1、2016年 甘 肃 省 张 掖 市 肃 南 一 中 高 考 模 拟 数 学 文一 .选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1. 设 集 合 A=x|x2+x-6 0， 集 合 B 为 函 数 1 1y x 的 定 义 域 ， 则 A B=( )A.(1， 2)B.1， 2C.1， 2)D.(1， 2解 析 ： A=x|x 2+x-6 0=x|-3 x 2=-3， 2，要 使 函 数 1 1y x 有 意 义 ， 则 x-1 0， 即 x 1，
2、函 数 的 定 义 域 B=(1， + )，则 A B=(1， 2.答 案 ： D.2. 若 复 数 z 满 足 iz=2+4i， 则 在 复 平 面 内 ， z 对 应 的 点 的 坐 标 是 ( )A.(2， 4)B.(2， -4)C.(4， -2) D.(4， 2)解 析 ： 复 数 z 满 足 iz=2+4i， 则 有 2 42 4 4 21i iiz ii ，故 在 复 平 面 内 ， z 对 应 的 点 的 坐 标 是 (4， -2).答 案 ： C.3. 一 枚 质 地 均 匀 的 正 方 体 骰 子 ， 六 个 面 上 分 别 刻 着 1 点 至 6 点 .甲 、 乙 二 人
3、各 掷 骰 子 一 次 ，则 甲 掷 得 的 向 上 的 点 数 比 乙 大 的 概 率 为 ( )A. 29B. 14 C. 512D. 12解 析 ： 甲 、 乙 二 人 各 掷 骰 子 一 次 ， 得 到 所 有 的 基 本 事 件 有 共 36 种 ，显 然 甲 掷 得 的 向 上 的 点 数 比 乙 大 的 有 15种 ，故 甲 掷 得 的 向 上 的 点 数 比 乙 大 的 概 率 为 P= 1536 512 .故 选 ： C.4. 变 量 x、 y 满 足 条 件 1 011x yyx ， 则 (x-2) 2+y2的 最 小 值 为 ( )A. 3 22B. 5C. 92D.5解
4、 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 ， 设 z=(x-2)2+y2， 则 z的 几 何 意 义 为 区 域 内 的 点 到 定 点 D(2， 0)的 距 离 的 平 方 ，由 图 象 知 CD的 距 离 最 小 ， 此 时 z 最 小 .由 1 1 0yx y 得 01xy ， 即 C(0， 1)，此 时 z=(x-2)2+y2=4+1=5.答 案 ： D. 5. 将 函 数 y sin(x+ 6 )(x R)的 图 象 上 所 有 的 点 向 左 平 移 4 个 单 位 长 度 ， 再 把 图 象 上 各点 的 横 坐 标 扩 大 到 原 来 的 2 倍 ， 则 所
5、 得 的 图 象 的 解 析 式 为 ( )A.y sin(2x+ 512 )(x R)B.y sin( 2x + 512 )(x R)C.y sin( 2x -12 )(x R)D.y sin( 2x + 524 )(x R)解 析 ： 将 函 数 y sin(x+ 6 )(x R)的 图 象 上 所 有 的 点 向 左 平 移 4 个 单 位 长 度 ， 得 到 函 数 y sin(x+ 4 + 6 ) sin(x+ 512 )，再 把 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 扩 大 到 原 来 的 2 倍 ， 得 到 函 数 y sin( 2x + 512 )(x R).答 案 ： B.6.
6、 某 校 通 过 随 机 询 问 100名 性 别 不 同 的 学 生 是 否 能 做 到 “ 光 盘 ” 行 动 ， 得 到 所 示 联 表 ： 附 ： K2= 211 22 12 211 2 1 2n n n n nn n n n ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( )A.在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 1%的 前 提 下 ， 认 为 “ 该 校 学 生 能 否 做 到 光 盘 与 性 别 无 关 ”B.有 99%以 上 的 把 握 认 为 “ 该 校 学 生 能 否 做 到 光 盘 与 性 别 有 关 ”C.在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 10%的 前 提 下 ，
7、 认 为 “ 该 校 学 生 能 否 做 到 光 盘 与 性 别 有 关 ”D.有 90%以 上 的 把 握 认 为 “ 该 校 学 生 能 否 做 到 光 盘 与 性 别 无 关 ”解 析 ： 由 2 2 列 联 表 得 到 a=45， b=10， c=30， d=15.则 a+b=55， c+d=45， a+c=75， b+d=25， ad=675， bc=300， n=100.代 入 K 2= 2n ad bca b c d a c b d ，得 K2的 观 测 值 k= 2100 675 30055 45 75 25 . 因 为 2.706 3.030 3.841.所 以 有 90%以
8、 上 的 把 握 认 为 “ 该 市 居 民 能 否 做 到 光 盘 与 性 别 有 关 ” .即 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 10%的 前 提 下 ， 认 为 “ 该 校 学 生 能 否 做 到 光 盘 与 性 别 有 关 ” .答 案 ： C.7. 已 知 向 量 a (sin ， -2)， b (1， cos )， 且 a b ， 则 sin2 +cos2 的 值 为 ( )A.1B.2C. 12D.3 解 析 ： 由 题 意 可 得 a b =sin -2cos =0， 即 tan =2. sin2 +cos2 = 22 22sin cos coscos sin = 22
9、11tantan =1.答 案 ： A.8. 如 图 所 示 程 序 框 图 中 ， 输 出 S=( ) A.45B.-55C.-66D.66解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ， 第 一 次 运 行 T=(-1)2 12=1， S=0+1=1， n=1+1=2；第 二 次 运 行 T=(-1)3 22=-4， S=1-4=-3， n=2+1=3；第 三 次 运 行 T=(-1)4 32=9， S=1-4+9=6， n=3+1=4；直 到 n=9+1=10 时 ， 满 足 条 件 n 9， 运 行 终 止 ， 此 时 T=(-1)10 9 2，S=1-4+9-16+ +92-102=1+(2+
10、3)+(4+5)+(6+7)+(8+9)-100=1 92 9-100=-55.答 案 ： B. 9. 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 且 该 几 何 体 的 体 积 是 3， 则 正 视 图 中 的 x 的 值 是 ( )A.2B. 92C. 32 D.3解 析 ： 根 据 三 视 图 判 断 几 何 体 为 四 棱 锥 ， 其 直 观 图 是 ： V= 13 1 22 2 x=3x=3.答 案 ： D.10. 如 图 可 能 是 下 列 哪 个 函 数 的 图 象 ( )A.y=2 x-x2-1B.y= 24 1x sinxxC.y=(x2-2x)ex D.y= xln
11、x解 析 ： A 中 ， y=2x-x2-1， 当 x 趋 向 于 - 时 ， 函 数 y=2x的 值 趋 向 于 0， y=x2+1 的 值 趋 向 + ， 函 数 y=2x-x2-1的 值 小 于 0， A中 的 函 数 不 满 足 条 件 ；B中 ， y=sinx是 周 期 函 数 ， 函 数 y= 24 1x sinxx 的 图 象 是 以 x轴 为 中 心 的 波 浪 线 ， B 中 的 函 数 不 满 足 条 件 ；C中 ， 函 数 y=x 2-2x=(x-1)2-1， 当 x 0 或 x 2 时 ， y 0， 当 0 x 2 时 ， y 0；且 y=ex 0恒 成 立 ， y=(
12、x2-2x)ex的 图 象 在 x 趋 向 于 - 时 ， y 0， 0 x 2时 ， y 0， 在 x 趋 向 于 + 时 ， y 趋向 于 + ； C 中 的 函 数 满 足 条 件 ；D中 ， y= xlnx 的 定 义 域 是 (0， 1) (1， + )， 且 在 x (0， 1)时 ， lnx 0， y= xlnx 0， D中 函 数 不 满 足 条 件 .答 案 ： C.11. 已 知 中 心 在 原 点 的 椭 圆 与 双 曲 线 有 公 共 焦 点 ， 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1、 F2， 且 两 条 曲 线 在第 一 象 限 的 交 点 为 P， PF1F2是
13、以 PF1为 底 边 的 等 腰 三 角 形 .若 |PF1|=10， 椭 圆 与 双 曲 线 的 离心 率 分 别 为 e1、 e2， 则 e1 e2+1的 取 值 范 围 为 ( )A.(1， + )B.( 43 ， + )C.( 65 ， + )D.(109 ， + )解 析 ： 设 椭 圆 和 双 曲 线 的 半 焦 距 为 c， |PF 1|=m， |PF2|=n， (m n)，由 于 PF1F2是 以 PF1为 底 边 的 等 腰 三 角 形 .若 |PF1|=10，即 有 m=10， n=2c，由 椭 圆 的 定 义 可 得 m+n=2a1，由 双 曲 线 的 定 义 可 得 m
14、-n=2a2，即 有 a1=5+c， a2=5-c， (c 5)，再 由 三 角 形 的 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ， 可 得 2c+2c=4c 10，则 c 52 ， 即 有 52 c 5.由 离 心 率 公 式 可 得 e 1 e2= 1ca 2ca = 2 225c c = 2125 1c ， 由 于 1 225c 4， 则 有 2125 1c 13 .则 e1 e2+1 13 +1 43 . e1 e2+1的 取 值 范 围 为 ( 43 ， + ).答 案 ： B.12. 若 a 是 f(x)=sinx-xcosx 在 x (0， 2 )的 一 个 零 点 ， 则 x (0
15、， 2 )， 下 列 不 等 式恒 成 立 的 是 ( )A. sinxx sinaa B.cosa sinxxC. 32 a 2D.a-cosa x-cosx解 析 ： f (x)=xsinx，当 x (0， )， f (x) 0， 函 数 f(x)单 调 递 增 ，当 x ( ， 2 )， f (x) 0， 函 数 f(x)单 调 递 减 ，又 f(0)=0， f( ) 0， f(2 ) 0， a ( ， 2 )， 当 x (0， a)， f(x) 0， 当 x (a， 2 )， f(x) 0，令 g(x)= sinxx ， g (x)= 2xcosx sinxx ， 当 x (0， a)
16、， g (x) 0， 函 数 g(x)单 调 递 减 ， 当 x (a， 2 )， g (x) 0， 函 数 g(x)单 调 递 增 ， g(x) g(a).答 案 ： A.二 .填 空 题 (本 大 题 共 4 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 .)13. 在 ABC中 ， 角 A， B， C 所 对 边 分 别 为 a， b， c， 且 c 4 2 ， B=45 ， 面 积 S=2， 则b等 于 _.解 析 ： c 4 2 ， B=45 ， 面 积 S=2， S= 12 acsinB= 12 a 4 2 22 =2a=2. a=1由 余 弦 定 理 得 b2=a2+c2
17、-2accosB=12+(4 2 )2-2 1 4 2 22 =25 b=5.答 案 ： 5.14. 已 知 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 侧 棱 和 底 面 垂 直 ， 且 所 有 棱 长 都 相 等 ， 若 该 三 棱 柱 的 各 顶 点 都在 球 O的 表 面 上 ， 且 球 O的 表 面 积 为 7 ， 则 此 三 棱 柱 的 体 积 为 _.解 析 ： 如 图 ， 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 所 有 棱 长 都 相 等 ， 6个 顶 点 都 在 球 O的 球 面 上 ， 三 棱 柱 为 正 三 棱 柱 ， 且 其 中 心 为 球 的 球 心 ， 设 为 O，再 设 球
18、的 半 径 为 r， 由 球 O 的 表 面 积 为 7 ， 得 4 r2=7 ， r= 72 .设 三 棱 柱 的 底 面 边 长 为 a， 则 上 底 面 所 在 圆 的 半 径 为 33 a， 且 球 心 O 到 上 底 面 中 心 H 的 距离 OH= 2a ， r 2=( 2a )2+( 33 a)2， 即 r= 712 a， a= 3.则 三 棱 柱 的 底 面 积 为 S= 34 ( 3 )2= 3 34 . V ABC-A1B1C1= 3 34 3 = 94 .答 案 ： 94 .15. 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， ACB=90 ， AC=BC=2， 点 P 是 斜
19、 边 AB 上 的 一 个 三 等 分 点 ， 则CP CB+ CP CA =_.解 析 ： 由 题 意 可 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 可 得 A(2， 0)B(0， 2)， P( 23 ， 43 )或 P( 43 ， 23 )，故 可 得 CP=( 23 ， 43 )或 ( 43 ， 23 )， CA =(2， 0)， CB=(0， 2)，所 以 CA +CB=(2， 0)+(0， 2)=(2， 2)，故 CP CB+CP CA =CP (CB+CA )=( 23 ， 43 ) (2， 2)=4或 =( 43 ， 23 ) (2， 2)=4.答 案 ： 4. 16. 已 知 函
20、 数 f(x) 22 ( ) ( )17 14 1x ax xa x a x ， 若 x1， x2 R， 且 x1 x2， 使 得 f(x1)=f(x2)，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 由 题 意 ， 2 212 7 144aa a a 或 2121 7 14a a a a a 2或 3 a 5.答 案 ： (- ， 2) (3， 5).三 .解 答 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 70分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 17. 已 知 等 比 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn， an 0， a1=
21、 23 ， 且 23a ， 31a ， 41a 成 等 差 数 列 .( )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )设 数 列 bn满 足 bn log3(1-Sn+1)=1， 求 适 合 方 程 b1b2+b2b3+ +bnbn+1= 2551 的 正 整 数 n 的 值 .解 析 ： ( )由 23a ， 31a ， 41a 成 等 差 数 列 建 立 关 于 q 的 方 程 ， 解 出 q， 即 可 求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )利 用 前 n项 和 公 式 表 示 出 Sn+1， 从 而 表 示 出 bn， 利 用 裂 项 相 消 法 求 出 b1b2+b2b3+ +
22、bnbn+1，建 立 关 于 n的 方 程 ， 求 解 即 可 .答 案 ： ( )设 数 列 an的 公 比 q，由 23a ， 31a ， 41a 成 等 差 数 列 ，得 -3+ 21q 2q ，解 得 q 13 或 q=-1(舍 去 )， an 2 ( 13 )n；( ) Sn+1 12 113 311 3n 111 3n ， log 3(1-Sn+1) log3 113n =-n-1， bn 1 1n ，bnbn+1 11 2n n 1 11 2n n ，b 1b2+b2b3+ +bnbn+1 12 - 13 + 13 - 14 + + 1 11 2n n = 12 - 1 2n =
23、 2551 .解 得 ： n=100.18. 2014年 “ 五 一 ” 期 间 ， 高 速 公 路 车 辆 较 多 .某 调 查 公 司 在 一 服 务 区 从 七 座 以 下 小 型 汽车 中 按 进 服 务 区 的 先 后 每 间 隔 50辆 就 抽 取 一 辆 的 抽 样 方 法 抽 取 40 名 驾 驶 员 进 行 询 问 调 查 ，将 他 们 在 某 段 高 速 公 路 的 车 速 (km/t)分 成 六 段 ： 60， 65)， 65， 70)， 70， 75)， 75， 80)，80， 85)， 85， 90)后 得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图 . (
24、)求 这 40辆 小 型 车 辆 车 速 的 众 数 及 平 均 车 速 (可 用 中 值 代 替 各 组 数 据 平 均 值 )； ( )若 从 车 速 在 60， 70)的 车 辆 中 任 抽 取 2 辆 ， 求 车 速 在 65， 70)的 车 辆 至 少 有 一 辆 的 概 率 .解 析 ： (1)众 数 的 估 计 值 为 最 高 的 矩 形 的 中 点 ， 即 众 数 的 估 计 值 等 于 77.5， 然 后 求 解 这 40辆 小 型 车 辆 的 平 均 车 速 .(2)从 图 中 可 知 ， 车 速 在 60， 65)的 车 辆 数 ， 车 速 在 65， 70)的 车 辆
25、数 ， 设 车 速 在 60， 65)的 车 辆 设 为 a， b， 车 速 在 65， 70)的 车 辆 设 为 c， d， e， f， 列 出 所 有 基 本 事 件 ， 车 速 在 65，70)的 车 辆 数 ， 然 后 求 解 概 率 .答 案 ： (1)众 数 的 估 计 值 为 最 高 的 矩 形 的 中 点 ， 即 众 数 的 估 计 值 等 于 77.5这 40 辆 小 型 车 辆 的 平 均 车 速 为 ：2 62.5 4 67.5 8 72.5 12 77.5 10 82.5 4 87.540 77(km/t)(2)从 图 中 可 知 ， 车 速 在 60， 65)的 车
26、辆 数 为 ： m 1=0.01 5 40=2(辆 )车 速 在 65， 70)的 车 辆 数 为 ： m2=0.02 5 40=4(辆 )设 车 速 在 60， 65)的 车 辆 设 为 a， b， 车 速 在 65， 70)的 车 辆 设 为 c， d， e， f， 则 所 有 基 本事 件 有 ： (a， b)， (a， c)， (a， d)， (a， e)， (a， f)， (b， c)， (b， d)， (b， e)， (b， f)(c，d)， (c， e)， (c， f)， (d， e)， (d， f)(e， f)共 15 种其 中 车 速 在 65， 70)的 车 辆 至 少 有
27、 一 辆 的 事 件 有 ： (a， c)， (a， d)， (a， e)， (a， f)， (b，c)， (b， d)， (b， e)， (b， f)， (c， d)， (c， e)， (c， f)， (d， e)， (d， f)， (e， f)， 共14种所 以 ， 车 速 在 65， 70)的 车 辆 至 少 有 一 辆 的 概 率 为 P 1415 .19. 如 图 ， 在 多 面 体 ABCDEF中 ， 底 面 ABCD是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 四 边 形 BDEF是 矩 形 ， 平面 BDEF 平 面 ABCD， BF=3， G和 H分 别 是 CE和 CF 的 中
28、点 . ( )求 证 ： AC 平 面 BDEF；( )求 证 ： 平 面 BDGH 平 面 AEF；( )求 多 面 体 ABCDEF的 体 积 .解 析 ： (I)由 面 面 垂 直 的 性 质 可 证 AC 与 平 面 BDEF垂 直 ；(II)利 用 线 线 平 行 证 明 GH 平 面 AEF， OH 平 面 AEF.由 面 面 平 行 的 判 定 定 理 可 证 面 面 平 行 ；(III)把 多 面 体 分 割 成 四 棱 锥 A-BDEF 和 四 棱 锥 C-BDEF， 分 别 求 出 体 积 ， 再 求 和 .答 案 ： ( )证 明 ： 四 边 形 ABCD 是 正 方 形
29、 ， AC BD.又 平 面 BDEF 平 面 ABCD， 平 面 BDEF 平 面 ABCD=BD，且 AC平 面 ABCD， AC 平 面 BDEF； ( )证 明 ： 在 CEF中 ， G、 H分 别 是 CE、 CF的 中 点 ， GH EF，又 GH平 面 AEF， EF平 面 AEF， GH 平 面 AEF，设 AC BD=O， 连 接 OH， 在 ACF中 ， OA=OC， CH=HF， OH AF，又 OH平 面 AEF， AF平 面 AEF， OH 平 面 AEF.又 OH GH=H， OH、 GH平 面 BDGH， 平 面 BDGH 平 面 AEF. ( )由 ( )， 得
30、 AC 平 面 BDEF，又 AO= 2 ， 四 边 形 BDEF的 面 积 S=3 2 2 =6 2 ， 四 棱 锥 A-BDEF的 体 积 V1= 13 AO S=4，同 理 ， 四 棱 锥 C-BDEF的 体 积 V2=4. 多 面 体 ABCDEF的 体 积 V=8.20. 已 知 椭 圆 C 1： 2 22 2y xa b =1(a b 0)的 离 心 率 e= 33 ， 且 经 过 点 (1， 62 )， 抛 物 线 C2：x2=2py(p 0)的 焦 点 F 与 椭 圆 C1的 一 个 焦 点 重 合 .( )过 F的 直 线 与 抛 物 线 C2交 于 M， N 两 点 ， 过
31、 M， N 分 别 作 抛 物 线 C2的 切 线 l1， l2， 求 直 线l1， l2的 交 点 Q的 轨 迹 方 程 ；( )从 圆 O： x2+y2=5 上 任 意 一 点 P 作 椭 圆 C1的 两 条 切 线 ， 切 点 为 A， B， 证 明 ： APB 为 定值 ， 并 求 出 这 个 定 值 .解 析 ： ( )设 椭 圆 的 半 焦 距 为 c， 以 及 ca 33 ， 设 椭 圆 方 程 为 2 22 23 2y xc c 1， 将 点 (1，62 )的 坐 标 代 入 得 c， 然 后 求 解 椭 圆 方 程 ， 求 出 抛 物 线 方 程 ， 设 直 线 MN： y=
32、kx+1， M(x 1， y1)， N(x2， y2)， 代 入 抛 物 线 方 程 得 x2-4kx-4=0， 利 用 韦 达 定 理 结 合 函 数 的 导 数 求 解 直 线 的斜 率 ， 直 线 方 程 ， 求 出 点 Q 的 横 坐 标 是 12 (x1+x2)， 点 Q 的 纵 坐 标 ， 然 后 求 解 点 Q 的 轨 迹 方程 .( ) 当 两 切 线 的 之 一 的 斜 率 不 存 在 时 ， 根 据 对 称 性 ， 设 点 P在 第 一 象 限 ， 求 解 APB的 大小 为 定 值 . 当 两 条 切 线 的 斜 率 都 存 在 时 ， 即 x 2 时 ， 设 P(x 0
33、， y0)， 切 线 的 斜 率 为 k， 则 切 线 方程 与 椭 圆 方 程 联 立 ， 利 用 =0， 切 线 PA， PB 的 斜 率 k1， k2是 上 述 方 程 的 两 个 实 根 ， 通 过 k1k2 0202 33y x ， 求 解 APB的 大 小 为 定 值 2 .答 案 ： ( )设 椭 圆 的 半 焦 距 为 c， 则 ca 33 ， 即 a 3 c， 则 b 2 c，椭 圆 方 程 为 2 22 23 2y xc c 1， 将 点 (1， 62 )的 坐 标 代 入 得 c 2=1，故 所 求 的 椭 圆 方 程 为 2 23 2y x 1焦 点 坐 标 为 (0，
34、 1)，故 抛 物 线 方 程 为 x2=4y设 直 线 MN： y=kx+1， M(x 1， y1)， N(x2， y2)， 代 入 抛 物 线 方 程 得 x2-4kx-4=0，则 x1+x2=4k， x1x2=-4， 由 于 y 14 x2， 所 以 y 12 x， 故 直 线 l1的 斜 率 为 12 x1， l1的 方 程 为y- 14 x21 12 x1(x-x1)， 即 y 12 x1x- 14 x21，同 理 l2的 方 程 为 y 12 x2x- 14 x22 ，令 12 x 1x- 14 x21 14 x2x- 14 x22， 即 (x1-x2)x 12 (x1-x2)(x
35、1+x2)， 显 然 x1 x2，故 x 12 (x1+x2)， 即 点 Q 的 横 坐 标 是 12 (x1+x2)，点 Q 的 纵 坐 标 是 y 12 x1x- 14 x21 14 x1(x1+x2)- 14 x21 14 x1x2 -1， 即 点 Q(2k， -1)，故 点 Q的 轨 迹 方 程 是 y=-1( )证 明 ： 当 两 切 线 的 之 一 的 斜 率 不 存 在 时 ， 根 据 对 称 性 ， 设 点 P 在 第 一 象 限 ，则 此 时 P 点 横 坐 标 为 2 ， 代 入 圆 的 方 程 得 P 点 的 纵 坐 标 为 3 ，此 时 两 条 切 线 方 程 分 别
36、为 x 2 ， y 3 ， 此 时 APB 2 ，若 APB的 大 小 为 定 值 ， 则 这 个 定 值 只 能 是 2 当 两 条 切 线 的 斜 率 都 存 在 时 ， 即 x 2 时 ， 设 P(x0， y0)， 切 线 的 斜 率 为 k， 则 切 线 方 程 为 y-y0=k(x-x0)，与 椭 圆 方 程 联 立 消 元 得 (3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6 0由 于 直 线 y-y0=k(x-x0)是 椭 圆 的 切 线 ，故 4k(y0-kx0)2-4(3+2k2)2(kx0-y0)2-6 0，整 理 得 (2-x20)k2+2x0y0k-
37、(y20 -3) 0切 线 PA， PB的 斜 率 k1， k2是 上 述 方 程 的 两 个 实 根 ， 故 k1k2 20 2032y x ，点 P 在 圆 x 2+y2=5上 ， 故 y20 -3 2-x20 ， 所 以 k1k2=-1， 所 以 APB 2 .综 上 可 知 ： APB的 大 小 为 定 值 2 ， 得 证21. 已 知 函 数 f(x)的 导 函 数 f (x)=x2+2ax+b(ab 0)， 且 f(0)=0.设 曲 线 y=f(x)在 原 点 处的 切 线 l1的 斜 率 为 k1， 过 原 点 的 另 一 条 切 线 l2的 斜 率 为 k2.(1)若 k 1：
38、 k2=4： 5， 求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ；(2)若 k2=tk1时 ， 函 数 f(x)无 极 值 ， 且 存 在 实 数 t 使 f(b) f(1-2t)成 立 ， 求 实 数 a 的 取 值范 围 .解 析 ： (1)利 用 函 数 的 导 数 ， 求 出 k1=f(0)=b， 设 l2与 曲 线 y=f(x)的 切 点 为 (x0， y0)(x0 0)，利 用 斜 率 相 等 推 出 b=-3a2， 化 简 f(x)=x2+2ax-3a2=(x+3a)(x-a)， 通 过 当 a 0时 ， 当 a 0 时 ， 分 别 求 解 单 调 区 间 .(2)由 (1)若 k
39、2=tk1， 利 用 f(x)无 极 值 ， 22 34 1aa t 0， 求 出 t 的 范 围 ， 利 用 f(b)f(1-2t)， 推 出 3a2 4(1-t)(1-2t)， 然 后 求 解 a的 范 围 .答 案 ： (1)由 已 知 f(x) 13 x3+ax2+bx， k1=f(0)=b， 设 l2与 曲 线 y=f(x)的 切 点 为 (x0， y0)(x0 0)则 x 20+2ax0+b 00yx 13 x20 +ax0+b所 以 23 x20+ax0 0， 即 x0 - 32 a，则 k2 f (- 32 a) 94 a2-3a2+b - 34 a2+b.又 4k2=5k1，
40、 所 以 -3a2+4b=5b， 即 b=-3a2因 此 f(x)=x2+2ax-3a2=(x+3a)(x-a) 当 a 0 时 ， f(x)的 增 区 间 为 (- ， -3a)和 (a， + )， 减 区 间 为 (-3a， a). 当 a 0 时 ， f(x)的 增 区 间 为 (- ， a)和 (-3a， + )， 减 区 间 为 (a， -3a).(2)由 (1)若 k 2=tk1， 则 - 34 a2+b tb， ab 0， t 1，于 是 b 234 1a t ， 所 以 f (x) x2+2ax+ 234 1a t ，由 f(x)无 极 值 可 知 ， 22 34 1aa t
41、0， 即 21 41 t at 0， 所 以 1 41 tt 0， 14 t 1由 f(b) f(1-2t)知 ， b 1-2t， 即 234 1a t 1-2t，就 是 3a2 4(1-t)(1-2t)，而 14 t 1， 故 4(1-t)(1-2t)max 32 ， 所 以 3a2 32 ，又 a 0， 因 此 a (- 22 ， 0) (0， 22 ).请 考 生 在 第 22、 23、 24 三 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .答 题 时 用 2B 铅 笔 在 答 题 卡 上 把 所 选 题 目 的 题 号 涂 黑 .【
42、 选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲 】22. 如 图 ， O 的 半 径 为 6， 线 段 AB 与 相 交 于 点 C、 D， AC=4， BOD= A， OB 与 O相 交于 点 .(1)求 BD 长 ；(2)当 CE OD 时 ， 求 证 ： AO=AD.解 析 ： (1)证 明 OBD AOC， 通 过 比 例 关 系 求 出 BD即 可 . (2)通 过 三 角 形 的 两 角 和 ， 求 解 角 即 可 .答 案 ： (1) OC=OD， OCD= ODC， OAC= ODB. BOD= A， OBD AOC. BDOC ODAC ， OC=OD=6， AC=4， 6BD
43、64 ， BD=9.(2)证 明 ： OC=OE， CE OD. COD= BOD= A. AOD=180 - A- ODC=180 - COD- OCD= ADO. AD=AO.【 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 】23. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy中 ， 以 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 = 4 ， 曲 线 C的 参 数 方 程 为 2x cosy sin .(1)写 出 直 线 l 与 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 ；(2)过 点 M 平 行 于 直 线
44、l1的 直 线 与 曲 线 C 交 于 A、 B两 点 ， 若 |MA| |MB|= 83 ， 求 点 M 轨 迹 的 直 角 坐 标 方 程 .解 析 ： (1)利 用 极 坐 标 与 直 角 坐 标 方 程 的 互 化 ， 直 接 写 出 直 线 l 的 普 通 方 程 ， 消 去 参 数 可 得曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 ；(2)设 点 M(x0， y0)以 及 平 行 于 直 线 l1的 直 线 参 数 方 程 ， 直 线 l1与 曲 线 C 联 立 方 程 组 ， 通 过|MA| |MB|= 83 ， 即 可 求 点 M 轨 迹 的 直 角 坐 标 方 程 .通 过 两 个
45、 交 点 推 出 轨 迹 方 程 的 范 围 .答 案 ： (1)直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 = 4 ， 所 以 直 线 斜 率 为 1， 直 线 l： y=x；曲 线 C的 参 数 方 程 为 x 2x cosy sin .消 去 参 数 ，可 得 曲 线 C： 2 2 12x y (2)设 点 M(x0， y0)及 过 点 M 的 直 线 为 l1： 00 2222x xy ty t 由 直 线 l1与 曲 线 C 相 交 可 得 ： 2 20 02 0 02 2 22 2 23 tx ty xt y 0|MA| |MB| 83 | 2 20 02 232x y | 83 ，
46、即 ： x 02+2y02 6，x2+2y2=6表 示 一 椭 圆取 y=x+m 代 入 2 2 12x y 得 ： 3x2+4mx+2m2-2=0由 0 得 - 3 m 3故 点 M的 轨 迹 是 椭 圆 x 2+2y2=6夹 在 平 行 直 线 y x 3 之 间 的 两 段 弧 .【 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 】24. 已 知 函 数 f(x)=|2x-a|+|2x+3|， g(x)=|x-1|+2.(1)解 不 等 式 |g(x)| 5；(2)若 对 任 意 x1 R， 都 有 x2 R， 使 得 f(x1)=g(x2)成 立 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 .解 析
47、 ： (1)利 用 |x-1|+2| 5， 转 化 为 -7 |x-1| 3， 然 后 求 解 不 等 式 即 可 .(2)利 用 条 件 说 明 y|y=f(x)y|y=g(x)， 通 过 函 数 的 最 值 ， 列 出 不 等 式 求 解 即 可 .答 案 ： (1)由 |x-1|+2| 5， 得 -5 |x-1|+2 5 -7 |x-1| 3，得 不 等 式 的 解 为 -2 x 4 (2)因 为 任 意 x1 R， 都 有 x2 R， 使 得 f(x1)=g(x2)成 立 ，所 以 y|y=f(x)y|y=g(x)，又 f(x)=|2x-a|+|2x+3| |(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|，g(x)=|x-1|+2 2， 所 以 |a+3| 2， 解 得 a -1 或 a -5，所 以 实 数 a的 取 值 范 围 为 a -1 或 a -5.
