1、2016年 山 东 省 泰 安 市 中 考 真 题 数 学一 、 (本 大 题 共 20小 题 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 是 正 确 的 ， 请 把 正 确 的 选 项选 出 来 ， 每 小 题 选 对 得 3分 ， 错 选 、 不 选 或 选 出 的 答 案 超 过 一 个 ， 均 记 零 分 )1.计 算 (-2)0+9 (-3)的 结 果 是 ( )A.-1B.-2C.-3D.-4解 析 ： 原 式 =1+(-3)=-2.答 案 ： B. 2.下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.(a2)3=a5B.(-2a)2=-4a2C.m3 m2=
2、m6D.a6 a2=a4解 析 ： 直 接 利 用 同 底 数 幂 的 乘 除 法 运 算 法 则 以 及 结 合 积 的 乘 方 运 算 法 则 和 幂 的 乘 方 运 算 法 则分 别 化 简 求 出 答 案 .A、 (a 2)3=a6， 故 此 选 项 错 误 ；B、 (-2a)2=4a2， 故 此 选 项 错 误 ；C、 m3 m2=m5， 故 此 选 项 错 误 ；D、 a6 a2=a4， 正 确 .答 案 ： D.3.下 列 图 形 ：任 取 一 个 是 中 心 对 称 图 形 的 概 率 是 ( ) A. 14B. 12C. 34D.1解 析 ： 共 有 4种 等 可 能 的 结
3、 果 ， 任 取 一 个 是 中 心 对 称 图 形 的 有 3种 情 况 ， 任 取 一 个 是 中 心 对 称 图 形 的 概 率 是 ： 34 .答 案 ： C.4.化 简 ： 2 2 22 4 4 4 22 1 21a a aa a aa 的 结 果 为 ( )A. 22aa B. 42aa C. 2aaD.a解 析 ： 先 将 分 式 的 分 子 分 母 因 式 分 解 ， 同 时 将 除 法 转 化 为 乘 法 ， 再 计 算 分 式 的 乘 法 ， 最 后 计算 分 式 的 加 法 即 可 .原 式 22 22 2 1 2 21 2a a a aa a 2 22 2aa a 2a
4、a . 答 案 ： C.5.如 图 ， 是 一 圆 锥 的 左 视 图 ， 根 据 图 中 所 标 数 据 ， 圆 锥 侧 面 展 开 图 的 扇 形 圆 心 角 的 大 小 为( )A.90B.120 C.135D.150 解 析 ： 圆 锥 的 底 面 半 径 为 3， 圆 锥 的 底 面 周 长 为 6 ， 圆 锥 的 高 是 6 2 ， 圆 锥 的 母 线 长 为 223 6 92 ，设 扇 形 的 圆 心 角 为 n ， 9 6180n ，解 得 n=120.答 ： 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 中 扇 形 的 圆 心 角 为 120 .答 案 ： B. 6.国 家 统 计 局 的
5、 相 关 数 据 显 示 ， 2015年 我 国 国 民 生 产 总 值 (GDP)约 为 67.67万 亿 元 ， 将 这 个数 据 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.6.767 1013元B.6.767 1012元C.6.767 1012元D.6.767 1014元解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n为 整 数 .确 定 n 的 值 时 ，要 看 把 原 数 变 成 a 时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当 原 数绝 对 值
6、 1时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1 时 ， n是 负 数 .67.67万 亿 元 =6.767 10 13元 .答 案 ： A.7.如 图 ， 在 ABCD 中 ， AB=6， BC=8， C的 平 分 线 交 AD于 E， 交 BA 的 延 长 线 于 F， 则 AE+AF的 值 等 于 ( ) A.2B.3C.4D.6解 析 ： 由 平 行 四 边 形 的 性 质 和 角 平 分 线 得 出 F= FCB， 证 出 BF=BC=8， 同 理 ： DE=CD=6， 求出 AF=BF-AB=2， AE=AD-DE=2， 即 可 得 出 结 果 . 四 边 形 ABC
7、D 是 平 行 四 边 形 ， AB CD， AD=BC=8， CD=AB=6， F= DCF， C平 分 线 为 CF， FCB= DCF， F= FCB， BF=BC=8，同 理 ： DE=CD=6， AF=BF-AB=2， AE=AD-DE=2， AE+AF=4.答 案 ： C.8.如 图 ， 四 个 实 数 m， n， p， q 在 数 轴 上 对 应 的 点 分 别 为 M， N， P， Q， 若 n+q=0， 则 m， n，p， q 四 个 实 数 中 ， 绝 对 值 最 大 的 一 个 是 ( ) A.pB.qC.mD.n解 析 ： n+q=0， n 和 q 互 为 相 反 数
8、， 0 在 线 段 NQ的 中 点 处 ， 绝 对 值 最 大 的 点 P表 示 的 数 p.答 案 ： A.9.一 元 二 次 方 程 (x+1) 2-2(x-1)2=7的 根 的 情 况 是 ( )A.无 实 数 根B.有 一 正 根 一 负 根C.有 两 个 正 根D.有 两 个 负 根解 析 ： 直 接 去 括 号 ， 进 而 合 并 同 类 项 ， 求 出 方 程 的 根 即 可 . (x+1)2-2(x-1)2=7， x 2+2x+1-2(x2-2x+1)=7，整 理 得 ： -x2+6x-8=0，则 x2-6x+8=0，(x-4)(x-2)=0，解 得 ： x1=4， x2=2，
9、故 方 程 有 两 个 正 根 .答 案 ： C.10.如 图 ， 点 A、 B、 C 是 圆 O 上 的 三 点 ， 且 四 边 形 ABCO是 平 行 四 边 形 ， OF OC 交 圆 O 于 点 F，则 BAF等 于 ( ) A.12.5B.15C.20D.22.5解 析 ： 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 和 圆 的 半 径 相 等 得 到 AOB为 等 边 三 角 形 ， 根 据 等 腰 三 角 形 的三 线 合 一 得 到 BOF= AOF=30 ， 根 据 圆 周 角 定 理 计 算 即 可 .连 接 OB， 四 边 形 ABCO 是 平 行 四 边 形 ， OC=AB
10、， 又 OA=OB=OC， OA=OB=AB， AOB为 等 边 三 角 形 ， OF OC， OC AB， OF AB， BOF= AOF=30 ，由 圆 周 角 定 理 得 BAF= 12 BOF=15 .答 案 ： B.11.某 学 校 将 为 初 一 学 生 开 设 ABCDEF共 6门 选 修 课 ， 现 选 取 若 干 学 生 进 行 了 “ 我 最 喜 欢 的 一 门 选 修 课 ” 调 查 ， 将 调 查 结 果 绘 制 成 如 图 统 计 图 表 (不 完 整 ) 根 据 图 表 提 供 的 信 息 ， 下 列 结 论 错 误 的 是 ( )A.这 次 被 调 查 的 学 生
11、 人 数 为 400人B.扇 形 统 计 图 中 E 部 分 扇 形 的 圆 心 角 为 72C.被 调 查 的 学 生 中 喜 欢 选 修 课 E、 F 的 人 数 分 别 为 80， 70D.喜 欢 选 修 课 C的 人 数 最 少解 析 ： 被 调 查 的 学 生 人 数 为 60 15%=400(人 )， 选 项 A 正 确 ；扇 形 统 计 图 中 D的 圆 心 角 为 100400 360 =90 ， 40400 360 =36 ， 360 (17.5%+15%+12.5%)=162 ， 扇 形 统 计 图 中 E 的 圆 心 角 =360 -162 -90 -36 =72 ， 选
12、 项 B 正 确 ； 400 72360 =80(人 )， 400 17.5%=70(人 )， 选 项 C 正 确 ； 12.5% 10%， 喜 欢 选 修 课 A的 人 数 最 少 ， 选 项 D 错 误 .答 案 ： D.12.二 次 函 数 y=ax 2+bx+c的 图 象 如 图 所 示 ， 那 么 一 次 函 数 y=ax+b 的 图 象 大 致 是 ( ) A.B. C.D.解 析 ： y=ax 2+bx+c的 图 象 的 开 口 向 上 ， a 0， 对 称 轴 在 y 轴 的 左 侧 ， b 0， 一 次 函 数 y=ax+b 的 图 象 经 过 一 ， 二 ， 三 象 限 .
13、答 案 ： A.13.某 机 加 工 车 间 共 有 26 名 工 人 ， 现 要 加 工 2100个 A 零 件 ， 1200个 B零 件 ， 已 知 每 人 每 天加 工 A 零 件 30 个 或 B零 件 20个 ， 问 怎 样 分 工 才 能 确 保 同 时 完 成 两 种 零 件 的 加 工 任 务 (每 人只 能 加 工 一 种 零 件 )？ 设 安 排 x 人 加 工 A 零 件 ， 由 题 意 列 方 程 得 ( )A. 2100 120030 20 26x x B. 2100 120026x x C. 2100 120030 30 26x x D. 2100 120030 2
14、026x x 解 析 ： 直 接 利 用 现 要 加 工 2100 个 A 零 件 ， 1200个 B零 件 ， 同 时 完 成 两 种 零 件 的 加 工 任 务 ，进 而 得 出 等 式 即 可 .设 安 排 x 人 加 工 A 零 件 ， 由 题 意 列 方 程 得 ： 2100 120030 20 26x x . 答 案 ： A.14.当 x 满 足 2 4 461 13 2 6x xx x 时 ， 方 程 x2-2x-5=0的 根 是 ( )A.1 6B. 6 -1C.1- 6 D.1+ 6解 析 ： 2 4 461 13 2 6x xx x ，解 得 ： 2 x 6， 方 程 x2
15、-2x-5=0， x=1 6 ， 2 x 6， x=1+ 6 . 答 案 ： D.15.在 -2， -1， 0， 1， 2这 五 个 数 中 任 取 两 数 m， n， 则 二 次 函 数 y=(x-m)2+n的 顶 点 在 坐 标 轴上 的 概 率 为 ( ) A. 25B.15C. 14D. 12解 析 ： 画 树 状 图 得 ： -2， -1， 0， 1， 2 这 五 个 数 中 任 取 两 数 m， n， 一 共 有 20种 可 能 ， 其 中 取 到 0 的 有 8 种 可能 ， 顶 点 在 坐 标 轴 上 的 概 率 为 8 220 5 .答 案 ： A.16.如 图 ， 轮 船
16、沿 正 南 方 向 以 30海 里 /时 的 速 度 匀 速 航 行 ， 在 M处 观 测 到 灯 塔 P在 西 偏 南 68方 向 上 ， 航 行 2 小 时 后 到 达 N 处 ， 观 测 灯 塔 P 在 西 偏 南 46 方 向 上 ， 若 该 船 继 续 向 南 航 行至 离 灯 塔 最 近 位 置 ， 则 此 时 轮 船 离 灯 塔 的 距 离 约 为 (由 科 学 计 算 器 得 到 sin68 =0.9272，sin46 =0.7193， sin22 =0.3746， sin44 =0.6947)( ) A.22.48 B.41.68C.43.16D.55.63解 析 ： 如 图
17、 ， 过 点 P作 PA MN于 点 A， MN=30 2=60(海 里 )， MNC=90 ， CPN=46 ， MNP= MNC+ CPN=136 ， BMP=68 ， PMN=90 - BMP=22 ， MPN=180 - PMN- PNM=22 ， PMN= MPN， MN=PN=60(海 里 )， CNP=46 ， PNA=44 ， PA=PN sin PNA=60 0.6947 41.68(海 里 )答 案 ： B. 17.如 图 ， ABC 内 接 于 O， AB是 O 的 直 径 ， B=30 ， CE平 分 ACB交 O 于 E， 交 AB于 点 D， 连 接 AE， 则 S
18、 ADE： S CDB 的 值 等 于 ( )A.1： 2B.1： 3 C.1： 2D.2： 3 解 析 ： AB是 O 的 直 径 ， ACB=90 ， B=30 ， 33ACBC ， CE 平 分 ACB交 O 于 E， 33AC ADBC BD ， 3 3 3AD AB ， 33 3BD A ， 过 C 作 CE AB 于 E， 连 接 OE， CE 平 分 ACB交 O 于 E， AE DE ， OE AB， OE= 12 AB， CE= 34 AB， 1 1 1 3 1 1 3 3( ) ( )2 2 2 33 32 2 2 43 3ADE CDBS S AD OE BD CE AB
19、 AB AB AB ： ： ： ：.答 案 ： D.18.如 图 ， 在 PAB中 ， PA=PB， M， N， K 分 别 是 PA， PB， AB 上 的 点 ， 且 AM=BK， BN=AK， 若 MKN=44 ， 则 P的 度 数 为 ( ) A.44 B.66C.88D.92解 析 ： PA=PB， A= B，在 AMK和 BKN中 ，AM BKA BAK BN ， AMK BKN， AMK= BKN， MKB= MKN+ NKB= A+ AMK， A= MKN=44 ， P=180 - A- B=92 .答 案 ： D.19.当 1 x 4 时 ， mx-4 0， 则 m的 取 值
20、 范 围 是 ( )A.m 1B.m 1C.m 4D.m 4解 析 ： 设 y=mx-4，由 题 意 得 ， 当 x=1时 ， y 0， 即 m-4 0，解 得 m 4，当 x=4时 ， y 0， 即 4m-4 0， 解 得 ， m 1，则 m 的 取 值 范 围 是 m 1.答 案 ： B.20.如 图 ， 正 ABC 的 边 长 为 4， 点 P 为 BC 边 上 的 任 意 一 点 (不 与 点 B、 C重 合 )， 且 APD=60 ，PD交 AB于 点 D.设 BP=x， BD=y， 则 y 关 于 x的 函 数 图 象 大 致 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： ABC是 正
21、 三 角 形 ， B= C=60 ， BPD+ APD= C+ CAP， APD=60 ， BPD= CAP， BPD CAP， BP： AC=BD： PC， 正 ABC的 边 长 为 4， BP=x， BD=y， x： 4=y： (4-x)， 214y x x . 图 像 为 .答 案 ： C.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 4 小 题 ， 满 分 12分 .只 要 求 填 写 最 后 结 果 ， 每 小 题 填 对 得 3 分 )21.将 抛 物 线 y=2(x-1)2+2 向 左 平 移 3 个 单 位 ， 再 向 下 平 移 4 个 单 位 ， 那 么 得 到 的 抛 物 线 的
22、表 达 式 为 .解 析 ： 抛 物 线 y=2(x-1) 2+2 向 左 平 移 3 个 单 位 ， 再 向 下 平 移 4 个 单 位 得 到y=2(x-1+3)2+2-4=2(x+2)2-2.故 得 到 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=2(x+2)2-2. 答 案 ： y=2(x+2)2-2.22.如 图 ， 半 径 为 3 的 O 与 Rt AOB的 斜 边 AB 切 于 点 D， 交 OB 于 点 C， 连 接 CD 交 直 线 OA于 点 E， 若 B=30 ， 则 线 段 AE 的 长 为 .解 析 ： 连 接 OD， 如 右 图 所 示 ， 由 已 知 可 得 ， BOA=
23、90 ， OD=OC=3， B=30 ， ODB=90 ， BO=2OD=6， BOD=60 ， ODC= OCD=60 ， AO=BO tan30 36 233 ， COE=90 ， OC=3， OE=OC tan60 33 33 ， AE=OE-OA 33 3 32 .答 案 ： 3 . 23.如 图 ， 矩 形 ABCD中 ， 已 知 AB=6， BC=8， BD 的 垂 直 平 分 线 交 AD于 点 E， 交 BC于 点 F， 则 BOF的 面 积 为 .解 析 ： 根 据 矩 形 的 性 质 和 勾 股 定 理 求 出 BD， 证 明 BOF BCD， 根 据 相 似 三 角 形
24、的 性 质 得 到 比 例 式 ， 求 出 BF， 根 据 勾 股 定 理 求 出 OF， 根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 计 算 即 可 . 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， A=90 ， 又 AB=6， AD=BC=8， 2 2 10BD AB AD ， EF 是 BD的 垂 直 平 分 线 ， OB=OD=5， BOF=90 ， 又 C=90 ， BOF BCD， BO BFBC BD ， 即 58 10BF ，解 得 ， 254BF ， 则 2 2 154OF BF OB ，则 BOF的 面 积 812 75OF OB .答 案 ： 758 .24.如 图 ， 在 平 面
25、直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 l： y=x+2 交 x 轴 于 点 A， 交 y 轴 于 点 A 1， 点 A2， A3， 在 直 线 l上 ， 点 B1， B2， B3， 在 x 轴 的 正 半 轴 上 ， 若 A1OB1， A2B1B2， A3B2B3， ， 依 次均 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 直 角 顶 点 都 在 x 轴 上 ， 则 第 n 个 等 腰 直 角 三 角 形 AnBn-1Bn顶 点 Bn的 横坐 标 为 .解 析 ： 由 题 意 得 OA=OA 1=2， OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4， B2A3=B2B3=8， B1(2， 0)， B2(6，
26、 0)， B3(14， 0) ，2=22-2， 6=23-2， 14=24-2， Bn的 横 坐 标 为 2n+1-2.答 案 ： 2n+1-2. 三 、 解 答 题 (共 5 小 题 ， 满 分 48 分 .解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 推 演 步 骤 )25.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 正 方 形 OABC的 顶 点 O与 坐 标 原 点 重 合 ， 点 C 的 坐 标 为 (0，3)， 点 A 在 x 轴 的 负 半 轴 上 ， 点 D、 M 分 别 在 边 AB、 OA 上 ， 且 AD=2DB， AM=2MO， 一 次
27、 函 数y=kx+b的 图 象 过 点 D和 M， 反 比 例 函 数 my x 的 图 象 经 过 点 D， 与 BC 的 交 点 为 N. (1)求 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 表 达 式 .解 析 ： (1)由 正 方 形 OABC 的 顶 点 C 坐 标 ， 确 定 出 边 长 ， 及 四 个 角 为 直 角 ， 根 据 AD=2DB， 求出 AD 的 长 ， 确 定 出 D坐 标 ， 代 入 反 比 例 解 析 式 求 出 m的 值 ， 再 由 AM=2MO， 确 定 出 MO 的 长 ，即 M 坐 标 ， 将 M 与 D 坐 标 代 入 一 次 函 数 解 析 式
28、求 出 k 与 b 的 值 ， 即 可 确 定 出 一 次 函 数 解 析 式 .答 案 ： (1) 正 方 形 OABC的 顶 点 C(0， 3)， OA=AB=BC=OC=3， OAB= B= BCO=90 ， AD=2DB， AD= 23 AB=2， D(-3， 2)，把 D 坐 标 代 入 my x 得 ： m=-6， 反 比 例 解 析 式 为 6y x ， AM=2MO， MO=13OA=1， 即 M(-1， 0)，把 M 与 D 坐 标 代 入 y=kx+b中 得 ：03 2k bk b ，解 得 ： k=b=-1，则 直 线 DM 解 析 式 为 y=-x-1. (2)若 点
29、P 在 直 线 DM上 ， 且 使 OPM的 面 积 与 四 边 形 OMNC的 面 积 相 等 ， 求 点 P 的 坐 标 .解 析 ： (2)把 y=3代 入 反 比 例 解 析 式 求 出 x 的 值 ， 确 定 出 N 坐 标 ， 得 到 NC 的 长 ， 设 P(x， y)，根 据 OPM 的 面 积 与 四 边 形 OMNC 的 面 积 相 等 ， 求 出 y 的 值 ， 进 而 得 到 x 的 值 ， 确 定 出 P 坐标 即 可 .答 案 ： (2)把 y=3代 入 6y x 得 ： x=-2， N(-2， 3)， 即 NC=2，设 P(x， y)， OPM的 面 积 与 四
30、边 形 OMNC的 面 积 相 等 ， 12 (OM+NC) OC= 12 OM|y|， 即 |y|=9， 解 得 ： y= 9，当 y=9时 ， x=-10， 当 y=-9时 ， x=8，则 P 坐 标 为 (-10， 9)或 (8， -9).26.某 学 校 是 乒 乓 球 体 育 传 统 项 目 学 校 ， 为 进 一 步 推 动 该 项 目 的 开 展 ， 学 校 准 备 到 体 育 用 品店 购 买 直 拍 球 拍 和 横 拍 球 拍 若 干 副 ， 并 且 每 买 一 副 球 拍 必 须 要 买 10 个 乒 乓 球 ， 乒 乓 球 的 单价 为 2 元 /个 ， 若 购 买 20
31、副 直 拍 球 拍 和 15 副 横 拍 球 拍 花 费 9000 元 ； 购 买 10 副 横 拍 球 拍 比购 买 5副 直 拍 球 拍 多 花 费 1600元 .(1)求 两 种 球 拍 每 副 各 多 少 元 ？解 析 ： (1)设 直 拍 球 拍 每 副 x元 ， 横 拍 球 每 副 y元 ， 根 据 题 意 列 出 二 元 一 次 方 程 组 ， 解 方 程组 即 可 .答 案 ： (1)设 直 拍 球 拍 每 副 x 元 ， 横 拍 球 每 副 y 元 ， 由 题 意 得 ， 20 20 15 20 90005 20 1600 10 20 x yx y ，解 得 220260 x
32、y ，答 ： 直 拍 球 拍 每 副 220元 ， 横 拍 球 每 副 260元 .(2)若 学 校 购 买 两 种 球 拍 共 40副 ， 且 直 拍 球 拍 的 数 量 不 多 于 横 拍 球 拍 数 量 的 3 倍 ， 请 你 给 出一 种 费 用 最 少 的 方 案 ， 并 求 出 该 方 案 所 需 费 用 .解 析 ： (2)设 购 买 直 拍 球 拍 m副 ， 根 据 题 意 列 出 不 等 式 ， 解 不 等 式 求 出 m的 范 围 ， 根 据 题 意列 出 费 用 关 于 m的 一 次 函 数 ， 根 据 一 次 函 数 的 性 质 解 答 即 可 .答 案 ： (2)设
33、购 买 直 拍 球 拍 m 副 ， 则 购 买 横 拍 球 (40-m)副 ，由 题 意 得 ， m 3(40-m)， 解 得 ， m 30，设 买 40副 球 拍 所 需 的 费 用 为 w，则 w=(220+20)m+(260+20)(40-m) =-40m+11200， -40 0， w 随 m 的 增 大 而 减 小 ， 当 m=30 时 ， w取 最 大 值 ， 最 大 值 为 -40 30+11200=10000(元 ).答 ： 购 买 直 拍 球 拍 30副 ， 则 购 买 横 拍 球 10副 时 ， 费 用 最 少 .27.如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， AC 平
34、分 BCD， AC AB， E 是 BC的 中 点 ， AD AE. (1)求 证 ： AC2=CD BC.解 析 ： (1)欲 证 明 AC2=CD BC， 只 需 推 知 ACD BCA即 可 .答 案 ： (1) AC平 分 BCD， DCA= ACB.又 AC AB， AD AE， DAC+ CAE=90 ， CAE+ EAB=90 ， DAC= EAB.又 E是 BC的 中 点 ， AE=BE， EAB= ABC， DAC= ABC， ACD BCA， AC CDBC AC ， AC2=CD BC.(2)过 E 作 EG AB， 并 延 长 EG至 点 K， 使 EK=EB. 若 点
35、 H 是 点 D关 于 AC 的 对 称 点 ， 点 F 为 AC 的 中 点 ， 求 证 ： FH GH； 若 B=30 ， 求 证 ： 四 边 形 AKEC是 菱 形 .解 析 ： (2) 连 接 AH.构 建 直 角 AHC， 利 用 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 、 等 腰对 等 角 以 及 等 量 代 换 得 到 ： FHG= CAB=90 ， 即 FH GH； 利 用 “ 在 直 角 三 角 形 中 ， 30 度 角 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 ” 、 “ 直 角 三 角 形 斜 边 上 的中 线 等 于 斜 边 的
36、 一 半 ” 推 知 四 边 形 AKEC的 四 条 边 都 相 等 ， 则 四 边 形 AKEC是 菱 形 .答 案 ： (2) 连 接 AH. ADC= BAC=90 ， 点 H、 D 关 于 AC对 称 ， AH BC. EG AB， AE=BE， 点 G是 AB的 中 点 ， HG=AG， GAH=GHA. 点 F为 AC的 中 点 ， AF=FH， HAF= FHA， FHG= AHF+ AHG= FAH+ HAG= CAB=90 ， FH GH； EK AB， AC AB， EK AC， 又 B=30 ， AC= 12 BC=EB=EC.又 EK=EB， EK=AC，即 AK=KE
37、=EC=CA， 四 边 形 AKEC 是 菱 形 .28.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 y=ax 2+bx+c 的 顶 点 坐 标 为 (2， 9)， 与 y 轴 交 于 点 A(0，5)， 与 x 轴 交 于 点 E、 B. (1)求 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 表 达 式 .解 析 ： (1)设 出 抛 物 线 解 析 式 ， 用 待 定 系 数 法 求 解 即 可 .答 案 ： (1)设 抛 物 线 解 析 式 为 y=a(x-2)2+9， 抛 物 线 与 y 轴 交 于 点 A(0， 5)， 4a+9=5， a=-1，y=-(x-2)2+
38、9=-x2+4x+5.(2)过 点 A 作 AC 平 行 于 x 轴 ， 交 抛 物 线 于 点 C， 点 P 为 抛 物 线 上 的 一 点 (点 P 在 AC 上 方 )，作 PD 平 行 与 y 轴 交 AB 于 点 D， 问 当 点 P 在 何 位 置 时 ， 四 边 形 APCD 的 面 积 最 大 ？ 并 求 出 最大 面 积 .解 析 ： (2)先 求 出 直 线 AB 解 析 式 ， 设 出 点 P 坐 标 (x， -x 2+4x+5)， 建 立 函 数 关 系 式 S 四 边 形APCD=-2x2+10 x， 根 据 二 次 函 数 求 出 极 值 .答 案 ： (2)当 y
39、=0时 ， -x2+4x+5=0， x1=-1， x2=5， E(-1， 0)， B(5， 0)，设 直 线 AB 的 解 析 式 为 y=mx+n， A(0， 5)， B(5， 0)， m=-1， n=5， 直 线 AB 的 解 析 式 为 y=-x+5；设 P(x， -x 2+4x+5)， D(x， -x+5)， PD=-x2+4x+5+x-5=-x2+5x， AC=4， S 四 边 形 APCD= 12 AC PD=2(-x2+5x)=-2x2+10 x， 当 10 52 2 2x 时 ， S 四 边 形 APCD最 大 252 .(3)若 点 M 在 抛 物 线 上 ， 点 N 在 其
40、 对 称 轴 上 ， 使 得 以 A、 E、 N、 M 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边形 ， 且 AE 为 其 一 边 ， 求 点 M、 N 的 坐 标 .解 析 ： (3)先 判 断 出 HMN AOE， 求 出 M 点 的 横 坐 标 ， 从 而 求 出 点 M， N 的 坐 标 .答 案 ： (3)如 图 ， 过 M 作 MH 垂 直 于 对 称 轴 ， 垂 足 为 H， MN AE， MN=AE， HMN AOE， HM=OE=1， M 点 的 横 坐 标 为 x=3或 x=1，当 x=1时 ， M 点 纵 坐 标 为 8，当 x=3时 ， M 点 纵 坐 标 为 8，
41、 M 点 的 坐 标 为 M 1(1， 8)或 M2(3， 8)， A(0， 5)， E(-1， 0)， 直 线 AE 解 析 式 为 y=5x+5， MN AE， MN 的 解 析 式 为 y=5x+b， 点 N在 抛 物 线 对 称 轴 x=2上 ， N(2， 10+b)， AE 2=OA2+0E2=26 MN=AE MN2=AE2， MN2=(2-1)2+8-(10+b)2=1+(b+2)2 M 点 的 坐 标 为 M1(1， 8)或 M2(3， 8)， 点 M1， M2关 于 抛 物 线 对 称 轴 x=2对 称 ， 点 N在 抛 物 线 对 称 轴 上 ， M 1N=M2N， 1+(
42、b+2)2=26， b=3， 或 b=-7， 10+b=13或 10+b=3 当 M点 的 坐 标 为 (1， 8)时 ， N 点 坐 标 为 (2， 13)，当 M 点 的 坐 标 为 (3， 8)时 ， N点 坐 标 为 (2， 3).29.(1)已 知 ： ABC 是 等 腰 三 角 形 ， 其 底 边 是 BC， 点 D 在 线 段 AB 上 ， E 是 直 线 BC 上 一 点 ，且 DEC= DCE， 若 A=60 (如 图 ).求 证 ： EB=AD.解 析 ： (1)作 DF BC 交 AC 于 F， 由 平 行 线 的 性 质 得 出 ADF= ABC， AFD= ACB，
43、FDC= DCE， 证 明 ABC 是 等 边 三 角 形 ， 得 出 ABC= ACB=60 ， 证 出 ADF 是 等 边 三 角 形 ， DFC=120 ， 得 出 AD=DF， 由 已 知 条 件 得 出 FDC= DEC， ED=CD， 由 AAS证 明 DBE CFD，得 出 EB=DF， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1)作 DF BC交 AC于 F， 如 图 1所 示 ： 则 ADF= ABC， AFD= ACB， FDC= DCE， ABC是 等 腰 三 角 形 ， A=60 ， ABC是 等 边 三 角 形 ， ABC= ACB=60 ， DBE=120 ， AD
44、F= AFD=60 = A， ADF是 等 边 三 角 形 ， DFC=120 ， AD=DF， DEC= DCE， FDC= DEC， ED=CD，在 DBE和 CFD中 ， 120DEC FDCDBE DFCED CD ， DBE CFD(AAS)， EB=DF， EB=AD.(2)若 将 (1)中 的 “ 点 D在 线 段 AB 上 ” 改 为 “ 点 D 在 线 段 AB 的 延 长 线 上 ” ， 其 它 条 件 不 变 (如图 )， (1)的 结 论 是 否 成 立 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (2)作 DF BC 交 AC 的 延 长 线 于 F， 同 (1)证 出 D
45、BE CFD， 得 出 EB=DF， 即 可 得 出结 论 .答 案 ： (2)EB=AD成 立 ； 理 由 如 下 ： 作 DF BC 交 AC的 延 长 线 于 F， 如 图 2所 示 ：同 (1)得 ： AD=DF， FDC= ECD， FDC= DEC， ED=CD，又 DBE= DFC=60 ， 在 DBE和 CFD 中 ，DEC FDCDBE DFCED CD ， DBE CFD(AAS)， EB=DF， EB=AD.(3)若 将 (1)中 的 “ 若 A=60 ” 改 为 “ 若 A=90 ” ， 其 它 条 件 不 变 ， 则 EBAD 的 值 是 多 少 ？(直 接 写 出 结 论 ， 不 要 求 写 解 答 过 程 ) 解 析 ： (3)作 DF BC 交 AC 于 F， 同 (1)得 ： DBE CFD， 得 出 EB=DF， 证 出 ADF 是 等 腰直 角 三 角 形 ， 得 出 DF= 2 AD， 即 可 得 出 结 果 .答 案 ： (3) 2EBAD ； 理 由 如 下 ：作 DF BC 交 AC于 F， 如 图 3所 示 ： 同 (1)得 ： DBE CFD(AAS)， EB=DF， ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， DF BC， ADF是 等 腰 直 角 三 角 形 ， DF= 2 AD， 2DFAD ， 2EBAD .
