1、2016年 上 海 市 嘉 定 区 高 考 一 模 试 卷 数 学 文一 .填 空 题 (本 大 题 满 分 56分 )本 大 题 共 有 14 题 ， 考 生 应 在 答 题 纸 相 应 编 号 的 空 格 内 直 接 填写 结 果 ， 每 个 空 格 填 对 4分 ， 否 则 一 律 得 零 分 .1. 22 1lim 2 2n nn n = .解 析 ： 分 式 的 分 子 分 母 同 时 除 以 n 2， 利 用 极 限 的 性 质 能 求 出 结 果 .22 1lim 2 2n nn n = 2 211lim 1 22n nn n = 12 .答 案 ： 12 .2.设 集 合 A=
2、x|x 2-2x 0， x R， B=x| 11xx 0， x R， 则 A B= .解 析 ： 集 合 A=x|x2-2x 0， x R=x|x 0或 x 2， x R，B=x| 11xx 0 ， x R=x|-1 x 1， x R， A B=x|-1 x 0， x R(或 -1， 0).答 案 ： x|-1 x 0， x R(或 -1， 0)3.若 函 数 f(x)=a x(a 0 且 a 1)的 反 函 数 的 图 象 过 点 (3， -1)， 则 a= .解 析 ： 函 数 f(x)=ax(a 0 且 a 1)的 反 函 数 的 图 象 过 点 (3， -1)， 3=a-1， 解 得
3、a=13.答 案 ： 134.已 知 一 组 数 据 6， 7， 8， 9， m 的 平 均 数 是 8， 则 这 组 数 据 的 方 差 是 .解 析 ： 一 组 数 据 6， 7， 8， 9， m的 平 均 数 是 8， 15 (6+7+8+9+m)=8， 解 得 m=10， 这 组 数 据 的 方 差 S 2= 15 (6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2=2.答 案 ： 25.在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， M 为 棱 A1B1的 中 点 ， 则 异 面 直 线 AM 与 B1C 所 成 的 角 的 大 小 为(结 果 用 反 三 角
4、函 数 值 表 示 ).解 析 ： 以 D为 原 点 ， DA 为 x 轴 ， DC为 y 轴 ， DD1为 z轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1棱 长 为 2，则 A(2， 0， 0)， M(2， 1， 2)， B1(2， 2， 2)， C(0， 2， 0)，AM=(0， 1， 2)， 1BC =(-2， 0， 2)，设 异 面 直 线 AM 与 B1C所 成 的 角 为 ， 11 4 10cos 58| | 5AM BCAM BC . =arccos 105 . 异 面 直 线 AM 与 B 1C所 成 的 角 为 arccos 10
5、5 .答 案 ： arccos 105 .6.若 圆 锥 的 底 面 周 长 为 2 ， 侧 面 积 也 为 2 ， 则 该 圆 锥 的 体 积 为 .解 析 ： 圆 锥 的 底 面 周 长 为 2 ， 圆 锥 的 底 面 半 径 r=1， 设 圆 锥 母 线 为 l， 则 rl=2 ， l=2， 圆 锥 的 高 h= 2 2l r = 3 . 圆 锥 的 体 积 V=13 r 2h= 33 .答 案 ： 33 .7.已 知 sin cos2 1 =0， 则 sin2 = .解 析 ： sin cos2 1 =0， sin -2cos =0， sin 2 +cos2 =5cos2 =1， 解
6、得 cos = 55 ，当 cos =- 55 时 ， sin =2cos =- 2 55 ， sin2 =2sin cos =2 (- 2 55 ) (- 55 )= 45 ，当 cos = 55 时 ， sin =2cos = 2 55 ， sin2 =2sin cos =2 2 55 55 = 45 ， 故 sin2 = 45 .答 案 ： 45 .8.某 程 序 框 图 如 图 所 示 ， 则 该 程 序 运 行 后 输 出 的 S 值 是 . 解 析 ： 模 拟 执 行 程 序 ， 可 得 k=1， S=0满 足 条 件 k 2015， S= 11 2 ， k=2.满 足 条 件 k
7、 2015， S= 11 2 + 12 3 ， k=3.满 足 条 件 k 2015， S= 11 2 + 12 3 + + 12014 2015 ， k=2015.满 足 条 件 k 2015， S= 11 2 + 12 3 + + 12014 2015 + 12015 2016 ， k=2016.不 满 足 条 件 k 2015， 退 出 循 环 ， 输 出 S 的 值 . 由 于 S= 11 2 + 12 3 + + 12014 2015 + 12015 2016 =1- 12 + 12 - 13 + 13 - + 12015- 12016 =1- 12016 = 20152016 .答
8、 案 ： 20152016 .9.过 点 P(1， 2)的 直 线 与 圆 x 2+y2=4相 切 ， 且 与 直 线 ax-y+1=0垂 直 ， 则 实 数 a 的 值 为.解 析 ： 当 a=0时 ， 直 线 ax-y+1=0， 即 直 线 y=1， 根 据 所 求 直 线 与 该 直 线 垂 直 ， 且 过 点 P(1，2)，故 有 所 求 的 直 线 为 x=1， 此 时 ， 不 满 足 所 求 直 线 与 圆 x2+y2=4 相 切 ， 故 a 0. 故 要 求 的 直 线 的 斜 率 为 1a ， 要 求 的 直 线 的 方 程 为 y-2= 1a (x-1)， 即 x-ay+2a
9、-1=0.再 根 据 圆 心 O 到 x-ay+2a-1=0的 距 离 等 于 半 径 2， 可 得 20 0 2 11 aa =2， 求 得 a=- 34 .答 案 ： - 34 .10.从 3 名 男 同 学 ， 2 名 女 同 学 中 任 选 2 人 参 加 知 识 竞 赛 ， 则 选 到 的 2 名 同 学 中 至 少 有 1 名男 同 学 的 概 率 是 .解 析 ： 从 3名 男 同 学 ， 2名 女 同 学 中 任 选 2人 参 加 知 识 竞 赛 ，基 本 事 件 总 数 n= 25C =10， 选 到 的 2 名 同 学 中 至 少 有 1 名 男 同 学 的 对 立 事 件
10、 是 选 到 两 名 女 同 学 ， 选 到 的 2名 同 学 中 至 少 有 1名 男 同 学 的 概 率 ： p= 2225 91 10CC .答 案 ： 910 .11.设 PA=(k， 12)， PB =(4 ， 5)， PC =(10， k)， 则 k= 时 ， 点 A， B， C共 线 .解 析 ： PA =(k， 12)， PB =(4， 5)， PC =(10， k)， AB=(4-k， -7)， BC =(6， k-5)； 又 AB与 BC 共 线 ， (4-k)(k-5)-(-7) 6=0，即 k2-9k-22=0， 解 得 k=-2或 k=11； 当 k=-2或 11时
11、， 点 A， B， C 共 线 .答 案 ： -2 或 11.12.已 知 1 2 2 1 122 2 2n nn n nC C C n=80， 则 n= .解 析 ： 因 为 1 2 2 1 11 2 2 2 2n n nn n nC C C =(1+2) n=80+1=81， 所 以 3n=81， n=4.答 案 ： 413.设 数 列 an满 足 a1=2， an+1=1- 1na ， 记 数 列 前 n 项 的 积 为 Pn， 则 P2016的 值 为 .解 析 ： 1=2， an+1=1- 1na ， a2= 12 ， a3=-1， a4=2， ， an+3=an.a1a2a3=-1
12、. 数 列 前 2016项 的 积 P2016=(-1)672=1. 答 案 ： 1.14.对 于 函 数 y=f(x)， 若 存 在 定 义 域 D内 某 个 区 间 a， b， 使 得 y=f(x)在 a， b上 的 值 域 也为 a， b， 则 称 函 数 y=f(x)在 定 义 域 D 上 封 闭 ， 如 果 函 数 f(x)= 41 xx 在 R 上 封 闭 ， 则b-a= .解 析 ： f(x)= 41 xx = )( )44 0144 01 xx xx ， ， ， ， ， 设 0 x 1 x2，则 f(x1)-f(x2)= 2 11 24 1 1x xx x 0， 故 f(x)在
13、 0， + )上 是单 调 递 减 函 数 ， 又 f(x)= 41 xx ， f(-x)=-f(x)， f(x)是 奇 函 数 .所 以 f(x)在 R 上 是 单 调 递 减 函 数 ，而 x 0， + )时 ， f(x)值 域 为 (-4， 0， x (- .0)时 ， f(x)值 域 为 (0， 4)要 使 得 y=f(x)在 a， b上 的 值 域 也 为 a， b， 则 a 0 b， 由 f a bf b a ， 得 44 144 1 ba ab ， ， 得 33ab ， b-a=6.答 案 ： 6二 .选 择 题 (本 大 题 满 分 20分 )本 大 题 共 有 4题 ， 每
14、题 有 且 仅 有 一 个 正 确 答 案 ， 考 生 应 在 答 题纸 的 相 应 编 号 上 ， 将 代 表 答 案 的 小 方 格 涂 黑 ， 每 题 选 对 得 5 分 ， 否 则 一 律 得 零 分 .15.“ 函 数 y=sin(x+ )为 偶 函 数 ” 是 “ = 2 ” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 若 = 2 时 ， y=sin(x+ )=cosx 为 偶 函 数 ；若 y=sin(x+ )为 偶 函 数 ， 则 = 2 +k ， k Z； “ 函 数 y=si
15、n(x+ )为 偶 函 数 ” 是 “ = 2 ” 的 必 要 不 充 分 条 件 .答 案 ： B.16.下 列 四 个 命 题 ： 任 意 两 条 直 线 都 可 以 确 定 一 个 平 面 ； 若 两 个 平 面 有 3 个 不 同 的 公 共 点 ， 则 这 两 个 平 面 重 合 ； 直 线 a， b， c， 若 a 与 b 共 面 ， b 与 c 共 面 ， 则 a 与 c 共 面 ； 若 直 线 l上 有 一 点 在 平 面 外 ， 则 l在 平 面 外 .其 中 错 误 命 题 的 个 数 是 ( )A.1B.2C.3D.4解 析 ： 在 中 ， 两 条 异 面 直 线 不 能
16、 确 定 一 个 平 面 ， 故 错 误 ；在 中 ， 若 两 个 平 面 有 3个 不 共 线 的 公 共 点 ， 则 这 两 个 平 面 重 合 ，若 两 个 平 面 有 3个 共 线 的 公 共 点 ， 则 这 两 个 平 面 相 交 ， 故 错 误 ；在 中 ， 直 线 a， b， c， 若 a与 b共 面 ， b 与 c 共 面 ， 则 a 与 c 不 一 定 共 面 ， 如 四 面 体 S-ABC中 ， SA 与 AB共 面 ， AB与 BC共 面 ， 但 SA与 BC异 面 ， 故 错 误 ；在 中 ， 若 直 线 l 上 有 一 点 在 平 面 外 ， 则 由 直 线 与 平
17、面 的 位 置 关 系 得 l在 平 面 外 ， 故 正 确 . 答 案 ： C17.若 椭 圆 x2+my2=1 的 焦 距 为 2， 则 m 的 值 是 ( )A. 12B.1C.2D.4解 析 ： 椭 圆 x 2+my2=1 的 焦 距 为 2， 12 1m =2， 解 得 m= 12 .故 选 ： A18.已 知 等 比 数 列 an中 ， 各 项 都 是 正 数 ， 且 3a1， 12 a3， 2a2成 等 差 数 列 ， 则 8 96 7a aa a 等 于 ( )A.6B.7C.8D.9解 析 ： 3a1， 12 a3， 2a2成 等 差 数 列 ， a3=3a1+2a2， q
18、2-2q-3=0， q=3， q=-1(舍 去 ). 2 38 9 1 7 1 86 7 1 5 1 6 1a a a q a q q qa a a q a q q =q2=32=9.故 选 ： D三 .解 答 题 (本 大 题 满 分 74分 )本 大 题 共 有 5题 ， 解 答 下 列 各 题 必 须 在 答 题 纸 相 应 编 号 的 规 定区 域 内 写 出 必 要 的 步 骤 .19.如 图 ， 有 一 个 长 方 体 形 状 的 敞 口 玻 璃 容 器 ， 底 面 是 边 长 为 20cm的 正 方 形 ， 高 为 30cm，内 有 20cm 深 的 溶 液 .现 将 此 容 器
19、 倾 斜 一 定 角 度 (图 )， 且 倾 斜 时 底 面 的 一 条 棱 始 终 在 桌 面上 (图 、 均 为 容 器 的 纵 截 面 ). (1)要 使 倾 斜 后 容 器 内 的 溶 液 不 会 溢 出 ， 角 的 最 大 值 是 多 少 ；(2)现 需 要 倒 出 不 少 于 3000cm3的 溶 液 ， 当 =60 时 ， 能 实 现 要 求 吗 ？ 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 题 意 画 出 图 形 ， 结 合 图 形 ， 过 C 作 CF BP， 交 AD 所 在 直 线 于 F， 且 点 F在 线段 AD 上 ， 用 tan 表 示 出 DF、 AF，
20、求 出 容 器 内 溶 液 的 体 积 ， 列 出 不 等 式 求 出 溶 液 不 会 溢 出时 的 最 大 值 ；(2)当 =60 时 ， 过 C 作 CF BP， 交 AB 所 在 直 线 于 F， 则 点 F 在 线 段 AB 上 ， 溶 液 纵 截 面 为Rt CBF， 由 此 能 求 出 倒 出 的 溶 液 量 ， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1)根 据 题 意 ， 画 出 图 形 ， 如 图 所 示 ， 过 C 作 CF BP， 交 AD所 在 直 线 于 F，在 Rt CDF中 ， FCD= ， CD=20cm， DF=20tan ，且 点 F在 线 段 AD上 ，
21、AF=30-20tan ，此 时 容 器 内 能 容 纳 的 溶 液 量 为 ：S 梯 形 ABCF 20= 2AF BC AB 20=(30-20tan +30) 20 10=2000(6-2tan )(cm3)； 而 容 器 中 原 有 溶 液 量 为 20 20 20=8000(cm3)，令 2000(6-2tan ) 8000， 解 得 tan 1， 所 以 45 ，即 的 最 大 角 为 45 时 ， 溶 液 不 会 溢 出 ；(2)如 图 所 示 ， 当 =60 时 ，过 C 作 CF BP， 交 AB所 在 直 线 于 F，在 Rt CBF中 ， BC=30cm， BCF=30
22、， BF=10 3 cm， 点 F在 线 段 AB上 ， 故 溶 液 纵 截 面 为 Rt CBF， S ABF= 12 BC BF=150 3 cm2，容 器 内 溶 液 量 为 150 3 20=300 3 cm3，倒 出 的 溶 液 量 为 (8000-3000 3 )cm3 3000cm3. 不 能 实 现 要 求 .20.已 知 x R， 设 m =(2cosx ， sinx+cosx)， n =( 3 sinx ， sinx-cosx)， 记 函 数 f(x)=m n .(1)求 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 和 单 调 递 增 区 间 ；(2)设 ABC 的 角 A，
23、B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 若 f(C)=2， c= 3 ， a+b=3， 求 ABC的 面 积 S. 解 析 ： (1)利 用 数 量 积 运 算 性 质 、 倍 角 公 式 与 和 差 公 式 可 得 f(x)， 再 利 用 三 角 函 数 的 图 象 与性 质 即 可 得 出 ；(2)利 用 三 角 函 数 求 值 、 余 弦 定 理 与 三 角 形 的 面 积 计 算 公 式 即 可 得 出 .答 案 ： (1) f(x)=m n=2 3 sinxcosx+sin2x-cos2x= 3 sin2x-cos2x=2sin(2x- 6 ). f(x)的 最 小
24、正 周 期 是 T= .由 2k - 2 2x- 6 2k + 2 ， k Z，得 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 是 k - 6 ， k + 3 (k Z).(2)由 f(C)=2， 得 sin(2C- 6 )=1， 0 C ， 所 以 - 6 2C- 6 116 ， 2C- 6 = 2 ， C= 3 .在 ABC中 ， 由 余 弦 定 理 c2=a2+b2-2abcosC，得 3=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab， 即 ab=2， ABC的 面 积 S= 12 absinC= 12 2 32 = 32 . 21.设 函 数 f(x)=k ax-a-x(a 0 且 a 1)
25、是 奇 函 数 .(1)求 常 数 k 的 值 ；(2)设 a 1， 试 判 断 函 数 y=f(x)在 R 上 的 单 调 性 ， 并 解 关 于 x的 不 等 式 f(x2)+f(2x-1) 0.解 析 ： (1)可 看 出 f(x)的 定 义 域 为 R， 而 f(x)又 是 奇 函 数 ， 从 而 有 f(0)=0， 这 样 可 求 出 k=1；(2)f(x)=ax-a-x， 根 据 单 调 性 的 定 义 ， 设 任 意 的 x1， x2 R， 且 x1 x2， 然 后 作 差 ， 通 分 ， 提取 公 因 式 ， 便 可 说 明 f(x1) f(x2)， 这 便 得 出 f(x)在
26、 R 上 单 调 递 增 ， 从 而 根 据 f(x)为 奇 函数 和 增 函 数 便 可 由 原 不 等 式 得 到 x2 1-2x， 解 该 不 等 式 便 可 得 出 原 不 等 式 的 解 集 .答 案 ： (1)函 数 f(x)的 定 义 域 为 R， f(x)是 奇 函 数 ； f(0)=k-1=0； k=1；(2)由 (1)， f(x)=ax-a-x， 设 x 1， x2 R， 且 x1 x2， 则 ：f(x1)-f(x2)= 1 1 2 2 1 2 1 211x x x x x x x xa a a a a a a ； a 1， x1 x2； ax1-ax2 0， 又 1+1a
27、x1+x2 0； f(x1)-f(x2) 0；即 f(x1) f(x2)； 函 数 f(x)在 R上 是 单 调 递 增 函 数 ；由 f(x2)+f(2x-1) 0， 得 f(x2) -f(2x-1)；即 f(x 2) f(1-2x)； f(x)在 R上 单 调 递 增 ； x2 1-2x， 即 x2+2x-1 0； 解 得 -1- 2 x -1+ 2 ； 原 不 等 式 的 解 为 (-1- 2 ， -1+ 2 ).22.已 知 抛 物 线 x2=2py， 准 线 方 程 为 y+1=0， 直 线 l 过 定 点 T(0， t)(t 0)且 与 抛 物 线 交 于 A、B两 点 ， O 为
28、 坐 标 原 点 .(1)求 抛 物 线 的 方 程 ；(2)OA OB是 否 为 定 值 ， 若 是 ， 求 出 这 个 定 值 ； 若 不 是 ， 请 说 明 理 由 ；(3)当 t=1 时 ， 设 AT = TB， 记 |AB|=f( )， 求 f( )的 解 析 式 .解 析 ： (1)根 据 准 线 方 程 便 可 得 到 - 2p =-1， 从 而 可 以 求 出 p， 这 便 得 到 抛 物 线 方 程 为 x 2=4y；(2)可 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 可 得 到 直 线 l 方 程 y=kx+t， 联 立 抛 物 线 方 程 并 消 去 y 得 到x2
29、-4kx-4t=0， 从 而 得 到 1 21 2 21 2 44x x kx x ty y t ， 这 样 即 可 得 到 OA OB=t2-4t， 根 据 题 意 知 t 为 定 值 ，即 得 出 OA OB为 定 值 ， 定 值 为 t 2-4t；(3)可 得 到 T(0， 1)， 可 设 B(x0， 204x )， 根 据 条 件 AT = TB便 可 得 到 A(- x0， 1+ - 204x )，而 根 据 点 A 在 抛 物 线 x2=4y 上 便 可 得 到 x02= 4 ， 而 T 又 是 抛 物 线 的 焦 点 ， 从 而 有f( )=|AB|=y A+yB+2， 带 入
30、A， B 的 纵 坐 标 及 x02= 4 便 可 得 出 f( )的 解 析 式 .答 案 ： (1)由 题 意 ， - 2p =-1， p=2； 抛 物 线 方 程 为 x2=4y；(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 直 线 l： y=kx+t， 则 ：由 2 4y kx tx y ， 得 ， x2-4kx-4t=0； 1 21 2 44x x kx x t ，； y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=-4k2t+4k2t+t2=t2； OA OB=x 1x2+y1y2=t2-4t；因 为 点 T(0， t)是 定 点 ， 所 以
31、 t 是 定 值 ， 所 以 OA OB是 定 值 ， 此 定 值 为 t2-4t；(3)T(0， 1)， 设 B(x0， x024)， 则 ：TB=(x0， 20 14x )， AT = TB=( x0 ， 204x - )， 故 A(- x0 ， 1+ - 204x )；因 为 点 A 在 抛 物 线 x 2=4y上 ， 所 以 2x02=4(1+ - 204x )， 得 x02= 4 ；又 T 为 抛 物 线 的 焦 点 ， 故 f( )=|AB|=yA+yB+2=(1+ - 204x )+ 204x +2= + 1 +2；即 f( )= + 1 +2( 0).23.设 复 数 z n=
32、xn+i yn， 其 中 xnyn R， n N*， i 为 虚 数 单 位 ， zn+1=(1+i) zn， z1=3+4i， 复数 zn在 复 平 面 上 对 应 的 点 为 Zn.(1)求 复 数 z2， z3， z4的 值 ；(2)证 明 ： 当 n=4k+1(k N*)时 ， nOZ 1OZ；(3)求 数 列 xn yn的 前 100项 之 和 .解 析 ： (1)利 用 zn+1=(1+i) zn， z1=3+4i， 即 可 得 出 ；(2)由 已 知 z n+1=(1+i) zn， 得 zn=(1+i)n-1 z1， 当 n=4k+1时 ， (1+i)n-1=(-4)k， 即 可
33、 证 明 .(3)由 zn+4=(1+i)4zn=-4zn， 可 得 xn+4=-4xn， yn+4=-4yn， xn+4yn+4=16xnyn， 即 可 得 出 .答 案 ： (1) zn+1=(1+i) zn， z1=3+4i， z2=(1+i)(3+4i)=-1+7i， z3=-8+6i， z4=-14-2i.(2)由 已 知 zn+1=(1+i) zn， 得 zn=(1+i)n-1 z1，当 n=4k+1 时 ， (1+i)n-1=(1+i)4k=(-4)k，令 =(-4)k， 则 zn= z1，即 则 存 在 非 零 实 数 =(-4) k(k N*)， 使 得 nOZ = 1OZ. 当 n=4k+1(k N*)时 ， nOZ 1OZ.(3) zn+4=(1+i)4zn=-4zn，故 xn+4=-4xn， yn+4=-4yn， xn+4yn+4=16xnyn，又 x 1y1=12， x2y2=-7， x3y3=-48， x4y4=28， x1y1+x2y2+x3y3+ +x100y100=(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)+(x5y5+x6y6+x7y7+x8y8)+ +(x97y97+x98y98+x99y99+x100y100)=(12-7-48+28) 251 161 16 =1-2100， 数 列 xnyn的 前 100项 之 和 为 1-2100.
