1、2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (四 川 卷 )数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 个 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 集 合 A=x|-2 x 2， Z为 整 数 集 ， 则 A Z 中 元 素 的 个 数 是 ( )A.3B.4C.5D.6解 析 ： A=x|-2 x 2， Z为 整 数 集 ， A Z=-2， -1， 0， 1， 2， 则 A Z 中 元 素 的 个 数 是 5.答 案 ： C. 2.设 i为
2、虚 数 单 位 ， 则 (x+i)6的 展 开 式 中 含 x4的 项 为 ( )A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4解 析 ： (x+i)6的 展 开 式 中 含 x4的 项 为 46C x4 i2=-15x4.答 案 ： A3.为 了 得 到 函 数 y=sin(2x- 3 )的 图 象 ， 只 需 把 函 数 y=sin2x的 图 象 上 所 有 的 点 ( )A.向 左 平 行 移 动 3 个 单 位 长 度 B.向 右 平 行 移 动 3 个 单 位 长 度C.向 左 平 行 移 动 6 个 单 位 长 度D.向 右 平 行 移 动 6 个 单 位 长 度解 析
3、： 把 函 数 y=sin2x的 图 象 向 右 平 移 6 个 单 位 长 度 ， 可 得 函 数 y=sin2(x- 6 )=sin(2x- 3 )的 图 象 .答 案 ： D.4.用 数 字 1， 2， 3， 4， 5组 成 没 有 重 复 数 字 的 五 位 数 ， 其 中 奇 数 的 个 数 为 ( )A.24 B.48C.60D.72解 析 ： 要 组 成 无 重 复 数 字 的 五 位 奇 数 ， 则 个 位 只 能 排 1， 3， 5中 的 一 个 数 ， 共 有 3 种 排 法 ， 然 后 还 剩 4个 数 ， 剩 余 的 4 个 数 可 以 在 十 位 到 万 位 4 个
4、位 置 上 全 排 列 ， 共 有 44A =24 种 排 法 .由 分 步 乘 法 计 数 原 理 得 ， 由 1、 2、 3、 4、 5 组 成 的 无 重 复 数 字 的 五 位 数 中 奇 数 有 3 24=72个 .答 案 ： D5.某 公 司 为 激 励 创 新 ， 计 划 逐 年 加 大 研 发 资 金 投 入 .若 该 公 司 2015 年 全 年 投 入 研 发 资 金 130万 元 ， 在 此 基 础 上 ， 每 年 投 入 的 研 发 资 金 比 上 一 年 增 长 12%， 则 该 公 司 全 年 投 入 的 研 发 资 金开 始 超 过 200万 元 的 年 份 是
5、( )(参 考 数 据 ： lg1.12=0.05， lg1.3=0.11， lg2=0.30)A.2018年B.2019年C.2020年 D.2021年解 析 ： 设 第 n 年 开 始 超 过 200万 元 ，则 130 (1+12%)n-2015 200，化 为 ： (n-2015)lg1.12 lg2-lg1.3，n-2015 0.30 0.110.05 =3.8.取 n=2019.因 此 开 始 超 过 200万 元 的 年 份 是 2019 年 .答 案 ： B.6.秦 九 韶 算 法 求 某 多 项 式 值 的 一 个 实 例 ， 若 输 入 n， x 的 值 分 别 为 3，
6、2， 则 输 出 v 的 值 为( ) A.9 B.18C.20D.35解 析 ： 初 始 值 n=3， x=2， 程 序 运 行 过 程 如 下 所 示 ：v=1i=2 v=1 2+2=4i=1 v=4 2+1=9i=0 v=9 2+0=18i=-1 跳 出 循 环 ， 输 出 v 的 值 为 18.答 案 ： B 7.设 p： 实 数 x， y满 足 (x-1)2+(y-1)2 2， q： 实 数 x， y 满 足 111y xy xy ， 则 p 是 q 的 ( )A.必 要 不 充 分 条 件B.充 分 不 必 要 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解
7、析 ： (x-1) 2+(y-1)2 2表 示 以 (1， 1)为 圆 心 ， 以 2为 半 径 的 圆 内 区 域 (包 括 边 界 )；满 足 111y xy xy ， 的 可 行 域 如 图 有 阴 影 部 分 所 示 ， 故 p 是 q 的 必 要 不 充 分 条 件 .答 案 ： A8.设 O为 坐 标 原 点 ， P 是 以 F 为 焦 点 的 抛 物 线 y2=2px(p 0)上 任 意 一 点 ， M是 线 段 PF 上 的 点 ，且 |PM|=2|MF|， 则 直 线 OM的 斜 率 的 最 大 值 为 ( )A. 33B. 23 C. 22D.1解 析 ： 由 题 意 可
8、得 F( 2p， 0)， 设 P( 202yp ， y0)，显 然 当 y0 0， kOM 0； 当 y0 0， kOM 0.要 求 k OM的 最 大 值 ， 设 y0 0，则 1 13 3OM OF FM OF FP OF OP OF = 1 23 3OP OF =( 206 3y pp ， 03y )可 得 kOM= 02 00 00 02 23 2 226 3 22y y py p y pp yp p y ，当 且 仅 当 y 02=2p2， 取 得 等 号 .答 案 ： C9.设 直 线 l1， l2分 别 是 函 数 f(x)= ln 0 1ln 1x xx x ， ， ， 图 象
9、 上 点 P1， P2处 的 切 线 ， l1与 l2垂 直 相交 于 点 P， 且 l1， l2分 别 与 y 轴 相 交 于 点 A， B， 则 PAB 的 面 积 的 取 值 范 围 是 ( )A.(0， 1)B.(0， 2)C.(0， + )D.(1， + )解 析 ： 设 P 1(x1， y1)， P2(x2， y2)(0 x1 1 x2)，当 0 x 1时 ， f (x)=- 1x ， 当 x 1 时 ， f (x)= 1x ， l1的 斜 率 k1=- 11x ， l2的 斜 率 k2= 21x ， l 1与 l2垂 直 ， 且 x2 x1 0， k1 k2=- 11x 21x
10、=-1， 即 x1x2=1.直 线 l1： y=- 11x (x-x1)-lnx1， l2： y= 21x (x-x2)+lnx2.取 x=0分 别 得 到 A(0， 1-lnx1)， B(0， -1+lnx2)，|AB|=|1-lnx 1-(-1+lnx2)|=|2-(lnx1+lnx2)|=|2-lnx1x2|=2.联 立 两 直 线 方 程 可 得 交 点 P 的 横 坐 标 为 x= 1 21 22x xx x ， S PAB= 12 |AB| |xP|= 12 2 1 21 22x xx x = 1 22x x = 1 12 1x x . 函 数 y=x+ 1x 在 (0， 1)上
11、为 减 函 数 ， 且 0 x1 1， 1 11x x 1+1=2， 则 0 1 11 1x x 12 ， 0 1 12 1x x 1. PAB的 面 积 的 取 值 范 围 是 (0， 1).答 案 ： A. 10.在 平 面 内 ， 定 点 A， B， C， D 满 足 DA DB DC ， DA DB DB DC DC DA =-2，动 点 P， M 满 足 |AP|=1， PM MC ， 则 |BM|2的 最 大 值 是 ( )A. 434B. 494C. 37 6 34D. 37 2 334 解 析 ： 由 DA DB DC ， 可 得 D 为 ABC的 外 心 ，又 DA DB D
12、B DC DC DA ， 可 得 0DB DA DC ， DC DB DA ， 即 0DB AC DC AB ，即 有 DB AC， DC AB， 可 得 D为 ABC的 垂 心 ， 则 D 为 ABC的 中 心 ， 即 ABC为 正 三 角 形 .由 DA DB =-2， 即 有 DA DA cos120 =-2， 解 得 DA =2， ABC的 边 长 为 4cos30 =2 3 ，以 A 为 坐 标 原 点 ， AD所 在 直 线 为 x轴 建 立 直 角 坐 标 系 xOy，可 得 B(3， - 3 )， C(3， 3 )， D(2， 0)，由 | AP |=1， 可 设 P(cos
13、， sin )， (0 2 )，由 PM MC ， 可 得 M为 PC的 中 点 ， 即 有 M( 3 cos2 ， 3 cos2 )， 则 2 2 23 cos sin3 3( ) ( 3)2 2BM = 22 3 sin3 cos 37 6cos 6 sin4 43 34 = 37 12sin( )64 ，当 sin( - 6 )=1， 即 = 23 时 ， 取 得 最 大 值 ， 且 为 494 .答 案 ： B 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25 分 .11.cos2 8 -sin2 8 = .解 析 ： cos2 8 -sin2 8
14、 =cos(2 8 )=cos 24 2 .答 案 ： 2212.同 时 抛 掷 两 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 ， 当 至 少 有 一 枚 硬 币 正 面 向 上 时 ， 就 说 这 次 试 验 成 功 ， 则在 2 次 试 验 中 成 功 次 数 X的 均 值 是 . 解 析 ： 同 时 抛 掷 两 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 ， 当 至 少 有 一 枚 硬 币 正 面 向 上 时 ， 就 说 这 次 试 验 成 功 ， 这 次 试 验 成 功 的 概 率 p=1-( 12 )2= 34 ， 在 2次 试 验 中 成 功 次 数 X B(2， 34 )， 在 2次 试 验 中 成
15、功 次 数 X 的 均 值 E(X)=2 34 = 32 .答 案 ： 32 .13.已 知 三 棱 锥 的 四 个 面 都 是 腰 长 为 2 的 等 腰 三 角 形 ， 该 三 棱 锥 的 正 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三棱 锥 的 体 积 是 .解 析 ： 三 棱 锥 的 四 个 面 都 是 腰 长 为 2的 等 腰 三 角 形 ， 结 合 给 定 的 三 棱 锥 的 正 视 图 ， 可 得 ： 三 棱 锥 的 底 面 是 底 为 2 3 ， 高 为 1，棱 锥 的 高 为 1， 故 棱 锥 的 体 积 V= 13 ( 12 2 3 1) 1= 33 .答 案 ： 3314.已
16、 知 函 数 f(x)是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 0 x 1 时 ， f(x)=4 x， 则f(- 52 )+f(1)= .解 析 ： f(x)是 定 义 在 R上 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， f(- 52 )=f(-2- 12 )=f(- 12 )=-f( 12 )， x (0， 1)时 ， f(x)=4 x， f(- 52 )=-2， f(x)是 定 义 在 R 上 周 期 为 2的 奇 函 数 ， f(-1)=f(1)， f(-1)=-f(1)， f(1)=0， f(- 52 )+f(1)=-2.答 案 ： -215.在 平 面 直 角 坐
17、 标 系 中 ， 当 P(x， y)不 是 原 点 时 ， 定 义 P 的 “ 伴 随 点 ” 为 P ( 2 2yx y ，2 2xx y )； 当 P 是 原 点 时 ， 定 义 P 的 “ 伴 随 点 “ 为 它 自 身 ， 平 面 曲 线 C 上 所 有 点 的 “ 伴 随 点 ” 所 构 成 的 曲 线 C 定 义 为 曲 线 C的 “ 伴 随 曲 线 ” .现 有 下 列 命 题 ： 若 点 A 的 “ 伴 随 点 ” 是 点 A ， 则 点 A 的 “ 伴 随 点 ” 是 点 A； 单 位 圆 的 “ 伴 随 曲 线 ” 是 它 自 身 ； 若 曲 线 C关 于 x 轴 对 称
18、， 则 其 “ 伴 随 曲 线 ” C 关 于 y 轴 对 称 ； 一 条 直 线 的 “ 伴 随 曲 线 ” 是 一 条 直 线 .其 中 的 真 命 题 是 (写 出 所 有 真 命 题 的 序 列 ).解 析 ： 若 点 A(x， y)的 “ 伴 随 点 ” 是 点 A ( 2 2yx y ， 2 2xx y )， 则 点 A ( 2 2yx y ，2 2xx y )的 “ 伴 随 点 ” 是 点 (-x， -y)， 故 不 正 确 ； 由 可 知 ， 单 位 圆 的 “ 伴 随 曲 线 ” 是 它 自 身 ， 故 正 确 ； 若 曲 线 C 关 于 x 轴 对 称 ， 点 A(x， y
19、)关 于 x 轴 的 对 称 点 为 (x， -y)， “ 伴 随 点 ” 是 点 A( 2 2yx y ， 2 2xx y )， 则 其 “ 伴 随 曲 线 ” C 关 于 y 轴 对 称 ， 故 正 确 ； 设 直 线 方 程 为 y=kx+b(b 0)， 点 A(x， y)的 “ 伴 随 点 ” 是 点 A (m， n)， 则 点 A(x， y)的 “ 伴 随 点 ” 是 点 A ( 2 2yx y ， 2 2xx y )， n xm y ， x=- bnkn m ，y= bmkn m ， m= 2 2yx y ， 代 入 整 理 可 得 2 2 1km n nb =0表 示 圆 ， 故
20、 不 正 确 .答 案 ： .三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 共 75 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 16.我 国 是 世 界 上 严 重 缺 水 的 国 家 ， 某 市 政 府 为 了 鼓 励 居 民 节 约 用 水 ， 计 划 调 整 居 民 生 活 用水 收 费 方 案 ， 拟 确 定 一 个 合 理 的 月 用 水 量 标 准 x(吨 )， 一 位 居 民 的 月 用 水 量 不 超 过 x 的 部 分按 平 价 收 费 ， 超 出 x的 部 分 按 议 价 收 费 .为 了 了 解 居 民 用 水 情 况
21、， 通 过 抽 样 ， 获 得 了 某 年 100位 居 民 每 人 的 月 均 用 水 量 (单 位 ： 吨 )， 将 数 据 按 照 0， 0.5)， 0.5， 1)， ， 4， 4.5)分 成9组 ， 制 成 了 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图 . ( )求 直 方 图 中 a 的 值 ；( )设 该 市 有 30万 居 民 ， 估 计 全 市 居 民 中 月 均 用 水 量 不 低 于 3 吨 的 人 数 ， 并 说 明 理 由 ； ( )若 该 市 政 府 希 望 使 85%的 居 民 每 月 的 用 水 量 不 超 过 标 准 x(吨 )， 估 计 x 的 值 ，
22、并 说 明 理由 .解 析 ： ( )根 据 各 组 的 累 积 频 率 为 1， 构 造 方 程 ， 可 得 a值 ；( )由 图 可 得 月 均 用 水 量 不 低 于 3吨 的 频 率 ， 进 而 可 估 算 出 月 均 用 水 量 不 低 于 3吨 的 人 数 ；( )由 图 可 得 月 均 用 水 量 低 于 2.5吨 的 频 率 及 月 均 用 水 量 低 于 3 吨 的 频 率 ， 进 而 可 得 x 值 .答 案 ： ( ) 0.5 (0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1， a=0.3；( )由 图 可 得 月 均 用 水 量 不 低
23、于 3吨 的 频 率 为 ： 0.5 (0.12+0.08+0.04)=0.12，由 30 0.12=3.6得 ： 全 市 居 民 中 月 均 用 水 量 不 低 于 3 吨 的 人 数 约 为 3.6万 ；( )由 图 可 得 月 均 用 水 量 低 于 2.5 吨 的 频 率 为 ： 0.5 (0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)=0.7385%；月 均 用 水 量 低 于 3 吨 的 频 率 为 ： 0.5 (0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3)=0.88 85%； 则 x=2.5+0.5 0.85 0.730.3 0.5 =2.9吨 .17.在 ABC中 ，
24、 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 是 a， b， c， 且 cos cos sinA B Ca b c .( )证 明 ： sinAsinB=sinC；( )若 b2+c2-a2= 65 bc， 求 tanB.解 析 ： ( )将 已 知 等 式 通 分 后 利 用 两 角 和 的 正 弦 函 数 公 式 整 理 ， 利 用 正 弦 定 理 ， 即 可 证 明 .( )由 余 弦 定 理 求 出 A 的 余 弦 函 数 值 ， 利 用 ( )的 条 件 ， 求 解 B 的 正 切 函 数 值 即 可 .答 案 ： ( )在 ABC中 ， cos cos sinA B Ca b c
25、， 由 正 弦 定 理 得 ： cos cos sinsin sin sinA B CA B C ， sincos sin cos sin 1sin sin sin sinA BA B B AA B A B ， sin(A+B)=sinC. 整 理 可 得 ： sinAsinB=sinC，( )b2+c2-a2= 65 bc， 由 余 弦 定 理 可 得 cosA= 35 .sinA= 45 ， cossi 4n 3AA ， cos cos sinsin sin sinA B CA B C =1， cossi 4n 1BB ， tanB=4.18.如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中
26、， PA CD， AD BC， ADC= PAB=90 ， BC=CD= 12 AD. (I)在 平 面 PAD 内 找 一 点 M， 使 得 直 线 CM 平 面 PAB， 并 说 明 理 由 ；( )若 二 面 角 P-CD-A的 大 小 为 45 ， 求 直 线 PA与 平 面 PCE所 成 角 的 正 弦 值 .解 析 ： (I)延 长 AB 交 直 线 CD 于 点 M， 由 点 E为 AD 的 中 点 ， 可 得 AE=ED= 12 AD， 由 BC=CD= 12 AD，可 得 ED=BC， 已 知 ED BC.可 得 四 边 形 BCDE为 平 行 四 边 形 ， 即 EB CD
27、.利 用 线 面 平 行 的 判 定定 理 证 明 得 直 线 CM 平 面 PBE即 可 .(II)如 图 所 示 ， 由 ADC= PAB=90 ， 异 面 直 线 PA 与 CD 所 成 的 角 为 90 AB CD=M， 可 得AP 平 面 ABCD.由 CD PD， PA AD.因 此 PDA是 二 面 角 P-CD-A的 平 面 角 ， 大 小 为 45 .PA=AD.不 妨 设 AD=2， 则 BC=CD= 12 AD=1.可 得 P(0， 0， 2)， E(0， 1， 0)， C(-1， 2， 0)， 利 用 法 向 量的 性 质 、 向 量 夹 角 公 式 、 线 面 角 计
28、 算 公 式 即 可 得 出 .答 案 ： (I)延 长 AB 交 直 线 CD 于 点 M， 点 E为 AD的 中 点 ， AE=ED= 12 AD， BC=CD= 12 AD， ED=BC， AD BC， 即 ED BC. 四 边 形 BCDE为 平 行 四 边 形 ， 即 EB CD. AB CD=M， M CD， CM BE， BE平 面 PBE， CM 平 面 PBE， M AB， AB平 面 PAB， M 平 面 PAB， 故 在 平 面 PAB内 可 以 找 到 一 点 M(M=AB CD)， 使 得 直 线 CM 平 面 PBE.(II)如 图 所 示 ， ADC= PAB=9
29、0 ， 异 面 直 线 PA 与 CD所 成 的 角 为 90 ， AB CD=M， AP 平 面 ABCD. CD PD， PA AD.因 此 PDA是 二 面 角 P-CD-A 的 平 面 角 ， 大 小 为 45 . PA=AD.不 妨 设 AD=2， 则 BC=CD= 12 AD=1. P(0， 0， 2)， E(0， 1， 0)， C(-1， 2， 0)， EC=(-1， 1， 0)， PE=(0， 1， -2)， AP =(0， 0， 2)，设 平 面 PCE的 法 向 量 为 n =(x， y， z)， 则 00n PEn EC ， 可 得 ： 2 00y zx y ，令 y=2
30、， 则 x=2， z=1， n =(2， 2， 1).设 直 线 PA 与 平 面 PCE所 成 角 为 ， 则 sin =|cos AP ， n |= 2 139 2AP nAP n . 19.已 知 数 列 an的 首 项 为 1， Sn为 数 列 an的 前 n 项 和 ， Sn+1=qSn+1， 其 中 q 0， n N*. ( )若 2a2， a3， a2+2成 等 差 数 列 ， 求 an的 通 项 公 式 ；( )设 双 曲 线 22 2nyx a =1的 离 心 率 为 en， 且 e2= 53 ， 证 明 ： e1+e2+.+en 14 33n nn .解 析 ： ( )由
31、条 件 利 用 等 比 数 列 的 定 义 和 性 质 ， 求 得 数 列 an为 首 项 等 于 1、 公 比 为 q的 等比 数 列 ， 再 根 据 2a2， a3， a2+2成 等 差 数 列 求 得 公 比 q的 值 ， 可 得 an的 通 项 公 式 .( )利 用 双 曲 线 的 定 义 和 简 单 性 质 求 得 e n= 21 na ， 根 据 e2= 25 13 q ， 求 得 q 的 值 ，可 得 an的 解 析 式 ， 再 利 用 放 缩 法 可 得 en= 21 na ( 43 )n-1， 从 而 证 得 不 等 式 成 立 .答 案 ： ( ) Sn+1=qSn+1
32、， 当 n 2 时 ， Sn=qSn-1+1 ， 两 式 相 加 你 可 得 an+1=q an，即 从 第 二 项 开 始 ， 数 列 an为 等 比 数 列 ， 公 比 为 q.当 n=1时 ， 数 列 an的 首 项 为 1， a1+a2=S2=q a1+1， a2=q=a1 q， 数 列 a n为 等 比 数 列 ， 公 比 为 q. 2a2， a3， a2+2成 等 差 数 列 ， 2q+q+2=2q2， 求 得 q=2， 或 q=- 12 .根 据 q 0， 故 取 q=2， an=2n-1， n N*.( )设 双 曲 线 22 2nyx a =1的 离 心 率 为 en， en
33、= 2 21 11 n na a .由 于 数 列 a n为 首 项 等 于 1、 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ， e2= 53 = 2 221 1a q ， q= 43 ， an=( 43 )n-1， en= 21 na = 2 2 2 2 14 4 43 3 31 n n n . e 1+e2+.+en 1+ 43 +( 43 )2+ +( 43 )n-1= 11 4 331 4343 n n nn ， 原 不 等 式 得 证 .20.已 知 椭 圆 E： 2 22 2x ya b =1(a b 0)的 两 个 焦 点 与 短 轴 的 一 个 端 点 是 直 角 三 角 形 的 3
34、个 顶点 ， 直 线 l： y=-x+3与 椭 圆 E有 且 只 有 一 个 公 共 点 T.( )求 椭 圆 E 的 方 程 及 点 T 的 坐 标 ；( )设 O 是 坐 标 原 点 ， 直 线 l 平 行 于 OT， 与 椭 圆 E 交 于 不 同 的 两 点 A、 B， 且 与 直 线 l 交于 点 P.证 明 ： 存 在 常 数 ， 使 得 |PT| 2= |PA| |PB|， 并 求 的 值 .解 析 ： ( )根 据 椭 圆 的 短 轴 端 点 C 与 左 右 焦 点 F1、 F2构 成 等 腰 直 角 三 角 形 ， 结 合 直 线 l与 椭圆 E 只 有 一 个 交 点 ，利
35、 用 判 别 式 =0， 即 可 求 出 椭 圆 E的 方 程 和 点 T的 坐 标 ；( )设 出 点 P的 坐 标 ， 根 据 l OT 写 出 l 的 参 数 方 程 ， 代 人 椭 圆 E的 方 程 中 ， 整 理 得 出 方 程 ，再 根 据 参 数 的 几 何 意 义 求 出 |PT|2、 |PA|和 |PB|， 由 |PT|2= |PA| |PB|求 出 的 值 .答 案 ： ( )设 短 轴 一 端 点 为 C(0， b)， 左 右 焦 点 分 别 为 F1(-c， 0)， F2(c， 0)， 其 中 c 0，则 c2+b2=a2；由 题 意 ， F1F2C为 直 角 三 角
36、形 ， |F 1F2|2=|F1C|2+|F2C|2， 解 得 b=c= 22 a， 椭 圆 E 的 方 程 为 2 22 22x yb b =1；代 人 直 线 l： y=-x+3， 可 得 3x2-12x+18-2b2=0，又 直 线 l 与 椭 圆 E 只 有 一 个 交 点 ， 则 =122-4 3(18-2b2)=0， 解 得 b2=3， 椭 圆 E 的 方 程 为 2 26 3x y =1；由 b 2=3， 解 得 x=2， 则 y=-x+3=1， 所 以 点 T的 坐 标 为 (2， 1)；( )设 P(x0， 3-x0)在 l 上 ， 由 kOT= 12 ， l 平 行 OT，
37、得 l 的 参 数 方 程 为 0 023x x ty x t ， ，代 人 椭 圆 E中 ， 得 (x 0+2t)2+2(3-x0+t)2=6， 整 理 得 2t2+4t+x02-4x0+4=0；设 两 根 为 tA， tB， 则 有 tA tB= 20 22x ；而 |PT|2=( 2 20 02 3 1x x )2=2(x0-2)2，|PA|= 2 20 0 0 02 3 3A Ax t x x t x =| 5 t A|，|PB|= 2 20 0 0 02 3 3B Bx t x x t x =| 5 tB|，且 |PT|2= |PA| |PB|， = 2PTPA PB = 20 20
38、2 2 45 522 xx ， 即 存 在 满 足 题 意 的 值 .21.设 函 数 f(x)=ax 2-a-lnx， 其 中 a R.( )讨 论 f(x)的 单 调 性 ；( )确 定 a 的 所 有 可 能 取 值 ， 使 得 f(x) 1x -e1-x在 区 间 (1， + )内 恒 成 立 (e=2.718 为 自然 对 数 的 底 数 ).解 析 ： (I)利 用 导 数 的 运 算 法 则 得 出 f (x)， 通 过 对 a 分 类 讨 论 ， 利 用 一 元 二 次 方 程 与 一 元二 次 不 等 式 的 关 系 即 可 判 断 出 其 单 调 性 ；( )令 g(x)=
39、f(x)- 1x -e 1-x=ax2-lnx- 1x +e1-x-a， 可 得 g(1)=0， 从 而 g (1) 0， 解 得 a 12 ， 当 a 12 时 ， F (x)= 31 12 3 31 2 22 x xx xa e ex x x ， 可 得 F (x)在 a 12 时 恒 大于 0， 即 F(x)在 x (1， + )单 调 递 增 .由 F(x) F(1)=2a-1 0， 可 得 g(x)也 在 x (1， + )单 调 递 增 ， 进 而 利 用 g(x) g(1)=0， 可 得 g(x)在 x (1， + )上 恒 大 于 0， 综 合 可 得 a所 有 可 能 取 值
40、 .答 案 ： ( )由 题 意 ， f (x)= 21 2 12 axax x x ， x 0， 当 a 0 时 ， 2ax 2-1 0， f (x) 0， f(x)在 (0， + )上 单 调 递 减 . 当 a 0 时 ， f (x)= 1 12 2 2a x xa ax ， 当 x (0， 12a )时 ， f (x) 0，当 x ( 12a ， + )时 ， f (x) 0，故 f(x)在 (0， 12a)上 单 调 递 减 ， 在 ( 12a ， + )上 单 调 递 增 .( )原 不 等 式 等 价 于 f(x)- 1x +e 1-x 0在 x (1.+ )上 恒 成 立 ，一
41、 方 面 ， 令 g(x)=f(x)- 1x +e1-x=ax2-lnx- 1x +e1-x-a，只 需 g(x)在 x (1.+ )上 恒 大 于 0 即 可 ，又 g(1)=0， 故 g (x)在 x=1处 必 大 于 等 于 0.令 F(x)=g (x)=2ax- 1x + 21x -e1-x， g (1) 0， 可 得 a 12 .另 一 方 面 ， 当 a 12 时 ， F (x)= 31 1 12 3 2 3 31 2 1 2 22 1x x xx xa e e ex x x x x ， x (1， + )， 故 x 3+x-2 0， 又 e1-x 0， 故 F (x)在 a 12 时 恒 大 于 0. 当 a 12 时 ， F(x)在 x (1， + )单 调 递 增 . F(x) F(1)=2a-1 0， 故 g(x)也 在 x (1， + )单 调 递 增 . g(x) g(1)=0， 即 g(x)在 x (1， + )上 恒 大 于 0.综 上 ， a 12 .
