1、2015 年 黑 龙 江 省 大 庆 市 中 考 数 学 试 卷一 、 选 择 题 (共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 30 分 )1.sin60 =( )A.21B. 22C.1 D. 23解 析 ： 考 查 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ， 原 式 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 解 得 即 可 ： sin60 = 23 .答 案 ： D.2.将 0.00007用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.7 10 6B.70 10 5C.7 10 5D.0.7 10 6解 析 ： 绝 对 值 小 于 1 的 正 数 也 可 以 利 用 科 学 记 数
2、法 表 示 ， 一 般 形 式 为 a 10 n， 与 较 大 数 的科 学 记 数 法 不 同 的 是 其 所 使 用 的 是 负 指 数 幂 ， 指 数 由 原 数 左 边 起 第 一 个 不 为 零 的 数 字 前 面 的0的 个 数 所 决 定 ： 0.00007=7 10 5.答 案 ： C.3.a 2的 算 术 平 方 根 一 定 是 ( )A.aB.|a|C. aD.-a解 析 ： 这 里 考 查 的 是 算 术 平 方 根 ， 根 据 算 术 平 方 根 定 义 ： a2 =|a|.答 案 ： B.4.正 n边 形 每 个 内 角 的 大 小 都 为 108 ， 则 n=( )
3、A.5 B.6C.7 D.8解 析 ： 考 查 多 边 形 内 角 与 外 角 ， 利 用 正 多 边 形 的 性 质 得 出 其 外 角 ， 进 而 得 出 多 边 形 的 边 数 ： 正 n 边 形 每 个 内 角 的 大 小 都 为 108 每 个 外 角 为 72则 n=36072 =5.答 案 ： A.5.某 品 牌 自 行 车 1月 份 销 售 量 为 100辆 ， 每 辆 车 售 价 相 同 .2月 份 的 销 售 量 比 1月 份 增 加 10%，每 辆 车 的 售 价 比 1 月 份 降 低 了 80 元 .2月 份 与 1月 份 的 销 售 总 额 相 同 ， 则 1 月
4、份 的 售 价 为 ()A.880元B.800元 C.720元D.1080元解 析 ： 考 查 一 元 一 次 方 程 的 应 用 ， 设 1 月 份 每 辆 车 售 价 为 x 元 ， 则 2 月 份 每 辆 车 的 售 价 为 (x 80)元 ， 依 据 “ 2月 份 的 销 售 量 比 1月 份 增 加 10%， 每 辆 车 的 售 价 比 1 月 份 降 低 了 80 元 .2月 份 与 1 月 份 的 销 售 总 额 相 同 ” 列 出 方 程 并 解 答 .设 1 月 份 每 辆 车 售 价 为 x 元 ， 则 2 月 份 每 辆 车 的 售 价 为 (x 80)元 ，依 题 意
5、得 100 x=(x 80) 100 (1+10%)， 解 得 x=880,即 1 月 份 每 辆 车 售 价 为 880元 .答 案 ： A.6.在 O 中 ， 圆 心 O到 弦 AB 的 距 离 为 AB长 度 的 一 半 ， 则 弦 AB所 对 圆 心 角 的 大 小 为 ( )A.30B.45 C.60D.90解 析 ： 考 查 垂 径 定 理 、 等 腰 直 角 三 角 形 ， 利 用 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 以 及 垂 径 定 理 得 出 BOC的 度 数 进 而 求 出 :如 图 所 示 ： 连 接 BO， AO， 圆 心 O 到 弦 AB的 距 离 为 AB长
6、度 的 一 半 ， DO=DB， DO AB， BOC= BOC=45 ，则 A= AOC=45 ， AOB=90答 案 ： D. 7.以 下 图 形 中 对 称 轴 的 数 量 小 于 3的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： 考 查 轴 对 称 图 形 ， 根 据 对 称 轴 的 概 念 求 解 ：A.有 4条 对 称 轴 ；B.有 6条 对 称 轴 ；C.有 4条 对 称 轴 ； D.有 2条 对 称 轴 .答 案 ： D.8.某 射 击 小 组 有 20 人 ， 教 练 根 据 他 们 某 次 射 击 的 数 据 绘 制 如 图 所 示 的 统 计 图 ， 则 这 组 数 据的 众
7、 数 和 中 位 数 分 别 是 ( )A.7， 7 B.8， 7.5C.7， 7.5D.8， 6解 析 ： 考 查 众 数 、 条 形 统 计 图 、 中 位 数 ， 找 中 位 数 要 把 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 ， 位 于 最中 间 的 一 个 数 (或 两 个 数 的 平 均 数 )为 中 位 数 ； 众 数 是 一 组 数 据 中 出 现 次 数 最 多 的 数 据 ， 可 得答 案 ： 在 这 一 组 数 据 中 7是 出 现 次 数 最 多 的 ， 故 众 数 是 7； 排 序 后 处 于 中 间 位 置 的 那 个 数 是7， 8， 那 么 由 中 位
8、数 的 定 义 可 知 ， 这 组 数 据 的 中 位 数 是 7 82 =7.5答 案 ： C.9.已 知 二 次 函 数 y=a(x 2) 2+c， 当 x=x1时 ， 函 数 值 为 y1； 当 x=x2时 ， 函 数 值 为 y2， 若 |x12| |x2 2|， 则 下 列 表 达 式 正 确 的 是 ( )A.y1+y2 0B.y1 y2 0C.a(y1 y2) 0 D.a(y1+y2) 0解 析 ： 这 里 考 查 二 次 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 ， 分 a 0 和 a 0 两 种 情 况 根 据 二 次 函 数 的 对称 性 确 定 出 y1与 y2的 大
9、小 关 系 ， 然 后 对 各 选 项 分 析 判 断 即 可 得 解 . a 0时 ， 二 次 函 数 图 象 开 口 向 上 ， |x1 2| |x2 2|， y1 y2， 无 法 确 定 y1+y2的 正 负情 况 ， a(y1 y2) 0. a 0时 ， 二 次 函 数 图 象 开 口 向 下 ， |x1 2| |x2 2|， y1 y2， 无 法 确 定 y1+y2的 正 负情 况 ， a(y1 y2) 0.综 上 所 述 ， 表 达 式 正 确 的 是 a(y 1 y2) 0.答 案 ： C.10.已 知 点 A( 2， 0)， B 为 直 线 x= 1 上 一 个 动 点 ， P
10、为 直 线 AB与 双 曲 线 y=1x 的 交 点 ， 且AP=2AB， 则 满 足 条 件 的 点 P 的 个 数 是 ( ) A.0个B.1个C.2个D.3个解 析 ： 这 里 考 查 的 是 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 问 题 ：如 图 ， 设 P(m， 1m )， B( 1， n)， 直 线 x= 1与 x轴 交 于 C， A( 2， 0)， OA=2， OC=1， AC=1， BC y 轴 ， 12AB ACAP AO ， P1， P2在 y 轴 上 ， 这 样 的 点 P 不 存 在 ， 点 P4在 AB 之 间 ， 不 满 足 AP=2AB，过 P2作
11、P2Q x轴 于 Q， P2Q B1C， 12 12AB ACAP AQ ， 1 12 2m ， m= 4， P( 4， 14 )， 满 足 条 件 的 点 P 的 个 数 是 1.答 案 ： B.二 、 填 空 题 (共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24分 )11.函 数 y= 1x 的 自 变 量 x的 取 值 范 围 是 . 解 析 ： 这 里 考 查 的 是 函 数 自 变 量 的 取 值 范 围 ， 由 二 次 根 式 的 性 质 和 分 式 的 意 义 可 得 ， 被 开 方数 大 于 等 于 0， 分 母 不 为 0， 就 可 以 求 解 ： 根 据 二 次
12、根 式 有 意 义 ， 分 式 有 意 义 得 ： x 0且 x 0，解 得 ： x 0.答 案 ： x 0.12.已 知 xy =13， 则 x yy 的 值 为 .解 析 ： 这 里 考 查 的 是 比 例 的 性 质 ： xy =13 设 x=k， y=3k， x yy = 33k kk = 23 .答 案 ： 23 .13.底 面 直 径 和 高 都 是 1 的 圆 柱 侧 面 积 为 . 解 析 ： 可 利 用 圆 柱 侧 面 积 公 式 求 得 ： 圆 柱 的 侧 面 积 =底 面 周 长 高 ： 圆 柱 的 侧 面 积 =底 面 周 长 高 = 1= .答 案 ： .14.边 长
13、 为 1 的 正 三 角 形 的 内 切 圆 半 径 为 .解 析 ： 这 里 考 查 的 是 三 角 形 的 内 切 圆 与 内 心 ， 以 及 等 边 三 角 形 的 三 线 合 一 性 质 ： 在 等 边 三 角形 内 构 造 一 个 由 其 内 切 圆 的 半 径 、 外 接 圆 的 半 径 和 半 边 组 成 的 30 的 直 角 三 角 形 ， 利 用 锐角 三 角 函 数 关 系 求 出 内 切 圆 半 径 即 可 .如 图 所 示 ： 内 切 圆 的 半 径 OD、 外 接 圆 的 半 径 OB和 半 边 BD组 成 一 个 30 的 直 角 三 角 形 OBD，则 OBD=3
14、0 ， BD=12， tan BOD=ODBD = 33 ， 内 切 圆 半 径 OD= 3 1 33 2 6 答 案 ： 36 .15.用 一 个 平 面 去 截 一 个 几 何 体 ， 截 面 形 状 为 三 角 形 ， 则 这 个 几 何 体 可 能 为 ： 正 方 体 ； 圆 柱 ； 圆 锥 ； 正 三 棱 柱 (写 出 所 有 正 确 结 果 的 序 号 ).解 析 ： 正 方 体 能 截 出 三 角 形 ； 圆 柱 体 的 截 面 无 论 什 么 方 向 截 取 圆 柱 都 不 会 截 得 三 角 形 ； 圆 锥 沿 着 母 线 截 几 何 体 可 以 截 出 三 角 形 ； 正
15、三 棱 柱 能 截 出 三 角 形 .故 截 面 可 能 是 三 角 形 的 有 3 个 .答 案 ： .16.方 程 3(x 5) 2=2(x 5)的 根 是 .解 析 ： 方 程 移 项 变 形 得 ： 3(x 5)2 2(x 5)=0，提 公 因 式 法 分 解 因 式 得 ： (x 5)3(x 5) 2=0， 即 (x 5)(3x 17)=0 x 5=0或 3x 17=0， 解 得 ： x1=5， x2=173 .答 案 ： x1=5， x2=17317.若 a 2n=5， b2n=16， 则 (ab)n= .解 析 ： 这 里 考 查 的 是 幂 的 乘 方 与 积 的 乘 方 的
16、相 关 知 识 . a2n=5， b2n=16， (an)2=5， (bn)2=16， an= 5 ， bn= 4 (ab)n=an bn= 4 5答 案 ： 4 5.18.在 Rt ABC 中 ， C=90 ， AC=BC=1， 将 其 放 入 平 面 直 角 坐 标 系 ， 使 A点 与 原 点 重 合 ， AB在 x 轴 上 ， ABC沿 x轴 顺 时 针 无 滑 动 的 滚 动 ， 点 A 再 次 落 在 x轴 时 停 止 滚 动 ， 则 点 A 经 过的 路 线 与 x轴 围 成 图 形 的 面 积 为 . 解 析 ： 根 据 题 意 得 ： 2 ABC绕 点 B 顺 时 针 旋 转
17、 135 ， BC落 在 x轴 上 ； ABC再 绕 点 C 顺时 针 旋 转 90 ， AC落 在 x 轴 上 ， 停 止 滚 动 ， 如 图 ： 点 A的 运 动 轨 迹 是 ： 先 绕 点 B 旋 转 135 ， 再 绕 点 C 旋 转 90 ； 如 图 所 示 ： 点 A经 过 的 路 线 与 x轴 围 成 的 图 形 是 ： 一 个 圆 心 角 为 135 ， 半 径 为 2的 扇 形 ， 加 上 ABC，再 加 上 圆 心 角 是 90 ， 半 径 是 1 的 扇 形 ； 点 A经 过 的 路 线 与 x 轴 围 成 图 形 的 面 积= 2150 ( 2)360 +12 1 1+
18、 290 1360 = +12；答 案 ： +12.三 、 解 答 题 (共 10小 题 ， 满 分 66 分 )19.求 值 ： 2 201510.25 ( 1)( )2 解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 算 术 平 方 根 定 义 计 算 ， 第 二 项 利 用 乘 方 的 意 义 化 简 ， 第 三 项 利 用 乘 方的 意 义 化 简 ， 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 =1 1 112 4 4 20.解 关 于 x 的 不 等 式 ： ax x 2 0.解 析 ： 这 里 考 查 含 有 字 母 的 一 元 一 次 不 等 式 的 解 集 ， 要 分 情
19、况 分 析 字 母 的 范 围 ， 然 后 求 解 .原 式 可 得 ax x 2 0， 即 (a 1)x 2，当 a 1=0， 则 ax x 2 0 为 空 集 ，当 a 1 0， 则 x 21a ，当 a 1 0， 则 a 21a . 21.已 知 实 数 a， b 是 方 程 x2 x 1=0的 两 根 ， 求 b aa b 的 值 .解 析 ： 根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 到 a+b=1， ab= 1， 再 利 用 完 全 平 方 公 式 变 形 得 到22 2 2( )b a aba bb aa b ab ab ， 然 后 利 用 整 体 代 入 的 方 法 进 行 计
20、算 .答 案 ： 实 数 a， b 是 方 程 x2 x 1=0的 两 根 ， a+b=1， ab= 1，则 22 2 22 2 ( 1)( ) 1 31b a aba bb aa b ab ab 22.已 知 一 组 数 据 x 1， x2， x6的 平 均 数 为 1， 方 差 为 53(1)求 ： x12+x22+ +x62；(2)若 在 这 组 数 据 中 加 入 另 一 个 数 据 x7， 重 新 计 算 ， 平 均 数 无 变 化 ， 求 这 7 个 数 据 的 方 差 (结果 用 分 数 表 示 ) 解 析 ： (1)先 由 数 据 x1， x2， x6的 平 均 数 为 1，
21、得 出 x1+x2+ +x6=1 6=6， 再 根 据 方 差 为 53，得 到 S2=16 (x1 1)2+(x2 1)2+ +(x6 1)2=53， 利 用 完 全 平 方 公 式 求 出 16 (x12+x22+ +x622 6+6)=53， 进 而 求 解 即 可 ；(2)先 由 数 据 x1， x2， x7的 平 均 数 为 1， 得 出 x1+x2+ +x7=1 7=7， 而 x1+x2+ +x6=6， 所 以x 7=1； 再 根 据 16 (x1 1)2+(x2 1)2+ +(x6 1)2= 53， 得 出 (x1 1)2+(x2 1)2+ +(x61)2=10， 然 后 根 据
22、 方 差 的 计 算 公 式 即 可 求 出 这 7个 数 据 的 方 差 .答 案 ： (1) 数 据 x1， x2， x6的 平 均 数 为 1， x1+x2+ +x6=1 6=6，又 方 差 为 53， S 2=16(x1 1)2+(x2 1)2+ +(x6 1)2=16 x12+x22+ +x62 2(x1+x2+ +x6)+6=16 (x12+x22+ +x62 2 6+6)=16 (x 12+x22+ +x62) 1=53， x12+x22+ +x62=16；(2) 数 据 x1， x2， x7的 平 均 数 为 1， x1+x2+ +x7=1 7=7， x1+x2+ +x6=6，
23、 x7=1， 16 (x 1 1)2+(x2 1)2+ +(x6 1)2= 53， (x1 1)2+(x2 1)2+ +(x6 1)2=10， S2=17(x1 1)2+(x2 1)2+ +(x7 1)2=17 10+(1 1)2=107 .23.某 商 场 举 行 开 业 酬 宾 活 动 ， 设 立 了 两 个 可 以 自 由 转 动 的 转 盘 (如 图 所 示 ， 两 个 转 盘 均 被 等分 )， 并 规 定 ： 顾 客 购 买 满 188元 的 商 品 ， 即 可 任 选 一 个 转 盘 转 动 一 次 ， 转 盘 停 止 后 ， 指 针所 指 区 域 内 容 即 为 优 惠 方 式
24、 ； 若 指 针 所 指 区 域 空 白 ， 则 无 优 惠 .已 知 小 张 在 该 商 场 消 费 300 元(1)若 他 选 择 转 动 转 盘 1， 则 他 能 得 到 优 惠 的 概 率 为 多 少 ？(2)选 择 转 动 转 盘 1 和 转 盘 2， 哪 种 方 式 对 于 小 张 更 合 算 ， 请 通 过 计 算 加 以 说 明 . 解 析 ： (1)选 择 转 盘 1， 可 根 据 转 盘 1 的 图 示 ， 利 用 概 率 公 式 求 得 获 得 优 惠 的 概 率 即 可 ；(2)分 别 求 得 转 动 两 个 转 盘 所 获 得 的 优 惠 ， 然 后 比 较 即 可
25、得 到 结 论 .答 案 ： (1) 整 个 圆 被 分 成 了 12 个 扇 形 ， 其 中 有 6 个 扇 形 能 享 受 折 扣 ， 由 图 可 得 ： 转 盘 1总 共 有 12块 ， 其 中 优 惠 部 分 占 6 块 ， P(转 盘 1 得 到 优 惠 )= 612 =12；(2)由 图 可 得 ： 转 盘 2 总 共 4 块 ， 其 中 优 惠 部 分 占 2 块 ， P(转 盘 2 得 到 优 惠 )=24 =12转 盘 1能 获 得 的 优 惠 为 ： 0.3 300 0.2 300 2 0.1 300 3 2512 元 ，转 盘 2能 获 得 的 优 惠 为 ： 40 24
26、=20元 ， 选 择 转 动 转 盘 1 更 优 惠 . 24.小 敏 同 学 测 量 一 建 筑 物 CD的 高 度 ， 她 站 在 B处 仰 望 楼 顶 C， 测 得 仰 角 为 30 ， 再 往 建 筑物 方 向 走 30m， 到 达 点 F处 测 得 楼 顶 C的 仰 角 为 45 (BFD在 同 一 直 线 上 ).已 知 小 敏 的 眼 睛与 地 面 距 离 为 1.5m， 求 这 栋 建 筑 物 CD的 高 度 (参 考 数 据 ： 3 1.732， 2 1.414.结 果 保留 整 数 )解 析 ： 延 长 AE交 CD于 点 G， 设 CG=xm， 在 直 角 CGE中 利
27、用 x 表 示 出 EG， 然 后 在 直 角 ACG 中 ， 利 用 x 表 示 出 AG， 根 据 AE=AG EG即 可 列 方 程 求 得 x 的 值 ， 进 而 求 出 CD的 长 .答 案 ： 延 长 AE 交 CD于 点 G.设 CG=xm， 在 Rt CGE中 ， CEG=45 ， 则 EG=CG=xm.在 Rt ACG中 ， AG= 3tan30CG x m AG EG=AE， 3x-x=30.解 得 ： x=15( 3+1) 15 2.732 40.98(m)， 则 CD=40.98+1.5=42(m).答 ： 这 栋 建 筑 物 CD 的 高 度 是 41m.25.如 图
28、 ， ABC 中 ， ACB=90 ， D、 E 分 别 是 BC、 BA 的 中 点 ， 联 结 DE， F 在 DE 延 长 线 上 ，且 AF=AE.(1)求 证 ： 四 边 形 ACEF是 平 行 四 边 形 ；(2)若 四 边 形 ACEF是 菱 形 ， 求 B的 度 数 . 解 析 ： (1)由 直 角 三 角 形 的 性 质 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 可 得 CE=AE=BE， 那 么 AF=CE，再 由 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 的 性 质 可 得 1= 2， 根 据 等 边 对 等 角 可 得 然 后 F= 3， 然 后 求 出 2= F，
29、 再 根 据 同 位 角 相 等 ， 两 直 线 平 行 求 出 CE AF， 然 后 利 用 一 组 对 边 平 行 且 相 等 的 四边 形 是 菱 形 证 明 .(2)根 据 菱 形 的 四 条 边 都 相 等 可 得 AC=CE， 然 后 求 出 AC=CE=AE， 从 而 得 到 AEC是 等 边 三 角形 ， 再 根 据 等 边 三 角 形 的 每 一 个 角 都 是 60 求 出 CAE=60 ， 然 后 根 据 直 角 三 角 形 两 锐 角互 余 解 答 .答 案 ： (1)证 明 ： ACB=90 ， E是 BA的 中 点 ， CE=AE=BE， AF=AE， AF=CE，
30、在 BEC中 ， BE=CE 且 D 是 BC 的 中 点 ， ED 是 等 腰 BEC底 边 上 的 中 线 ， ED 也 是 等 腰 BEC的 顶 角 平 分 线 ， 1= 2， AF=AE， F= 3， 1= 3， 2= F， CE AF，又 CE=AF， 四 边 形 ACEF是 平 行 四 边 形 ；(2)解 ： 四 边 形 ACEF是 菱 形 ， AC=CE，由 (1)知 ， AE=CE， AC=CE=AE， AEC是 等 边 三 角 形 ， CAE=60 ，在 Rt ABC中 ， B=90 CAE=90 60 =30 . 26.如 图 ， 一 次 函 数 y=kx+b 的 图 象
31、与 反 比 例 函 数 y= 7x 的 图 象 交 于 A( 1， m)、 B(n， 1)两 点(1)求 一 次 函 数 的 解 析 式 ；(2)求 AOB的 面 积 . 解 析 ： (1)把 A 与 B 坐 标 代 入 反 比 例 解 析 式 求 出 m 与 n 的 值 ， 确 定 出 A 与 B 坐 标 ， 再 把 A 与B的 坐 标 代 入 一 次 函 数 解 析 式 求 出 k 与 b 的 值 ， 即 可 确 定 出 一 次 函 数 解 析 式 ；(2)根 据 A 与 B 的 坐 标 求 出 AB 的 长 ， 运 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 求 出 原 点 O 到 直 线
32、AB 的 距 离 ，即 可 求 出 三 角 形 AOB面 积 .答 案 ： (1)把 A( 1， m)， B(n， 1)代 入 反 比 例 函 数 y= 7x ， 得 ： m=7， n=7， 即 A( 1， 7)，B(7， 1)，把 A 与 B 坐 标 代 入 一 次 函 数 解 析 式 得 ：解 得 ： k= 1， b=6， 则 一 次 函 数 解 析 式 为 y= x+6.(2) A( 1， 7)， B(7， 1)， AB= 2 2 8 2( 1 7) (7 1) 点 O到 直 线 y= x+6的 距 离 6 3 22d S AOB=12AB d=24.27.如 图 ， 四 边 形 ABC
33、D内 接 于 O， AD BC， P 为 BD上 一 点 ， APB= BAD.(1)证 明 ： AB=CD；(2)证 明 ： DPBD=ADBC；(2)证 明 ： BD 2=AB2+ADBC.解 析 ： (1)利 用 平 行 线 的 性 质 结 合 圆 周 角 定 理 得 出 ， 进 而 得 出 答 案 ；(2)根 据 相 似 三 角 形 判 定 方 法 得 出 ADP DBC， 进 而 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 得 出 答 案 ； (3)利 用 相 似 三 角 形 的 判 定 方 法 得 出 ABP DBA， 进 而 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 求得 :AB2=D
34、BPB， 再 利 用 (2)中 结 论 求 得 答 案 .答 案 ： 证 明 ： (1) AD BC， ADB= BDC， ， AB=BC；(2) APB= BAD， BAD+ BCD=180 ， APB+ APD=180 ， BCD= APD，又 ADB= CBD， ADP DBC， AD DPBD BC DP BD=AD BC；(3) APB= BAD， BAD= BPA， ABP DBA， AB PBDB AB ， AB 2=DB PB， AB2+AD BC=DB PB+AD BC 由 (2)得 ： DP BD=AD BC， AB2+AD BC=DB PB+DPBD=DB(PB+DP)=
35、DB2，即 BD2=AB2+AD BC.28.已 知 二 次 函 数 y=x2+bx 4的 图 象 与 y轴 的 交 点 为 C， 与 x 轴 正 半 轴 的 交 点 为 A， 且tan ACO=14 (1)求 二 次 函 数 的 解 析 式 ；(2)P为 二 次 函 数 图 象 的 顶 点 ， Q 为 其 对 称 轴 上 的 一 点 ， QC平 分 PQO， 求 Q点 坐 标 ；(3)是 否 存 在 实 数 x1、 x2(x1 x2)， 当 x1 x x2时 ， y 的 取 值 范 围 为 2 112 12yx x ？ 若 存 在 ， 直接 写 在 x1， x2的 值 ； 若 不 存 在 ，
36、 说 明 理 由 .解 析 ： (1)首 先 根 据 tan ACO=14， 求 出 OA 的 值 ， 即 可 判 断 出 A点 的 坐 标 ； 然 后 把 A 点 的 坐标 代 入 y=x 2+bx 4， 求 出 b 的 值 ， 即 可 判 断 出 二 次 函 数 的 解 析 式 .(2)首 先 根 据 Q 为 抛 物 线 对 称 轴 上 的 一 点 ， 设 点 Q 的 坐 标 为 ( 32 ， n)； 然 后 根 据 OQC= CQP、 CQP= OCQ， 可 得 OQC= OCQ， 所 以 OQ=OC， 据 此 求 出 n的 值 ， 进 而 判 断 出 Q 点 坐 标 即 可 . (3)
37、根 据 题 意 ， 分 3 种 情 况 ： 当 x1 x2 32 时 ； 当 x1 32 x2时 ； 当 32 x1 x2时 ；然 后 根 据 二 次 函 数 的 最 值 的 求 法 ， 求 出 满 足 题 意 的 实 数 x1、 x2(x1 x2)， 使 得 当 x1 x x2时 ，y的 取 值 范 围 为 2 112 12yx x 即 可 .答 案 ： (1)如 图 1， 连 接 AC， 二 次 函 数 y=x2+bx 4 的 图 象 与 y轴 的 交 点 为 C， C 点 的 坐 标 为 (0， 4)， tan ACO=14， 14OAOC ，又 OC=4， OA=1， A 点 的 坐
38、标 为 (1， 0)，把 A(1， 0)代 入 y=x 2+bx 4，可 得 0=1+b 4，解 得 b=3， 二 次 函 数 的 解 析 式 是 ： y=x2+3x 4.(2)如 图 2， y=x2+3x 4， 图 1 图 2 抛 物 线 的 对 称 轴 是 ： x= 32 ， Q 为 抛 物 线 对 称 轴 上 的 一 点 ， 设 点 Q 的 坐 标 为 ( 32 ， n)， 抛 物 线 的 对 称 轴 平 行 于 y 轴 ， CQP= OCQ，又 OQC= CQP， OQC= OCQ， OQ=OC， 2 23 4( )2 n ， 2 9 164n ，解 得 n= 552 ， Q 点 坐
39、标 是 ( 32 ， 552 )或 ( 32 ， 552 ).(3) 当 x 1 x2 32 时 ， 二 次 函 数 y=x2+3x 4 单 调 递 减 ， y 的 取 值 范 围 为 2 112 12yx x ，由 2 11 1123 4xx x 解 得 x 1= 3， 2， 2，由 2 22 2123 4xx x ，解 得 x2= 3， 2， 2， x1 x2 32 ， 当 x 1 32 x2时 ， 、 当 1 2 ( )3 32 2x x 时 ， 可 得 x1+x2 3， y 的 取 值 范 围 为 2 112 12yx x ，由 (1)， 可 得 2 4825x ，由 (2)， 可 得
40、 x 1= 3， 2， 2， x1 32 x2， 3 482 25 ， 没 有 满 足 题 意 的 x1、 x2. 、 当 1 23 3( )2 2x x 时 ，可 得 x1+x2 3， y 的 取 值 范 围 为 2 112 12yx x ， 解 得 x1+x2= 1875 48949 25 1.98 1.92= 3.9 3， 没 有 满 足 题 意 的 x1、 x2. 当 32 x 1 x2时 ，二 次 函 数 y=x2+3x 4单 调 递 增 ， y 的 取 值 范 围 为 2 112 12yx x ，(1) x 2 (2) x1， 可 得(x1 x2)(x1x2+4)=0， x1 x2 0， x1x2+4=0， 2 14x x (1)，把 (3)代 入 (1)， 可 得1 3 13x ， 1 32x 1 13 3x ， 2 14 13 3x x ， 313 3 2 ， 没 有 满 足 题 意 的 x1， x2.综 上 可 得 ：x1= 3， x2= 2时 ， 当 x1 x x2时 ， y 的 取 值 范 围 为 2 112 12yx x .
