1、2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (浙 江 卷 )数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一个 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.已 知 集 合 P=x R|1 x 3， Q=x R|x2 4， 则 P (CRQ)=( )A.2， 3B.(-2， 3C.1， 2)D.(- ， -2 1， + )解 析 ： Q=x R|x 2 4=x R|x 2 或 x -2，即 有 CRQ=x R|-2 x 2， 则 P (CRQ)=(-2， 3.答
2、 案 ： B2.已 知 互 相 垂 直 的 平 面 ， 交 于 直 线 l， 若 直 线 m， n 满 足 m ， n ， 则 ( )A.m lB.m nC.n lD.m n解 析 ： 互 相 垂 直 的 平 面 ， 交 于 直 线 l， 直 线 m， n 满 足 m ， m 或 m 或 m ， l ， n ， n l. 答 案 ： C3.在 平 面 上 ， 过 点 P 作 直 线 l 的 垂 线 所 得 的 垂 足 称 为 点 P 在 直 线 l 上 的 投 影 ， 由 区 域2 003 4 0 xx yx y ， 中 的 点 在 直 线 x+y-2=0上 的 投 影 构 成 的 线 段 记
3、 为 AB， 则 |AB|=( )A.2 2B.4C.3 2D.6 解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： (阴 影 部 分 )， 区 域 内 的 点 在 直 线 x+y-2=0上 的 投 影 构 成 线 段 R Q ， 即 SAB，而 R Q =RQ，由 3 4 00 x yx y ， 得 11xy ， 即 Q(-1， 1)，由 2 0 xx y ， 得 22xy ， ， 即 R(2， -2)，则 |AB|=|QR|= 2 21 2 1 2 9 9 3 2 .答 案 ： C4. 命 题 “ x R， n N*， 使 得 n x 2” 的 否 定 形 式 是
4、 ( )A.x R， n N*， 使 得 n x2B.x R， n N*， 使 得 n x2C.x R， n N*， 使 得 n x2D.x R， n N*， 使 得 n x2解 析 ： 因 为 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 ， 所 以 ， 命 题 “ x R， n N*， 使 得 n x2” 的否 定 形 式 是 ： x R， n N*， 使 得 n x2.答 案 ： D.5.设 函 数 f(x)=sin 2x+bsinx+c， 则 f(x)的 最 小 正 周 期 ( )A.与 b有 关 ， 且 与 c有 关B.与 b有 关 ， 但 与 c无 关C.与 b无 关 ， 且 与
5、 c无 关D.与 b无 关 ， 但 与 c有 关解 析 ： 设 函 数 f(x)=sin2x+bsinx+c， c 是 图 象 的 纵 坐 标 增 加 了 c， 横 坐 标 不 变 ， 故 周 期 与 c 无 关 ，当 b=0时 ， f(x)=sin 2x+bsinx+c=- 12 cos2x+ 12 +c的 最 小 正 周 期 为 T= 22 = ，当 b 0 时 ， f(x)=- 12 cos2x+bsinx+ 12 +c， y=cos2x的 最 小 正 周 期 为 ， y=bsinx的 最 小 正 周 期 为 2 ， f(x)的 最 小 正 周 期 为 2 ， 故 f(x)的 最 小 正
6、 周 期 与 b 有 关 .答 案 ： B6.如 图 ， 点 列 An、 Bn分 别 在 某 锐 角 的 两 边 上 ， 且 |AnAn+1|=|An+1An+2|， An An+1， n N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|， Bn Bn+1， n N*， (P Q 表 示 点 P 与 Q 不 重 合 )若 dn=|AnBn|， Sn为 AnBnBn+1的 面 积 ， 则 ( ) A.Sn是 等 差 数 列B.Sn2是 等 差 数 列C.dn是 等 差 数 列D.dn2是 等 差 数 列解 析 ： 设 锐 角 的 顶 点 为 O， |OA1|=a， |OB1|=b，|A nAn+1|
7、=|An+1An+2|=b， |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由 于 a， b 不 确 定 ， 则 dn不 一 定 是 等 差 数 列 ， dn2不 一 定 是 等 差 数 列 ，设 AnBnBn+1的 底 边 BnBn+1上 的 高 为 hn，由 三 角 形 的 相 似 可 得 1 1 1n nn n a n bh OAh OA a nb ， 21 1 12n nn n a n bh OAh OA a nb ，两 式 相 加 可 得 ， 21 2 2 2n nnh h a nbh a nb ， 即 有 h n+hn+2=2hn+1，由 Sn= 12 d hn， 可 得 Sn+Sn
8、+2=2Sn+1， 即 为 Sn+2-Sn+1=Sn+1-Sn， 则 数 列 Sn为 等 差 数 列 .答 案 ： A7. 已 知 椭 圆 C 1： 2 22x ym =1(m 1)与 双 曲 线 C2： 2 22x yn =1(n 0)的 焦 点 重 合 ， e1， e2分 别为 C1， C2的 离 心 率 ， 则 ( )A.m n且 e1e2 1 B.m n且 e1e2 1C.m n且 e1e2 1D.m n且 e1e2 1解 析 ： 椭 圆 C1： 2 22x ym =1(m 1)与 双 曲 线 C2： 2 22x yn =1(n 0)的 焦 点 重 合 ， 满 足 c2=m2-1=n2
9、+1，即 m 2-n2=2 0， m2 n2， 则 m n， 排 除 C， D.则 c2=m2-1 m2， c2=n2+1 n2， 则 c m.c n， e1= cm ， e2= cn ，则 e1 e2= cm cn = 2cmn ，则(e 1 e2)2= 2 22 2 2 22 2 2 21 1m nc c c cm n m n m n 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 1 11 1 1m n m n m nm n m n m n m n ， e1e2 1，答 案 ： A.8.已 知 实 数 a， b， c.( )A.若 |a 2+b+c|+|a+b2+c|
10、 1， 则 a2+b2+c2 100B.若 |a2+b+c|+|a2+b-c| 1， 则 a2+b2+c2 100C.若 |a+b+c2|+|a+b-c2| 1， 则 a2+b2+c2 100D.若 |a2+b+c|+|a+b2-c| 1， 则 a2+b2+c2 100解 析 ： A.设 a=b=10， c=-110， 则 |a2+b+c|+|a+b2+c|=0 1， a2+b2+c2 100；B.设 a=10， b=-100， c=0， 则 |a2+b+c|+|a2+b-c|=0 1， a2+b2+c2 100；C.设 a=100， b=-100， c=0， 则 |a+b+c2|+|a+b-
11、c2|=0 1， a2+b2+c2 100.答 案 ： D二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 7小 题 ， 多 空 题 每 题 6 分 ， 单 空 题 每 题 4 分 ， 共 36 分 .9.若 抛 物 线 y 2=4x上 的 点 M 到 焦 点 的 距 离 为 10， 则 M到 y轴 的 距 离 是 .解 析 ： 抛 物 线 的 准 线 为 x=-1， 点 M到 焦 点 的 距 离 为 10， 点 M到 准 线 x=-1 的 距 离 为 10， 点 M到 y轴 的 距 离 为 9.答 案 ： 9.10.已 知 2cos 2x+sin2x=Asin( x+ )+b(A 0)， 则 A= ，
12、 b= .解 析 ： 2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x =1+ 2 ( 22 cos2x+ 22 sin2x)+1= 2 sin(2x+ 4 )+1， A= 2 ， b=1，答 案 ： 2 ； 1.11.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 (单 位 ： cm)， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 是 cm 2， 体 积 是cm3. 解 析 ： 由 三 视 图 可 得 ， 原 几 何 体 为 由 四 个 棱 长 为 2cm的 小 正 方 体 所 构 成 的 ，则 其 表 面 积 为 2 2 (24-6)=72cm2，其 体 积 为 4 23=32，答 案 ： 7
13、2， 3212.已 知 a b 1， 若 logab+logba= 52 ， ab=ba， 则 a= ， b= .解 析 ： 设 t=log ba， 由 a b 1 知 t 1， 代 入 logab+logba= 52 得 t+1t = 52 ，即 2t2-5t+2=0， 解 得 t=2或 t= 12 (舍 去 )， 所 以 logba=2， 即 a=b2，因 为 ab=ba， 所 以 b2b=ba， 则 a=2b=b2， 解 得 b=2， a=4，答 案 ： 4； 2.13.设 数 列 a n的 前 n项 和 为 Sn， 若 S2=4， an+1=2Sn+1， n N*， 则 a1= ， S
14、5= . 解 析 ： 由 n=1时 ， a1=S1， 可 得 a2=2S1+1=2a1+1，又 S2=4， 即 a1+a2=4， 即 有 3a1+1=4， 解 得 a1=1；由 an+1=Sn+1-Sn， 可 得 Sn+1=3Sn+1，由 S2=4， 可 得 S3=3 4+1=13， S4=3 13+1=40， S5=3 40+1=121.答 案 ： 1， 121.14.如 图 ， 在 ABC中 ， AB=BC=2， ABC=120 .若 平 面 ABC外 的 点 P和 线 段 AC 上 的 点 D， 满足 PD=DA， PB=BA， 则 四 面 体 PBCD的 体 积 的 最 大 值 是 .
15、 解 析 ： 如 图 ， M是 AC的 中 点 . 当 AD=t AM= 3 时 ， 如 图 ， 此 时 高 为 P 到 BD的 距 离 ， 也 就 是 A 到 BD 的 距 离 ， 即 图 中 AE，DM= 3 -t， 由 ADE BDM， 可 得 21 13h t t ， 2 13 th t ， V= 22 2312 1 61 31 1 32 3 3 13 ttt t t ， t (0， 3 ). 当 AD=t AM= 3 时 ， 如 图 ， 此 时 高 为 P 到 BD的 距 离 ， 也 就 是 A 到 BD 的 距 离 ， 即 图 中 AH，DM=t- 3 ， 由 等 面 积 ， 可
16、得 12 AD BM= 12 BD AH， 21 121 132 t t ， h= 23 1t t ， V= 22 2312 1 61 31 1 32 3 3 13 ttt t t ， t ( 3 ， 2 3 ).综 上 所 述 ， V= 226 3 131 3 tt ， t (0， 2 3 )令 m= 23 1t 1， 2)， 则 V= 216 4 mm ， m=1时 ， V max= 12 .答 案 ： 12 .15.已 知 向 量 a ， b ， |a |=1， |b |=2， 若 对 任 意 单 位 向 量 e ， 均 有 |a e|+|b e| 6 ，则 a b 的 最 大 值 是
17、.解 析 ： |(a +b ) e |=|a e+b e| |a e|+|b e| 6 ， |(a +b ) e | |a +b | 6 ， 平 方 得 ： |a | 2+|b |2+2a b 6 ，即 12+22+2a b 6， 则 a b 12 ， 故 a b 的 最 大 值 是 12 .答 案 ： 12 .三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5小 题 ， 共 74 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .16.在 ABC中 ， 内 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 b+c=2acosB.( )证 明 ：
18、 A=2B( )若 ABC的 面 积 S= 24a ， 求 角 A 的 大 小 . 解 析 ： ( )利 用 正 弦 定 理 ， 结 合 和 角 的 正 弦 公 式 ， 即 可 证 明 A=2B( )若 ABC的 面 积 S= 24a ， 则 12 bcsinA= 24a ， 结 合 正 弦 定 理 、 二 倍 角 公 式 ， 即 可 求 角 A 的大 小 .答 案 ： ( ) b+c=2acosB， sinB+sinC=2sinAcosB， sinB+sin(A+B)=2sinAcosB， sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB， sinB=2=sinAcosB-c
19、osAsinB=sin(A-B)， A， B是 三 角 形 中 的 角 ， B=A-B， A=2B.( ) ABC的 面 积 S= 24a ， 12 bcsinA= 24a ， 2bcsinA=a2， 2sinBsinC=sinA=sin2B， sinC=cosB， B+C=90 ， 或 C=B+90 ， A=90 或 A=45 .17.如 图 ， 在 三 棱 台 ABC-DEF 中 ， 已 知 平 面 BCFE 平 面 ABC， ACB=90 ， BE=EF=FC=1， BC=2，AC=3， ( )求 证 ： EF 平 面 ACFD；( )求 二 面 角 B-AD-F的 余 弦 值 .解 析
20、 ： (I)先 证 明 BF AC， 再 证 明 BF CK， 进 而 得 到 BF 平 面 ACFD.(II)先 找 二 面 角 B-AD-F 的 平 面 角 ， 再 在 Rt BQF中 计 算 ， 即 可 得 出 .答 案 ： (I)延 长 AD， BE， CF 相 交 于 点 K， 如 图 所 示 ， 平 面 BCFE 平 面 ABC， ACB=90 ， AC 平 面 BCK， BF AC.又 EF BC， BE=EF=FC=1， BC=2， BCK为 等 边 三 角 形 ， 且 F为 CK的 中 点 ， 则 BF CK， BF 平 面 ACFD.(II)过 点 F作 FQ AK， 连
21、接 BQ， BF 平 面 ACFD. BF AK， 则 AK 平 面 BQF， BQ AK. BQF是 二 面 角 B-AD-F的 平 面 角 .在 Rt ACK中 ， AC=3， CK=2， 可 得 FQ= 3 1313 .在 Rt BQF中 ， BF= 3 ， FQ= 3 1313 .可 得 ： cos BQF= 34 . 二 面 角 B-AD-F的 平 面 角 的 余 弦 值 为 34 . 18.已 知 a 3， 函 数 F(x)=min2|x-1|， x2-2ax+4a-2， 其 中 min(p， q)= .p p qq p q ， ( )求 使 得 等 式 F(x)=x2-2ax+4
22、a-2成 立 的 x的 取 值 范 围 ；( )(i)求 F(x)的 最 小 值 m(a)；(ii)求 F(x)在 0， 6上 的 最 大 值 M(a).解 析 ： ( )由 a 3， 讨 论 x 1 时 ， x 1， 去 掉 绝 对 值 ， 化 简 x2-2ax+4a-2-2|x-1|， 判 断 符号 ， 即 可 得 到 F(x)=x2-2ax+4a-2 成 立 的 x 的 取 值 范 围 ；( )(i)设 f(x)=2|x-1|， g(x)=x2-2ax+4a-2， 求 得 f(x)和 g(x)的 最 小 值 ， 再 由 新 定 义 ， 可得 F(x)的 最 小 值 ；(ii)分 别 对
23、当 0 x 2 时 ， 当 2 x 6 时 ， 讨 论 F(x)的 最 大 值 ， 即 可 得 到 F(x)在 0， 6上的 最 大 值 M(a).答 案 ： ( )由 a 3， 故 x 1时 ，x 2-2ax+4a-2-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x) 0；当 x 1 时 ， x2-2ax+4a-2-2|x-1|=x2-(2+2a)x+4a=(x-2)(x-2a)，则 等 式 F(x)=x2-2ax+4a-2成 立 的 x的 取 值 范 围 是 (2， 2a)；( )(i)设 f(x)=2|x-1|， g(x)=x2-2ax+4a-2，则 f(x)min=f(1)=0， g(x)m
24、in=g(a)=-a2+4a-2.由 -a2+4a-2=0， 解 得 a=2+ 2 (负 的 舍 去 )，由 F(x)的 定 义 可 得 m(a)=minf(1)， g(a)，即 m(a)= 20 3 24 2 222aa a a ， ， .(ii)当 0 x 2时 ， F(x) f(x) maxf(0)， f(2)=2=F(2)； 当 2 x 6时 ， F(x) g(x) maxg(2)， g(6)=max2， 34-8a=maxF(2)， F(6).则 M(a)= 34 8 3 42 4a aa ， ， 19. 如 图 ， 设 椭 圆 C： 22xa +y2=1(a 1). ( )求 直
25、线 y=kx+1 被 椭 圆 截 得 到 的 弦 长 (用 a， k 表 示 )( )若 任 意 以 点 A(0， 1)为 圆 心 的 圆 与 椭 圆 至 多 有 三 个 公 共 点 ， 求 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )联 立 直 线 y=kx+1 与 椭 圆 方 程 ， 利 用 弦 长 公 式 求 解 即 可 .( )写 出 圆 的 方 程 ， 假 设 圆 A 与 椭 圆 由 4个 公 共 点 ， 再 利 用 对 称 性 有 解 已 知 条 件 可 得 任 意 一A(0， 1)为 圆 心 的 圆 与 椭 圆 至 多 有 3 个 公 共 点 ， a 的 取
26、值 范 围 ， 进 而 可 得 椭 圆 的 离 心 率 的 取值 范 围 . 答 案 ： ( )由 题 意 可 得 ： 2 22 11y kxx ya ， ， 可 得 ： (1+a2k2)x2+2ka2x=0，得 x1=0或 x2= 22 221 kak a ，直 线 y=kx+1被 椭 圆 截 得 到 的 弦 长 为 ： 22 21 2 2 221 11 a kk x x ka k .( )假 设 圆 A与 椭 圆 由 4 个 公 共 点 ， 由 对 称 性 可 设 y 轴 左 侧 的 椭 圆 上 有 两 个 不 同 的 点 P， Q，满 足 |AP|=|AQ|，记 直 线 AP， AQ 的
27、 斜 率 分 别 为 ： k 1， k2； 且 k1， k2 0， k1 k2，由 (1)可 知 |AP|= 2 21 12 212 11a k ka k ， |AQ|= 2 22 22 222 11a k ka k ，故 ： 2 21 12 212 11a k ka k = 2 22 22 222 11a k ka k ， 所 以 ， (k12-k22)1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0， 由 k1 k 2，k1， k2 0， 可 得 ： 1+k12+k22+a2(2-a2)k12k22=0，因 此 ( 211k +1)( 221k +1)=1+a2(a2-2) ，因 为
28、式 关 于 k1， k2； 的 方 程 有 解 的 充 要 条 件 是 ： 1+a2(a2-2) 1， 所 以 a 2 .因 此 ， 任 意 点 A(0， 1)为 圆 心 的 圆 与 椭 圆 至 多 有 三 个 公 共 点 的 充 要 条 件 为 ： 1 a 2，e= 2 1c aa a 得 ， 所 求 离 心 率 的 取 值 范 围 是 ： 0 e 22 . 20.设 数 列 满 足 |an- 12na | 1， n N*.( )求 证 ： |an| 2n-1(|a1|-2)(n N*)( )若 |an| ( 32 )n， n N*， 证 明 ： |an| 2， n N*.解 析 ： (I)
29、使 用 三 角 不 等 式 得 出 |an|- 12 |an+1| 1， 变 形 得 11 12 2 2n nn n na a ， 使 用 累 加 法 可求 得 12 2nna a 1， 即 结 论 成 立 ；(II)利 用 (I)的 结 论 得 出 112 2 2mmnn na a ， 进 而 得 出 |a n| 2+( 34 )m 2n， 利 用 m 的 任 意 性 可 证 |an| 2.答 案 ： (I) |an- 12na | 1， |an|- 12 |an+1| 1， 11 12 2 2n nn n na a ， n N*， 12 2nna a =( 1 222 2a a )+( 2
30、 32 32 2a a )+ +( 112 2n nn na a ) 2 31 1 12 2 2 + + 12n = 1 11 12 2 11 21 2 n n 1. |a n| 2n-1(|a1|-2)(n N*).(II)任 取 n N*， 由 (I)知 ， 对 于 任 意 m n，1 1 21 1 2 112 2 2 2 2 2 2 2n m n n n n m mn m n n n n m ma a a a a a a a 11 1 11 111 1 1 12 212 2 2 21 2n m nn n m n . |a n| 1 11 1 1 3 32 2 2 22 2 2 2 2 4m mm n n nn m n ma .由 m 的 任 意 性 可 知 |an| 2.否 则 ， 存 在 n0 N*， 使 得 | 0na | 2，取 正 整 数 m0 0 034 2log 2n na 且 m0 n0， 则0 00 0 0 0 34 23 32 2 log 24 4 2m nn n nna a ， 与 式 矛 盾 .综 上 ， 对 于 任 意 n N*， 都 有 |an| 2.
