1、2016年 山 西 省 太 原 市 高 考 一 模 试 卷 数 学 文一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 12 个 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 60分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.已 知 全 集 U=1, 2, 3, 4, 5, 集 合 M=3, 4, 5, N=1, 2, 5, 则 集 合 1, 2可 以 表 示为 ( )A.M NB.(C UM) NC.M (CUN)D.(CUM) (CUN)解 析 : 根 据 元 素 之 间 的 关 系 进 行 求 解 即 可 . M=3, 4, 5, N=1,
2、 2, 5, M N=5, (CUM) N=1, 2,M (CUN)=3, 4,(C UM) (CUN)=.答 案 : B2.i是 虚 数 单 位 , 复 数 5 34 ii ( )A.1-iB.-1+iC.1+iD.-1-i解 析 : 进 行 复 数 的 除 法 运 算 , 分 子 和 分 母 同 乘 以 分 母 的 共 轭 复 数 , 约 分 化 简 , 得 到 结 果 . 5 3 45 3 17 17 14 4 4 17i ii i ii i i . 答 案 : C.3.如 图 是 某 样 本 数 据 的 茎 叶 图 , 则 该 样 本 的 中 位 数 、 众 数 、 极 差 分 别 是
3、 ( )A.32 34 32B.33 45 35C.34 45 32D.33 36 35 解 析 : 根 据 中 位 数 , 众 数 以 及 极 差 的 概 念 以 及 茎 叶 图 中 的 数 据 , 求 出 相 应 的 数 据 即 可 . 从 茎 叶 图 中 知 共 16 个 数 据 , 按 照 从 小 到 大 排 序 后 中 间 的 两 个 数 据 为 32、 34,所 以 这 组 数 据 的 中 位 数 为 33;45出 现 的 次 数 最 多 , 所 以 这 组 数 据 的 众 数 为 45;最 大 值 是 47, 最 小 值 是 12, 故 极 差 是 : 35.答 案 : B.4.
4、若 双 曲 线 2 22 2 1x ya b 的 离 心 率 为 3 , 则 其 渐 近 线 方 程 为 (A.y= 2xB.y 2 x C.y 12 xD.y 22 x解 析 : 由 双 曲 线 的 离 心 率 3 , 可 知 c= 3 a,又 a 2+b2=c2, 所 以 b= 2 a,所 以 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 : 2by x xa .答 案 : B.5.对 于 下 列 四 个 命 题p 1: 0 00 1 10 2 3( ) x xx , , ;p2: 1 0 1 02 30 0 1( )x log x log x , , ;p3: 12( ) 10 2 xx lo
5、g x , , ;p 4: 131 10 3 2( ) xx log x , , .其 中 的 真 命 题 是 ( )A.p1, p3B.p1, p4C p2, p3D.p2, p4 解 析 : 根 据 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 图 象 和 性 质 即 可 判 断 .对 于 下 列 四 个 命 题p1: 0 00 1 10 2 3( ) x xx , , ; 根 据 指 数 函 数 的 性 质 可 知 p1错 误 ,p2: 1 0 1 02 30 0 1( )x log x log x , , ; 根 据 对 数 函 数 的 单 调 性 可 知 p2正 确 ,p 3: 12( )
6、 10 2 xx log x , , ; 当 x=1时 , 就 不 正 确 , 故 p3错 误 ,p4: 131 10 3 2( ) xx log x , , .根 据 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 性 质 可 知 , p4正 确 .答 案 : B.6.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 若 输 出 的 2524S , 则 判 断 框 内 填 入 的 条 件 可 以 是 ( ) A.k 7B.k 7C.k 8D.k 8解 析 : 模 拟 执 行 程 序 框 图 , 可 得 :S=0, k=0满 足 条 件 , k=2, S 12满 足 条 件 , k=4, S 1 12
7、4 满 足 条 件 , k=6, S 1 1 12 4 6 满 足 条 件 , k=8, S= 1 1 1 1 252 4 6 8 24 .由 题 意 , 此 时 应 不 满 足 条 件 , 退 出 循 环 , 输 出 S的 值 为 2524 .结 合 选 项 可 得 判 断 框 内 填 入 的 条 件 可 以 是 : k 8.答 案 : D.7.已 知 函 数 f(x) 2sin(2x+ )(| | 2)图 象 过 点 (0, 3), 则 f(x)图 象 的 一 个 对 称 中 心是 ( )A.( 3 , 0) B.( 6 , 0)C.( 6 , 0)D.(12 , 0)解 析 : 函 数
8、f(x)=2sin(2x+ )(| | 2 )的 图 象 过 点 (0, 3 ), 3 =2sin , 由 (| | 2 ), 可 得 : = 3 , f(x)=2sin(2x+ 3 ), 由 五 点 作 图 法 令 2x+ 3 =0, 可 解 得 : x= 6 ,则 f(x)的 图 象 的 一 个 对 称 中 心 是 ( 6 , 0).答 案 : B.8.各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 an的 前 n项 和 为 S n, 若 Sn=2, S3n=14, 则 S4n等 于 ( )A.80B.30C.26 D.16解 析 : 利 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式 , 整 体 思
9、 维 , 即 可 求 得 结 论 .设 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 an的 公 比 等 于 q, Sn=2, S3n=14, q 1 31 1 11 12 14 2 21 1 1n n na q a q aqq q q , , 解 得 , . 414 1 2 1 16 301 nn aS qq ( ) ( ) .答 案 : B.9.某 空 间 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 此 几 何 体 的 体 积 为 ( ) A.10B.15C.20D.30解 析 : 由 已 知 中 的 三 视 图 可 得 该 几 何 体 是 一 个 以 俯 视 图 为 底 面 的 三
10、 棱 柱 , 切 去 一 个 同 底 等 高的 三 棱 锥 所 得 的 几 何 体 , 底 面 面 积 S= 12 4 3=6,高 h=5,故 组 合 体 的 体 积 1 2 203 3V Sh Sh Sh . 答 案 : C10.已 知 满 足 2 2 02 4 03 3 0 x yx yx y 的 实 数 x、 y 所 表 示 的 平 面 区 域 为 M、 若 函 数 y=k(x+1)+1 的 图象 经 过 区 域 M, 则 实 数 k的 取 值 范 围 是 ( )A.3, 5 B.-1, 1C.-1, 3D. 12 , 1解 析 : 作 出 可 行 域 , 如 图 . 因 为 函 数 y
11、=k(x+1)+1 的 图 象 是 过 点 A(-1, 1), 且 斜 率 为 k 的 直 线 l, 由 图 知 , 当 直 线 l 过点 M(0, 2)时 , k 取 最 大 值 1, 当 直 线 l 过 点 NB(1, 0)时 , k 取 最 小 值 12 ,故 k 12 , 1.答 案 : D.11.已 知 三 棱 锥 S-ABC, 满 足 SA SB, SB SC, SC SA, 且 SA=SB=SC, 若 该 三 棱 锥 外 接 球 的半 径 为 3 , Q是 外 接 球 上 一 动 点 , 则 点 Q到 平 面 ABC的 距 离 的 最 大 值 为 ( )A.3 B.2C. 33D
12、. 4 33解 析 : 三 棱 锥 S-ABC 中 , SA SB, SB SC, SC SA, 且 SA=SB=SC, 三 棱 锥 的 外 接 球 即 为 以 SA, SB, SC 为 长 宽 高 的 正 方 体 的 外 接 球 , 该 三 棱 锥 外 接 球 的 半 径 为 3 , 正 方 体 的 体 对 角 线 长 为 2 3 , 球 心 到 平 面 ABC的 距 离 为 1 2 3 32 3 3 , 点 Q到 平 面 ABC的 距 离 的 最 大 值 为 33 33 43 .答 案 : D.12.已 知 函 数 f(x)= 12 x 2+2ax, g(x)=3a2lnx+b, 设 两
13、曲 线 y=f(x), y=g(x)有 公 共 点 , 且 在 该点 处 的 切 线 相 同 , 则 a (0, + )时 , 实 数 b 的 最 大 值 是 ( )A. 2332 eB. 6136 eC. 616 e D. 2372 e解 析 : 设 曲 线 y=f(x)与 y=g(x)在 公 共 点 (x0, y0)处 的 切 线 相 同 ,因 为 f (x)=x+2a, g (x) 23ax , 且 f (x0)=g (x0),所 以 20 032 ax a x , 化 简 得 x 02+2ax0-3a2 0,解 得 x0=a 或 -3a, 又 x0 0, 且 a 0, 则 x0=a,因
14、 为 f(x0)=g(x0), 所 以 12 x02+2ax0 3a2lnx0+b,则 b(a)= 52 a 2-3a2lna(a 0),所 以 b (a)=5a-3(2alna+a)=2a-6alna=2a(1-3lna),由 b (a)=0 得 , a= 13e ,所 以 当 0 a 13e 时 , b (a) 0; 当 a 13e 时 , b (a) 0, 即 b(a)在 (0, 13e )上 单 调 递 增 , b(a)在 ( 13e , + )上 单 调 递 减 ,所 以 当 a= 13e 时 , 实 数 b 的 取 到 极 大 值 也 是 最 大 值 1 23 332b e e .
15、答 案 : A.二 、 填 空 题 (每 题 5 分 , 满 分 20 分 , 将 答 案 填 在 答 题 纸 上 )13.若 函 数 212 , 0, 0f x log x xlog x x , 若 f(a) f(-a), 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 . 解 析 : 对 a进 行 分 类 讨 论 :当 a 0 时 -a 0则 由 f(a) f(-a)可 得 log2a 12log a -log2a log2a 0, a 1. 当 a 0 时 -a 0 则 由 f(a) f(-a)可 得 12log a log2(-a) log 2(-a) 0 0 -a 1 -1 a 0综 上 a的
16、 取 值 范 围 为 (-1, 0) (1, + ).答 案 : (-1, 0) (1, + )14.已 知 圆 C: (x-1)2+(y-2)2=2, 若 等 边 PAB的 一 边 AB 为 圆 C的 一 条 弦 , 则 |PC|的 最 大 值为 .解 析 : 由 圆 C: (x-1) 2+(y-2)2=2, 圆 心 坐 标 C(1, 2), 半 径 r= 2 . 等 边 PAB的 一 边 AB 为 圆 C的 一 条 弦 , |PC|的 最 大 值 为 直 径 2 2 .答 案 : 2 2 .15.已 知 非 零 向 量 a , b 的 夹 角 为 60 , 且 a b 1, 则 a b 的
17、 最 大 值 是 .解 析 : 非 零 向 量 a , b 的 夹 角 为 60 , 且 a b 1, 2 2 2 1a b a b , 即 2 2 2 60 1a b a b cos , 则 2 2 1 2a b a b a b , a b 1, 当 且 仅 当 1a b 时 取 等 号 . 2 2 2 22 2 60 2 1a b a b a b a b a b cos a b , 1 2 a b +1 3, 1 3a b . a b 的 最 大 值 是 3 . 答 案 : 3 .16.已 知 数 列 an满 足 : an-(-1)nan-1 n(n 2), 记 Sn为 an的 前 n项
18、和 , 则 S40= .解 析 : an-(-1)nan-1 n(n 2), 当 n=2k 时 , 即 a2k-a2k-1=2k, 当 n=2k-1 时 , 即 a2k-1+a2k-2=2k-1, 当 n=2k+1 时 , 即 a 2k+1+a2k=2k+1, + a2k+a2k-2=4k-1, - a2k+1+a2k-1=1,S40=(a1+a3+a5+ +a39)+(a2+a4+a6+a8+ +a40)=1 10+(7+15+23+ ) 10+7 10+ 10 10 12 8 440.答 案 : 440.三 、 解 答 题 (本 大 题 共 5 小 题 , 共 70 分 .解 答 应 写
19、出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .)17.已 知 a, b, c 分 别 为 锐 角 ABC内 角 A, B, C的 对 边 , 且 3 a=2csinA. ( )求 角 C.解 析 : ( )由 正 弦 定 理 化 简 已 知 等 式 可 得 3 sinA 2sinCsinA, 结 合 A 锐 角 , sinA 0, 可得 sinC= 32 , 又 C 为 锐 角 , 即 可 得 解 C的 值 .答 案 : ( ) 3 a=2csinA, 正 弦 定 理 得 3 sinA 2sinCsinA, A 锐 角 , sinA 0, sinC= 32 ,又 C为 锐 角
20、, C= 3 .( )若 c= 7 , 且 ABC 的 面 积 为 3 32 , 求 a+b的 值 .解 析 : ( )由 余 弦 定 理 及 已 知 可 得 7=a 2+b2-ab, 又 由 ABC的 面 积 公 式 可 得 ab=6, 即 可 得 解a+b的 值 .答 案 : ( ) 三 角 形 ABC中 , 由 余 弦 定 理 得 c2=a2+b2-2abcosC, 即 7=a2+b2-ab,又 由 ABC的 面 积 得 1 12 2 3 3 32 2S absinC ab .即 ab=6, (a+b)2=a2+b2+2ab=25, 由 于 a+b为 正 , a+b=5.18.某 工 厂
21、 对 一 批 共 50 件 的 机 器 零 件 进 行 分 类 检 测 , 其 重 量 (克 )统 计 如 下 : 规 定 重 量 在 82 克 及 以 下 的 为 甲 型 , 重 量 在 85 克 及 以 上 的 为 乙 型 , 已 知 该 批 零 件 有 甲 型 2件 .( )从 该 批 零 件 中 任 选 1件 , 若 选 出 的 零 件 重 量 在 95, 100内 的 概 率 为 0.26, 求 m的 值 .解 析 : ( )根 据 题 设 条 件 , 先 求 出 n 的 值 , 进 而 即 可 能 求 出 m.答 案 : ( ) 从 该 批 零 件 中 任 选 1件 , 选 出 的
22、 零 件 重 量 在 95, 100内 的 概 率 为 0.26, n=50 0.26=13, m=50-5-12-13=20.( )从 重 量 在 80, 85)的 5 件 零 件 中 , 任 选 2 件 , 求 其 中 恰 有 1 件 为 甲 型 的 概 率 .解 析 : ( )重 量 在 80, 85)的 5件 零 件 中 , 甲 型 2 件 , 乙 型 3 件 , 任 选 2 件 , 先 求 出 基 本 事件 总 数 , 再 求 出 其 中 恰 有 1件 为 甲 型 包 含 的 基 本 事 件 个 数 , 由 此 能 求 出 恰 有 1件 为 甲 型 的 概率 . 答 案 : ( )
23、重 量 在 80, 85)的 5件 零 件 中 , 甲 型 2件 , 乙 型 3 件 ,从 重 量 在 80, 85)的 5 件 零 件 中 , 任 选 2 件 , 基 本 事 件 总 数 25 10n C ,其 中 恰 有 1件 为 甲 型 包 含 的 基 本 事 件 个 数 1 12 3 6m C C , 其 中 恰 有 1 件 为 甲 型 的 概 率 0.6mp n .19.如 图 , 已 知 四 棱 锥 的 侧 棱 PD 底 面 ABCD, 且 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 , AD CD, AB CD,AB=AD= 12 CD=2, 点 M 在 侧 棱 上 . ( )求 证
24、: BC 平 面 BDP.解 析 : ( )证 明 BD BC, PD BC, 即 可 证 明 BC 平 面 BDP.答 案 : ( )由 已 知 可 算 得 BD BC 2 2 , BD2+BC2=16=DC2,故 BD BC,又 PD 平 面 ABCD, BC平 面 ABCD, 故 PD BC,又 BD PD=D, 所 以 BC 平 面 BDP.( )若 侧 棱 PC 与 底 面 ABCD 所 成 角 的 正 切 值 为 12 , 点 M 为 侧 棱 PC 的 中 点 , 求 异 面 直 线 BM与 PA 所 成 角 的 余 弦 值 .解 析 : ( )取 PD中 点 为 N, 并 连 结
25、 AN, MN, 则 PAN即 异 面 直 线 BM 与 PA 所 成 角 , 在 PAN 中 , 利 用 余 弦 定 理 , 即 可 求 出 异 面 直 线 BM 与 PA所 成 角 的 余 弦 值 .答 案 : ( )如 图 , 取 PD 中 点 为 N, 并 连 结 AN, MN, BM AN,则 PAN即 异 面 直 线 BM 与 PA所 成 角 ;又 PA 底 面 ABCD, PCD即 为 PC与 底 面 ABCD所 成 角 , 即 tan PCD 12 , PD 12 CD 2, 即 PN 12 PD 1, 又 AN 5 , PA 2 2 , 则 在 PAN中 , cos PAN
26、2 2 2 3 102 10AP AN PNAP AN ,即 异 面 直 线 BM 与 PA所 成 角 的 余 弦 值 为 3 1010 .20.已 知 椭 圆 M: 2 22 13x ya (a 0)的 一 个 焦 点 为 F(-1, 0), 左 右 顶 点 分 别 为 A, B.经 过 点F的 直 线 l与 椭 圆 M交 于 C, D两 点 .( )求 椭 圆 方 程 .解 析 : ( )由 焦 点 F坐 标 可 求 c 值 , 根 据 a, b, c 的 平 方 关 系 可 求 得 a值 . 答 案 : ( )因 为 F(-1, 0)为 椭 圆 的 焦 点 , 所 以 c=1, 又 b2
27、=3,所 以 a2=4, 所 以 椭 圆 方 程 为 2 2 14 3x y .( )当 直 线 l 的 倾 斜 角 为 45 时 , 求 线 段 CD的 长 .解 析 : ( )写 出 直 线 方 程 , 与 椭 圆 方 程 联 立 消 掉 y 得 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 , 利 用 韦 达 定 理及 弦 长 公 式 即 可 求 得 |CD|.答 案 : ( )因 为 直 线 的 倾 斜 角 为 45 , 所 以 直 线 的 斜 率 为 1,所 以 直 线 方 程 为 y=x+1, 和 椭 圆 方 程 联 立 得 到2 2 14 31x yy x , 消 掉 y, 得 到 7
28、x 2+8x-8=0,所 以 =288, x1+x2= 87 , x1x2= 87 ,所 以 22 1 2 1 2 1 2 241 4 72CD k x x x x x x .( )记 ABD与 ABC的 面 积 分 别 为 S 1和 S2, 求 |S1-S2|的 最 大 值 .解 析 : ( )当 直 线 l 不 存 在 斜 率 时 可 得 , |S1-S2|=0; 当 直 线 l 斜 率 存 在 (显 然 k 0)时 , 设直 线 方 程 为 y=k(x+1)(k 0), 与 椭 圆 方 程 联 立 消 y 可 得 x 的 方 程 , 根 据 韦 达 定 理 可 用 k 表示 x1+x2,
29、 x1x2, |S1-S2|可 转 化 为 关 于 x1, x2的 式 子 , 进 而 变 为 关 于 k的 表 达 式 , 再 用 基 本 不等 式 即 可 求 得 其 最 大 值 .答 案 : ( )当 直 线 l无 斜 率 时 , 直 线 方 程 为 x=-1,此 时 D(-1, 32 ), C(-1, 32 ), ABD, ABC面 积 相 等 , |S 1-S2|=0, 当 直 线 l 斜 率 存 在 (显 然 k 0)时 , 设 直 线 方 程 为 y=k(x+1)(k 0),设 C(x1, y1), D(x2, y2),和 椭 圆 方 程 联 立 得 到 2 2 14 3 1x
30、yy k x , 消 掉 y 得 (3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,显 然 0, 方 程 有 根 , 且 x 1+x2= 2 283 4k k , x1x2= 2 24 123 4k k ,此 时 |S1-S2|=2|y1|-|y2|=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|212 12 12 12 333 4 3 2 124 2 4kk k kk k , (k= 32时 等 号 成 立 )所 以 |S 1-S2|的 最 大 值 为 3 .21.已 知 函 数 f(x)=2lnx-x2+ax(a R).( )若 函 数 f(x)的 图
31、象 在 x=2处 切 线 的 斜 率 为 -1, 且 不 等 式 f(x) 2x+m在 1e , e上 有 解 ,求 实 数 m 的 取 值 范 围 .解 析 : ( )通 过 求 导 得 到 函 数 f(x)的 图 象 在 x=2处 切 线 的 斜 率 , 由 此 求 得 a=2, 得 到 函 数 解析 式 , 然 后 利 用 分 离 变 量 法 得 到 m 2lnx-x 2, 利 用 导 数 求 出 g(x)=2lnx-x2在 1e , e上 的 最大 值 得 答 案 .答 案 : ( )由 2 2f x x ax ,得 切 线 的 斜 率 k=f(2)=a-3=-1, a=2,故 f(x
32、)=2lnx-x 2+2x,由 f(x) 2x+m, 得 m 2lnx-x2, 不 等 式 f(x) 2x+m在 1e , e上 有 解 , m (2lnx-x2)max .令 g(x)=2lnx-x2, 则 2 1 12 2 x xg x xx x , x 1e , e, 故 g (x)=0 时 , x=1. 当 1e x 1时 , g(x) 0; 当 1 x e时 , g(x) 0.故 g(x)在 x=1处 取 得 最 大 值 g(1)=-1, m -1.( )若 函 数 f(x)的 图 象 与 x 轴 有 两 个 不 同 的 交 点 A(x1, 0), B(x2, 0), 且 0 x1
33、x2, 求 证 :1 2 02x xf (其 中 f (x)是 f(x)的 导 函 数 ).解 析 : ( )由 f(x)的 图 象 与 x 轴 交 于 两 个 不 同 的 点 A(x 1, 0), B(x2, 0), 可 得 方 程 2lnx-x2+ax=0的 两 个 根 为 x1, x2, 把 两 根 代 入 方 程 后 作 差 得 到 1 21 2 1 22 lnx lnxa x x x x , 求 得 f( 1 22x x ), 然 后 令 12xt x 换 元 , 再 通 过 构 造 函 数 , 利 用 导 数 求 出 所 构 造 出 函 数 的 最 大 值 小于 等 于 0 得 答
34、 案 .答 案 : ( ) f(x)的 图 象 与 x轴 交 于 两 个 不 同 的 点 A(x 1, 0), B(x2, 0), 方 程 2lnx-x2+ax=0的 两 个 根 为 x1, x2,则 21 1 122 2 22 02 0lnx x axlnx x ax , 两 式 相 减 得 1 21 2 1 22 lnx lnxa x x x x ,又 f(x) 2lnx-x2+ax, 2 2f x x ax , 则 1 21 2 1 21 2 1 2 1 224 42 lnx lnxx xf x x ax x x x x x ,要 证 1 21 2 1 224 0lnx lnxx x x
35、 x , 即 证 明 2 1 11 2 22 0 x x xlnx x x , 12xt x , 0 x1 x2, 0 t 1,即 证 明 2 1 01tu t lntt 在 0 t 1 上 恒 成 立 , 22 2 22 1 2 1 11 1 41 1 1t t tu t t tt t t t ,又 0 t 1, u(t) 0, u(t)在 (0, 1)上 是 增 函 数 , 则 u(t) u(1)=0, 从 而 知 2 1 11 2 22 0 x x xlnx x x .故 1 21 2 1 224 0lnx lnxx x x x , 即 1 2 02x xf 成 立 .请 考 生 在 2
36、2、 23、 24 三 题 中 任 选 一 题 作 答 , 如 果 多 做 , 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .选 修 4-1:几 何 证 明 选 讲 22.如 图 , 在 ABC中 , CD是 ACB的 角 平 分 线 , ADC的 外 接 圆 交 BC 于 点 E, AB=2AC ( )求 证 : BE=2AD.解 析 : ( )连 接 DE, 证 明 DBE CBA, 利 用 AB=2AC, 结 合 角 平 分 线 性 质 , 即 可 证 明 BE=2AD.答 案 : ( )连 接 DE, ACED是 圆 内 接 四 边 形 , BDE= BCA,又 DBE= CBA, DBE
37、 CBA, 即 有 BE DEBA CA , 又 AB=2AC, BE=2DE, CD 是 ACB的 平 分 线 , AD=DE, BE=2AD.( )当 AC=3, EC=6 时 , 求 AD的 长 .解 析 : ( )根 据 割 线 定 理 得 BD BA=BE BC, 从 而 可 求 AD的 长 .答 案 : ( )由 条 件 知 AB=2AC=6, 设 AD=t,则 BE=2t, BC=2t+6,根 据 割 线 定 理 得 BD BA=BE BC,即 (6-t) 6=2t (2t+6), 即 2t 2+9t-18=0,解 得 t 32 或 -6(舍 去 ), 则 AD 32 . 选 修
38、 4-4: 坐 标 系 与 参 数 方 程 23.在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 以 O 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 直 线 l 的极 坐 标 方 程 为 = 4 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 2x cosy sin .( )写 出 直 线 l与 曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 .解 析 : ( )利 用 极 坐 标 与 直 角 坐 标 方 程 的 互 化 , 直 接 写 出 直 线 l 的 普 通 方 程 , 消 去 参 数 可 得曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 .答 案 : ( )直 线 l 的 极
39、坐 标 方 程 为 = 4 , 所 以 直 线 斜 率 为 1, 直 线 l: y=x; 曲 线 C的 参 数 方 程 为 2x cosy sin .消 去 参 数 ,可 得 曲 线 C: 2 2 12x y .( )过 点 M 平 行 于 直 线 l 1的 直 线 与 曲 线 C 交 于 A、 B 两 点 , 若 |MA| |MB|= 83 , 求 点 M 轨 迹的 直 角 坐 标 方 程 .解 析 : ( )设 点 M(x0, y0)以 及 平 行 于 直 线 l1的 直 线 参 数 方 程 , 直 线 l1与 曲 线 C 联 立 方 程 组 ,通 过 |MA| |MB|= 83 , 即
40、可 求 点 M 轨 迹 的 直 角 坐 标 方 程 .通 过 两 个 交 点 推 出 轨 迹 方 程 的 范 围 .答 案 : ( )设 点 M(x 0, y0)及 过 点 M的 直 线 为 l1: 00 2222tx x ty y 由 直 线 l1与 曲 线 C 相 交 可 得 : 2 2 20 0 0 02 23 2 2 2 02t tx ty x y ,|MA| |MB|= 83 2 20 02 2 83 32x y , 即 : x 02+2y02 6,x2+2y2=6表 示 一 椭 圆取 y=x+m 代 入 2 2 12x y 得 : 3x2+4mx+2m2-2=0 由 0 得 3 3
41、m 故 点 M的 轨 迹 是 椭 圆 x2+2y2=6夹 在 平 行 直 线 3y x 之 间 的 两 段 弧 .选 修 4-5: 不 等 式 选 讲 24.已 知 函 数 f(x)=|2x-a|+|2x+3|, g(x)=|x-1|+2.( )解 不 等 式 |g(x)| 5.解 析 : ( )利 用 |x-1|+2| 5, 转 化 为 -7 |x-1| 3, 然 后 求 解 不 等 式 即 可 .答 案 : ( )由 |x-1|+2| 5, 得 -5 |x-1|+2 5 -7 |x-1| 3, 得 不 等 式 的 解 为 -2 x 4.( )若 对 任 意 x1 R, 都 有 x2 R,
42、使 得 f(x1)=g(x2)成 立 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .解 析 : ( )利 用 条 件 说 明 y|y=f(x)y|y=g(x), 通 过 函 数 的 最 值 , 列 出 不 等 式 求 解 即可 .答 案 : ( )因 为 任 意 x1 R, 都 有 x2 R, 使 得 f(x1)=g(x2)成 立 ,所 以 y|y=f(x)y|y=g(x),又 f(x)=|2x-a|+|2x+3| |(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2 2, 所 以 |a+3| 2, 解 得 a -1 或 a -5,所 以 实 数 a的 取 值 范 围 为 a -1 或 a -5.