1、2 0 1 6年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学理一、选择题：本大题共1 0小题，每小题5分，共5 0分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1 .若复数z满足2 3 2z z i ，其中i为虚数单位，则z=( )A.1 +2 iB.1 -2 iC.-1 +2 iD.-1 -2 i解析：复数z满足2 3 2z z i ， 设z=a+bi，可得：2 a+2 bi+a-bi=3 -2 i.解得a=1，b=-2 .z=1 -2 i.答案：B.2 .设集合A=y|y=2 x，xR，B=x|x2 -10 ，则AB=( )A.(-1，1 )B.(0，1 )C.(-1，+)D.(0，+)
2、解析：A=y|y=2 x，xR=(0，+)，B=x|x2 -10 =(-1，1 )，AB=(0，+)(-1，1 )=(-1，+).答案：C.3 .某高校调查了2 0 0名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是1 7 .5，3 0 ，样本数据分组为1 7 .5，2 0 )，2 0，2 2 .5 )，2 2 .5，2 5 )，2 5，2 7 .5 )，2 7 .5，3 0 .根据直方图，这2 0 0名学生中每周的自习时间不少于2 2 .5小时的人数是( ) A.5 6B.6 0C.1 2 0 D.1 4 0解析：自习时间不少于2 2 .5小时的频率为
3、：(0 .1 6 +0 .0 8 +0 .0 4 )2 .5 =0 .7，故自习时间不少于2 2 .5小时的频率为：0 .72 0 0 =1 4 0，答案：D4 .若变量x，y满足22 3 90 x yx yx ，则x2 +y2的最大值是( )A.4B.9C.1 0D.1 2 解析：由约束条件22 3 90 x yx yx 作出可行域如图，A(0，-3 )，C(0，2 )， |OA|OC|，联立22 3 9x yx y，解得B(3，-1 ). 22 223 1 10OB ，x2 +y2的最大值是1 0 .答案：C.5 .一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )
4、 A. 1 23 3B. 213 3 C. 213 6 D. 21 6 解析：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线， 由棱锥的底底面棱长为1，可得2 R= 2 .故R= 22，故半球的体积为：32 223 2 6 ，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积13V ，故组合体的体积为：213 6 ，答案：C 6 .已知直线a，b分别在两个不同的平面，内.则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：当“直线a和直线b相交”时，“平面和平面相交”成立，当“
5、平面和平面相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件，答案：A7 .函数3 3f x sinx cosx cosx sinx （）（）（）的最小正周期是( )A. 2B.C. 32 D.2解析：函数3 3 2 2 2 26 6 3f x sinx cosx cosx sinx sin x cos x sin x （）（）（）（）（）（），T=，答案：B8 .已知非零向量mn ，满足4 3m n ，13cos mn ，.若n tm n （），则实数t的值为( )A.4B.-4 C. 94D.- 94解析：4 3m n ，13cos m
6、n ，n tm n （），2 22 1 13 4tn tm n tm n n t m n n n （）（）=0，解得：t=-4，答案：B.9 .已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x)=x 3 -1；当-1x1时，f(-x)=-f(x)；当x12时，1 12 2f x f x （）（）.则f(6 )=( )A.-2B.-1C.0D.2 解析：当x12时，1 12 2f x f x （）（），当x12时，f(x+1 )=f(x)，即周期为1 .f(6 )=f(1 )，当-1x1时，f(-x)=-f(x)，f(1 )=-f(-1 )，当x0时，f(x)=x3 -1，f(-1 )=-2，f(
7、1 )=-f(-1 )=2，f(6 )=2 .答案：D. 1 0 .若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3解析：函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f(x)的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为-1，当y=sinx时，y=cosx，满足条件；当y=lnx时，y= 1x0恒成立，不满足条件；当y=ex时，y=e x0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y=3 x20恒成立，不满足条件；答案：A二、填
8、空题：本大题共5小题，每小题5分，共2 5分.1 1 .执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为. 解析：输入的a，b的值分别为0和9，i=1 .第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件ab，故i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件ab，故i=3；第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件ab，故输出的i值为：3，答案：31 2 .若2 51ax x（）的展开式中x5的系数是-8 0，则实数a= .解析：2 51ax x（）的展开式的通项公式5102 5 5 21 5 51 r rr r r rrT C ax C a xx （）， 令510
9、2r =5，解得r=2 .2 51ax x（）的展开式中x5的系数是-8 02 35 80C a ，得a=-2 .答案：-21 3 .已知双曲线E：222 2 1yxa b (a0，b0 )，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD 的中点为E的两个焦点，且2 |AB|=3 |BC|，则E的离心率是.解析： 令x=c，代入双曲线的方程可得2 22 1c by b aa ，由题意可设2 2 2 2b b b bA c B c C c D ca a a a （，），（，），（，），（，），由2 |AB|=3 |BC|，可得222 3 2b ca ，即为2 b2 =3 ac，由b2 =c2 -a2
10、，ce a，可得2 e2 -3 e-2 =0，解得e=2 (负的舍去).答案：2 .1 4 .在-1，1 上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆(x-5 ) 2 +y2 =9相交”发生的概率为.解析：圆(x-5 )2 +y2 =9的圆心为(5，0 )，半径为3 .圆心到直线y=kx的距离为25 1kk ，要使直线y=kx与圆(x-5 )2 +y2 =9相交，则25 1kk 3，解得3 34 4k.在区间-1，1 上随机取一个数k，使直线y=kx与圆(x-5 ) 2 +y2 =9相交相交的概率为3 3 34 41 1 4 .答案：34 .1 5 .已知函数2 2 4x x mf x x m
11、x m x m ，（），其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是.解析：当m0时，函数2 2 4x x mf x x mx m x m ，（），的图象如下： xm时，f(x)=x2 -2 mx+4 m=(x-m)2 +4 m-m24 m-m2，y要使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，必须4 m-m2m(m0 )，即m23 m(m0 )，解得m3，m的取值范围是(3，+)，答案：(3，+).三、解答题,：本大题共6小题，共7 5分.1 6 .在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2 tanA tanBtanA tanB cosB
12、cosA （）.()证明：a+b=2 c； ()求cosC的最小值.解析：()由切化弦公式sinA sinBtanA tanBcosA cosB，带入2 tanA tanBtanA tanB cosB cosA （）并整理可得2 (sinAcosB+cosAsinB)=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2 sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2 c；()根据a+b=2 c，两边平方便可得出a2 +b2 +2 ab=4 c2，从而得出a2 +b2 =4 c2 -2 ab，并由不等式a2 +b22 ab得出c2ab，也就得到了2 1cab ，这样由余弦定
13、理便可得出23 12ccosC ab ，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值.答案：()证明：由2 tanA tanBtanA tanB cosB cosA （）得： 2 sinA sinB sinA sinBcosA cosB cosAcosB cosAcosB ； 两边同乘以cosAcosB得，2 (sinAcosB+cosAsinB)=sinA+sinB；2 sin(A+B)=sinA+sinB；即sinA+sinB=2 sinC(1 )；根据正弦定理，2a b c RsinA sinB sinC； 2 2 2a b csinA sinB sinCR R R，带入(1 )
14、得：22 2 2a b cR R R；a+b=2 c；()a+b=2 c；(a+b)2 =a2 +b2 +2 ab=4 c2；a2 +b2 =4 c2 -2 ab，且4 c24 ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b0；2 1cab ；由余弦定理，2 2 2 2 23 2 3 112 2 2 2a b c c ab ccosC ab ab ab ；cosC的最小值为12 . 1 7 .在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.(I)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；()已知1 2 32EF FB AC ，AB=BC，求二面角
15、F-BC-A的余弦值.解析：()取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH平面ABC，由此能证明GH平面ABC. ()由AB=BC，知BOAC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-BC-A的余弦值.答案：()取FC中点Q，连结GQ、QH，G、H为EC、FB的中点， 1 1/ / / /2 2GQ EF QH BC，又1/ / / / 2EF BO GQ BO， 平面GQH平面ABC，GH 面GQH，GH平面ABC.解：()AB=BC，BOAC，又OO面ABC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO为z轴，建立空间直角坐标系，则2
16、3 0 0 2 3 0 0 0 2 3 0 0 0 3 0 33A C B O F （，），（，），（，），（，），（，），2 3 3 3 2 3 2 3 0FC CB （，），（，），由题意可知面ABC的法向量为OO =(0，0，3 )，设n =(x 0，y0，z0 )为面FCB的法向量，则00n FCn CB ，即0 0 00 02 3 3 3 02 3 2 3 0 x y zx y ，取x0 =1，则31 1 3n （，），| 7| 7OO ncos OO n OO n ，.二面角F-BC-A的平面角是锐角， 二面角F-BC-A的余弦值为77 .1 8 .已知数列an的前n项和Sn=3
17、n2 +8 n，bn是等差数列，且an=bn+bn+1 .()求数列bn的通项公式；()令 112nnn nnac b ，求数列cn的前n项和Tn.解析：()求出数列a n的通项公式，再求数列bn的通项公式；()求出数列cn的通项，利用错位相减法求数列cn的前n项和Tn.答案：()Sn=3 n2 +8 n，n2时，an=Sn-Sn-1 =6 n+5，n=1时，a1 =S1 =1 1，an=6 n+5；an=bn+bn+1，an-1 =bn-1 +bn，an-an-1 =bn+1 -bn-1 .2 d=6，d=3，a 1 =b1 +b2，1 1 =2 b1 +3， b1 =4，bn=4 +3 (
18、n-1 )=3 n+1；() 1 11 6 6 6 1 22 3 3n nn nn n nna nc nb n （），Tn=6 22 +32 2 +(n+1 )2 n，2 Tn=6 22 2 +32 3 +n2 n+(n+1 )2 n+1 ，-可得-Tn=6 22 +2 2 +2 3 +2 n-(n+1 )2 n+1 =1 2 +6 2 1 21 2n -6 (n+1 )2 n+1 =(-6 n)2 n+1 =-3 n2 n+2，Tn=3 n2 n+2 .1 9 .甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人
19、猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(I)“星队”至少猜对3个成语的概率；(II)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.解析：(I)“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案； (II)由已知可得：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X的分布列和数学期望.答案：(I)“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个
20、，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率 2 2 2 21 12 23 3 3 32 2 2 2 1 1 1 21 14 4 3 4 3 3 4 3 6 4 4 3P C C ，(II)“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则 2 23 2 10 1 14 3 144P X （）， 2 23 3 3 102 2 21 2 1 1 1 1 4 4 3 4 3 3 144P X （）， 3 3 3 3 3 3 3 3 252 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1 1 14 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3
21、 4 3 4 3 144P X （） ， 3 32 2 123 2 1 1 4 3 4 3 144P X （）， 2 23 3 3 602 2 24 2 1 14 4 3 3 3 4 144P X （） 223 3626 4 3 144P X （）故X的分布列如下图所示：X 0 1 2 3 4 6P 1144 10144 25144 12144 60144 36144数学期望10 25 60 36 552 231 120 1 2 3 4 6144 144 144 144 144 144 144 6EX .2 0 .已知22 1xf x a x lnx x （）（），aR.(I)讨论f(x)的单
22、调性； (II)当a=1时，证明f(x)f(x)+ 32对于任意的x1，2 成立.解析：()求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；()构造函数F(x)=f(x)-f(x)，令g(x)=x-lnx，2 33 1 2 1h x x x x （）.则F(x)=f(x)-f(x)=g(x)+h(x)，利用导数分别求g(x)与h(x)的最小值得到F(x)32恒成立.由此可得f(x)f(x)+ 32对于任意的x1，2 成立.答案：由22 1xf x a x lnx x （）（）， 得 2 42 2 1 211 x x xf x a x x （）（）= 23 2
23、3 3 31 22 2 2 2 x axax a x ax ax xx x x x (x0 ).若a0，则ax2 -20恒成立，当x(0，1 )时，f(x)0，f(x)为增函数，当x(1，+)时，f(x)0，f(x)为减函数；当a0，若0a2，当x(0，1 )和( 2aa，+)时，f(x)0，f(x)为增函数，当x(1，2aa )时，f(x)0，f(x)为减函数； 若a=2，f(x)0恒成立，f(x)在(0，+)上为增函数；若a2，当x(0，2aa )和(1，+)时，f(x)0，f(x)为增函数， 当x( 2aa，1 )时，f(x)0，f(x)为减函数；()解：a=1，令F(x)=f(x)-f
24、(x)= 2 2 3 2 332 1 2 1 2 1 21 1x lnx x lnxx x xx x x x x .令g(x)=x-lnx，2 33 1 2 1h x x x x （）.则F(x)=f(x)-f(x)=g(x)+h(x)，由 1 0 xg x x ，可得g(x)g(1 )=1，当且仅当x=1时取等号；又 2 43 2 6x xh x x ， 设(x)= 23 2 6x x ，则(x)在1，2 上单调递减，且(1 )=1，(2 )=-1 0，在1，2 上存在x0，使得x(1，x0 )时(x0 )0，x(x0，2 )时，(x0 )0，函数h(x)在(1，x0 )上单调递增；在(x0
25、，2 )上单调递减，由于h(1 )=1，h(2 )= 12，因此h(x)h(2 )= 12，当且仅当x=2取等号，f(x)-f(x)=g(x)+h(x)g(1 )+h(2 )= 32，F(x)32恒成立.即f(x)f(x)+ 32对于任意的x1，2 成立. 2 1 .平面直角坐标系xOy中，椭圆C：222 2 1yxa b (ab0 )的离心率是32，抛物线E：x2 =2 y的焦点F是C的一个顶点.(I)求椭圆C的方程；()设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证：点M在定直线上；(i
26、i)直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S 1，PDM的面积为S2，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标. 解析：(I)运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；()(i)设P(x0，y0 )，运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x0，可得y= 14 .进而得到定直线；(ii)由直线l的方程为y=x0 x-y0，令x=0，可得G(0，-y0 )，运用三角形的面积公式，可得0 01 0 0 0 2 0 2041 1 1 12 2 2 2 1 4x yS FG x x
27、y S PM x x （），化简整理，再1 +2 x0 2 =t(t1 )，整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标.答案：(I)由题意可得32ce a ，抛物线E：x 2 =2 y的焦点F为(0，12 )，即有b= 12，a2 -c2 = 14，解得a=1，c= 32，可得椭圆的方程为x2 +4 y2 =1；()(i)证明：设P(x 0，y0 )，可得x0 2 =2 y0，由212y x的导数为y=x，即有切线的斜率为x0，则切线的方程为y-y0 =x0 (x-x0 )，可化为y=x0 x-y0，代入椭圆方程，可得(1 +4 x0 2 )x2 -8 x0 y0 x+4 y0 2 -
28、1 =0，设A(x1，y1 )，B(x2，y2 )，可得0 01 2 2081 4x yx x x ，即有中点0 0 02 20 041 4 1 4x y yD x x （，），直线OD的方程为014y xx，可令x=x 0，可得y=- 14 .即有点M在定直线y=- 14上；(ii)直线l的方程为y=x0 x-y0，令x=0，可得G(0，-y0 )，则21 0 0 0 0 01 1 1 1 12 2 2 4S FG x x y x x （）（）； 223 00 0 0 0 0 02 0 0 02 2 20 0 01 24 4 41 1 1 12 2 4 81 4 1 4 1 4xx y x x x yS PM x y xx x x （），则 2 20 01 222 02 1 1 41 2x xSS x ，令1 +2 x0 2 =t(t1 )，则 1 2 22 12 1 1 2 2 1 2 12t t t tSS t t = 2 22 22 1 91 1 1 12 2 4t t t tt t （），则当t=2，即0 22x 时，12SS取得最大值94， 此时点P的坐标为2 12 4（，）.
