1、2016 年 江 苏 省 淮 安 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 有 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 2 4 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 恰 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ， 请 将 正 确 选 项 前 的 字 母 代 号 填 涂 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 )1 .下 列 四 个 数 中 最 大 的 数 是 ( )A.-2B.-1C.0D.1解 析 ： -2 -1 0 1 ， 最 大 的 数 是 1 .答 案 ： D. 2 .下 列 图 形 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A.B.C.D
2、. 解 析 ： A、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 正 确 ；D、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 .答 案 ： C.3 .月 球 的 直 径 约 为 3 4 7 6 0 0 0 米 ， 将 3 4 7 6 0 0 0 用 科 学 记 数 法 表 示 应 为 ( )A.0 .3 4 7 6 1 0 2B.3 4 .7 6 1 0 4C.3 .4 7 6 1 0 6D.3 .4 7 6 1 0 8解 析 ： 将 3
3、4 7 6 0 0 0 用 科 学 记 数 法 表 示 应 为 3 .4 7 6 1 0 6 .答 案 ： C.4 .在 “ 市 长 杯 ” 足 球 比 赛 中 ， 六 支 参 赛 球 队 进 球 数 如 下 (单 位 ： 个 )： 3 ， 5 ， 6 ， 2 ， 5 ， 1 ， 这组 数 据 的 众 数 是 ( )A.5 B.6C.4D.2解 析 ： 进 球 5 个 的 有 2 个 球 队 ， 这 组 数 据 的 众 数 是 5 .答 案 ： A.5 .下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.a2 a3 =a6B.(ab) 2 =a2 b2C.(a2 )3 =a5D.a2 +a2 =a4解
4、 析 ： A、 a2 a3 =a2 +3 =a5 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 (ab)2 =a2 b2 ， 故 本 选 项 正 确 ；C、 (a2 )3 =a2 3 =a6 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 a2 +a2 =2 a2 ， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： B.6 .估 计 7 +1 的 值 ( )A.在 1 和 2 之 间 B.在 2 和 3 之 间C.在 3 和 4 之 间D.在 4 和 5 之 间解 析 ： 2 7 3 ， 3 7 +1 4 ， 7 +1 在 在 3 和 4 之 间 .答 案 ： C.7 .已 知 a-b=2 ， 则 代 数 式 2 a-2 b
5、-3 的 值 是 ( )A.1 B.2C.5D.7解 析 ： a-b=2 ， 2 a-2 b-3=2 (a-b)-3=2 2 -3=1 .答 案 ： A. 8 .如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， C=9 0 ， 以 顶 点 A 为 圆 心 ， 适 当 长 为 半 径 画 弧 ， 分 别 交 AC， AB于 点 M， N， 再 分 别 以 点 M， N 为 圆 心 ， 大 于 12 MN 的 长 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 交 于 点 P， 作 射线 AP 交 边 BC 于 点 D， 若 CD=4 ， AB=1 5 ， 则 ABD 的 面 积 是 ( )A.1 5B.3 0C.4 5D.
6、6 0 解 析 ： 由 题 意 得 AP 是 BAC 的 平 分 线 ， 过 点 D 作 DE AB 于 E，又 C=9 0 ， DE=CD， ABD 的 面 积 = 12 AB DE= 12 1 5 4 =3 0 .答 案 ： B.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 有 1 0 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 3 0 分 ， 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 直 接 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 )9 .若 分 式 1 5x 在 实 数 范 围 内 有 意 义 ， 则 x 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 依 题 意 得 ： x-5 0 ，解 得 x
7、 5 .答 案 ： x 5 .1 0 .分 解 因 式 ： m2 -4 = .解 析 ： m2 -4 =(m+2 )(m-2 ).答 案 ： (m+2 )(m-2 ).1 1 .点 A(3 ， -2 )关 于 x 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是 .解 析 ： 点 A(3 ， -2 )关 于 x 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是 (3 ， 2 ). 答 案 ： (3 ， 2 ).1 2 .计 算 ： 3 a-(2 a-b)= .解 析 ： 3 a-(2 a-b)=3 a-2 a+b =a+b，答 案 ： a+b.1 3 .一 个 不 透 明 的 袋 子 中 装 有 3 个 黄 球 和 4
8、个 蓝 球 ， 这 些 球 除 颜 色 外 完 全 相 同 ， 从 袋 子 中 随机 摸 出 一 个 球 ， 摸 出 的 球 是 黄 球 的 概 率 是 .解 析 ： 一 个 不 透 明 的 袋 子 中 装 有 3 个 黄 球 和 4 个 蓝 球 ， 从 袋 子 中 随 机 摸 出 一 个 球 ， 摸 出 的 球 是 黄 球 的 概 率 是 ： 37 .答 案 ： 37 .1 4 .若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x 2 +6 x+k=0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 则 k= .解 析 ： 一 元 二 次 方 程 x2 +6 x+k=0 有 两 个 相 等 的 实 数
9、根 ， =6 2 -4 1 k=0 ，解 得 ： k=9 ，答 案 ： 9 .1 5 .若 点 A(-2 ， 3 )、 B(m， -6 )都 在 反 比 例 函 数 ky x (k 0 )的 图 象 上 ， 则 m 的 值 是 .解 析 ： 点 A(-2 ， 3 )在 反 比 例 函 数 ky x (k 0 )的 图 象 上 ， k=-2 3 =-6 . 点 B(m， -6 )在 反 比 例 函 数 ky x (k 0 )的 图 象 上 ， k=-6 =-6 m，解 得 ： m=1 .答 案 ： 1 .1 6 .已 知 一 个 等 腰 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 2 和 4 ， 则
10、 该 等 腰 三 角 形 的 周 长 是 .解 析 ： 因 为 2 +2 4 ，所 以 等 腰 三 角 形 的 腰 的 长 度 是 4 ， 底 边 长 2 ，周 长 ： 4 +4 +2 =1 0 ，答 ： 它 的 周 长 是 1 0 ，答 案 ： 1 01 7 .若 一 个 圆 锥 的 底 面 半 径 为 2 ， 母 线 长 为 6 ， 则 该 圆 锥 侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 是 .解 析 ： 圆 锥 侧 面 展 开 图 的 弧 长 是 ： 2 2 =4 (cm)， 设 圆 心 角 的 度 数 是 n 度 .则 6180n =4 ，解 得 ： n=1 2 0 .答 案 ： 1 2
11、0 .1 8 .如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， C=9 0 ， AC=6 ， BC=8 ， 点 F 在 边 AC 上 ， 并 且 CF=2 ， 点 E 为 边BC 上 的 动 点 ， 将 CEF 沿 直 线 EF 翻 折 ， 点 C 落 在 点 P 处 ， 则 点 P 到 边 AB 距 离 的 最 小 值 是 . 解 析 ： 如 图 ， 延 长 FP 交 AB 于 M， 当 FP AB 时 ， 点 P 到 AB 的 距 离 最 小 . A= A， AMF= C=9 0 ， AFM ABC， AF FMAB BC ， CF=2 ， AC=6 ， BC=8 ， AF=4 ， AB= 2 2A
12、C BC =1 0 ， 410 8FM ， FM=3 .2 ， PF=CF=2 ， PM=1 .2 点 P 到 边 AB 距 离 的 最 小 值 是 1 .2 .答 案 ： 1 .2 .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 有 1 0 小 题 ， 共 9 6 分 ， 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出 必要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 )1 9 .计 算 . (1 )计 算 ： 0 13 1 2 3 （ ）(2 )解 不 等 式 组 ： 2 1 54 3 2x xx x .解 析 ： (1 )本 题 涉 及 零 指 数 幂
13、 、 绝 对 值 、 负 整 数 指 数 幂 3 个 考 点 .在 计 算 时 ， 需 要 针 对 每 个 考点 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 ；(2 )根 据 不 等 式 的 性 质 求 出 不 等 式 的 解 集 ， 根 据 找 不 等 式 组 解 集 的 规 律 找 出 即 可 .答 案 ： (1 ) 0 13 1 2 3 （ ）=1 +2 - 13 = 22 3 ；(2 ) 2 1 54 3 2x xx x ，不 等 式 的 解 集 为 ： x 4 ，不 等 式 的 解 集 为 ： x 2 .故 不 等 式 组 的 解
14、集 为 ： 2 x 4 .2 0 .王 师 傅 检 修 一 条 长 6 0 0 米 的 自 来 水 管 道 ， 计 划 用 若 干 小 时 完 成 ， 在 实 际 检 修 过 程 中 ， 每小 时 检 修 管 道 长 度 是 原 计 划 的 1 .2 倍 ， 结 果 提 前 2 小 时 完 成 任 务 ， 王 师 傅 原 计 划 每 小 时 检 修管 道 多 少 米 ？解 析 ： 设 原 计 划 每 小 时 检 修 管 道 为 xm， 故 实 际 施 工 每 天 铺 设 管 道 为 1 .2 xm.等 量 关 系 为 ： 原 计 划 完 成 的 天 数 -实 际 完 成 的 天 数 =2 ，
15、根 据 这 个 关 系 列 出 方 程 求 解 即 可 .答 案 ： 设 原 计 划 每 小 时 检 修 管 道 x 米 .由 题 意 ， 得 600 600 21.2x x .解 得 x=5 0 .经 检 验 ， x=5 0 是 原 方 程 的 解 .且 符 合 题 意 .答 ： 原 计 划 每 小 时 检 修 管 道 5 0 米 .2 1 .已 知 ： 如 图 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， 点 E、 F 分 别 为 边 CD、 AD 的 中 点 ， 连 接 AE， CF， 求 证 ： ADE CDF. 解 析 ： 由 菱 形 的 性 质 得 出 AD=CD， 由 中 点 的 定 义 证
16、 出 DE=DF， 由 SAS 证 明 ADE CDF 即可 .答 案 ： 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， AD=CD， 点 E、 F 分 别 为 边 CD、 AD 的 中 点 ， AD=2 DF， CD=2 DE， DE=DF，在 ADE 和 CDF 中 ， AD CDADE CDFDE DF ， ADE CDF(SAS). 2 2 .如 图 ， 转 盘 A 的 三 个 扇 形 面 积 相 等 ， 分 别 标 有 数 字 1 ， 2 ， 3 ， 转 盘 B 的 四 个 扇 形 面 积 相等 ， 分 别 有 数 字 1 ， 2 ， 3 ， 4 .转 动 A、 B 转 盘 各 一 次 ，
17、当 转 盘 停 止 转 动 时 ， 将 指 针 所 落 扇 形中 的 两 个 数 字 相 乘 (当 指 针 落 在 四 个 扇 形 的 交 线 上 时 ， 重 新 转 动 转 盘 ). (1 )用 树 状 图 或 列 表 法 列 出 所 有 可 能 出 现 的 结 果 ；(2 )求 两 个 数 字 的 积 为 奇 数 的 概 率 .解 析 ： (1 )首 先 根 据 题 意 画 出 树 状 图 ， 然 后 由 树 状 图 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 ；(2 )由 两 个 数 字 的 积 为 奇 数 的 情 况 ， 再 利 用 概 率 公 式 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： (
18、1 )画 树 状 图 得 ：则 共 有 1 2 种 等 可 能 的 结 果 ； (2 ) 两 个 数 字 的 积 为 奇 数 的 4 种 情 况 ， 两 个 数 字 的 积 为 奇 数 的 概 率 为 ： 4 112 3 .2 3 .为 了 丰 富 同 学 们 的 课 余 生 活 ， 某 学 校 举 行 “ 亲 近 大 自 然 ” 户 外 活 动 ， 现 随 机 抽 取 了 部 分学 生 进 行 主 题 为 “ 你 最 想 去 的 景 点 是 ？ ” 的 问 卷 调 查 ， 要 求 学 生 只 能 从 “ A(植 物 园 )， B(花 卉园 )， C(湿 地 公 园 )， D(森 林 公 园
19、)” 四 个 景 点 中 选 择 一 项 ， 根 据 调 查 结 果 ， 绘 制 了 如 下 两 幅 不完 整 的 统 计 图 . 请 解 答 下 列 问 题 ：(1 )本 次 调 查 的 样 本 容 量 是 ；(2 )补 全 条 形 统 计 图 ；(3 )若 该 学 校 共 有 3 6 0 0 名 学 生 ， 试 估 计 该 校 最 想 去 湿 地 公 园 的 学 生 人 数 .解 析 ： (1 )由 A 的 人 数 及 其 人 数 占 被 调 查 人 数 的 百 分 比 可 得 ；(2 )根 据 各 项 目 人 数 之 和 等 于 总 数 可 得 C 选 项 的 人 数 ；(3 )用 样
20、本 中 最 想 去 湿 地 公 园 的 学 生 人 数 占 被 调 查 人 数 的 比 例 乘 总 人 数 即 可 .答 案 ： (1 )本 次 调 查 的 样 本 容 量 是 1 5 2 5 %=6 0 ；(2 )选 择 C 的 人 数 为 ： 6 0 -1 5 -1 0 -1 2 =2 3 (人 )， 补 全 条 形 图 如 图 ：(3 )2 3 6 0 3 6 0 0 =1 3 8 0 (人 ).答 ： 估 计 该 校 最 想 去 湿 地 公 园 的 学 生 人 数 约 由 1 3 8 0 人 .故 答 案 为 ： 6 0 .2 4 .小 宇 想 测 量 位 于 池 塘 两 端 的 A、
21、 B 两 点 的 距 离 .他 沿 着 与 直 线 AB 平 行 的 道 路 EF 行 走 ， 当 行 走 到 点 C 处 ， 测 得 ACF=4 5 ， 再 向 前 行 走 1 0 0 米 到 点 D 处 ， 测 得 BDF=6 0 .若 直 线 AB与 EF 之 间 的 距 离 为 6 0 米 ， 求 A、 B 两 点 的 距 离 .解 析 ： 根 据 题 意 作 出 合 适 的 辅 助 线 ， 画 出 相 应 的 图 形 ， 可 以 分 别 求 得 CM、 DN 的 长 ， 由 于AB=CN-CM， 从 而 可 以 求 得 AB 的 长 .答 案 ： 作 AM EF 于 点 M， 作 B
22、N EF 于 点 N， 如 右 图 所 示 ， 由 题 意 可 得 ， AM=BN=6 0 米 ， CD=1 0 0 米 ， ACF=4 5 ， BDF=6 0 ， 6045 1AMCM tan 6 0 米 ，60 20 360 3BNDN tan 米 ， AB=CD+DN-CM=1 0 0 +2 0 3 -6 0 =(4 0 +2 0 3 )米 ，即 A、 B 两 点 的 距 离 是 (4 0 +2 0 3 )米 .2 5 .如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， B=9 0 ， 点 O 在 边 AB 上 ， 以 点 O 为 圆 心 ， OA 为 半 径 的 圆 经 过点 C， 过 点 C 作
23、 直 线 MN， 使 BCM=2 A. (1 )判 断 直 线 MN 与 O 的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 ；(2 )若 OA=4 ， BCM=6 0 ， 求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 .解 析 ： (1 )MN 是 O 切 线 ， 只 要 证 明 OCM=9 0 即 可 .(2 )求 出 AOC 以 及 BC， 根 据 S 阴 =S 扇 形 OAC-S OAC计 算 即 可 .答 案 ： (1 )MN 是 O 切 线 .理 由 ： 连 接 OC. OA=OC， OAC= OCA， BOC= A+ OCA=2 A， BCM=2 A， BCM= BOC， B=9 0 ，
24、BOC+ BCO=9 0 ， BCM+ BCO=9 0 ， OC MN， MN 是 O 切 线 .(2 )由 (1 )可 知 BOC= BCM=6 0 ， AOC=1 2 0 ，在 RT BCO 中 ， OC=OA=4 ， BCO=3 0 ， BO= 12 OC=2 ， BC=2 3 S 阴 =S 扇 形 OAC-S OAC= 2120 4 1 164 2 3 4 3360 2 3 .2 6 .甲 、 乙 两 家 草 莓 采 摘 园 的 草 莓 品 质 相 同 ， 销 售 价 格 也 相 同 .“ 五 一 期 间 ” ， 两 家 均 推 出 了 优惠 方 案 ， 甲 采 摘 园 的 优 惠 方
25、 案 是 ： 游 客 进 园 需 购 买 6 0 元 的 门 票 ， 采 摘 的 草 莓 六 折 优 惠 ； 乙 采摘 园 的 优 惠 方 案 是 ： 游 客 进 园 不 需 购 买 门 票 ， 采 摘 园 的 草 莓 超 过 一 定 数 量 后 ， 超 过 部 分 打 折优 惠 .优 惠 期 间 ， 设 某 游 客 的 草 莓 采 摘 量 为 x(千 克 )， 在 甲 采 摘 园 所 需 总 费 用 为 y 1 (元 )， 在 乙 采摘 园 所 需 总 费 用 为 y2 (元 )， 图 中 折 线 OAB表 示 y2与 x之 间 的 函 数 关 系 . (1 )甲 、 乙 两 采 摘 园 优
26、 惠 前 的 草 莓 销 售 价 格 是 每 千 克 元 ；(2 )求 y1 、 y2 与 x 的 函 数 表 达 式 ；(3 )在 图 中 画 出 y1 与 x 的 函 数 图 象 ， 并 写 出 选 择 甲 采 摘 园 所 需 总 费 用 较 少 时 ， 草 莓 采 摘 量 x的 范 围 .解 析 ： (1 )根 据 单 价 = 总 价数 量 ， 即 可 解 决 问 题 . (2 )y1 函 数 表 达 式 =6 0 +单 价 数 量 ， y2 与 x 的 函 数 表 达 式 结 合 图 象 利 用 待 定 系 数 法 即 可 解 决 .(3 )画 出 函 数 图 象 后 y1 在 y2
27、下 面 即 可 解 决 问 题 .答 案 ： (1 )甲 、 乙 两 采 摘 园 优 惠 前 的 草 莓 销 售 价 格 是 每 千 克 30010 =3 0 元 .故 答 案 为 ： 3 0 .(2 )由 题 意 y1 =3 0 0 .6 x+6 0 =1 8 x+6 0 ，由 图 可 得 ， 当 0 x 1 0 时 ， y2 =3 0 x；当 x 1 0 时 ， 设 y 2 =kx+b，将 (1 0 ， 3 0 0 )和 (2 0 ， 4 5 0 )代 入 y2 =kx+b，解 得 y2 =1 5 x+1 5 0 ，所 以 2 30 0 1015 150 10( )( )x xy x x
28、，(3 )函 数 y1 的 图 象 如 图 所 示 ， 由 18 6030y xy x 解 得 5150 xy ， 所 以 点 F 坐 标 (5 ， 1 5 0 )，由 18 6015 150y xy x 解 得 30600 xy ， 所 以 点 E 坐 标 (3 0 ， 6 0 0 ). 由 图 象 可 知 甲 采 摘 园 所 需 总 费 用 较 少 时 5 x 3 0 .2 7 .如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 二 次 函 数 214y x bx c 的 图 象 与 坐 标 轴 交 于 A、 B、 C三 点 ， 其 中 点 A 的 坐 标 为 (0 ， 8 )， 点 B
29、 的 坐 标 为 (-4 ， 0 ).(1 )求 该 二 次 函 数 的 表 达 式 及 点 C 的 坐 标 ；(2 )点 D 的 坐 标 为 (0 ， 4 )， 点 F 为 该 二 次 函 数 在 第 一 象 限 内 图 象 上 的 动 点 ， 连 接 CD、 CF， 以CD、 CF 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 CDEF， 设 平 行 四 边 形 CDEF 的 面 积 为 S. 求 S 的 最 大 值 ； 在 点 F 的 运 动 过 程 中 ， 当 点 E 落 在 该 二 次 函 数 图 象 上 时 ， 请 直 接 写 出 此 时 S 的 值 . 解 析 ： (1 )把 A 点 和
30、B 点 坐 标 代 入 214y x bx c 得 到 关 于 b、 c 的 方 程 组 ， 然 后 解 方 程组 求 出 b、 c 即 可 得 到 抛 物 线 的 解 析 式 ； 然 后 计 算 函 数 值 为 0 时 对 应 的 自 变 量 的 值 即 可 得 到C 点 坐 标(2 ) 连 结 OF， 如 图 ， 设 F(t， 21 84t t )， 利 用 S 四 边 形 OCFD=S CDF+S OCD=S ODF+S OCF， 利 用三 角 形 面 积 公 式 得 到 S CDF=-t2 +6 t+1 6 ， 再 利 用 二 次 函 数 的 性 质 得 到 CDF 的 面 积 有 最
31、 大 值 ，然 后 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 可 得 S 的 最 大 值 ； 由 于 四 边 形 CDEF 为 平 行 四 边 形 ， 则 CD EF， CD=EF， 利 用 C 点 和 D 的 坐 标 特 征 可 判 断 点C 向 左 平 移 8 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 4 个 单 位 得 到 点 D， 则 点 F 向 左 平 移 8 个 单 位 ， 再 向 上 平移 4 个 单 位 得 到 点 E， 即 E(t-8 ， 21 124t t )， 然 后 把 E(t-8 ， 21 124t t )代 入 抛 物 线解 析 式 得 到 关 于 t 的 方 程 ， 再
32、解 方 程 求 出 t 后 计 算 CDF 的 面 积 ， 从 而 得 到 S 的 值 . 答 案 ： (1 )把 A(0 ， 8 )， B(-4 ， 0 )代 入 214y x bx c 得 84 4 0c b c ， 解 得 18bc ，所 以 抛 物 线 的 解 析 式 为 21 84y x x ；当 y=0 时 ， 21 84 x x =0 ， 解 得 x1 =-4 ， x2 =8 ，所 以 C 点 坐 标 为 (8 ， 0 )；(2 ) 连 结 OF， 如 图 ， 设 F(t， 21 84t t )， S 四 边 形 OCFD=S CDF+S OCD=S ODF+S OCF， S C
33、DF=S ODF+S OCF-S OCD= 21 1 1 14 8 8 4 82 2 4 2t t t （ ）=-t2 +6 t+1 6=-(t-3 )2 +2 5 ，当 t=3 时 ， CDF 的 面 积 有 最 大 值 ， 最 大 值 为 2 5 ， 四 边 形 CDEF 为 平 行 四 边 形 ， S 的 最 大 值 为 5 0 ； 四 边 形 CDEF 为 平 行 四 边 形 ， CD EF， CD=EF， 点 C 向 左 平 移 8 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 4 个 单 位 得 到 点 D， 点 F 向 左 平 移 8 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 4 个 单 位 得
34、 到 点 E， 即 E(t-8 ， 21 124t t )， E(t-8 ， 21 124t t )在 抛 物 线 上 ， 2 21 18 8 8 124 4t t t t （ ） ， 解 得 t=7 ，当 t=7 时 ， S CDF=-(7 -3 )2 +2 5 =9 ， 此 时 S=2 S CDF=1 8 .2 8 .问 题 背 景 ：如 图 ， 在 四 边 形 ADBC 中 ， ACB= ADB=9 0 ， AD=BD， 探 究 线 段 AC， BC， CD 之 间 的 数量 关 系 .小 吴 同 学 探 究 此 问 题 的 思 路 是 ： 将 BCD 绕 点 D， 逆 时 针 旋 转
35、9 0 到 AED 处 ， 点 B， C 分别 落 在 点 A， E 处 (如 图 )， 易 证 点 C， A， E 在 同 一 条 直 线 上 ， 并 且 CDE 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 所 以 CE= 2 CD， 从 而 得 出 结 论 ： AC+BC= 2 CD.简 单 应 用 ：(1 )在 图 中 ， 若 AC= 2 ， BC=2 2 ， 则 CD= .(2 )如 图 ， AB 是 O 的 直 径 ， 点 C、 D 在 上 ， AD BD ， 若 AB=1 3 ， BC=1 2 ， 求 CD 的 长 .拓 展 规 律 ： (3 )如 图 ， ACB= ADB=9 0 ， A
36、D=BD， 若 AC=m， BC=n(m n)， 求 CD 的 长 (用 含 m， n 的代 数 式 表 示 )(4 )如 图 ， ACB=9 0 ， AC=BC， 点 P 为 AB 的 中 点 ， 若 点 E 满 足 AE= 13 AC， CE=CA， 点 Q为 AE 的 中 点 ， 则 线 段 PQ 与 AC 的 数 量 关 系 是 . 解 析 ： (1 )由 题 意 可 知 ： AC+BC= 2 CD， 所 以 将 AC 与 BC 的 长 度 代 入 即 可 得 出 CD 的 长 度 ；(2 )连 接 AC、 BD、 AD 即 可 将 问 题 转 化 为 第 (1 )问 的 问 题 ，
37、利 用 题 目 所 给 出 的 证 明 思 路 即 可 求出 CD 的 长 度 ；(3 )以 AB 为 直 径 作 O， 连 接 OD 并 延 长 交 O 于 点 D1 ， 由 (2 )问 题 可 知 ： AC+BC= 2 CD1 ； 又因 为 CD1 =D1 D， 所 以 利 用 勾 股 定 理 即 可 求 出 CD 的 长 度 ；(4 )根 据 题 意 可 知 ： 点 E 的 位 置 有 两 种 ， 分 别 是 当 点 E 在 直 线 AC 的 右 侧 和 当 点 E 在 直 线 AC的 左 侧 时 ， 连 接 CQ、 CP 后 ， 利 用 (2 )和 (3 )问 的 结 论 进 行 解
38、答 .答 案 ： (1 )由 题 意 知 ： AC+BC= 2 CD， 3 2 +2 2 = 2 CD， CD=3 ， ；(2 )连 接 AC、 BD、 AD， AB 是 O 的 直 径 ， ADB= ACB=9 0 ， AD BD ， AD=BD，将 BCD 绕 点 D， 逆 时 针 旋 转 9 0 到 AED 处 ， 如 图 ， EAD= DBC， DBC+ DAC=1 8 0 ， EAD+ DAC=1 8 0 ， E、 A、 C 三 点 共 线 ， AB=1 3 ， BC=1 2 ， 由 勾 股 定 理 可 求 得 ： AC=5 ， BC=AE， CE=AE+AC=1 7 ， EDA=
39、CDB， EDA+ ADC= CDB+ ADC，即 EDC= ADB=9 0 ， CD=ED， EDC 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， CE= 2 CD， CD=17 22 ；(3 )以 AB 为 直 径 作 O， 连 接 OD 并 延 长 交 O 于 点 D1 ，连 接 D1 A， D1 B， D1 C， 如 图 由 (2 )的 证 明 过 程 可 知 ： AC+BC= 2 D1 C， D1 C= 2 2m n ，又 D1 D 是 O 的 直 径 ， DCD1 =9 0 ， AC=m， BC=n， 由 勾 股 定 理 可 求 得 ： AB2 =m2 +n2 ， D1 D2 =AB2 =m
40、2 +n2 ， D1 C2 +CD2 =D1 D2 ， CD= 2 22 2 2 2m n m nm n ， m n， CD= 2 2n m ； (4 )当 点 E 在 直 线 AC 的 左 侧 时 ， 如 图 ，连 接 CQ， PC， AC=BC， ACB=9 0 ，点 P 是 AB 的 中 点 ， AP=CP， APC=9 0 ， 又 CA=CE， 点 Q 是 AE 的 中 点 ， CQA=9 0 ，设 AC=a， AE= 13 AC， AE= 13 a， 1 12 6AQ AE a ，由 勾 股 定 理 可 求 得 ： CQ= 356 a， 由 (2 )的 证 明 过 程 可 知 ： AQ+CQ= 2 PQ， 1 352 6 6PQ a a ， 1 352 6PQ AC ；当 点 E 在 直 线 AC 的 右 侧 时 ， 如 图 ， 连 接 CQ、 CP，同 理 可 知 ： AQC= APC=9 0 ，设 AC=a， 1 12 6AQ AE a ，由 勾 股 定 理 可 求 得 ： CQ= 356 a，由 (3 )的 结 论 可 知 ： PQ= 22 (CQ-AQ)， 35 12 6PQ AC .综 上 所 述 ， 线 段 PQ 与 AC 的 数 量 关 系 是 1 352 6PQ AC 或 35 12 6PQ AC .
