1、2016年 广 东 省 梅 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： 每 小 题 3 分 ， 共 21 分 .每 小 题 给 出 四 个 答 案 ， 其 中 只 有 一 个 是 正 确 的 .1. 计 算 ： (-3)+4的 结 果 是 ( )A.-7B.-1C.1D.7解 析 ： 原 式 =+(4-3)=1.答 案 ： C.2. 若 一 组 数 据 3， x， 4， 5， 6 的 众 数 是 3， 则 这 组 数 据 的 中 位 数 为 ( ) A.3B.4C.5D.6解 析 ： 一 组 数 据 3， x， 4， 5， 6的 众 数 是 3， x=3，把 这 组 数 据 按 照
2、从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 ： 3， 3， 4， 5， 6，最 中 间 的 数 是 4， 则 这 组 数 据 的 中 位 数 为 4.答 案 ： B.3. 如 图 ， 几 何 体 的 俯 视 图 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 从 上 面 看 ， 几 何 体 的 俯 视 图 是 答 案 ： D.4. 分 解 因 式 a2b-b3结 果 正 确 的 是 ( )A.b(a+b)(a-b)B.b(a-b)2C.b(a2-b2)D.b(a+b)2解 析 ： a 2b-b3=b(a2-b2)=b(a+b)(a-b).答 案 ： A.5. 如 图 ， BC AE于 点 C， CD AB
3、， B=55 ， 则 1等 于 ( )A.55 B.45C.35D.25解 析 ： BC AE， ACB=90 ， BCE=90 ， CD AB， B=55 ， BCD= B=55 ， 1=90 -55 =35 .答 案 ： C.6. 二 次 根 式 2 x 有 意 义 ， 则 x 的 取 值 范 围 是 ( ) A.x 2B.x 2C.x 2D.x 2解 析 ： 由 题 意 得 2-x 0，解 得 ， x 2.答 案 ： D.7. 对 于 实 数 a、 b， 定 义 一 种 新 运 算 “ ” 为 ： ab= 21a b ， 这 里 等 式 右 边 是 实 数 运 算 .例 如 ： 13=
4、21 11 3 8 .则 方 程 x(-2)= 2 14x 的 解 是 ( ) A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7解 析 ： 根 据 题 意 ， 得 1 2 14 4x x ，去 分 母 得 ： 1=2-(x-4)，解 得 ： x=5，经 检 验 x=5是 分 式 方 程 的 解 .答 案 ： B.二 、 填 空 题 ： 每 小 题 3 分 ， 共 24 分 .8. 比 较 大 小 ： -2_-3. 解 析 ： 在 两 个 负 数 中 ， 绝 对 值 大 的 反 而 小 ， 可 求 出 -2 -3.答 案 ： .9. 在 一 个 不 透 明 的 口 袋 中 ， 装 有 若 干 个 除 颜
5、 色 不 同 外 ， 其 余 都 相 同 的 小 球 .如 果 口 袋 中 装 有3个 红 球 且 从 中 随 机 摸 出 一 个 球 是 红 球 的 概 率 为 15 ， 那 么 口 袋 中 小 球 共 有 _个 .解 析 ： 设 口 袋 中 小 球 共 有 x 个 ，根 据 题 意 得 3 15x ， 解 得 x=15，所 以 口 袋 中 小 球 共 有 15 个 .答 案 ： 15.10. 流 经 我 市 的 汀 江 ， 在 青 溪 水 库 的 正 常 库 容 是 6880 万 立 方 米 .6880 万 用 科 学 记 数 法 表 示 为 _.解 析 ： 6880万 =68800000
6、=6.88 107.答 案 ： 6.88 107.11. 已 知 点 P(3-m， m)在 第 二 象 限 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 点 P(3-m， m)在 第 二 象 限 ， 3 00mm 解 得 ： m 3.答 案 ： m 3.12. 用 一 条 长 40cm 的 绳 子 围 成 一 个 面 积 为 64cm 2的 矩 形 .设 矩 形 的 一 边 长 为 xcm， 则 可 列 方程 为 _.解 析 ： 设 矩 形 的 一 边 长 为 xcm， 长 方 形 的 周 长 为 40cm， 宽 为 =(20-x)(cm)，得 x(20-x)=64.答 案 ： x(20
7、-x)=64. 13. 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， 点 E 是 边 AD 的 中 点 ， EC 交 对 角 线 BD 于 点 F， 若 S DEC=3，则 S BCF=_.解 析 ： 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 到 AD BC和 DEF BCF， 由 已 知 条 件 求 出 DEF的 面 积 ，根 据 相 似 三 角 形 的 面 积 比 是 相 似 比 的 平 方 得 到 答 案 .答 案 ： 4.14. 如 图 ， 抛 物 线 y=-x 2+2x+3 与 y 轴 交 于 点 C， 点 D(0， 1)， 点 P 是 抛 物 线 上 的 动 点 .若 PC
8、D是 以 CD为 底 的 等 腰 三 角 形 ， 则 点 P的 坐 标 为 _.解 析 ： PCD是 以 CD 为 底 的 等 腰 三 角 形 ， 点 P在 线 段 CD的 垂 直 平 分 线 上 ， 如 图 ， 过 P作 PE y轴 于 点 E， 则 E 为 线 段 CD 的 中 点 ， 抛 物 线 y=-x2+2x+3与 y轴 交 于 点 C， C(0， 3)， 且 D(0， 1)， E 点 坐 标 为 (0， 2)， P 点 纵 坐 标 为 2，在 y=-x2+2x+3 中 ， 令 y=2， 可 得 -x2+2x+3=2， 解 得 x=1 2 ， P 点 坐 标 为 (1+ 2 ， 2)
9、或 (1- 2 ， 2)，答 案 ： (1+ 2 ， 2)或 (1- 2 ， 2).15. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 将 ABO绕 点 A 顺 时 针 旋 转 到 AB 1C1的 位 置 ， 点 B、 O 分别 落 在 点 B1、 C1处 ，点 B1在 x 轴 上 ， 再 将 AB1C1绕 点 B1顺 时 针 旋 转 到 A1B1C2的 位 置 ， 点 C2在 x轴 上 ， 将 A1B1C2绕 点 C2顺 时 针 旋 转 到 A2B2C2的 位 置 ， 点 A2在 x 轴 上 ， 依 次 进 行 下 去 .若 点 A( 32 ， 0)， B(0，2)， 则 点 B20
10、16的 坐 标 为 _. 解 析 ： AO= 32 ， BO=2， AB= 2 2 52AO BO ， OA+AB1+B1C2=6， B2的 横 坐 标 为 ： 6， 且 B2C2=2， B4的 横 坐 标 为 ： 2 6=12， 点 B 2016的 横 坐 标 为 ： 2016 2 6=6048. 点 B2016的 纵 坐 标 为 ： 2. 点 B2016的 坐 标 为 ： (6048， 2).答 案 ： (6048， 2).三 、 解 答 下 列 各 题 ： 本 题 有 9 小 题 ， 共 75分 .解 答 应 写 文 字 说 明 、 推 理 过 程 或 演 算 步 骤 .16. 计 算
11、： ( -5)0+ 2 cos45 -|-3|+( 12 )-1.解 析 ： 根 据 实 数 的 运 算 顺 序 ， 首 先 计 算 乘 方 、 乘 法 ， 然 后 从 左 向 右 依 次 计 算 ， 求 出 算 式 (-5) 0+ 2 cos45 -|-3|+( 12 )-1的 值 是 多 少 即 可 .答 案 ： ( -5)0+ 2 cos45 -|-3|+( 12 )-1=1+ 2 22 -3+2=1+1-3+2=117. 我 市 某 校 开 展 了 以 “ 梦 想 中 国 ” 为 主 题 的 摄 影 大 赛 ， 要 求 参 赛 学 生 每 人 交 一 件 作 品 .现将 从 中 挑 选
12、 的 50件 参 赛 作 品 的 成 绩 (单 位 ： 分 )统 计 如 下 ： 请 根 据 上 表 提 供 的 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)表 中 x 的 值 为 _， y 的 值 为 _； (直 接 填 写 结 果 )(2)将 本 次 参 赛 作 品 获 得 A等 级 的 学 生 依 次 用 A1、 A2、 A3 表 示 .现 该 校 决 定 从 本 次 参 赛 作 品获 得 A 等 级 的 学 生 中 ， 随 机 抽 取 两 名 学 生 谈 谈 他 们 的 参 赛 体 会 ， 则 恰 好 抽 到 学 生 A1和 A2的 概 率 为 _.(直 接 填 写 结 果 )解 析
13、： (1)利 用 频 (数 )率 分 布 表 ， 利 用 频 数 和 分 别 减 去 B、 C 等 级 的 频 数 即 可 得 到 x 的 值 ， 然后 用 B等 级 的 频 数 除 以 总 数 即 可 得 到 y的 值 ；(2)画 树 状 图 展 示 所 有 12 种 等 可 能 的 结 果 数 ， 再 找 出 恰 好 抽 到 学 生 A1和 A2的 结 果 数 ， 然 后根 据 概 率 公 式 求 解 .答 案 ： (1)x=50-12-34=4， y=3450 =0.68.(2)画 树 状 图 为 ：共 有 12种 等 可 能 的 结 果 数 ， 其 中 恰 好 抽 到 学 生 A 1和
14、 A2的 结 果 数 为 2，所 以 恰 好 抽 到 学 生 A1和 A2的 概 率 = 2 112 6 .18. 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， 以 点 A为 圆 心 ， AB 长 为 半 径 画 弧 交 AD于 点 F， 再 分 别 以点 B、 F 为 圆 心 ， 大 于 12 BF长 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 交 于 一 点 P， 连 接 AP 并 延 长 交 BC 于 点 E，连 接 EF. (1)四 边 形 ABEF是 _； (选 填 矩 形 、 菱 形 、 正 方 形 、 无 法 确 定 )(直 接 填 写 结 果 )(2)AE， BF 相 交 于 点 O
15、， 若 四 边 形 ABEF 的 周 长 为 40， BF=10， 则 AE 的 长 为 _， ABC=_ .(直 接 填 写 结 果 )解 析 ： (1)先 证 明 AEB AEF， 推 出 EAB= EAF， 由 AD BC， 推 出 EAF= AEB= EAB，得 到 BE=AB=AF， 由 此 即 可 证 明 .(2)根 据 菱 形 的 性 质 首 先 证 明 AOB是 含 有 30 的 直 角 三 角 形 ， 由 此 即 可 解 决 问 题 .答 案 ： (1)在 AEB和 AEF中 ，AB AFEAB EAFAE AE ， AEB AEF， EAB= EAF， AD BC， EAF
16、= AEB= EAB， BE=AB=AF. AF BE， 四 边 形 ABEF 是 平 行 四 边 形 AB=AF， 四 边 形 ABEF 是 菱 形 .(2) 四 边 形 ABEF是 菱 形 ， AE BF， BO=OF=5， ABO= EBO， AB=10， AB=2BO， AOB=90 BA0=30 ， ABO=60 ， AO= 3BO=5 3， ABC=2 ABO=120 .19. 如 图 ， 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O是 坐 标 原 点 ， 点 A(2， 5)在 反 比 例 函 数 y= kx 的 图 象上 .一 次 函 数 y=x+b 的 图 象 过 点 A
17、， 且 与 反 比 例 函 数 图 象 的 另 一 交 点 为 B. (1)求 k 和 b 的 值 ；(2)设 反 比 例 函 数 值 为 y1， 一 次 函 数 值 为 y2， 求 y1 y2时 x的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)把 A(2， 5)分 别 代 入 y= kx 和 y=x+b， 即 可 求 出 k 和 b 的 值 ；(2)联 立 一 次 函 数 和 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ， 求 出 交 点 坐 标 ， 进 而 结 合 图 形 求 出 y1 y2时 x 的取 值 范 围 .答 案 ： (1)把 A(2， 5)分 别 代 入 y= kx 和 y=x+b，得 5
18、22 5k b ，解 得 k=10， b=3； (2)由 (1)得 ， 直 线 AB的 解 析 式 为 y=x+3，反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y=10 x .由 10 3y xy x ， 解 得 ： 25xy 或 52xy .则 点 B的 坐 标 为 (-5， -2).由 图 象 可 知 ， 当 y 1 y2时 ， x 的 取 值 范 围 是 x -5 或 0 x 2.20. 如 图 ， 点 D在 O 的 直 径 AB 的 延 长 线 上 ， 点 C 在 O上 ， AC=CD， ACD=120 . (1)求 证 ： CD是 O 的 切 线 ；(2)若 O 的 半 径 为 2， 求
19、 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 .解 析 ： (1)连 接 OC.只 需 证 明 OCD=90 .根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 即 可 证 明 ；(2)阴 影 部 分 的 面 积 即 为 直 角 三 角 形 OCD的 面 积 减 去 扇 形 COB 的 面 积 .答 案 ： (1)证 明 ： 连 接 OC. AC=CD， ACD=120 ， A= D=30 . OA=OC， 2= A=30 . OCD=180 - A- D- 2=90 .即 OC CD， CD 是 O的 切 线 .(2)解 ： A=30 ， 1=2 A=60 . 260 2 2360 3BOCS 扇 形 .在
20、Rt OCD中 ， CDOC =tan60 ， CD=2 3. SRt OCD= 12 OC CD= 12 2 2 3=2 3. 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 ： 2 3- 23 .21. 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2+(2k+1)x+k2+1=0 有 两 个 不 等 实 根 x1、 x2.(1)求 实 数 k 的 取 值 范 围 .(2)若 方 程 两 实 根 x 1、 x2满 足 x1+x2=-x1 x2， 求 k 的 值 .解 析 ： (1)根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 出 0， 代 入 求 出 即 可 ；(2)根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 出
21、 x1+x2=-(2k+1)， x1 x2=k2+1， 根 据 x1+x2=-x1 x2 得 出-(2k+1)=-(k2+1)， 求 出 方 程 的 解 ， 再 根 据 (1)的 范 围 确 定 即 可 .答 案 ： (1) 原 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， =(2k+1)2-4(k2+1) 0，解 得 ： k 34 ， 即 实 数 k 的 取 值 范 围 是 k 34 ；(2) 根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 ： x1+x2=-(2k+1)， x1 x2=k2+1，又 方 程 两 实 根 x1、 x2满 足 x1+x2=-x1 x2， -(2k+1)=-(k2+
22、1)，解 得 ： k1=0， k2=2， k 34 ， k 只 能 是 2.22. 如 图 ， 平 行 四 边 形 ABCD中 ， BD AD， A=45 ， E、 F分 别 是 AB、 CD上 的 点 ， 且 BE=DF，连 接 EF交 BD 于 O. (1)求 证 ： BO=DO；(2)若 EF AB， 延 长 EF 交 AD的 延 长 线 于 G， 当 FG=1时 ， 求 AE的 长 .解 析 ： (1)由 平 行 四 边 形 的 性 质 和 AAS 证 明 OBE ODF， 得 出 对 应 边 相 等 即 可 ；(2)证 出 AE=GE， 再 证 明 DG=DO， 得 出 OF=FG=
23、1， 即 可 得 出 结 果 .答 案 ： (1)证 明 ： 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， DC AB， OBE= ODF.在 OBE与 ODF中 ，OBE ODFBOE DOFBE DF OBE ODF(AAS). BO=DO.(2)解 ： EF AB， AB DC， GEA= GFD=90 . A=45 ， G= A=45 . AE=GE BD AD， ADB= GDO=90 . GOD= G=45 . DG=DO， OF=FG=1，由 (1)可 知 ， OE=OF=1， GE=OE+OF+FG=3， AE=3.23. 如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， ACB=90
24、， AC=5cm， BAC=60 ， 动 点 M 从 点 B 出 发 ， 在 BA边 上 以 每 秒 2cm的 速 度 向 点 A 匀 速 运 动 ， 同 时 动 点 N 从 点 C 出 发 ， 在 CB 边 上 以 每 秒 3 cm的 速 度 向 点 B 匀 速 运 动 ， 设 运 动 时 间 为 t 秒 (0 t 5)， 连 接 MN. (1)若 BM=BN， 求 t 的 值 ；(2)若 MBN与 ABC相 似 ， 求 t 的 值 ；(3)当 t 为 何 值 时 ， 四 边 形 ACNM的 面 积 最 小 ？ 并 求 出 最 小 值 .解 析 ： (1)由 已 知 条 件 得 出 AB=1
25、0， BC=5 3.由 题 意 知 ： BM=2t， CN= 3t， BN=5 3 - 3t，由 BM=BN 得 出 方 程 2t=5 3- 3t， 解 方 程 即 可 ；(2)分 两 种 情 况 ： 当 MBN ABC时 ， 由 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 得 出 比 例 式 ， 即 可 得出 t 的 值 ； 当 NBM ABC时 ， 由 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 得 出 比 例 式 ， 即 可 得 出 t 的 值 ；(3)过 M 作 MD BC于 点 D， 则 MD AC， 证 出 BMD BAC， 得 出 比 例 式 求 出 MD=t.四 边 形
26、 ACNM的 面 积 y= ABC 的 面 积 - BMN 的 面 积 ， 得 出 y 是 t 的 二 次 函 数 ， 由 二 次 函 数 的 性 质 即 可 得出 结 果 . 答 案 ： (1) 在 Rt ABC 中 ， ACB=90 ， AC=5， BAC=60 ， B=30 ， AB=2AC=10， BC=5 3.由 题 意 知 ： BM=2t， CN= 3t， BN=5 3- 3 t， BM=BN， 2t=5 3- 3 t，解 得 ： t= 5 3 10 3 152 3 . (2)分 两 种 情 况 ： 当 MBN ABC时 ， 则 MB BNAB BC ， 即 2 5 3 310 5
27、 3t t ，解 得 ： t= 52 . 当 NBM ABC时 ，则 NB BMAB BC ， 即 5 3 3 210 5 3t t ，解 得 ： t=157 .综 上 所 述 ： 当 t= 52 或 t=157 时 ， MBN与 ABC相 似 .(3)过 M 作 MD BC 于 点 D， 则 MD AC， BMD BAC， MD BMAC AB ，即 25 10MD t ，解 得 ： MD=t.设 四 边 形 ACNM 的 面 积 为 y， y= 12 5 5 3- 12 (5 3- 3t) t= 32 t 2-5 32 t+ 25 32 = 32 (t- 52 )2+ 75 38 . 根
28、据 二 次 函 数 的 性 质 可 知 ， 当 t= 52 时 ， y 的 值 最 小 .此 时 ， y 最 小 = 75 38 .24. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 抛 物 线 y=x 2+bx+c过 A， B， C 三 点 ， 点 A 的 坐 标 是 (3，0)， 点 C 的 坐 标 是 (0， -3)， 动 点 P 在 抛 物 线 上 . (1)b=_， c=_， 点 B 的 坐 标 为 _； (直 接 填 写 结 果 )(2)是 否 存 在 点 P， 使 得 ACP是 以 AC 为 直 角 边 的 直 角 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 求 出 所 有
29、符 合 条 件的 点 P的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 ；(3)过 动 点 P 作 PE 垂 直 y 轴 于 点 E， 交 直 线 AC 于 点 D， 过 点 D 作 x 轴 的 垂 线 .垂 足 为 F， 连接 EF， 当 线 段 EF的 长 度 最 短 时 ， 求 出 点 P的 坐 标 .解 析 ： (1)将 点 A和 点 C 的 坐 标 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 可 求 得 b、 c的 值 ， 然 后 令 y=0可 求 得 点B的 坐 标 ；(2)分 别 过 点 C 和 点 A 作 AC 的 垂 线 ， 将 抛 物 线 与 P 1， P2两 点 先 求 得
30、AC 的 解 析 式 ， 然 后 可 求得 P1C和 P2A 的 解 析 式 ， 最 后 再 求 得 P1C和 P2A 与 抛 物 线 的 交 点 坐 标 即 可 ；(3)连 接 OD.先 证 明 四 边 形 OEDF 为 矩 形 ， 从 而 得 到 OD=EF， 然 后 根 据 垂 线 段 最 短 可 求 得 点 D的 纵 坐 标 ， 从 而 得 到 点 P的 纵 坐 标 ， 然 后 由 抛 物 线 的 解 析 式 可 求 得 点 P的 坐 标 .答 案 ： (1) 将 点 A 和 点 C 的 坐 标 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 得 ： 39 3 0c b c ， 解 得 ： b=-
31、2，c=-3. 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=x 2-2x-3. 令 x2-2x-3=0， 解 得 ： x1=-1， x2=3. 点 B的 坐 标 为 (-1， 0).(2)存 在 .理 由 ： 如 图 所 示 ： 当 ACP1=90 . 由 (1)可 知 点 A 的 坐 标 为 (3， 0).设 AC 的 解 析 式 为 y=kx-3. 将 点 A 的 坐 标 代 入 得 3k-3=0， 解 得 k=1， 直 线 AC 的 解 析 式 为 y=x-3. 直 线 CP1的 解 析 式 为 y=-x-3. 将 y=-x-3与 y=x2-2x-3联 立 解 得 x1=1， x2=0(舍 去
32、)， 点 P1的 坐 标 为 (1， -4). 当 P 2AC=90 时 .设 AP2的 解 析 式 为 y=-x+b. 将 x=3， y=0 代 入 得 ： -3+b=0， 解 得 b=3. 直 线 AP2的 解 析 式 为 y=-x+3. 将 y=-x+3与 y=x2-2x-3联 立 解 得 x1=-2， x2=3(舍 去 )， 点 P2的 坐 标 为 (-2， 5).综 上 所 述 ， P 的 坐 标 是 (1， -4)或 (-2， 5).(3)如 图 2 所 示 ： 连 接 OD. 由 题 意 可 知 ， 四 边 形 OFDE是 矩 形 ， 则 OD=EF.根 据 垂 线 段 最 短 ， 可 得 当 OD AC 时 ， OD最 短 ， 即 EF最 短 .由 (1)可 知 ， 在 Rt AOC 中 ， OC=OA=3， OD AC， D 是 AC 的 中 点 .又 DF OC， DF= 12 OC= 32 . 点 P的 纵 坐 标 是 - 32 . x 2-2x-3=- 32 ， 解 得 ： x= 2 210 . 当 EF最 短 时 ， 点 P 的 坐 标 是 ： ( 2 210 ， - 32 )或 ( 2 210 ， - 32 ).
