1、2 0 1 6 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 上 海 卷 ） 数 学 理一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 有 1 4 题 ， 满 分 5 6 分 ） 考 生 应 在 答 题 纸 相 应 编 号 的 空 格 内 直 接 填 写 结果 ， 每 个 空 格 填 对 得 4 分 ， 否 则 一 律 得 零 分 .1 . 设 x R， 则 不 等 式 |x-3| 1 的 解 集 为 .解 析 ： x R， 不 等 式 |x-3| 1， -1 x-3 1，解 得 2 x 4. 不 等 式 |x-3| 1 的 解 集 为 (2， 4).答 案 ： (2， 4). 2
2、. 设 z=3 2ii ， 其 中 i 为 虚 数 单 位 ， 则 Imz= .解 析 ： Z= 223 2 3 2 3 2 2 31i i i i ii i ， Imz=-3 答 案 ： -3 3 . 已 知 平 行 直 线 l 1： 2x+y-1=0， l2： 2x+y+1=0， 则 l1， l2的 距 离 .解 析 ： 平 行 直 线 l1： 2x+y-1=0， l2： 2x+y+1=0， 则 l1， l2的 距 离 ： 2 21 1 2 552 1 .答 案 ： 2 55 .4 . 某 次 体 检 ， 6 位 同 学 的 身 高 （ 单 位 ： 米 ） 分 别 为 1 .7 2 ， 1
3、 .7 8 ， 1 .7 5 ， 1 .8 0 ， 1 .6 9 ， 1 .7 7 ， 则这 组 数 据 的 中 位 数 是 （ 米 ） 解 析 ： 6 位 同 学 的 身 高 （ 单 位 ： 米 ） 分 别 为 1 .7 2 ， 1 .7 8 ， 1 .7 5 ， 1 .8 0 ， 1 .6 9 ， 1 .7 7 ，从 小 到 大 排 列 为 ： 1 .6 9 ， 1 .7 2 ， 1 .7 5 ， 1 .7 7 ， 1 .7 8 ， 1 .8 0 ，位 于 中 间 的 两 个 数 值 为 1 .7 5 ， 1 .7 7 ， 这 组 数 据 的 中 位 数 是 ： 1 .7 5 +1 .7
4、7 2 =1 .7 6 （ 米 ） 答 案 ： 1 .7 6 5 . 已 知 点 (3， 9)在 函 数 f(x)=1+ax的 图 象 上 ， 则 f(x)的 反 函 数 f-1(x)= .解 析 ： 点 (3， 9)在 函 数 f(x)=1+ax的 图 象 上 ， 9=1+a3， 解 得 a=2. f(x)=1+2x， 由 1+2x=y， 解 得 x=log2(y-1)， (y 1).把 x 与 y 互 换 可 得 ： f(x)的 反 函 数 f-1(x)=log2(x-1).答 案 ： log 2(x-1)， (x 1).6 . 在 正 四 棱 柱 ABCD-A1 B1 C1 D1 中 ，
5、 底 面 ABCD的 边 长 为 3 ， BD1 与 底 面 所 成 角 的 大 小 为 arctan 23 ， 则 该 正 四 棱 柱 的 高 等 于 .解 析 ： 正 四 棱 柱 ABCD-A1 B1 C1 D1 的 侧 棱 D1 D 底 面 ABCD， D1 BD 为 直 线 BD1 与 底 面 ABCD 所 成 的 角 ， tan D1 BD= 23 ， 正 四 棱 柱 ABCD-A1 B1 C1 D1 中 ， 底 面 ABCD 的 边 长 为 3 ， BD=3 2， 正 四 棱 柱 的 高 = 23 2 =2 23 ，答 案 ： 2 27 . 方 程 3sinx=1+cos2x在 区
6、 间 0， 2 上 的 解 为 .解 析 ： 方 程 3sinx=1+cos2x， 可 得 3sinx=2-2sin 2x，即 2sin2x+3sinx-2=0.可 得 sinx=-2， (舍 去 )sinx=12 ， x 0， 2 解 得 x= 6 或 56 .答 案 ： 6 或 56 .8 . 在 3 2 nx x 的 二 项 式 中 ， 所 有 的 二 项 式 系 数 之 和 为 256， 则 常 数 项 等 于 . 解 析 ： 在 3 2 nx x 的 二 项 式 中 ， 所 有 的 二 项 式 系 数 之 和 为 256， 2n=256， 解 得 n=8， 83 2x x 中 ， 8
7、 48 31 8 83 ( 2 2) rr rr r rrT C C xxx ， 当 8 4 03 r ， 即 r=2 时 ， 常 数 项 为 2 23 82 112T C .答 案 ： 112.9 . 已 知 ABC的 三 边 长 分 别 为 3， 5， 7， 则 该 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 等 于 .解 析 ： 可 设 ABC的 三 边 分 别 为 a=3， b=5， c=7，由 余 弦 定 理 可 得 ， cosC= 2 2 2 9 25 49 12 2 3 5 2a b cab ，可 得 sinC= 2 1 31 1 4 2cos C ， 可 得 该 三 角 形 的 外 接
8、 圆 半 径 为 7 7 32 332 2csinC .答 案 ： 7 33 .1 0 . 设 a 0 ， b 0 ， 若 关 于 x， y 的 方 程 组 11ax yx by 无 解 ， 则 a+b 的 取 值 范 围 为 .解 析 ： 关 于 x， y 的 方 程 组 11ax yx by 无 解 ， 直 线 ax+y=1 与 x+by=1 平 行 ， a 0 ， b 0 ， 1 11 1a b ，即 a 1 ， b 1 ， 且 ab=1 ， 则 1b a ，则 a+b=a+ 1a ，则 设 f（ a） =a+ 1a ， （ a 0 且 a 1 ） ， 则 函 数 的 导 数 22 21
9、 11 af a a a （ ） ， 当 0 a 1 时 ， f （ a） = 2 2 1aa 0 ， 此 时 函 数 为 减 函 数 ， 此 时 f（ a） f（ 1 ） =2 ，当 a 1 时 ， f （ a） = 2 2 1aa 0 ， 此 时 函 数 为 增 函 数 ， f（ a） f（ 1 ） =2 ，综 上 f（ a） 2 ，即 a+b 的 取 值 范 围 是 （ 2 ， + ） ，答 案 ： （ 2 ， + ） 1 1 . 无 穷 数 列 a n由 k 个 不 同 的 数 组 成 ， Sn为 an的 前 n项 和 ， 若 对 任 意 n N*， Sn 2， 3，则 k 的 最 大
10、 值 为 .解 析 ： 对 任 意 n N*， Sn 2， 3， 可 得当 n=1时 ， a1=S1=2 或 3；若 n=2， 由 S2 2， 3， 可 得 数 列 的 前 两 项 为 2， 0； 或 2， 1； 或 3， 0； 或 3， -1；若 n=3， 由 S3 2， 3， 可 得 数 列 的 前 三 项 为 2， 0， 0； 或 2， 0， 1；或 2， 1， 0； 或 2， 1， -1； 或 3， 0， 0； 或 3， 0， -1； 或 3， 1， 0； 或 3， 1， -1；若 n=4， 由 S 3 2， 3， 可 得 数 列 的 前 四 项 为 2， 0， 0， 0； 或 2，
11、0， 0， 1；或 2， 0， 1， 0； 或 2， 0， 1， -1； 或 2， 1， 0， 0； 或 2， 1， 0， -1；或 2， 1， -1， 0； 或 2， 1， -1， 1； 或 3， 0， 0， 0； 或 3， 0， 0， -1；或 3， 0， -1， 0； 或 3， 0， -1， 1； 或 3， -1， 0， 0； 或 3， -1， 0， 1；或 3， -1， 1， 0； 或 3， -1， 1， -1；即 有 n 4 后 一 项 都 为 0 或 1 或 -1， 则 k 的 最 大 个 数 为 4，不 同 的 四 个 数 均 为 2， 0， 1， -1， 或 3， 0， 1，
12、-1.答 案 ： 4.1 2 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 A（ 1 ， 0 ） ， B（ 0 ， -1 ） ， P 是 曲 线 21y x 上 一 个 动 点 ， 则 BP BA 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， A（ 1 ， 0 ） ， B（ 0 ， -1 ） ，P 是 曲 线 21y x 上 一 个 动 点 ， 设 P（ cos ， sin ） ， 0 ， ， BA =（ 1 ， 1 ） ， BP =（ cos ， sin +1 ） ，1 2 1)4(BP BA cos sin sin ， BP BA 的 取 值 范 围
13、是 0 ， 1 + 2 答 案 ： 0 ， 1 + 2 1 3 . 设 a， b R， c 0 ， 2 ） ， 若 对 于 任 意 实 数 x 都 有 2 sin（ 3 x- 3 ） =asin（ bx+c） ， 则 满 足条 件 的 有 序 实 数 组 （ a， b， c） 的 组 数 为 .解 析 ： 对 于 任 意 实 数 x 都 有 2 sin（ 3 x- 3 ） =asin（ bx+c） ， 必 有 |a|=2 ，若 a=2 ， 则 方 程 等 价 为 sin（ 3 x- 3 ） =sin（ bx+c） ，则 函 数 的 周 期 相 同 ， 若 b=3 ， 此 时 C=53 ， 若
14、b=-3 ， 则 C= 43 ，若 a=-2 ， 则 方 程 等 价 为 sin（ 3 x- 3 ） =-sin（ bx+c） =sin（ -bx-c） ，若 b=-3 ， 则 C= 3 ， 若 b=3 ， 则 C= 23 ，综 上 满 足 条 件 的 有 序 实 数 组 （ a， b， c） 为 （ 2 ， 3 ， 53 ） ， （ 2 ， -3 ， 43 ） ， （ -2 ， -3 ， 3 ） ，（ -2 ， 3 ， 23 ） ， 共 有 4 组 ，答 案 ： 4 1 4 . 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， O 为 正 八 边 形 A1 A2 A8 的 中 心
15、， A1 （ 1 ， 0 ） 任 取 不 同的 两 点 Ai， Aj， 点 P 满 足 0i jOP OA OA ， 则 点 P 落 在 第 一 象 限 的 概 率 是 . 解 析 ： 从 正 八 边 形 A1 A2 A8 的 八 个 顶 点 中 任 取 两 个 ， 基 本 事 件 总 数 为 28 28C 满 足 0i jOP OA OA ， 且 点 P 落 在 第 一 象 限 ， 对 应 的 Ai， Aj， 为 ：（ A4 ， A7 ） ， （ A5 ， A8 ） ， （ A5 ， A6 ） ， （ A6 ， A7 ） ， （ A5 ， A7 ） 共 5 种 取 法 点 P 落 在 第 一
16、 象 限 的 概 率 是 528P ，答 案 ： 528二 、 选 择 题 （ 5 4 =2 0 分 ） 1 5 . 设 a R， 则 “ a 1” 是 “ a2 1” 的 ( )A.充 分 非 必 要 条 件B.必 要 非 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 非 充 分 也 非 必 要 条 件解 析 ： 由 a2 1得 a 1 或 a -1，即 “ a 1” 是 “ a2 1” 的 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 ： A.1 6 . 下 列 极 坐 标 方 程 中 ， 对 应 的 曲 线 为 如 图 所 示 的 是 （ ） A. =6 +5 cosB. =6 +5 sinC. =6
17、 -5 cosD. =6 -5 sin解 析 ： 由 图 形 可 知 ： - 2 时 ， 取 得 最 大 值 ，只 有 D 满 足 上 述 条 件 答 案 ： D1 7 . 已 知 无 穷 等 比 数 列 a n的 公 比 为 q， 前 n 项 和 为 Sn， 且 nnlim S S ， 下 列 条 件 中 ， 使 得2 Sn S（ n N*） 恒 成 立 的 是 （ ）A a1 0 ， 0 .6 q 0 .7 B a1 0 ， -0 .7 q -0 .6C a1 0 ， 0 .7 q 0 .8D a1 0 ， -0 .8 q -0 .7解 析 ： 1 111 1nn nna q aS S l
18、im Sq q ， ， -1 q 1 ，2 Sn S， a1 (2 qn-1 ) 0 ，若 a 1 0 ， 则 12nq ， 故 A 与 C 不 可 能 成 立 ；若 a1 0 ， 则 12nq ， 故 B 成 立 ， D 不 成 立 答 案 ： B1 8 . 设 f（ x） 、 g（ x） 、 h（ x） 是 定 义 域 为 R 的 三 个 函 数 ， 对 于 命 题 ： f（ x） +g（ x） 、 f（ x）+h（ x） 、 g（ x） +h（ x） 均 为 增 函 数 ， 则 f（ x） 、 g（ x） 、 h（ x） 中 至 少 有 一 个 增 函 数 ； 若 f（ x） +g（ x
19、） 、 f（ x） +h（ x） 、 g（ x） +h（ x） 均 是 以 T 为 周 期 的 函 数 ， 则 f（ x） 、 g（ x） 、 h（ x）均 是 以 T 为 周 期 的 函 数 ， 下 列 判 断 正 确 的 是 （ ）A 和 均 为 真 命 题B 和 均 为 假 命 题 C 为 真 命 题 ， 为 假 命 题D 为 假 命 题 ， 为 真 命 题解 析 ： 不 成 立 可 举 反 例 ： 2 3 02 1 0. 30 13 1 2 02 1x xx x x xf x g x x x h xx x x xx x ， ，（ ） （ ） ， ， （ ）， ， ， f（ x） +g（
20、 x） =f（ x+T） +g（ x+T） ， f（ x） +h（ x） =f（ x+T） +h（ x+T） ， h（ x） +g（ x） =h（ x+T） +g（ x+T） ，前 两 式 作 差 可 得 ： g（ x） -h（ x） =g（ x+T） -h（ x+T） ， 结 合 第 三 式 可 得 ： g（ x） =g（ x+T） ， h（ x） =h（ x+T） ， 同 理 可 得 ： f（ x） =f（ x+T） ， 因 此 正 确 答 案 ： D 三 、 解 答 题 （ 7 4 分 ）1 9 . 将 边 长 为 1 的 正 方 形 AA1 O1 O（ 及 其 内 部 ） 绕 OO1
21、旋 转 一 周 形 成 圆 柱 ， 如 图 ， AC 长 为 23 ， A1 B1 长 为 3 ， 其 中 B1 与 C 在 平 面 AA1 O1 O 的 同 侧 （ 1 ） 求 三 棱 锥 C-O1 A1 B1 的 体 积 ；（ 2 ） 求 异 面 直 线 B1 C 与 AA1 所 成 的 角 的 大 小 解 析 ： （ 1 ） 连 结 O1 B1 ， 推 导 出 O1 A1 B1 为 正 三 角 形 ， 从 而 S O1 A1 B1 = 34 ， 由 此 能 求 出 三 棱 锥C-O1 A1 B1 的 体 积 （ 2 ） 设 点 B1 在 下 底 面 圆 周 的 射 影 为 B， 连 结
22、BB1 ， 则 BB1 AA1 ， BB1 C 为 直 线 B1 C 与 AA1所 成 角 （ 或 补 角 ） ， 由 此 能 求 出 直 线 B1 C 与 AA1 所 成 角 大 小 答 案 ： （ 1 ） 连 结 O 1 B1 ， 则 O1 A1 B1 = A1 O1 B1 = 3 ， O 1 A1 B1 为 正 三 角 形 ， S O1 A1 B1 = 34 ，1 1 1 1 1 111 33 12C O A B O A BV OO S （ 2 ） 设 点 B1 在 下 底 面 圆 周 的 射 影 为 B， 连 结 BB1 ， 则 BB1 AA1 ， BB 1 C 为 直 线 B1 C
23、与 AA1 所 成 角 （ 或 补 角 ） ，BB1 =AA1 =1 ，连 结 BC、 BO、 OC，1 1 1 23 3 3AOB AO B AOC BOC ， ， ， BOC 为 正 三 角 形 ， BC=BO=1 ， tan BB1 C=4 5 ， 直 线 B 1 C 与 AA1 所 成 角 大 小 为 4 5 2 0 . 有 一 块 正 方 形 EFGH， EH所 在 直 线 是 一 条 小 河 ， 收 获 的 蔬 菜 可 送 到 F 点 或 河 边 运 走 .于 是 ，菜 地 分 别 为 两 个 区 域 S1和 S2， 其 中 S1中 的 蔬 菜 运 到 河 边 较 近 ， S2中
24、的 蔬 菜 运 到 F 点 较 近 ，而 菜 地 内 S1和 S2的 分 界 线 C 上 的 点 到 河 边 与 到 F 点 的 距 离 相 等 ， 现 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ，其 中 原 点 O为 EF的 中 点 ， 点 F 的 坐 标 为 (1， 0)， 如 图(1)求 菜 地 内 的 分 界 线 C 的 方 程 ； (2)菜 农 从 蔬 菜 运 量 估 计 出 S1面 积 是 S2面 积 的 两 倍 ， 由 此 得 到 S1面 积 的 经 验 值 为 83 .设 M是C 上 纵 坐 标 为 1 的 点 ， 请 计 算 以 EH 为 一 边 ， 另 一 边 过 点 M 的 矩
25、 形 的 面 积 ， 及 五 边 形 EOMGH的 面 积 ， 并 判 断 哪 一 个 更 接 近 于 S1面 积 的 “ 经 验 值 ” .解 析 ： (1)设 分 界 线 上 任 意 一 点 为 (x， y)， 根 据 条 件 建 立 方 程 关 系 进 行 求 解 即 可 .(2)设 M(x0， y0)， 则 y0=1， 分 别 求 出 对 应 矩 形 面 积 ， 五 边 形 FOMGH的 面 积 ， 进 行 比 较 即 可 .答 案 ： (1)设 分 界 线 上 任 意 一 点 为 (x， y)， 由 题 意 得 |x+1|= 2 21x y ， 得 y=2 x ，(0 x 1)，(2
26、)设 M(x 0， y0)， 则 y0=1， 200 14 4yx ， 设 所 表 述 的 矩 形 面 积 为 S3， 则 S3=2 (14 +1)=2 5 54 2 ，设 五 边 形 EMOGH的 面 积 为 S 4， 则 S4=S3-S OMP+S MGN=5 1 1 1 3 111 12 2 4 2 4 4 ，S1-S3=8 5 13 2 6 ， S4-S1=11 8 1 14 3 12 6 ， 五 边 形 EMOGH的 面 积 更 接 近 S1的 面 积 . 2 1 . 双 曲 线 22 2 1yx b (b 0)的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1、 F2， 直 线 l过 F2且
27、 与 双 曲 线 交 于 A、B两 点 .(1) 直 线 l的 倾 斜 角 为 2 ， F1AB是 等 边 三 角 形 ， 求 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 ；(2)设 b= 3， 若 l的 斜 率 存 在 ， 且 1 1 0F A F B AB （ ） ， 求 l 的 斜 率 .解 析 ： （ 1） 利 用 直 线 的 倾 斜 角 ， 求 出 AB， 利 用 三 角 形 是 正 三 角 形 ， 求 解 b， 即 可 得 到 双 曲 线方 程 （ 2） 求 出 左 焦 点 的 坐 标 ， 设 出 直 线 方 程 ， 推 出 A、 B 坐 标 ， 利 用 向 量 的 数 量 积 为 0，
28、即 可 求值 直 线 的 斜 率 答 案 ： （ 1） 双 曲 线 22 2 1yx b （ b 0） 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1， F2， a=1， c2=1+b2，直 线 l过 F2且 与 双 曲 线 交 于 A， B 两 点 ，直 线 l的 倾 斜 角 为 2 ， F1AB是 等 边 三 角 形 ，可 得 ： A（ c， b 2） ， 可 得 ： 23 2 22 b c ，3b4=4（ a2+b2） ，即 3b4-4b2-4=0，b 0， 解 得 b2=2所 求 双 曲 线 方 程 为 ： 22 12yx ，其 渐 近 线 方 程 为 y= 2 x（ 2） b= 3， 双
29、 曲 线 22 13yx ， 可 得 F 1（ -2， 0） ， F2（ 2， 0） 设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ， 直 线 的 斜 率 为 ： 2 12 1y yk x x ，直 线 l的 方 程 为 ： y=k（ x-2） ，由 题 意 可 得 ： 22 213y kx kyx ， 消 去 y 可 得 ： （ 3-k 2） x2+4k2x-4k2-3=0， =36（ 1+k2） 0，可 得 21 2 24 3kx x k ， 则 21 2 1 2 2 24 124 43 3k ky y k x x k k k （ ） （ ） 1 1 12F A x y （ ， ）
30、，1 2 22F B x y （ ， ） ，1 1 0F A F B AB （ ） 可 得 ： （ x 1+x2+4， y1+y2） （ x1-x2， y1-y2） =0，可 得 x1+x2+4+（ y1+y2） k=0，得 22 24 124 03 3k k kk k 可 得 ： 2 35k ，解 得 k= 155 l的 斜 率 为 ： 155 2 2 . 已 知 a R， 函 数 2 1f x log ax （ ） （ ） （ 1 ） 当 a=5 时 ， 解 不 等 式 f（ x） 0 ；（ 2 ） 若 关 于 x 的 方 程 f（ x） -log2 （ a-4 ） x+2 a-5 =0
31、的 解 集 中 恰 好 有 一 个 元 素 ， 求 a 的 取 值范 围 （ 3 ） 设 a 0 ， 若 对 任 意 t 12 ， 1 ， 函 数 f（ x） 在 区 间 t， t+1 上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 差 不超 过 1 ， 求 a 的 取 值 范 围 解 析 ： （ 1 ） 当 a=5 时 ， 解 导 数 不 等 式 即 可 （ 2 ） 根 据 对 数 的 运 算 法 则 进 行 化 简 ， 转 化 为 一 元 二 次 方 程 ， 讨 论 a 的 取 值 范 围 进 行 求 解 即可 （ 3 ） 根 据 条 件 得 到 f（ t） -f（ t+1 ） 1 ， 恒 成 立
32、 ， 利 用 换 元 法 进 行 转 化 ， 结 合 对 勾 函 数 的 单调 性 进 行 求 解 即 可 答 案 ： （ 1 ） 当 a=5 时 ， 2 1 5f x log x （ ） （ ） ，由 f（ x） 0 ； 得 2 1 5log x （ ） 0 ， 即 1x +5 1 ， 则 1x -4 ， 则 1 4 14 0 xx x ， 即 x 0 或 x -14 ，即 不 等 式 的 解 集 为 x|x 0 或 x - 14 （ 2 ） 由 f（ x） -log2 （ a-4 ） x+2 a-5 =0 得 log2 （ 1x +a） -log2 （ a-4 ） x+2 a-5 =0 即
33、 log 2 （ 1x +a） =log2 （ a-4 ） x+2 a-5 ，即 1x +a=（ a-4 ） x+2 a-5 0 ， 则 （ a-4 ） x2 +（ a-5 ） x-1 =0 ，即 （ x+1 ） （ a-4 ） x-1 =0 ， ，当 a=4 时 ， 方 程 的 解 为 x=-1 ， 代 入 ， 成 立当 a=3 时 ， 方 程 的 解 为 x=-1 ， 代 入 ， 成 立当 a 4 且 a 3 时 ， 方 程 的 解 为 x=-1 或 14x a ， 若 x=-1 是 方 程 的 解 ， 则 1x +a=a-1 0 ， 即 a 1 ，若 14x a 是 方 程 的 解 ，
34、则 1x +a=2 a-4 0 ， 即 a 2 ，则 要 使 方 程 有 且 仅 有 一 个 解 ， 则 1 a 2 综 上 ， 若 方 程 f（ x） -log2 （ a-4 ） x+2 a-5 =0 的 解 集 中 恰 好 有 一 个 元 素 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 1 a 2 ， 或 a=3 或 a=4 （ 3 ） 函 数 f（ x） 在 区 间 t， t+1 上 单 调 递 减 ，由 题 意 得 f（ t） -f（ t+1 ） 1 ，即 2 21 1 11log a lo tg at （ ） （ ） ， 即 1 12 1t ta a （ ） ， 即 1 2 11 1tt t
35、 ta t （ ）设 1 -t=r， 则 0 r 12 ， 21 3 21 21 r rr r rtt t r （ ） ， 当 r=0 时 ， 2 3 2rr r =0 ，当 0 r 12 时 ， 2 1= 23 2 3rr r r r ， y=r+ 2r 在 （ 0 ， 2 ） 上 递 减 ， 2 1 942 2r r ， 2 1 1 2= 2 9 33 2 3 32rr r r r ， 实 数 a 的 取 值 范 围 是 a 23 2 3 . 若 无 穷 数 列 an满 足 ： 只 要 ap=aq（ p， q N*） ， 必 有 ap+1 =aq+1 ， 则 称 an具 有 性 质 P（
36、1 ） 若 an具 有 性 质 P， 且 a1 =1 ， a2 =2 ， a4 =3 ， a5 =2 ， a6 +a7 +a8 =2 1 ， 求 a3 ；（ 2 ） 若 无 穷 数 列 bn是 等 差 数 列 ， 无 穷 数 列 cn是 公 比 为 正 数 的 等 比 数 列 ， b1 =c5 =1 ； b5 =c1 =8 1 ，an=bn+cn， 判 断 an是 否 具 有 性 质 P， 并 说 明 理 由 ；（ 3 ） 设 b n是 无 穷 数 列 ， 已 知 an+1 =bn+sinan（ n N*） ， 求 证 ： “ 对 任 意 a1 ， an都 具 有 性 质 P”的 充 要 条
37、件 为 “ bn是 常 数 列 ” 解 析 ： （ 1 ） 利 用 已 知 条 件 通 过 a2 =a5 =2 ， 推 出 a3 =a6 ， a4 =a7 ， 转 化 求 解 a3 即 可 （ 2 ） 设 无 穷 数 列 bn的 公 差 为 ： d， 无 穷 数 列 cn的 公 比 为 q， 则 q 0 ， 利 用 条 件 求 出 ， d 与q， 求 出 bn， cn得 到 an的 表 达 式 ， 推 出 a2 a6 ， 说 明 an不 具 有 性 质 P（ 3 ） 充 分 性 ： 若 bn是 常 数 列 ， 设 bn=C， 通 过 an+1 =C+sinan， 证 明 ap+1 =aq+1
38、， 得 到 an具 有 性质 P必 要 性 ： 若 对 于 任 意 a1 ， an具 有 性 质 P， 得 到 a2 =b1 +sina1 ， 设 函 数 f（ x） =x-b1 ， g（ x） =sinx，说 明 b n+1 =bn， 即 可 说 明 bn是 常 数 列 答 案 ： （ 1 ） a2 =a5 =2 ， a3 =a6 ，a4 =a7 =3 ， a5 =a8 =2 ， a6 =2 1 -a7 -a8 =1 6 ， a3 =1 6 （ 2 ） 设 无 穷 数 列 bn的 公 差 为 ： d， 无 穷 数 列 cn的 公 比 为 q， 则 q 0 ，b5 -b1 =4 d=8 0 ，
39、 d=2 0 ， bn=2 0 n-1 9 ， 451 181c qc ， q=13， 513 nnc 5120 19 3 nn n na b c n a 1 =a5 =8 2 ， 而 a2 =2 1 +2 7 =4 8 ， 6 1 304101 3 3a a1 =a5 ， 但 是 a2 a6 ， an不 具 有 性 质 P（ 3 ） 充 分 性 ： 若 bn是 常 数 列 ，设 bn=C， 则 an+1 =C+sinan，若 存 在 p， q 使 得 ap=aq， 则 ap+1 =C+sinap=C+sinaq=aq+1 ，故 an具 有 性 质 P必 要 性 ： 若 对 于 任 意 a1 ， an具 有 性 质 P，则 a2 =b1 +sina1 ，设 函 数 f（ x） =x-b 1 ， g（ x） =sinx，由 f（ x） ， g（ x） 图 象 可 得 ， 对 于 任 意 的 b1 ， 二 者 图 象 必 有 一 个 交 点 ， 一 定 能 找 到 一 个 a1 ， 使 得 a1 -b1 =sina1 ， a2 =b1 +sina1 =a1 ， an=an+1 ，故 bn+1 =an+2 -sinan+1 =an+1 -sinan=bn， bn是 常 数 列
