 2= = =3AB BO AOBC EB CE ， EB=32 a， CE=32 a， 点 C坐 标 (-12 a， 32 a)，又 点 C 在 y=-3x 上 ， -34 a 2=-3， a 0， a=2.答 案 ： A.二 、 填 空 题 ： 每 小 题 3 分 ， 共 21 分 .9. 计 算 ： -1 4
8、+ 12-4cos30 =_.解 析 ： -14+ 12-4cos30=-1+2 3-4 32 =-1.答 案 ： -1.10. 不 等 式 组 3 012xx x 的 解 集 为 _.解 析 ： 3 012xx x ，由 得 ： x -3，由 得 ： x -2， 则 不 等 式 组 的 解 集 为 -3 x -2.答 案 ： -3 x -2.11. 某 市 初 中 毕 业 女 生 体 育 中 招 考 试 项 目 有 四 项 ， 其 中 “ 立 定 跳 远 ” 、 “ 1000 米 跑 ” 、 “ 篮 球运 球 ” 为 必 测 项 目 ， 另 一 项 从 “ 掷 实 心 球 ” 、 “ 一 分
9、 钟 跳 绳 ” 中 选 一 项 测 试 .则 甲 、 乙 、 丙 三位 女 生 从 “ 掷 实 心 球 ” 或 “ 一 分 钟 跳 绳 ” 中 选 择 一 个 考 试 项 目 的 概 率 是 _.解 析 ： 分 别 用 A， B 代 表 “ 掷 实 心 球 ” 、 “ 一 分 钟 跳 绳 ” ，画 树 状 图 得 ： 共 有 8 种 等 可 能 的 结 果 ， 甲 、 乙 、 丙 三 位 女 生 从 “ 掷 实 心 球 ” 或 “ 一 分 钟 跳 绳 ” 中 选 择 一个 考 试 项 目 的 有 2 种 情 况 ， 其 概 率 是 ： 28 =14 .答 案 ： 14 .12. 如 图 ，
10、ABC中 ， D 是 BC上 一 点 ， AC=AD=DB， BAC=102 ， 则 ADC=_度 .解 析 ： AC=AD=DB， B= BAD， ADC= C，设 ADC= 2 ， B= BAD= 2 ， BAC=102 ， DAC=102 - 2 ，在 ADC中 ， ADC+ C+ DAC=180 ， 2 +102 - 2 =180 ，解 得 ： =52 .答 案 ： 52.13. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 A(2， 3)， B(5， -2)， 以 原 点 O 为 位 似 中 心 ， 位 似 比 为 1： 2， 把 ABO缩 小 ， 则 点 B 的 对 应 点 B 的
11、坐 标 是 _.解 析 ： 以 原 点 O 为 位 似 中 心 ， 位 似 比 为 1： 2， 把 ABO缩 小 ， B(5， -2)， 点 B的 对 应 点 B 的 坐 标 是 ： (52 ， -1)或 (-52 ， 1).答 案 ： (52 ， -1)或 (-52 ， 1). 14. 如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， AB=4， BC=2， 以 A为 圆 心 ， AB的 长 为 半 径 画 弧 ， 交 DC于 点 E，交 AD 延 长 线 于 点 F， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 _.解 析 ： 在 矩 形 ABCD中 ， AB=4， BC=2， AB=2DA， AB
12、=AE(扇 形 的 半 径 )， AE=2DA， AED=30 ， 1=90 -30 =60 ， DA=2 AB=2DA=4， AE=4， DE= 2 2AE DA =2 3， 阴 影 FDE的 面 积 S1=S 扇 形 AEF-S ADE= 260 4360 -12 2 2 3=83 -2 3.阴 影 ECB的 面 积 S2=S 矩 形 -S ADE-S 扇 形 ABE=2 4-12 2 2 3- 230 4360 =8-2 3-43 ； .则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 =8-2 3-43 +83 -2 3=8-4 3+43 .答 案 ： 8-4 3+43 . 15. 如 图
13、， 有 一 张 长 为 8cm， 宽 为 7cm的 矩 形 纸 片 ABCD， 现 要 剪 下 一 个 腰 长 为 6cm的 等 腰 三角 形 (要 求 ： 等 腰 三 角 形 的 一 个 顶 点 与 矩 形 的 一 个 顶 点 重 合 ， 其 余 的 两 个 顶 点 在 矩 形 的 边 上 )，则 剪 下 的 等 腰 三 角 形 的 面 积 为 _cm2.解 析 ： 分 三 种 情 况 计 算 ：(1)当 AE=AF=6 时 ， 如 图 ： S AEF=12 AE AF=12 6 6=18(cm2)；(2)当 AE=EF=6 时 ， 如 图 ：则 BE=7-6=1，BF= 2 2 2 26
14、1 35EF BE ， S AEF=12 AE BF=12 6 35=3 35(cm 2)；(3)当 AE=EF=6 时 ， 如 图 ： 则 DE=8-6=2，DF= 2 2 2 26 2 4 2EF DE ， S AEF=12 AE DF=12 6 4 2=12 2(cm2)；答 案 ： 18 或 3 35或 12 2.三 、 解 答 题 ： 本 大 题 8 个 小 题 ， 共 75分 .16. 先 化 简 分 式 ： ( 1 11 1x x ) 2 22 2xx ， 若 该 分 式 的 值 为 2， 求 x 的 值 .解 析 ： 先 根 据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式
15、进 行 化 简 ， 再 由 该 分 式 的 值 为 2， 求 出 x 的 值 即 可 . 答 案 ： 原 式 = 2 1 11 11 1 2x xx xx x x = 42x ， 该 分 式 的 值 为 2， 42x =2， 即 2(x+2)=4， 解 得 x=0， 经 检 验 x=0 是 分 式 方 程 的 解 .17. 如 图 ， AB 是 O 的 直 径 ， C、 D 为 半 圆 O 上 的 两 点 ， CD AB， 过 点 C 作 CE AD， 交 AD的 延 长 线 于 点 E， tanA= 3. (1)求 证 ： CE是 O 的 切 线 ；(2)猜 想 四 边 形 AOCD是 什
16、么 特 殊 的 四 边 形 ， 并 证 明 你 的 猜 想 .解 析 ： (1)连 接 OD， 由 锐 角 三 角 函 数 得 出 A=60 ， 证 出 OAD 是 等 边 三 角 形 ， 得 出 ADO= AOD=60 ， 再 证 明 COD是 等 边 三 角 形 ， 得 出 COD=60 = ADO， 证 出 OC AE， 由 已 知 条件 得 出 CE OC， 即 可 得 出 结 论 ；(2)由 (1)得 ： OAD 和 COD 是 等 边 三 角 形 ， 得 出 OA=AD=OD=CD=OC， 即 可 证 出 四 边 形 AOCD 是 菱 形 .答 案 ： (1)证 明 ： 连 接 O
17、D， 如 图 所 示 ： tanA= 3， A=60 ， OA=OD， OAD是 等 边 三 角 形 ， ADO= AOD=60 ， CD AB， ODC=60 ， OC=OD， COD是 等 边 三 角 形 ， COD=60 = ADO， OC AE， CE AE， CE OC， CE 是 O的 切 线 ；(2)解 ： 四 边 形 AOCD是 菱 形 ； 理 由 如 下 ： 由 (1)得 ： OAD和 COD是 等 边 三 角 形 ， OA=AD=OD=CD=OC， 四 边 形 AOCD 是 菱 形 .18. 手 机 给 人 们 的 生 活 带 来 了 很 多 的 方 便 ， 但 也 出 现
18、 了 过 度 使 用 手 机 的 现 象 ， 出 现 了 所 谓 的“ 手 机 控 ” 、 “ 低 头 族 ” 等 ， 某 校 九 年 级 数 学 兴 趣 小 组 的 同 学 调 查 了 若 干 名 家 长 对 “ 初 中 学 生带 手 机 上 学 ” 这 一 现 象 的 看 法 ， 统 计 整 理 并 制 作 了 如 下 的 条 形 与 扇 形 统 计 图 .依 据 图 中 信 息 ，解 答 下 列 问 题 ： (1)本 次 调 查 的 学 生 家 长 有 _名 ， “ 很 赞 同 ” 初 中 生 带 手 机 上 学 的 家 长 所 对 应 的 圆 心 角 度 数 是 _；(2)请 补 全
19、报 “ 无 所 谓 ” 态 度 的 家 长 所 对 应 的 条 形 统 计 图 (标 上 柱 高 数 值 )；(3)请 你 对 初 中 生 是 否 应 该 带 手 机 上 学 提 出 一 个 合 理 化 的 建 议 .解 析 ： (1)根 据 赞 同 的 人 数 和 所 占 的 百 分 比 求 出 总 人 数 ， 再 乘 以 无 所 谓 所 占 的 百 分 比 求 出 无所 谓 的 人 数 ， 用 总 人 数 减 去 其 它 的 人 数 求 出 很 赞 同 的 人 数 ， 然 后 乘 以 360 求 出 “ 很 赞 同 ”初 中 生 带 手 机 上 学 的 家 长 所 对 应 的 圆 心 角
20、的 度 数 ；(2)根 据 (1)求 出 无 所 谓 的 人 数 可 直 接 画 出 条 形 统 计 图 ；(3)根 据 学 生 现 在 正 需 要 好 好 地 学 习 ， 不 应 该 带 手 机 ， 网 络 这 么 发 达 ， 会 影 响 学 习 .答 案 ： (1)本 次 调 查 的 学 生 家 长 有 5025% =200(名 )，无 所 谓 的 人 数 是 ： 200 20%=40(人 )，很 赞 同 的 人 数 是 ： 200-50-40-90=20(人 )， 则 “ 很 赞 同 ” 初 中 生 带 手 机 上 学 的 家 长 所 对 应 的 圆 心 角 度 数 是 360 2020
21、0 =36 ；故 答 案 为 ： 200， 36 ；(2)根 据 (1)求 出 的 无 所 谓 的 人 数 是 40， 补 图 如 下 ： (3)初 中 生 不 应 该 带 手 机 ， 影 响 学 习 .19. 已 知 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2-(k+3)x+3k=0.(1)求 证 ： 不 论 k 取 何 实 数 ， 该 方 程 总 有 实 数 根 .(2)若 等 腰 ABC的 一 边 长 为 2， 另 两 边 长 恰 好 是 方 程 的 两 个 根 ， 求 ABC的 周 长 .解 析 ： (1)求 出 根 的 判 别 式 ， 利 用 偶 次 方 的 非 负 性 证 明 ；(
22、2)分 ABC的 底 边 长 为 2、 ABC的 一 腰 长 为 2两 种 情 况 解 答 .答 案 ： (1)证 明 ： =(k+3) 2-4 3k=(k-3)2 0，故 不 论 k 取 何 实 数 ， 该 方 程 总 有 实 数 根 ；(2)解 ： 当 ABC的 底 边 长 为 2时 ， 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ，则 (k-3)2=0，解 得 k=3，方 程 为 x2-6x+9=0，解 得 x 1=x2=3，故 ABC的 周 长 为 ： 2+3+3=8；当 ABC的 一 腰 长 为 2 时 ， 方 程 有 一 根 为 2，方 程 为 x2-5x+6=0，解 得 ， x1
23、=2， x2=3，故 ABC的 周 长 为 ： 2+2+3=7. 20. 如 图 1， 被 誉 为 “ 中 原 第 一 高 楼 ” 的 郑 州 会 展 宾 馆 (俗 称 “ 玉 米 楼 ” )就 坐 落 在 风 景 如 画的 如 意 湖 畔 ， 也 是 来 郑 观 光 的 游 客 留 影 的 最 佳 景 点 .学 完 了 三 角 函 数 后 ， 刘 明 和 王 华 决 定 用自 己 学 到 的 知 识 测 量 “ 玉 米 楼 ” 的 高 度 .如 图 2， 刘 明 在 点 C 处 测 得 楼 顶 B 的 仰 角 为 45 ，王 华 在 高 台 上 测 得 楼 顶 的 仰 角 为 30 .若 高
24、 台 高 DE为 5米 ， 点 D到 点 C的 水 平 距 离 EC为 187.5米 ， A、 C、 E 三 点 共 线 ， 求 “ 玉 米 楼 ” AB 的 高 ( 3 1.7， 结 果 保 留 整 数 ). 解 析 ： 作 DM AB 于 M， 交 BC 于 F， 作 CG DM 于 G， 设 BM=x 米 ， 根 据 题 意 和 正 切 的 定 义 表示 出 DM、 FM， 列 出 方 程 ， 计 算 即 可 .答 案 ： 作 DM AB于 M， 交 BC于 F， 作 CG DM 于 G，设 BM=x米 ， 由 题 意 得 ， DG=187.5米 ， CG=5米 ， BFM=45 ， B
25、DM=30 ，则 GF=CG=5米 ， DF=DG+GF=192.5 米 ， FM=BM=x米 ， DM= BMtan BDM = 3x， DM-FM=DF， 3x-x=192.5，解 得 ， x=192.5 3 192.52 275，275+5=280(米 ).答 ： “ 玉 米 楼 ” AB的 高 约 为 280米 . 21.“ 红 星 ” 中 学 准 备 为 校 “ 教 学 兴 趣 小 组 ” 购 进 甲 、 乙 两 种 学 习 用 具 ， 已 知 5 件 甲 种 学 习用 具 的 进 价 与 3件 乙 种 学 习 用 具 的 进 价 的 和 为 231 元 ， 2 件 甲 种 学 习
26、用 具 的 进 价 与 3 件 乙 种 学 习 用 具 的 进 价 的 和 为 141元 .(1)求 每 件 甲 种 、 乙 种 学 习 用 具 的 进 价 分 别 是 多 少 元 ？(2)如 果 购 进 甲 种 学 习 用 具 有 优 惠 ， 优 惠 方 法 是 ： 购 进 甲 种 学 习 用 具 超 过 20件 ， 超 出 部 分 可以 享 受 7 折 优 惠 ， 若 购 进 x(x 0)件 甲 种 学 习 用 具 需 要 花 费 y 元 ， 请 你 求 出 y与 x的 函 数 关系 式 ；(3)在 (2)的 条 件 下 ， 学 校 决 定 在 甲 、 乙 两 种 学 习 用 具 中 选
27、购 其 中 一 种 ， 且 数 量 超 过 20 件 ，请 你 帮 助 学 校 判 断 购 进 哪 种 学 习 用 具 更 省 钱 .解 析 ： (1)设 每 件 甲 种 学 习 用 具 的 进 价 是 a 元 ， 每 件 乙 种 学 习 用 具 的 进 价 是 b 元 ， 根 据 花 费钱 数 =单 价 数 量 ， 结 合 两 种 不 同 购 进 方 式 可 列 出 关 于 a、 b 的 二 元 一 次 方 程 组 ， 解 方 程 组 即可 得 出 结 论 ；(2)结 合 优 惠 政 策 对 x进 行 分 段 考 虑 ， 由 花 费 钱 数 =单 价 数 量 ， 可 得 出 y 关 于 x的
28、 函 数 关 系式 ；(3)找 出 购 进 乙 种 学 习 用 具 x件 的 花 费 ， 令 乙 种 的 花 费 甲 种 的 花 费 找 出 关 于 x 的 一 元 一 次 不 等 式 ， 解 出 不 等 式 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1)设 每 件 甲 种 学 习 用 具 的 进 价 是 a 元 ， 每 件 乙 种 学 习 用 具 的 进 价 是 b 元 ，根 据 题 意 得 ： 5 3 2312 3 141a ba b ， 解 得 ： 3027ab .答 ： 每 件 甲 种 学 习 用 具 的 进 价 是 30元 ， 每 件 乙 种 学 习 用 具 的 进 价 是 27元 .
29、(2)当 0 x 20时 ， y=30 x；当 x 20 时 ， y=20 30+0.7 30(x-20)=21x+180.(3)购 买 x 件 乙 种 学 习 用 具 的 花 费 为 27x元 ， 购 买 x 件 甲 种 学 习 用 具 的 花 费 为 (21x+180)元 ，令 27x 21x+180， 解 得 ： x 30.即 ： 当 20 x 30 时 ， 购 进 乙 种 学 习 用 具 更 省 钱 ； 当 x=30 时 ， 两 种 学 习 用 具 的 花 费 一 样 ；当 x 30 时 ， 购 买 甲 种 学 习 用 具 更 省 钱 . 22. 阅 读 并 完 成 下 面 的 数 学
30、 探 究 ：(1)【 发 现 证 明 】 如 图 (1)， 点 E、 F 分 别 在 正 方 形 ABCD 的 边 BC、 CD 上 ， EAF=45 ， 小 颖把 ABE绕 点 A 逆 时 针 旋 转 90 至 ADG， 从 而 发 现 EF=BE+FD， 请 你 利 用 图 (1)证 明 上 述 结论 .(2)【 类 比 延 伸 】 如 图 (2)， 四 边 形 ABCD中 ， BAD 90 ， AB=AD， B+ D=180 ， 点 E、 F分 别 在 边 BC、 CD 上 ， 则 当 EAF与 BAD满 足 关 系 _时 ， 仍 有 EF=BE+FD.(3)【 结 论 应 用 】 如
31、图 (3)， 四 边 形 ABCD中 ， AB=AD=80， B=60 ， ADC=120 ， BAD=150 ，点 E、 F分 别 在 边 BC、 CD上 ， 且 AE AD， DF=40( 3-1)， 连 E、 F， 求 EF的 长 (结 果 保 留 根号 ). 解 析 ： (1)根 据 旋 转 变 换 的 性 质 和 正 方 形 的 性 质 证 明 EAF GAF， 得 到 EF=FG， 证 明 结 论 ；(2)把 ABE绕 点 A 逆 时 针 旋 转 至 ADH， 使 AB 与 AD重 合 ， 证 明 EAF HAF， 证 明 即 可 ；(3)延 长 BA 交 CD 的 延 长 线 于
32、 P， 连 接 AF， 根 据 四 边 形 内 角 和 定 理 求 出 C 的 度 数 ， 得 到 P=90 ， 求 出 PD、 PA， 证 明 EAF=12 BAD， 又 (2)的 结 论 得 到 答 案 .答 案 ： (1)证 明 ： 由 旋 转 的 性 质 可 知 ， ABE ADG， BE=DG， AE=AG， BAE= DAG， ADG= ABE=90 ， G、 D、 F在 同 一 条 直 线 上 ， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， BAD=90 ， EAG=90 ， 又 EAF=45 ， FAG=45 ，在 EAF和 GAF中 ，AE AGEAF GAFAF AF ， E
33、AF GAF， EF=FG， EF=BE+FD；(2)当 EAF=12 BAD时 ， 仍 有 EF=BE+FD.证 明 ： 如 图 (2)， 把 ABE绕 点 A 逆 时 针 旋 转 至 ADH， 使 AB 与 AD重 合 ， 则 BE=DH， BAE= DAH， ADH= B， 又 B+ D=180 ， ADH+ D=180 ， 即 F、 D、 H 在 同 一 条 直 线 上 ，当 EAF=12 BAD时 ， EAF= HAF，由 (1)得 ， EAF HAF，则 EF=FH， 即 EF=BE+FD，故 答 案 为 ： EAF=12 BAD；(3)如 图 (3)， 延 长 BA交 CD 的
34、延 长 线 于 P， 连 接 AF， B=60 ， ADC=120 ， BAD=150 ， C=30 ， P=90 ， 又 ADC=120 ， ADP=60 ， PD=AD cos ADP=40， AP=AD sin ADP=40 3， PF=PD+DF=40 3， PA=PF， PAF=45 ， 又 PAD=30 ， DAF=15 ， EAF=75 ， BAE=60 ， EAF=12 BAD，由 (2)得 ， EF=BE+FD， 又 BE=BA=80， EF=BE+FD=40( 3+1).23. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 一 次 函 数 y=-12 x+2的 图 象
35、 与 x 轴 交 于 点 A， 与 y 轴 交 于点 C， 抛 物 线 y=ax 2+bx+c关 于 直 线 x=32 对 称 ， 且 经 过 A、 C两 点 ， 与 x 轴 交 于 另 一 点 为 B.(1) 求 点 B 的 坐 标 ； 求 抛 物 线 的 解 析 式 .(2)若 点 P 为 直 线 AC上 方 的 抛 物 线 上 的 一 点 ， 连 接 PA、 PC， 若 PAC的 面 积 是 ABC面 积 的35 ， 求 出 此 时 点 P 的 坐 标 .(3)在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 是 否 存 在 点 D， 使 ADC为 直 角 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 直 接 写
36、出 点 D的 坐标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： (1) 由 直 线 过 点 A， 可 得 出 点 A 的 坐 标 ， 由 A、 B 关 于 直 线 x=32 对 称 可 找 出 B 点 的坐 标 ； 由 直 线 经 过 点 C 可 求 出 点 C的 坐 标 ， 利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)由 PAC的 面 积 是 ABC面 积 的 35， 结 合 同 底 三 角 形 的 面 积 公 式 即 可 得 出 点 P 到 直 线 AC的 距 离 为 点 B到 直 线 AC的 距 离 的 35， 设 出 P点 坐 标 ，
37、 由 点 到 直 线 的 距 离 可 列 出 关 于 m的 一元 二 次 方 程 ， 解 方 程 即 可 得 出 结 论 ；(3)假 设 存 在 ， 设 出 D点 坐 标 ， 由 两 点 间 的 距 离 公 式 用 n 表 示 出 各 边 长 度 ， 结 合 勾 股 定 理 分别 讨 论 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1) 令 y=-12 x+2=0， 解 得 ： x=4， 即 点 A的 坐 标 为 (4， 0). A、 B关 于 直 线 x=32 对 称 ， 点 B的 坐 标 为 (-1， 0). 令 x=0， 则 y=2， 点 C的 坐 标 为 (0， 2)， 抛 物 线 y=a
38、x2+bx+c经 过 点 A、 B、 C， 有 2 016 4 0ca b ca b c ， 解 得 ： 123 2 2abc . 故 抛 物 线 解 析 式 为 y=-12 x2+32 +2.(2)直 线 AC的 解 析 式 为 y=-12 x+2， 即 12 x+y-2=0，设 点 P的 坐 标 为 (m， -12 m2+32 m+2)， 点 P为 直 线 AC上 方 的 抛 物 线 上 的 一 点 ， 0 m 4. PAC的 面 积 是 ABC 面 积 的 35， 点 P到 直 线 AC的 距 离 为 点 B 到 直 线 AC 的 距 离 的 35.由 点 到 直 线 的 距 离 可 知
39、 ： |12 m-12 m 2+32 m+2-2|=35|-12 -2|，即 m2-4m+3=0， 解 得 ： m1=1， m2=3.所 以 点 P 的 坐 标 为 (1， 3)或 (3， 2). (3)假 设 存 在 ， 设 D 点 的 坐 标 为 (32 ， n).由 两 点 间 的 距 离 公 式 可 知 ： AC= 224 0 2 2 5 ， AD= 2 23 42 n ，CD= 2 22 23 n ， ADC为 直 角 三 角 形 分 三 种 情 况 ： AC 2+AD2=CD2， 此 时 有 4n=-20，解 得 ： n=-5，此 时 点 D 的 坐 标 为 (32 ， -5)； AC2+CD2=AD2， 此 时 有 20-4n=0，解 得 ： n=5，此 时 点 D 的 坐 标 为 (32 ， 5)； AD 2+CD2=AC2， 此 时 有 4n2-8n-15=0，解 得 ： n=1 192 .此 时 点 D 的 坐 标 为 (32 ， 1+ 192 )和 (32 ， 1- 192 ).综 上 可 知 ： 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 存 在 点 D， 使 ADC为 直 角 三 角 形 ， 点 D 的 坐 标 为 (32 ， -5)、(32 ， 5)、 (32 ， 1- 192 )和 (32 ， 1+ 192 ).
