1、2015年 辽 宁 省 丹 东 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (下 列 各 题 的 备 选 答 案 中 ， 只 有 一 个 是 正 确 的 .每 小 题 3分 ， 共 24分 )1. -2015 的 绝 对 值 是 ( )A.-2015B.2015C. 12015D.- 12015解 析 ： 根 据 相 反 数 的 意 义 ， 求 解 .注 意 正 数 的 绝 对 值 是 本 身 ， 0的 绝 对 值 为 0， 负 数 的 绝 对值 是 其 相 反 数 .-2015 是 负 数 ， 绝 对 值 等 于 其 相 反 数 ， 即 -2015 的 绝 对 值 是 2015；答 案 ：
2、 B. 2.据 统 计 ， 2015年 在 “ 情 系 桃 源 ， 好 运 丹 东 ” 的 鸭 绿 江 桃 花 观 赏 活 动 中 ， 6 天 内 参 与 人 次 达27.8万 .用 科 学 记 数 法 将 27.8万 表 示 为 ( )A.2.78 106B.27.8 106C.2.78 105D.27.8 105解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n 为 整 数 .确 定 n 的 值时 ， 要 看 把 原 数 变 成 a时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位
3、 数 相 同 .当原 数 绝 对 值 1 时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1 时 ， n 是 负 数 .将 27.8 万 用 科 学 记 数 法 表示 为 2.78 10 5.答 案 ： C.3.如 图 ， 是 某 几 何 体 的 俯 视 图 ， 该 几 何 体 可 能 是 ( )A.圆 柱B.圆 锥C.球 D.正 方 体解 析 ： 根 据 几 何 体 的 俯 视 图 是 从 上 面 看 ， 所 得 到 的 图 形 分 别 写 出 各 个 几 何 体 的 俯 视 图 判 断 .圆 柱 的 俯 视 图 是 圆 ， A错 误 ； 圆 锥 的 俯 视 图 是 圆 ， 且 中
4、心 由 一 个 实 点 ， B 正 确 ； 球 的 俯 视 图是 圆 ， C错 误 ； 正 方 体 的 俯 视 图 是 正 方 形 ， D 错 误 .答 案 ： B.4.如 果 一 组 数 据 2， 4， x， 3， 5 的 众 数 是 4， 那 么 该 组 数 据 的 平 均 数 是 ( )A.5.2B.4.6 C.4D.3.6解 析 ： 根 据 这 组 数 据 的 众 数 是 4， 求 出 x的 值 ， x=4.根 据 平 均 数 的 公 式 求 出 平 均 数 . 15x (2+4+4+3+5)=3.6.答 案 ： D.5.下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.2a+a=3a 2B.
5、4-2=- 116C. 9= 3D.(a3)2=a6解 析 ： A、 依 据 合 并 同 类 项 法 则 计 算 ， 2a+a=3a， 故 A 错 误 ； B、 根 据 负 整 数 指 数 幂 的 法 则计 算 ， 4 -2= 214 = 116， 故 B错 误 ； C、 根 据 算 术 平 方 根 的 定 义 ， 9=3， 故 C 错 误 ； D、 依 据 幂的 乘 方 的 运 算 法 则 进 行 计 算 ， (a3)2=a3 2=a6， 故 D 正 确 .答 案 ： D.6.如 图 ， 在 ABC中 ， AB=AC， A=30 ， E 为 BC 延 长 线 上 一 点 ， ABC与 ACE
6、的 平 分 线 相交 于 点 D， 则 D 的 度 数 为 ( ) A.15B.17.5C.20D.22.5解 析 ： ABC的 平 分 线 与 ACE的 平 分 线 交 于 点 D， 1= 2， 3= 4， ACE= A+ ABC，即 1+ 2= 3+ 4+ A， 2 1=2 3+ A， 1= 3+ D， D=12 A=12 30 =15 .答 案 ： A.7.过 矩 形 ABCD 的 对 角 线 AC 的 中 点 O 作 EF AC， 交 BC边 于 点 E， 交 AD 边 于 点 F， 分 别 连 接AE、 CF.若 AB= 3， DCF=30 ， 则 EF的 长 为 ( ) A.2B.
7、3C. 32D. 3解 析 ： 矩 形 对 边 AD BC， ACB= DAC， O 是 AC 的 中 点 ， AO=CO，在 AOF和 COE中 ，ACB DACAO COAOF COE ， AOF COE(ASA)， OE=OF，又 EF AC， 四 边 形 AECF 是 菱 形 ， DCF=30 ， ECF=90 -30 =60 ， CEF是 等 边 三 角 形 ， EF=CF， AB= 3， CD=AB= 3， DCF=30 ， CF= 3 32 =2， EF=2.答 案 ： A.8.一 次 函 数 y=-x+a-3(a 为 常 数 )与 反 比 例 函 数 y=-4x 的 图 象 交
8、 于 A、 B两 点 ， 当 A、 B 两 点 关于 原 点 对 称 时 a的 值 是 ( )A.0B.-3C.3D.4 解 析 ： 设 A(t， -4t )， A、 B两 点 关 于 原 点 对 称 ， B(-t， 4t )，把 A(t， -4t )， B(-t， 4t )分 别 代 入 y=-x+a-3得 -4t =-t+a-3， 4t =t+a-3，两 式 相 加 得 2a-6=0， a=3.答 案 ： C.二 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 ， 共 24分 )9.如 图 ， 正 六 边 形 卡 片 被 分 成 六 个 全 等 的 正 三 角 形 .若 向 该 六 边 形 内 投
9、掷 飞 镖 ， 则 飞 镖 落 在 阴 影 区 域 的 概 率 为 .解 析 ： 如 图 ： 转 动 转 盘 被 均 匀 分 成 6部 分 ， 阴 影 部 分 占 2 份 ， 飞 镖 落 在 阴 影 区 域 的 概 率 是2 16 3 ；答 案 ： 13.10.如 图 ， 1= 2=40 ， MN平 分 EMB， 则 3= . 解 析 ： 2= MEN， 1= 2=40 ， 1= MEN， AB CD， 3+ BMN=180 ， MN 平 分 EMB， BMN=12 (180 -40 )=70 ， 3=180 -70 =110 .答 案 ： 110.11.分 解 因 式 ： 3x 2-12x+
10、12= .解 析 ： 原 式 =3(x2-4x+4)=3(x-2)2，答 案 ： 3(x-2)212.若 a 6 b， 且 a、 b 是 两 个 连 续 的 整 数 ， 则 ab= .解 析 ： 先 估 算 出 6 的 范 围 ， 2 6 3， a=2， b=3， a b=8.答 案 ： 8.13.不 等 式 组 2 3 53 2 1xx 的 解 集 为 .解 析 ： 2 3 53 2 1xx ，由 得 ， x -1，由 得 ， x 1.所 以 ， 不 等 式 组 的 解 集 为 -1 x 1. 答 案 ： -1 x 1.14.在 菱 形 ABCD中 ， 对 角 线 AC， BD的 长 分 别
11、 是 6 和 8， 则 菱 形 的 周 长 是 .解 析 ： AC与 BD 相 交 于 点 O， 如 图 ， 四 边 形 ABCD 为 菱 形 ， AC BD， OD=OB=12 BD=4， OA=OC=12 AC=3， AB=BC=CD=AD，在 Rt AOD中 ， OA=3， OB=4， AD= 2 23 4 =5， 菱 形 ABCD的 周 长 =4 5=20.答 案 ： 20.15.若 x=1 是 一 元 二 次 方 程 x 2+2x+a=0的 一 个 根 ， 那 么 a= .解 析 ： 将 x=1代 入 得 ： 1+2+a=0，解 得 ： a=-3.答 案 ： -3.16.如 图 ，
12、直 线 OD 与 x 轴 所 夹 的 锐 角 为 30 ， OA1的 长 为 1， A1A2B1、 A2A3B2、 A 3A4B3 AnAn+1Bn均 为 等 边 三 角 形 ， 点 A1、 A2、 A3 An+1在 x 轴 的 正 半 轴 上 依 次 排 列 ， 点 B1、B2、 B3 Bn在 直 线 OD上 依 次 排 列 ， 那 么 点 Bn的 坐 标 为 .解 析 ： A 1B1A2为 等 边 三 角 形 ， B1A1A2=60 ， B1OA2=30 ， B1OA2= A1B1O=30 ， 可 求 得 OA2=2OA1=2，同 理 可 求 得 OAn=2n-1， BnOAn+1=30
13、， BnAnAn+1=60 ， BnOAn+1= OBnAn=30 B nAn=OAn=2n-1，即 AnBnAn+1的 边 长 为 2n-1， 则 可 求 得 其 高 为 32 2n-1= 3 2n-2， 点 Bn的 横 坐 标 为 12 2n-1+2n-1=32 2n-1=3 2n-2， 点 B n的 坐 标 为 (3 2n-2， 3 2n-2).答 案 ： (3 2n-2， 3 2n-2).三 、 解 答 题 17.先 化 简 ， 再 求 值 ： 21 11 2 2aa a ， 其 中 a=3.解 析 ： 先 计 算 括 号 里 面 的 ， 再 把 分 子 、 分 母 因 式 分 解 ，
14、 约 分 即 可 ， 把 a=3代 入 计 算 即 可 .答 案 ： 原 式 = 1 22 1 1a aa a a = 11a ，当 a=3时 ， 原 式 = 1 13 1 2 .18.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ABC的 三 个 顶 点 坐 标 分 别 为 A(1， 4)， B(4， 2)， C(3， 5)(每个 方 格 的 边 长 均 为 1个 单 位 长 度 ). (1)请 画 出 A1B1C1， 使 A1B1C1与 ABC关 于 x 轴 对 称 ；(2)将 ABC绕 点 O 逆 时 针 旋 转 90 ， 画 出 旋 转 后 得 到 的 A2B2C2， 并 直 接
15、 写 出 点 B 旋 转 到 点B2所 经 过 的 路 径 长 .解 析 ： (1)根 据 网 格 特 点 ， 找 出 点 A、 B、 C 关 于 x 轴 的 对 称 点 A1、 B1、 C1的 位 置 ， 然 后 顺 次连 接 即 可 ；(2)分 别 找 出 点 A、 B、 C 绕 点 O 逆 时 针 旋 转 90 的 对 应 点 A2、 B2、 C2的 位 置 ， 然 后 顺 次 连 接即 可 ， 观 察 可 知 点 B 所 经 过 的 路 线 是 半 径 为 2 24 2 ， 圆 心 角 是 90 的 扇 形 ， 然 后 根 据 弧长 公 式 进 行 计 算 即 可 求 解 .答 案 ：
16、 (1)如 图 ， A 1B1C1即 为 所 求 .(2)如 图 ， A2B2C2即 为 所 求 .点 B 旋 转 到 点 B2所 经 过 的 路 径 长 为 ： 2 290 4 2 5180 .故 点 B旋 转 到 点 B2所 经 过 的 路 径 长 是 5 . 19.某 中 学 数 学 兴 趣 小 组 为 了 解 本 校 学 生 对 电 视 节 目 的 喜 爱 情 况 ， 随 机 调 查 了 部 分 学 生 最 喜爱 哪 一 类 节 目 (被 调 查 的 学 生 只 选 一 类 并 且 没 有 不 选 择 的 )， 并 将 调 查 结 果 制 成 了 如 下 的 两个 统 计 图 (不 完
17、 整 ).请 你 根 据 图 中 所 提 供 的 信 息 ， 完 成 下 列 问 题 ： (1)求 本 次 调 查 的 学 生 人 数 ；(2)请 将 两 个 统 计 图 补 充 完 整 ， 并 求 出 新 闻 节 目 在 扇 形 统 计 图 中 所 占 圆 心 角 的 度 数 ；(3)若 该 中 学 有 2000名 学 生 ， 请 估 计 该 校 喜 爱 电 视 剧 节 目 的 人 数 .解 析 ： (1)根 据 喜 爱 电 视 剧 的 人 数 是 69人 ， 占 总 人 数 的 23%， 即 可 求 得 总 人 数 ；(2)根 据 总 人 数 和 喜 欢 娱 乐 节 目 的 百 分 数 可
18、 求 的 其 人 数 ， 补 全 即 可 ； 利 用 360 乘 以 对 应 的百 分 比 即 可 求 得 圆 心 角 的 度 数 ；(3)利 用 总 人 数 乘 以 对 应 的 百 分 比 即 可 求 解 .答 案 ： (1)69 23%=300(人 ) 本 次 共 调 查 300人 ；(2) 喜 欢 娱 乐 节 目 的 人 数 占 总 人 数 的 20%， 20% 300=60(人 )， 补 全 如 图 ； 360 12%=43.2 ， 新 闻 节 目 在 扇 形 统 计 图 中 所 占 圆 心 角 的 度 数 为 43.2 ；(3)2000 23%=460(人 )， 估 计 该 校 有
19、460人 喜 爱 电 视 剧 节 目 .20.从 甲 市 到 乙 市 乘 坐 高 速 列 车 的 路 程 为 180千 米 ， 乘 坐 普 通 列 车 的 路 程 为 240 千 米 .高 速 列车 的 平 均 速 度 是 普 通 列 车 的 平 均 速 度 的 3 倍 .高 速 列 车 的 乘 车 时 间 比 普 通 列 车 的 乘 车 时 间 缩短 了 2小 时 .高 速 列 车 的 平 均 速 度 是 每 小 时 多 少 千 米 ？解 析 ： 设 普 通 列 车 平 均 速 度 每 小 时 x千 米 ， 则 高 速 列 车 平 均 速 度 每 小 时 3x千 米 ， 根 据 题 意可 得
20、 ， 坐 高 铁 走 180千 米 比 坐 普 通 车 240千 米 少 用 2 小 时 ， 据 此 列 方 程 求 解 .答 案 ： 设 普 通 列 车 平 均 速 度 每 小 时 x 千 米 ， 则 高 速 列 车 平 均 速 度 每 小 时 3x 千 米 ，根 据 题 意 得 ， 240 180 23x x ， 解 得 ： x=90，经 检 验 ， x=90是 所 列 方 程 的 根 ，则 3x=3 90=270.答 ： 高 速 列 车 平 均 速 度 为 每 小 时 270千 米 .21.一 个 不 透 明 的 口 袋 中 装 有 4 个 分 别 标 有 数 字 -1， -2， 3，
21、4的 小 球 ， 它 们 的 形 状 、 大 小 完全 相 同 .小 红 先 从 口 袋 中 随 机 摸 出 一 个 小 球 记 下 数 字 为 x； 小 颖 在 剩 下 的 3 个 小 球 中 随 机 摸出 一 个 小 球 记 下 数 字 为 y.(1)小 红 摸 出 标 有 数 字 3 的 小 球 的 概 率 是 ；(2)请 用 列 表 法 或 画 树 状 图 的 方 法 表 示 出 由 x， y确 定 的 点 P(x， y)所 有 可 能 的 结 果 ；(3)若 规 定 ： 点 P(x， y)在 第 一 象 限 或 第 三 象 限 小 红 获 胜 ； 点 P(x， y)在 第 二 象 限
22、 或 第 四 象 限则 小 颖 获 胜 .请 分 别 求 出 两 人 获 胜 的 概 率 .解 析 ： (1)直 接 根 据 概 率 公 式 求 解 ； (2)通 过 列 表 展 示 所 有 12种 等 可 能 性 的 结 果 数 ；(3)找 出 在 第 一 象 限 或 第 三 象 限 的 结 果 数 和 第 二 象 限 或 第 四 象 限 的 结 果 数 ， 然 后 根 据 概 率 公式 计 算 两 人 获 胜 的 概 率 .答 案 ： (1)小 红 摸 出 标 有 数 字 3 的 小 球 的 概 率 是 14 ；故 答 案 为 14 ； (2)列 表 如 下 ：(3)从 上 面 的 表 格
23、 可 以 看 出 ， 所 有 可 能 出 现 的 结 果 共 有 12种 ， 且 每 种 结 果 出 现 的 可 能 性 相 同 ，其 中 点 (x， y)在 第 一 象 限 或 第 三 象 限 的 结 果 有 4种 ， 第 二 象 限 或 第 四 象 限 的 结 果 有 8种 ，所 以 小 红 获 胜 的 概 率 = 4 112 3 ， 小 颖 获 胜 的 概 率 = 8 212 3 . 22.如 图 ， AB是 O 的 直 径 ， = ， 连 接 ED、 BD， 延 长 AE交 BD的 延 长 线 于 点 M， 过 点 D作 O的 切 线 交 AB 的 延 长 线 于 点 C.(1)若 O
24、A=CD=2 2， 求 阴 影 部 分 的 面 积 ； (2)求 证 ： DE=DM.解 析 ： (1)连 接 OD， 根 据 已 知 和 切 线 的 性 质 证 明 OCD为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 得 到 DOC=45 ，根 据 S 阴 影 =S OCD-S 扇 OBD计 算 即 可 ；(2)连 接 AD， 根 据 弦 、 弧 之 间 的 关 系 证 明 DB=DE， 证 明 AMD ABD， 得 到 DM=BD， 得 到 答案 .答 案 ： (1)解 ： 如 图 ， 连 接 OD， CD 是 O切 线 ， OD CD， OA=CD=2 2， OA=OD， OD=CD=2 2， O
25、CD为 等 腰 直 角 三 角 形 ， DOC= C=45 ， S 阴 影 =S OCD-S 扇 OBD= 245 2 21 2 2 2 22 360 =4- ；(2)证 明 ： 如 图 ， 连 接 AD， AB 是 O直 径 ， ADB= ADM=90 ，又 = ， ED=BD， MAD= BAD，在 AMD和 ABD中 ，ADM ADBAD ADMAD BAD ， AMD ABD， DM=BD， DE=DM. 23.如 图 ， 线 段 AB， CD 表 示 甲 、 乙 两 幢 居 民 楼 的 高 ， 两 楼 间 的 距 离 BD 是 60米 .某 人 站 在 A处 测 得 C 点 的 俯
26、角 为 37 ， D点 的 俯 角 为 48 (人 的 身 高 忽 略 不 计 )， 求 乙 楼 的 高 度 CD.(参考 数 据 ： sin37 35， tan37 34 ， sin48 710， tan48 1110)解 析 ： 过 点 C 作 CE AB 交 AB 于 点 E， 在 直 角 ADB中 利 用 三 角 函 数 求 得 AB的 长 ， 然 后 在 直角 AEC中 求 得 AE的 长 ， 即 可 求 解 . 答 案 ： 过 点 C 作 CE AB 交 AB于 点 E，则 四 边 形 EBDC 为 矩 形 ， BE=CD CE=BD=60，如 图 ， 根 据 题 意 可 得 ，
27、ADB=48 ， ACE=37 ， tan48 ABBD ，在 Rt ADB中 ，则 AB=tan48 BD 11 60 6610 (米 )， tan37 AECE ，在 Rt ACE中 ，则 AE=tan37 CE 3 60 454 (米 )， CD=BE=AB-AE=66-45=21(米 )， 乙 楼 的 高 度 CD为 21 米 . 24.某 商 店 购 进 一 种 商 品 ， 每 件 商 品 进 价 30元 .试 销 中 发 现 这 种 商 品 每 天 的 销 售 量 y(件 )与每 件 销 售 价 x(元 )的 关 系 数 据 如 下 ：(1)已 知 y 与 x 满 足 一 次 函
28、数 关 系 ， 根 据 上 表 ， 求 出 y 与 x 之 间 的 关 系 式 (不 写 出 自 变 量 x的 取 值 范 围 )；(2)如 果 商 店 销 售 这 种 商 品 ， 每 天 要 获 得 150元 利 润 ， 那 么 每 件 商 品 的 销 售 价 应 定 为 多 少 元 ？(3)设 该 商 店 每 天 销 售 这 种 商 品 所 获 利 润 为 w(元 )， 求 出 w与 x之 间 的 关 系 式 ， 并 求 出 每 件商 品 销 售 价 定 为 多 少 元 时 利 润 最 大 ？解 析 ： (1)根 据 待 定 系 数 法 解 出 解 析 式 即 可 ；(2)根 据 题 意
29、列 出 方 程 解 答 即 可 ；(3)根 据 题 意 列 出 函 数 解 析 式 ， 利 用 函 数 解 析 式 的 最 值 解 答 即 可 . 答 案 ： (1)设 该 函 数 的 表 达 式 为 y=kx+b， 根 据 题 意 ， 得40=3036 32k bk b ，解 得 ： 2100kb .故 该 函 数 的 表 达 式 为 y=-2x+100；(2)根 据 题 意 得 ，(-2x+100)(x-30)=150，解 这 个 方 程 得 ， x 1=35， x2=45，故 每 件 商 品 的 销 售 价 定 为 35 元 或 45 元 时 日 利 润 为 150元 ；(3)根 据 题
30、 意 ， 得w=(-2x+100)(x-30)=-2x2+160 x-3000=-2(x-40)2+200， a=-2 0 则 抛 物 线 开 口 向 下 ， 函 数 有 最 大 值 ， 即 当 x=40 时 ， w的 值 最 大 ， 当 销 售 单 价 为 40元 时 获 得 利 润 最 大 .25.在 正 方 形 ABCD中 ， 对 角 线 AC 与 BD交 于 点 O； 在 Rt PMN中 ， MPN=90 . (1)如 图 1， 若 点 P 与 点 O重 合 且 PM AD、 PN AB， 分 别 交 AD、 AB于 点 E、 F， 请 直 接 写 出PE与 PF的 数 量 关 系 ；
31、(2)将 图 1 中 的 Rt PMN 绕 点 O 顺 时 针 旋 转 角 度 (0 45 ). 如 图 2， 在 旋 转 过 程 中 (1)中 的 结 论 依 然 成 立 吗 ？ 若 成 立 ， 请 证 明 ； 若 不 成 立 ， 请 说 明 理由 ； 如 图 2， 在 旋 转 过 程 中 ， 当 DOM=15 时 ， 连 接 EF， 若 正 方 形 的 边 长 为 2， 请 直 接 写 出 线段 EF 的 长 ； 如 图 3， 旋 转 后 ， 若 Rt PMN的 顶 点 P 在 线 段 OB 上 移 动 (不 与 点 O、 B重 合 )， 当 BD=3BP时 ， 猜 想 此 时 PE与 P
32、F 的 数 量 关 系 ， 并 给 出 证 明 ； 当 BD=m BP时 ， 请 直 接 写 出 PE 与 PF 的数 量 关 系 .解 析 ： (1)根 据 正 方 形 的 性 质 和 角 平 分 线 的 性 质 解 答 即 可 ；(2) 根 据 正 方 形 的 性 质 和 旋 转 的 性 质 证 明 FOA EOD， 得 到 答 案 ； 作 OG AB于 G， 根 据 余 弦 的 概 念 求 出 OF的 长 ， 根 据 勾 股 定 理 求 值 即 可 ； 过 点 P作 HP BD交 AB 于 点 H， 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质 求 出 PE 与 PF的 数 量 关
33、 系 ，根 据 解 答 结 果 总 结 规 律 得 到 当 BD=m BP 时 ， PE与 PF 的 数 量 关 系 .答 案 ： (1)PE=PF， 理 由 ： 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ， BAC= DAC， 又 PM AD、 PN AB， PE=PF；(2) 成 立 ， 理 由 ： AC、 BD 是 正 方 形 ABCD的 对 角 线 ， OA=OD， FAO= EDO=45 ， AOD=90 ， DOE+ AOE=90 ， MPN=90 ， FOA+ AOE=90 ， FOA= DOE， 在 FOA和 EOD中 ， FAO EDOOA ODFOA DOE ， FOA EOD
34、， OE=OF， 即 PE=PF； 作 OG AB于 G， DOM=15 ， AOF=15 ， 则 FOG=30 ， cos FOG=OGOF ， 1 2 3332OF ， 又 OE=OF， EF=2 63 ； PE=2PF，证 明 ： 如 图 3， 过 点 P 作 HP BD 交 AB于 点 H， 则 HPB为 等 腰 直 角 三 角 形 ， HPD=90 ， HP=BP， BD=3BP， PD=2BP， PD=2 HP，又 HPF+ HPE=90 ， DPE+ HPE=90 ， HPF= DPE，又 BHP= EDP=45 ， PHF PDE， 12PF PHPE PD ，即 PE=2PF
35、，由 此 规 律 可 知 ， 当 BD=m BP 时 ， PE=(m-1) PF. 26.如 图 ， 已 知 二 次 函 数 y=ax2+32 x+c的 图 象 与 y 轴 交 于 点 A(0， 4)， 与 x轴 交 于 点 B、 C，点 C 坐 标 为 (8， 0)， 连 接 AB、 AC.(1)请 直 接 写 出 二 次 函 数 y=ax 2+32 x+c的 表 达 式 ；(2)判 断 ABC的 形 状 ， 并 说 明 理 由 ；(3)若 点 N 在 x 轴 上 运 动 ， 当 以 点 A、 N、 C 为 顶 点 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 时 ， 请 直 接 写 出 此时 点
36、 N的 坐 标 ；(4)若 点 N 在 线 段 BC上 运 动 (不 与 点 B、 C 重 合 )， 过 点 N 作 NM AC， 交 AB 于 点 M， 当 AMN面 积 最 大 时 ， 求 此 时 点 N的 坐 标 .解 析 ： (1)根 据 待 定 系 数 法 即 可 求 得 ；(2)根 据 抛 物 线 的 解 析 式 求 得 B 的 坐 标 ， 然 后 根 据 勾 股 定 理 分 别 求 得 AB 2=20， AC2=80， BC10，然 后 根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 即 可 证 得 ABC是 直 角 三 角 形 .(3)分 别 以 A、 C 两 点 为 圆 心 ， AC
37、长 为 半 径 画 弧 ， 与 x 轴 交 于 三 个 点 ， 由 AC的 垂 直 平 分 线 与x轴 交 于 一 个 点 ， 即 可 求 得 点 N 的 坐 标 ；(4)设 点 N 的 坐 标 为 (n， 0)， 则 BN=n+2， 过 M 点 作 MD x轴 于 点 D， 根 据 三 角 形 相 似 对 应 边成 比 例 求 得 MD=25 (n+2)， 然 后 根 据 S AMN=S ABN-S BMN得 出 关 于 n的 二 次 函 数 ， 根 据 函 数 解 析 式求 得 即 可 .答 案 ： (1) 二 次 函 数 y=ax 2+32 x+c的 图 象 与 y轴 交 于 点 A(0
38、， 4)， 与 x 轴 交 于 点 B、 C， 点C坐 标 为 (8， 0)， 464 12 0c a c ，解 得 144ac . 抛 物 线 表 达 式 ： y=-14 x 2+32 x+4；(2) ABC是 直 角 三 角 形 .令 y=0， 则 -14 x2+32 x+4=0，解 得 x1=8， x2=-2， 点 B的 坐 标 为 (-2， 0)，由 已 知 可 得 ，在 Rt ABO中 AB 2=BO2+AO2=22+42=20，在 Rt AOC中 AC2=AO2+CO2=42+82=80，又 BC=OB+OC=2+8=10， 在 ABC中 AB2+AC2=20+80=102=BC2
39、 ABC是 直 角 三 角 形 .(3) A(0， 4)， C(8， 0)， AC= 2 24 8 =4 5， 以 A为 圆 心 ， 以 AC长 为 半 径 作 圆 ， 交 x 轴 于 N， 此 时 N的 坐 标 为 (-8， 0)， 以 C为 圆 心 ， 以 AC长 为 半 径 作 圆 ， 交 x 轴 于 N， 此 时 N 的 坐 标 为 (8-4 5， 0)或 (8+4 5，0) 作 AC的 垂 直 平 分 线 ， 交 x 轴 于 N， 此 时 N的 坐 标 为 (3， 0)，综 上 ， 若 点 N 在 x 轴 上 运 动 ， 当 以 点 A、 N、 C为 顶 点 的 三 角 形 是 等
40、腰 三 角 形 时 ， 点 N 的 坐 标分 别 为 (-8， 0)、 (8-4 5， 0)、 (3， 0)、 (8+4 5， 0).(4)设 点 N 的 坐 标 为 (n， 0)， 则 BN=n+2， 过 M 点 作 MD x轴 于 点 D， MD OA， BMD BAO， BM MDBA OA ， MN AC BM BNBA BC ， MD BNOA BC ， OA=4， BC=10， BN=n+2 MD=25 (n+2)， S AMN=S ABN-S BMN=12 BN OA-12 BN MD=12 (n+2) 4-12 25 (n+2)2=-15(n-3)2+5， 当 AMN面 积 最 大 时 ， N 点 坐 标 为 (3， 0).
