1、2016年 黑 龙 江 省 大 庆 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30 分 )1. 地 球 上 的 海 洋 面 积 为 361 000 000 平 方 千 米 ， 数 字 361 000 000 用 科 学 记 数 法 表 示 为( )A.36.1 107B.0.361 109C.3.61 10 8D.3.61 107解 析 ： 361 000 000用 科 学 记 数 法 表 示 为 3.61 108.答 案 ： C.2. 已 知 实 数 a、 b 在 数 轴 上 对 应 的 点 如 图 所 示 ， 则 下 列 式
2、 子 正 确 的 是 ( )A.a b 0B.a+b 0C.|a| |b|D.a-b 0 解 析 ： 根 据 点 a、 b 在 数 轴 上 的 位 置 可 知 1 a 2， -1 b 0， ab 0， a+b 0， |a| |b|， a-b 0.答 案 ： D.3. 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 是 菱 形B.矩 形 的 对 角 线 互 相 垂 直C.一 组 对 边 平 行 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形D.四 边 相 等 的 四 边 形 是 菱 形解 析 ： A、 对 角 线 互 相 垂 直 且 平 分 的 四 边 形 是 菱
3、形 ； 故 本 选 项 错 误 ；B、 矩 形 的 对 角 线 相 等 ， 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 ； 故 本 选 项 错 误 ；C、 两 组 组 对 边 分 别 平 行 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ； 故 本 选 项 错 误 ；D、 四 边 相 等 的 四 边 形 是 菱 形 ； 故 本 选 项 正 确 . 答 案 ： D.4. 当 0 x 1 时 ， x2、 x、 1x 的 大 小 顺 序 是 ( )A.x2 x 1xB. 1x x x 2C. 1x x2 x D.x x2 1x解 析 ： 当 0 x 1 时 ，在 不 等 式 0 x 1 的 两 边 都 乘 上
4、 x， 可 得 0 x2 x，在 不 等 式 0 x 1 的 两 边 都 除 以 x， 可 得 0 1 1x ，又 x 1， x 2、 x、 1x 的 大 小 顺 序 是 ： x2 x 1x .答 案 ： A.5. 一 个 盒 子 装 有 除 颜 色 外 其 它 均 相 同 的 2 个 红 球 和 3 个 白 球 ， 现 从 中 任 取 2 个 球 ， 则 取 到的 是 一 个 红 球 、 一 个 白 球 的 概 率 为 ( )A. 25B. 23C. 35 D. 310解 析 ： 画 树 状 图 得 ： 共 有 20 种 等 可 能 的 结 果 ， 取 到 的 是 一 个 红 球 、 一 个
5、 白 球 的 有 12种 情 况 ， 取 到 的 是 一 个 红 球 、 一 个 白 球 的 概 率 为 ： 12 320 5 .答 案 ： C. 6. 由 若 干 边 长 相 等 的 小 正 方 体 构 成 的 几 何 体 的 主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 如 图 所 示 ， 则 构 成这 个 几 何 体 的 小 正 方 体 有 ( )个 .A.5B.6C.7D.8 解 析 ： 综 合 三 视 图 可 知 ， 这 个 几 何 体 的 底 层 应 该 有 2+1+1+1=5个 小 正 方 体 ，第 二 层 应 该 有 2个 小 正 方 体 ，因 此 搭 成 这 个 几 何 体 所
6、 用 小 正 方 体 的 个 数 是 5+2=7 个 .答 案 ： C.7. 下 列 图 形 中 是 中 心 对 称 图 形 的 有 ( )个 .A.1 B.2C.3D.4解 析 ： 第 2个 、 第 4个 图 形 是 中 心 对 称 图 形 ， 共 2 个 .答 案 ： B.8. 如 图 ， 从 1= 2 C= D A= F 三 个 条 件 中 选 出 两 个 作 为 已 知 条 件 ， 另 一 个作 为 结 论 所 组 成 的 命 题 中 ， 正 确 命 题 的 个 数 为 ( ) A.0B.1C.2D.3解 析 ： 如 图 所 示 ：当 1= 2， 则 3= 2，故 DB EC，则 D=
7、 4， 当 C= D，故 4= C，则 DF AC，可 得 ： A= F，即 ；当 1= 2，则 3= 2，故 DB EC，则 D= 4，当 A= F，故 DF AC， 则 4= C，故 可 得 ： C= D，即 ；当 A= F，故 DF AC，则 4= C，当 C= D，则 4= D，故 DB EC，则 2= 3，可 得 ： 1= 2， 即 ，故 正 确 的 有 3 个 .答 案 ： D.9. 已 知 A(x1， y1)、 B(x2， y2)、 C(x3， y3)是 反 比 例 函 数 y= 2x 上 的 三 点 ， 若 x1 x2 x3， y2y 1 y3， 则 下 列 关 系 式 不 正
8、 确 的 是 ( )A.x1 x2 0B.x1 x3 0C.x2 x3 0D.x1+x2 0解 析 ： 反 比 例 函 数 y= 2x 中 ， 2 0， 在 每 一 象 限 内 ， y随 x的 增 大 而 减 小 ， x 1 x2 x3， y2 y1 y3， 点 A， B 在 第 三 象 限 ， 点 C 在 第 一 象 限 ， x1 x2 0 x3， x1 x2 0.答 案 ： A.10. 若 x0是 方 程 ax2+2x+c=0(a 0)的 一 个 根 ， 设 M=1-ac， N=(ax0+1)2， 则 M与 N的 大 小 关 系正 确 的 为 ( )A.M NB.M=NC.M ND.不 确
9、 定解 析 ： x 0是 方 程 ax2+2x+c=0(a 0)的 一 个 根 ， ax02+2x0+c=0， 即 ax02+2x0=-c，则 N-M=(ax0+1)2-(1-ac)=a2x02+2ax0+1-1+ac=a(ax02+2x0)+ac=-ac+ac=0， M=N.答 案 ： B.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24分 )11. 函 数 y= 2 1x 的 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 _. 解 析 ： 由 题 意 得 ， 2x-1 0，解 得 x 12 .答 案 ： x 12 .12. 若 am=2， an=8， 则 a
10、m+n=_.解 析 ： a m=2， an=8， am+n=am an=16.答 案 ： 16.13. 甲 乙 两 人 进 行 飞 镖 比 赛 ， 每 人 各 投 5次 ， 所 得 平 均 环 数 相 等 ， 其 中 甲 所 得 环 数 的 方 差 为15， 乙 所 得 环 数 如 下 ： 0， 1， 5， 9， 10， 那 么 成 绩 较 稳 定 的 是 _(填 “ 甲 ” 或 “ 乙 ” ).解 析 ： 计 算 出 乙 的 平 均 数 和 方 差 后 ， 与 甲 的 方 差 比 较 后 ， 可 以 得 出 判 断 .答 案 ： 甲 .14. 如 图 ， 在 ABC 中 ， A=40 ， D
11、点 是 ABC和 ACB角 平 分 线 的 交 点 ， 则 BDC=_. 解 析 ： D点 是 ABC和 ACB角 平 分 线 的 交 点 ， 有 CBD= ABD= 12 ABC， BCD= ACD= 12 ACB， ABC+ ACB=180-40=140， OBC+ OCB=70， BOC=180-70=110 .答 案 ： 110 .15. 如 图 ， 是 一 个 三 角 形 ， 分 别 连 接 这 个 三 角 形 三 边 中 点 得 到 图 ， 再 连 接 图 中 间 小 三角 形 三 边 的 中 点 得 到 图 ， 按 这 样 的 方 法 进 行 下 去 ， 第 n 个 图 形 中
12、共 有 三 角 形 的 个 数 为_. 解 析 ： 第 是 1个 三 角 形 ， 1=4 1-3；第 是 5 个 三 角 形 ， 5=4 2-3；第 是 9 个 三 角 形 ， 9=4 3-3； 第 n个 图 形 中 共 有 三 角 形 的 个 数 是 4n-3.答 案 ： 4n-3.16. 一 艘 轮 船 在 小 岛 A的 北 偏 东 60 方 向 距 小 岛 80 海 里 的 B 处 ， 沿 正 西 方 向 航 行 3小 时 后到 达 小 岛 的 北 偏 西 45 的 C 处 ， 则 该 船 行 驶 的 速 度 为 _海 里 /小 时 .解 析 ： 如 图 所 示 ： 设 该 船 行 驶
13、的 速 度 为 x 海 里 /时 ，3小 时 后 到 达 小 岛 的 北 偏 西 45 的 C 处 ，由 题 意 得 ： AB=80 海 里 ， BC=3x 海 里 ， 在 直 角 三 角 形 ABQ中 ， BAQ=60 ， B=90 -60 =30 ， AQ= 12 AB=40， BQ= 3 AQ=40 3 ，在 直 角 三 角 形 AQC中 ， CAQ=45 ， CQ=AQ=40， BC=40+40 3 =3x，解 得 ： x= 40 4 33 . 即 该 船 行 驶 的 速 度 为 40 4 33 海 里 /时 .答 案 ： 40 4 33 .17. 如 图 ， 在 矩 形 ABCD中
14、， AB=5， BC=10 3 ， 一 圆 弧 过 点 B和 点 C， 且 与 AD相 切 ， 则 图 中阴 影 部 分 面 积 为 _. 解 析 ： 设 圆 弧 的 圆 心 为 O， 与 AD 切 于 E，连 接 OE交 BC 于 F， 连 接 OB、 OC，设 圆 的 半 径 为 x， 则 OF=x-5，由 勾 股 定 理 得 ， OB 2=OF2+BF2，即 x2=(x-5)2+(5 3 )2，解 得 ， x=5，则 BOF=60 ， BOC=120 ，则 阴 影 部 分 面 积 为 ： 矩 形 ABCD的 面 积 -(扇 形 BOCE的 面 积 - BOC的 面 积 )= 2120 1
15、010 5 10 536 13 320 =75 3 1003 .答 案 ： 75 3 1003 .18. 直 线 y=kx+b 与 抛 物 线 y= 14 x2交 于 A(x1， y1)、 B(x2， y2)两 点 ， 当 OA OB 时 ， 直 线 AB恒 过 一 个 定 点 ， 该 定 点 坐 标 为 _.解 析 ： 直 线 y=kx+b与 抛 物 线 y= 14 x 2交 于 A(x1， y1)、 B(x2， y2)两 点 ， kx+b= 14 x2，化 简 ， 得 x2-4kx-4b=0， x1+x2=4k， x1x2=-4b，又 OA OB， 2 21 21 2 1 2 1 21 2
16、 1 2 1 20 0 4 10 0 16 11 14 4 6x xy y y y x x bx x x x x x ，解 得 ， b=4，即 直 线 y=kx+4， 故 直 线 恒 过 顶 点 (0， 4). 答 案 ： (0， 4).三 、 解 答 题 (本 大 题 共 10小 题 ， 共 66 分 )19. 计 算 ( 2 +1)2- 0-|1- 2 |解 析 ： 直 接 利 用 完 全 平 方 公 式 以 及 零 指 数 幂 的 性 质 、 绝 对 值 的 性 质 分 别 化 简 求 出 答 案 .答 案 ： 原 式 =2+2 2 +1-1-( 2 -1)=2+2 2 - 2 +1=3
17、+ 2 . 20. 已 知 a+b=3， ab=2， 求 代 数 式 a3b+2a2b2+ab3的 值 .解 析 ： 先 提 取 公 因 式 ab， 再 根 据 完 全 平 方 公 式 进 行 二 次 分 解 ， 然 后 代 入 数 据 进 行 计 算 即 可得 解 .答 案 ： a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2，将 a+b=3， ab=2代 入 得 ， ab(a+b)2=2 32=18.故 代 数 式 a 3b+2a2b2+ab3的 值 是 18. 21. 关 于 x的 两 个 不 等 式 3 2x a 1与 1-3x 0(1)若 两 个 不 等 式
18、的 解 集 相 同 ， 求 a 的 值 ；(2)若 不 等 式 的 解 都 是 的 解 ， 求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)求 出 第 二 个 不 等 式 的 解 集 ， 表 示 出 第 一 个 不 等 式 的 解 集 ， 由 解 集 相 同 求 出 a 的 值即 可 ；(2)根 据 不 等 式 的 解 都 是 的 解 ， 求 出 a 的 范 围 即 可 .答 案 ： (1)由 得 ： x 2 3a ，由 得 ： x 13 ，由 两 个 不 等 式 的 解 集 相 同 ， 得 到 2 13 3a ， 解 得 ： a=1；(2)由 不 等 式 的 解 都 是 的 解 ， 得 到
19、2 3a 13 ，解 得 ： a 1.22. 某 车 间 计 划 加 工 360个 零 件 ， 由 于 技 术 上 的 改 进 ， 提 高 了 工 作 效 率 ， 每 天 比 原 计 划 多 加工 20%， 结 果 提 前 10天 完 成 任 务 ， 求 原 计 划 每 天 能 加 工 多 少 个 零 件 ？解 析 ： 关 键 描 述 语 为 ： “ 提 前 10天 完 成 任 务 ” ； 等 量 关 系 为 ： 原 计 划 天 数 =实 际 生 产 天 数 +10.答 案 ： 设 原 计 划 每 天 能 加 工 x个 零 件 ，可 得 ： 360 360 101.2x x ，解 得 ： x=
20、6，经 检 验 x=6是 原 方 程 的 解 ， 答 ： 原 计 划 每 天 能 加 工 6个 零 件 .23. 为 了 了 解 某 学 校 初 四 年 纪 学 生 每 周 平 均 课 外 阅 读 时 间 的 情 况 ， 随 机 抽 查 了 该 学 校 初 四 年级 m 名 同 学 ， 对 其 每 周 平 均 课 外 阅 读 时 间 进 行 统 计 ， 绘 制 了 如 下 条 形 统 计 图 (图 一 )和 扇 形 统计 图 (图 二 )： (1)根 据 以 上 信 息 回 答 下 列 问 题 ： 求 m值 . 求 扇 形 统 计 图 中 阅 读 时 间 为 5 小 时 的 扇 形 圆 心 角
21、 的 度 数 . 补 全 条 形 统 计 图 . (2)直 接 写 出 这 组 数 据 的 众 数 、 中 位 数 ， 求 出 这 组 数 据 的 平 均 数 .解 析 ： (1) 根 据 2 小 时 所 占 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 确 定 其 所 占 的 百 分 比 ， 然 后 根 据 条 形 统 计图 中 2小 时 的 人 数 求 得 m的 值 ； 求 得 总 人 数 后 减 去 其 他 小 组 的 人 数 即 可 求 得 第 三 小 组 的 人 数 ；(2)利 用 众 数 、 中 位 数 的 定 义 及 平 均 数 的 计 算 公 式 确 定 即 可 .答 案 ： (1) 课
22、 外 阅 读 时 间 为 2 小 时 的 所 在 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 为 90 ， 其 所 占 的 百 分 比 为 90 1360 4 ， 课 外 阅 读 时 间 为 2小 时 的 有 15 人 ， m=15 14 =60； 第 三 小 组 的 频 数 为 ： 60-10-15-10-5=20，补 全 条 形 统 计 图 为 ： (2) 课 外 阅 读 时 间 为 3 小 时 的 20人 ， 最 多 ， 众 数 为 3小 时 ； 共 60 人 ， 中 位 数 应 该 是 第 30和 第 31人 的 平 均 数 ， 且 第 30 和 第 31人 阅 读 时 间 均 为 3 小时
23、， 中 位 数 为 3 小 时 ；平 均 数 为 ： 10 1 15 2 20 3 10 4 5 560 2.92小 时 .24. 如 图 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， G 是 BD 上 一 点 ， 连 接 CG 并 延 长 交 BA 的 延 长 线 于 点 F， 交 AD于 点 E. (1)求 证 ： AG=CG.(2)求 证 ： AG2=GE GF.解 析 ： (1)根 据 菱 形 的 性 质 得 到 AB CD， AD=CD， ADB= CDB， 推 出 ADG CDG， 根 据 全等 三 角 形 的 性 质 即 可 得 到 结 论 ；(2)由 全 等 三 角 形 的 性 质 得 到
24、 EAG= DCG， 等 量 代 换 得 到 EAG= F， 求 得 AEG FGA， 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1) 四 边 形 ABCD是 菱 形 ， AB CD， AD=CD， ADB= CDB， F FCD，在 ADG与 CDG中 ， AD CDADG CDGDG DG ， ADG CDG， EAG= DCG， AG=CG；(2) ADG CDG， EAG= F， AGE= AGE， AEG FGA， AG EGFG AG ， AG2=GE GF.25. 如 图 ， P 1、 P2是 反 比 例 函 数 y=kx (k 0)在 第 一 象 限 图 象 上 的 两 点 ，
25、点 A1的 坐 标 为 (4，0).若 P1OA1与 P2A1A2均 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 其 中 点 P1、 P2为 直 角 顶 点 .(1)求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 .(2) 求 P 2的 坐 标 . 根 据 图 象 直 接 写 出 在 第 一 象 限 内 当 x 满 足 什 么 条 件 时 ， 经 过 点 P1、 P2的 一 次 函 数 的 函 数 值大 于 反 比 例 函 数 y=kx 的 函 数 值 .解 析 ： (1)先 根 据 点 A1的 坐 标 为 (4， 0)， P1OA1为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 求 得 P1的 坐 标 ， 再 代 入反
26、 比 例 函 数 求 解 ；(2)先 根 据 P2A1A2为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 将 P2的 坐 标 设 为 (4+a， a)， 并 代 入 反 比 例 函 数 求 得 a的 值 ， 得 到 P 2的 坐 标 ； 再 根 据 P1的 横 坐 标 和 P2的 横 坐 标 ， 判 断 x的 取 值 范 围 .答 案 ： (1)过 点 P1作 P1B x 轴 ， 垂 足 为 B 点 A1的 坐 标 为 (4， 0)， P1OA1为 等 腰 直 角 三 角 形 OB=2， P1B= 12 OA1=2 P1的 坐 标 为 (2， 2)将 P 1的 坐 标 代 入 反 比 例 函 数 y=kx
27、 (k 0)， 得 k=2 2=4 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y= 4x(2) 过 点 P2作 P2C x 轴 ， 垂 足 为 C P2A1A2为 等 腰 直 角 三 角 形 P2C=A1C设 P2C=A1C=a， 则 P2的 坐 标 为 (4+a， a)将 P2的 坐 标 代 入 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y= 4x ， 得a= 44 a ， 解 得 a 1=2 2 -2， a2=-2 2 -2(舍 去 ) P2的 坐 标 为 (2+2 2 ， 2 2 -2) 在 第 一 象 限 内 ， 当 2 x 2+2 2 时 ， 一 次 函 数 的 函 数 值 大 于 反
28、比 例 函 数 的 值 . 26. 由 于 持 续 高 温 和 连 日 无 雨 ， 某 水 库 的 蓄 水 量 随 时 间 的 增 加 而 减 少 ， 已 知 原 有 蓄 水 量 y1(万m3)与 干 旱 持 续 时 间 x(天 )的 关 系 如 图 中 线 段 l1所 示 ， 针 对 这 种 干 旱 情 况 ， 从 第 20天 开 始 向水 库 注 水 ， 注 水 量 y2(万 m3)与 时 间 x(天 )的 关 系 如 图 中 线 段 l2所 示 (不 考 虑 其 它 因 素 ).(1)求 原 有 蓄 水 量 y 1(万 m3)与 时 间 x(天 )的 函 数 关 系 式 ， 并 求 当
29、x=20时 的 水 库 总 蓄 水 量 .(2)求 当 0 x 60时 ， 水 库 的 总 蓄 水 量 y(万 m3)与 时 间 x(天 )的 函 数 关 系 式 (注 明 x的 范 围 )，若 总 蓄 水 量 不 多 于 900万 m3为 严 重 干 旱 ， 直 接 写 出 发 生 严 重 干 旱 时 x 的 范 围 .解 析 ： (1)根 据 两 点 的 坐 标 求 y1(万 m3)与 时 间 x(天 )的 函 数 关 系 式 ， 并 把 x=20代 入 计 算 ；(2)分 两 种 情 况 ： 当 0 x 20时 ， y=y1， 当 20 x 60 时 ， y=y1+y2； 并 计 算 分
30、 段 函 数 中y 900时 对 应 的 x 的 取 值 .答 案 ： (1)设 y1=kx+b，把 (0， 1200)和 (60， 0)代 入 到 y 1=kx+b得 ：120060 0b k b 解 得 201200kb ， y1=-20 x+1200 当 x=20时 ， y1=-20 20+1200=800，(2)设 y2=kx+b，把 (20， 0)和 (60， 1000)代 入 到 y2=kx+b中 得 ：20 060 1000k bk b 解 得 25500kb ， y2=25x-500，当 0 x 20时 ， y=-20 x+1200，当 20 x 60 时 ， y=y 1+y2
31、=-20 x+1200+25x-500=5x+700，y 900， 则 5x+700 900，x 40，当 y1=900时 ， 900=-20 x+1200，x=15， 发 生 严 重 干 旱 时 x的 范 围 为 ： 15 x 40.27. 如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， C=90 ， 以 BC为 直 径 的 O 交 斜 边 AB于 点 M， 若 H 是 AC的 中点 ， 连 接 MH. (1)求 证 ： MH为 O 的 切 线 .(2)若 MH= 32 ， tan ABC= 34 ， 求 O 的 半 径 .(3)在 (2)的 条 件 下 分 别 过 点 A、 B 作 O的 切 线 ，
32、 两 切 线 交 于 点 D， AD与 O 相 切 于 N点 ， 过N点 作 NQ BC， 垂 足 为 E， 且 交 O 于 Q 点 ， 求 线 段 NQ 的 长 度 .解 析 ： (1)连 接 OH、 OM， 易 证 OH 是 ABC的 中 位 线 ， 利 用 中 位 线 的 性 质 可 证 明 COH MOH，所 以 HCO= HMO=90 ， 从 而 可 知 MH 是 O的 切 线 ；(2)由 切 线 长 定 理 可 知 ： MH=HC， 再 由 点 M是 AC的 中 点 可 知 AC=3， 由 tan ABC= 34 ， 所 以 BC=4，从 而 可 知 O 的 半 径 为 2；(3)
33、连 接 CN， AO， CN与 AO 相 交 于 I， 由 AC、 AN是 O 的 切 线 可 知 AO CN， 利 用 等 面 积 可 求出 可 求 得 CI 的 长 度 ， 设 CE 为 x， 然 后 利 用 勾 股 定 理 可 求 得 CE 的 长 度 ， 利 用 垂 径 定 理 即 可求 得 NQ. 答 案 ： (1)连 接 OH、 OM， H 是 AC 的 中 点 ， O是 BC的 中 点 ， OH 是 ABC的 中 位 线 ， OH AB， COH= ABC， MOH= OMB，又 OB=OM， OMB= MBO， COH= MOH，在 COH与 MOH中 ，OC OMCOH MO
34、HOH OH ， COH MOH(SAS)， HCO= HMO=90 ， MH 是 O的 切 线 ；(2) MH、 AC是 O 的 切 线 ， HC=MH= 32 ， AC=2HC=3， tan ABC= 34 ， 34ACBC ， BC=4， O的 半 径 为 2；(3)连 接 OA、 CN、 ON， OA与 CN相 交 于 点 I， AC 与 AN都 是 O 的 切 线 ， AC=AN， AO平 分 CAD， AO CN， AC=3， OC=2， 由 勾 股 定 理 可 求 得 ： AO= 13 ， 12 AC OC= 12 AO CI， CI= 6 1313 ， 由 垂 径 定 理 可
35、求 得 ： CN=12 1313 ，设 OE=x，由 勾 股 定 理 可 得 ： CN2-CE2=ON2-OE2， 14413 -(2+x)2=4-x2， x=1013 ， CE=1013 ，由 勾 股 定 理 可 求 得 ： EN= 2413 ， 由 垂 径 定 理 可 知 ： NQ=2EN= 4813 .28. 若 两 条 抛 物 线 的 顶 点 相 同 ， 则 称 它 们 为 “ 友 好 抛 物 线 ” ， 抛 物 线 C1： y1=-2x2+4x+2 与 C2：u2=-x2+mx+n为 “ 友 好 抛 物 线 ” . (1)求 抛 物 线 C2的 解 析 式 .(2)点 A 是 抛 物
36、 线 C2上 在 第 一 象 限 的 动 点 ， 过 A作 AQ x轴 ， Q为 垂 足 ， 求 AQ+OQ 的 最 大 值 .(3)设 抛 物 线 C2的 顶 点 为 C， 点 B的 坐 标 为 (-1， 4)， 问 在 C2的 对 称 轴 上 是 否 存 在 点 M， 使 线段 MB 绕 点 M逆 时 针 旋 转 90 得 到 线 段 MB ， 且 点 B 恰 好 落 在 抛 物 线 C2上 ？ 若 存 在 求 出 点M的 坐 标 ， 不 存 在 说 明 理 由 .解 析 ： (1)先 求 得 y1顶 点 坐 标 ， 然 后 依 据 两 个 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 相 同 可 求
37、得 m、 n 的 值 ；(2)设 A(a， -a2+2a+3).则 OQ=x， AQ=-a2+2a+3， 然 后 得 到 OQ+AQ 与 a 的 函 数 关 系 式 ， 最 后 依 据 配 方 法 可 求 得 OQ+AQ 的 最 值 ；(3)连 接 BC， 过 点 B 作 B D CM， 垂 足 为 D.接 下 来 证 明 BCM MDB ， 由 全 等 三 角 形 的性 质 得 到 BC=MD， CM=B D， 设 点 M 的 坐 标 为 (1， a).则 用 含 a的 式 子 可 表 示 出 点 B 的 坐 标 ，将 点 B 的 坐 标 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 可 求 得 a
38、的 值 ， 从 而 得 到 点 M的 坐 标 .答 案 ： (1) y1=-2x2+4x+2=-2(x-1)2+4， 抛 物 线 C1的 顶 点 坐 标 为 (1， 4). 抛 物 线 C1： 与 C2顶 点 相 同 ， 1 2m =1， -1+m+n=4.解 得 ： m=2， n=3. 抛 物 线 C 2的 解 析 式 为 u2=-x2+2x+3.(2)如 图 1 所 示 ：设 点 A的 坐 标 为 (a， -a 2+2a+3). AQ=-a2+2a+3， OQ=a， AQ+OQ=-a2+2a+3+a=-a2+3a+3=-(a- 32 )2+ 214 . 当 a= 32 时 ， AQ+OQ
39、有 最 大 值 ， 最 大 值 为 214 .(3)如 图 2 所 示 ； 连 接 BC， 过 点 B 作 B D CM， 垂 足 为 D. B(-1， 4)， C(1， 4)， 抛 物 线 的 对 称 轴 为 x=1， BC CM， BC=2. BMB =90 ， BMC+ B MD=90 . B D MC， MB D+ B MD=90 . MB D= BMC.在 BCM和 MDB 中 ， MB D BMCBCM MDBBM MB ， BCM MDB . BC=MD， CM=B D.设 点 M的 坐 标 为 (1， a).则 B D=CM=4-a， MD=CB=2. 点 B 的 坐 标 为 (a-3， a-2). -(a-3) 2+2(a-3)+3=a-2.整 理 得 ： a2-7a-10=0.解 得 a=2， 或 a=5.当 a=2时 ， M 的 坐 标 为 (1， 2)，当 a=5时 ， M 的 坐 标 为 (1， 5).综 上 所 述 当 点 M的 坐 标 为 (1， 2)或 (1， 5)时 ， B 恰 好 落 在 抛 物 线 C2上 .
