1、2015 年 福 建 省 莆 田 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 10 小 题 ， 每 小 题 4分 ， 满 分 40 分 )1. -2的 相 反 数 是 ( )A. 12B.2C.- 12D.-2解 析 ： 根 据 只 有 符 号 不 同 的 两 个 数 互 为 相 反 数 ， 可 得 一 个 数 的 相 反 数 .-2的 相 反 数 是 2. 答 案 ： B.2. 下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.(a2)3=a5B.a2+a4=a6C.a3 a3=1D.(a3-a) a=a2解 析 ： A、 (a 2)3=a6， 故 错 误 ；B、 a2+a4不 能 进 行
2、运 算 ， 因 为 二 者 不 是 同 类 项 ；C、 a3 a3=1， 正 确 ；D、 (a3-a) a=a2-1， 故 错 误 .答 案 ： C3.右 边 几 何 体 的 俯 视 图 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： 找 到 从 上 面 看 所 得 到 的 图 形 即 可 ， 注 意 所 有 的 看 到 的 棱 都 应 表 现 在 俯 视 图 中 .从 上 往 下 看 ， 易 得 三 个 并 排 的 长 方 形 .答 案 ： A4.下 列 图 形 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A.等 边 三 角 形B.平 行 四 边 形C.矩
3、 形D.正 五 边 形解 析 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 错 误 ；B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 .故 错 误 ；C、 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 .故 正 确 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 错 误 . 答 案 ： C5.不 等 式 组 1 2 12 1x x ， 的 解 集 在 数 轴 上 可 表 示 为 ( )A.B.C. D.解 析 ： 解 不 等 式 x+2 1 得 ： x -1； 解 不 等 式 12 x 1得 ： x 2，
4、所 以 次 不 等 式 的 解 集 为 ：-1 x 2.答 案 ： A6.如 图 ， AE DF， AE=DF， 要 使 EAC FDB， 需 要 添 加 下 列 选 项 中 的 ( ) A.AB=CDB.EC=BFC. A= D D.AB=BC解 析 ： AE FD， A= D， AB=CD， AC=BD，在 AEC和 DFB中 ， AE DFA DAC DB ， EAC FDB(SAS)，答 案 ： A7.在 一 次 定 点 投 篮 训 练 中 ， 五 位 同 学 投 中 的 个 数 分 别 为 3， 4， 4， 6， 8， 则 关 于 这 组 数 据 的说 法 不 正 确 的 是 ( )
5、A.平 均 数 是 5B.中 位 数 是 6C.众 数 是 4 D.方 差 是 3.2解 析 ： A、 平 均 数 = 3 4 4 6 85 =5， 此 选 项 正 确 ；B、 3， 4， 4， 6， 8 中 位 数 是 4， 此 选 项 错 误 ；C、 3， 4， 4， 6， 8 众 数 是 4， 此 选 项 正 确 ；D、 方 差 S2=15 (3-5)2+(4-5)2+ +(8-5)2=3.2， 此 选 项 正 确 .答 案 ： B8.如 图 ， 在 O中 ， 弧 AB=弧 AC， AOB=50 ， 则 ADC 的 度 数 是 ( ) A.50B.40C.30D.25解 析 ： 在 O中
6、 ， 弧 AB=弧 AC， AOC= AOB， AOB=50 ， AOC=50 ， ADC= 12 AOC=25 . 答 案 ： D 9.命 题 “ 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+bx+1=0， 必 有 实 数 解 .” 是 假 命 题 .则 在 下 列 选 项 中 ， 可以 作 为 反 例 的 是 ( )A.b=-3B.b=-2C.b=-1D.b=2解 析 ： 方 程 x2+bx+1=0， 必 有 实 数 解 ， =b2-4 0， 解 得 ： b -2 或 b 2，则 命 题 “ 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x 2+bx+1=0， 必 有 实 数 解 .” 是 假
7、 命 题 .则 在 下 列 选 项 中 ， 可以 作 为 反 例 的 是 b=-1.答 案 ： C10.数 学 兴 趣 小 组 开 展 以 下 折 纸 活 动 ：(1)对 折 矩 形 ABCD， 使 AD和 BC重 合 ， 得 到 折 痕 EF， 把 纸 片 展 平 ；(2)再 一 次 折 叠 纸 片 ， 使 点 A 落 在 EF 上 ， 并 使 折 痕 经 过 点 B， 得 到 折 痕 BM， 同 时 得 到 线 段BN.观 察 ， 探 究 可 以 得 到 ABM的 度 数 是 ( ) A.25B.30C.36D.45解 析 ： 连 接 AN， EF 垂 直 平 分 AB， AN=BN，由
8、折 叠 知 AB=BN， AN=AB=BN， ABN为 等 边 三 角 形 ， ABN=60 ， ABM= NBM=30 .答 案 ： B 二 、 细 心 填 一 填 (共 6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 24 分 )11.要 了 解 一 批 炮 弹 的 杀 伤 力 情 况 ， 适 宜 采 取 (选 填 “ 全 面 调 查 ” 或 “ 抽 样 调 查 ” ).解 析 ： 要 了 解 一 批 炮 弹 的 杀 伤 力 情 况 ， 适 宜 采 取 抽 样 调 查 .答 案 ： 抽 样 调 查12.八 边 形 的 外 角 和 是 .解 析 ： 任 何 凸 多 边 形 的 外 角 和 都
9、 是 360度 .八 边 形 的 外 角 和 是 360 度 .答 案 ： 360 13.中 国 的 陆 地 面 积 约 为 9 600 000km2， 把 9 600 000用 科 学 记 数 法 表 示 为 .解 析 ： 将 9600000用 科 学 记 数 法 表 示 为 9.6 106.答 案 ： 9.6 106.14.用 一 根 长 为 32cm的 铁 丝 围 成 一 个 矩 形 ， 则 围 成 矩 形 面 积 的 最 大 值 是 cm2.解 析 ： 设 矩 形 的 一 边 长 是 xcm， 则 邻 边 的 长 是 (16-x)cm.则 矩 形 的 面 积 S=x(16-x)， 即
10、S=-x2+16x，当 x= 162 2ba =8时 ， S 有 最 大 值 是 ： 64.答 案 ： 64.15.如 图 ， AB切 O 于 点 B， OA=2 3 ， BAO=60 ， 弦 BC OA， 则 弧 BC 的 长 为 (结 果 保 留 ).解 析 ： 连 接 OB， OC， AB 为 圆 O的 切 线 ， OB AB，在 AOB中 ， OA=2 3 ， BAO=60 ， AOB=30 ， 即 AB= 3 ，根 据 勾 股 定 理 得 ： OB=3， BC OA， OBC= AOB=30 ， OB=OC， OBC= OCB=30 ， BOC=120 ， 则 弧 BC的 长 l=1
11、20 3180 =2 .答 案 ： 216.谢 尔 宾 斯 基 地 毯 ， 最 早 是 由 波 兰 数 学 家 谢 尔 宾 斯 基 制 作 出 来 的 ： 把 一 个 正 三 角 形 分 成 全等 的 4个 小 正 三 角 形 ， 挖 去 中 间 的 一 个 小 三 角 形 ； 对 剩 下 的 3 个 小 正 三 角 形 再 分 别 重 复 以 上做 法 将 这 种 做 法 继 续 进 行 下 去 ， 就 得 到 小 格 子 越 来 越 多 的 谢 尔 宾 斯 基 地 毯 (如 图 ).若 图 1中 的 阴 影 三 角 形 面 积 为 1， 则 图 5中 的 所 有 阴 影 三 角 形 的 面
12、 积 之 和 是 . 解 析 ： 图 2阴 影 部 分 面 积 =1- 14 = 34 ，图 3 阴 影 部 分 面 积 = 34 34 =( 34 )2，图 4 阴 影 部 分 面 积 = 34 ( 34 )2=( 34 )3，图 5 阴 影 部 分 面 积 = 34 ( 34 )3=( 34 )4= 81256 .答 案 ： 81256 .三 、 耐 心 做 一 做 (共 10 小 题 ， 满 分 86 分 ) 17.计 算 ： |2- 2 |- 9 +(-1)0.解 析 ： 本 题 涉 及 绝 对 值 ， 零 指 数 幂 、 二 次 根 式 化 简 三 个 考 点 .针 对 每 个 考
13、点 分 别 进 行 计 算 ，然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 .答 案 ： |2- 2 |- 9+(-1)0=2- 2 -3+1=- 2 .18. 解 分 式 方 程 ： 2 3 2x x .解 析 ： 先 去 分 母 ， 把 分 式 方 程 转 化 成 整 式 方 程 ， 求 出 整 式 方 程 的 解 ， 最 后 进 行 检 验 即 可 .答 案 ： 方 程 两 边 都 乘 以 x(x+2)得 ： 2(x+2)=3x，解 得 ： x=4，检 验 ： 把 x=4代 入 x(x+2) 0， 所 以 x=4是 原 方 程 的 解 ，即 原 方 程 的 解 为
14、x=4.19.先 化 简 ， 再 求 值 ： 2 22a ab ba b b a ， 其 中 a=1+ 3 ， b=-1+ 3 .解 析 ： 原 式 变 形 后 ， 利 用 同 分 母 分 式 的 加 法 法 则 计 算 ， 约 分 得 到 最 简 结 果 ， 把 a 与 b 的 值 代入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： 原 式 = 22 22 a ba ab ba b a b =a-b，当 a=1+ 3 ， b=-1+ 3 时 ， 原 式 =2. 20.为 建 设 ” 书 香 校 园 “ ， 某 校 开 展 读 书 月 活 动 ， 现 随 机 抽 取 了 一 部 分 学 生 的 日
15、 人 均 阅 读 时间 x(单 位 ： 小 时 )进 行 统 计 ， 统 计 结 果 分 为 四 个 等 级 ， 分 别 记 为 A， B， C， D， 其 中 ： A： 0 x 0.5， B： 0.5 x 1， C： 1 x 1.5， D： 1.5 x 2， 根 据 统 计 结 果 绘 制 了 如 图 两 个 尚不 完 整 的 统 计 图 . (1)本 次 统 计 共 随 机 抽 取 了 名 学 生 ；(2)扇 形 统 计 图 中 等 级 B 所 占 的 圆 心 角 是 ；(3)从 参 加 统 计 的 学 生 中 ， 随 机 抽 取 一 个 人 ， 则 抽 到 “ 日 人 均 阅 读 时 间
16、 大 于 或 等 于 1 小 时 ”的 学 生 的 概 率 是 ；(4)若 该 校 有 1200 名 学 生 ， 请 估 计 “ 日 人 均 阅 读 时 间 大 于 或 等 于 0.5 小 时 ” 的 学 生 共 有人 .解 析 ： (1)利 用 扇 形 统 计 图 和 条 形 统 计 图 得 出 C 组 的 人 数 为 40， 在 扇 形 统 计 图 中 占 40%， 进而 求 出 即 可 ；(2)利 用 等 级 B 在 样 本 中 所 占 比 例 ， 进 而 求 出 所 占 的 圆 心 角 ；(3)利 用 “ 日 人 均 阅 读 时 间 大 于 或 等 于 1 小 时 ” 的 学 生 所
17、占 比 例 ， 得 出 概 率 ；(4)利 用 “ 日 人 均 阅 读 时 间 大 于 或 等 于 0.5 小 时 ” 所 占 比 例 求 出 答 案 .答 案 ： (1)由 C 组 的 人 数 为 40， 在 扇 形 统 计 图 中 占 40%，故 本 次 统 计 共 随 机 抽 取 了 ： 40 40%=100(名 )， 故 答 案 为 ： 100；(2)由 题 意 可 得 ： 20 100 360 =72 .故 答 案 为 ： 72 ；(3) D组 所 占 比 例 为 ： 30%， C 组 所 占 比 例 为 ： 40%， “ 日 人 均 阅 读 时 间 大 于 或 等 于 1小 时 ”
18、 的 学 生 的 所 占 比 例 为 ： 70%， 抽 到 “ 日 人 均 阅 读 时 间 大 于 或 等 于 1小 时 ” 的 学 生 的 概 率 是 ： 0.7；故 答 案 为 ： 0.7；(4) 样 本 中 日 人 均 阅 读 时 间 小 于 0.5 小 时 的 有 10 人 ， 所 占 样 本 数 据 的 10100 100%=10%， 该 校 有 1200 名 学 生 ， “ 日 人 均 阅 读 时 间 大 于 或 等 于 0.5 小 时 ” 的 学 生 共 有 ： 1200(1-10%)=1080(人 ).故 答 案 为 ： 1080. 21.如 图 ， 菱 形 ABCD的 对 角
19、 线 AC， BD 相 交 于 点 O， 点 E， F 分 别 是 边 AB， AD的 中 点 . (1)请 判 断 OEF的 形 状 ， 并 证 明 你 的 结 论 ；(2)若 AB=13， AC=10， 请 求 出 线 段 EF 的 长 .解 析 ： (1)利 用 菱 形 的 性 质 结 合 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 ， 进 而 求 出 即 可 ；(2)利 用 勾 股 定 理 得 出 BO的 长 再 利 用 三 角 形 中 位 线 定 理 得 出 EF的 长 .答 案 ： (1) OEF是 等 腰 三 角 形 ，理 由 ： 四 边 形 ABCD
20、是 菱 形 ， AB=AD， AC BD， 点 E， F 分 别 是 边 AB， AD 的 中 点 ， EO= 12 AB， OF= 12 AD， EO=FO， OEF是 等 腰 三 角 形 ；(2) 四 边 形 ABCD是 菱 形 ， AC=10， AO=5， AOB=90 ， BO= 2 2 2 213 5AB AO =12， BD=24， 点 E， F 分 别 是 边 AB， AD 的 中 点 ， EF/ / 12 BD， EF=12.22.如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， AB=AD， 对 角 线 AC， BD 交 于 点 E， 点 O 在 线 段 AE上 ， O过 B，D两
21、 点 ， 若 OC=5， OB=3， 且 cos BOE= 35 .求 证 ： CB 是 O的 切 线 . 解 析 ： 连 接 OD， 可 得 OB=OD， 由 AB=AD， 得 到 AE垂 直 平 分 BD， 在 直 角 三 角 形 BOE 中 ， 利 用锐 角 三 角 函 数 定 义 求 出 OE 的 长 ， 根 据 勾 股 定 理 求 出 BE 的 长 ， 由 OC-OE求 出 CE的 长 ， 再 利用 勾 股 定 理 求 出 BC的 长 ， 利 用 勾 股 定 理 逆 定 理 判 断 得 到 BC与 OB垂 直 ， 即 可 确 定 出 BC为 圆O的 切 线 .答 案 ： 连 接 OD
22、， 可 得 OB=OD， AB=AD， AE垂 直 平 分 BD， 在 Rt BOE中 ， OB=3， cos BOE= 35 ， OE= 95 ，根 据 勾 股 定 理 得 ： BE= 2 2BO OE =125 ， CE=OC-OE=165 ，在 Rt CEB中 ， BC= 2 2CE BE =4， OB=3， BC=4， OC=5， OB2+BC2=OC2， OBC=90 ， 即 BC OB， 则 BC为 圆 O 的 切 线 .23.某 动 车 站 在 原 有 的 普 通 售 票 窗 口 外 新 增 了 无 人 售 票 窗 口 ， 普 通 售 票 窗 口 从 上 午 8 点 开 放 ，而
23、 无 人 售 票 窗 口 从 上 午 7 点 开 放 ， 某 日 从 上 午 7点 到 10 点 ， 每 个 普 通 售 票 窗 口 售 出 的 车 票数 y1(张 )与 售 票 时 间 x(小 时 )的 变 化 趋 势 如 图 1， 每 个 无 人 售 票 窗 口 售 出 的 车 票 数 y2(张 )与售 票 时 间 x(小 时 )的 变 化 趋 势 是 以 原 点 为 顶 点 的 抛 物 线 的 一 部 分 ， 如 图 2， 若 该 日 截 至 上 午9点 ， 每 个 普 通 售 票 窗 口 与 每 个 无 人 售 票 窗 口 售 出 的 车 票 数 恰 好 相 同 . (1)求 图 2
24、中 所 确 定 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)若 该 日 共 开 放 5 个 无 人 售 票 窗 口 ， 截 至 上 午 10 点 ， 两 种 窗 口 共 售 出 的 车 票 数 不 少 于 900张 ， 则 至 少 需 要 开 放 多 少 个 普 通 售 票 窗 口 ？解 析 ： (1)设 y2=ax2， 当 x=2时 ， y1=y2=40， 利 用 待 定 系 数 法 即 可 解 答 ；(2)设 y1=kx+b(1 x 3)， 把 (1， 0)， (2， 40)分 别 代 入 y1=kx+b， 求 得 y2=40 x-40， 当 x=3时 ， y1=80， y2=90， 设 需 要
25、开 放 m 个 普 通 售 票 窗 口 ， 所 以 80m+90 5 900， 解 得 m 558 ，因 为 m取 整 数 ， 所 以 m 6， 即 可 解 答 .答 案 ： (1)设 y 2=ax2，当 x=2时 ， y1=y2=40， 把 (2， 40)代 入 y2=ax2， 4a=40， 解 得 ： a=10， y2=10 x2.(2)设 y1=kx+b(1 x 3)，把 (1， 0)， (2， 40)分 别 代 入 y1=kx+b 得 ： 02 40k bk b ， ， 解 得 ： 4040kb ， ， y2=40 x-40，当 x=3时 ， y1=80， y2=90，设 需 要 开
26、放 m 个 普 通 售 票 窗 口 ， 80m+90 5 900， m 558 ， m 取 整 数 ， m 6.答 ： 至 少 需 要 开 放 6个 普 通 售 票 窗 口 .24.如 图 ， 矩 形 OABC， 点 A， C 分 别 在 x轴 ， y 轴 正 半 轴 上 ， 直 线 y=-x+6交 边 BC 于 点 M(m， n)(m n)， 并 把 矩 形 OABC 分 成 面 积 相 等 的 两 部 分 ， 过 点 M 的 双 曲 线 y= kx (x 0)交 边 AB 于点 N.若 OAN的 面 积 是 4， 求 OMN的 面 积 . 解 析 ： 由 反 比 例 函 数 性 质 求 出
27、 S OCM=S OAN=4， 得 到 mn=8， 根 据 点 M(m， n)在 直 线 y=-x+6上 ，得 到 -m+6=n， 联 立 解 方 程 组 ， 得 m、 n 的 值 ， 再 根 据 直 线 y=-x+6分 矩 形 OABC 面 积 成 相 等 的两 部 分 ， 求 出 点 B 的 坐 标 ， 进 而 求 出 OA=BC=8， AB=OC=4， BM=6， BN=3， 由 S OMN=S 矩 形 OABC-S OCM-S BMN-S OAN计 算 即 可 .答 案 ： 点 M、 N 在 双 曲 线 y=kx (x 0)上 ， S OCM=S OAN=4， 12 mn=4， mn=
28、8， 点 M(m， n)在 直 线 y=-x+6 上 ， -m+6=n， 86mnm n ， ， 解 得 ： 24mn ， 或 42mn ， (舍 去 ) 直 线 y=-x+6 分 矩 形 OABC面 积 成 相 等 的 两 部 分 ， 直 线 y=-x+6 过 矩 形 OABC的 中 心 ， 设 B(a， 4)， E( 2a ， 2)， - 2a +6=2， a=8， OA=BC=8， AB=OC=4， BM=6， BN=3， S OMN=S 矩 形 OABC-S OCM-S BMN-S OAN=32-4-9-4=15.25.抛 物 线 y=ax2+bx+c， 若 a， b， c 满 足 b
29、=a+c， 则 称 抛 物 线 y=ax2+bx+c 为 “ 恒 定 ” 抛 物 线 .(1)求 证 ： “ 恒 定 ” 抛 物 线 y=ax2+bx+c 必 过 x轴 上 的 一 个 定 点 A；(2)已 知 “ 恒 定 ” 抛 物 线 y= 3 x2- 3 的 顶 点 为 P， 与 x 轴 另 一 个 交 点 为 B， 是 否 存 在 以 Q为顶 点 ， 与 x 轴 另 一 个 交 点 为 C 的 “ 恒 定 ” 抛 物 线 ， 使 得 以 PA， CQ 为 边 的 四 边 形 是 平 行 四 边形 ？ 若 存 在 ， 求 出 抛 物 线 解 析 式 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理
30、 由 .解 析 ： (1)由 “ 恒 定 ” 抛 物 线 y=ax 2+bx+c， 得 到 b=a+c， 即 a-b+c=0， 即 可 确 定 出 抛 物 线 恒 过定 点 (-1， 0)；(2)先 求 出 抛 物 线 y= 3 x2- 3 的 顶 点 坐 标 和 B 的 坐 标 ， 由 题 意 得 出 PA CQ， PA=CQ； 存 在两 种 情 况 ： 作 QM AC 于 M， 则 QM=OP= 3 ， 证 明 Rt QMC Rt POA， MC=OA=1， 得 出 点 Q 的 坐 标 ， 设抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a(x+2) 2- 3， 把 点 A坐 标 代 入 求 出 a
31、 的 值 即 可 ； 顶 点 Q在 y轴 上 ， 此 时 点 C 与 点 B重 合 ； 证 明 OQC OPA， 得 出 OQ=OP= 3 ， 得 出 点 Q坐 标 ， 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax2+ 3， 把 点 C坐 标 代 入 求 出 a 的 值 即 可 .答 案 ： (1)由 “ 恒 定 ” 抛 物 线 y=ax2+bx+c， 得 ： b=a+c， 即 a-b+c=0， 抛 物 线 y=ax 2+bx+c，当 x=-1时 ， y=0， “ 恒 定 ” 抛 物 线 y=ax2+bx+c必 过 x 轴 上 的 一 个 定 点 A(-1， 0)；(2)存 在 ； 理 由 如
32、 下 ： “ 恒 定 ” 抛 物 线 y= 3 x2- 3 ，当 y=0时 ， 3x2- 3 =0， 解 得 ： x= 1， A(-1， 0)， B(1， 0)； x=0时 ， y=- 3 ， 顶 点 P的 坐 标 为 (0， - 3 )， 以 PA， CQ 为 边 的 平 行 四 边 形 ， PA、 CQ是 对 边 ， PA CQ， PA=CQ， 存 在 两 种 情 况 ： 如 图 1 所 示 ： 作 QM AC于 M， 则 QM=OP= 3 ， QMC=90 = POA， 在 Rt QMC和 Rt POA中 ， CQ PAQM OP ， ， Rt QMC Rt POA(HL)， MC=OA
33、=1， OM=2， 点 A和 点 C 是 抛 物 线 上 的 对 称 点 ， AM=MC=1， 点 Q 的 坐 标 为 (-2， - 3 )，设 以 Q为 顶 点 ， 与 x轴 另 一 个 交 点 为 C的 “ 恒 定 ” 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a(x+2) 2- 3，把 点 A(-1， 0)代 入 得 ： a= 3 ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y= 3(x+2)2- 3 ， 即 y= 3 x2+4 3 x+3 3 ； 如 图 2 所 示 ： 顶 点 Q 在 y 轴 上 ， 此 时 点 C与 点 B 重 合 ， 点 C坐 标 为 (1， 0)， CQ PA， OQC=
34、 OPA， 在 OQC和 OPA中 ， OQC OPACOQ AOPCQ PA ， OQC OPA(AAS)， OQ=OP= 3 ， 点 Q 坐 标 为 (0， 3 )，设 以 Q为 顶 点 ， 与 x轴 另 一 个 交 点 为 C的 “ 恒 定 ” 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax2+ 3，把 点 C(1， 0)代 入 得 ： a=- 3 ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y=- 3 x 2+ 3；综 上 所 述 ： 存 在 以 Q 为 顶 点 ， 与 x 轴 另 一 个 交 点 为 C 的 “ 恒 定 ” 抛 物 线 ， 使 得 以 PA， CQ 为边 的 四 边 形 是 平
35、 行 四 边 形 ，抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y= 3 x2+4 3 x+3 3 ， 或 y=- 3x2+ 3 .26.在 Rt ACB 和 Rt AEF中 ， ACB= AEF=90 ， 若 点 P 是 BF 的 中 点 ， 连 接 PC， PE.特 殊 发 现 ： 如 图 1， 若 点 E， F 分 别 落 在 边 AB， AC上 ， 则 结 论 ： PC=PE 成 立 (不 要 求 证 明 ).问 题 探 究 ：把 图 1中 的 AEF绕 着 点 A 顺 时 针 旋 转 .(1)如 图 2， 若 点 E 落 在 边 CA 的 延 长 线 上 ， 则 上 述 结 论 是 否 成
36、立 ？ 若 成 立 ， 请 给 予 证 明 ； 若不 成 立 ， 请 说 明 理 由 ；(2)如 图 3， 若 点 F 落 在 边 AB 上 ， 则 上 述 结 论 是 否 仍 然 成 立 ？ 若 成 立 ， 请 给 予 证 明 ； 若 不 成立 ， 请 说 明 理 由 ；(3)记 ACBC =k， 当 k 为 何 值 时 ， CPE总 是 等 边 三 角 形 ？ (请 直 接 写 出 k 的 值 ， 不 必 说 明 理 由 )解 析 ： (1)首 先 过 点 P 作 PM CE 于 点 M， 然 后 根 据 EF AE， BC AC， 可 得 EF MP CB， 推得 EM FPMC PB
37、， 再 根 据 点 P 是 BF的 中 点 ， 可 得 EM=MC， 据 此 推 得 PC=PE 即 可 .(2)首 先 过 点 F 作 FD AC 于 点 D， 过 点 P 作 PM AC 于 点 M， 连 接 PD， 然 后 根 据 全 等 三 角 形 判 定 的 方 法 ， 判 断 出 DAF EAF， 即 可 判 断 出 AD=AE； 再 判 断 出 DAP EAP， 即 可 判 断出 PD=PE； 最 后 根 据 FD AC， BC AC， PM AC， 可 得 FD BC PM， 再 根 据 点 P 是 BF 的 中 点 ，推 得 PC=PD， 再 根 据 PD=PE， 即 可 推
38、 得 PC=PE.(3)首 先 根 据 CPE总 是 等 边 三 角 形 ， 可 得 将 AEF绕 着 点 A 顺 时 针 旋 转 180 ， CPE 仍 是 等 边 三 角 形 ； 然 后 根 据 BCF= BEF=90 ， 点 P 是 BF 的 中 点 ， 可 得 点 C、 E 在 以 点 P 为 圆 心 ，BF为 直 径 的 圆 上 ； 最 后 根 据 圆 周 角 定 理 ， 求 出 CBE的 度 数 ， 即 可 求 出 当 CPE总 是 等 边 三角 形 时 ， k的 值 是 多 少 .答 案 ： (1)如 图 2， 过 点 P作 PM CE于 点 M， PC=PE成 立 ， 理 由
39、如 下 ： EF AE， BC AC， EF MP CB， EM FPMC PB ， 点 P是 BF的 中 点 ， EM=MC，又 PM CE， PC=PE.(2)如 图 3， 过 点 F 作 FD AC于 点 D， 过 点 P 作 PM AC 于 点 M， 连 接 PD， PC=PE成 立 ， 理 由 如 下 ： DAF= EAF， FDA= FEA=90 ，在 DAF和 EAF中 ， DAF EAFFDA FEAAF AF ， DAF EAF(AAS)，在 DAP和 EAP中 ， AD AEDAP EAPAP AP ， ， DAP EAP(SAS)， PD=PE， FD AC， BC AC
40、， PM AC， FD BC PM， DM FPMC PB ， 点 P是 BF的 中 点 ， DM=MC， 又 PM AC， PC=PD，又 PD=PE， PC=PE.(3)如 图 4， CPE总 是 等 边 三 角 形 ， 将 AEF 绕 着 点 A 顺 时 针 旋 转 180 ， CPE仍 是 等 边 三 角 形 ， BCF= BEF=90 ， 点 P 是 BF 的 中 点 ， 点 C、 E在 以 点 P为 圆 心 ， BF 为 直 径 的 圆 上 ， CPE是 等 边 三 角 形 ， CPE=60 ，根 据 圆 周 角 定 理 ， 可 得 CBE= 12 CPE= 12 60 =30 ， 即 ABC=30 ，在 Rt ABC中 ， AC kBC ， ACBC =tan30 ， k=tan30 = 33 ， 当 k 为 33 时 ， CPE 总 是 等 边 三 角 形 .
