1、2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 上 海 卷 ） 数 学 文一 、 填 空 题 (本 大 题 共 14题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 56 分 ).1. 设 x R， 则 不 等 式 |x-3| 1 的 解 集 为 _.解 析 ： x R， 不 等 式 |x-3| 1， -1 x-3 1，解 得 2 x 4. 不 等 式 |x-3| 1 的 解 集 为 (2， 4).答 案 ： (2， 4).2. 设 z=3 2ii ， 其 中 i为 虚 数 单 位 ， 则 z的 虚 部 等 于 _. 解 析 ： z= 3 23 2 3 2i ii ii i i ，
2、则 z 的 虚 部 为 -3.答 案 ： -3.3. 已 知 平 行 直 线 l1： 2x+y-1=0， l2： 2x+y+1=0， 则 l1， l2的 距 离 _.解 析 ： 平 行 直 线 l1： 2x+y-1=0， l2： 2x+y+1=0， 则 l1， l2的 距 离 ： 2 21 1 2 552 1 .答 案 ： 2 55 .4. 某 次 体 检 ， 5 位 同 学 的 身 高 (单 位 ： 米 )分 别 为 1.72， 1.78， 1.80， 1.69， 1.76.则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 _(米 ).解 析 ： 将 5位 同 学 的 身 高 按 照 从 小 到 大
3、进 行 排 列 为 1.69， 1.72， 1.76， 1.78， 1.80.则 位 于 中 间 的 数 为 1.76， 即 中 位 数 为 1.76.答 案 ： 1.76.5. 若 函 数 f(x)=4sinx+acosx的 最 大 值 为 5， 则 常 数 a=_.解 析 ： 由 于 函 数 f(x)=4sinx+acosx= 216 a sin(x+ )， 其 中 ， cos = 2416 a ， sin= 216a a ， 故 f(x)的 最 大 值 为 216 a =5， a= 3.答 案 ： 3.6. 已 知 点 (3， 9)在 函 数 f(x)=1+ax的 图 象 上 ， 则 f
4、(x)的 反 函 数 f-1(x)=_.解 析 ： 点 (3， 9)在 函 数 f(x)=1+ax的 图 象 上 ， 9=1+a3， 解 得 a=2. f(x)=1+2x， 由 1+2x=y， 解 得 x=log2(y-1)， (y 1).把 x 与 y 互 换 可 得 ： f(x)的 反 函 数 f-1(x)=log2(x-1).答 案 ： log2(x-1)， (x 1).7. 若 x， y满 足 00 1xyy x ， 则 x-2y的 最 大 值 为 _.解 析 ： 画 出 可 行 域 (如 图 )， 设 z=x-2yy=12 x-12 z， 由 图 可 知 ，当 直 线 l 经 过 点
5、 A(0， 1)时 ， z 最 大 ， 且 最 大 值 为 zmax=0-2 1=-2.答 案 ： -2.8. 方 程 3sinx=1+cos2x 在 区 间 0， 2 上 的 解 为 _.解 析 ： 方 程 3sinx=1+cos2x， 可 得 3sinx=2-2sin2x，即 2sin 2x+3sinx-2=0.可 得 sinx=-2， (舍 去 )sinx=12 ， x 0， 2 解 得 x= 6 或 56 .答 案 ： 6 或 56 .9. 在 3 2 nx x 的 二 项 式 中 ， 所 有 的 二 项 式 系 数 之 和 为 256， 则 常 数 项 等 于 _.解 析 ： 在 3
6、 2 nx x 的 二 项 式 中 ， 所 有 的 二 项 式 系 数 之 和 为 256， 2n=256， 解 得 n=8， 83 2x x 中 ， 8 48 31 8 83 ( 2 2) rr rr r rrT C C xxx ， 当 8 4 03 r ， 即 r=2时 ， 常 数 项 为 2 23 82 112T C .答 案 ： 112.10. 已 知 ABC的 三 边 长 分 别 为 3， 5， 7， 则 该 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 等 于 _.解 析 ： 可 设 ABC的 三 边 分 别 为 a=3， b=5， c=7，由 余 弦 定 理 可 得 ， cosC= 2 2
7、 2 9 25 49 12 2 3 5 2a b cab ，可 得 sinC= 2 1 31 1 4 2cos C ， 可 得 该 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 为 7 7 32 332 2csinC .答 案 ： 7 33 .11. 某 食 堂 规 定 ， 每 份 午 餐 可 以 在 四 种 水 果 中 任 选 两 种 ， 则 甲 、 乙 两 同 学 各 自 所 选 的 两 种 水果 相 同 的 概 率 为 _.解 析 ： 甲 同 学 从 四 种 水 果 中 选 两 种 ， 选 法 种 数 为 24C ， 乙 同 学 的 选 法 种 数 为 24C ，则 两 同 学 的 选 法 种 数
8、 为 24C 24C 种 . 两 同 学 相 同 的 选 法 种 数 为 24C .由 古 典 概 型 概 率 计 算 公 式 可 得 ： 甲 、 乙 两 同 学 各 自 所 选 的 两 种 水 果 相 同 的 概 率 为2 24 42 24 4 16C CC C .答 案 ： 16.12. 如 图 ， 已 知 点 O(0， 0)， A(1， 0)， B(0， -1)， P是 曲 线 y= 21 x 上 一 个 动 点 ， 则 OP BA 的 取 值 范 围 是 _. 解 析 ： 设 OP =(x， y)， 则 OP =(x， 21 x )，由 A(1， 0)， B(0， -1)， 得 ： B
9、A =(1， 1)， OP BA =x+ 21 x ，令 x=sin ，则 OP BA =sin +cos = 2sin( + 4 )，故 OP BA 的 范 围 是 - 2， 2.答 案 ： - 2， 2. 13. 设 a 0， b 0.若 关 于 x， y 的 方 程 组 =1=1ax yx by 无 解 ， 则 a+b的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 关 于 x， y 的 方 程 组 =1=1ax yx by 无 解 ， 直 线 ax+y-1=0与 直 线 x+by-1=0平 行 ， -a=-1b ， 且 1b 1.即 a=1b 且 b 1. a 0， b 0. a+b=b+1b
10、2.答 案 ： (2， + ). 14. 无 穷 数 列 an由 k 个 不 同 的 数 组 成 ， Sn为 an的 前 n项 和 ， 若 对 任 意 n N*， Sn 2， 3，则 k 的 最 大 值 为 _.解 析 ： 对 任 意 n N*， Sn 2， 3， 可 得当 n=1时 ， a1=S1=2 或 3；若 n=2， 由 S2 2， 3， 可 得 数 列 的 前 两 项 为 2， 0； 或 2， 1； 或 3， 0； 或 3， -1；若 n=3， 由 S3 2， 3， 可 得 数 列 的 前 三 项 为 2， 0， 0； 或 2， 0， 1；或 2， 1， 0； 或 2， 1， -1；
11、 或 3， 0， 0； 或 3， 0， -1； 或 3， 1， 0； 或 3， 1， -1；若 n=4， 由 S 3 2， 3， 可 得 数 列 的 前 四 项 为 2， 0， 0， 0； 或 2， 0， 0， 1；或 2， 0， 1， 0； 或 2， 0， 1， -1； 或 2， 1， 0， 0； 或 2， 1， 0， -1；或 2， 1， -1， 0； 或 2， 1， -1， 1； 或 3， 0， 0， 0； 或 3， 0， 0， -1； 或 3， 0， -1， 0； 或 3， 0， -1， 1； 或 3， -1， 0， 0； 或 3， -1， 0， 1；或 3， -1， 1， 0； 或
12、3， -1， 1， -1；即 有 n 4 后 一 项 都 为 0 或 1 或 -1， 则 k 的 最 大 个 数 为 4，不 同 的 四 个 数 均 为 2， 0， 1， -1， 或 3， 0， 1， -1.答 案 ： 4.二 、 选 择 题 (本 大 题 共 有 4 题 ， 满 分 20 分 ， 每 题 有 且 只 有 一 个 正 确 答 案 ， 选 对 得 5 分 ， 否则 一 律 得 零 分 ).15. 设 a R， 则 “ a 1” 是 “ a 2 1” 的 ( )A.充 分 非 必 要 条 件B.必 要 非 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 非 充 分 也 非 必 要 条 件解
13、 析 ： 由 a2 1得 a 1 或 a -1，即 “ a 1” 是 “ a2 1” 的 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 ： A.16. 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD-A 1B1C1D1中 ， E、 F 分 别 为 BC、 BB1的 中 点 ， 则 下 列 直 线 中 与 直 线 EF相 交 的 是 ( )A.直 线 AA 1B.直 线 A1B1C.直 线 A1D1D.直 线 B1C1解 析 ： 根 据 异 面 直 线 的 概 念 可 看 出 直 线 AA1， A1B1， A1D1都 和 直 线 EF为 异 面 直 线 ；B1C1和 EF 在 同 一 平 面 内 ， 且 这 两
14、直 线 不 平 行 ； 直 线 B1C1和 直 线 EF相 交 ， 即 选 项 D正 确 .答 案 ： D.17. 设 a R， b 0， 2 )， 若 对 任 意 实 数 x 都 有 sin(3x- 3 )=sin(ax+b)， 则 满 足 条 件 的有 序 实 数 对 (a， b)的 对 数 为 ( )A.1 B.2C.3D.4 解 析 ： 对 于 任 意 实 数 x都 有 sin(3x- 3 )=sin(ax+b)，则 函 数 的 周 期 相 同 ， 若 a=3，此 时 sin(3x- 3 )=sin(3x+b)，此 时 b=- 3 +2 =53 ，若 a=-3， 则 方 程 等 价 为
15、 sin(3x- 3 )=sin(-3x+b)=-sin(3x-b)=sin(3x-b+ )，则 - 3 -b+ ， 则 b=23 ，综 上 满 足 条 件 的 有 序 实 数 组 (a， b)为 (3， 53 )， (-3， 23 )， 共 有 2组 .答 案 ： B.18. 设 f(x)、 g(x)、 h(x)是 定 义 域 为 R 的 三 个 函 数 ， 对 于 命 题 ： 若 f(x)+g(x)、 f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均 是 增 函 数 ， 则 f(x)、 g(x)、 h(x)均 是 增 函 数 ； 若 f(x)+g(x)、 f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均
16、是 以 T 为 周 期 的 函 数 ， 则 f(x)、 g(x)、 h(x)均 是 以 T 为 周 期 的 函 数 ， 下 列 判 断正 确 的 是 ( )A. 和 均 为 真 命 题B. 和 均 为 假 命 题C. 为 真 命 题 ， 为 假 命 题D. 为 假 命 题 ， 为 真 命 题解 析 ： 对 于 ， 举 反 例 说 明 ： f(x)=2x， g(x)=-x， h(x)=3x；f(x)+g(x)=x， f(x)+h(x)=5x， g(x)+h(x)=2x 都 是 定 义 域 R 上 的 增 函 数 ， 但 g(x)=-x不 是 增 函 数 ， 所 以 是 假 命 题 ；对 于 ，
17、f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T) ， f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T) ，h(x)+g(x)=h(x+T)+g(x+T)，前 两 式 作 差 可 得 ： g(x)-h(x)=g(x+T)-h(x+T)， 结 合 第 三 式 可 得 ： g(x)=g(x+T)， h(x)=h(x+T)，同 理 可 得 ： f(x)=f(x+T)， 所 以 是 真 命 题 .答 案 ： D.三 、 简 答 题 ： 本 大 题 共 5 题 ， 满 分 74分19. 将 边 长 为 1的 正 方 形 AA 1O1O(及 其 内 部 )绕 OO1旋 转 一 周 形 成 圆 柱 ， 如 图 ，
18、 长 为 56 ，长 为 3 ， 其 中 B1与 C 在 平 面 AA1O1O 的 同 侧 . (1)求 圆 柱 的 体 积 与 侧 面 积 ；(2)求 异 面 直 线 O1B1与 OC所 成 的 角 的 大 小 .解 析 ： (1)直 接 利 用 圆 柱 的 体 积 公 式 ， 侧 面 积 公 式 求 解 即 可 .(2)设 点 B1在 下 底 面 圆 周 的 射 影 为 B， 连 结 BB1， 即 可 求 解 所 求 角 的 大 小 .答 案 ： (1)将 边 长 为 1的 正 方 形 AA1O1O(及 其 内 部 )绕 OO1旋 转 一 周 形 成 圆 柱 ， 圆 柱 的 体 积 为 ：
19、 12 1= .侧 面 积 为 ： 2 1=2 .(2)设 点 B 1在 下 底 面 圆 周 的 射 影 为 B， 连 结 BB1， OB， 则 OB O1B， AOB= 3 ， 异 面 直 线 O 1B1与 OC所 成 的 角 的 大 小 就 是 COB，大 小 为 ： 56 3 2 .20. 有 一 块 正 方 形 EFGH， EH所 在 直 线 是 一 条 小 河 ， 收 获 的 蔬 菜 可 送 到 F 点 或 河 边 运 走 .于 是 ，菜 地 分 别 为 两 个 区 域 S1和 S2， 其 中 S1中 的 蔬 菜 运 到 河 边 较 近 ， S2中 的 蔬 菜 运 到 F 点 较 近
20、 ，而 菜 地 内 S 1和 S2的 分 界 线 C 上 的 点 到 河 边 与 到 F 点 的 距 离 相 等 ， 现 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ，其 中 原 点 O为 EF的 中 点 ， 点 F 的 坐 标 为 (1， 0)， 如 图(1)求 菜 地 内 的 分 界 线 C 的 方 程 ；(2)菜 农 从 蔬 菜 运 量 估 计 出 S 1面 积 是 S2面 积 的 两 倍 ， 由 此 得 到 S1面 积 的 经 验 值 为 83.设 M 是C 上 纵 坐 标 为 1 的 点 ， 请 计 算 以 EH 为 一 边 ， 另 一 边 过 点 M 的 矩 形 的 面 积 ， 及 五 边
21、 形 EOMGH 的 面 积 ， 并 判 断 哪 一 个 更 接 近 于 S1面 积 的 “ 经 验 值 ” .解 析 ： (1)设 分 界 线 上 任 意 一 点 为 (x， y)， 根 据 条 件 建 立 方 程 关 系 进 行 求 解 即 可 .(2)设 M(x0， y0)， 则 y0=1， 分 别 求 出 对 应 矩 形 面 积 ， 五 边 形 FOMGH的 面 积 ， 进 行 比 较 即 可 .答 案 ： (1)设 分 界 线 上 任 意 一 点 为 (x， y)， 由 题 意 得 |x+1|= 2 21x y ， 得 y=2 x ，(0 x 1)，(2)设 M(x0， y0)， 则
22、 y0=1， 200 14 4yx ， 设 所 表 述 的 矩 形 面 积 为 S 3， 则 S3=2 (14 +1)=2 5 54 2 ，设 五 边 形 EMOGH的 面 积 为 S4， 则 S4=S3-S OMP+S MGN=5 1 1 1 3 111 12 2 4 2 4 4 ，S1-S3=8 5 13 2 6 ， S4-S1=11 8 1 14 3 12 6 ， 五 边 形 EMOGH的 面 积 更 接 近 S1的 面 积 . 21. 双 曲 线 22 2 1yx b (b 0)的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1、 F2， 直 线 l 过 F2且 与 双 曲 线 交 于 A、B两
23、 点 .(1)若 l 的 倾 斜 角 为 2 ， F1AB 是 等 边 三 角 形 ， 求 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 ；(2)设 b= 3， 若 l的 斜 率 存 在 ， 且 |AB|=4， 求 l 的 斜 率 .解 析 ： (1) 由 题 意 求 出 A 点 纵 坐 标 ， 由 F 1AB 是 等 边 三 角 形 ， 可 得 tan AF1F2=tan 2 26 2 1b b ， 从 而 求 得 b 值 ， 则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 可 求 ；(2)写 出 直 线 l 的 方 程 y-0=k(x-2)， 即 y=kx-2k， 与 双 曲 线 方 程 联 立 ， 利 用
24、 弦 长 公 式 列 式 求得 k 值 .答 案 ： (1)若 l 的 倾 斜 角 为 2 ， F 1AB是 等 边 三 角 形 ，把 x=c= 21 b 代 入 双 曲 线 的 方 程 可 得 点 A 的 纵 坐 标 为 b2， 由 tan AF1F2=tan 2 236 3 2 1b b ， 求 得 b2=2， b= 2，故 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y= bx= 2x，即 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y= 2x.(2)设 b= 3， 则 双 曲 线 为 22 13yx ， F 2(2， 0)，若 l 的 斜 率 存 在 ， 设 l 的 斜 率 为 k， 则 l
25、的 方 程 为 y-0=k(x-2)， 即 y=kx-2k，联 立 22 213y kx kyx ， 可 得 (3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0，由 直 线 与 双 曲 线 有 两 个 交 点 ， 则 3-k 2 0， 即 k 3. =36(1+k2) 0.x1+x2= 224 3kk ， x1 x2= 224 33kk . |AB|= 21 k |x 1-x2|= 22 1 2 1 21 4k x x x x = 22 22 22 4 4 34 431 3k kk kk ，化 简 可 得 ， 5k4+42k2-27=0， 解 得 k2=35，求 得 k= 155 . l 的 斜 率
26、为 155 . 22. 对 于 无 穷 数 列 an与 bn， 记 A=x|x=an， n N*， B=x|x=bn， n N*， 若 同 时 满 足 条 件 ： an， bn均 单 调 递 增 ； A B=且 A B=N*， 则 称 an与 bn是 无 穷 互 补 数 列 .(1)若 an=2n-1， bn=4n-2， 判 断 an与 bn是 否 为 无 穷 互 补 数 列 ， 并 说 明 理 由 ；(2)若 an=2n且 an与 bn是 无 穷 互 补 数 列 ， 求 数 量 bn的 前 16 项 的 和 ；(3)若 an与 bn是 无 穷 互 补 数 列 ， an为 等 差 数 列 且
27、a16=36， 求 an与 bn的 通 项 公 式 .解 析 ： (1)an与 bn不 是 无 穷 互 补 数 列 .由 4A， 4B， 4A B=N*， 即 可 判 断 ；(2)由 an=2n， 可 得 a4=16， a5=32， 再 由 新 定 义 可 得 b16=16+4=20， 运 用 等 差 数 列 的 求 和 公 式 ，计 算 即 可 得 到 所 求 和 ；(3)运 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 ， 结 合 首 项 大 于 等 于 1， 可 得 d=1或 2， 讨 论 d=1， 2 求 得 通 项 公 式 ， 结 合 新 定 义 ， 即 可 得 到 所 求 数 列 的 通
28、 项 公 式 .答 案 ： (1)an与 bn不 是 无 穷 互 补 数 列 .理 由 ： 由 an=2n-1， bn=4n-2， 可 得 4A， 4B，即 有 4A B=N*， 即 有 an与 bn不 是 无 穷 互 补 数 列 ；(2)由 an=2n， 可 得 a4=16， a5=32，由 an与 bn是 无 穷 互 补 数 列 ， 可 得 b16=16+4=20，即 有 数 列 bn的 前 16项 的 和 为(1+2+3+ +20)-(2+4+8+16)=1 202 20-30=180；(3)设 a n为 公 差 为 d(d为 正 整 数 )的 等 差 数 列 且 a16=36， 则 a
29、1+15d=36，由 a1=36-15d 1， 可 得 d=1或 2，若 d=1， 则 a1=21， an=n+20， bn=n(1 n 20)，与 an与 bn是 无 穷 互 补 数 列 矛 盾 ， 舍 去 ；若 d=2， 则 a1=6， an=2n+4， bn= 52 5 5n nn n ， ， .综 上 可 得 ， a n=2n+4， bn= 52 5 5n nn n ， ， .23. 已 知 a R， 函 数 f(x)=log2(1x +a).(1)当 a=1 时 ， 解 不 等 式 f(x) 1；(2)若 关 于 x 的 方 程 f(x)+log2(x2)=0的 解 集 中 恰 有
30、一 个 元 素 ， 求 a的 值 ；(3)设 a 0， 若 对 任 意 t 12 ， 1， 函 数 f(x)在 区 间 t， t+1上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 差 不超 过 1， 求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)当 a=1 时 ， 不 等 式 f(x) 1 化 为 ： log 2(1x +1) 1， 因 此 1x +1 2， 解 出 并 且 验 证即 可 得 出 .(2)方 程 f(x)+log2(x2)=0 即 log2( 1x +a)+log2(x2)=0， ( 1x +a)x2=1， 化 为 ： ax2+x-1=0， 对 a分 类 讨 论 解 出 即 可 得
31、出 .(3)a 0， 对 任 意 t 12 ， 1， 函 数 f(x)在 区 间 t， t+1上 单 调 递 减 ， 由 题 意 可 得log 2(1t +a)-log2( 11t +a) 1， 因 此 1 1 1 1ta tt a t 2， 化 为 ： a 21 tt t =g(t)， t 12 ，1， 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 即 可 得 出 .答 案 ： (1)当 a=1时 ， 不 等 式 f(x) 1 化 为 ： log2(1x +1) 1， 1x +1 2， 化 为 ： 1x 1， 解 得 0 x 1，经 过 验 证 满 足 条 件 ， 因 此 不 等 式 的
32、解 集 为 ： (0， 1). (2)方 程 f(x)+log2(x2)=0即 log2(1x +a)+log2(x2)=0， (1x +a)x2=1， 化 为 ： ax2+x-1=0，若 a=0， 化 为 x-1=0， 解 得 x=1， 经 过 验 证 满 足 ： 关 于 x 的 方 程 f(x)+log2(x2)=0 的 解 集 中 恰有 一 个 元 素 1.若 a 0， 令 =1+4a=0， 解 得 a=-14 ， 解 得 x=2.经 过 验 证 满 足 ： 关 于 x 的 方 程 f(x)+log2(x2)=0的 解 集 中 恰 有 一 个 元 素 1.综 上 可 得 ： a=0或 -
33、14 .(3)a 0， 对 任 意 t 12 ， 1， 函 数 f(x)在 区 间 t， t+1上 单 调 递 减 ， log 2(1t +a)-log2( 11t +a) 1， 1 1 1 1ta tt a t 2，化 为 ： a 21 tt t =g(t)， t 12 ， 1，g (t)= 222 2 2 22 2 2 22 1 1 21 22 1 21 14 21 2 1 0t t t t tt tt t t t t t = = ， g(t)在 t 12 ， 1上 单 调 递 减 ， t=12 时 ， g(t)取 得 最 大 值 ， g(12 )=23 . a 23 . a 的 取 值 范 围 是 23 ， + ).
