1、2016年 山 东 省 济 南 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 15个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 45 分 )1. 5 的 相 反 数 是 ( )A. 15B.5C. 15D.-5解 析 ： 根 据 相 反 数 的 定 义 有 ： 5 的 相 反 数 是 -5.答 案 ： D. 2.随 着 高 铁 的 发 展 ， 预 计 2020年 济 南 西 客 站 客 流 量 将 达 到 2150万 人 ， 数 字 2150用 科 学 记数 法 表 示 为 ( )A.0.215 104B.2.15 103C.2.15 104D.21.5 102a解 析 ： 2
2、150=2.15 103，答 案 ： B.3.如 图 ， 直 线 l 1 l2， 等 腰 直 角 ABC的 两 个 顶 点 A、 B 分 别 落 在 直 线 l1、 l2上 ， ACB=90 ，若 1=15 ， 则 2的 度 数 是 ( )A.35B.30C.25D.20 解 析 ： ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， CAB=45 ， l1 l2， 2= 3， 1=15 ， 1=45 -15 =30 ，答 案 ： B. 4.如 图 ， 以 下 给 出 的 几 何 体 中 ， 其 主 视 图 是 矩 形 ， 俯 视 图 是 三 角 形 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： A、 三
3、 棱 锥 的 主 视 图 是 三 角 形 ， 俯 视 图 也 是 三 角 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 圆 柱 的 主 视 图 是 矩 形 ， 俯 视 图 是 圆 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 圆 锥 的 主 视 图 是 三 角 形 ， 俯 视 图 是 圆 ， 故 此 选 项 错 误 ；D、 三 棱 柱 的 主 视 图 是 矩 形 ， 俯 视 图 是 三 角 形 ， 故 此 选 项 正 确 ；答 案 ： D. 5.下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.a2+a=2a3B.a2 a3=a6C.(-2a3)2=4a6D.a6 a2=a3 解 析 ： A、 a2与 a不 是 同
4、类 项 ， 不 能 合 并 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 原 式 =a2+3=a5， 故 本 选 项 错 误 ；C、 原 式 =(-2)2 a3 2=4a6， 故 本 选 项 正 确 ；D、 原 式 =a6-2=a4， 故 本 选 项 错 误 ；答 案 ： C.6.京 剧 脸 谱 、 剪 纸 等 图 案 蕴 含 着 简 洁 美 对 称 美 ， 下 面 选 取 的 图 片 中 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心对 称 图 形 的 是 ( ) A.B. C.D.解 析 ： A 是 轴 对 称 图 形 ， 故 错 误 ；B既 不 是 轴 对 称 图 形 也 不 是 中 心 对 称 图
5、形 ， 故 错 误 ；C是 中 心 对 称 图 形 ， 故 错 误 ；D既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 正 确 ；答 案 ： D. 7.化 简 22 11 1x x 的 结 果 是 ( )A. 2 1xB. 2x C. 2 1xD.2(x+1)解 析 ： 原 式 = 2 211 1 1xx x x （ ） ，答 案 ： A8.如 图 ， 在 6 6 方 格 中 有 两 个 涂 有 阴 影 的 图 形 M、 N， 中 的 图 形 M 平 移 后 位 置 如 所 示 ，以 下 对 图 形 M 的 平 移 方 法 叙 述 正 确 的 是 ( ) A.向 右 平 移
6、 2 个 单 位 ， 向 下 平 移 3个 单 位B.向 右 平 移 1 个 单 位 ， 向 下 平 移 3个 单 位C.向 右 平 移 1 个 单 位 ， 向 下 平 移 4个 单 位D.向 右 平 移 2 个 单 位 ， 向 下 平 移 4个 单 位解 析 ： 根 据 图 形 M 平 移 前 后 对 应 点 的 位 置 变 化 可 知 ， 需 要 向 右 平 移 1 个 单 位 ， 向 下 平 移 3个 单 位 .答 案 ： B9.如 图 ， 若 一 次 函 数 y=-2x+b的 图 象 交 y轴 于 点 A(0， 3)， 则 不 等 式 -2x+b 0 的 解 集 为 ( ) A.x 3
7、2B.x 3C.x 32D.x 3解 析 ： 一 次 函 数 y=-2x+b 的 图 象 交 y轴 于 点 A(0， 3)， b=3， 令 y=-2x+3中 y=0， 则 -2x+3=0， 解 得 ： x= 32 ， 点 B( 32 ， 0).观 察 函 数 图 象 ， 发 现 ：当 x 32 时 ， 一 次 函 数 图 象 在 x轴 上 方 ， 不 等 式 -2x+b 0 的 解 集 为 x 32 .答 案 ： C.10.某 学 校 在 八 年 级 开 设 了 数 学 史 、 诗 词 赏 析 、 陶 艺 三 门 校 本 课 程 ， 若 小 波 和 小 睿 两 名 同 学每 人 随 机 选 择
8、 其 中 一 门 课 程 ， 则 小 波 和 小 睿 选 到 同 一 课 程 的 概 率 是 ( ) A. 12B.13C. 16D. 19解 析 ： 画 树 状 图 为 ： (数 学 史 、 诗 词 赏 析 、 陶 艺 三 门 校 本 课 程 分 别 用 A、 B、 C 表 示 )共 有 9种 等 可 能 的 结 果 数 ， 其 中 小 波 和 小 睿 选 到 同 一 课 程 的 结 果 数 为 3， 所 以 小 波 和 小 睿 选 到 同 一 课 程 的 概 率 = 3 19 3 .答 案 ： B.11.若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2-2x+k=0有 两 个 不 相 等
9、的 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 ( )A.k 1B.k 1C.k -1D.k 1解 析 ： 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x 2-2x+k=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， (-2)2-4 1 k 0， 4-4k 0，解 得 k 1， k 的 取 值 范 围 是 ： k 1.答 案 ： A.12.济 南 大 明 湖 畔 的 “ 超 然 楼 ” 被 称 作 “ 江 北 第 一 楼 ” ， 某 校 数 学 社 团 的 同 学 对 超 然 楼 的 高度 进 行 了 测 量 ， 如 图 ， 他 们 在 A处 仰 望 塔 顶 ， 测 得 仰 角 为 30 ， 再
10、往 楼 的 方 向 前 进 60m至 B 处 ， 测 得 仰 角 为 60 ， 若 学 生 的 身 高 忽 略 不 计 ， 3 1.7， 结 果 精 确 到 1m， 则 该 楼 的 高 度CD为 ( )A.47mB.51m C.53mD.54m解 析 ： 根 据 题 意 得 ： A=30 ， DBC=60 ， DC AC， ADB= DBC- A=30 ， ADB= A=30 ， BD=AB=60m， CD=BD sin60 =60 32 =30 3 51(m).答 案 ： B.13.如 图 ， 在 ABCD中 ， AB=12， AD=8， ABC的 平 分 线 交 CD 于 点 F， 交 A
11、D 的 延 长 线 于 点 E，CG BE， 垂 足 为 G， 若 EF=2， 则 线 段 CG的 长 为 ( ) A.152B.4 3C.2 15D. 55解 析 ： ABC的 平 分 线 交 CD于 点 F， ABE= CBE， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， DC AB， CBE= CFB= ABE= E， CF=BC=AD=8， AE=AB=12， AD=8， DE=4， DC AB， DE EFAE EB ， 4 212 EB ， EB=6， CF=CB， CG BF， BG= 12 BF=3， 在 Rt BCG中 ， BC=8， BG=3，根 据 勾 股 定 理
12、得 ， 2 2 2 28 3 64 9 55CG BC BG ，答 案 ： D.14.定 义 ： 点 A(x， y)为 平 面 直 角 坐 标 系 内 的 点 ， 若 满 足 x=y， 则 把 点 A叫 做 “ 平 衡 点 ” .例如 ： M(1， 1)， N(-2， -2)都 是 “ 平 衡 点 ” .当 -1 x 3 时 ， 直 线 y=2x+m上 有 “ 平 衡 点 ” ，则 m 的 取 值 范 围 是 ( )A.0 m 1B.-3 m 1C.-3 m 3D.-1 m 0解 析 ： x=y， x=2x+m， 即 x=-m. -1 x 3， -1 -m 3， -3 m 1.答 案 ： B.
13、15.如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， AB CD， B=90 ， AB=AD=5， BC=4， M、 N、 E分 别 是 AB、 AD、CB上 的 点 ， AM=CE=1， AN=3， 点 P从 点 M 出 发 ， 以 每 秒 1 个 单 位 长 度 的 速 度 沿 折 线 MB-BE 向点 E 运 动 ， 同 时 点 Q从 点 N 出 发 ， 以 相 同 的 速 度 沿 折 线 ND-DC-CE 向 点 E 运 动 ， 当 其 中 一 个点 到 达 后 ， 另 一 个 点 也 停 止 运 动 .设 APQ 的 面 积 为 S， 运 动 时 间 为 t 秒 ， 则 S 与 t 函
14、数 关 系的 大 致 图 象 为 ( ) A.B. C.D.解 析 ： AD=5， AN=3， DN=2，如 图 1， 过 点 D作 DF AB， DF=BC=4，在 RT ADF中 ， AD=5， DF=4， 根 据 勾 股 定 理 得 ， 2 2 3AF AD DF ， BF=CD=2， 当 点 Q 到 点 D 时 用 了 2s， 点 P也 运 动 2s， AP=3， 即 QP AB， 只 分 三 种 情 况 ： 当 0 t 2 时 ， 如 图 1， 过 Q 作 QG AB， 过 点 D 作 DF AB， QG DF， AQ QGAD DF ，由 题 意 得 ， NQ=t， MP=t， A
15、M=1， AN=3， AQ=t+3， 35 4t QG ， QG= 45 (t+3)， AP=t+1， 21 1 4 2 21 3 22 2 5 5 5APQS S AP QG t t t （ ） （ ） （ ） ， 当 t=2时 ， S=6， 当 2 t 4 时 ， 如 图 2， AP=AM+t=1+t， S=S APQ= 12 AP BC= 12 (1+t) 4=2(t+1)=2t+2，当 t=4时 ， S=8， 当 4 t 5 时 ， 如 图 3， 由 题 意 得 CQ=t-4， PB=t+AM-AB=t+1-5=t-4， PQ=BC-CQ-PB=4-(t-4)-(t-4)=12-2t，
16、 S=S APQ= 12 PQ AB= 12 (12-2t) 5=-5t+50，当 t=5时 ， S=5， S 与 t 的 函 数 关 系 式 分 别 是 S=S APQ= 25 (t+2)2- 25 ， 当 t=2时 ， S=6， S=S APQ=2t+2， 当t=4时 ， S=8， S=S APQ=-5t+50， 当 t=5 时 ， S=5，综 合 以 上 三 种 情 况 ， D 正 确答 案 ： D.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18分 )16.计 算 ： 1 22 ( 2) = .解 析 ： 原 式 = 12 +2= 52 .答
17、案 ： 52 . 17.分 解 因 式 ： a2-4b2= .解 析 ： a2-4b2=(a+2b)(a-2b).答 案 ： (a+2b)(a-2b)18.某 学 习 小 组 在 “ 世 界 读 书 日 ” 这 次 统 计 了 本 组 5 名 同 学 在 上 学 期 阅 读 课 外 书 籍 的 册 数 ，数 据 是 18， x， 15， 16， 13， 若 这 组 数 据 的 平 均 数 为 16， 则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 .解 析 ： 18， x， 15， 16， 13这 组 数 据 的 平 均 数 为 16， (18+x+15+16+13) 5=16，解 得 x=18， 这
18、 组 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 ： 13， 15， 16， 18， 18， 这 组 数 据 的 中 位 数 是 16.答 案 ： 16 19.若 代 数 式 6 2x 与 4x 的 值 相 等 ， 则 x= .解 析 ： 根 据 题 意 得 ： 6 42x x ，去 分 母 得 ： 6x=4(x+2)，移 项 合 并 同 类 项 得 ： 2x=8，解 得 ： x=4.答 案 ： 4. 20.如 图 ， 半 径 为 2的 O 在 第 一 象 限 与 直 线 y=x交 于 点 A， 反 比 例 函 数 ky x (k 0)的 图 象过 点 A， 则 k= .解 析 ： 半
19、 径 为 2 的 O在 第 一 象 限 与 直 线 y=x交 于 点 A， OA=2， 点 A的 坐 标 为 ( 2, 2 )，把 点 A代 入 反 比 例 函 数 ky x (k 0)得 ： k= 2 2 =2，答 案 ： 2.21.如 图 1， 在 矩 形 纸 片 ABCD中 ， AB=8 3 ， AD=10， 点 E是 CD中 点 ， 将 这 张 纸 片 依 次 折 叠两 次 ； 第 一 次 折 叠 纸 片 使 点 A 与 点 E重 合 ， 如 图 2， 折 痕 为 MN， 连 接 ME/NE； 第 二 次 折 叠 纸片 使 点 N 与 点 E重 合 ， 如 图 3， 点 B 落 到 B
20、 处 ， 折 痕 为 HG， 连 接 HE， 则 tan EHG= . 解 析 ： 如 图 2 中 ， 作 NF CD 于 F.设 DM=x， 则 AM=EM=10-x， DE=EC， AB=CD=8 3 ， DE= 12 CD=4 3 ，在 RT DEM中 ， DM2+DE2=EM2， (4 3 )2+x2=(10-x)2，解 得 x=2.6， DM=2.6， AM=EM=7.4， DEN+ NEF=90 ， NEF+ ENF=90 ， DEM= ENF， D= EFN=90 ， DME FEN， DE EMFN EN ， 4 3 7.410 EN ， 37 36EN ， 37 36AN E
21、N ， 5 36ANtan AMN AM ，如 图 3中 ， ME EN， HG EN， EM GH， NME= NHK， NME= AMN， EHG= NHK， AMN= EHG， tan EHG=tan AMN= 5 36 .答 案 ： 5 36 .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 7 个 小 题 ， 共 57分 )22.(1)先 化 简 再 求 值 ： a(1-4a)+(2a+1)(2a-1)， 其 中 a=4.(2)解 不 等 式 组 ： 2 1 73 2 1x x x ， ， . 解 析 ： (1)先 算 乘 法 ， 再 合 并 同 类 项 ， 最 后 代 入 求 出 即 可 ；
22、(2)先 求 出 每 个 不 等 式 的 解 集 ， 再 根 据 找 不 等 式 组 解 集 的 规 律 找 出 不 等 式 组 的 解 集 即 可 .答 案 ： (1)a(1-4a)+(2a+1)(2a-1)=a-4a2+4a2-1=a-1，当 a=4时 ， 原 式 =4-1=3；(2) 2 1 73 2 1x x x ， ， 解 不 等 式 得 ： x 3，解 不 等 式 得 ： x -2， 不 等 式 组 的 解 集 为 -2 x 3. 23.(1)如 图 1， 在 菱 形 ABCD中 ， CE=CF， 求 证 ： AE=AF.(2)如 图 2， AB是 O的 直 径 ， PA与 O相
23、切 于 点 A， OP与 O相 交 于 点 C， 连 接 CB， OPA=40 ，求 ABC的 度 数 .解 析 ： (1)根 据 菱 形 的 性 质 ， 利 用 SAS 判 定 ABE ADF， 从 而 求 得 AE=AF；(2)利 用 切 线 的 性 质 和 直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角 互 余 的 性 质 得 到 圆 心 角 PAO的 度 数 ， 然 后 利用 圆 周 角 定 理 来 求 ABC的 度 数 . 答 案 ： (1) 四 边 形 ABCD是 菱 形 ， AB=BC=CD=AD， B= D CE=CF， BE=DF在 ABE与 ADF中 ，AB ADB DBE DF
24、， ABE ADF. AE=AF；(2) AB是 O 的 直 径 ， 直 线 PA 与 O相 切 于 点 A， PAO=90 . 又 OPA=40 ， POA=50 ， ABC= 12 POA=25 . 24.学 生 在 素 质 教 育 基 地 进 行 社 会 实 践 活 动 ， 帮 助 农 民 伯 伯 采 摘 了 黄 瓜 和 茄 子 共 40kg， 了 解到 这 些 蔬 菜 的 种 植 成 本 共 42 元 ， 还 了 解 到 如 下 信 息 ：(1)请 问 采 摘 的 黄 瓜 和 茄 子 各 多 少 千 克 ？(2)这 些 采 摘 的 黄 瓜 和 茄 子 可 赚 多 少 元 ？解 析 ：
25、(1)设 他 当 天 采 摘 黄 瓜 x 千 克 ， 茄 子 y千 克 ， 根 据 采 摘 了 黄 瓜 和 茄 子 共 40kg， 了 解 到这 些 蔬 菜 的 种 植 成 本 共 42元 ， 列 出 方 程 ， 求 出 x 的 值 ， 即 可 求 出 答 案 ； (2)根 据 黄 瓜 和 茄 子 的 斤 数 ， 再 求 出 每 斤 黄 瓜 和 茄 子 赚 的 钱 数 ， 即 可 求 出 总 的 赚 的 钱 数 .答 案 ： (1)设 采 摘 黄 瓜 x 千 克 ， 茄 子 y 千 克 .根 据 题 意 ， 得401.2 42x yx y ，解 得 3010 xy .答 ： 采 摘 的 黄 瓜
26、 和 茄 子 各 30 千 克 、 10千 克 ；(2)30 (1.5-1)+10 (2-1.2)=23(元 ).答 ： 这 些 采 摘 的 黄 瓜 和 茄 子 可 赚 23元 .25.随 着 教 育 信 息 化 的 发 展 ， 学 生 的 学 习 方 式 日 益 增 多 ， 教 师 为 了 指 导 学 生 有 效 利 用 网 络 进 行 学 习 ， 对 学 生 进 行 了 随 机 问 卷 调 查 (问 卷 调 查 表 如 图 所 示 )， 并 用 调 查 结 果 绘 制 了 图 1、 图2两 幅 统 计 图 (均 不 完 整 )， 请 根 据 统 计 图 解 答 以 下 问 题 ：(1)本
27、次 接 受 问 卷 调 查 的 学 生 共 有 人 ， 在 扇 形 统 计 图 中 “ D“ 选 项 所 占 的 百 分 比 为 ；(2)扇 形 统 计 图 中 ， “ B” 选 项 所 对 应 扇 形 圆 心 角 为 度 ；(3)请 补 全 条 形 统 计 图 ；(4)若 该 校 共 有 1200名 学 生 ， 请 您 估 计 该 校 学 生 课 外 利 用 网 络 学 习 的 时 间 在 “ A” 选 项 的 有多 少 人 ？ 解 析 ： 由 条 形 统 计 图 与 扇 形 统 计 图 获 得 的 数 据 ：(1)因 为 图 (1)、 图 (2)中 已 知 C 选 项 的 百 分 比 与
28、人 数 ， 由 C 选 项 的 百 分 比 =100%C 选 项 的 人 数接 受 调 查 的 学 生 的 总 人 数 求 解(2)先 求 出 B 选 项 的 百 分 比 ， 再 利 用 扇 形 统 计 图 的 圆 心 角 的 度 数 =360 B 选 项 的 百 分 比 求解(3)由 (1)所 得 总 人 数 求 出 B 选 项 的 人 数 即 可 作 图(4)先 求 出 A 选 项 的 百 分 比 即 可 求 得答 案 ： (1)因 为 ， 图 (1)、 图 (2)中 已 知 C 选 项 的 百 分 比 是 50%， 人 数 是 50，所 以 ， 本 次 接 受 问 卷 调 查 的 学 生
29、 =50 50%=100(人 )又 ， D选 项 的 人 数 10 所 以 ， D 选 项 的 百 分 比 = 10 100%100 =10%故 答 案 为 100， 10%，(2)因 为 ， B选 项 的 人 数 为 20，所 以 ， B 选 项 的 百 分 比 =20 100=20%，故 ， B选 项 所 对 应 扇 形 圆 心 角 =360 20%=72 .故 答 案 为 72(3)因 为 ， A选 项 的 人 数 =100-20-50-10=20(人 )， 则 ， 条 形 统 计 图 补 全 如 下 图 所 示 ： (4)因 为 ， A选 项 所 占 的 百 分 比 为 20%，所 以
30、 ， 1200 20%=240(人 )即 ， 课 外 利 用 网 络 学 习 的 时 间 在 “ A” 选 项 的 有 240 人26.如 图 1， OABC的 边 OC在 x轴 的 正 半 轴 上 ， OC=5， 反 比 例 函 数 my x (x 0)的 图 象 经 过点 A(1， 4).(1)求 反 比 例 函 数 的 关 系 式 和 点 B 的 坐 标 ；(2)如 图 2， 过 BC的 中 点 D 作 DP x 轴 交 反 比 例 函 数 图 象 于 点 P， 连 接 AP、 OP. 求 AOP的 面 积 ； 在 OABC的 边 上 是 否 存 在 点 M， 使 得 POM是 以 PO
31、 为 斜 边 的 直 角 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 请 求 出所 有 符 合 条 件 的 点 M的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)由 点 A 的 坐 标 利 用 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 即 可 求 出 反 比 例 函 数 关 系 式 ，再 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 结 合 点 A、 O、 C 的 坐 标 即 可 求 出 点 B的 坐 标 ； (2) 延 长 DP 交 OA 于 点 E， 由 点 D为 线 段 BC的 中 点 ， 可 求 出 点 D 的 坐 标 ， 再 令 反 比 例 函 数关 系 式
32、中 y=2求 出 x值 即 可 得 出 点 P 的 坐 标 ， 由 此 即 可 得 出 PD、 EP的 长 度 ， 根 据 三 角 形 的面 积 公 式 即 可 得 出 结 论 ； 假 设 存 在 ， 以 OP 为 直 径 作 圆 ， 交 OC于 点 M1， 交 OA于 点 M2， 通 过 解 直 角 三 角 形 和 勾 股 定理 求 出 点 M1、 M2的 坐 标 ， 此 题 得 解 .答 案 ： (1) 反 比 例 函 数 my x (x 0)的 图 象 经 过 点 A(1， 4)， m=1 4=4， 反 比 例 函 数 的 关 系 式 为 4y x (x 0). 四 边 形 OABC 为
33、 平 行 四 边 形 ， 且 点 O(0， 0)， OC=5， 点 A(1， 4)， 点 C(5， 0)， 点 B(6， 4).(2) 延 长 DP 交 OA 于 点 E， 如 图 3所 示 . 点 D为 线 段 BC的 中 点 ， 点 C(5， 0)、 B(6， 4)， 点 D(112 ， 2).令 4y x 中 y=2， 则 x=2， 点 P(2， 2)， 11 7 322 2 2PD EP ED PD ， ， 1 1 3 4 0 32 2 2AOP A OS EP y y （ ） （ ） . 假 设 存 在 .以 OP 为 直 径 作 圆 ， 交 OC 于 点 M1， 交 OA于 点 M
34、2， 连 接 PM1、 PM2， 如 图 4所 示 . 点 P(2， 2)， O(0， 0)， 点 M 1(2， 0)； 点 A(1， 4)， 点 O(0， 0)， 直 线 OA 的 关 系 式 为 y=4x.设 点 M2(n， 4n)， 22 217 2 2 17 20 8OM n OP PM n n ， ， ， OM2P=90 ， 2 2 22 2OM PM OP ， 即 2 217 17 20 8 8n n n ，解 得 ： n=1017 ， 或 n=0(舍 去 )， 点 M 2(10 40,17 17 ).故 在 OABC的 边 上 存 在 点 M， 使 得 POM是 以 PO 为 斜
35、 边 的 直 角 三 角 形 ， 点 M 的 坐 标 为 (2， 0)或 (10 40,17 17 ).27.在 学 习 了 图 形 的 旋 转 知 识 后 ， 数 学 兴 趣 小 组 的 同 学 们 又 进 一 步 对 图 形 旋 转 前 后 的 线 段 之间 、 角 之 间 的 关 系 进 行 了 探 究 .(一 )尝 试 探 究如 图 1， 在 四 边 形 ABCD中 ， AB=AD， BAD=60 ， ABC= ADC=90 ， 点 E、 F 分 别 在 线 段BC、 CD上 ， EAF=30 ， 连 接 EF.(1)如 图 2， 将 ABE绕 点 A 逆 时 针 旋 转 60 后 得
36、 到 A B E (A B 与 AD重 合 )， 请 直接 写 出 E AF= 度 ， 线 段 BE、 EF、 FD 之 间 的 数 量 关 系 为 . (2)如 图 3， 当 但 点 E、 F 分 别 在 线 段 BC、 CD 的 延 长 线 上 时 ， 其 他 条 件 不 变 ， 请 探 究 线 段 BE、EF、 FD之 间 的 数 量 关 系 ， 并 说 明 理 由 .(二 )拓 展 延 伸如 图 4， 在 等 边 ABC 中 ， E、 F是 边 BC 上 的 两 点 ， EAF=30 ， BE=1， 将 ABE绕 点 A 逆 时针 旋 转 60 得 到 A B E (A B 与 AC重
37、 合 )， 连 接 EE ， AF与 EE 交 于 点 N， 过 点 A作 AM BC 于 点 M， 连 接 MN， 求 线 段 MN的 长 度 . 解 析 ： (一 )(1)根 据 图 形 旋 转 前 后 对 应 边 相 等 ， 对 应 角 相 等 ， 判 定 AEF AE F， 进 而 根据 线 段 的 和 差 关 系 得 出 结 论 ；(2)先 在 BE上 截 取 BG=DF， 连 接 AG， 构 造 ABG ADF， 进 而 利 用 全 等 三 角 形 的 对 应 边 相 等 ，对 应 角 相 等 ， 判 定 GAE FAE， 最 后 根 据 线 段 的 和 差 关 系 得 出 结 论
38、 ；(二 )先 根 据 旋 转 的 性 质 判 定 AEE 是 等 边 三 角 形 ， 进 而 利 用 等 边 ABC、 等 边 AEE 的 三线 合 一 的 性 质 ， 得 到 AN AMAE AB 和 BAE= MAN， 最 后 判 定 BAE MAN， 并 根 据 相 似 三 角形 对 应 边 成 比 例 ， 列 出 比 例 式 求 得 MN 的 长 .答 案 ： (一 )(1)如 图 2， 将 ABE绕 点 A逆 时 针 旋 转 60 后 得 到 A B E ， 则 1= 2， BE=DE ， AE=AE ， BAD=60 ， EAF=30 ， 1+ 3=30 ， 2+ 3=30 ，
39、即 FAE =30 EAF= FAE ，在 AEF和 AE F 中 ，AE AEEAF FAEAF AF ， AEF AE F(SAS)， EF=E F， 即 EF=DF+DE ， EF=DF+BE， 即 线 段 BE、 EF、 FD 之 间 的 数 量 关 系 为 BE+DF=EF，故 答 案 为 ： 30， BE+DF=EF； (2)如 图 3， 在 BE上 截 取 BG=DF， 连 接 AG， 在 ABG和 ADF中 ，AB ADABE ADFBG DF ， ABG ADF(SAS)， BAG= DAF， 且 AG=AF， DAF+ DAE=30 ， BAG+ DAE=30 ， BAD=
40、60 ， GAE=60 -30 =30 ， GAE= FAE，在 GAE和 FAE中 ，AG AFGAE FAEAE AE ， GAE FAE(SAS)， GE=FE，又 BE-BG=GE， BG=DF， BE-DF=EF，即 线 段 BE、 EF、 FD 之 间 的 数 量 关 系 为 BE-DF=EF；(二 )如 图 4， 将 ABE绕 点 A 逆 时 针 旋 转 60 得 到 A B E ， 则AE=AE ， EAE =60 ， AEE 是 等 边 三 角 形 ， 又 EAF=30 ， AN 平 分 EAF， AN EE ， 直 角 三 角 形 ANE中 ， 32ANAE ， 在 等 边
41、 ABC中 ， AM BC， BAM=30 ， 32AMAB ， 且 BAE+ EAM=30 ， AN AMAE AB ， 又 MAN+ EAM=30 ， BAE= MAN， BAE MAN， MN AMBE AB ， 即 321MN ， 32MN .28.如 图 1， 抛 物 线 y=ax 2+(a+3)x+3(a 0)与 x轴 交 于 点 A(4， 0)， 与 y轴 交 于 点 B， 在 x 轴上 有 一 动 点 E(m， 0)(0 m 4)， 过 点 E作 x轴 的 垂 线 交 直 线 AB于 点 N， 交 抛 物 线 于 点 P，过 点 P作 PM AB于 点 M.(1)求 a 的 值
42、 和 直 线 AB 的 函 数 表 达 式 ；(2)设 PMN的 周 长 为 C1， AEN的 周 长 为 C2， 若 12 65CC ， 求 m 的 值 ；(3)如 图 2， 在 (2)条 件 下 ， 将 线 段 OE 绕 点 O逆 时 针 旋 转 得 到 OE ， 旋 转 角 为 (0 90 )， 连 接 E A、 E B， 求 E A+ 23 E B 的 最 小 值 . 解 析 ： (1)令 y=0， 求 出 抛 物 线 与 x 轴 交 点 ， 列 出 方 程 即 可 求 出 a， 根 据 待 定 系 数 法 可 以 确 定直 线 AB解 析 式 .(2)由 PNM ANE， 推 出 6
43、5PNAN ， 列 出 方 程 即 可 解 决 问 题 .(3)在 y 轴 上 取 一 点 M 使 得 OM= 43 ， 构 造 相 似 三 角 形 ， 可 以 证 明 AM 就 是 E A+ 23 E B的 最小 值 .答 案 ： (1)令 y=0， 则 ax 2+(a+3)x+3=0， (x+1)(ax+3)=0， x=-1或 3a ， 抛 物 线 y=ax2+(a+3)x+3(a 0)与 x 轴 交 于 点 A(4， 0)， 3a =4， a= 34 . A(4， 0)， B(0， 3)，设 直 线 AB 解 析 式 为 y=kx+b， 则 34 0bk b ， 解 得 343kb ，
44、直 线 AB 解 析 式 为 y= 34 x+3.(2)如 图 1 中 ， PM AB， PE OA， PMN= AEN， PNM= ANE， PNM ANE， 65PNAN ， NE OB， AN AEAB OA ， AN= 54 (4-m)， 抛 物 线 解 析 式 为 23 9 34 4y x x ， 2 23 9 3 33 3 34 4 4 4PN m m m m m （ ） ， 23 3 645 544 m mm ，解 得 m=2. (3)如 图 2 中 ， 在 y 轴 上 取 一 点 M使 得 OM= 43 ， OE =2， OM OB= 43 3=4， OE 2=OM OB， OE OBOM OE ， BOE = MOE ， MOE E OB， 23ME OEBE OB ， ME = 23 BE ， AE + 23 BE =AE +E M=AM ，此 时 AE + 23 BE 最 小 ， 最 小 值 =AM= 22 4 44 103 3AM .
