1、2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (新 课 标 )数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 .1. 设 集 合 A=x|x2-4x+3 0， B=x|2x-3 0， 则 A B=( )A.(-3， 32 )B.(-3， 32 ) C.(1， 32 )D.( 32 ， 3)解 析 ： 集 合 A=x|x2-4x+3 0=(1， 3)，B=x|2x-3 0=( 32 ， + )， A B=( 32 ， 3).答 案 ：
2、D 2. 设 (1+i)x=1+yi， 其 中 x， y 是 实 数 ， 则 |x+yi|=( )A.1B. 2C. 3D.2解 析 ： 根 据 复 数 相 等 求 出 x， y 的 值 ， 结 合 复 数 的 模 长 公 式 进 行 计 算 即 可 . (1+i)x=1+yi， 1xy x ， 解 得 11xy ， 即 |x+yi|=|1+i|= 2 .答 案 ： B. 3. 已 知 等 差 数 列 an前 9项 的 和 为 27， a10=8， 则 a100=( )A.100B.99 C.98D.97解 析 ： 等 差 数 列 an前 9 项 的 和 为 27， 9a5=27， a5=3，
3、又 a10=8， d=1， a100=a5+95d=98.答 案 ： C4. 某 公 司 的 班 车 在 7： 00， 8： 00， 8： 30发 车 ， 小 明 在 7： 50至 8： 30 之 间 到 达 发 车 站 乘坐 班 车 ， 且 到 达 发 车 站 的 时 刻 是 随 机 的 ， 则 他 等 车 时 间 不 超 过 10 分 钟 的 概 率 是 ( )A.13 B. 12C. 23D. 34解 析 ： 设 小 明 到 达 时 间 为 y，当 y 在 7： 50 至 8： 00， 或 8： 20至 8： 30时 ，小 明 等 车 时 间 不 超 过 10 分 钟 ，故 204 12
4、0P . 答 案 ： B5. 已 知 方 程 2 22 2 13x ym n m n 表 示 双 曲 线 ， 且 该 双 曲 线 两 焦 点 间 的 距 离 为 4， 则 n 的 取值 范 围 是 ( )A.(-1， 3)B.(-1， 3 )C.(0， 3)D.(0， 3 )解 析 ： 双 曲 线 两 焦 点 间 的 距 离 为 4， c=2， 可 得 ： 4=(m2+n)+(3m2-n)， 解 得 ： m2=1， 方 程 2 22 2 13x ym n m n 表 示 双 曲 线 ， (m2+n)(3m2-n) 0， 可 得 ： (n+1)(3-n) 0，解 得 ： -1 n 3， 即 n
5、的 取 值 范 围 是 ： (-1， 3).答 案 ： A.6. 如 图 ， 某 几 何 体 的 三 视 图 是 三 个 半 径 相 等 的 圆 及 每 个 圆 中 两 条 相 互 垂 直 的 半 径 .若 该 几 何体 的 体 积 是 283 ， 则 它 的 表 面 积 是 ( ) A.17B.18C.20D.28解 析 ： 由 题 意 可 知 三 视 图 复 原 的 几 何 体 是 一 个 球 去 掉 18 后 的 几 何 体 ， 如 图 ：可 得 ： 37 4 288 3 3R ， R=2. 它 的 表 面 积 是 ： 2 2347 4 2 2 178 .答 案 ： A.7. 函 数 y
6、=2x2-e|x|在 -2， 2的 图 象 大 致 为 ( ) A.B. C.D.解 析 ： f(x)=y=2x 2-e|x|， f(-x)=2(-x)2-e|-x|=2x2-e|x|，故 函 数 为 偶 函 数 ，当 x= 2 时 ， y=8-e2 (0， 1)， 故 排 除 A， B；当 x 0， 2时 ， f(x)=y=2x2-ex， f (x)=4x-ex=0 有 解 ，故 函 数 y=2x2-e|x|在 0， 2不 是 单 调 的 ， 故 排 除 C. 正 确 的 是 D.答 案 ： D8. 若 a b 1， 0 c 1， 则 ( )A.a c bcB.abc bacC.alogbc
7、 blogacD.logac logbc解 析 ： a b 1， 0 c 1， 函 数 f(x)=xc在 (0， + )上 为 增 函 数 ， 故 ac bc， 故 A错 误 ；函 数 f(x)=xc-1在 (0， + )上 为 减 函 数 ， 故 ac-1 bc-1， 故 bac abc， 即 abc bac； 故 B错 误 ；logac 0， 且 logbc 0， logab 1， 即 1c ac blog b log clog a log c ， 即 logac logbc.故 D错 误 ；0 -logac -logbc， 故 -blogac -alogbc， 即 blogac alog
8、bc， 即 alogbc blogac， 故 C 正 确 .答 案 ： C9. 执 行 如 图 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 x=0， y=1， n=1， 则 输 出 x， y 的 值 满 足 ( ) A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x解 析 ： 由 已 知 中 的 程 序 框 图 可 知 ： 该 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量 x， y 的 值 ，模 拟 程 序 的 运 行 过 程 ， 分 析 循 环 中 各 变 量 值 的 变 化 情 况 ， 可 得 答 案 .输 入 x=0， y=1， n=1，则 x=0， y=1，
9、 不 满 足 x 2+y2 36， 故 n=2，则 x= 12 ， y=2， 不 满 足 x2+y2 36， 故 n=3，则 x= 32 ， y=6， 满 足 x2+y2 36，故 y=4x.答 案 ： C10. 以 抛 物 线 C的 顶 点 为 圆 心 的 圆 交 C于 A、 B两 点 ， 交 C的 准 线 于 D、 E两 点 .已 知 |AB|=4 2 ， |DE|=2 5 ， 则 C 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为 ( ) A.2B.4C.6D.8解 析 ： 设 抛 物 线 为 y2=2px， 如 图 ： |AB|=4 2 ， |AM|=2 2 ，|DE|=2 5 ， |DN|=
10、 5 ， |ON|= 2p ， 22 42 2Ax p p ，|OD|=|OA|， 2216 8 54pp ，解 得 ： p=4. C的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为 ： 4.答 案 ： B.11. 平 面 过 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1的 顶 点 A， 平 面 CB1D1， 平 面 ABCD=m， 平 面ABB1A1=n， 则 m、 n 所 成 角 的 正 弦 值 为 ( )A. 32B. 22 C. 33 D.13解 析 ： 如 图 ： 平 面 CB1D1， 平 面 ABCD=m， 平 面 ABB1A1=n， 可 知 ： n CD1， m B1D1， CB1D1是 正 三
11、 角 形 .m、 n 所 成 角 就 是 CD1B1=60 .则 m、 n 所 成 角 的 正 弦 值 为 ： 32 .答 案 ： A.12. 已 知 函 数 f(x)=sin( x+ )( 0， | | 2 )， 4x 为 f(x)的 零 点 ， 4x 为y=f(x)图 象 的 对 称 轴 ， 且 f(x)在 (18 ， 536 )单 调 ， 则 的 最 大 值 为 ( )A.11 B.9C.7D.5解 析 ： 解 法 一 ： 4x 为 f(x)的 零 点 ， 4x 为 y=f(x)图 象 的 对 称 轴 ， 2 14 2n T ， 即 2 1 24 2n ， (n N)即 =2n+1， (
12、n N)即 为 正 奇 数 ， f(x)在 (18 ， 536 )则 536 18 12 2T ， 即 2 6T ， 解 得 ： 12， 当 =11时 ， 114 k ， k Z， | | 2 ， = 4 ，此 时 f(x)在 (18 ， 536 )不 单 调 ， 不 满 足 题 意 ；当 =9时 ， 94 k ， k Z， | | 2 ， = 4 ，此 时 f(x)在 (18 ， 536 )单 调 ， 满 足 题 意 ；故 的 最 大 值 为 9.解 法 二 ： 4x 为 f(x)的 零 点 ， 4x 为 y=f(x)图 象 的 对 称 轴 ， 4 24 kk ， (k Z)， 4 k ，又
13、 | | 2 ， = 4 ，由 解 法 一 可 得 ： =2n+1， (n N) f(x)在 (18 ， 536 )单 调 ， 5 236 2 1 42 118 2 1 4kn kn ， 即 1 2 1187 2 1 172k nk n (k， n Z)，解 得 ： 06514kn ， 故 n 的 最 大 值 为 4，故 =2n+1 9.答 案 ： B 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 .13. 设 向 量 a =(m， 1)， b =(1， 2)， 且 2 2 2a b a b ， 则 m= .解 析 ： 2 2 2a b a b ，
14、可 得 0a b .向 量 a =(m， 1)， b =(1， 2)，可 得 m+2=0， 解 得 m=-2.答 案 ： -2. 14. (2x+ x )5的 展 开 式 中 ， x3的 系 数 是 .(用 数 字 填 写 答 案 )解 析 ： 利 用 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 求 出 第 r+1项 ， 令 x 的 指 数 为 3， 求 出 r， 即 可 求 出 展 开式 中 x3的 系 数 .(2x+ x )5的 展 开 式 中 ， 通 项 公 式 为 ： 55 5 21 5 52 2 rrrr r rrT C x x C x ，令 5 32r ， 解 得 r=4 x 3的 系
15、 数 452 10C .答 案 ： 10.15. 设 等 比 数 列 an满 足 a1+a3=10， a2+a4=5， 则 a1a2 an的 最 大 值 为 .解 析 ： 等 比 数 列 an满 足 a1+a3=10， a2+a4=5， 可 得 q(a1+a3)=5， 解 得 q= 12 .a1+q2a1=10， 解 得 a1=8.则 a1a2 an=a1n q1+2+3+ +(n-1)= 2 21 72 3 2 28 212 2n n n n n nnn ，当 n=3或 4时 ， 表 达 式 取 得 最 大 值 ： 1222 64 .答 案 ： 64.16. 某 高 科 技 企 业 生 产
16、产 品 A 和 产 品 B 需 要 甲 、 乙 两 种 新 型 材 料 .生 产 一 件 产 品 A需 要 甲 材料 1.5kg， 乙 材 料 1kg， 用 5个 工 时 ； 生 产 一 件 产 品 B 需 要 甲 材 料 0.5kg， 乙 材 料 0.3kg， 用3个 工 时 ， 生 产 一 件 产 品 A 的 利 润 为 2100元 ， 生 产 一 件 产 品 B 的 利 润 为 900 元 .该 企 业 现 有 甲 材 料 150kg， 乙 材 料 90kg， 则 在 不 超 过 600个 工 时 的 条 件 下 ， 生 产 产 品 A、 产 品 B的 利 润之 和 的 最 大 值 为
17、元 .解 析 ： 甲 、 乙 两 种 两 种 新 型 材 料 ， 设 A、 B 两 种 产 品 分 别 是 x 件 和 y 件 ， 获 利 为 z 元 .由 题 意 ， 得 1.5 0.5 1500.3 905 3 600 x N y Nx yx yx y ， ， z=2100 x+900y.不 等 式 组 表 示 的 可 行 域 如 图 ： 由 题 意 可 得 0.3 905 3 600 x yx y ， 解 得 ： 60100 xy ， A(60， 100)，目 标 函 数 z=2100 x+900y.经 过 A 时 ， 直 线 的 截 距 最 大 ， 目 标 函 数 取 得 最 大 值
18、： 2100 60+900 100=216000 元 .答 案 ： 216000. 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5小 题 ， 满 分 60分 ， 解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17. ABC的 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 2cosC(acosB+bcosA)=c.( )求 C.解 析 ： ( )已 知 等 式 利 用 正 弦 定 理 化 简 ， 整 理 后 利 用 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 公 式 及 诱 导 公 式化 简 ， 根 据 sinC不 为 0 求 出 cosC的
19、值 ， 即 可 确 定 出 出 C的 度 数 .答 案 ： ( )已 知 等 式 利 用 正 弦 定 理 化 简 得 ： 2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，整 理 得 ： 2cosCsin(A+B)=sinC， sinC 0， sin(A+B)=sinC cosC= 12 ， 又 0 C ， C= 3 .( )若 c= 7 ， ABC的 面 积 为 3 32 ， 求 ABC的 周 长 .解 析 ： ( )利 用 余 弦 定 理 列 出 关 系 式 ， 利 用 三 角 形 面 积 公 式 列 出 关 系 式 ， 求 出 a+b 的 值 ， 即可 求 ABC的 周 长 .
20、答 案 ： ( )由 余 弦 定 理 得 2 27 122a b ab ， (a+b)2-3ab=7， 1 3 3 32 4 2S absinC ab ， ab=6， (a+b)2-18=7， a+b=5， ABC的 周 长 为 5+ 7 .18. 如 图 ， 在 以 A， B， C， D， E， F 为 顶 点 的 五 面 体 中 ， 面 ABEF为 正 方 形 ， AF=2FD， AFD=90 ，且 二 面 角 D-AF-E与 二 面 角 C-BE-F都 是 60 . ( )证 明 平 面 ABEF 平 面 EFDC.解 析 ： ( )证 明 AF 平 面 EFDC， 利 用 平 面 与
21、平 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 平 面 ABEF 平 面 EFDC.答 案 ： ( ) ABEF为 正 方 形 ， AF EF. AFD=90 ， AF DF， DF EF=F， AF 平 面 EFDC， AF平 面 ABEF， 平 面 ABEF 平 面 EFDC.( )求 二 面 角 E-BC-A的 余 弦 值 .解 析 ： ( )证 明 四 边 形 EFDC为 等 腰 梯 形 ， 以 E 为 原 点 ， 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 ， 求 出 平 面BEC、 平 面 ABC 的 法 向 量 ， 代 入 向 量 夹 角 公 式 可 得 二 面 角 E-BC-A 的 余
22、 弦 值 .答 案 ： ( )由 AF DF， AF EF， 可 得 DFE为 二 面 角 D-AF-E 的 平 面 角 ；由 CE BE， BE EF，可 得 CEF为 二 面 角 C-BE-F 的 平 面 角 .可 得 DFE= CEF=60 . AB EF， AB平 面 EFDC， EF平 面 EFDC， AB 平 面 EFDC， 平 面 EFDC 平 面 ABCD=CD， AB平 面 ABCD， AB CD， CD EF， 四 边 形 EFDC 为 等 腰 梯 形 .以 E 为 原 点 ， 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 ， 设 FD=a， 则 E(0， 0， 0)， B(0，
23、 2a， 0)， C( 2a ， 0， 32 a)， A(2a， 2a， 0)， (0 2 )0EB a ， ， ， 22 3( )2aBC a a ， ， ， 2 0 )0(AB a ， ，设 平 面 BEC的 法 向 量 为 1 1 1( )m x y z ， ， ， 则 00m EBm BC ， 则 11 1 12 02 02 32aya x ay az ， 取 ( 3 0 1)m ， ， .设 平 面 ABC的 法 向 量 为 2 2 2( )n x y z ， ， ， 则 00n BCn AB ，则 2 2 22 22 022 0 3a x ay azax ， 取 4( 3 )0n
24、， ， .设 二 面 角 E-BC-A的 大 小 为 ， 则 4 2 19193 1 3 16m ncos m n ， 则 二 面 角 E-BC-A的 余 弦 值 为 2 1919 .19. 某 公 司 计 划 购 买 2 台 机 器 ， 该 种 机 器 使 用 三 年 后 即 被 淘 汰 .机 器 有 一 易 损 零 件 ， 在 购 进机 器 时 ， 可 以 额 外 购 买 这 种 零 件 作 为 备 件 ， 每 个 200元 .在 机 器 使 用 期 间 ， 如 果 备 件 不 足 再购 买 ， 则 每 个 500元 .现 需 决 策 在 购 买 机 器 时 应 同 时 购 买 几 个 易
25、 损 零 件 ， 为 此 搜 集 并 整 理 了100台 这 种 机 器 在 三 年 使 用 期 内 更 换 的 易 损 零 件 数 ， 得 如 图 柱 状 图 ：以 这 100台 机 器 更 换 的 易 损 零 件 数 的 频 率 代 替 1 台 机 器 更 换 的 易 损 零 件 数 发 生 的 概 率 ， 记 X表 示 2台 机 器 三 年 内 共 需 更 换 的 易 损 零 件 数 ， n表 示 购 买 2台 机 器 的 同 时 购 买 的 易 损 零 件 数 . ( )求 X 的 分 布 列 .解 析 ： ( )由 已 知 得 X 的 可 能 取 值 为 16， 17， 18， 19
26、， 20， 21， 22， 分 别 求 出 相 应 的 概 率 ，由 此 能 求 出 X 的 分 布 列 .答 案 ： ( )由 已 知 得 X 的 可 能 取 值 为 16， 17， 18， 19， 20， 21， 22， 220 116 100 25P X ， 20 40 417 2100 100 25P X ， 2 240 20 618 2100 100 25P X ， 240 20 20 619 2 2100 100 100 25P X ， 220 40 20 5 120 2100 100 100 25 5P X ， 220 221 2 100 25P X ， 220 122 100
27、25P X ， X 的 分 布 列 为 ：( )若 要 求 P(X n) 0.5， 确 定 n的 最 小 值 .解 析 ： ( )由 X的 分 布 列 求 出 P(X 18)= 1125 ， P(X 19)=1725 .由 此 能 确 定 满 足 P(X n) 0.5中 n 的 最 小 值 .答 案 ： ( )由 ( )知 ： P(X 18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18) 1 4 6 1125 25 25 25 .P(X 19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19) 1 4 6 6 1725 25 25 25 25 . P(X n) 0.5中 ， n
28、 的 最 小 值 为 19.( )以 购 买 易 损 零 件 所 需 费 用 的 期 望 值 为 决 策 依 据 ， 在 n=19 与 n=20 之 中 选 其 一 ， 应 选 用 哪个 ？解 析 ： ( )由 X 的 分 布 列 得 P(X 19)=1725 .求 出 买 19 个 所 需 费 用 期 望 EX 1和 买 20 个 所 需 费用 期 望 EX2， 由 此 能 求 出 买 19个 更 合 适 .答 案 ： ( ) 由 ( ) 得 P(X 19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19) 1 4 6 6 1725 25 25 25 25 .买 19 个 所
29、需 费 用 期 望 ：EX1=200 19 1725 +(200 19+500) 525 +(200 19+500 2) 225 +(200 19+500 3)125 =4040，买 20 个 所 需 费 用 期 望 ：EX 2=200 20 2225 +(200 20+500) 225 +(200 20+2 500) 125 =4080， EX1 EX2， 买 19个 更 合 适 .20. 设 圆 x2+y2+2x-15=0的 圆 心 为 A， 直 线 l 过 点 B(1， 0)且 与 x轴 不 重 合 ， l 交 圆 A 于 C， D两 点 ， 过 B作 AC的 平 行 线 交 AD 于
30、点 E.( )证 明 |EA|+|EB|为 定 值 ， 并 写 出 点 E 的 轨 迹 方 程 .解 析 ： ( )求 得 圆 A的 圆 心 和 半 径 ， 运 用 直 线 平 行 的 性 质 和 等 腰 三 角 形 的 性 质 ， 可 得 EB=ED，再 由 圆 的 定 义 和 椭 圆 的 定 义 ， 可 得 E 的 轨 迹 为 以 A， B 为 焦 点 的 椭 圆 ， 求 得 a， b， c， 即 可得 到 所 求 轨 迹 方 程 .答 案 ： ( )圆 x 2+y2+2x-15=0 即 为 (x+1)2+y2=16，可 得 圆 心 A(-1， 0)， 半 径 r=4， 由 BE AC，
31、可 得 C= EBD，由 AC=AD， 可 得 D= C，即 为 D= EBD， 即 有 EB=ED，则 |EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故 E 的 轨 迹 为 以 A， B 为 焦 点 的 椭 圆 ，且 有 2a=4， 即 a=2， c=1， 2 2 3b a c ， 则 点 E的 轨 迹 方 程 为 2 2 14 3x y (y 0).( )设 点 E 的 轨 迹 为 曲 线 C1， 直 线 l 交 C1于 M， N两 点 ， 过 B 且 与 l 垂 直 的 直 线 与 圆 A 交 于P， Q 两 点 ， 求 四 边 形 MPNQ面 积 的 取 值 范 围 .解 析
32、： ( )设 直 线 l： x=my+1， 代 入 椭 圆 方 程 ， 运 用 韦 达 定 理 和 弦 长 公 式 ， 可 得 |MN|， 由 PQ l， 设 PQ： y=-m(x-1)， 求 得 A 到 PQ的 距 离 ， 再 由 圆 的 弦 长 公 式 可 得 |PQ|， 再 由 四 边 形 的面 积 公 式 ， 化 简 整 理 ， 运 用 不 等 式 的 性 质 ， 即 可 得 到 所 求 范 围 .答 案 ： ( )椭 圆 C 1： 2 2 14 3x y ， 设 直 线 l： x=my+1，由 PQ l， 设 PQ： y=-m(x-1)，由 2 213 4 12x myx y 可 得
33、 (3m2+4)y2+6my-9=0，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，可 得 1 2 263 4my y m ， 1 2 293 4y y m ，则 22 21 2 2 2236 361 1 3 43 4mMN m y y m mm 2 22 2 236 4 4 11 123 4 3 4m mm m m ，A到 PQ的 距 离 为 2 21 1 21 1m md m m ，2 22 2 2 24 4 3 42 2 16 1 1m mPQ r d m m ，则 四 边 形 MPNQ 面 积 为 2 2 222 2 24 3 4 1 1 112 24 24 131 1 41 3 4
34、32 2 1m m mS PQ MN mm m m ， 当 m=0时 ， S 取 得 最 小 值 12， 又 21 01 m ， 可 得 3324 38S ，即 有 四 边 形 MPNQ面 积 的 取 值 范 围 是 12， 8 3).21. 已 知 函 数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有 两 个 零 点 . ( )求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )由 函 数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2可 得 ： f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)， 对a进 行 分 类 讨 论 ， 综 合 讨 论 结 果 ， 可 得 答 案 .答 案
35、： ( ) 函 数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2， f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)， a=0， 那 么 f(x)=0(x-2)ex=0 x=2，函 数 f(x)只 有 唯 一 的 零 点 2， 不 合 题 意 ； 若 a 0， 那 么 e x+2a 0 恒 成 立 ，当 x 1 时 ， f (x) 0， 此 时 函 数 为 减 函 数 ；当 x 1 时 ， f (x) 0， 此 时 函 数 为 增 函 数 ；此 时 当 x=1时 ， 函 数 f(x)取 极 小 值 -e，由 f(2)=a 0， 可 得 ： 函 数 f(x)在 x 1 存 在 一
36、 个 零 点 ；当 x 1 时 ， ex e， x-2 -1 0， f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2 (x-2)e+a(x-1)2=a(x-1)2+e(x-1)-e，令 a(x-1) 2+e(x-1)-e=0的 两 根 为 t1， t2， 且 t1 t2，则 当 x t1， 或 x t2时 ， f(x) a(x-1)2+e(x-1)-e 0，故 函 数 f(x)在 x 1存 在 一 个 零 点 ；即 函 数 f(x)在 R是 存 在 两 个 零 点 ， 满 足 题 意 ； 若 02e a ， 则 ln(-2a) lne=1，当 x ln(-2a)时 ， x-1 ln(-2a)-1 ln
37、e-1=0，e x+2a eln(-2a)+2a=0，即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0 恒 成 立 ， 故 f(x)单 调 递 增 ，当 ln(-2a) x 1 时 ， x-1 0， ex+2a eln(-2a)+2a=0，即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0 恒 成 立 ， 故 f(x)单 调 递 减 ，当 x 1 时 ， x-1 0， ex+2a eln(-2a)+2a=0，即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0 恒 成 立 ， 故 f(x)单 调 递 增 ，故 当 x=ln(-2a)时 ， 函 数 取 极 大 值 ，由 f(ln(-2a)=ln(-2a)-2(-
38、2a)+aln(-2a)-1 2=aln(-2a)-12+1 0 得 ：函 数 f(x)在 R 上 至 多 存 在 一 个 零 点 ， 不 合 题 意 ； 若 2ea ， 则 ln(-2a)=1，当 x 1=ln(-2a)时 ， x-1 0， ex+2a eln(-2a)+2a=0，即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0 恒 成 立 ， 故 f(x)单 调 递 增 ，当 x 1 时 ， x-1 0， e x+2a eln(-2a)+2a=0，即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0 恒 成 立 ， 故 f(x)单 调 递 增 ，故 函 数 f(x)在 R上 单 调 递 增 ，函 数
39、f(x)在 R 上 至 多 存 在 一 个 零 点 ， 不 合 题 意 ； 若 2ea ， 则 ln(-2a) lne=1， 当 x 1 时 ， x-1 0， ex+2a eln(-2a)+2a=0，即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0 恒 成 立 ， 故 f(x)单 调 递 增 ，当 1 x ln(-2a)时 ， x-1 0， ex+2a eln(-2a)+2a=0，即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0 恒 成 立 ， 故 f(x)单 调 递 减 ，当 x ln(-2a)时 ， x-1 0， ex+2a eln(-2a)+2a=0，即 f (x)=(x-1)(ex+2a) 0
40、 恒 成 立 ， 故 f(x)单 调 递 增 ，故 当 x=1时 ， 函 数 取 极 大 值 ，由 f(1)=-e 0 得 ：函 数 f(x)在 R 上 至 多 存 在 一 个 零 点 ， 不 合 题 意 ；综 上 所 述 ， a 的 取 值 范 围 为 (0， + ).( )设 x 1， x2是 f(x)的 两 个 零 点 ， 证 明 ： x1+x2 2.解 析 ： ( )设 x1 ， x2 是 f(x)的 两 个 零 点 ， 则 1 21 22 21 22 21 1x xx e x ea x x ， 令 221 xx eg x x ， 则 g(x1)=g(x2)=-a ， 分 析 g(x)
41、 的 单 调 性 ， 令 m 0 ， 则 1 221 11 1 11m mm mg m g m e em m ， 设 21 11 mmh m em ， m 0， 利 用 导数 法 可 得 h(m) h(0)=0 恒 成 立 ， 即 g(1+m) g(1-m)恒 成 立 ， 令 m=1-x 1 0， 可 得 结 论 .答 案 ： ( ) x1， x2是 f(x)的 两 个 零 点 ， f(x1)=f(x2)=0， 且 x1 1， 且 x2 1， 1 21 22 21 22 21 1x xx e x ea x x ，令 221 xx eg x x ， 则 g(x 1)=g(x2)=-a， 2 32
42、 11 xx eg x x ， 当 x 1 时 ， g (x) 0， g(x)单 调 递 减 ；当 x 1 时 ， g (x) 0， g(x)单 调 递 增 ；设 m 0， 则 1 1 1 22 2 21 1 1 11 1 11m m m mm m m mg m g m e e e em m m m ，设 21 11 mmh m em ， m 0， 则 2 222 01 mmh m em 恒 成 立 ， 即 h(m)在 (0， + )上 为 增 函 数 ，h(m) h(0)=0 恒 成 立 ，即 g(1+m) g(1-m)恒 成 立 ，令 m=1-x1 0，则 g(1+1-x1) g(1-1+
43、x1)g(2-x1) g(x1)=g(x2)2-x1 x2，即 x1+x2 2.请 考 生 在 22、 23、 24 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 .选 修 4-1：几 何 证 明 选 讲 22. 如 图 ， OAB是 等 腰 三 角 形 ， AOB=120 .以 O为 圆 心 ， 12 OA 为 半 径 作 圆 . ( )证 明 ： 直 线 AB 与 O相 切 .解 析 ： ( )设 K 为 AB 中 点 ， 连 结 OK.根 据 等 腰 三 角 形 AOB 的 性 质 知 OK AB， A=30 ，OK=OAsin30 =
44、12 OA， 则 AB 是 圆 O 的 切 线 .答 案 ： ( )设 K为 AB中 点 ， 连 结 OK， OA=OB， AOB=120 ， OK AB， A=30 ， OK=OAsin30 = 12 OA， 直 线 AB 与 O相 切 .( )点 C， D 在 O 上 ， 且 A， B， C， D四 点 共 圆 ， 证 明 ： AB CD. 解 析 ： ( )设 圆 心 为 T， 证 明 OT 为 AB的 中 垂 线 ， OT为 CD的 中 垂 线 ， 即 可 证 明 结 论 .答 案 ： ( )因 为 OA=2OD， 所 以 O 不 是 A， B， C， D 四 点 所 在 圆 的 圆
45、心 .设 T 是 A， B， C， D四点 所 在 圆 的 圆 心 . OA=OB， TA=TB， OT 为 AB的 中 垂 线 ，同 理 ， OC=OD， TC=TD， OT 为 CD的 中 垂 线 ， AB CD.选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 23. 在 直 线 坐 标 系 xOy中 ， 曲 线 C1的 参 数 方 程 为 1x acosty asint (t 为 参 数 ， a 0).在 以 坐 标原 点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 C2： =4cos .( )说 明 C1是 哪 一 种 曲 线 ， 并 将 C1的
46、 方 程 化 为 极 坐 标 方 程 .解 析 ： ( )把 曲 线 C1的 参 数 方 程 变 形 ， 然 后 两 边 平 方 作 和 即 可 得 到 普 通 方 程 ， 可 知 曲 线 C1是 圆 ， 化 为 一 般 式 ， 结 合 x2+y2= 2， y= sin 化 为 极 坐 标 方 程 .答 案 ： ( )由 1x acosty asint ， 得 1x acosty asint ， 两 式 平 方 相 加 得 ， x 2+(y-1)2=a2. C1为 以 (0， 1)为 圆 心 ， 以 a为 半 径 的 圆 .化 为 一 般 式 ： x2+y2-2y+1-a2=0.由 x2+y2
47、= 2， y= sin ， 得 2-2 sin +1-a2=0.( )直 线 C 3的 极 坐 标 方 程 为 = 0， 其 中 0满 足 tan 0=2， 若 曲 线 C1与 C2的 公 共 点 都 在 C3上 ， 求 a.解 析 ： ( )化 曲 线 C2、 C3的 极 坐 标 方 程 为 直 角 坐 标 方 程 ， 由 条 件 可 知 y=x 为 圆 C1与 C2的 公共 弦 所 在 直 线 方 程 ， 把 C1与 C2的 方 程 作 差 ， 结 合 公 共 弦 所 在 直 线 方 程 为 y=x 可 得 1-a2=0，则 a 值 可 求 .答 案 ： ( )C2： =4cos ， 两
48、边 同 时 乘 得 2=4 cos ， x2+y2=4x， 即 (x-2) 2+y2=4.由 C3： = 0， 其 中 0满 足 tan 0=2， 得 y=2x， 曲 线 C1与 C2的 公 共 点 都 在 C3上 ， y=2x为 圆 C1与 C2的 公 共 弦 所 在 直 线 方 程 ， - 得 ： 4x-2y+1-a2=0， 即 为 C3， 1-a2=0， a 0 a=1.选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 24. 已 知 函 数 f(x)=|x+1|-|2x-3|. ( )在 图 中 画 出 y=f(x)的 图 象 .解 析 ： ( )运 用 分 段 函 数 的 形 式 写 出 f(x)的 解 析 式 ， 由 分 段 函 数 的 画 法 ， 即 可 得 到 所 求 图象 .答 案 ： ( ) 4 13 2 14 3232x xf x x xx x ， ， ， ，由 分 段 函 数 的 图 象 画 法 ， 可 得 f(x)的 图 象 ， 如 图 ： ( )求 不 等 式 |
