1、2016年 广 西 河 池 市 高 级 中 学 高 考 一 模 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1. 已 知 集 合 A=x|-2 x 1， B=x|x 0， 则 集 合 A B等 于 ( )A.x|x -2B.x|0 x 1C.x|x 1D.x|-2 x 1解 析 ： 集 合 A=x|-2 x 1，B=x|x 0， 集 合 A B=x|x -2. 答 案 ： A.2. 若 复 数 1a ii 是 纯 虚 数 ， 则
2、 实 数 a 的 值 为 ( )A.0B.-3C.1D.-1解 析 ： 1 1 11 1 1 2a i i a a ia ii i i 是 纯 虚 数 ， 1 01 0aa ， 解 得 ： a=1. 答 案 ： C.3. 设 a， b R， 则 “ (a-b)a2 0” 是 “ a b” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： a， b R， 则 (a-b)a 2 0， a b成 立 ，由 a b， 则 a-b 0， “ (a-b)a2 0，所 以 根 据 充 分 必 要 条 件 的
3、定 义 可 的 判 断 ：a， b R， 则 “ (a-b)a2 0” 是 a b 的 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 ： A4. 设 S n是 等 差 数 列 an的 前 n项 和 ， 若 a1=2， a5=3a3， 则 S9=( )A.-72B.-54 C.54D.90解 析 ： 设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， a1=2， a5=3a3， 2+4d=3(2+2d)，解 得 d=-2， S9=9a1+928 d=-54答 案 ： B5. 已 知 向 量 a =(1， 1)， b =(3， m)， a (a +b )， 则 m=( )A.2B.-2 C.-3D.3解 析 ：
4、 因 为 向 量 a =(1， 1)， b (3， m)， 所 以 a +b =(4， 1+m)；又 a (a +b )，所 以 1 (1+m)-1 4=0，解 得 m=3.答 案 ： D.6. 已 知 圆 C 的 圆 心 是 直 线 x-y+1=0 与 y 轴 的 交 点 ， 且 圆 C 与 直 线 x+y+3=0相 切 ， 则 圆 的 标准 方 程 为 ( )A.x 2+(y-1)2=8B.x2+(y+1)2=8C.(x-1)2+(y+1)2=8D.(x+1)2+(y-1)2=8解 析 ： 对 于 直 线 x-y+1=0， 令 x=0， 解 得 y=1. 圆 心 C(0， 1)，设 圆 的
5、 半 径 为 r， 圆 C与 直 线 x+y+3=0相 切 ， r= 1 32 =2 2， 圆 的 标 准 方 程 为 x 2+(y-1)2=8.答 案 ： A.7. 设 变 量 x， y满 足 约 束 条 件 ： 2 22y xx yx ， 则 z=x-3y的 最 小 值 ( )A.-2 B.-4C.-6D.-8解 析 ： 根 据 题 意 ， 画 出 可 行 域 与 目 标 函 数 线 如 图 所 示 ， 由 图 可 知 目 标 函 数 在 点 (-2， 2)取 最 小 值 -8答 案 ： D.8. 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 (单
6、 位 ： cm3)为 ( )A. + 33 B.2 + 33C.2 + 3D. + 3解 析 ： 由 三 视 图 ， 该 组 合 体 上 部 是 一 三 棱 锥 ， 下 部 是 一 圆 柱 由 图 中 数 据 知V圆 柱 = 1 2 1=三 棱 锥 垂 直 于 底 面 的 侧 面 是 边 长 为 2的 等 边 三 角 形 ， 且 边 长 是 2， 故 其 高 即 为 三 棱 锥 的 高 ，高 为 3故 棱 锥 高 为 3由 于 棱 锥 底 面 为 一 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 斜 边 长 为 2， 故 两 直 角 边 长 度 都 是 2 底 面 三 角 形 的 面 积 是 12 2
7、2 =1故 V 棱 锥 13 1 3= 33故 该 几 何 体 的 体 积 是 + 33答 案 ： A.9. 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 k 值 是 ( ) A.4B.5C.6D.7解 析 ： 第 一 次 循 环 ： n=3 5+1=16， k=0+1=1， 继 续 循 环 ；第 二 次 循 环 ： n=162 =8， k=1+1=2， 继 续 循 环 ；第 三 次 循 环 ： n=82 =4， k=2+1=3， 继 续 循 环 ；第 四 次 循 环 ： n=42 =2， k=3+1=4， 继 续 循 环 ；第 五 次 循 环 ： n=22 =1， k=4+1=
8、5， 结 束 循 环 . 输 出 k=5.答 案 ： B. 10. 函 数 f(x)=Asin( x+ )(其 中 A 0， | | 2 )的 图 象 如 图 所 示 ， 为 了 得 到 g(x)=sin2x的 图 象 ， 则 只 要 将 f(x)的 图 象 ( )A.向 右 平 移 6 个 单 位 长 度B.向 右 平 移 12 个 单 位 长 度C.向 左 平 移 6 个 单 位 长 度 D.向 左 平 移 12 个 单 位 长 度解 析 ： 根 据 函 数 的 图 象 ： A=1又 4T 712 - 3解 得 ： T=则 ： =2当 x= 3 时 ， f( 3 )=sin(23 + )=
9、0解 得 ： 3所 以 ： f(x)=sin(2x+ 3 ) 要 得 到 g(x)=sin2x 的 图 象 只 需 将 函 数 图 象 向 右 平 移 6 个 单 位 即 可 .答 案 ： A11. 三 棱 锥 P-ABC 的 四 个 顶 点 均 在 半 径 为 2 的 球 面 上 ， 且 AB=BC=CA=2 3， 平 面 PAB 平 面ABC， 则 三 棱 锥 P-ABC 的 体 积 的 最 大 值 为 ( )A.4B.3C.4 3D.3 2 解 析 ： 根 据 题 意 ： 半 径 为 2 的 球 面 上 ， 且 AB=BC=CA=2 3， ABC为 截 面 为 大 圆 上 三 角 形 ，
10、 设 圆 形 为 O， AB的 中 点 为 N， ON= 22 3 =1 平 面 PAB 平 面 ABC， 三 棱 锥 P-ABC的 体 积 的 最 大 值 时 ， PN AB， PN 平 面 ABC，PN= 22 1 = 3， 三 棱 锥 P-ABC的 体 积 的 最 大 值 为 13 34 (2 3)2 3=3.答 案 ： B12. 已 知 离 心 率 为 e 的 双 曲 线 和 离 心 率 为 22 的 椭 圆 有 相 同 的 焦 点 F 1、 F2， P 是 两 曲 线 的 一个 公 共 点 ， F1PF2= 3 ， 则 e等 于 ( )A. 52B.52C. 62D.3 解 析 ：
11、设 椭 圆 的 长 半 轴 长 为 a1， 双 曲 线 的 实 半 轴 长 为 a2， 焦 距 为 2c， |PF1|=m， |PF2|=n， 且不 妨 设 m n，由 m+n=2a1， m-n=2a2得 m=a1+a2， n=a1-a2.又 F1PF2 3 ， 4c2 m2+n2-mn a12+3a22， 1 22 22 23a ac c 4， 即 + 2 21 322 e 4，解 得 e 62 .答 案 ： C. 二 、 填 空 题 (每 题 5 分 ， 满 分 20分 ， 将 答 案 填 在 答 题 纸 上 )13. 设 f(x)= 222 21 2x xlog x x ， ， ， 则
12、f(f(5)=_. 解 析 ： 由 题 意 知 ， f(x)= 222 21 2x xlog x x ， ， ，则 f(5)=log24=2， f(f(5)=f(2)=22-2=1.答 案 ： 1.14. 设 S n为 等 比 数 列 an的 前 n 项 和 ， 8a2-a3=0， 则 42SS =_.解 析 ： 设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q， 8a2-a3=0， a2(8-q)=0，解 得 q=8.则 42SS = 41 21 1 11 1a qqa qq =1+q 2=65.答 案 ： 65.15. 长 方 形 ABCD 中 ， AB=2， BC=1， O 为 AB 的 中
13、点 ， 在 长 方 形 ABCD 内 随 机 取 一 点 ， 取 到 的点 到 O的 距 离 大 于 1的 概 率 为 _.解 析 ： 根 据 几 何 概 型 得 ：取 到 的 点 到 O 的 距 离 大 于 1 的 概 率 ：p dD 外 部 分 的 面 矩 形 的 面圆 积积 =2 22 1 =1- 4 .答 案 ： 1- 416. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f(x)， 设 其 导 函 数 为 f (x)， 当 x (- ， 0时 ， 恒 有 xf(x) f(-x)， 令 F(x)=xf(x)， 则 满 足 F(3) F(2x-1)的 实 数 x的 取 值 范 围 是 _
14、.解 析 ： f(x)是 奇 函 数 ， 不 等 式 xf (x) f(-x)， 等 价 为 xf (x) -f(x)，即 xf (x)+f(x) 0， F(x)=xf(x)， F (x)=xf (x)+f(x)，即 当 x (- ， 0时 ， F (x)=xf (x)+f(x) 0， 函 数 F(x)为 减 函 数 ， f(x)是 奇 函 数 ， F(x)=xf(x)为 偶 数 ， 且 当 x 0 为 增 函 数 .即 不 等 式 F(3) F(2x-1)等 价 为 F(3) F(|2x-1|)， |2x-1| 3， -3 2x-1 3，即 -2 2x 4， -1 x 2，即 实 数 x 的
15、 取 值 范 围 是 (-1， 2).答 案 ： (-1， 2). 三 、 解 答 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 共 70分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .)17. 已 知 ABC中 的 内 角 A， B， C对 边 分 别 为 a， b， c， 3sin2A+2cos2A 2， a 3.(1)若 cosB 33 ， 求 b；(2)若 2sinB=sinC， 求 ABC 的 面 积 .解 析 ： (1)利 用 倍 角 公 式 、 和 差 公 式 可 得 A， 再 利 用 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 、 正 弦 定 理 即
16、可 得 出 .(2)由 2sinB=sinC， 利 用 正 弦 定 理 可 得 ： 2b=c， 由 余 弦 定 理 可 得 ： a 2=b2+c2-2bccosA， 联 立 解出 bc 即 可 得 出 .答 案 ： (1) 3sin2A+2cos2A 2， 3sin2A+cos2A=1， 32 sin2A+12 cos2A=12 ，sin(2A+ 6 )=12 ， A (0， )， 2A+ 6 =56 ， 解 得 A= 3 . 由 cosB 33 ， B (0， )， sinB= 21 cos B = 63 .在 ABC中 ， 由 正 弦 定 理 可 得 ： a bsinA sinB ，可 得
17、 b= 3 6 2 63 332 asinBsinA . (2) 2sinB=sinC， 2b=c，由 余 弦 定 理 可 得 ： a2=b2+c2-2bccosA， 3=b2+c2-bc， 与 2b=c联 立 解 得 ： b=1， c=2. ABC的 面 积 S=12 bcsinA=12 1 2 32 = 32 .18. 某 校 为 调 查 2016届 学 业 水 平 考 试 的 数 学 成 绩 情 况 ， 随 机 抽 取 2个 班 各 50名 同 学 ， 得 如下 频 率 分 布 表 ： ( )估 计 甲 ， 乙 两 班 的 数 学 平 均 分 (同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区
18、 间 的 中 点 值 作 代 表 )；( )数 学 成 绩 60， 70)为 “ C等 ” ， 70， 90)为 “ B等 ” 和 90， 100为 “ A 等 ” ， 从 两 个 班 成绩 为 “ A 等 ” 的 同 学 中 用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 5人 ， 则 甲 乙 两 个 班 各 抽 取 多 少 人 ？( )从 第 ( )问 的 5人 中 随 机 抽 取 2 人 ， 求 这 2人 来 自 同 一 班 级 的 概 率 .解 析 ： ( )由 频 率 分 布 列 能 求 出 甲 、 乙 班 数 学 平 均 分 .( )从 两 个 班 成 绩 为 “ A 等 ” 的 同 学
19、中 用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 5 人 ， 由 频 率 分 布 表 能 求 出 甲乙 两 个 班 各 抽 取 多 少 人 .( )设 抽 取 5人 中 ， 甲 班 3 名 学 生 分 别 为 A、 B、 C， 乙 班 2名 同 学 分 别 为 D， E， 利 用 列 举 法能 求 出 这 2人 来 自 同 一 班 级 的 概 率 .答 案 ： ( )甲 班 数 学 平 均 分 为 ： 55 4 65 6 75 10 85 18 95 12 80.650 ，乙 班 数 学 平 均 分 ： 55 2 65 6 75 18 85 16 95 8 79.450 . ( )从 两 个 班 成
20、 绩 为 “ A等 ” 的 同 学 中 用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 5 人 ，则 甲 班 抽 取 ： 5 1212 8 =人 ， 乙 班 抽 取 ： 5 812 8 =2人 .( )设 抽 取 5 人 中 ， 甲 班 3 名 学 生 分 别 为 A、 B、 C， 乙 班 2 名 同 学 分 别 为 D， E，则 从 中 随 机 抽 取 2 人 的 所 有 可 能 结 果 为 ：AB， AC， AD， AE， BC， BD， BE， CD， CE， DE， 共 10 个 基 本 事 件 ，其 中 来 自 同 一 班 级 的 含 有 ： AB， AC， BC， DE， 共 4 个 基
21、本 事 件 ， 这 2人 来 自 同 一 班 级 的 概 率 p= 410 25 .19. 如 图 ， 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1中 ， 侧 棱 垂 直 底 面 ， ACB=90 ， AC=BC=12 AA1， D 是 棱 AA1的中 点 . ( )证 明 ： 平 面 BDC1 平 面 BDC( )平 面 BDC1分 此 棱 柱 为 两 部 分 ， 求 这 两 部 分 体 积 的 比 .解 析 ： ( )由 题 意 易 证 DC1 平 面 BDC， 再 由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 证 得 平 面 BDC1 平 面BDC；( )设 棱 锥 B-DACC1的 体 积 为
22、 V1， AC=1， 易 求 V1=13 1 22 1 1=12 ， 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 体 积 V=1， 于 是 可 得 (V-V1)： V1=1： 1， 从 而 可 得 答 案 .答 案 ： (1)由 题 意 知 BC CC 1， BC AC， CC1 AC=C， BC 平 面 ACC1A1， 又 DC1平 面 ACC1A1， DC1 BC.由 题 设 知 A1DC1= ADC=45 ， CDC1=90 ， 即 DC1 DC， 又 DC BC=C， DC1 平 面 BDC， 又 DC1平 面 BDC1， 平 面 BDC1 平 面 BDC；(2)设 棱 锥 B-DACC1 的
23、 体 积 为 V 1， AC=1， 由 题 意 得 V1=13 1 22 1 1=12 ，又 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 体 积 V=1， (V-V1)： V1=1： 1， 平 面 BDC1分 此 棱 柱 两 部 分 体 积 的 比 为 1： 1.20. 如 图 ， 已 知 椭 圆 C 的 中 心 在 原 点 O， 左 焦 点 为 F1(-1， 0)， 左 顶 点 为 A， 且 F1为 AO 的 中点 . (1)求 椭 圆 C 的 方 程 ；(2)若 椭 圆 C1方 程 为 ： 2 22 2x ym n 1(m n 0)， 椭 圆 C2方 程 为 ： 2 22 2x ym n ( 0，
24、 且 1)， 则 称 椭 圆 C2是 椭 圆 C1的 倍 相 似 椭 圆 .已 知 C2是 椭 圆 C 的 3 倍 相 似 椭 圆 ， 若 椭 圆 C的 任 意 一 条 切 线 l 交 椭 圆 C2于 两 点 M， N， 试 求 弦 长 |MN|的 最 大 值 .解 析 ： (1)由 椭 圆 C 的 中 心 在 原 点 O， 左 焦 点 为 F1(-1， 0)， 左 顶 点 为 A， 且 F1为 AO的 中 点 ， 求 出 a， b， c， 由 此 能 求 出 椭 圆 C的 方 程 .(2)椭 圆 C1 的 3 倍 相 似 椭 圆 C2的 方 程 为 ： 2 212 9x y 1.切 线 m
25、垂 直 于 x 轴 ， 则 其 方 程 为 ：x= 2， 推 导 出 |MN|=2 6 ； 若 切 线 m 不 垂 直 于 x 轴 ， 可 设 其 方 程 为 ： y=kx+b， 代 人 椭 圆 C1方 程 ， 得 (3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0， 由 此 利 用 根 的 判 别 式 、 韦 达 定 理 、 弦 长 公 式 ， 结 合 已 知条 件 能 求 出 弦 长 |MN|的 最 大 值 .答 案 ： (1) 椭 圆 C的 中 心 在 原 点 O， 左 焦 点 为 F 1(-1， 0)， 左 顶 点 为 A， 且 F1为 AO 的 中 点 ， c=1， a=2， b2=4-
26、1=3， 椭 圆 C 的 方 程 为 2 24 3x y =1.(2)椭 圆 C1的 3 倍 相 似 椭 圆 C2的 方 程 为 ： 2 212 9x y 1. 若 切 线 m垂 直 于 x轴 ， 则 其 方 程 为 ： x= 2， 解 得 y= 6 ， |MN|=2 6 . 若 切 线 m不 垂 直 于 x 轴 ， 可 设 其 方 程 为 ： y=kx+b. 将 y=kx+b 代 人 椭 圆 C1方 程 ， 得 ： (3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0， =(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)=0，即 b2=4k2+3， (*)，设 M， N 两
27、 点 的 坐 标 分 别 是 (x1， y1)， (x2， y2)，将 y=kx+b 代 入 椭 圆 C2的 方 程 ， 得 ： (3+4k2)x2+8kbx+4b2-36=0，此 时 ， x 1+x2 283 4kbk ， x1x2= 2 24 363 4b k ， |x1-x2|= 2 224 3 12 93 4k bk ， |MN|= 2 2 22 2 2 24 3 12 9 1 11 4 6 2 6 13 4 3 4 3 4k b kk k k k ， 3+4k 2 3， 1 1+ 213 4k 43 ， 即 2 6 212 6 1 3 4k 4 2，综 合 ， 得 弦 长 |MN|的
28、 取 值 范 围 是 2 6 ， 4 2， 弦 长 |MN|的 最 大 值 是 4 2.21. 设 f(x)=lnx， g(x)=f(x)+af (x). (1)求 函 数 f(x)的 图 象 在 点 (e， 1)处 的 切 线 方 程 ；(2)求 g(x)的 单 调 区 间 ；(3)当 a=1 时 ， 求 实 数 m 的 取 值 范 围 ， 使 得 g(m)-g(x) 1m 对 任 意 x 0 恒 成 立 .解 析 ： (1)求 出 f(x)的 导 数 ， 求 得 切 线 的 斜 率 ， 由 点 斜 式 方 程 即 可 得 到 切 线 方 程 ；(2)求 出 g(x)的 导 数 ， 对 a
29、讨 论 ， 当 a 0 时 ， 当 a 0 时 ， 令 导 数 大 于 0， 可 得 增 区 间 ， 令导 数 小 于 0， 可 得 减 区 间 ；(3)先 化 简 求 出 g(x)， 在 根 据 导 数 求 出 函 数 g(x)的 最 小 值 ， 而 g(m)-g(x) 1m ， 对 任 意 x 0 恒 成 立 ， 转 化 为 lnm g(x)恒 成 立 ， 问 题 得 以 解 决 .答 案 ： (1)f(x)=lnx的 导 数 为 f (x)=1x ， 即 有 f(x)在 点 (e， 1)处 的 切 线 斜 率 为 k=1e ，则 f(x)在 点 (e， 1)处 的 切 线 方 程 为 y
30、-1=1e (x-e)，即 为 x-ey=0；(2)g(x)=f(x)+af (x)=lnx+ ax ，g (x)= 2 21 ax xx x a (x 0)，当 a 0 时 ， g (x) 0， g(x)在 (0， + )上 递 增 ；当 a 0 时 ， 0 x a 时 ， g (x) 0， g(x)在 (0， a)上 递 减 ， x a 时 ， g (x) 0， g(x)在 (a，+ )上 递 增 .综 上 可 得 ， 当 a 0 时 ， g(x)的 增 区 间 为 (0， + )； 当 a 0 时 ， g(x)的 增 区 间 为 (a， + )， 减 区 间 为 (0， a).(3)f(
31、x)=lnx， g(x)=f(x)+af (x)，即 有 g(x)=lnx+ ax ，由 a=1， g(x)=lnx+1x ，g (x)= 2 21 ax xx x a ，令 g (x)=0， 解 得 x=1，当 g (x) 0， 即 x 1 时 ， 函 数 g(x)单 调 递 增 ，当 g (x) 0， 即 0 x 1 时 ， 函 数 g(x)单 调 递 减 ，即 有 g(x)min=g(1)=1， 由 于 g(m)-g(x) 1m ， 对 任 意 x 0恒 成 立 ，则 lnm+ 1m - 1m g(x)， m 0，即 有 lnm g(x)恒 成 立 ，即 lnm 1，解 得 0 m e，
32、 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 (0， e).请 考 生 在 22、 23、 24 三 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .选 修 4-1：几 何 证 明 选 讲 22. 如 图 ， A， B， C， D 四 点 在 同 一 圆 上 ， BC 与 AD 的 延 长 线 交 于 点 E， 点 F 在 BA 的 延 长 线上 . ( )若 1=3ECEB ， 1=2EDEA ， 求 DCAB 的 值 ；( )若 EF2=FA FB， 证 明 ： EF CD.解 析 ： ( )根 据 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 ， 可
33、得 ECD= EAB， EDC= B， 从 而 EDC EBA，所 以 有 = =ED EC DCEB EA AB ， 利 用 比 例 的 性 质 可 得 21 1=2 3 DCAB ， 得 到 6= 6DCAB ；( )根 据 题 意 中 的 比 例 中 项 ， 可 得 =EF FBFA FE ， 结 合 公 共 角 可 得 FAE FEB， 所 以 FEA= EBF， 再 由 ( )的 结 论 EDC= EBF， 利 用 等 量 代 换 可 得 FEA= EDC， 内 错 角 相 等 ， 所 以EF CD.答 案 ： ( ) A， B， C， D四 点 共 圆 ， ECD= EAB， ED
34、C= B EDC EBA， 可 得 = =ED EC DCEB EA AB ， 2= =ED EC DCEB EA AB ， 即 21 1=2 3 DCAB 6= 6DCAB( ) EF 2=FA FB， =EF FBFA FE ，又 EFA= BFE， FAE FEB， 可 得 FEA= EBF，又 A， B， C， D四 点 共 圆 ， EDC= EBF， FEA= EDC， EF CD. 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 23. 已 知 曲 线 C的 极 坐 标 方 程 是 =2， 以 极 点 为 原 点 ， 极 轴 为 x 轴 的 正 半 轴 建 立 平 面 直 角 坐
35、标 系 ， 直 线 L 的 参 数 方 程 为 12 3x ty t (t为 参 数 )(1)写 出 直 线 L 的 普 通 方 程 与 Q 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 ；(2)设 曲 线 C 经 过 伸 缩 变 换 12x xy y 得 到 曲 线 C ， 设 M(x， y)为 C 上 任 意 一 点 ， 求x 2- 3xy+2y2的 最 小 值 ， 并 求 相 应 的 点 M 的 坐 标 .解 析 ： (1)直 接 消 去 参 数 t 得 直 线 l 的 普 通 方 程 ， 根 据 2=x2+y2可 得 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 ；(2)先 根 据 伸 缩 变 换
36、 得 到 曲 线 C 的 方 程 ， 然 后 设 M(2cos ， sin )， 则 x=2cos ， y=sin 代 入 x2- 3xy+2y2， 根 据 三 角 函 数 的 性 质 可 求 出 所 求 .答 案 ： (1) 直 线 l 的 参 数 方 程 为 12 3x ty t (t为 参 数 )， 消 去 参 数 t 得 直 线 l 的 普 通 方 程 为 3x-y- 3+2 0， =2， 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 x 2+y2=4；(2) 曲 线 C： x2+y2=4经 过 伸 缩 变 换 12x xy y 得 到 曲 线 C， C ： 2 2 4x y 1，设 M
37、(2cos ， sin )则 x=2cos ， y=sin ， x 2- 3xy+2y2 3+2cos(2 + 3 )， 当 = 3 +k ， k Z 时 ， 即 M 为 (1， 32 )或 (-1， - 32 )时 x2- 3xy+2y2的 最 小 值 为 1.选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 24. 设 f(x)=|x|+2|x-a|(a 0).( )当 a=l时 ， 解 不 等 式 f(x) 4；( )若 f(x) 4恒 成 立 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 . 解 析 ： ( )当 a=l时 ， f(x)=|x|+2|x-1|= 2 3 02 0 13 2 1x xx xx
38、 x ， ， ， ， 分 三 种 情 况 求 出 不 等 式 的 解 集 ，再 取 并 集 即 得 所 求 .( )化 简 函 数 f(x)=|x|+2|x-a|的 解 析 式 ， 求 出 它 的 最 小 值 ， 由 题 意 可 得 f(x)的 最 小 值 a大 于 或 等 于 4， 由 此 求 得 a 取 值 范 围 .答 案 ： ( )当 a=l时 ， f(x)=|x|+2|x-1|= 2 3 02 0 13 2 1x xx xx x ， ， ， .当 x 0 时 ， 由 2-3x 4， 得 -23 x 0；当 0 x 1时 ， 1 2-x 2， 解 得 0 x 1； 当 x 1 时 ， 由 3x-2 4， 得 1 x 2.综 上 ， 不 等 式 f(x) 4 的 解 集 为 -23 ， 2.( )f(x)=|x|+2|x-a|= 2 3 02 03 2a x xa x x ax a x a ， ， ， .可 见 ， f(x)在 (- ， a单 调 递 减 ， 在 (a， + )单 调 递 增 .当 x=a时 ， f(x)取 最 小 值 a.若 f(x) 4恒 成 立 ， 则 应 有 a 4，所 以 ， a 取 值 范 围 为 4， + ).
