1、2015 年 黑 龙 江 省 龙 东 地 区 中 考 真 题 数 学一 .填 空 题 (每 题 3 分 ， 满 分 30分 )1. 2015年 1 月 29 日 ， 联 合 国 贸 易 和 发 展 会 议 公 布 的 全 球 投 资 趋 势 报 告 称 ， 2014年 中国 吸 引 外 国 投 资 达 1280亿 美 元 ， 成 为 全 球 外 国 投 资 第 一 大 目 的 地 国 .1280 亿 美 元 用 科 学 记数 法 表 示 为 美 元 .解 析 ： 将 1280 亿 用 科 学 记 数 法 表 示 为 1.28 1011.答 案 ： 1.28 10 11.2. 在 函 数 y=
2、2 1x 中 ， 自 变 量 x的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 当 函 数 表 达 式 是 二 次 根 式 时 ， 被 开 方 数 为 非 负 数 ， 即 2x+1 0.依 题 意 ， 得 2x+1 0，解 得 x - 12 .答 案 ： x - 123.如 图 ， 菱 形 ABCD 中 ， 对 角 线 AC、 BD 相 交 于 点 O， 不 添 加 任 何 辅 助 线 ， 请 添 加 一 个 条 件 ， 使 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 (填 一 个 即 可 ).解 析 ： 四 边 形 ABCD为 菱 形 ， 当 BAD=90 时 ， 四 边 形 ABCD为 正 方 形 .答
3、案 ： BAD=90 .4.在 一 个 口 袋 中 有 5 个 除 颜 色 外 完 全 相 同 的 小 球 ， 其 中 有 3 个 黄 球 ， 1 个 黑 球 ， 1个 白 球 ，从 中 随 机 摸 出 一 个 小 球 ， 则 摸 到 黄 球 的 概 率 是 .解 析 ： 利 用 黄 球 的 个 数 球 的 总 个 数 可 得 黄 球 的 概 率 . 口 袋 中 有 5 个 球 ， 其 中 有 3个 黄 球 ， 摸 到 黄 球 的 概 率 是 ： 35 .答 案 ： 35 .5. 不 等 式 组 5 1 23 2 4x xx x ， 的 解 集 是 .解 析 ： 5 1 23 2 4x xx
4、x ， 解 得 x 4， 解 得 x 2， 所 以 不 等 式 组 的 解 集 为 2 x 4.答 案 ： 2 x 4.6.关 于 x 的 分 式 方 程 2 14 2mx x =0 无 解 ， 则 .解 析 ： 方 程 去 分 母 得 ： m-(x-2)=0， 解 得 ： x=2+m， 当 x=2时 分 母 为 0， 方 程 无 解 ， 即 2+m=2， m=0时 方 程 无 解 .当 x=-2时 分 母 为 0， 方 程 无 解 ， 即 2+m=-2， m=-4时 方 程 无 解 .综 上 所 述 ， m 的 值 是 0 或 -4.答 案 ： 0 或 -4.7.如 图 ， 从 直 径 是
5、2 米 的 圆 形 铁 皮 上 剪 出 一 个 圆 心 角 是 90 的 扇 形 ABC(A、 B、 C 三 点 在 O上 )， 将 剪 下 来 的 扇 形 围 成 一 个 圆 锥 的 侧 面 ， 则 该 圆 锥 的 底 面 圆 的 半 径 是 米 . 解 析 ： 作 OD AC于 点 D， 连 接 OA， OAD=45 ， AC=2AD， AC=2(OA cos45 )= 2 ， 90 2180 = 22 ， 圆 锥 的 底 面 圆 的 半 径 = 22 (2 )= 24 . 答 案 ： 24 .8. 某 超 市 “ 五 一 放 价 ” 优 惠 顾 客 ， 若 一 次 性 购 物 不 超 过
6、 300元 不 优 惠 ， 超 过 300元 时 按 全额 9 折 优 惠 .一 位 顾 客 第 一 次 购 物 付 款 180元 ， 第 二 次 购 物 付 款 288元 ， 若 这 两 次 购 物 合 并成 一 次 性 付 款 可 节 省 元 .解 析 ： (1)若 第 二 次 购 物 超 过 300 元 ，设 此 时 所 购 物 品 价 值 为 x元 ， 则 90%x=288， 解 得 x=320.两 次 所 购 物 价 值 为 180+320=500 300.所 以 享 受 9折 优 惠 ， 因 此 应 付 500 90%=450(元 ).这 两 次 购 物 合 并 成 一 次 性 付
7、 款 可 节 省 ： 180+288-450=18(元 ). (2)若 第 二 次 购 物 没 有 过 300 元 ， 两 次 所 购 物 价 值 为 180+288=468(元 )，这 两 次 购 物 合 并 成 一 次 性 付 款 可 以 节 省 ： 468 10%=46.8(元 ).答 案 ： 18 或 46.8.9.正 方 形 ABCD的 边 长 是 4， 点 P 是 AD 边 的 中 点 ， 点 E 是 正 方 形 边 上 的 一 点 .若 PBE是 等 腰三 角 形 ， 则 腰 长 为 .解 析 ： 分 情 况 讨 论 ： (1)当 BP=BE 时 ， 如 图 1 所 示 ： 四
8、边 形 ABCD 是 正 方 形 ， AB=BC=CD=AD=4， A= C= D=90 ， P 是 AD 的 中 点 ， AP=DP=2，根 据 勾 股 定 理 得 ： BP= 2 2 2 24 2AB AP =2 5；(2)当 BE=PE 时 ， E 在 BP的 垂 直 平 分 线 上 ， 与 正 方 形 的 边 交 于 两 点 ， 即 为 点 E； 当 E在 AB上 时 ， 如 图 2 所 示 ： 则 BM= 12 BP= 5， BME= A=90 ， MEB= ABP， BME BAP， BE BMBP BA ， 即 542 5BE ， BE= 52 ； 当 E在 CD上 时 ， 如
9、图 3 所 示 ： 设 CE=x， 则 DE=4-x， 根 据 勾 股 定 理 得 ： BE2=BC2+CE2， PE2=DP2+DE2， 42+x2=22+(4-x)2， 解 得 ： x= 12 ， CE=12 ， BE= 22 2 2 1 654 2 2BC CE ；综 上 所 述 ： 腰 长 为 ： 2 5 ， 或 52 ， 或 652 ；答 案 ： 2 5 ， 或 52 ， 或 652 . 10.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 A(0， 3)、 B(-1， 0)， 过 点 A 作 AB 的 垂 线 交 x 轴 于 点A1， 过 点 A1作 AA1的 垂 线 交
10、y 轴 于 点 A2， 过 点 A2作 A1A2的 垂 线 交 x 轴 于 点 A3 按 此 规 律 继 续作 下 去 ， 直 至 得 到 点 A2015为 止 ， 则 点 A2015坐 标 为 .解 析 ： A(0， 3)、 B(-1， 0)， AB AA1， A1的 坐 标 为 ： (3， 0)，同 理 可 得 ： A2的 坐 标 为 ： (0， -3 3)， A3的 坐 标 为 ： (-9， 0)， 2015 4=503 3， 点 A2015坐 标 为 (-31008， 0).答 案 ： (-31008， 0)二 .选 择 题 (每 小 题 3分 ， 共 30分 )11.下 列 各 运
11、算 中 ， 计 算 正 确 的 是 ( )A.a 2+a3=a5B.a6 a2=a3C.(-2)-1=2D.(a2)3=a6解 析 ： A、 a2 a3=a5， 故 错 误 ；B、 a6 a2=a4， 故 错 误 ；C、 (-2) -1=- 12 ， 故 错 误 ； D、 正 确 .答 案 ： D12.下 列 图 形 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故
12、 本 选 项 错 误 ；C、 既 是 轴 对 称 图 形 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 正 确 ；D、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 也 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： C13.关 于 反 比 例 函 数 y=- 2x ， 下 列 说 法 正 确 的 是 ( ) A.图 象 过 (1， 2)点B.图 象 在 第 一 、 三 象 限C.当 x 0 时 ， y随 x的 增 大 而 减 小D.当 x 0 时 ， y随 x的 增 大 而 增 大解 析 ： k=-2 0， 所 以 函 数 图 象 位 于 二 四 象 限 ， 在 每 一 象
13、 限 内 y随 x 的 增 大 而 增 大 ， 图 象是 轴 对 称 图 象 ， 故 A、 B、 C 错 误 .答 案 ： D14.由 几 个 相 同 的 小 正 方 形 搭 成 的 一 个 几 何 体 如 图 所 示 ， 这 个 几 何 体 的 主 视 图 是 ( ) A. B.C.D.解 析 ： 从 正 面 看 第 一 层 是 三 个 小 正 方 形 ， 第 二 层 是 靠 右 边 两 个 小 正 方 形 .答 案 ： A 15.近 十 天 每 天 平 均 气 温 ( )统 计 如 下 ： 24， 23， 22， 24， 24， 27， 30， 31， 30， 29.关 于 这10个 数
14、据 下 列 说 法 不 正 确 的 是 ( )A.众 数 是 24B.中 位 数 是 26C.平 均 数 是 26.4D.极 差 是 9解 析 ： 数 据 24出 现 了 三 次 最 多 ， 众 数 为 24， 故 A 选 项 正 确 ； 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 ： 22， 23， 24， 24， 24， 27， 29， 30， 30， 31， 中 位 数 为 (24+27) 2=25.5， 故 B 选 项 错 误 ；平 均 数 =(22+23+24 3+27+29+30 2+31) 10=26.4， 故 C选 项 正 确 ；极 差 =31-22=9， 故 D选 项
15、 正 确 .答 案 ： B 16.如 图 所 示 的 容 器 内 装 满 水 ， 打 开 排 水 管 ， 容 器 内 的 水 匀 速 流 出 ， 则 容 器 内 液 面 的 高 度 h随 时 间 x 变 化 的 函 数 图 象 最 接 近 实 际 情 况 的 是 ( )A. B.C. D.解 析 ： 圆 柱 的 直 径 较 长 ， 圆 柱 的 高 较 低 ， 水 流 下 降 较 慢 ； 圆 柱 的 直 径 变 长 ， 圆 柱 的 高 变 低 ，水 流 下 降 变 慢 ； 圆 柱 的 直 径 变 短 ， 圆 柱 的 高 变 高 ， 水 流 下 降 变 快 .答 案 ： A17.如 图 ， O 的
16、 半 径 是 2， AB 是 O 的 弦 ， 点 P 是 弦 AB 上 的 动 点 ， 且 1 OP 2， 则 弦 AB所 对 的 圆 周 角 的 度 数 是 ( ) A.60B.120C.60 或 120D.30 或 150解 析 ： 作 OD AB， 如 图 ， 点 P是 弦 AB 上 的 动 点 ， 且 1 OP 2， OD=1， OAB=30 ， AOB=120 ， AEB= 12 AOB=60 ， E+ F=180 ， F=120 ，即 弦 AB所 对 的 圆 周 角 的 度 数 为 60 或 120 .答 案 ： C18. ABC 中 ， AB=AC=5， BC=8， 点 P 是
17、BC 边 上 的 动 点 ， 过 点 P 作 PD AB 于 点 D， PE AC于 点 E， 则 PD+PE 的 长 是 ( )A.4.8B.4.8或 3.8C.3.8D.5解 析 ： 过 A点 作 AF BC 于 F， 连 结 AP， ABC中 ， AB=AC=5， BC=8， BF=4， ABF中 ， AF= 2 2AB BF =3， 12 8 3= 12 5 PD+ 12 5 PE， 12= 12 5 (PD+PE)， PD+PE=4.8.答 案 ： A.19.为 推 进 课 改 ， 王 老 师 把 班 级 里 40名 学 生 分 成 若 干 小 组 ， 每 小 组 只 能 是 5 人
18、 或 6人 ， 则 有几 种 分 组 方 案 ( )A.4B.3C.2D.1 解 析 ： 设 5人 一 组 的 有 x个 ， 6 人 一 组 的 有 y 个 ， 根 据 题 意 可 得 ： 5x+6y=40，当 x=1， 则 y=356 (不 合 题 意 )；当 x=2， 则 y=5；当 x=3， 则 y= 256 (不 合 题 意 )；当 x=4， 则 y=103 (不 合 题 意 )；当 x=5， 则 y= 52 (不 合 题 意 )；当 x=6， 则 y=53 (不 合 题 意 )； 当 x=7， 则 y 56 (不 合 题 意 )；当 x=8， 则 y=0； 故 有 2 种 分 组 方
19、 案 .答 案 ： C.20.如 图 ， 正 方 形 ABCD中 ， 点 E 是 AD边 中 点 ， BD、 CE 交 于 点 H， BE、 AH交 于 点 G， 则 下 列结 论 ： AG BE； BG=4GE； S BHE=S CHD； AHB= EHD.其 中 正 确 的 个 数 是 ( )A.1B.2C.3D.4解 析 ： 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， E是 AD边 上 的 中 点 ， AE=DE， AB=CD， BAD= CDA=90 ，在 BAE和 CDE中 ， AE DEBAE CDEAB CD ， ， BAE CDE(SAS)， ABE= DCE， 四 边 形 ABC
20、D 是 正 方 形 ， AD=DC， ADB= CDB=45 ， 在 ADH和 CDH 中 ， AD CDADH CDHDH DH ， ， ADH CDH(SAS)， HAD= HCD， ABE= DCE， ABE= HAD， BAD= BAH+ DAH=90 ， ABE+ BAH=90 ， AGB=180 -90 =90 ， AG BE， 故 正 确 ； tan ABE=tan EAG= 12 ， AG=12 BG， GE= 12 AG， BG=14 EG， 故 正 确 ； AD BC， S BDE=S CDE， S BDE-S DEH=S CDE-S DEH， 即 ； S BHE=S CH
21、D， 故 正 确 ； ADH CDH， AHD= CHD， AHB= CHB， BHC= DHE， AHB= EHD， 故 正 确 .答 案 ： D.三 .解 答 题 (满 分 60 分 )21.先 化 简 ， 再 求 值 ： 22 2 11 2 1x xx x x x ， 其 中 x=sin30 .解 析 ： 先 根 据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式 进 行 化 简 ， 再 求 出 x的 值 代 入 进 行 计 算 即 可 . 答 案 ： 原 式 = 2 1xx x 11xx = 1xx ， 当 x= 12 时 ， 原 式 = 121 12 =-1.22.如 图 ， 正 方
22、 形 网 格 中 ， 每 个 小 正 方 形 的 边 长 都 是 一 个 单 位 长 度 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 ， ABC的 三 个 顶 点 坐 标 分 别 为 A(2， -4)， B(4， -4)， C(1， -1). (1)画 出 ABC关 于 y轴 对 称 的 A1B1C1， 直 接 写 出 点 A1的 坐 标 ；(2)画 出 ABC绕 点 O逆 时 针 旋 转 90 后 的 A2B2C2；(3)在 (2)的 条 件 下 ， 求 线 段 BC扫 过 的 面 积 (结 果 保 留 ).解 析 ： (1)根 据 题 意 画 出 即 可 ； 关 于 y 轴 对 称 点 的 坐
23、 标 纵 坐 标 不 变 ， 横 坐 标 互 为 相 反 数 ；(2)根 据 网 格 结 构 找 出 点 A、 B、 C以 点 O为 旋 转 中 心 顺 时 针 旋 转 90 后 的 对 应 点 ， 然 后 顺 次连 接 即 可 ；(3)利 用 ABC旋 转 时 BC线 段 扫 过 的 面 积 2 2BOB COCS S扇 形 扇 形 即 可 求 出 .答 案 ： (1)如 图 所 示 ， A 1坐 标 为 (-2， -4).(2)如 图 所 示 . (3) OC= 2 ， OB=4 2 ， ABC旋 转 时 BC 线 段 扫 过 的 面 积2 2BOB COCS S扇 形 扇 形 = 2 2
24、 90 32 290 90 15360 360 360 2OB OC .23.如 图 ， 抛 物 线 y=x2-bx+c 交 x 轴 于 点 A(1， 0)， 交 y 轴 于 点 B， 对 称 轴 是 x=2. (1)求 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)点 P 是 抛 物 线 对 称 轴 上 的 一 个 动 点 ， 是 否 存 在 点 P， 使 PAB的 周 长 最 小 ？ 若 存 在 ， 求 出点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 抛 物 线 经 过 点 A(1， 0)， 对 称 轴 是 x=2列 出 方 程 组 ， 解 方 程 组
25、求 出 b、 c 的 值即 可 ；(2)因 为 点 A与 点 C 关 于 x=2 对 称 ， 根 据 轴 对 称 的 性 质 ， 连 接 BC与 x=2交 于 点 P， 则 点 P 即为 所 求 ， 求 出 直 线 BC与 x=2 的 交 点 即 可 .答 案 ： (1)由 题 意 得 ， 1 022 b cb ， 解 得 b=4， c=3， 抛 物 线 的 解 析 式 为 .y=x 2-4x+3.(2) 点 A 与 点 C 关 于 x=2对 称 ， 连 接 BC 与 x=2交 于 点 P， 则 点 P即 为 所 求 ，根 据 抛 物 线 的 对 称 性 可 知 ， 点 C 的 坐 标 为 (
26、3， 0)，y=x2-4x+3 与 y 轴 的 交 点 为 (0， 3)， 设 直 线 BC的 解 析 式 为 ： y=kx+b， 3 03k bb ， 解 得 ， k=-1， b=3， 直 线 BC 的 解 析 式 为 ： y=-x+3， 则 直 线 BC与 x=2的 交 点 坐 标 为 ： (2， 1). 点 P的 交 点 坐 标 为 ： (2， 1).24 学 生 对 小 区 居 民 的 健 身 方 式 进 行 调 查 ， 并 将 调 查 结 果 绘 制 成 如 图 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 .请 根 据 所 给 信 息 解 答 下 列 问 题 ： (1)本 次 共 调 查 人
27、 ；(2)补 全 图 (1)中 的 条 形 统 计 图 ， 图 (2)中 “ 跑 步 ” 所 在 扇 形 对 应 的 圆 心 角 度 数 是 ；(3)估 计 2000人 中 喜 欢 打 太 极 的 大 约 有 多 少 人 ？解 析 ： (1)用 广 场 舞 的 人 数 除 以 广 场 舞 所 占 的 百 分 比 ， 即 可 得 到 调 查 的 人 数 ；(2)算 出 球 类 的 人 数 ， 即 可 补 全 条 形 统 计 图 ； 算 出 跑 步 所 占 的 百 分 比 乘 以 360 ， 即 可 得 到所 对 应 圆 心 角 的 度 数 ；(3)根 据 样 本 估 计 总 体 ， 即 可 解
28、答 .答 案 ： (1)18 36%=50(人 ).(2)球 类 的 人 数 ： 50-3-17-18-5=7(人 )， “ 跑 步 ” 所 在 扇 形 对 应 的 圆 心 角 度 数 是 ： 550 360=36 .如 图 所 示 ： (3)2000 350 =120(人 ).答 ： 估 计 2000 人 中 喜 欢 打 太 极 的 大 约 有 120人 .25.某 天 早 晨 ， 张 强 从 家 跑 步 去 体 育 锻 炼 ， 同 时 妈 妈 从 体 育 场 晨 练 结 束 回 家 ， 途 中 两 人 相 遇 ，张 强 跑 到 体 育 场 后 发 现 要 下 雨 ， 立 即 按 原 路 返
29、 回 ， 遇 到 妈 妈 后 两 人 一 起 回 到 家 (张 强 和 妈 妈始 终 在 同 一 条 笔 直 的 公 路 上 行 走 ).如 图 是 两 人 离 家 的 距 离 y(米 )与 张 强 出 发 的 时 间 x(分 )之间 的 函 数 图 象 ， 根 据 图 象 信 息 解 答 下 列 问 题 ： (1)求 张 强 返 回 时 的 速 度 ；(2)妈 妈 比 按 原 速 返 回 提 前 多 少 分 钟 到 家 ？(3)请 直 接 写 出 张 强 与 妈 妈 何 时 相 距 1000米 ？解 析 ： (1)根 据 速 度 =路 程 时 间 ， 即 可 解 答 ；(2)求 出 妈 妈
30、原 来 的 速 度 ， 妈 妈 原 来 走 完 3000米 所 用 的 时 间 ， 即 可 解 答 ；(3)分 别 求 出 张 强 和 妈 妈 的 函 数 解 析 式 ， 根 据 张 强 与 妈 妈 相 距 1000米 ， 列 出 方 程 ， 即 可 解 答 .答 案 ： (1)3000 (50-30)=3000 20=150(米 /分 )，答 ： 张 强 返 回 时 的 速 度 为 150米 /分 ；(2)(45-30) 150=2250(米 )， 点 B的 坐 标 为 (45， 750)，妈 妈 原 来 的 速 度 为 ： 2250 45=50(米 /分 )，妈 妈 原 来 回 家 所 用
31、 的 时 间 为 ： 3000 50=60(分 )，60-50=10(分 )，妈 妈 比 按 原 速 返 回 提 前 10分 钟 到 家 ； (3)如 图 ： 设 线 段 BD 的 函 数 解 析 式 为 ： y=kx+b，把 (0， 3000)， (45， 750)代 入 得 ： 300045 750b k b ， ， 解 得 ： 503000kb ， ， y=-50 x+3000，线 段 OA的 函 数 解 析 式 为 ： y=100 x(0 x 30)，设 线 段 AC 的 解 析 式 为 ： y=k1x+b1，把 (30， 3000)， (50， 0)代 入 得 ： 1 11 130
32、300050 0k bk b ， 解 得 ： 11 1507500kb ， y=-150 x+7500， (30 x 50).当 张 强 与 妈 妈 相 距 1000 米 时 ， 即 -50 x+3000-100 x=1000 或 -150 x+7500-(-50 x+3000)=1000或 (-150 x+7500)-(-50 x+3000)=1000， 解 得 ： x=35或 x= 403 或 x=803 ， 当 时 间 为 35 分 或 403 分 或 803 分 时 ， 张 强 与 妈 妈 何 时 相 距 1000米 .26.如 图 ， 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， 点 E在
33、 直 线 BC 上 ， 连 接 AE.将 ABE沿 AE所 在 直 线 折 叠 ，点 B 的 对 应 点 是 点 B ， 连 接 AB 并 延 长 交 直 线 DC 于 点 F. (1)当 点 F 与 点 C 重 合 时 如 图 (1)， 易 证 ： DF+BE=AF(不 需 证 明 )；(2)当 点 F 在 DC的 延 长 线 上 时 如 图 (2)， 当 点 F 在 CD的 延 长 线 上 时 如 图 (3)， 线 段 DF、 BE、AF有 怎 样 的 数 量 关 系 ？ 请 直 接 写 出 你 的 猜 想 ， 并 选 择 一 种 情 况 给 予 证 明 .解 析 ： (1)由 折 叠 可
34、 得 AB=AB ， BE=B E， 再 根 据 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， 易 证 B E=B F，即 可 证 明 DF+BE=AF；(2)图 (2)的 结 论 ： DF+BE=AF； 图 (3)的 结 论 ： BE-DF=AF； 证 明 图 (2)： 延 长 CD到 点 G， 使 DG=BE，连 接 AG， 需 证 ABE ADG，根 据 CB AD， 得 AEB= EAD， 即 可 得 出 B AE= DAG， 则 GAF= DAE， 则 AGD= GAF，即 可 得 出 答 案 BE+DF=AF.答 案 ： (1)由 折 叠 可 得 AB=AB ， BE=B E， 四 边
35、形 ABCD 是 正 方 形 ， AB=DC=DF， CB E=45 ， B E=B F， AF=AB +B F， 即 DF+BE=AF.(2)图 (2)的 结 论 ： DF+BE=AF；图 (3)的 结 论 ： BE-DF=AF；图 (2)的 证 明 ： 延 长 CD 到 点 G， 使 DG=BE， 连 接 AG，需 证 ABE ADG， CB AD， AEB= EAD， BAE= B AE， B AE= DAG， GAF= DAE， AGD= GAF， GF=AF， BE+DF=AF；图 (3)的 证 明 ： 在 BC上 取 点 M， 使 BM=DF， 连 接 AM， 需 证 ABM AD
36、F， BAM= FAD， AE=AM ABE A BE BAE= EAB ， MAE= DAE， AD BE， AEM= DAB， MAE= AEM， ME=MA=AF， BE-DF=AF. 27.某 企 业 开 展 献 爱 心 扶 贫 活 动 ， 将 购 买 的 60 吨 大 米 运 往 贫 困 地 区 帮 扶 贫 困 居 民 ， 现 有 甲 、乙 两 种 货 车 可 以 租 用 .已 知 一 辆 甲 种 货 车 和 3 辆 乙 种 货 车 一 次 可 运 送 29吨 大 米 ， 2 辆 甲 种 货车 和 3辆 乙 种 货 车 一 次 可 运 送 37 吨 大 米 .(1)求 每 辆 甲 种
37、 货 车 和 每 辆 乙 种 货 车 一 次 分 别 能 装 运 多 少 吨 大 米 ？(2)已 知 甲 种 货 车 每 辆 租 金 为 500元 ， 乙 种 货 车 每 辆 租 金 为 450元 ， 该 企 业 共 租 用 8辆 货 车 .请 求 出 租 用 货 车 的 总 费 用 w(元 )与 租 用 甲 种 货 车 的 数 量 x(辆 )之 间 的 函 数 关 系 式 .(3)在 (2)的 条 件 下 ， 请 你 为 该 企 业 设 计 如 何 租 车 费 用 最 少 ？ 并 求 出 最 少 费 用 是 多 少 元 ？解 析 ： (1)根 据 题 意 列 出 方 程 组 求 解 即 可
38、；(2)将 两 车 的 费 用 相 加 即 可 求 得 总 费 用 的 函 数 解 析 式 ；(3)根 据 一 次 函 数 得 到 当 x 越 小 时 ， 总 费 用 越 小 ， 分 别 代 入 1， 2， 3， 4得 到 最 小 值 即 可 .答 案 ： (1)设 甲 种 货 车 x 辆 ， 乙 种 货 车 y 辆 ，根 据 题 意 得 ： 3 292 3 37x yx y ， ， 解 得 ： 87xy ， 答 ： 甲 车 装 8 吨 ， 乙 车 装 7 吨 ；(2)设 甲 车 x 辆 ， 则 乙 车 为 (8-x)辆 ，根 据 题 意 得 ： w=500 x+450(8-x)=50 x+3
39、600(1 x 8).(3) 当 x=1时 ， 则 8-x=7， w=8+7 7=57 60 吨 ， 不 合 题 意 ；当 x=2时 ， 则 8-x=6， w=8 2+7 6=58 60吨 ， 不 合 题 意 ；当 x=3时 ， 则 8-x=5， w=8 3+7 5=59 60吨 ， 不 合 题 意 ；当 x=4时 ， 则 8-x=4， w=8 4+7 4=60吨 ， 符 合 题 意 ； 租 用 4 辆 甲 车 ， 4辆 乙 车 时 总 运 费 最 省 ， 为 50 4+3600=3800元 .28.如 图 ， 四 边 形 OABC是 矩 形 ， 点 A、 C在 坐 标 轴 上 ， ODE是
40、OCB绕 点 O 顺 时 针 旋 转 90得 到 的 ， 点 D在 x轴 上 ， 直 线 BD交 y轴 于 点 F， 交 OE于 点 H， 线 段 BC、 OC的 长 是 方 程 x 2-6x+8=0的 两 个 根 ， 且 OC BC. (1)求 直 线 BD 的 解 析 式 ；(2)求 OFH的 面 积 ；(3)点 M 在 坐 标 轴 上 ， 平 面 内 是 否 存 在 点 N， 使 以 点 D、 F、 M、 N为 顶 点 的 四 边 形 是 矩 形 ？ 若存 在 ， 请 直 接 写 出 点 N 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)解 方 程 可 求
41、得 OC、 BC 的 长 ， 可 求 得 B、 D 的 坐 标 ， 利 用 待 定 系 数 法 可 求 得 直 线 BD的 解 析 式 ；(2)可 求 得 E点 坐 标 ， 求 出 直 线 OE的 解 析 式 ， 联 立 直 线 BD、 OE 解 析 式 可 求 得 H 点 的 横 坐 标 ，可 求 得 OFH的 面 积 ；(3)当 MFD 为 直 角 三 角 形 时 ， 可 找 到 满 足 条 件 的 点 N， 分 MFD=90 、 MDF=90 和 FMD=90 三 种 情 况 ， 分 别 求 得 M点 的 坐 标 ， 可 分 别 求 得 矩 形 对 角 线 的 交 点 坐 标 ， 再 利
42、 用 中 点坐 标 公 式 可 求 得 N 点 坐 标 .答 案 ： (1)解 方 程 x 2-6x+8=0可 得 x=2或 x=4， BC、 OC 的 长 是 方 程 x2-6x+8=0的 两 个 根 ， 且 OC BC， BC=2， OC=4， B(-2， 4)， ODE是 OCB绕 点 O 顺 时 针 旋 转 90 得 到 的 ， OD=OC=4， DE=BC=2， D(4， 0)，设 直 线 BD 解 析 式 为 y=kx+b，把 B、 D 坐 标 代 入 可 得 2 44 0k bk b ， 解 得 2383kb ， 直 线 BD的 解 析 式 为 y=- 23 x+83 .(2)由
43、 (1)可 知 E(4， 2)，设 直 线 OE 解 析 式 为 y=mx，把 E 点 坐 标 代 入 可 求 得 m= 12 ， 直 线 OE 解 析 式 为 y= 12 x，令 - 23 x+83 = 12 x， 解 得 x=167 ， H 点 到 y 轴 的 距 离 为 167 ，又 由 (1)可 得 F(0， 83 )， OF=83 ， S OFH= 12 83 167 = 6421.(3) 以 点 D、 F、 M、 N 为 顶 点 的 四 边 形 是 矩 形 ， DFM为 直 角 三 角 形 ， 当 MFD=90 时 ， 则 M只 能 在 x轴 上 ， 连 接 FN交 MD 于 点
44、G， 如 图 1， 由 (2)可 知 OF=83 ， OD=4， 则 有 MOF FOD， OM OFOF OD ， 即 88 33 4OM ， 解 得 OM=169 ， M(-169 ， 0)， 且 D(4， 0)， G(109 ， 0)，设 N 点 坐 标 为 (x， y)， 则 0 102 9x ， 83 02y ，解 得 x= 209 ， y=-83 ， 此 时 N 点 坐 标 为 ( 209 ， -83 )； 当 MDF=90 时 ， 则 M只 能 在 y轴 上 ， 连 接 DN交 MF 于 点 G， 如 图 2， 则 有 FOD DOM， OF ODOD OM ， 即 8 434
45、OM ， 解 得 OM=6， M(0， -6)， 且 F(0， 83 )， MG= 12 MF=133 ， 则 OG=OM-MG=6-133 = 53 ， G(0， -53 )，设 N 点 坐 标 为 (x， y)， 则 42x =0， 02y =-53 ， 解 得 x=-4， y=-103 ， 此 时 N(-4， -103 )； 当 FMD=90 时 ， 则 可 知 M点 为 O 点 ， 如 图 ， 四 边 形 MFND 为 矩 形 ， NF=OD=4， ND=OF=83 ， 可 求 得 N(4， 83 )；综 上 可 知 存 在 满 足 条 件 的 N 点 ， 其 坐 标 为 ( 209 ， -83 )或 (-4， -103 )或 (4， 83 ).
