1、2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (北 京 卷 )数 学 文一 、 选 择 题 (共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 40 分 )1.已 知 集 合 A=x|2 x 4， B=x|x 3 或 x 5， 则 A B=( )A.x|2 x 5B.x|x 4或 x 5C.x|2 x 3D.x|x 2或 x 5解 析 ： 集 合 A=x|2 x 4， B=x|x 3 或 x 5， A B=x|2 x 3.答 案 ： C 2.复 数 1 22 ii =( )A.iB.1+iC.-iD.1-i解 析 ： 1 2 21 2 52 2 2 5i ii ii i
2、 i =i.答 案 ： A3.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 s 的 值 为 ( ) A.8B.9C.27D.36解 析 ： 当 k=0时 ， 满 足 进 行 循 环 的 条 件 ， 故 S=0， k=1，当 k=1时 ， 满 足 进 行 循 环 的 条 件 ， 故 S=1， k=2，当 k=2时 ， 满 足 进 行 循 环 的 条 件 ， 故 S=9， k=3， 当 k=3时 ， 不 满 足 进 行 循 环 的 条 件 ，故 输 出 的 S值 为 9.答 案 ： B4.下 列 函 数 中 ， 在 区 间 (-1， 1)上 为 减 函 数 的 是 ( )A.y= 11
3、xB.y=cosxC.y=ln(x+1)D.y=2 -x解 析 ： A.x增 大 时 ， -x减 小 ， 1-x减 小 ， 11 x 增 大 ； 函 数 y= 11 x 在 (-1， 1)上 为 增 函数 ， 即 该 选 项 错 误 ；B.y=cosx在 (-1， 1)上 没 有 单 调 性 ， 该 选 项 错 误 ；C.x增 大 时 ， x+1增 大 ， ln(x+1)增 大 ， y=ln(x+1)在 (-1， 1)上 为 增 函 数 ， 即 该 选 项 错 误 ；D.y=2 -x=( 12 )x； 根 据 指 数 函 数 单 调 性 知 ， 该 函 数 在 (-1， 1)上 为 减 函 数
4、 ， 该 选 项 正 确 .答 案 ： D.5.圆 (x+1)2+y2=2的 圆 心 到 直 线 y=x+3 的 距 离 为 ( )A.1B.2C. 2D.2 2解 析 ： 圆 (x+1) 2+y2=2 的 圆 心 为 (-1， 0)， 圆 (x+1)2+y2=2 的 圆 心 到 直 线 y=x+3 的 距 离 为 ：d= 1 3 22 .答 案 ： C.6.从 甲 、 乙 等 5名 学 生 中 随 机 选 出 2 人 ， 则 甲 被 选 中 的 概 率 为 ( )A. 15B. 25C. 825 D. 925解 析 ： 从 甲 、 乙 等 5名 学 生 中 随 机 选 出 2 人 ， 基 本
5、 事 件 总 数 n= 25C =10， 甲 被 选 中 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数 m= 1 11 4C C =4， 甲 被 选 中 的 概 率 p= 4 210 5mn .答 案 ： B7.已 知 A(2， 5)， B(4， 1).若 点 P(x， y)在 线 段 AB 上 ， 则 2x-y的 最 大 值 为 ( )A.-1B.3C.7D.8解 析 ： 如 图 . A(2， 5)， B(4， 1).若 点 P(x， y)在 线 段 AB上 ，令 z=2x-y， 则 平 行 y=2x-z当 直 线 经 过 B 时 截 距 最 小 ， Z 取 得 最 大 值 ，可 得 2x-y 的
6、 最 大 值 为 ： 2 4-1=7.答 案 ： C.8.某 学 校 运 动 会 的 立 定 跳 远 和 30秒 跳 绳 两 个 单 项 比 赛 分 成 预 赛 和 决 赛 两 个 阶 段 ， 表 中 为 10名 学 生 的 预 赛 成 绩 ， 其 中 有 三 个 数 据 模 糊 .学 生 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立 定 跳 远(单 位 ： 米 ) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒 跳 绳(单 位 ： 次 ) 63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65 在 这 10名 学 生 中 ，
7、进 入 立 定 跳 远 决 赛 的 有 8 人 ， 同 时 进 入 立 定 跳 远 决 赛 和 30 秒 跳 绳 决 赛 的有 6 人 ， 则 ( )A.2号 学 生 进 入 30 秒 跳 绳 决 赛B.5号 学 生 进 入 30 秒 跳 绳 决 赛C.8号 学 生 进 入 30 秒 跳 绳 决 赛D.9号 学 生 进 入 30 秒 跳 绳 决 赛解 析 ： 这 10 名 学 生 中 ， 进 入 立 定 跳 远 决 赛 的 有 8 人 ，故 编 号 为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8 的 学 生 进 入 立 定 跳 远 决 赛 ，又 由 同 时 进 入 立 定 跳 远 决 赛 和
8、 30 秒 跳 绳 决 赛 的 有 6 人 ，则 3， 6， 7号 同 学 必 进 入 30 秒 跳 绳 决 赛 ， 剩 下 1， 2， 4， 5， 8号 同 学 的 成 绩 分 别 为 ： 63， a， 60， 63， a-1 有 且 只 有 3 人 进 入 30秒 跳绳 决 赛 ， 故 成 绩 为 63的 同 学 必 进 入 30秒 跳 绳 决 赛 .答 案 ： B二 、 填 空 题 (共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 30 分 )9.已 知 向 量 a =(1， 3 )， b =( 3 ， 1)， 则 a 与 b 夹 角 的 大 小 为 .解 析 ： 向 量 a=(1，
9、 3 )， b=( 3 ， 1)， a 与 b 夹 角 满 足 ： cos = 2 3 32 2 2aba b ，又 0， ， = 6 ， 答 案 ： 6 .10.函 数 f(x)= 1xx (x 2)的 最 大 值 为 .解 析 ： f(x)= 1 1 111 1 1x xx x x ； f(x)在 2， + )上 单 调 递 减 ； x=2 时 ， f(x)取 最 大 值 2.答 案 ： 2.11.某 四 棱 柱 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 四 棱 柱 的 体 积 为 . 解 析 ： 由 已 知 中 的 三 视 图 可 得 ： 该 几 何 体 上 部 是 一 个 以 俯 视
10、 图 为 底 面 四 棱 柱 ，棱 柱 的 底 面 面 积 S= 12 (1+2) 1= 32 ， 棱 柱 的 高 为 1， 故 棱 柱 的 体 积 V= 32 .答 案 ： 3212.已 知 双 曲 线 2 22 2x ya b =1(a 0， b 0)的 一 条 渐 近 线 为 2x+y=0， 一 个 焦 点 为 ( 5 ， 0)， 则a= ， b= . 解 析 ： 双 曲 线 2 22 2x ya b =1(a 0， b 0)的 一 条 渐 近 线 为 2x+y=0， 一 个 焦 点 为 (5， 0)， 2 22 5baa b ， ， 解 得 a=1， b=2.答 案 ： 1， 2.13
11、.在 ABC中 ， A= 23 ， a= 3 c， 则 bc = .解 析 ： 在 ABC中 ， A= 23 ， a=3c， 由 正 弦 定 理 可 得 ： sin sina cA C ， 32 sinsin 3c cC ， sinC= 12 ， C= 6 ， 则 B= - 23 - 6 = 6 .三 角 形 是 等 腰 三 角 形 ， B=C， 则 b=c， 则 bc =1.答 案 ： 114.某 网 店 统 计 了 连 续 三 天 售 出 商 品 的 种 类 情 况 ： 第 一 天 售 出 19 种 商 品 ， 第 二 天 售 出 13种商 品 ， 第 三 天 售 出 18种 商 品 ；
12、前 两 天 都 售 出 的 商 品 有 3 种 ， 后 两 天 都 售 出 的 商 品 有 4 种 ，则 该 网 店 ： 第 一 天 售 出 但 第 二 天 未 售 出 的 商 品 有 种 ； 这 三 天 售 出 的 商 品 最 少 有 种 .解 析 ： 设 第 一 天 售 出 商 品 的 种 类 集 为 A， 第 二 天 售 出 商 品 的 种 类 集 为 B， 第 三 天 售 出 商 品 的 种 类 集 为 C， 如 图 ，则 第 一 天 售 出 但 第 二 天 未 售 出 的 商 品 有 16 种 ； 由 知 ， 前 两 天 售 出 的 商 品 种 类 为 19+13-3=29种 ，当
13、第 三 天 售 出 的 18 种 商 品 都 是 第 一 天 或 第 二 天 售 出 的 商 品 时 ， 这 三 天 售 出 的 商 品 种 类 最 少为 29 种 .答 案 ： 16； 29三 、 解 答 题 (共 6 小 题 ， 满 分 80 分 )15.已 知 a n是 等 差 数 列 ， bn是 等 比 数 列 ， 且 b2=3， b3=9， a1=b1， a14=b4.(1)求 an的 通 项 公 式 ；(2)设 cn=an+bn， 求 数 列 cn的 前 n项 和 .解 析 ： (1)设 an是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， bn是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ，
14、 运 用 通 项 公 式 可 得q=3， d=2， 进 而 得 到 所 求 通 项 公 式 ；(2)求 得 cn=an+bn=2n-1+3n-1， 再 由 数 列 的 求 和 方 法 ： 分 组 求 和 ， 运 用 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 求 和 公 式 ， 计 算 即 可 得 到 所 求 和 .答 案 ： (1)设 an是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， bn是 公 比 为 q的 等 比 数 列 ，由 b2=3， b3=9， 可 得 q= 32bb =3， bn=b2qn-2=3 3n-2=3n-1；即 有 a1=b1=1， a14=b4=27， 则 d= 14 11
15、3a a =2， 则 an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1；(2)c n=an+bn=2n-1+3n-1，则 数 列 cn的 前 n 项 和 为 (1+3+ +(2n-1)+(1+3+9+ +3n-1)= 21 1 3 3 122 1 3 2n nn n n .16.已 知 函 数 f(x)=2sin xcos x+cos2 x( 0)的 最 小 正 周 期 为 .(1)求 的 值 ；(2)求 f(x)的 单 调 递 增 区 间 .解 析 ： (1)利 用 倍 角 公 式 结 合 两 角 和 的 正 弦 化 积 ， 再 由 周 期 公 式 列 式 求 得 的 值 ；(2)直 接
16、 由 相 位 在 正 弦 函 数 的 增 区 间 内 求 解 x 的 取 值 范 围 得 f(x)的 单 调 递 增 区 间 .答 案 ： (1)f(x)=2sin xcos x+cos2 x=sin2 x+cos2 x= 2 ( 22 sin2 x+ 22 cos2 x)= 2 sin(2 x+ 4). 由 T= 22 = ， 得 =1；(2)由 (1)得 ， f(x)= 2 sin(2x+ 4 ).再 由 - 2 +2k 2x+ 4 2 +2k ， 得 - 38 +k x 8 +k ， k Z. f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 - 38 +k ， 8 +k (k Z).17.某 市
17、 居 民 用 水 拟 实 行 阶 梯 水 价 ， 每 人 月 用 水 量 中 不 超 过 w 立 方 米 的 部 分 按 4元 /立 方 米 收费 ， 超 出 w 立 方 米 的 部 分 按 10 元 /立 方 米 收 费 ， 从 该 市 随 机 调 查 了 10000位 居 民 ， 获 得 了 他们 某 月 的 用 水 量 数 据 ， 整 理 得 到 如 图 频 率 分 布 直 方 图 ： (1)如 果 w 为 整 数 ， 那 么 根 据 此 次 调 查 ， 为 使 80%以 上 居 民 在 该 月 的 用 水 价 格 为 4 元 /立 方 米 ，w至 少 定 为 多 少 ？ (2)假 设
18、同 组 中 的 每 个 数 据 用 该 组 区 间 的 右 端 点 值 代 替 ， 当 w=3 时 ， 估 计 该 市 居 民 该 月 的 人均 水 费 .解 析 ： (1)由 频 率 分 布 直 方 图 得 ： 用 水 量 在 0.5， 1)的 频 率 为 0.1， 用 水 量 在 1， 1.5)的 频率 为 0.15， 用 水 量 在 1.5， 2)的 频 率 为 0.2， 用 水 量 在 2， 2.5)的 频 率 为 0.25， 用 水 量 在 2.5，3)的 频 率 为 0.15， 用 水 量 在 3， 3.5)的 频 率 为 0.05， 用 水 量 在 3.5， 4)的 频 率 为
19、0.05， 用水 量 在 4， 4.5)的 频 率 为 0.05， 由 此 能 求 出 为 使 80%以 上 居 民 在 该 用 的 用 水 价 为 4 元 /立 方米 ， w至 少 定 为 3 立 方 米 .(2)当 w=3 时 ， 利 用 频 率 分 布 直 方 图 能 求 出 该 市 居 民 的 人 均 水 费 .答 案 ： (1)由 频 率 分 布 直 方 图 得 ：用 水 量 在 0.5， 1)的 频 率 为 0.1，用 水 量 在 1， 1.5)的 频 率 为 0.15，用 水 量 在 1.5， 2)的 频 率 为 0.2，用 水 量 在 2， 2.5)的 频 率 为 0.25，
20、用 水 量 在 2.5， 3)的 频 率 为 0.15，用 水 量 在 3， 3.5)的 频 率 为 0.05，用 水 量 在 3.5， 4)的 频 率 为 0.05，用 水 量 在 4， 4.5)的 频 率 为 0.05， 用 水 量 小 于 等 于 3立 方 米 的 频 率 为 85%， 为 使 80%以 上 居 民 在 该 用 的 用 水 价 为 4 元 /立 方 米 ， w 至 少 定 为 3立 方 米 .(2)当 w=3 时 ， 该 市 居 民 的 人 均 水 费 为 ：(0.1 1+0.15 1.5+0.2 2+0.25 2.5+0.15 3) 4+0.05 3 4+0.05 0.
21、5 10+0.05 3 4+0.05 1 10+0.05 3 4+0.05 1.5 10=10.5， 当 w=3时 ， 估 计 该 市 居 民 该 月 的 人 均 水 费 为 10.5 元 .18.如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， PC 平 面 ABCD， AB DC， DC AC. (1)求 证 ： DC 平 面 PAC；(2)求 证 ： 平 面 PAB 平 面 PAC；(3)设 点 E 为 AB的 中 点 ， 在 棱 PB 上 是 否 存 在 点 F， 使 得 PA 平 面 CEF？ 说 明 理 由 .解 析 ： (1)利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 D
22、C 平 面 PAC；(2)利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 AB 平 面 PAC， 即 可 证 明 平 面 PAB 平 面 PAC；(3)在 棱 PB上 存 在 中 点 F， 使 得 PA 平 面 CEF.利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 证 明 .答 案 ： (1) PC 平 面 ABCD， DC平 面 ABCD， PC DC， DC AC， PC AC=C， DC 平 面 PAC；(2) AB DC， DC AC， AB AC， PC 平 面 ABCD， AB平 面 ABCD， PC AB， PC AC=C， AB 平 面 PAC， AB平 面 PAB， 平 面
23、 PAB 平 面 PAC；(3)在 棱 PB上 存 在 中 点 F， 使 得 PA 平 面 CEF. 点 E为 AB的 中 点 ， EF PA， PA平 面 CEF， EF平 面 CEF， PA 平 面 CEF.19.已 知 椭 圆 C： 2 22 2x ya b =1 过 点 A(2， 0)， B(0， 1)两 点 .(1)求 椭 圆 C 的 方 程 及 离 心 率 ；(2)设 P 为 第 三 象 限 内 一 点 且 在 椭 圆 C 上 ， 直 线 PA与 y轴 交 于 点 M， 直 线 PB与 x 轴 交 于 点 N，求 证 ： 四 边 形 ABNM 的 面 积 为 定 值 . 解 析 ：
24、 (1)由 题 意 可 得 a=2， b=1， 则 2 2 4 1 3c a b ， 则 椭 圆 C 的 方 程 可 求 ，离 心 率 为 e= 32 ；(2)设 P(x0， y0)， 求 出 PA、 PB 所 在 直 线 方 程 ， 得 到 M， N的 坐 标 ， 求 得 |AN|， |BM|.由 SABNM=12 |AN| |BM|， 结 合 P 在 椭 圆 上 求 得 四 边 形 ABNM的 面 积 为 定 值 2.答 案 ： (1) 椭 圆 C： 2 22 2x ya b =1 过 点 A(2， 0)， B(0， 1)两 点 ， a=2， b=1， 则 2 2 4 1 3c a b ，
25、 椭 圆 C 的 方 程 为 2 24x y =1， 离 心 率 为 e= 32 ；(2)证 明 ： 如 图 ，设 P(x 0， y0)， 则 kPA= 00 2yx ， PA所 在 直 线 方 程 为 y= 00 22y xx ，取 x=0， 得 yM= 002 2yx ； kPB= 0 0 1yx ， PB所 在 直 线 方 程 为 y= 0 0 1yx x+1，取 y=0， 得 xN= 0 01 xy . |AN|=2-xN=2- 0 01 xy = 0 002 21 y xy ， |BM|=1-xM= 0 0 00 02 2 21 2 2y x yx x . S ABNM= 12 |A
26、N| |BM|= 12 0 002 21 y xy 0 002 22x yx = 20 00 02 212 1 2x yy x = 20 0 0 00 0 0 02 4 2 412 2 2x y x yx y x y = 2 20 0 0 0 0 00 0 0 04 4 4 8 412 2 2x x y y x yx y x y = 0 0 0 00 0 0 04 2 212 2 2x y x yx y x y = 12 4=2. 四 边 形 ABNM 的 面 积 为 定 值 2.20.设 函 数 f(x)=x 3+ax2+bx+c.(1)求 曲 线 y=f(x)在 点 (0， f(0)处 的
27、 切 线 方 程 ；(2)设 a=b=4， 若 函 数 f(x)有 三 个 不 同 零 点 ， 求 c 的 取 值 范 围 ；(3)求 证 ： a2-3b 0 是 f(x)有 三 个 不 同 零 点 的 必 要 而 不 充 分 条 件 .解 析 ： (1)求 出 f(x)的 导 数 ， 求 得 切 线 的 斜 率 和 切 点 ， 进 而 得 到 所 求 切 线 的 方 程 ；(2)由 f(x)=0， 可 得 -c=x3+4x2+4x， 由 g(x)=x3+4x2+4x， 求 得 导 数 ， 单 调 区 间 和 极 值 ， 由 -c介 于 极 值 之 间 ， 解 不 等 式 即 可 得 到 所
28、求 范 围 ；(3)先 证 若 f(x)有 三 个 不 同 零 点 ， 令 f(x)=0， 可 得 单 调 区 间 有 3个 ， 求 出 导 数 ， 由 导 数 的 图象 与 x轴 有 两 个 不 同 的 交 点 ， 运 用 判 别 式 大 于 0， 可 得 a 2-3b 0； 再 由 a=b=4， c=0， 可 得 若a2-3b 0， 不 能 推 出 f(x)有 3个 零 点 .答 案 ： (1)函 数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的 导 数 为 f (x)=3x2+2ax+b，可 得 y=f(x)在 点 (0， f(0)处 的 切 线 斜 率 为 k=f (0)=b，切 点 为 (0
29、， c)， 可 得 切 线 的 方 程 为 y=bx+c；(2)设 a=b=4， 即 有 f(x)=x3+4x2+4x+c，由 f(x)=0， 可 得 -c=x3+4x2+4x，由 g(x)=x 3+4x2+4x的 导 数 g (x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2)，当 x - 23 或 x -2时 ， g (x) 0， g(x)递 增 ；当 -2 x - 23 时 ， g (x) 0， g(x)递 减 .即 有 g(x)在 x=-2处 取 得 极 大 值 ， 且 为 0； g(x)在 x=- 23 处 取 得 极 小 值 ， 且 为 - 3227 .由 函 数 f(x)有 三 个
30、不 同 零 点 ， 可 得 - 3227 -c 0， 解 得 0 c 3227 ， 则 c 的 取 值 范 围 是 (0， 3227 )；(3)若 f(x)有 三 个 不 同 零 点 ， 令 f(x)=0，可 得 f(x)的 图 象 与 x轴 有 三 个 不 同 的 交 点 .即 有 f(x)有 3 个 单 调 区 间 ，即 为 导 数 f (x)=3x2+2ax+b 的 图 象 与 x轴 有 两 个 交 点 ，可 得 0， 即 4a2-12b 0， 即 为 a2-3b 0；若 a 2-3b 0， 即 有 导 数 f (x)=3x2+2ax+b 的 图 象 与 x轴 有 两 个 交 点 ，当 c=0， a=b=4 时 ， 满 足 a2-3b 0，即 有 f(x)=x(x+2)2， 图 象 与 x轴 交 于 (0， 0)， (-2， 0)， 则 f(x)的 零 点 为 2个 .故 a2-3b 0是 f(x)有 三 个 不 同 零 点 的 必 要 而 不 充 分 条 件 .
