1、2015年 重 庆 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 12 小 题 ， 每 小 题 4分 ， 满 分 48 分 )1. 在 -4， 0， -1， 3这 四 个 数 中 ， 最 大 的 数 是 ( )A.-4B.0C.-1D.3解 析 ： 考 查 有 理 数 大 小 比 较 ， 先 计 算 |-4|=4， |-1|=1， 根 据 负 数 的 绝 对 值 越 大 ， 这 个 数 越 小得 -4 -1， 再 根 据 正 数 大 于 0， 负 数 小 于 0 得 到 ， -4， 0， -1， 3 这 四 个 数 的 大 小 关 系 为 -4 -1 0 3.答 案 ： D. 2. 下
2、列 图 形 是 轴 对 称 图 形 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 考 查 轴 对 称 图 形 ， 根 据 轴 对 称 图 形 的 概 念 对 各 个 选 修 进 行 分 析 判 断 ：A.是 轴 对 称 图 形 ， 故 正 确 ；B.不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 错 误 ；C.不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 错 误 ；D.不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 错 误 .答 案 ： A. 3. 化 简 12 的 结 果 是 ( )A.4 3B.2 3 3 2D.2 6解 析 ： 考 查 二 次 根 式 的 性 质 与 化 简 ： 12 2 3答 案 ： B.4. 计 算 (
3、a 2b)3的 结 果 是 ( )A.a6b3B.a2b3C.a5b3D.a6b解 析 ： 根 据 幂 的 乘 方 和 积 的 乘 方 的 运 算 方 法 ： (am)n=amn(m， n 是 正 整 数 )； (ab)n=anbn(n是 正 整 数 )； (a2b)3=(a2)3 b3=a6b3答 案 ： A.5. 下 列 调 查 中 ， 最 适 合 用 普 查 方 式 的 是 ( )A.调 查 一 批 电 视 机 的 使 用 寿 命 情 况B.调 查 某 中 学 九 年 级 一 班 学 生 的 视 力 情 况 C.调 查 重 庆 市 初 中 学 生 每 天 锻 炼 所 用 的 时 间 情
4、况D.调 查 重 庆 市 初 中 学 生 利 用 网 络 媒 体 自 主 学 习 的 情 况解 析 ： 考 查 全 面 调 查 与 抽 样 调 查 ， 普 查 得 到 的 调 查 结 果 比 较 准 确 ， 但 所 费 人 力 、 物 力 和 时 间较 多 ， 而 抽 样 调 查 得 到 的 调 查 结 果 比 较 近 似 ， 对 各 个 选 项 进 行 分 析 判 断 ：A.调 查 一 批 电 视 机 的 使 用 寿 命 情 况 ， 调 查 局 有 破 坏 性 ， 适 合 抽 样 调 查 ， 故 A不 符 合 题 意 ；B.调 查 某 中 学 九 年 级 一 班 学 生 的 视 力 情 况
5、， 适 合 普 查 ， 故 B 符 合 题 意 ；C.调 查 重 庆 市 初 中 学 生 每 天 锻 炼 所 用 的 时 间 情 况 ， 调 查 范 围 广 ， 适 合 抽 样 调 查 ， 故 C不 符 合题 意 ；D.调 查 重 庆 市 初 中 学 生 利 用 网 络 媒 体 自 主 学 习 的 情 况 ， 适 合 抽 样 调 查 ， 故 D不 符 合 题 意 ；答 案 ： B.6. 如 图 ， 直 线 AB CD， 直 线 EF 分 别 与 直 线 AB， CD 相 交 于 点 G， H.若 1=135 ， 则 2 的度 数 为 ( ) A.65B.55C.45D.35解 析 ： 考 查
6、平 行 线 的 性 质 ： AB CD， 1=135 ， 2=180 -135 =45 .答 案 ： C. 7. 在 某 校 九 年 级 二 班 组 织 的 跳 绳 比 赛 中 ， 第 一 小 组 五 位 同 学 跳 绳 的 个 数 分 别 为 198， 230，220， 216， 209， 则 这 五 个 数 据 的 中 位 数 为 ( )A.220B.218C.216D.209解 析 ： 考 查 中 位 数 ， 找 中 位 数 要 把 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 ， 位 于 最 中 间 的 一 个 数 (或 两个 数 的 平 均 数 )为 中 位 数 ： 先 对 这 组
7、 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 序 重 新 排 序 ： 198， 209， 216， 220，230， 位 于 最 中 间 的 数 是 216， 这 组 数 的 中 位 数 是 216.答 案 ： C.8. 一 元 二 次 方 程 x 2-2x=0的 根 是 ( )A.x1=0， x2=-2B.x1=1， x2=2C.x1=1， x2=-2D.x1=0， x2=2解 析 ： 考 查 因 式 分 解 法 解 一 元 二 次 方 程 ： x2-2x=0， 因 式 分 解 得 ： x(x-2)=0， 即 x=0， x-2=0，解 得 ： x 1=0， x2=2，答 案 ： D.9. 如 图 ，
8、 AB 是 O 直 径 ， 点 C在 O 上 ， AE是 O的 切 线 ， A 为 切 点 ， 连 接 BC 并 延 长 交 AE于 点 D.若 AOC=80 ， 则 ADB的 度 数 为 ( )A.40 B.50C.60D.20解 析 ： 考 查 切 线 的 性 质 ， 由 AB 是 O直 径 ， AE 是 O的 切 线 ， 推 出 AD AB， DAC= B= 12 AOC=40 ， 推 出 AOD=50 ： AB 是 O直 径 ， AE是 O 的 切 线 ， BAD=90 ， B= 12 AOC=40 ， ADB=90 - B=50 .答 案 ： B.10. 今 年 “ 五 一 ” 节
9、， 小 明 外 出 爬 山 ， 他 从 山 脚 爬 到 山 顶 的 过 程 中 ， 中 途 休 息 了 一 段 时 间 .设 他 从 山 脚 出 发 后 所 用 时 间 为 t(分 钟 )， 所 走 的 路 程 为 s(米 )， s 与 t 之 间 的 函 数 关 系 如 图所 示 .下 列 说 法 错 误 的 是 ( ) A.小 明 中 途 休 息 用 了 20 分 钟B.小 明 休 息 前 爬 山 的 平 均 速 度 为 每 分 钟 70 米C.小 明 在 上 述 过 程 中 所 走 的 路 程 为 6600米D.小 明 休 息 前 爬 山 的 平 均 速 度 大 于 休 息 后 爬 山
10、的 平 均 速 度解 析 ： 根 据 函 数 图 象 可 知 ， 小 明 40分 钟 爬 山 2800米 ， 40 60分 钟 休 息 ， 60 100分 钟 爬 山(3800-2800)米 ， 爬 山 的 总 路 程 为 3800米 ， 根 据 路 程 、 速 度 、 时 间 的 关 系 对 各 选 项 进 行 分 析判 断 ：A.根 据 图 象 可 知 ， 在 40 60 分 钟 ， 路 程 没 有 发 生 变 化 ， 所 以 小 明 中 途 休 息 的 时 间 为 ： 60-40=20分 钟 ， 故 正 确 ；B.根 据 图 象 可 知 ， 当 t=40时 ， s=2800， 所 以 小
11、 明 休 息 前 爬 山 的 平 均 速 度 为 ： 2800 40=70(米/分 钟 )， 故 B 正 确 ；C.根 据 图 象 可 知 ， 小 明 在 上 述 过 程 中 所 走 的 路 程 为 3800 米 ， 故 错 误 ；D.小 明 休 息 后 的 爬 山 的 平 均 速 度 为 ： (3800-2800) (100-60)=25(米 /分 )， 小 明 休 息 前 爬 山 的 平 均 速 度 为 ： 2800 40=70(米 /分 钟 )， 70 25， 所 以 小 明 休 息 前 爬 山 的 平 均 速 度 大 于 休 息后 爬 山 的 平 均 速 度 ， 故 正 确 .答 案
12、： C.11. 下 列 图 形 都 是 由 同 样 大 小 的 小 圆 圈 按 一 定 规 律 组 成 的 ， 其 中 第 个 图 形 中 一 共 有 6 个 小圆 圈 ， 第 个 图 形 中 一 共 有 9 个 小 圆 圈 ， 第 个 图 形 中 一 共 有 12个 小 圆 圈 ， ， 按 此 规 律排 列 ， 则 第 个 图 形 中 小 圆 圈 的 个 数 为 ( )A.21 B.24C.27D.30解 析 ： 观 察 图 形 得 ：第 1 个 图 形 有 3+3 1=6 个 圆 圈 ，第 2 个 图 形 有 3+3 2=9 个 圆 圈 ，第 3 个 图 形 有 3+3 3=12个 圆 圈
13、 ，第 n 个 图 形 有 3+3n=3(n+1)个 圆 圈 ， 当 n=7时 ， 3 (7+1)=24，答 案 B.12. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 菱 形 ABCD 在 第 一 象 限 内 ， 边 BC 与 x 轴 平 行 ， A， B 两 点的 纵 坐 标 分 别 为 3， 1.反 比 例 函 数 y= 3x 的 图 象 经 过 A， B两 点 ， 则 菱 形 ABCD的 面 积 为 ( ) A.2B.4C.2 2D.4 2解 析 ： 考 查 菱 形 的 性 质 ； 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 .过 点 A 作 x 轴 的 垂 线 ，
14、 与 CB的 延长 线 交 于 点 E， 根 据 A， B 两 点 的 纵 坐 标 分 别 为 3， 1， 可 得 出 横 坐 标 ， 之 后 即 可 求 得 AE， BE的 长 度 ， 根 据 勾 股 定 理 可 以 求 得 AB的 长 ， 根 据 菱 形 的 面 积 =底 高 计 算 ， 得 出 答 案 ：过 点 A作 x轴 的 垂 线 ， 与 CB 的 延 长 线 交 于 点 E， A， B 两 点 在 反 比 例 函 数 y= 3x 的 图 象 上 且 纵 坐 标 分 别 为 3， 1， A， B横 坐 标 分 别 为 1， 3， AE=2， BE=2， AB=2 2 ，S 菱 形 A
15、BCD=底 高 =2 2 2=4 2 ，答 案 ： D.二 、 填 空 题 (共 6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 24 分 )13. 我 国 “ 南 仓 ” 级 远 洋 综 合 补 给 舱 满 载 排 水 量 为 37000吨 ， 把 数 37000 用 科 学 记 数 法 表 示为 . 解 析 ： 考 查 用 科 学 计 算 法 表 示 较 大 的 数 ， 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n为 整 数 .确 定 n的 值 时 ， 要 看 把 原 数 变 成 a 时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n
16、 的 绝对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当 原 数 绝 对 值 1 时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1 时 ， n是 负 数 ： 将 37000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 3.7 104.答 案 ： 3.7 104.14. 计 算 ： 20150-|2|= .解 析 ： 考 查 实 数 的 运 算 ， 零 指 数 幂 .原 式 第 一 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算 : 2015 0=1， 第 二 项 利用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化 简 ： |2|=2， 原 式 =1-2=-1.答 案 ： -1.15. 已 知 AB
17、C DEF， ABC 与 DEF 的 相 似 比 为 4： 1， 则 ABC 与 DEF对 应 边 上 的 高之 比 为 .解 析 ： 考 查 相 似 三 角 形 的 性 质 ， 相 似 三 角 形 的 对 应 边 上 的 高 之 比 等 于 相 似 比 . ABC DEF， ABC与 DEF 的 相 似 比 为 4： 1， ABC与 DEF对 应 边 上 的 高 之 比 是 4：1.答 案 ： 4： 1.16. 如 图 ， 在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中 ， ACB=90 ， AB=4 2 .以 A为 圆 心 ， AC 长 为 半 径 作 弧 ， 交 AB 于 点 D， 则 图 中
18、 阴 影 部 分 的 面 积 是 .(结 果 保 留 )解 析 ： 考 查 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 和 扇 形 面 积 的 计 算 .根 据 等 腰 直 角 三 角 形 性 质 求 出 A 的度 数 ， 解 直 角 三 角 形 求 出 AC 和 BC， 分 别 求 出 ACB 的 面 积 和 扇 形 ACD 的 面 积 即 可 . ACB是 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中 ， ACB=90 ， A= B=45 ， AB=4 2 ， AC=BC=AB sin45 =4， S ACB= 12 AC BC= 12 4 4=8， S 扇 形 ACD= 245 4 2360 ， 图
19、 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 8-2，答 案 ： 8-2.17. 从 -3， -2， -1， 0， 4 这 五 个 数 中 随 机 抽 取 一 个 数 记 为 a， a 的 值 既 是 不 等 式 组2 3 43 1 11xx 的 解 ， 又 在 函 数 2 212xy x 的 自 变 量 取 值 范 围 内 的 概 率 是 . 解 析 ： 由 a 的 值 既 是 不 等 式 组 2 3 43 1 11xx 的 解 ， 又 在 函 数 2 212xy x 的 自 变 量 取 值 范围内 ， 得 出 a的 取 值 可 能 是 -3， -2， 根 据 概 率 公 式 求 解 即 可 ： 不
20、 等 式 组 2 3 43 1 11xx 的 解 集 是 ： 103 x 12 ， a 的 值 既 是 不 等 式 组 2 3 43 1 11xx 的 解 的 解 的 有 ： -3， -2， -1， 0， 函 数 2 212xy x 的 自 变 量 取 值 范 围 为 ： 2x 2+2x 0， 在 函 数 2 212xy x 的 自 变 量 取 值 范 围 内 的 有 -3， -2， 4； a 的 值 既 是 不 等 式 组 2 3 43 1 11xx 的 解 ， 又 在 函 数 2 212xy x 的 自 变 量 取 值 范 围 内 的有 ： -3， -2； a 的 值 既 是 不 等 式
21、组 2 3 43 1 11xx 的 解 ， 又 在 函 数 2 212xy x 的 自 变 量 取 值 范 围 内 的概 率 是 ： 25 . 答 案 ： 25 .18. 如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， AB=4 6 ， AD=10.连 接 BD， DBC 的 角 平 分 线 BE 交 DC于 点 E，现 把 BCE绕 点 B 逆 时 针 旋 转 ， 记 旋 转 后 的 BCE为 BC E .当 射 线 BE 和 射 线 BC 都 与线 段 AD相 交 时 ， 设 交 点 分 别 为 F， G.若 BFD为 等 腰 三 角 形 ， 则 线 段 DG长 为 . 解 析 ： 根 据 角 平
22、 分 线 的 性 质 ， 可 以 求 得 CE的 长 ； 根 据 旋 转 的 性 质 ， 可 以 得 到 BC =BC， EC =EC； 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 ， 可 以 得 到 FD、 FB的 关 系 ； 根 据 勾 股 定 理 ， 可 得 BF的 长 ；根 据 正 切 函 数 ， 可 得 tan ABF， tan FBG的 值 ， 根 据 三 角 函 数 的 和 差 ， 可 以 求 得 AG的 长 ，根 据 有 理 数 的 减 法 ， 可 以 求 得 答 案 ： 过 E 作 EO BD 于 O，在 Rt ABD中 ， 由 勾 股 定 理 ， 得 22 2 24 6 10
23、14BD AB AD ，在 Rt ABF中 ， 由 勾 股 定 理 ， 得 ： BF2=(4 6 )2+(10-BF)2， 解 得 BF= 495 ， AF=10- 495 = 15 .过 G 作 GH BF， 交 BD于 H， FBD= GHD， BGH= FBG， FB=FD， FBD= FDB， FDB= GHD， GH=GD， FBG= EBC= 12 DBC= 12 ADB= 12 FBD， 又 FBG= BGH， FBG= GBJ， BH=GH，设 DG=GH=BH=x， 则 FG=FD-GD= 495 -x， HD=14-x， GH FB， FD BDGD HD ， 即 49 1
24、45 14x x ， 解 得 x= 9817 .答 案 ： 9817 .三 、 解 答 题 (共 2 小 题 ， 满 分 14 分 )19. 解 方 程 组 2 43 1y xx y .解 析 ： 考 查 二 元 一 次 方 程 组 的 解 法 ： 把 代 入 得 ： 3x+2x-4=1， 解 得 ： x=1， 把 x=1代 入 得 ： y=-2， 则 方 程 组 的 解 为 21xy 20. 如 图 ， 在 ABD和 FEC中 ， 点 B， C， D， E 在 同 一 直 线 上 ， 且 AB=FE， BC=DE， B= E.求 证 ： ADB= FCE.解 析 ： 考 查 全 等 三 角
25、形 的 判 定 与 性 质 ， 根 据 等 式 的 性 质 得 出 BD=CE， 再 利 用 SAS 得 出 ： ABD与 FEC全 等 ， 进 而 得 出 ADB= FCE.答 案 ： BC=DE， BC+CD=DE+CD， 即 BD=CE， 在 ABD与 FEC中 ， AB EFB EBD EC ， ABD FEC(SAS)， ADB= FCE.四 、 解 答 题 (共 4 小 题 ， 满 分 40 分 )21.计 算 ：(1)y(2x-y)+(x+y) 2.解 析 ： (1)考 查 整 式 的 混 合 运 算 .原 式 利 用 单 项 式 乘 以 多 项 式 ， 以 及 完 全 平 方
26、公 式 化 简 ， 去 括号 合 并 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： (1)原 式 =2xy-y2+x2+2xy+y2=4xy+x2.(2) 2 28 6 91 1 y yy y y y （ ） .解 析 ： (2)考 查 分 式 的 混 合 运 算 .原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 ， 同时 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约 分 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： (2) 223 3 1 31 33y y y y y yy yy 原 式 .22.为 贯 彻 政 府 报 告 中 “ 全 民 创 新 ， 万 众 创 业
27、 ” 的 精 神 ， 某 镇 对 辖 区 内 所 有 的 小 微 企 业 按 年利 润 w(万 元 )的 多 少 分 为 以 下 四 个 类 型 ： A类 (w 10)， B类 (10 w 20)， C 类 (20 w 30)，D 类 (w 30)， 该 镇 政 府 对 辖 区 内 所 有 小 微 企 业 的 相 关 信 息 进 行 统 计 后 ， 绘 制 成 以 下 条 形 统计 图 和 扇 形 统 计 图 ， 请 你 结 合 图 中 信 息 解 答 下 列 问 题 ： (1)该 镇 本 次 统 计 的 小 微 企 业 总 个 数 是 ， 扇 形 统 计 图 中 B类 所 对 应 扇 形 圆
28、 心 角 的 度 数 为度 ， 请 补 全 条 形 统 计 图 . 解 析 ： (1)考 查 扇 形 统 计 图 ， 条 形 统 计 图 .由 条 形 统 计 图 可 知 ， D 类 微 小 企 业 有 4 个 ； 根 据 扇形 统 计 图 可 知 ， D 类 微 小 企 业 占 总 数 的 16%， 那 么 该 镇 本 次 统 计 的 小 微 企 业 总 个 数 是 ： 416%=25(个 )； 扇 形 统 计 图 中 B 类 所 对 应 扇 形 圆 心 角 的 度 数 为 ： 525 360 =72 ； A 类 小 微企 业 个 数 为 ： 25-5-14-4=2(个 )； 然 后 即 可
29、 补 全 条 形 统 计 图 .答 案 ： (1)由 条 形 统 计 图 可 知 ， D 类 有 4 个 ； 根 据 扇 形 统 计 图 可 知 ， D 类 占 总 数 的 16%， 那 么该 镇 本 次 统 计 的 小 微 企 业 总 个 数 是 ： 4 16%=25(个 )扇 形 统 计 图 中 B类 所 对 应 扇 形 圆 心 角 的 度 数 为 ： 525 360 =72 .故 ： 该 镇 本 次 统 计 的 小 微 企 业 总 个 数 是 25个 ， 扇 形 统 计 图 中 B 类 所 对 应 扇 形 圆 心 角 的 度 数为 72 度 .A类 小 微 企 业 个 数 为 ： 25-
30、5-14-4=2(个 )；补 全 统 计 图 ： (2)为 了 进 一 步 解 决 小 微 企 业 在 发 展 中 的 问 题 ， 该 镇 政 府 准 备 召 开 一 次 座 谈 会 ， 每 个 企 业 派一 名 代 表 参 会 .计 划 从 D 类 企 业 的 4 个 参 会 代 表 中 随 机 抽 取 2 个 发 言 ， D 类 企 业 的 4 个 参 会代 表 中 有 2 个 来 自 高 新 区 ， 另 2 个 来 自 开 发 区 .请 用 列 表 或 画 树 状 图 的 方 法 求 出 所 抽 取 的 2个 发 言 代 表 都 来 自 高 新 区 的 概 率 .解 析 ： (2)考 查
31、 列 表 法 与 树 状 图 法 .根 据 题 意 画 出 树 状 图 ， 由 树 状 图 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 与所 抽 取 的 2个 发 言 代 表 都 来 自 高 新 区 的 情 况 ， 运 用 概 率 公 式 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： (2)分 别 用 A， B 表 示 2个 来 自 高 新 区 的 ， 用 C， D 表 示 2 个 来 自 开 发 区 的 .画 树 状 图 得 ： 共 有 12 种 等 可 能 的 结 果 ， 所 抽 取 的 2 个 发 言 代 表 都 来 自 高 新 区 的 有 2 种 情 况 ， 所 抽 取 的 2 个 发 言 代 表
32、 都 来 自 高 新 区 的 概 率 为 ： 2 112 6 .23.如 果 把 一 个 自 然 数 各 数 位 上 的 数 字 从 最 高 位 到 个 位 依 次 排 出 的 一 串 数 字 ， 与 从 个 位 到 最高 位 依 次 排 出 的 一 串 数 字 完 全 相 同 ， 那 么 我 们 把 这 样 的 自 然 数 称 为 “ 和 谐 数 ” .例 如 自 然 数 12321， 从 最 高 位 到 个 位 依 次 排 出 的 一 串 数 字 是 ： 1， 2， 3， 2， 1， 从 个 位 到 最 高 位 依 次 排 出的 一 串 数 字 仍 是 ： 1， 2， 3， 2， 1， 因
33、 此 12321是 一 个 “ 和 谐 数 ” ， 再 加 22， 545， 3883， 345543， ，都 是 “ 和 谐 数 ” .(1)请 你 直 接 写 出 3 个 四 位 “ 和 谐 数 ” ； 请 你 猜 想 任 意 一 个 四 位 “ 和 谐 数 ” 能 否 被 11 整 除 ？并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 “ 和 谐 数 ” 的 定 义 (把 一 个 自 然 数 各 数 位 上 的 数 字 从 最 高 位 到 个 位 依 次 排 出 的一 串 数 字 ， 与 从 个 位 到 最 高 位 依 次 排 出 的 一 串 数 字 完 全 相 同 )写 出 四 个 “
34、 和 谐 数 ” ， 设 任 意 四位 “ 和 谐 数 ” 形 式 为 ： abcd ， 根 据 和 谐 数 的 定 义 得 到 a=d ， b=c ， 则1000 100 10 1000 100 1 91 1011 11 11 0abcd a b c d a b b a ba 为 正 整 数 ， 易 证 得 任 意 四 位 “ 和 谐 数 ” 都 可 以 被 11 整 除 .答 案 ： (1)四 位 “ 和 谐 数 ” ： 1221， 1331， 1111， 6666 (答 案 不 唯 一 )任 意 一 个 四 位 “ 和 谐 数 ” 都 能 被 11整 除 ， 理 由 如 下 ：设 任 意
35、 四 位 “ 和 谐 数 ” 形 式 为 ： abcd， 则 满 足 ：最 高 位 到 个 位 排 列 ： d， c， b， a个 位 到 最 高 位 排 列 ： a， b， c， d.由 题 意 ， 可 得 两 组 数 据 相 同 ， 则 ： a=d， b=c，则 1000 100 10 1000 100 1 91 1011 11 11 0abcd a b c d a b b a ba 为 正 整 数 . 四 位 “ 和 谐 数 ” 能 被 11整 数 ，又 a， b， c， d为 任 意 自 然 数 ， 任 意 四 位 “ 和 谐 数 ” 都 可 以 被 11整 除 .(2)已 知 一 个
36、 能 被 11整 除 的 三 位 “ 和 谐 数 ” ， 设 其 个 位 上 的 数 字 x(1 x 4， x 为 自 然 数 )，十 位 上 的 数 字 为 y， 求 y与 x的 函 数 关 系 式 .解 析 ： (2) 设 能 被 11 整 除 的 三 位 “ 和 谐 数 ” 为 ： xyz ， 则101 10 99 11 211 11 1 1191 2xyz x y x y x y x yx y 为 正 整 数 .故 y=2x(1 x 4， x为 自 然 数 ).答 案 ： (2)设 能 被 11整 除 的 三 位 “ 和 谐 数 ” 为 ： xyz， 则 满 足 ：个 位 到 最 高
37、位 排 列 ： x， y， z. 最 高 位 到 个 位 排 列 ： z， y， x.由 题 意 ， 两 组 数 据 相 同 ， 则 ： x=z，故 101 10 xyz xyx x y ， 故 101 10 99 11 211 11 1 1191 2xyz x y x y x y x yx y 为 正 整 数 .故 y=2x(1 x 4， x为 自 然 数 ).24. 某 水 库 大 坝 的 横 截 面 是 如 图 所 示 的 四 边 形 ABCD， 其 中 AB CD， 大 坝 顶 上 有 一 瞭 望 台 PC，PC正 前 方 有 两 艘 渔 船 M， N.观 察 员 在 瞭 望 台 顶
38、端 P 处 观 测 到 渔 船 M 的 俯 角 为 31 ， 渔 船 N的 俯 角 为 45 .已 知 MN所 在 直 线 与 PC所 在 直 线 垂 直 ， 垂 足 为 E， 且 PE 长 为 30米 .(1)求 两 渔 船 M， N 之 间 的 距 离 (结 果 精 确 到 1 米 ).解 析 ： (1)考 查 仰 角 俯 角 问 题 和 分 数 方 程 的 应 用 ， 运 用 三 角 函 数 解 直 角 三 角 形 .在 Rt PEN中 ， 利 用 三 角 函 数 即 可 求 得 ME的 长 ， 根 据 MN=EM-EN求 解 .答 案 ： (1)在 Rt PEN中 ， EN=PE=30
39、m， ME= 31PEtan =50(m)， 则 MN=EM-EN=20(m). 答 ： 两 渔 船 M、 N 之 间 的 距 离 是 20米 .(2)已 知 坝 高 24 米 ， 坝 长 100 米 ， 背 水 坡 AD 的 坡 度 i=1： 0.25， 为 提 高 大 坝 防 洪 能 力 ， 请施 工 队 将 大 坝 的 背 水 坡 通 过 填 筑 土 石 方 进 行 加 固 ， 坝 底 BA 加 宽 后 变 为 BH， 加 固 后 背 水 坡 DH的 坡 度 i=1： 1.75， 施 工 队 施 工 10 天 后 ， 为 尽 快 完 成 加 固 任 务 ， 施 工 队 增 加 了 机 械
40、 设 备 ，工 作 效 率 提 高 到 原 来 的 2 倍 ， 结 果 比 原 计 划 提 前 20 天 完 成 加 固 任 务 ， 施 工 队 原 计 划 平 均 每天 填 筑 土 石 方 多 少 立 方 米 ？(参 考 数 据 ： tan31 0.60， sin31 0.52). 解 析 ： (2)考 查 坡 度 坡 角 问 题 ， 运 用 三 角 函 数 解 直 角 三 角 形 .过 点 D 作 DN AH 于 点 N， 利 用三 角 函 数 求 得 AN和 AH的 长 ， 进 而 求 得 ADH的 面 积 ， 得 到 需 要 填 筑 的 土 石 方 数 ， 再 根 据 结果 比 原 计
41、 划 提 前 20 天 完 成 ， 列 方 程 求 解 .答 案 ： (2)过 点 D 作 DQ AH 于 点 Q. 由 题 意 得 ： tan DAB=4， tanH= 47 ， 在 Rt DAQ中 ， 24 64DQAQ tan DAB (m)，在 Rt DHQ中 ， 24 4247DQHQ tan DAB (m).故 AH=HQ-AQ=42-6=36(m).S ADH= 12 AH DQ=432(m2).故 需 要 填 筑 的 土 石 方 是 V=SL=432 100=43200(m 3).设 原 计 划 平 均 每 天 填 筑 xm3， 则 原 计 划 43200 x 天 完 成 ，
42、则 增 加 机 械 设 备 后 ， 现 在 平 均 每 天 填筑 2xm3， 根 据 题 意 ， 得 ： 4320010 10 20 2 43200 x xx （ ） ， 解 得 ： x=864.经 检 验 x=864是 原 方 程 的 解 .答 ： 施 工 队 原 计 划 平 均 每 天 填 筑 土 石 方 864立 方 米 .五 、 解 答 题 (共 2 小 题 ， 满 分 24 分 )25. 如 图 1， 在 ABC 中 ， ACB=90 ， BAC=60 ， 点 E 是 BAC角 平 分 线 上 一 点 ， 过 点 E作 AE 的 垂 线 ， 过 点 A 作 AB 的 垂 线 ， 两
43、垂 线 交 于 点 D， 连 接 DB， 点 F 是 BD 的 中 点 ， DH AC，垂 足 为 H， 连 接 EF， HF. (1)如 图 1， 若 点 H 是 AC的 中 点 ， AC=2 3 ， 求 AB， BD 的 长 .解 析 ： (1)考 查 直 角 三 角 形 的 性 质 和 三 角 函 数 ， 根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 ， 运 用 三 角 函 数 即 可 .答 案 ： (1) ACB=90 ， BAC=60 ， ABC=30 ， AB=2AC=2 2 3 =4 3 ， AD AB， CAB=60 ， DAC=30 ， AH= 12 AC= 3 ， AD= 30A
44、Hcos =2， 2 2 2 13BD AB AD .(2)如 图 1， 求 证 ： HF=EF.解 析 ： (2)全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ， 如 图 1， 连 接 AF， 证 出 DAE ADH， DHF AEF，即 可 得 到 结 果 . 答 案 ： (2)如 图 1， 连 接 AF， AE 是 BAC角 平 分 线 ， HAE=30 ， ADE= DAH=30 ，在 DAE与 ADH中 ， 90AHD DEAADE DAHAD AD ， DAE ADH， DH=AE， 点 F是 BD的 中 点 ， DF=AF， EAF= EAB- FAB=30 - FAB， FDH=
45、 FDA- HDA= FDA-60 =(90 - FBA)-60=30 - FBA， EAF= FDH，在 DHF与 AEF中 ，DH AEHDF EAHDF AF ， DHF AEF， HF=EF. (3)如 图 2， 连 接 CF， CE.猜 想 ： CEF是 否 是 等 边 三 角 形 ？ 若 是 ， 请 证 明 ； 若 不 是 ， 说 明 理由 .解 析 ： (3)考 查 等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ， 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 .如 图 2， 取 AB的 中 点 M，连 接 CM， FM， 在 Rt ADE 中 ， AD=2AE， 根 据 三 角 形
46、 的 中 位 线 的 性 质 得 到 AD=2FM， 于 是 得 到FM=AE， 由 CAE= 12 CAB=30 CMF= AMF-AMC=30 ， 证 得 ACE MCF， 问 题 即 可 得 证 . 答 案 ： (3)如 图 2， 取 AB的 中 点 M， 连 接 CM， FM，在 Rt ADE中 ， AD=2AE， DF=BF， AM=BM， AD=2FM， FM=AE， ABC=30 ， AC=CM= 12 AB=AM， CAE= 12 CAB=30 CMF= AMF- AMC=30 ，在 ACE与 MCF中 ， AC CMCAE CMFAE MF ， ACE MCF， CE=CF，
47、 ACE= MCF， ACM=60 ， ECF=60 ， CEF是 等 边 三 角 形 .26. 如 图 1， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 23 3 34 3xy x 交 x 轴 于 A， B 两 点 (点A在 点 B 的 左 侧 )， 交 y 轴 于 点 W， 顶 点 为 C， 抛 物 线 的 对 称 轴 与 x轴 的 交 点 为 D.(1)求 直 线 BC 的 解 析 式 .解 析 ： (1)要 求 出 抛 物 线 与 x轴 的 交 点 坐 标 和 顶 点 坐 标 ， 可 以 用 待 定 系 数 法 求 解 析 式 . 答 案 ： (1)令 y=0， 则 23 3
48、34 3 0 xx ， 解 方 程 得 ： x=6或 x=-2， A(-2， 0)， B(6，0)，又 2 2( 2)4 43 33 3 3 4 3xy x x ， 又 顶 点 C(2， 4 3 )，设 直 线 BC 的 解 析 式 为 ： y=kx+b， 代 入 B、 C两 点 坐 标 得 ：6 0 32 4k bk b ， 解 得 ： 36 3kb ， 3 6 3y x .(2)点 E(m， 0)， F(m+2， 0)为 x 轴 上 两 点 ， 其 中 2 m 4， EE ， FF 分 别 垂 直 于 x 轴 ， 交抛 物 线 于 点 E ， F ， 交 BC于 点 M， N， 当 ME
49、+NF 的 值 最 大 时 ， 在 y 轴 上 找 一 点 R， 使 |RF -RE |的 值 最 大 ， 请 求 出 R 点 的 坐 标 及 |RF -RE |的 最 大 值 .解 析 ： (2)先 求 出 E 、 F 的 坐 标 表 示 ， 然 后 求 出 E M、 F N， 二 次 函 数 的 顶 点 坐 标 即 当m=3时 ， ME +NF 取 最 大 值 ， 求 得 E 、 F 的 坐 标 ， 再 求 出 E F 的 解 析 式 ， 当 点 R 在 直线 E F 与 y 轴 的 交 点 时 ， |RF -RE |的 最 大 值 ， 从 而 求 出 R 点 的 坐 标 及 |RF -RE |的最
