1、2016年 山 西 省 太 原 市 高 考 一 模 试 卷 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.已 知 全 集 U=1， 2， 3， 4， 5， 集 合 M=3， 4， 5， N=1， 2， 5， 则 集 合 1， 2可 以 表 示为 ( )A.M NB.(C UM) NC.M (CUN)D.(CUM) (CUN)解 析 ： 根 据 元 素 之 间 的 关 系 进 行 求 解 即 可 . M=3， 4， 5， N=1，
2、 2， 5， M N=5， (CUM) N=1， 2，M (CUN)=3， 4，(C UM) (CUN)=.答 案 ： B2.i是 虚 数 单 位 ， 复 数 5 34 ii ( )A.1-iB.-1+iC.1+iD.-1-i解 析 ： 进 行 复 数 的 除 法 运 算 ， 分 子 和 分 母 同 乘 以 分 母 的 共 轭 复 数 ， 约 分 化 简 ， 得 到 结 果 . 5 3 45 3 17 17 14 4 4 17i ii i ii i i . 答 案 ： C.3.如 图 是 某 样 本 数 据 的 茎 叶 图 ， 则 该 样 本 的 中 位 数 、 众 数 、 极 差 分 别 是
3、 ( )A.32 34 32B.33 45 35C.34 45 32D.33 36 35 解 析 ： 根 据 中 位 数 ， 众 数 以 及 极 差 的 概 念 以 及 茎 叶 图 中 的 数 据 ， 求 出 相 应 的 数 据 即 可 . 从 茎 叶 图 中 知 共 16 个 数 据 ， 按 照 从 小 到 大 排 序 后 中 间 的 两 个 数 据 为 32、 34，所 以 这 组 数 据 的 中 位 数 为 33；45出 现 的 次 数 最 多 ， 所 以 这 组 数 据 的 众 数 为 45；最 大 值 是 47， 最 小 值 是 12， 故 极 差 是 ： 35.答 案 ： B.4.
4、若 双 曲 线 2 22 2 1x ya b 的 离 心 率 为 3 ， 则 其 渐 近 线 方 程 为 (A.y= 2xB.y 2 x C.y 12 xD.y 22 x解 析 ： 由 双 曲 线 的 离 心 率 3 ， 可 知 c= 3 a，又 a 2+b2=c2， 所 以 b= 2 a，所 以 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ： 2by x xa .答 案 ： B.5.对 于 下 列 四 个 命 题p 1： 0 00 1 10 2 3( ) x xx ， ， ；p2： 1 0 1 02 30 0 1( )x log x log x ， ， ；p3： 12( ) 10 2 xx lo
5、g x ， ， ；p 4： 131 10 3 2( ) xx log x ， ， .其 中 的 真 命 题 是 ( )A.p1， p3B.p1， p4C p2， p3D.p2， p4 解 析 ： 根 据 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 图 象 和 性 质 即 可 判 断 .对 于 下 列 四 个 命 题p1： 0 00 1 10 2 3( ) x xx ， ， ； 根 据 指 数 函 数 的 性 质 可 知 p1错 误 ，p2： 1 0 1 02 30 0 1( )x log x log x ， ， ； 根 据 对 数 函 数 的 单 调 性 可 知 p2正 确 ，p 3： 12( )
6、 10 2 xx log x ， ， ； 当 x=1时 ， 就 不 正 确 ， 故 p3错 误 ，p4： 131 10 3 2( ) xx log x ， ， .根 据 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 性 质 可 知 ， p4正 确 .答 案 ： B.6.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 出 的 2524S ， 则 判 断 框 内 填 入 的 条 件 可 以 是 ( ) A.k 7B.k 7C.k 8D.k 8解 析 ： 模 拟 执 行 程 序 框 图 ， 可 得 ：S=0， k=0满 足 条 件 ， k=2， S 12满 足 条 件 ， k=4， S 1 12
7、4 满 足 条 件 ， k=6， S 1 1 12 4 6 满 足 条 件 ， k=8， S= 1 1 1 1 252 4 6 8 24 .由 题 意 ， 此 时 应 不 满 足 条 件 ， 退 出 循 环 ， 输 出 S的 值 为 2524 .结 合 选 项 可 得 判 断 框 内 填 入 的 条 件 可 以 是 ： k 8.答 案 ： D.7.已 知 函 数 f(x) 2sin(2x+ )(| | 2)图 象 过 点 (0， 3)， 则 f(x)图 象 的 一 个 对 称 中 心是 ( )A.( 3 ， 0) B.( 6 ， 0)C.( 6 ， 0)D.(12 ， 0)解 析 ： 函 数
8、f(x)=2sin(2x+ )(| | 2 )的 图 象 过 点 (0， 3 )， 3 =2sin ， 由 (| | 2 )， 可 得 ： = 3 ， f(x)=2sin(2x+ 3 )， 由 五 点 作 图 法 令 2x+ 3 =0， 可 解 得 ： x= 6 ，则 f(x)的 图 象 的 一 个 对 称 中 心 是 ( 6 ， 0).答 案 ： B.8.各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 an的 前 n项 和 为 S n， 若 Sn=2， S3n=14， 则 S4n等 于 ( )A.80B.30C.26 D.16解 析 ： 利 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式 ， 整 体 思
9、 维 ， 即 可 求 得 结 论 .设 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 an的 公 比 等 于 q， Sn=2， S3n=14， q 1 31 1 11 12 14 2 21 1 1n n na q a q aqq q q ， ， 解 得 ， . 414 1 2 1 16 301 nn aS qq （ ） （ ） .答 案 ： B.9.某 空 间 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 此 几 何 体 的 体 积 为 ( ) A.10B.15C.20D.30解 析 ： 由 已 知 中 的 三 视 图 可 得 该 几 何 体 是 一 个 以 俯 视 图 为 底 面 的 三
10、 棱 柱 ， 切 去 一 个 同 底 等 高的 三 棱 锥 所 得 的 几 何 体 ， 底 面 面 积 S= 12 4 3=6，高 h=5，故 组 合 体 的 体 积 1 2 203 3V Sh Sh Sh . 答 案 ： C10.已 知 满 足 2 2 02 4 03 3 0 x yx yx y 的 实 数 x、 y 所 表 示 的 平 面 区 域 为 M、 若 函 数 y=k(x+1)+1 的 图象 经 过 区 域 M， 则 实 数 k的 取 值 范 围 是 ( )A.3， 5 B.-1， 1C.-1， 3D. 12 ， 1解 析 ： 作 出 可 行 域 ， 如 图 . 因 为 函 数 y
11、=k(x+1)+1 的 图 象 是 过 点 A(-1， 1)， 且 斜 率 为 k 的 直 线 l， 由 图 知 ， 当 直 线 l 过点 M(0， 2)时 ， k 取 最 大 值 1， 当 直 线 l 过 点 NB(1， 0)时 ， k 取 最 小 值 12 ，故 k 12 ， 1.答 案 ： D.11.已 知 三 棱 锥 S-ABC， 满 足 SA SB， SB SC， SC SA， 且 SA=SB=SC， 若 该 三 棱 锥 外 接 球 的半 径 为 3 ， Q是 外 接 球 上 一 动 点 ， 则 点 Q到 平 面 ABC的 距 离 的 最 大 值 为 ( )A.3 B.2C. 33D
12、. 4 33解 析 ： 三 棱 锥 S-ABC 中 ， SA SB， SB SC， SC SA， 且 SA=SB=SC， 三 棱 锥 的 外 接 球 即 为 以 SA， SB， SC 为 长 宽 高 的 正 方 体 的 外 接 球 ， 该 三 棱 锥 外 接 球 的 半 径 为 3 ， 正 方 体 的 体 对 角 线 长 为 2 3 ， 球 心 到 平 面 ABC的 距 离 为 1 2 3 32 3 3 ， 点 Q到 平 面 ABC的 距 离 的 最 大 值 为 33 33 43 .答 案 ： D.12.已 知 函 数 f(x)= 12 x 2+2ax， g(x)=3a2lnx+b， 设 两
13、曲 线 y=f(x)， y=g(x)有 公 共 点 ， 且 在 该点 处 的 切 线 相 同 ， 则 a (0， + )时 ， 实 数 b 的 最 大 值 是 ( )A. 2332 eB. 6136 eC. 616 e D. 2372 e解 析 ： 设 曲 线 y=f(x)与 y=g(x)在 公 共 点 (x0， y0)处 的 切 线 相 同 ，因 为 f (x)=x+2a， g (x) 23ax ， 且 f (x0)=g (x0)，所 以 20 032 ax a x ， 化 简 得 x 02+2ax0-3a2 0，解 得 x0=a 或 -3a， 又 x0 0， 且 a 0， 则 x0=a，因
14、 为 f(x0)=g(x0)， 所 以 12 x02+2ax0 3a2lnx0+b，则 b(a)= 52 a 2-3a2lna(a 0)，所 以 b (a)=5a-3(2alna+a)=2a-6alna=2a(1-3lna)，由 b (a)=0 得 ， a= 13e ，所 以 当 0 a 13e 时 ， b (a) 0； 当 a 13e 时 ， b (a) 0， 即 b(a)在 (0， 13e )上 单 调 递 增 ， b(a)在 ( 13e ， + )上 单 调 递 减 ，所 以 当 a= 13e 时 ， 实 数 b 的 取 到 极 大 值 也 是 最 大 值 1 23 332b e e .
15、答 案 ： A.二 、 填 空 题 (每 题 5 分 ， 满 分 20 分 ， 将 答 案 填 在 答 题 纸 上 )13.若 函 数 212 , 0, 0f x log x xlog x x ， 若 f(a) f(-a)， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 . 解 析 ： 对 a进 行 分 类 讨 论 ：当 a 0 时 -a 0则 由 f(a) f(-a)可 得 log2a 12log a -log2a log2a 0， a 1. 当 a 0 时 -a 0 则 由 f(a) f(-a)可 得 12log a log2(-a) log 2(-a) 0 0 -a 1 -1 a 0综 上 a的
16、 取 值 范 围 为 (-1， 0) (1， + ).答 案 ： (-1， 0) (1， + )14.已 知 圆 C： (x-1)2+(y-2)2=2， 若 等 边 PAB的 一 边 AB 为 圆 C的 一 条 弦 ， 则 |PC|的 最 大 值为 .解 析 ： 由 圆 C： (x-1) 2+(y-2)2=2， 圆 心 坐 标 C(1， 2)， 半 径 r= 2 . 等 边 PAB的 一 边 AB 为 圆 C的 一 条 弦 ， |PC|的 最 大 值 为 直 径 2 2 .答 案 ： 2 2 .15.已 知 非 零 向 量 a ， b 的 夹 角 为 60 ， 且 a b 1， 则 a b 的
17、 最 大 值 是 .解 析 ： 非 零 向 量 a ， b 的 夹 角 为 60 ， 且 a b 1， 2 2 2 1a b a b ， 即 2 2 2 60 1a b a b cos ， 则 2 2 1 2a b a b a b ， a b 1， 当 且 仅 当 1a b 时 取 等 号 . 2 2 2 22 2 60 2 1a b a b a b a b a b cos a b ， 1 2 a b +1 3， 1 3a b . a b 的 最 大 值 是 3 . 答 案 ： 3 .16.已 知 数 列 an满 足 ： an-(-1)nan-1 n(n 2)， 记 Sn为 an的 前 n项
18、和 ， 则 S40= .解 析 ： an-(-1)nan-1 n(n 2)， 当 n=2k 时 ， 即 a2k-a2k-1=2k， 当 n=2k-1 时 ， 即 a2k-1+a2k-2=2k-1， 当 n=2k+1 时 ， 即 a 2k+1+a2k=2k+1， + a2k+a2k-2=4k-1， - a2k+1+a2k-1=1，S40=(a1+a3+a5+ +a39)+(a2+a4+a6+a8+ +a40)=1 10+(7+15+23+ ) 10+7 10+ 10 10 12 8 440.答 案 ： 440.三 、 解 答 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 共 70 分 .解 答 应 写
19、出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .)17.已 知 a， b， c 分 别 为 锐 角 ABC内 角 A， B， C的 对 边 ， 且 3 a=2csinA. ( )求 角 C.解 析 ： ( )由 正 弦 定 理 化 简 已 知 等 式 可 得 3 sinA 2sinCsinA， 结 合 A 锐 角 ， sinA 0， 可得 sinC= 32 ， 又 C 为 锐 角 ， 即 可 得 解 C的 值 .答 案 ： ( ) 3 a=2csinA， 正 弦 定 理 得 3 sinA 2sinCsinA， A 锐 角 ， sinA 0， sinC= 32 ，又 C为 锐 角
20、， C= 3 .( )若 c= 7 ， 且 ABC 的 面 积 为 3 32 ， 求 a+b的 值 .解 析 ： ( )由 余 弦 定 理 及 已 知 可 得 7=a 2+b2-ab， 又 由 ABC的 面 积 公 式 可 得 ab=6， 即 可 得 解a+b的 值 .答 案 ： ( ) 三 角 形 ABC中 ， 由 余 弦 定 理 得 c2=a2+b2-2abcosC， 即 7=a2+b2-ab，又 由 ABC的 面 积 得 1 12 2 3 3 32 2S absinC ab .即 ab=6， (a+b)2=a2+b2+2ab=25， 由 于 a+b为 正 ， a+b=5.18.某 工 厂
21、 对 一 批 共 50 件 的 机 器 零 件 进 行 分 类 检 测 ， 其 重 量 (克 )统 计 如 下 ： 规 定 重 量 在 82 克 及 以 下 的 为 甲 型 ， 重 量 在 85 克 及 以 上 的 为 乙 型 ， 已 知 该 批 零 件 有 甲 型 2件 .( )从 该 批 零 件 中 任 选 1件 ， 若 选 出 的 零 件 重 量 在 95， 100内 的 概 率 为 0.26， 求 m的 值 .解 析 ： ( )根 据 题 设 条 件 ， 先 求 出 n 的 值 ， 进 而 即 可 能 求 出 m.答 案 ： ( ) 从 该 批 零 件 中 任 选 1件 ， 选 出 的
22、 零 件 重 量 在 95， 100内 的 概 率 为 0.26， n=50 0.26=13， m=50-5-12-13=20.( )从 重 量 在 80， 85)的 5 件 零 件 中 ， 任 选 2 件 ， 求 其 中 恰 有 1 件 为 甲 型 的 概 率 .解 析 ： ( )重 量 在 80， 85)的 5件 零 件 中 ， 甲 型 2 件 ， 乙 型 3 件 ， 任 选 2 件 ， 先 求 出 基 本 事件 总 数 ， 再 求 出 其 中 恰 有 1件 为 甲 型 包 含 的 基 本 事 件 个 数 ， 由 此 能 求 出 恰 有 1件 为 甲 型 的 概率 . 答 案 ： ( )
23、重 量 在 80， 85)的 5件 零 件 中 ， 甲 型 2件 ， 乙 型 3 件 ，从 重 量 在 80， 85)的 5 件 零 件 中 ， 任 选 2 件 ， 基 本 事 件 总 数 25 10n C ，其 中 恰 有 1件 为 甲 型 包 含 的 基 本 事 件 个 数 1 12 3 6m C C ， 其 中 恰 有 1 件 为 甲 型 的 概 率 0.6mp n .19.如 图 ， 已 知 四 棱 锥 的 侧 棱 PD 底 面 ABCD， 且 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 ， AD CD， AB CD，AB=AD= 12 CD=2， 点 M 在 侧 棱 上 . ( )求 证
24、： BC 平 面 BDP.解 析 ： ( )证 明 BD BC， PD BC， 即 可 证 明 BC 平 面 BDP.答 案 ： ( )由 已 知 可 算 得 BD BC 2 2 ， BD2+BC2=16=DC2，故 BD BC，又 PD 平 面 ABCD， BC平 面 ABCD， 故 PD BC，又 BD PD=D， 所 以 BC 平 面 BDP.( )若 侧 棱 PC 与 底 面 ABCD 所 成 角 的 正 切 值 为 12 ， 点 M 为 侧 棱 PC 的 中 点 ， 求 异 面 直 线 BM与 PA 所 成 角 的 余 弦 值 .解 析 ： ( )取 PD中 点 为 N， 并 连 结
25、 AN， MN， 则 PAN即 异 面 直 线 BM 与 PA 所 成 角 ， 在 PAN 中 ， 利 用 余 弦 定 理 ， 即 可 求 出 异 面 直 线 BM 与 PA所 成 角 的 余 弦 值 .答 案 ： ( )如 图 ， 取 PD 中 点 为 N， 并 连 结 AN， MN， BM AN，则 PAN即 异 面 直 线 BM 与 PA所 成 角 ；又 PA 底 面 ABCD， PCD即 为 PC与 底 面 ABCD所 成 角 ， 即 tan PCD 12 ， PD 12 CD 2， 即 PN 12 PD 1， 又 AN 5 ， PA 2 2 ， 则 在 PAN中 ， cos PAN
26、2 2 2 3 102 10AP AN PNAP AN ，即 异 面 直 线 BM 与 PA所 成 角 的 余 弦 值 为 3 1010 .20.已 知 椭 圆 M： 2 22 13x ya (a 0)的 一 个 焦 点 为 F(-1， 0)， 左 右 顶 点 分 别 为 A， B.经 过 点F的 直 线 l与 椭 圆 M交 于 C， D两 点 .( )求 椭 圆 方 程 .解 析 ： ( )由 焦 点 F坐 标 可 求 c 值 ， 根 据 a， b， c 的 平 方 关 系 可 求 得 a值 . 答 案 ： ( )因 为 F(-1， 0)为 椭 圆 的 焦 点 ， 所 以 c=1， 又 b2
27、=3，所 以 a2=4， 所 以 椭 圆 方 程 为 2 2 14 3x y .( )当 直 线 l 的 倾 斜 角 为 45 时 ， 求 线 段 CD的 长 .解 析 ： ( )写 出 直 线 方 程 ， 与 椭 圆 方 程 联 立 消 掉 y 得 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， 利 用 韦 达 定 理及 弦 长 公 式 即 可 求 得 |CD|.答 案 ： ( )因 为 直 线 的 倾 斜 角 为 45 ， 所 以 直 线 的 斜 率 为 1，所 以 直 线 方 程 为 y=x+1， 和 椭 圆 方 程 联 立 得 到2 2 14 31x yy x ， 消 掉 y， 得 到 7
28、x 2+8x-8=0，所 以 =288， x1+x2= 87 ， x1x2= 87 ，所 以 22 1 2 1 2 1 2 241 4 72CD k x x x x x x .( )记 ABD与 ABC的 面 积 分 别 为 S 1和 S2， 求 |S1-S2|的 最 大 值 .解 析 ： ( )当 直 线 l 不 存 在 斜 率 时 可 得 ， |S1-S2|=0； 当 直 线 l 斜 率 存 在 (显 然 k 0)时 ， 设直 线 方 程 为 y=k(x+1)(k 0)， 与 椭 圆 方 程 联 立 消 y 可 得 x 的 方 程 ， 根 据 韦 达 定 理 可 用 k 表示 x1+x2，
29、 x1x2， |S1-S2|可 转 化 为 关 于 x1， x2的 式 子 ， 进 而 变 为 关 于 k的 表 达 式 ， 再 用 基 本 不等 式 即 可 求 得 其 最 大 值 .答 案 ： ( )当 直 线 l无 斜 率 时 ， 直 线 方 程 为 x=-1，此 时 D(-1， 32 )， C(-1， 32 )， ABD， ABC面 积 相 等 ， |S 1-S2|=0， 当 直 线 l 斜 率 存 在 (显 然 k 0)时 ， 设 直 线 方 程 为 y=k(x+1)(k 0)，设 C(x1， y1)， D(x2， y2)，和 椭 圆 方 程 联 立 得 到 2 2 14 3 1x
30、yy k x ， 消 掉 y 得 (3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0，显 然 0， 方 程 有 根 ， 且 x 1+x2= 2 283 4k k ， x1x2= 2 24 123 4k k ，此 时 |S1-S2|=2|y1|-|y2|=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|212 12 12 12 333 4 3 2 124 2 4kk k kk k ， (k= 32时 等 号 成 立 )所 以 |S 1-S2|的 最 大 值 为 3 .21.已 知 函 数 f(x)=2lnx-x2+ax(a R).( )若 函 数 f(x)的 图
31、象 在 x=2处 切 线 的 斜 率 为 -1， 且 不 等 式 f(x) 2x+m在 1e ， e上 有 解 ，求 实 数 m 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )通 过 求 导 得 到 函 数 f(x)的 图 象 在 x=2处 切 线 的 斜 率 ， 由 此 求 得 a=2， 得 到 函 数 解析 式 ， 然 后 利 用 分 离 变 量 法 得 到 m 2lnx-x 2， 利 用 导 数 求 出 g(x)=2lnx-x2在 1e ， e上 的 最大 值 得 答 案 .答 案 ： ( )由 2 2f x x ax ，得 切 线 的 斜 率 k=f(2)=a-3=-1， a=2，故 f(x
32、)=2lnx-x 2+2x，由 f(x) 2x+m， 得 m 2lnx-x2， 不 等 式 f(x) 2x+m在 1e ， e上 有 解 ， m (2lnx-x2)max .令 g(x)=2lnx-x2， 则 2 1 12 2 x xg x xx x ， x 1e ， e， 故 g (x)=0 时 ， x=1. 当 1e x 1时 ， g(x) 0； 当 1 x e时 ， g(x) 0.故 g(x)在 x=1处 取 得 最 大 值 g(1)=-1， m -1.( )若 函 数 f(x)的 图 象 与 x 轴 有 两 个 不 同 的 交 点 A(x1， 0)， B(x2， 0)， 且 0 x1
33、x2， 求 证 ：1 2 02x xf (其 中 f (x)是 f(x)的 导 函 数 ).解 析 ： ( )由 f(x)的 图 象 与 x 轴 交 于 两 个 不 同 的 点 A(x 1， 0)， B(x2， 0)， 可 得 方 程 2lnx-x2+ax=0的 两 个 根 为 x1， x2， 把 两 根 代 入 方 程 后 作 差 得 到 1 21 2 1 22 lnx lnxa x x x x ， 求 得 f( 1 22x x )， 然 后 令 12xt x 换 元 ， 再 通 过 构 造 函 数 ， 利 用 导 数 求 出 所 构 造 出 函 数 的 最 大 值 小于 等 于 0 得 答
34、 案 .答 案 ： ( ) f(x)的 图 象 与 x轴 交 于 两 个 不 同 的 点 A(x 1， 0)， B(x2， 0)， 方 程 2lnx-x2+ax=0的 两 个 根 为 x1， x2，则 21 1 122 2 22 02 0lnx x axlnx x ax ， 两 式 相 减 得 1 21 2 1 22 lnx lnxa x x x x ，又 f(x) 2lnx-x2+ax， 2 2f x x ax ， 则 1 21 2 1 21 2 1 2 1 224 42 lnx lnxx xf x x ax x x x x x ，要 证 1 21 2 1 224 0lnx lnxx x x
35、 x ， 即 证 明 2 1 11 2 22 0 x x xlnx x x ， 12xt x ， 0 x1 x2， 0 t 1，即 证 明 2 1 01tu t lntt 在 0 t 1 上 恒 成 立 ， 22 2 22 1 2 1 11 1 41 1 1t t tu t t tt t t t ，又 0 t 1， u(t) 0， u(t)在 (0， 1)上 是 增 函 数 ， 则 u(t) u(1)=0， 从 而 知 2 1 11 2 22 0 x x xlnx x x .故 1 21 2 1 224 0lnx lnxx x x x ， 即 1 2 02x xf 成 立 .请 考 生 在 2
36、2、 23、 24 三 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .选 修 4-1：几 何 证 明 选 讲 22.如 图 ， 在 ABC中 ， CD是 ACB的 角 平 分 线 ， ADC的 外 接 圆 交 BC 于 点 E， AB=2AC ( )求 证 ： BE=2AD.解 析 ： ( )连 接 DE， 证 明 DBE CBA， 利 用 AB=2AC， 结 合 角 平 分 线 性 质 ， 即 可 证 明 BE=2AD.答 案 ： ( )连 接 DE， ACED是 圆 内 接 四 边 形 ， BDE= BCA，又 DBE= CBA， DBE
37、 CBA， 即 有 BE DEBA CA ， 又 AB=2AC， BE=2DE， CD 是 ACB的 平 分 线 ， AD=DE， BE=2AD.( )当 AC=3， EC=6 时 ， 求 AD的 长 .解 析 ： ( )根 据 割 线 定 理 得 BD BA=BE BC， 从 而 可 求 AD的 长 .答 案 ： ( )由 条 件 知 AB=2AC=6， 设 AD=t，则 BE=2t， BC=2t+6，根 据 割 线 定 理 得 BD BA=BE BC，即 (6-t) 6=2t (2t+6)， 即 2t 2+9t-18=0，解 得 t 32 或 -6(舍 去 )， 则 AD 32 . 选 修
38、 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 23.在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 以 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 直 线 l 的极 坐 标 方 程 为 = 4 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 2x cosy sin .( )写 出 直 线 l与 曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 .解 析 ： ( )利 用 极 坐 标 与 直 角 坐 标 方 程 的 互 化 ， 直 接 写 出 直 线 l 的 普 通 方 程 ， 消 去 参 数 可 得曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 .答 案 ： ( )直 线 l 的 极
39、坐 标 方 程 为 = 4 ， 所 以 直 线 斜 率 为 1， 直 线 l： y=x； 曲 线 C的 参 数 方 程 为 2x cosy sin .消 去 参 数 ，可 得 曲 线 C： 2 2 12x y .( )过 点 M 平 行 于 直 线 l 1的 直 线 与 曲 线 C 交 于 A、 B 两 点 ， 若 |MA| |MB|= 83 ， 求 点 M 轨 迹的 直 角 坐 标 方 程 .解 析 ： ( )设 点 M(x0， y0)以 及 平 行 于 直 线 l1的 直 线 参 数 方 程 ， 直 线 l1与 曲 线 C 联 立 方 程 组 ，通 过 |MA| |MB|= 83 ， 即
40、可 求 点 M 轨 迹 的 直 角 坐 标 方 程 .通 过 两 个 交 点 推 出 轨 迹 方 程 的 范 围 .答 案 ： ( )设 点 M(x 0， y0)及 过 点 M的 直 线 为 l1： 00 2222tx x ty y 由 直 线 l1与 曲 线 C 相 交 可 得 ： 2 2 20 0 0 02 23 2 2 2 02t tx ty x y ，|MA| |MB|= 83 2 20 02 2 83 32x y ， 即 ： x 02+2y02 6，x2+2y2=6表 示 一 椭 圆取 y=x+m 代 入 2 2 12x y 得 ： 3x2+4mx+2m2-2=0 由 0 得 3 3
41、m 故 点 M的 轨 迹 是 椭 圆 x2+2y2=6夹 在 平 行 直 线 3y x 之 间 的 两 段 弧 .选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 24.已 知 函 数 f(x)=|2x-a|+|2x+3|， g(x)=|x-1|+2.( )解 不 等 式 |g(x)| 5.解 析 ： ( )利 用 |x-1|+2| 5， 转 化 为 -7 |x-1| 3， 然 后 求 解 不 等 式 即 可 .答 案 ： ( )由 |x-1|+2| 5， 得 -5 |x-1|+2 5 -7 |x-1| 3， 得 不 等 式 的 解 为 -2 x 4.( )若 对 任 意 x1 R， 都 有 x2 R，
42、使 得 f(x1)=g(x2)成 立 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )利 用 条 件 说 明 y|y=f(x)y|y=g(x)， 通 过 函 数 的 最 值 ， 列 出 不 等 式 求 解 即可 .答 案 ： ( )因 为 任 意 x1 R， 都 有 x2 R， 使 得 f(x1)=g(x2)成 立 ，所 以 y|y=f(x)y|y=g(x)，又 f(x)=|2x-a|+|2x+3| |(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|，g(x)=|x-1|+2 2， 所 以 |a+3| 2， 解 得 a -1 或 a -5，所 以 实 数 a的 取 值 范 围 为 a -1 或 a -5.
