1、2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 新 课 标 ） 数 学 文一 、 选 择 题 (共 12小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 60 分 )1. 设 集 合 A=0， 2， 4， 6， 8， 10， B=4， 8， 则 AB=( )A.4， 8B.0， 2， 6C.0， 2， 6， 10D.0， 2， 4， 6， 8， 10解 析 ： 集 合 A=0， 2， 4， 6， 8， 10， B=4， 8， 则 AB=0， 2， 6， 10.答 案 ： C.2. 若 z=4+3i， 则 zz =( )A.1B.-1C.4 35 5iD.4 35 5i 解 析
2、 ： z=4+3i， 则 4 3 4 3 4 34 3 5 5 5i i iizz .答 案 ： D.3. 已 知 向 量 BA =(12 ， 32 )， BC=( 32 ， 12 )， 则 ABC=( )A.30B.45C.60D.120 解 析 ： BA BC= 34 + 34 = 32 ， |BA |=|BC|=1； cos ABC= 32BA BCBA BC ；又 0 ABC 180 ； ABC=30 .答 案 ： A.4. 某 旅 游 城 市 为 向 游 客 介 绍 本 地 的 气 温 情 况 ， 绘 制 了 一 年 中 各 月 平 均 最 高 气 温 和 平 均 最 低气 温 的
3、雷 达 图 ， 图 中 A点 表 示 十 月 的 平 均 最 高 气 温 约 为 15 ， B 点 表 示 四 月 的 平 均 最 低 气 温 约 为 5 ， 下 面 叙 述 不 正 确 的 是 ( ) A.各 月 的 平 均 最 低 气 温 都 在 0 以 上B.七 月 的 平 均 温 差 比 一 月 的 平 均 温 差 大C.三 月 和 十 一 月 的 平 均 最 高 气 温 基 本 相 同D.平 均 最 高 气 温 高 于 20 的 月 份 有 5 个解 析 ： A.由 雷 达 图 知 各 月 的 平 均 最 低 气 温 都 在 0 以 上 ， 正 确B.七 月 的 平 均 温 差 大
4、约 在 10 左 右 ， 一 月 的 平 均 温 差 在 5 左 右 ， 故 七 月 的 平 均 温 差 比 一 月的 平 均 温 差 大 ， 正 确C.三 月 和 十 一 月 的 平 均 最 高 气 温 基 本 相 同 ， 都 为 10 ， 正 确D.平 均 最 高 气 温 高 于 20 的 月 份 有 7， 8 两 个 月 ， 故 D 错 误 .答 案 ： D.5. 小 敏 打 开 计 算 机 时 ， 忘 记 了 开 机 密 码 的 前 两 位 ， 只 记 得 第 一 位 是 M， I， N 中 的 一 个 字 母 ，第 二 位 是 1， 2， 3， 4， 5 中 的 一 个 数 字 ，
5、则 小 敏 输 入 一 次 密 码 能 够 成 功 开 机 的 概 率 是 ( ) A. 815B.18C. 115D. 130解 析 ： 从 M， I， N 中 任 取 一 个 字 母 ， 再 从 1， 2， 3， 4， 5中 任 取 一 个 数 字 ， 取 法 总 数 为 ：(M， 1)， (M， 2)， (M， 3)， (M， 4)， (M， 5)， (I， 1)， (I， 2)， (I， 3)， (I， 4)， (I， 5)，(N， 1)， (N， 2)， (N， 3)， (N， 4)， (N， 5)共 15种 .其 中 只 有 一 个 是 小 敏 的 密 码 前 两 位 .由 随 机
6、 事 件 发 生 的 概 率 可 得 ， 小 敏 输 入 一 次 密 码 能 够 成 功 开 机 的 概 率 是 115. 答 案 ： C. 6. 若 tan =-13， 则 cos2 =( )A.-45B.-15C.15D.45解 析 ： 由 tan =-13， 得 cos2 =cos 2 -sin2= 22 2 2 22 2 2 11 1 43 =1 511 3cos sin tancos sin tan .答 案 ： D.7. 已 知 a= 432 ， b= 233 ， c= 1325 ， 则 ( )A.b a cB.a b c C.b c aD.c a b解 析 ： a= 432 =
7、234 ，b= 233 ，c= 1325 = 235 ，综 上 可 得 ： b a c.答 案 ： A.8. 执 行 如 图 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 a=4， b=6， 那 么 输 出 的 n=( ) A.3B.4C.5D.6解 析 ： 模 拟 执 行 程 序 ， 可 得a=4， b=6， n=0， s=0执 行 循 环 体 ， a=2， b=4， a=6， s=6， n=1不 满 足 条 件 s 16， 执 行 循 环 体 ， a=-2， b=6， a=4， s=10， n=2不 满 足 条 件 s 16， 执 行 循 环 体 ， a=2， b=4， a=6， s=16， n
8、=3不 满 足 条 件 s 16， 执 行 循 环 体 ， a=-2， b=6， a=4， s=20， n=4满 足 条 件 s 16， 退 出 循 环 ， 输 出 n 的 值 为 4.答 案 ： B. 9. 在 ABC中 ， B= 4 ， BC 边 上 的 高 等 于 13BC， 则 sinA=( )A. 310B. 1010C. 55 D.3 1010解 析 ： 在 ABC中 ， B= 4 ， BC 边 上 的 高 等 于 13BC， AB= 23 BC，由 余 弦 定 理 得 ： AC= 2 2 2 AB BC AB BC cosB = 2 2 22 2 59 3 3BC BC BC B
9、C ，故 12 BC 13BC=12 AB AC sinA=12 2 3 BC 5 3 BC sinA， sinA=3 1010 .答 案 ： D.10. 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1， 粗 实 线 画 出 的 是 某 多 面 体 的 三 视 图 ， 则 该 多 面 体 的 表 面积 为 ( ) A.18+36 5B.54+18 5C.90D.81解 析 ： 由 已 知 中 的 三 视 图 可 得 ： 该 几 何 体 是 一 个 以 俯 视 图 为 底 面 的 四 棱 柱 ， 其 底 面 面 积 为 ： 3 6=18，前 后 侧 面 的 面 积 为 ： 3 6 2=36，
10、左 右 侧 面 的 面 积 为 ： 3 2 23 6 2=18 5，故 棱 柱 的 表 面 积 为 ： 18+36+9 5=54+18 5.答 案 ： B.11. 在 封 闭 的 直 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1内 有 一 个 体 积 为 V 的 球 ， 若 AB BC， AB=6， BC=8， AA1=3，则 V 的 最 大 值 是 ( )A.4B.92C.6D.323解 析 ： AB BC， AB=6， BC=8， AC=10.故 三 角 形 ABC的 内 切 圆 半 径 r=6 8 102 =2，又 由 AA 1=3，故 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 内 切 球 半 径
11、为 32 ，此 时 V的 最 大 值 43 (32 )3=92 .答 案 ： B.12. 已 知 O为 坐 标 原 点 ， F 是 椭 圆 C： 2 22 2 1x ya b (a b 0)的 左 焦 点 ， A， B 分 别 为 C的 左 ，右 顶 点 .P 为 C上 一 点 ， 且 PF x 轴 ， 过 点 A的 直 线 l 与 线 段 PF 交 于 点 M， 与 y 轴 交 于 点 E.若 直 线 BM 经 过 OE 的 中 点 ， 则 C 的 离 心 率 为 ( ) A.13B.12C.23D.34解 析 ： 由 题 意 可 设 F(-c， 0)， A(-a， 0)， B(a， 0)，
12、令 x=-c， 代 入 椭 圆 方 程 可 得 y= b 2 221 c ba a ， 可 得 P(-c， 2ba )，设 直 线 AE 的 方 程 为 y=k(x+a)，令 x=-c， 可 得 M(-c， k(a-c)， 令 x=0， 可 得 E(0， ka)，设 OE 的 中 点 为 H， 可 得 H(0， 2ka )，由 B， H， M三 点 共 线 ， 可 得 kBH=kBM，即 为 2ka k a ca c a ，化 简 可 得 12a ca c ， 即 为 a=3c， 可 得 e= 13ca .答 案 ： A.二 、 填 空 题 (共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分
13、 20分 )13. 设 x， y 满 足 约 束 条 件 2 1 02 1 01x yx yx ， 则 z=2x+3y-5 的 最 小 值 为 _.解 析 ： 由 约 束 条 件 2 1 02 1 01x yx yx 作 出 可 行 域 如 图 ， 联 立 2 1 02 1 0 x yx y = ， 解 得 11xy = ， 即 A(-1， -1).化 目 标 函 数 z=2x+3y-5 为 y=-23 x+3z +53.由 图 可 知 ， 当 直 线 y=-23 x+3z +53过 A时 ， 直 线 在 y轴 上 的 截 距 最 小 ， z有 最 小 值 为 2 (-1)+3 (-1)-5=
14、-10. 答 案 ： -10.14. 函 数 y=sinx- 3cosx 的 图 象 可 由 函 数 y=2sinx 的 图 象 至 少 向 右 平 移 _个 单 位 长 度得 到 .解 析 ： y=f（ x） =sinx+ 3cosx=2sin(x+ 3 )，令 f(x)=2sinx，则 f(x- )=2sin(x- )( 0)，依 题 意 可 得 2sin(x- )=2sin(x- 3 )，故 - =2k - 3 (k Z)， 即 =-2k + 3 (k Z)，当 k=0时 ， 正 数 min= 3 .答 案 ： 3 .15. 已 知 直 线 l： x- 3y+6=0 与 圆 x 2+y2
15、=12 交 于 A， B 两 点 ， 过 A， B 分 别 作 l 的 垂 线 与 x轴 交 于 C， D 两 点 .则 |CD|=_.解 析 ： 由 题 意 ， 圆 心 到 直 线 的 距 离 d= 61 3 =3， |AB|=2 12 9 =2 3， 直 线 l： x- 3y+6=0 直 线 l 的 倾 斜 角 为 30 ， 过 A， B 分 别 作 l 的 垂 线 与 x 轴 交 于 C， D两 点 ， |CD|=2 332 =4.答 案 ： 4.16. 已 知 f(x)为 偶 函 数 ， 当 x 0 时 ， f(x)=e-x-1-x， 则 曲 线 y=f(x)在 点 (1， 2)处 的
16、 切 线 方 程是 _.解 析 ： 已 知 f(x)为 偶 函 数 ， 当 x 0 时 ， f(x)=e -x-1-x，设 x 0， 则 -x 0， f(x)=f(-x)=ex-1+x，则 f (x)=ex-1+1， f (1)=e0+1=2. 曲 线 y=f(x)在 点 (1， 2)处 的 切 线 方 程 是 y-2=2(x-1).即 y=2x.答 案 ： y=2x.三 、 解 答 题 (共 5 小 题 ， 满 分 60分 )17. 已 知 各 项 都 为 正 数 的 数 列 an满 足 a1=1， an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求 a 2， a3；(2)求 an的
17、通 项 公 式 .解 析 ： (1)根 据 题 意 ， 由 数 列 的 递 推 公 式 ， 令 n=1 可 得 a12-(2a2-1)a1-2a2=0， 将 a1=1 代 入 可得 a2的 值 ， 进 而 令 n=2 可 得 a22-(2a3-1)a2-2a3=0， 将 a2=12 代 入 计 算 可 得 a3的 值 ， 即 可 得 答案 ；(2)根 据 题 意 ， 将 an2-(2an+1-1)an-2an+1=0 变 形 可 得 (an-2an+1)(an+an+1)=0， 进 而 分 析 可 得 an=2an+1或 a n=-an+1， 结 合 数 列 各 项 为 正 可 得 an=2a
18、n+1， 结 合 等 比 数 列 的 性 质 可 得 an是 首 项 为 a1=1，公 比 为 12 的 等 比 数 列 ， 由 等 比 数 列 的 通 项 公 式 计 算 可 得 答 案 .答 案 ： (1)根 据 题 意 ， an2-(2an+1-1)an-2an+1=0，当 n=1时 ， 有 a12-(2a2-1)a1-2a2=0，而 a1=1， 则 有 1-(2a2-1)-2a2=0， 解 可 得 a2=12 ，当 n=2时 ， 有 a 22-(2a3-1)a2-2a3=0，又 由 a2=12 ， 解 可 得 a3=14 ，故 a2=12 ， a3=14 ；(2)根 据 题 意 ， a
19、n2-(2an+1-1)an-2an+1=0，变 形 可 得 (an-2an+1)(an+1)=0，即 有 a n=2an+1或 an=-1，又 由 数 列 an各 项 都 为 正 数 ，则 有 an=2an+1，故 数 列 an是 首 项 为 a1=1， 公 比 为 12 的 等 比 数 列 ，则 an=1 (12 )n-1=12 n-1，故 a n=12 n-1.18. 如 图 是 我 国 2008年 至 2014年 生 活 垃 圾 无 害 化 处 理 量 (单 位 ： 亿 吨 )的 折 线 图 . 注 ： 年 份 代 码 1-7分 别 对 应 年 份 2008-2014.(1)由 折 线
20、 图 看 出 ， 可 用 线 性 回 归 模 型 拟 合 y 与 t 的 关 系 ， 请 用 相 关 系 数 加 以 证 明 ；(2)建 立 y 关 于 t 的 回 归 方 程 (系 数 精 确 到 0.01)， 预 测 2016 年 我 国 生 活 垃 圾 无 害 化 处 理 量 .附 注 ：参 考 数 据 ： 71 9.32ii y ， 71 40.17i ii t y ， 7 21 0.55ii y y ， 7 2.646.参 考 公 式 ： 1 2 21 1n i iin ni ii it yr t yy y -t -t ， 回 归 方 程 y a bt 中 斜 率 和 截 距 的 最
21、 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ： 1 21n i ii n ii t yb t y -t t ，a y bt .解 析 ： (1)由 折 线 图 看 出 ， y 与 t 之 间 存 在 较 强 的 正 相 关 关 系 ， 将 已 知 数 据 代 入 相 关 系 数 方程 ， 可 得 答 案 ；(2)根 据 已 知 中 的 数 据 ， 求 出 回 归 系 数 ， 可 得 回 归 方 程 ， 2016年 对 应 的 t值 为 9， 代 入 可 预测 2016年 我 国 生 活 垃 圾 无 害 化 处 理 量 .答 案 ： (1)由 折 线 图 看 出 ， y 与 t 之 间 存 在 较
22、 强 的 正 相 关 关 系 ， 理 由 如 下 ： 7 71 1 7 7 7 72 2 2 21 1 1 17 40.17 4 9.32 2.89 0.9962.91062 7 0.55i i i ii ii i i ii i i it y y tr t y t yy yy y - - -t tt t， 0.996 0.75，故 y 与 t 之 间 存 在 较 强 的 正 相 关 关 系 ； (2) 71 172 221 1 7 2.87 928n i i i ii in i ii it y y tt ty yb t tt - t 0.103，a y bt 1.331-0.103 4 0.9
23、2， y 关 于 t的 回 归 方 程 y =0.10t+0.92，2016年 对 应 的 t值 为 9，故 y =0.10 9+0.92=1.82，预 测 2016 年 我 国 生 活 垃 圾 无 害 化 处 理 量 为 1.82亿 吨 .19. 如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， PA 底 面 ABCD， AD BC， AB=AD=AC=3， PA=BC=4， M 为 线 段 AD上 一 点 ， AM=2MD， N 为 PC 的 中 点 .( )证 明 MN 平 面 PAB；( )求 四 面 体 N-BCM的 体 积 .解 析 ： ( )取 BC 中 点 E， 连 结 EN， E
24、M， 得 NE 是 PBC 的 中 位 线 ， 推 导 出 四 边 形 ABEM 是 平行 四 边 形 ， 由 此 能 证 明 MN 平 面 PAB. ( )取 AC 中 点 F， 连 结 NF， NF 是 PAC 的 中 位 线 ， 推 导 出 NF 面 ABCD， 延 长 BC 至 G， 使得 CG=AM， 连 结 GM， 则 四 边 形 AGCM是 平 行 四 边 形 ， 由 此 能 求 出 四 面 体 N-BCM 的 体 积 .答 案 ： ( )取 BC中 点 E， 连 结 EN， EM， N 为 PC 的 中 点 ， NE 是 PBC的 中 位 线 ， NE PB， 又 AD BC，
25、 BE AD， AB=AD=AC=3， PA=BC=4， M 为 线 段 AD上 一 点 ， AM=2MD， BE=12 BC=AM=2， 四 边 形 ABEM 是 平 行 四 边 形 ， EM AB， 平 面 NEM 平 面 PAB， MN平 面 NEM， MN 平 面 PAB.解 ： ( )取 AC 中 点 F， 连 结 NF， NF 是 PAC的 中 位 线 ， NF PA， NF=12 PA=2，又 PA 面 ABCD， NF 面 ABCD，如 图 ， 延 长 BC 至 G， 使 得 CG=AM， 连 结 GM， AM/CG， 四 边 形 AGCM是 平 行 四 边 形 ， AC=MG
26、=3，又 ME=3， EC=CG=2， MEG的 高 h= 5， S BCM=12 BC h=12 4 5=2 5， 四 面 体 N-BCM的 体 积 VN-BCM=13 S BCM NF=13 2 5 2=4 53 .20. 已 知 抛 物 线 C： y2=2x的 焦 点 为 F， 平 行 于 x 轴 的 两 条 直 线 l1， l2分 别 交 C于 A， B 两 点 ，交 C 的 准 线 于 P， Q 两 点 .( )若 F 在 线 段 AB 上 ， R是 PQ的 中 点 ， 证 明 AR FQ；( )若 PQF的 面 积 是 ABF 的 面 积 的 两 倍 ， 求 AB 中 点 的 轨
27、迹 方 程 .解 析 ： ( )连 接 RF， PF， 利 用 等 角 的 余 角 相 等 ， 证 明 PRA= PRF， 即 可 证 明 AR FQ；( )利 用 PQF 的 面 积 是 ABF 的 面 积 的 两 倍 ， 求 出 N的 坐 标 ， 利 用 点 差 法 求 AB中 点 的 轨 迹方 程 . 答 案 ： ( )证 明 ： 连 接 RF， PF， 由 AP=AF， BQ=BF 及 AP BQ， 得 AFP+ BFQ=90 ， PFQ=90 ， R 是 PQ 的 中 点 ， RF=RP=RQ， PAR FAR， PAR= FAR， PRA= FRA， BQF+ BFQ=180 -
28、QBF= PAF=2 PAR， FQB= PAR， PRA= PRF， AR FQ.( )设 A(x 1， y1)， B(x2， y2)，F(12 ， 0)， 准 线 为 x=-12 ，S PQF=12 |PQ|=12 |y1-y2|，设 直 线 AB 与 x 轴 交 点 为 N， S ABF=12 |FN|y1-y2|， PQF的 面 积 是 ABF 的 面 积 的 两 倍 ， 2|FN|=1， xN=1， 即 N(1， 0).设 AB 中 点 为 M(x， y)， 由 21 122 222y xy x 得 y12-y22=2(x1-x2)，又 1 21 2 1y y yx x x ， 11
29、yx y ， 即 y 2=x-1. AB 中 点 轨 迹 方 程 为 y2=x-1.21. 设 函 数 f(x)=lnx-x+1.(1)讨 论 f(x)的 单 调 性 ；(2)证 明 当 x (1， + )时 ， 11 x xlnx ；(3)设 c 1， 证 明 当 x (0， 1)时 ， 1+(c-1)x c x. 解 析 ： (1)求 出 导 数 ， 由 导 数 大 于 0， 可 得 增 区 间 ； 导 数 小 于 0， 可 得 减 区 间 ， 注 意 函 数 的 定义 域 ；(2)由 题 意 可 得 即 证 lnx x-1 xlnx.运 用 (1)的 单 调 性 可 得 lnx x-1，
30、 设 F(x)=xlnx-x+1，x 1， 求 出 单 调 性 ， 即 可 得 到 x-1 xlnx成 立 ；(3)设 G(x)=1+(c-1)x-cx， 求 出 导 数 ， 可 令 G (x)=0， 由 c 1， x (0， 1)， 可 得 1 1clnc c， 由 (1)可 得 c x= 1clnc 恰 有 一 解 ， 设 为 x=x0是 G(x)的 最 小 值 点 ， 运 用 最 值 ， 结 合 不 等 式的 性 质 ， 即 可 得 证 .答 案 ： (1)函 数 f(x)=lnx-x+1的 导 数 为 f (x)=1 1x ，由 f (x) 0， 可 得 0 x 1； 由 f (x)
31、0， 可 得 x 1.即 有 f(x)的 增 区 间 为 (0， 1)； 减 区 间 为 (1， + )；(2)证 明 ： 当 x (1， + )时 ， 1 1xlnx x， 即 为 lnx x-1 xlnx.由 (1)可 得 f(x)=lnx-x+1在 (1， + )递 减 ，可 得 f(x) f(1)=0， 即 有 lnx x-1；设 F(x)=xlnx-x+1， x 1， F (x)=1+lnx-1=lnx，当 x 1 时 ， F (x) 0， 可 得 F(x)递 增 ， 即 有 F(x) F(1)=0， 即 有 xlnx x-1， 则 原 不 等 式 成 立 ；(3)证 明 ： 设 G
32、(x)=1+(c-1)x-cx， G (x)=c-1-cxlnc，可 令 G (x)=0， 可 得 cx= 1clnc ，由 c 1， x (0， 1)， 可 得 1 cx c， 即 1 1clnc c，由 (1)可 得 c x= 1clnc 恰 有 一 解 ， 设 为 x=x0是 G(x)的 最 大 值 点 ， 且 0 x0 1，由 G(0)=G(1)=0， 且 G(x)在 (0， x0)递 增 ， 在 (x0， 1)递 减 ，可 得 G(x0)=1+(c-1)x0- 0 xc 0成 立 ，则 c 1， 当 x (0， 1)时 ， 1+(c-1)x cx.请 考 生 在 第 22-24 题
33、中 任 选 一 题 做 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 .选 修 4-1： 几 何证 明 选 讲 22. 如 图 ， O中 的 中 点 为 P， 弦 PC， PD分 别 交 AB于 E， F两 点 . (1)若 PFB=2 PCD， 求 PCD的 大 小 ；(2)若 EC 的 垂 直 平 分 线 与 FD 的 垂 直 平 分 线 交 于 点 G， 证 明 ： OG CD. 解 析 ： (1)连 接 PA， PB， BC， 设 PEB= 1， PCB= 2， ABC= 3， PBA= 4， PAB=5， 运 用 圆 的 性 质 和 四 点 共 圆 的 判 断
34、， 可 得 E， C， D， F 共 圆 ， 再 由 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 ， 即可 得 到 所 求 PCD的 度 数 ；(2)运 用 圆 的 定 义 和 E， C， D， F 共 圆 ， 可 得 G 为 圆 心 ， G在 CD的 中 垂 线 上 ， 即 可 得 证 .答 案 ： (1)解 ： 连 接 PB， BC，设 PEB= 1， PCB= 2， ABC= 3， PBA= 4， PAB= 5，由 O中 的 中 点 为 P， 可 得 4= 5，在 EBC中 ， 1= 2+ 3，又 D= 3+ 4， 2= 5，即 有 2= 4， 则 D= 1，则 四 点 E， C， D， F 共
35、 圆 ，可 得 EFD+ PCD=180 ，由 PFB= EFD=2 PCD，即 有 3 PCD=180 ，可 得 PCD=60 ；(2)证 明 ： 由 C， D， E， F共 圆 ，由 EC 的 垂 直 平 分 线 与 FD的 垂 直 平 分 线 交 于 点 G可 得 G为 圆 心 ， 即 有 GC=GD， 则 G 在 CD 的 中 垂 线 ， 又 CD 为 圆 G的 弦 ，则 OG CD.选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 23. 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C1的 参 数 方 程 为 3x cosy sin ( 为 参 数 )， 以 坐 标 原 点 为极
36、 点 ， 以 x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C 2的 极 坐 标 方 程 为 sin( + 4 )=2 2.(1)写 出 C1的 普 通 方 程 和 C2的 直 角 坐 标 方 程 ；(2)设 点 P 在 C1上 ， 点 Q 在 C2上 ， 求 |PQ|的 最 小 值 及 此 时 P 的 直 角 坐 标 .解 析 ： (1)运 用 两 边 平 方 和 同 角 的 平 方 关 系 ， 即 可 得 到 C1的 普 通 方 程 ， 运 用 x= cos ， y= sin ， 以 及 两 角 和 的 正 弦 公 式 ， 化 简 可 得 C2的 直 角 坐
37、标 方 程 ；(2)由 题 意 可 得 当 直 线 x+y-4=0 的 平 行 线 与 椭 圆 相 切 时 ， |PQ|取 得 最 值 .设 与 直 线 x+y-4=0平 行 的 直 线 方 程 为 x+y+t=0， 代 入 椭 圆 方 程 ， 运 用 判 别 式 为 0， 求 得 t， 再 由 平 行 线 的 距 离公 式 ， 可 得 |PQ|的 最 小 值 ， 解 方 程 可 得 P 的 直 角 坐 标 . 答 案 ： (1)曲 线 C1的 参 数 方 程 为 x= 3x cosy sin ( 为 参 数 )，移 项 后 两 边 平 方 可 得 23x +y2=cos2 +sin2 =1，
38、即 有 椭 圆 C 1： 23x +y2=1；曲 线 C2的 极 坐 标 方 程 为 sin( + 4 )=2 2，即 有 ( 22 sin + 22 cos )=2 2，由 x= cos ， y= sin ， 可 得 x+y-4=0，即 有 C 2的 直 角 坐 标 方 程 为 直 线 x+y-4=0；(2)由 题 意 可 得 当 直 线 x+y-4=0的 平 行 线 与 椭 圆 相 切 时 ，|PQ|取 得 最 值 .设 与 直 线 x+y-4=0平 行 的 直 线 方 程 为 x+y+t=0，联 立 2 2 03 3x y tx y 可 得 4x2+6tx+3t2-3=0，由 直 线 与
39、 椭 圆 相 切 ， 可 得 =36t 2-16(3t2-3)=0，解 得 t= 2，显 然 t=-2 时 ， |PQ|取 得 最 小 值 ，即 有 |PQ|= 4 2 =1 21 ，此 时 4x 2-12x+9=0， 解 得 x=32 ，即 为 P(32 ， 12 ).选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 24. 已 知 函 数 f(x)=|2x-a|+a.(1)当 a=2 时 ， 求 不 等 式 f(x) 6 的 解 集 ；(2)设 函 数 g(x)=|2x-1|， 当 x R时 ， f(x)+g(x) 3， 求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)当 a=2时 ， 由 已 知 得
40、 |2x-2|+2 6， 由 此 能 求 出 不 等 式 f(x) 6 的 解 集 .(2)由 f(x)+g(x)=|2x-1|+|2x-a|+a 3， 得 |x-12 +|x- 2a | 32a ， 由 此 能 求 出 a 的 取 值 范围 . 答 案 ： (1)当 a=2时 ， f(x)=|2x-2|+2， f(x) 6， |2x-2|+2 6，|2x-2| 4， |x-1| 2， -2 x-1 2，解 得 -1 x 3， 不 等 式 f(x) 6 的 解 集 为 x|-1 x 3.(2) g(x)=|2x-1|， f(x)+g(x)=|2x-1|+|2x-a|+a 3，2|x-12 |+2|x- 2a |+a 3，|x-12 |+|x- 2a | 32a ，当 a 3 时 ， 成 立 ，当 a 3 时 ， 12 |a-1| 32a 0， (a-1) 2 (3-a)2，解 得 2 a 3， a 的 取 值 范 围 是 2， + ).
