1、2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (天 津 卷 )数 学 文一 、 选 择 题 ： 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 要 求 的1.已 知 集 合 A=1， 2， 3， B=y|y=2x-1， x A， 则 A B=( )A.1， 3B.1， 2C.2， 3D.1， 2， 3解 析 ： 根 据 题 意 ， 集 合 A=1， 2， 3， 而 B=y|y=2x-1， x A，则 B=1， 3， 5， 则 A B=1， 3.答 案 ： A. 2.甲 、 乙 两 人 下 棋 ， 两 人 下 成 和 棋 的 概 率 是 12
2、 ， 甲 获 胜 的 概 率 是 13 ， 则 甲 不 输 的 概 率 为 ( )A. 56B. 25C. 16D. 13解 析 ： 甲 不 输 与 甲 、 乙 两 人 下 成 和 棋 是 互 斥 事 件 . 根 据 互 斥 事 件 的 概 率 计 算 公 式 可 知 ： 甲 不 输 的 概 率 P= 13 + 12 = 56 . 答 案 ： A3.将 一 个 长 方 体 沿 相 邻 三 个 面 的 对 角 线 截 去 一 个 棱 锥 ， 得 到 的 几 何 体 的 正 视 图 与 俯 视 图 如 图所 示 ， 则 该 几 何 体 的 侧 (左 )视 图 为 ( ) A.B.C. D.解 析
3、： 由 主 视 图 和 俯 视 图 可 知 切 去 的 棱 锥 为 D-AD1C，棱 CD 1在 左 侧 面 的 投 影 为 BA1.答 案 ： B4.已 知 双 曲 线 2 22 2x ya b =1(a 0， b 0)的 焦 距 为 2 5 ， 且 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 与 直 线 2x+y=0垂 直 ， 则 双 曲 线 的 方 程 为 ( )A. 2 24x y =1 B. 22 4yx =1C. 2 23 320 5x y =1D. 2 23 35 20 x y =1解 析 ： 双 曲 线 2 22 2x ya b =1(a 0， b 0)的 焦 距 为 2 5 ， c=
4、 5 ， 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 与 直 线 2x+y=0 垂 直 ， 12ba ， a=2b， c2=a2+b2， a=2， b=1， 双 曲 线 的 方 程 为 22 4yx =1.答 案 ： A.5.设 x 0， y R， 则 “ x y” 是 “ x |y|” 的 ( )A.充 要 条 件B.充 分 不 必 要 条 件C.必 要 而 不 充 分 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 设 x 0， y R， 当 x=0， y=-1 时 ， 满 足 x y 但 不 满 足 x |y|， 故 由 x 0， y R，则 “ x y” 推 不 出 “ x |y|
5、” ， 而 “ x |y|” “ x y” ，故 “ x y” 是 “ x |y|” 的 必 要 不 充 分 条 件 .答 案 ： C. 6.已 知 f(x)是 定 义 在 R上 的 偶 函 数 ， 且 在 区 间 (- ， 0)上 单 调 递 增 ， 若 实 数 a 满 足 f(2|a-1|) f(- 2 )， 则 a 的 取 值 范 围 是 ( )A.(- ， 12 )B.(- ， 12 ) ( 32 ， + )C.( 12 ， 32 )D.( 32 ， + )解 析 ： f(x)是 定 义 在 R上 的 偶 函 数 ， 且 在 区 间 (- ， 0)上 单 调 递 增 ， f(x)在 (
6、0， + )上 单 调 递 减 . 2|a-1| 0， f(- 2 )=f( 2 )， 2|a-1| 2 = 122 . |a-1| 12 ， 解 得 12 a 32 . 答 案 ： C7.已 知 ABC 是 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形 ， 点 D、 E 分 别 是 边 AB、 BC 的 中 点 ， 连 接 DE 并 延 长到 点 F， 使 得 DE=2EF， 则 AF BC 的 值 为 ( )A.- 58B. 18C. 14D.118 解 析 ： 如 图 ， D、 E分 别 是 边 AB、 BC的 中 点 ， 且 DE=2EF， 1 32 2AF BC AD DF BC BA D
7、E BC = 1 3 1 3 32 4 2 4 4BA AC BC BA BC BA BC = 25 3 5 34 4 4 4BA BC BC BA BC BC = 25 3cos60 14 4BA BC = 5 1 3 11 14 2 4 8 .答 案 ： B.8.已 知 函 数 f(x)=sin 2 2x + 12 sin x- 12 ( 0)， x R， 若 f(x)在 区 间 ( ， 2 )内 没 有 零点 ， 则 的 取 值 范 围 是 ( )A.(0， 18 B.(0， 14 58 ， 1)C.(0， 58 D.(0， 18 14 ， 58 解 析 ： 函 数 f(x)=sin 2
8、 2x + 12 sin x- 12 =1 cos 1 1 2sin sin(2 2 2 2 4 )x x x ， 由 f(x)=0， 可 得 sin( x- 4 )=0， 解 得 x= 4k ( ， 2 )， ( 18 ， 14 ) ( 58 ， 54 ) ( 98 ， 94 ) =( 18 ， 14 ) ( 58 ， + )， f(x)在 区 间 ( ， 2 )内 没 有 零 点 ， (0， 18 14 ， 58 .答 案 ： D二 、 填 空 题 本 大 题 6小 题 ， 每 题 5分 ， 共 30分9.i是 虚 数 单 位 ， 复 数 z满 足 (1+i)z=2， 则 z 的 实 部
9、为 .解 析 ： 由 (1+i)z=2， 得 z= 2 1 2 121 1 1 2i ii i i =1-i， z 的 实 部 为 1. 答 案 ： 1.10.已 知 函 数 f(x)=(2x+1)ex， f (x)为 f(x)的 导 函 数 ， 则 f (0)的 值 为 .解 析 ： f(x)=(2x+1)ex， f (x)=2ex+(2x+1)ex， f (0)=2e0+(2 0+1)e0=2+1=3.答 案 ： 3.11.阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 则 输 出 S 的 值 为 . 解 析 ： 第 一 次 循 环 ： S=8， n=2；第
10、 二 次 循 环 ： S=2， n=3；第 三 次 循 环 ： S=4， n=4，结 束 循 环 ， 输 出 S=4.答 案 ： 4.12.已 知 圆 C的 圆 心 在 x轴 正 半 轴 上 ， 点 (0， 5 )圆 C上 ， 且 圆 心 到 直 线 2x-y=0的 距 离 为 4 55 ，则 圆 C的 方 程 为 .解 析 ： 由 题 意 设 圆 的 方 程 为 (x-a) 2+y2=r2(a 0)，由 点 M(0， 5 )在 圆 上 ， 且 圆 心 到 直 线 2x-y=0的 距 离 为 4 55 ，得 2 252 4 555a ra ， ， 解 得 a=2， r=3. 圆 C 的 方 程
11、 为 ： (x-2)2+y2=9.答 案 ： (x-2) 2+y2=9.13.如 图 ， AB 是 圆 的 直 径 ， 弦 CD 与 AB 相 交 于 点 E， BE=2AE=2， BD=ED， 则 线 段 CE 的 长为 . 解 析 ： 如 图 ， 过 D 作 DH AB 于 H， BE=2AE=2， BD=ED， BH=HE=1， 则 AH=2， BH=1， DH2=AH-BH=2， 则 DH= 2 ，在 Rt DHE中 ， 则 DE=DH 2+HE2=2+1=3，由 相 交 弦 定 理 可 得 ： CE DE=AE EB， CE= AE EBDE =1 23 = 3 33 .答 案 ：
12、3 3314.已 知 函 数 2 4 3 3 0log 1 1 0,f x x a x a xa x x （ ） ， ， (a 0， 且 a 1)在 R 上 单 调 递 减 ， 且 关 于x的 方 程 |f(x)|=2- 3x 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 数 解 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 . 解 析 ： f(x)是 R 上 的 单 调 递 减 函 数 ， y=x2+(4a-3)x+3a 在 (- .， 0)上 单 调 递 减 ， y=loga(x+1)+1在 (0， + )上 单 调 递 减 ，且 f(x)在 (- ， 0)上 的 最 小 值 大 于 或 等 于 f(0).
13、3 4 020 13 1aaa ， ， 解 得 13 a 34 .作 出 y=|f(x)|和 y=2- 3x 的 函 数 草 图 如 图 所 示 ： |f(x)|=2- 3x 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 数 解 ， 3a 2， 即 a 23 .综 上 ， 13 a 23 . 答 案 ： 13 ， 23 ).三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 80分15.在 ABC中 ， 内 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 asin2B= 3 bsinA.(1)求 B；(2)已 知 cosA= 13 ， 求 sinC的 值 .解 析 ： (1)利
14、 用 正 弦 定 理 将 边 化 角 即 可 得 出 cosB；(2)求 出 sinA， 利 用 两 角 和 的 正 弦 函 数 公 式 计 算 . 答 案 ： (1) asin2B= 3 bsinA， 2sinAsinBcosB= 3 sinBsinA， cosB= 32 ， B= 6 .(2) cosA= 13 ， sinA= 2 23 ， sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 2 2 3 1 1 2 6 13 2 2 3 6 .16. 某 化 工 厂 生 产 甲 、 乙 两 种 混 合 肥 料 ， 需 要 A， B， C三 种 主 要 原 料 ， 生 产 1
15、扯 皮 甲 种 肥 料和 生 产 1 车 皮 乙 种 肥 料 所 需 三 种 原 料 的 吨 数 如 表 所 示 ： 现 有 A种 原 料 200吨 ， B种 原 料 360吨 ， C种 原 料 300吨 ， 在 此 基 础 上 生 产 甲 、 乙 两 种 肥 料 .已 知 生 产 1 车 皮 甲 种 肥 料 ， 产 生 的 利 润 为 2 万 元 ； 生 产 1 车 品 乙 种 肥 料 ， 产 生 的 利 润 为 3万 元 、 分 别 用 x， y 表 示 计 划 生 产 甲 、 乙 两 种 肥 料 的 车 皮 数 .(1)用 x， y列 出 满 足 生 产 条 件 的 数 学 关 系 式
16、， 并 画 出 相 应 的 平 面 区 域 ；(2)问 分 别 生 产 甲 、 乙 两 种 肥 料 ， 求 出 此 最 大 利 润 .解 析 ： (1)根 据 原 料 的 吨 数 列 出 不 等 式 组 ， 作 出 平 面 区 域 ；(2)令 利 润 z=2x+3y， 则 y= 23 3zx ， 结 合 可 行 域 找 出 最 优 解 的 位 置 ， 列 方 程 组 解 出 最 优 解 . 答 案 ： (1)x， y满 足 的 条 件 关 系 式 为 ： 4 5 2008 5 3603 10 30000 x yx yx yxy ， ，作 出 平 面 区 域 如 图 所 示 ： (2)设 利 润
17、 为 z 万 元 ， 则 z=2x+3y. y= 23 3zx . 当 直 线 y= 23 3zx 经 过 点 B时 ， 截 距 3z 最 大 ， 即 z 最 大 .解 方 程 组 4 5 2003 10 300 x yx y ， 得 B(20， 24). z 的 最 大 值 为 2 20+3 24=112.答 ： 当 生 产 甲 种 肥 料 20 吨 ， 乙 种 肥 料 24 吨 时 ， 利 润 最 大 ， 最 大 利 润 为 112万 元 .17.如 图 ， 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， 平 面 AED 平 面 ABNCD， EF AB， AB=2， BC=EF=1， A
18、E= 6 ， BAD=60 ， G为 BC的 中 点 . (1)求 证 ： FG 平 面 BED；(2)求 证 ： 平 面 BED 平 面 AED；(3)求 直 线 EF 与 平 面 BED所 成 角 的 正 弦 值 . 解 析 ： (1)利 用 中 位 线 定 理 ， 和 平 行 公 理 得 到 四 边 形 OGEF是 平 行 四 边 形 ， 再 根 据 线 面 平 行 的判 定 定 理 即 可 证 明 ；(2)根 据 余 弦 定 理 求 出 BD= 3 ， 继 而 得 到 BD AD， 再 根 据 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 证 明 ；(3)先 判 断 出 直 线 EF 与
19、 平 面 BED所 成 的 角 即 为 直 线 AB 与 平 面 BED所 形 成 的 角 ， 再 根 据 余 弦定 理 和 解 直 角 三 角 形 即 可 求 出 答 案 .答 案 ： (1)BD 的 中 点 为 O， 连 接 OE， OG， 在 BCD中 ， G 是 BC 的 中 点 ， OG DC， 且 OG= 12 DC=1，又 EF AB， AB DC， EF OG， 且 EF=0G，即 四 边 形 OGEF 是 平 行 四 边 形 ， FG OE， FG平 面 BED， OE平 面 BED， FG 平 面 BED；(2)在 ABD中 ， AD=1， AB=2， BAD=60 ，由
20、余 弦 定 理 可 得 BD= 3 ， 仅 而 ADB=90 ， 即 BD AD，又 平 面 AED 平 面 ABCD， BD平 面 ABCD， 平 面 AED 平 面 ABCD=AD， BD 平 面 AED， BD平 面 BED， 平 面 BED 平 面 AED.( ) EF AB， 直 线 EF与 平 面 BED 所 成 的 角 即 为 直 线 AB 与 平 面 BED所 形 成 的 角 ，过 点 A作 AH DH于 点 H， 连 接 BH，又 平 面 BED 平 面 AED=ED， 由 (2)知 AH 平 面 BED， 直 线 AB与 平 面 BED所 成 的 为 ABH，在 ADE，
21、AD=1， DE=3， AE= 6 ， 由 余 弦 定 理 得 cos ADE= 23 ， sin ADE= 53 ， AH=AD 53 ，在 Rt AHB中 ， sin ABH= 56AHAB ， 直 线 EF与 平 面 BED 所 成 角 的 正 弦 值 56 .18.已 知 a n是 等 比 数 列 ， 前 n项 和 为 Sn(n N*)， 且 1 2 31 1 2a a a ， S6=63.(1)求 an的 通 项 公 式 ；(2)若 对 任 意 的 n N*， bn是 log2an和 log2an+1的 等 差 中 项 ， 求 数 列 (-1)nbn2的 前 2n项 和 . 解 析
22、： (1)根 据 等 比 数 列 的 通 项 公 式 列 方 程 解 出 公 比 q， 利 用 求 和 公 式 解 出 a1， 得 出 通 项 公式 ；(2)利 用 对 数 的 运 算 性 质 求 出 bn， 使 用 分 项 求 和 法 和 平 方 差 公 式 计 算 .答 案 ： (1)设 an的 公 比 为 q， 则 21 1 11 1 2a a q a q ， 即 21 21 q q ， 解 得 q=2或 q=-1.若 q=-1， 则 S 6=0， 与 S6=63矛 盾 ， 不 符 和 题 意 . q=2， S6= 61 1 21 2a =63， a1=1. an=2n-1.(2) bn
23、是 log2an和 log2an+1的 等 差 中 项 ， bn= 12 (log2an+log2an+1)= 12 (log22n-1+log22n)=n- 12 . bn+1-bn=1. bn是 以 12 为 首 项 ， 以 1为 公 差 的 等 差 数 列 .设 (-1) nbn2的 前 n 项 和 为 Tn， 则Tn=(-b12+b22)+(-b32+b42)+ +(-b2n-12+b2n2)=b1+b2+b3+b4 +b2n-1+b2n= 1 2 1 122 22 22 2n nb b n n =2n2.19.设 椭 圆 2 22 3x ya =1(a 3 )的 右 焦 点 为 F，
24、 右 顶 点 为 A， 已 知 1 1 3eOF OA FA ， 其 中O为 原 点 ， e 为 椭 圆 的 离 心 率 . (1)求 椭 圆 的 方 程 ；(2)设 过 点 A 的 直 线 l 与 椭 圆 交 于 B(B不 在 x轴 上 )， 垂 直 于 l 的 直 线 与 l 交 于 点 M， 与 y 轴交 于 点 H， 若 BF HF， 且 MOA= MAO， 求 直 线 l 的 斜 率 .解 析 ： (1)由 题 意 画 出 图 形 ， 把 |OF|、 |OA|、 |FA|代 入 1 1 3eOF OA FA ， 转 化 为 关 于 a的 方 程 ， 解 方 程 求 得 a 值 ， 则
25、 椭 圆 方 程 可 求 ；(2)由 已 知 设 直 线 l 的 方 程 为 y=k(x-2)， (k 0)， 联 立 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程 ， 化 为 关 于 x 的一 元 二 次 方 程 ， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 求 得 B的 坐 标 ， 再 写 出 MH所 在 直 线 方 程 ， 求 出 H 的 坐标 ， 由 BF HF， 得 BF HF =(1-x 1， -y1) (1， -yH)=0， 整 理 得 到 M 的 坐 标 与 k 的 关 系 ， 由 MOA= MAO， 得 到 x0=1， 转 化 为 关 于 k 的 等 式 求 得 k 的 值 .答 案 ： (
26、1)由 1 1 3eOF OA FA ， 得 22 23 31 13 3aaa a a a ， 即 2 22 23 3 3 3 3a a aa a a a a ， aa2-(a2-3)=3a(a2-3)， 解 得 a=2. 椭 圆 方 程 为 2 24 3x y =1.(2)由 已 知 设 直 线 l 的 方 程 为 y=k(x-2)， (k 0)，设 B(x 1， y1)， M(x0， k(x0-2)， MOA= MAO， x0=1， 再 设 H(0， yH)，联 立 2 2 214 3y k xx y ， 得 (3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0. =(-16k2)2-4(3
27、+4k2)(16k2-12)=144 0.由 根 与 系 数 的 关 系 得 2x 1= 2 216 123 4k k ， x1= 2 28 63 4k k ， y1=k(x1-2)= 2123 4kk ，MH所 在 直 线 方 程 为 y-k(x0-2)=- 1k (x-x0)，令 x=0， 得 y H=(k+ 1k )x0-2k， BF HF， BF HF=(1-x1， -y1) (1， -yH)=0，即 1-x1+y1yH= 2 2 28 6 121 3 4 3 4k kk k (k+ 1k )x0-2k=0，整 理 得 ： x 0= 229 2012 1kk =1， 即 8k2=3.
28、k=- 64 或 k= 64 .20.设 函 数 f(x)=x3-ax-b， x R， 其 中 a， b R.(1)求 f(x)的 单 调 区 间 ；(2)若 f(x)存 在 极 值 点 x0， 且 f(x1)=f(x0)， 其 中 x1 x0， 求 证 ： x1+2x0=0；(3)设 a 0， 函 数 g(x)=|f(x)|， 求 证 ： g(x)在 区 间 -1， 1上 的 最 大 值 不 小 于 14 .解 析 ： (1)求 出 f(x)的 导 数 ， 讨 论 a 0 时 f (x) 0， f(x)在 R 上 递 增 ； 当 a 0 时 ， 由 导数 大 于 0， 可 得 增 区 间 ；
29、 导 数 小 于 0， 可 得 减 区 间 ；(2)由 条 件 判 断 出 a 0， 且 x 0 0， 由 f (x0)=0求 出 x0， 分 别 代 入 解 析 式 化 简 f(x0)， f(-2x0)，化 简 整 理 后 可 得 证 ；(3)设 g(x)在 区 间 -1， 1上 的 最 大 值 M， 根 据 极 值 点 与 区 间 的 关 系 对 a分 三 种 情 况 讨 论 ， 运用 f(x)单 调 性 和 前 两 问 的 结 论 ， 求 出 g(x)在 区 间 上 的 取 值 范 围 ， 利 用 a的 范 围 化 简 整 理 后 求 出 M， 再 利 用 不 等 式 的 性 质 证 明
30、 结 论 成 立 .答 案 ： (1)若 f(x)=x3-ax-b， 则 f (x)=3x2-a，分 两 种 情 况 讨 论 ： 当 a 0 时 ， 有 f (x)=3x2-a 0恒 成 立 ，此 时 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 (- ， + )， 当 a 0 时 ， 令 f (x)=3x2-a=0， 解 得 x=- 33a 或 x= 33a ，当 x 33a 或 x - 33a 时 ， f (x)=3x 2-a 0， f(x)为 增 函 数 ，当 - 33a x 33a 时 ， f (x)=3x2-a 0， f(x)为 减 函 数 ，故 f(x)的 增 区 间 为 (- ， -
31、33a )， ( 33a ， + )， 减 区 间 为 (- 33a ， 33a )；(2)若 f(x)存 在 极 值 点 x 0， 则 必 有 a 0， 且 x0 0，由 题 意 可 得 ， f (x)=3x2-a， 则 x02= 3a ，进 而 f(x0)=x03-ax0-b=- 23a x0-b，又 f(-2x0)=-8x03+2ax0-b=-83 x0+2ax0-b=f(x0)，由 题 意 及 ( )可 得 ： 存 在 唯 一 的 实 数 x 1， 满 足 f(x1)=f(x0)， 其 中 x1 x0，则 有 x1=-2x0， 故 有 x1+2x0=0；( )设 g(x)在 区 间 -
32、1， 1上 的 最 大 值 M， maxx， y表 示 x、 y 两 个 数 的 最 大 值 ，下 面 分 三 种 情 况 讨 论 ： 当 a 3 时 ， - 33a -1 1 33a ，由 (I)知 f(x)在 区 间 -1， 1上 单 调 递 减 ，所 以 f(x)在 区 间 -1， 1上 的 取 值 范 围 是 f(1)， f(-1)，因 此 M=max|f(1)|， |f(-1)|=max|1-a-b|， |-1+a-b|=max|a-1+b|， |a-1-b|= 1 01 0a b ba b b ， ， ， 所 以 M=a-1+|b| 2， 当 34 a 3时 ， 2 3 3 3 2
33、 31 13 3 3 3a a a a ，由 ( )、 ( )知 ， f(-1) f(- 2 33 a )=f( 33a )， f(1) f( 2 33 a )=f(- 33a )， 所 以 f(x)在 区 间 -1， 1上 的 取 值 范 围 是 f( 33a )， f(- 33a )，因 此 M=max|f( 33a )|， |f(- 33a )|=max|- 2 39a a b |， | 2 39a a b |=max| 2 39a a b |， | 2 39a a b |= 2 39a a b 2 3 3 139 4 4 4 ， 当 0 a 34 时 ， -1 - 2 33 a 2 33 a 1，由 ( )、 ( )知 ， f(-1) f(- 2 33 a )=f( 33a )， f(1) f( 2 33 a )=f(- 33a )， 所 以 f(x)在 区 间 -1， 1上 的 取 值 范 围 是 f(-1)， f(1)，因 此 M=max|f(-1)|， |f(1)|=max|-1+a-b|， |1-a-b|=max|1-a+b|， |1-a-b|=1-a+|b| 14 ，综 上 所 述 ， 当 a 0 时 ， g(x)在 区 间 -1， 1上 的 最 大 值 不 小 于 14 .
