1、2 0 1 6 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 江 苏 卷 ） 数 学一 、 填 空 题 (共 1 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 7 0 分 )1 . 已 知 集 合 A=-1 ， 2 ， 3 ， 6 ， B=x|-2 x 3 ， 则 A B= .解 析 ： 集 合 A=-1 ， 2 ， 3 ， 6 ， B=x|-2 x 3 ， A B=-1 ， 2 .答 案 ： -1 ， 2 2 . 复 数 z=(1 +2 i)(3 -i)， 其 中 i 为 虚 数 单 位 ， 则 z 的 实 部 是 .解 析 ： z=(1 +2 i)(3 -i)=5 +5
2、 i，则 z 的 实 部 是 5 .答 案 ： 5 3 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 双 曲 线 22 17 3yx 的 焦 距 是 解 析 ： 双 曲 线 22 17 3yx 中 ， a= 7 ， b= 3， 2 2 10c a b ， 双 曲 线 22 17 3yx 的 焦 距 是 2 10 答 案 ： 2 10 4 . 已 知 一 组 数 据 4 .7 ， 4 .8 ， 5 .1 ， 5 .4 ， 5 .5 ， 则 该 组 数 据 的 方 差 是 .解 析 ： 数 据 4 .7 ， 4 .8 ， 5 .1 ， 5 .4 ， 5 .5 的 平 均 数 为 ：1 4.7
3、 4.8 5.1 5.4 5.5 5.15x （ ） ， 该 组 数 据 的 方 差 ：2 2 2 2 2 21 4.7 5.1 4.8 5.1 5.1 5.1 5.4 5.1 5.5 5.1 015 .S （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 答 案 ： 0 .1 5 . 函 数 23 2y x x 的 定 义 域 是 .解 析 ： 由 3 -2 x-x 2 0 得 ： x2 +2 x-3 0 ，解 得 ： x -3 ， 1 ，答 案 ： -3 ， 1 6 . 如 图 是 一 个 算 法 的 流 程 图 ， 则 输 出 的 a 的 值 是 . 解 析 ： 当 a=1 ， b=9 时 ， 不
4、 满 足 a b， 故 a=5 ， b=7 ，当 a=5 ， b=7 时 ， 不 满 足 a b， 故 a=9 ， b=5当 a=9 ， b=5 时 ， 满 足 a b，故 输 出 的 a 值 为 9 .答 案 ： 97 . 将 一 颗 质 地 均 匀 的 骰 子 (一 种 各 个 面 上 分 别 标 有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 个 点 的 正 方 体 玩 具 )先后 抛 掷 2 次 ， 则 出 现 向 上 的 点 数 之 和 小 于 1 0 的 概 率 是 .解 析 ： 将 一 颗 质 地 均 匀 的 骰 子 (一 种 各 个 面 上 分 别 标 有 1 ， 2 ， 3
5、， 4 ， 5 ， 6 个 点 的 正 方 体 玩 具 )先 后 抛 掷 2 次 ，基 本 事 件 总 数 为 n=6 6 =3 6 ，出 现 向 上 的 点 数 之 和 小 于 1 0 的 对 立 事 件 是 出 现 向 上 的 点 数 之 和 不 小 于 1 0 ，出 现 向 上 的 点 数 之 和 不 小 于 1 0 包 含 的 基 本 事 件 有 ： (4 ， 6 )， (6 ， 4 )， (5 ， 5 )， (5 ， 6 )， (6 ， 5 )， (6 ， 6 )， 共 6 个 ， 出 现 向 上 的 点 数 之 和 小 于 1 0 的 概 率 ：6 51 36 6p 答 案 ： 5
6、68 . 已 知 an是 等 差 数 列 ， Sn是 其 前 n 项 和 ， 若 a1 +a2 2 =-3 ， S5 =1 0 ， 则 a9 的 值 是 .解 析 ： a n是 等 差 数 列 ， Sn是 其 前 n 项 和 ， a1 +a2 2 =-3 ， S5 =1 0 ， 21 11 35 45 102a a da d ，解 得 a1 =-4 ， d=3 ， a9 =-4 +8 3 =2 0 答 案 ： 2 0 9 . 定 义 在 区 间 0 ， 3 上 的 函 数 y=sin2 x 的 图 象 与 y=cosx 的 图 象 的 交 点 个 数 是 .解 析 ： 画 出 函 数 y=si
7、n2 x 与 y=cosx 在 区 间 0 ， 3 上 的 图 象 如 下 ：由 图 可 知 ， 共 7 个 交 点 答 案 ： 7 1 0 . 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， F 是 椭 圆 222 2 1 0yx a ba b （ ） 的 右 焦 点 ， 直 线 2by 与 椭 圆 交 于 B， C 两 点 ， 且 BFC=9 0 ， 则 该 椭 圆 的 离 心 率 是 .解 析 ： 设 右 焦 点 F(c， 0 )，将 2by 代 入 椭 圆 方 程 可 得 22 31 24bx a ab ， 可 得 3 32 2 2 2b bB a C a（ ， ） ， （
8、 ， ） ，由 BFC=9 0 ， 可 得 kBF kCF=-1 ，即 有 2 2 13 32 2b ba c a c ，化 简 为 b2 =3 a2 -4 c2 ，由 b2 =a2 -c2 ， 即 有 3 c2 =2 a2 ，由 ce a ， 可 得 22 2 23ce a ，可 得 63e ， 答 案 ： 63 1 1 . 设 f(x)是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 ， 在 区 间 -1 ， 1 )上 ， 1 02 0 15x a xf x x x ， - （ ） ， ，其 中 a R， 若 5 92 2f f （ ） （ ） ， 则 f(5 a)的 值 是 .解
9、析 ： f(x)是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 ， 在 区 间 -1 ， 1 )上 ， 1 02 0 15x a xf x x x ， - （ ） ， ， 5 1 12 2 2f f a （ ） （ ） ，9 1 2 1 12 2 5 2 10f f （ ） （ ） ， 35a ， 3 25 3 1 1 5 5f a f f （ ） （ ） （ ） ，答 案 ： 251 2 . 已 知 实 数 x， y 满 足 2 4 02 2 03 3 0 x yx yx y ， 则 x2 +y2 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区
10、域 ， 设 z=x2 +y2 ， 则 z 的 几 何 意 义 是 区 域 内 的 点 到 原 点 距 离 的 平 方 ，由 图 象 知 A 到 原 点 的 距 离 最 大 ，点 O 到 直 线 BC： 2 x+y-2 =0 的 距 离 最 小 ，由 2 4 03 3 0 x yx y 得 23xy ， 即 A(2 ， 3 )， 此 时 z=2 2 +3 2 =4 +9 =1 3 ，点 O 到 直 线 BC： 2 x+y-2 =0 的 距 离 2 22 252 1d ， 则 2 22 455z d （ ） ，故 z 的 取 值 范 围 是 45 13， .答 案 ： 45 13， 1 3 . 如
11、 图 ， 在 ABC 中 ， D 是 BC 的 中 点 ， E， F 是 AD 上 的 两 个 三 等 分 点 ， 4 1BACA BF CF ， ， 则 BE CE 的 值 是 . 解 析 ： D 是 BC 的 中 点 ， E， F 是 AD 上 的 两 个 三 等 分 点 ， BF BD DF CF BD DF ， ，3 3BA BD DF CA BD DF ， ， 2 2 1BF CF DF BD ，2 29 4BA CA DF BD ， 2 25 138 8DF BD ， ，又 2 2BE BD DF CE BD DF ， ， 2 2 74 8BE CE DF BD ，答 案 ： 78
12、1 4 . 在 锐 角 三 角 形 ABC 中 ， 若 sinA=2 sinBsinC， 则 tanAtanBtanC 的 最 小 值 是 .解 析 ： 由 sinA=sin( -A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC， sinA=2 sinBsinC，可 得 sinBcosC+cosBsinC=2 sinBsinC， 由 三 角 形 ABC 为 锐 角 三 角 形 ， 则 cosB 0 ， cosC 0 ，在 式 两 侧 同 时 除 以 cosBcosC 可 得 tanB+tanC=2 tanBtanC，又 1tanB tanCtanA tan A tan B C tan
13、BtanC （ ） （ ） ， 则 1tanB tanCtanAtanBtanC tanBtanCtanBtanC ，由 tanB+tanC=2 tanBtanC 可 得 221 tanBtanCtanAtanBtanC tanBtanC （ ） ，令 tanBtanC=t， 由 A， B， C 为 锐 角 可 得 tanA 0 ， tanB 0 ， tanC 0 ，由 式 得 1 -tanBtanC 0 ， 解 得 t 1 ，2 22 21 1 1ttanAtanBtanC t tt ，221 1 1 1 12 4t tt （ ） ， 由 t 1 得 ， 21 1 1 04 tt ，因 此
14、tanAtanBtanC 的 最 小 值 为 8 ，当 且 仅 当 t=2 时 取 到 等 号 ， 此 时 tanB+tanC=4 ， tanBtanC=2 ， 解 得 2 2 2 2 4tanB tanC tanA ， ， ， (或 tanB， tanC 互 换 )， 此 时 A， B， C 均为 锐 角 答 案 ： 8二 、 解 答 题 (共 6 小 题 ， 满 分 9 0 分 )1 5 . 在 ABC 中 ， AC=6 ， 45 4cosB C ， (1 )求 AB 的 长 ；(2 )求 6cos A （ ） 的 值 解 析 ： (1 )利 用 正 弦 定 理 ， 即 可 求 AB 的
15、长 ； (2 )求 出 cosA、 sinA， 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 求 6cos A （ ） 的 值 答 案 ： (1 ) ABC 中 ， 45cosB ， 35sinB ， ACABsinC sinB ， 26 2 5 235AB ； (2 ) 210cosA cos C B sinBsinC cosBcosC （ ） A 为 三 角 形 的 内 角 ， 7 210sinA ， 3 7 2 616 2 2 20cos A cosA sinA （ ） 1 6 . 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 ABC-A1 B1 C1 中 ， D， E 分 别 为 AB， BC 的 中 点
16、 ， 点 F 在 侧 棱 B1 B 上 ， 且B1 D A1 F， A1 C1 A1 B1 求 证 ：(1 )直 线 DE 平 面 A1 C1 F；(2 )平 面 B1 DE 平 面 A1 C1 F 解 析 ： (1 )通 过 证 明 DE AC， 进 而 DE A1 C1 ， 据 此 可 得 直 线 DE 平 面 A1 C1 F1 ；(2 )通 过 证 明 A1 F DE 结 合 题 目 已 知 条 件 A1 F B1 D， 进 而 可 得 平 面 B1 DE 平 面 A1 C1 F答 案 ： (1 ) D， E 分 别 为 AB， BC 的 中 点 ， DE 为 ABC 的 中 位 线 ，
17、 DE AC， ABC-A1 B1 C1 为 棱 柱 ， AC A1 C1 ， DE A1 C1 ， 1 1AC 平 面 A 1 C1 F， 且 DE平 面 A1 C1 F， DE A1 C1 F；(2 ) ABC-A1 B1 C1 为 直 棱 柱 ， AA1 平 面 A1 B1 C1 ， AA1 A1 C1 ，又 A1 C1 A1 B1 ， 且 AA1 A1 B1 =A1 ， AA1 、 A1 B1 平 面 AA1 B1 B， A1 C1 平 面 AA1 B1 B， DE A 1 C1 ， DE 平 面 AA1 B1 B，又 A1 F平 面 AA1 B1 B， DE A1 F，又 A1 F
18、B1 D， DE B1 D=D， 且 DE、 B1 D平 面 B1 DE， A1 F 平 面 B1 DE，又 A1 F平 面 A1 C1 F， 平 面 B1 DE 平 面 A1 C1 F1 7 . 现 需 要 设 计 一 个 仓 库 ， 它 由 上 下 两 部 分 组 成 ， 上 部 的 形 状 是 正 四 棱 锥 P-A 1 B1 C1 D1 ， 下 部 的 形 状 是 正 四 棱 柱 ABCD-A1 B1 C1 D1 (如 图 所 示 )， 并 要 求 正 四 棱 柱 的 高 O1 O 是 正 四 棱 锥 的 高 PO1的 4 倍 (1 )若 AB=6 m， PO1 =2 m， 则 仓 库
19、 的 容 积 是 多 少 ？(2 )若 正 四 棱 锥 的 侧 棱 长 为 6 m， 则 当 PO1 为 多 少 时 ， 仓 库 的 容 积 最 大 ？ 解 析 ： (1 )由 正 四 棱 柱 的 高 O1 O 是 正 四 棱 锥 的 高 PO1 的 4 倍 ， 可 得 PO1 =2 m 时 ， O1 O=8 m， 进而 可 得 仓 库 的 容 积 ；(2 )设 PO1 =xm， 则 O1 O=4 xm， 2 21 1 1 136 36AO x m A B x m ， ， 代 入 体 积 公 式 ， 求出 容 积 的 表 达 式 ， 利 用 导 数 法 ， 可 得 最 大 值 答 案 ： (1
20、 ) PO1 =2 m， 正 四 棱 柱 的 高 O1 O 是 正 四 棱 锥 的 高 PO1 的 4 倍 O1 O=8 m， 仓 库 的 容 积 2 2 31 6 2 6 8 3123V m ，(2 )若 正 四 棱 锥 的 侧 棱 长 为 6 m，设 PO 1 =xm，则 O1 O=4 xm， 2 21 1 1 136 36AO x m A B x m ， ，则 仓 库 的 容 积 2 2 2 2 3261 2 36 2 36 4 3123 3V x x x x x x （ ） （ ） ， (0 x 6 )， V =-2 6 x2 +3 1 2 ， (0 x 6 )，当 0 2 3x 时
21、， V 0 ， V(x)单 调 递 增 ；当 2 3 6x 时 ， V 0 ， V(x)单 调 递 减 ；故 当 2 3x 时 ， V(x)取 最 大 值 ； 即 当 1 2 3PO m 时 ， 仓 库 的 容 积 最 大 1 8 . 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 以 M 为 圆 心 的 圆 M： x2 +y2 -1 2 x-1 4 y+6 0 =0 及 其 上一 点 A(2 ， 4 )(1 )设 圆 N 与 x 轴 相 切 ， 与 圆 M 外 切 ， 且 圆 心 N 在 直 线 x=6 上 ， 求 圆 N 的 标 准 方 程 ；(2 )设 平 行 于 O
22、A 的 直 线 l 与 圆 M 相 交 于 B、 C 两 点 ， 且 BC=OA， 求 直 线 l 的 方 程 ；(3 )设 点 T(t， 0 )满 足 ： 存 在 圆 M 上 的 两 点 P 和 Q， 使 得 TA TP TQ ， 求 实 数 t 的 取 值 范 围 解 析 ： (1 )设 N(6 ， n)， 则 圆 N 为 ： (x-6 )2 +(y-n)2 =n2 ， n 0 ， 从 而 得 到 |7 -n|=|n|+5 ， 由 此 能 求出 圆 N 的 标 准 方 程 (2 )由 题 意 得 2 5OA ， k OA=2 ， 设 l： y=2 x+b， 则 圆 心 M 到 直 线 l
23、的 距 离 ： 5 5bd ， 由此 能 求 出 直 线 l 的 方 程 (3 )TA TP TQ ， 即 2 22 4TA t ， 又 10PQ ， 得 2 2 212 2 1 2t ， ，对 于 任 意 2 2 212 2 1 2t ， ， 欲 使 TA PQ ， 只 需 要 作 直 线 TA 的 平 行 线 ， 使 圆 心 到直 线 的 距 离 为 225 4TA ， 由 此 能 求 出 实 数 t 的 取 值 范 围 答 案 ： (1 ) N 在 直 线 x=6 上 ， 设 N(6 ， n)， 圆 N 与 x 轴 相 切 ， 圆 N 为 ： (x-6 ) 2 +(y-n)2 =n2 ，
24、 n 0 ，又 圆 N 与 圆 M 外 切 ， 圆 M： x2 +y2 -1 2 x-1 4 y+6 0 =0 ， 即 圆 M： (x-6 )2 +(x-7 )2 =2 5 ， |7 -n|=|n|+5 ， 解 得 n=1 ， 圆 N 的 标 准 方 程 为 (x-6 )2 +(y-1 )2 =1 (2 )由 题 意 得 2 5OA ， kOA=2 ， 设 l： y=2 x+b，则 圆 心 M 到 直 线 l 的 距 离 ： 212 7 5 52 1b bd ，则 22 2 52 5 2 25 2 55bBC d BC ， ， 即 252 25 2 55b ， 解 得 b=5 或 b=-1 5
25、 ， 直 线 l 的 方 程 为 ： y=2 x+5 或 y=2 x-1 5 (3 )TA TP TQ ， 即 TA TQ TP ， 即 TA PQ ， 2 22 4TA t ，又 10PQ ， 即 2 22 4 10t ， 解 得 2 2 212 2 1 2t ， ，对 于 任 意 2 2 212 2 1 2t ， ， 欲 使 TA PQ ， 此 时 ， 10TA ，只 需 要 作 直 线 TA 的 平 行 线 ， 使 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 225 4TA ，必 然 与 圆 交 于 P、 Q 两 点 ， 此 时 TA PQ ， 即 TA PQ ，因 此 实 数 t 的 取 值
26、范 围 为 2 2 212 2 1 2t ， 1 9 . 已 知 函 数 f(x)=a x+bx(a 0 ， b 0 ， a 1 ， b 1 )(1 )设 a=2 ， 12b 求 方 程 f(x)=2 的 根 ； 若 对 于 任 意 x R， 不 等 式 f(2 x) mf(x)-6 恒 成 立 ， 求 实 数 m 的 最 大 值 ；(2 )若 0 a 1 ， b 1 ， 函 数 g(x)=f(x)-2 有 且 只 有 1 个 零 点 ， 求 ab 的 值 解 析 ： (1 ) 利 用 方 程 ， 直 接 求 解 即 可 列 出 不 等 式 ， 利 用 二 次 函 数 的 性 质 以 及 函
27、数 的 最值 ， 转 化 求 解 即 可 (2 )求 出 g(x)=f(x)-2 =a x+bx-2 ， 求 出 函 数 的 导 数 ， 构 造 函 数 xb lnah x a lnb （ ） ， 求 出 g(x)的 最小 值 为 ： g(x0 ) 同 理 若 g(x0 ) 0 ， g(x)至 少 有 两 个 零 点 ， 与 条 件 矛 盾 若 g(x0 ) 0 ， 利 用函 数 g(x)=f(x)-2 有 且 只 有 1 个 零 点 ， 推 出 g(x0 )=0 ， 然 后 求 解 ab=1 答 案 ： 函 数 f(x)=ax+bx(a 0 ， b 0 ， a 1 ， b 1 )(1 )设
28、a=2 ， 12b 方 程 f(x)=2 ； 即 ： 12 22x x ， 可 得 x=0 不 等 式 f(2 x) mf(x)-6 恒 成 立 ， 即 2 21 12 2 62 2x xx xm （ ） 恒 成 立 令 12 2x xt ， t 2 不 等 式 化 为 ： t2 -mt+4 0 在 t 2 时 ， 恒 成 立 可 得 ： 0 或 2 222 2 4 0m m 即 ： m2 -1 6 0 或 m 4 ， m (- ， 4 实 数 m 的 最 大 值 为 ： 4 (2 )g(x)=f(x)-2 =ax+bx-2 ， xx x x lna bg x a lna b lnb a ln
29、b a （ ） ， 0 a 1 ， b 1 可 得 ba 1 ， 令 xb lnah x a lnb （ ） ， 则 h(x)是 递 增 函 数 ， 而 ， lna 0 ， lnb 0 ， 因 此 ， 0 b lnax log a lnb 时 ，h(x0 )=0 ，因 此 x (- ， x0 )时 ， h(x) 0 ， axlnb 0 ， 则 g (x) 0 x (x0 ， + )时 ， h(x) 0 ， axlnb 0 ， 则 g (x) 0 ，则 g(x)在 (- ， x0 )递 减 ， (x0 ， + )递 增 ， 因 此 g(x)的 最 小 值 为 ： g(x0 ) 若 g(x0 )
30、0 ， x loga2 时 ， ax aloga2 =2 ， bx 0 ， 则 g(x) 0 ，因 此 x1 loga2 ， 且 x1 x0 时 ， g(x1 ) 0 ， 因 此 g(x)在 (x1 ， x0 )有 零 点 ，则 g(x)至 少 有 两 个 零 点 ， 与 条 件 矛 盾 若 g(x 0 ) 0 ， 函 数 g(x)=f(x)-2 有 且 只 有 1 个 零 点 ， g(x)的 最 小 值 为 g(x0 )， 可 得 g(x0 )=0 ，由 g(0 )=a0 +b0 -2 =0 ，因 此 x0 =0 ， 因 此 =0 =1b lna lnalog a lnb lnb ， ， 即
31、 lna+lnb=0 ， ln(ab)=0 ， 则 ab=1 可 得 ab=1 2 0 . 记 U=1 ， 2 ， ， 1 0 0 ， 对 数 列 an(n N*)和 U 的 子 集 T， 若 T ， 定 义 ST=0 ； 若 T=t1 ，t2 ， ， tk， 定 义 ST=at1 +at2 + +atk 例 如 ： T=1 ， 3 ， 6 6 时 ， ST=a1 +a3 +a6 6 现 设 an(n N*)是 公 比 为 3 的 等 比 数 列 ， 且 当 T=2 ， 4 时 ， S T=3 0 (1 )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；(2 )对 任 意 正 整 数 k(1 k 1 0
32、 0 )， 若 T 1 ， 2 ， ， k， 求 证 ： ST ak+1 ；(3 )设 C DC U D U S S ， ， ， 求 证 ： SC+SC D 2 SD解 析 ： (1 )根 据 题 意 ， 由 ST的 定 义 ， 分 析 可 得 ST=a2 +a4 =a2 +9 a2 =3 0 ， 计 算 可 得 a2 =3 ， 进 而 可 得a1 的 值 ， 由 等 比 数 列 通 项 公 式 即 可 得 答 案 ；(2 )根 据 题 意 ， 由 ST的 定 义 ， 分 析 可 得 ST a1 +a2 + ak=1 +3 +3 2 + +3 k-1 ， 由 等 比 数 列 的 前 n 项和
33、公 式 计 算 可 得 证 明 ；(3 )设 A=C C(C D)， B=CD(C D)， 则 A B ， 进 而 分 析 可 以 将 原 命 题 转 化 为 证 明 SC 2 SB，分 2 种 情 况 进 行 讨 论 ： 、 若 B ， 、 若 B ， 可 以 证 明 得 到 SA 2 SB， 即 可 得 证 明 答 案 ： (1 )当 T=2 ， 4 时 ， ST=a2 +a4 =a2 +9 a2 =3 0 ，因 此 a2 =3 ， 从 而 21 13aa ，故 an=3 n-1 ，(2 ) 2 11 2 13 11 3 3 3 32kk kT k kS a a a a ，(3 )设 A=
34、C C(C D)， B=CD(C D)， 则 A B ，分 析 可 得 SC=SA+SC D， SD=SB+SC D， 则 SC+SC D-2 SD=SA-2 SB，因 此 原 命 题 的 等 价 于 证 明 SC 2 SB，由 条 件 SC SD， 可 得 SA SB， 、 若 B ， 则 SB=0 ， 故 SA 2 SB， 、 若 B ， 由 SA SB可 得 A， 设 A 中 最 大 元 素 为 l， B 中 最 大 元 素 为 m，若 m l+1 ， 则 其 与 SA ai+1 am SB相 矛 盾 ，因 为 A B ， 所 以 1 m， 则 1 m+1 ， 2 1 11 2 3 11
35、 3 3 3 2 2 2mm m AB m a SS a a a ， 即 SA 2 SB，综 上 所 述 ， SA 2 SB，故 SC+SC D 2 SD附 加 题 【 选 做 题 】 本 题 包 括 A、 B、 C、 D 四 小 题 ， 请 选 定 其 中 两 小 题 ， 并 在 相 应 的 答 题 区 域内 作 答 ， 若 多 做 ， 则 按 作 答 的 前 两 小 题 评 分 ， 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步骤 .A 【 选 修 4 1 几 何 证 明 选 讲 】2 1 . 如 图 ， 在 ABC 中 ， ABC=9 0 ， BD AC， D
36、 为 垂 足 ， E 为 BC 的 中 点 ， 求 证 ： EDC= ABD 解 析 ： 题 意 ， 知 BDC=9 0 ， EDC= C， 利 用 C+ DBC= ABD+ DBC=9 0 ， 可 得 ABD= C， 从 而 可 证 得 结 论 答 案 ： 由 BD AC 可 得 BDC=9 0 ，因 为 E 为 BC 的 中 点 ， 所 以 DE=CE= 12 BC，则 ： EDC= C，由 BDC=9 0 ， 可 得 C+ DBC=9 0 ，由 ABC=9 0 ， 可 得 ABD+ DBC=9 0 ，因 此 ABD= C， 而 EDC= C，所 以 ， EDC= ABDB.【 选 修 4
37、 2 ： 矩 阵 与 变 换 】 2 2 . 已 知 矩 阵 1 20 2A ， 矩 阵 B 的 逆 矩 阵 1 11 20 2B ， 求 矩 阵 AB解 析 ： 依 题 意 ， 利 用 矩 阵 变 换 求 得 1 1 1 11 2 2 4=2 2 10 0 1 22 2B B （ ） ， 再 利 用 矩 阵 乘 法 的 性 质可 求 得 答 案 答 案 ： 1 11 20 2B ， 1 1 1 11 2 2 4=2 2 10 0 1 22 2B B （ ） ， 又 1 20 2A ， 11 51 2 1 4 410 10 0 -12 2AB C.【 选 修 4 4 ： 坐 标 系 与 参 数
38、 方 程 】2 3 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为 11 232x ty t (t 为 参 数 )， 椭 圆 C 的 参 数 方 程 为 2x cosy sin ( 为 参 数 )， 设 直 线 l 与 椭 圆 C 相 交 于 A， B 两 点 ， 求 线 段 AB 的 长 解 析 ： 分 别 化 直 线 与 椭 圆 的 参 数 方 程 为 普 通 方 程 ， 然 后 联 立 方 程 组 ， 求 出 直 线 与 椭 圆 的 交 点坐 标 ， 代 入 两 点 间 的 距 离 公 式 求 得 答 案 答 案 ： 由 11 232x t
39、y t ， 由 得 23t y ，代 入 并 整 理 得 ， 3 3 0 x y 由 2x cosy sin ， 得 2x cosy sin ， 两 式 平 方 相 加 得 22 14yx 联 立 223 3 014x yyx ， 解 得 10 xy 或 178 37xy 22 8 3 1611 07 7 7AB 2 4 . 设 a 0 ， 1 23 3a ax y ， ， 求 证 ： |2 x+y-4 | a 解 析 ： 运 用 绝 对 值 不 等 式 的 性 质 ： |a+b| |a|+|b|， 结 合 不 等 式 的 基 本 性 质 ， 即 可 得 证 答 案 ： 由 a 0 ， 1 2
40、3 3a ax y ， ，可 得 |2 x+y-4 |=|2 (x-1 )+(y-2 )| 22 1 2 3 3a ax y a ，则 |2 x+y-4 | a 成 立 附 加 题 【 必 做 题 】2 5 . 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 直 线 l： x-y-2 =0 ， 抛 物 线 C： y 2 =2 px(p 0 )(1 )若 直 线 l 过 抛 物 线 C 的 焦 点 ， 求 抛 物 线 C 的 方 程 ；(2 )已 知 抛 物 线 C 上 存 在 关 于 直 线 l 对 称 的 相 异 两 点 P 和 Q 求 证 ： 线 段 PQ 的 中 点
41、坐 标 为 (2 -p， -p)； 求 p 的 取 值 范 围 解 析 ： (1 )求 出 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 ， 然 后 求 解 抛 物 线 方 程 (2 )： 设 点 P(x1 ， y1 )， Q(x2 ， y2 )， 通 过 抛 物 线 方 程 ， 求 解 kPQ， 通 过 P， Q 关 于 直 线 l 对 称 ，点 的 kPQ=-1 ， 推 出 1 22y y p ， PQ 的 中 点 在 直 线 l 上 ， 推 出 1 2 22x x p ， 即 可 证 明线 段 PQ 的 中 点 坐 标 为 (2 -p， -p)； 利 用 线 段 PQ 中 点 坐 标 (2 -p， -
42、p) 推 出 1 2 21 2 24 4y y py y p p ， 得 到 关 于 y2 +2 py+4 p2 -4 p=0 ， 有两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 列 出 不 等 式 即 可 求 出 p 的 范 围 答 案 ： (1 ) l： x-y-2 =0 ， l 与 x 轴 的 交 点 坐 标 (2 ， 0 )，即 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 (2 ， 0 ) 22p ， 抛 物 线 C： y2 =8 x(2 )证 明 ： 设 点 P(x1 ， y1 )， Q(x2 ， y2 )， 则 ： 21 122 222y pxy px ， 即 ： 21 122 222y xpy x
43、p ， 1 22 2 1 21 2 22 2PQ y y pk y yy yp p ，又 P， Q 关 于 直 线 l 对 称 ， kPQ=-1 ， 即 y1 +y2 =-2 p， 1 22y y p ，又 PQ 的 中 点 在 直 线 l 上 ， 1 2 1 2 2 22 2x x y y p ， 线 段 PQ 的 中 点 坐 标 为 (2 -p， -p)； 因 为 Q 中 点 坐 标 (2 -p， -p) 1 2 2 21 21 2 2 4 22y y py yx x pp ， 即 1 22 2 21 2 28 4y y py y p p 1 2 21 2 24 4y y py y p p
44、 ， 即 关 于 y2 +2 py+4 p2 -4 p=0 ， 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 0 ， (2 p)2 -4 (4 p2 -4 p) 0 ， 43(0 )p ， 2 6 . (1 )求 3 46 77 4C C 的 值 ；(2 )设 m， n N*， n m， 求 证 ： 2 1 2 1 21 2 3 1 1 m m m m m mm m m n n nm C m C m C nC n C m C （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 解 析 ： (1 )由 已 知 直 接 利 用 组 合 公 式 能 求 出 3 46 77 4C C 的 值 (2 )对 任 意 m
45、 N*， 当 n=m 时 ， 验 证 等 式 成 立 ； 再 假 设 n=k(k m)时 命 题 成 立 ， 推 导 出 当 n=k+1时 ， 命 题 也 成 立 ， 由 此 利 用 数 学 归 纳 法 能 证 明21 2 1 21 2 3 1 1 m m m m m mm m m n n nm C m C m C nC n C m C （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 答 案 ： (1 ) 3 46 77 4C C=7 6 5 4 4 7 6 5 43 2 1 4 3 2 1 =7 2 0 -4 3 5 =0 证 明 ： (2 )对 任 意 m N*， 当 n=m 时 ， 左 边 =
46、1 1mmm C m （ ） ，右 边 = 221 = 1mmm C m （ ） ， 等 式 成 立 假 设 n=k(k m)时 命 题 成 立 ，即 21 2 1 21 2 3 1 1m m m m m mm m m k k km C m C m C kC k C m C （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ，当 n=k+1 时 ，左 边= 1 2 1 11 2 3 1 2m m m m m mm m m k k km C m C m C kC k C k C （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） = 22 11 2m mk km C k C ，右 边 = 231 mkm C 2 23
47、 21 1m mk km C m C = 3 ! 2 !1 2 ! 1 ! 2 ! !k km m k m m k m （ ）= 2 !1 3 12 ! 1 ! km k k mm k m （ ） （ ）= 1 !2 ! 1 !kk m k m （ ）= 12 mkk C ， 2 22 1 31 2 1m m mk k km C k C m C ， 左 边 =右 边 ， n=k+1 时 ， 命 题 也 成 立 ， m ， n N* ， n m ，21 2 1 21 2 3 1 1m m m m m mm m m n n nm C m C m C nC n C m C （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
