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    2015年甘肃省酒泉市中考真题数学及答案解析.docx

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    2015年甘肃省酒泉市中考真题数学及答案解析.docx

    1、2015 年 甘 肃 省 酒 泉 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ( 本 题 共 10小 题 , 每 小 题 3 分 , 共 30分 )1. 64的 立 方 根 是 ( )A.4B. 4C.8D. 8解 析 : 如 果 一 个 数 x 的 立 方 等 于 a, 那 么 x 是 a 的 立 方 根 , 4 的 立 方 等 于 64, 64 的 立 方 根 等 于 4.答 案 : A.2.中 国 航 空 母 舰 “ 辽 宁 号 ” 的 满 载 排 水 量 为 67500 吨 .将 数 67500 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.0.675 105B.6.75 104C.

    2、67.5 103D.675 102解 析 : 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 , 其 中 1 |a| 10, n 为 整 数 .确 定 n 的 值时 , 要 看 把 原 数 变 成 a时 , 小 数 点 移 动 了 多 少 位 , n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当原 数 绝 对 值 1 时 , n 是 正 数 ; 当 原 数 的 绝 对 值 1时 , n 是 负 数 .将 67500 用 科 学 记 数 法 表示 为 : 6.75 10 4.答 案 : B.3.若 A=34 , 则 A 的 补 角 为 ( )A.56B.14

    3、6C.156D.166解 析 : A=34 , A的 补 角 =180 34 =146 .答 案 : B.4.下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.x 2+x2=x4B.( a b) 2=a2 b2C.( a2) 3= a6D.3a2 2a3=6a6解 析 : 根 据 同 类 项 、 完 全 平 方 公 式 、 幂 的 乘 方 和 单 项 式 的 乘 法 计 算 .A、 x2+x2=2x2, 错 误 ;B、 ( a b) 2=a2 2ab+b2, 错 误 ;C、 ( a 2) 3= a6, 正 确 ;D、 3a2 2a3=6a5, 错 误 ;答 案 : C.5.如 图 是 由 6 个 相

    4、同 的 小 正 方 体 搭 成 的 几 何 体 , 那 么 这 个 几 何 体 的 俯 视 图 是 ( ) A.B.C. D.解 析 : 从 上 面 看 易 得 上 面 第 一 层 中 间 有 1个 正 方 形 , 第 二 层 有 3个 正 方 形 .下 面 一 层 左 边有 1个 正 方 形 .答 案 : A.6.下 列 命 题 中 , 假 命 题 是 ( )A.平 行 四 边 形 是 中 心 对 称 图 形B.三 角 形 三 边 的 垂 直 平 分 线 相 交 于 一 点 , 这 点 到 三 角 形 三 个 顶 点 的 距 离 相 等C.对 于 简 单 的 随 机 样 本 , 可 以 用

    5、样 本 的 方 差 去 估 计 总 体 的 方 差D.若 x 2=y2, 则 x=y解 析 : A、 平 行 四 边 形 是 中 心 对 称 图 形 , 它 的 中 心 对 称 点 为 两 条 对 角 线 的 交 点 , 故 该 命 题 是真 命 题 ;B、 三 角 形 三 边 的 垂 直 平 分 线 相 交 于 一 点 , 为 三 角 形 的 外 心 , 这 点 到 三 角 形 三 个 顶 点 的 距 离相 等 , 故 该 命 题 是 真 命 题 ;C、 用 样 本 的 数 字 特 征 估 计 总 体 的 数 字 特 征 : 主 要 数 据 有 众 数 、 中 位 数 、 平 均 数 、 标

    6、 准 差 与方 差 , 故 该 命 题 是 真 命 题 ;D、 若 x2=y2, 则 x= y, 不 是 x=y, 故 该 命 题 是 假 命 题 ;答 案 : D.7.今 年 来 某 县 加 大 了 对 教 育 经 费 的 投 入 , 2013年 投 入 2500万 元 , 2015年 投 入 3500 万 元 .假 设 该 县 投 入 教 育 经 费 的 年 平 均 增 长 率 为 x, 根 据 题 意 列 方 程 , 则 下 列 方 程 正 确 的 是 ( )A.2500 x 2=3500B.2500( 1+x) 2=3500C.2500( 1+x%) 2=3500D.2500( 1+x

    7、) +2500( 1+x) 2=3500 解 析 : 设 增 长 率 为 x, 根 据 题 意 得 2500 ( 1+x) 2=3500,答 案 : B.8. ABC为 O 的 内 接 三 角 形 , 若 AOC=160 , 则 ABC的 度 数 是 ( )A.80B.160C.100D.80 或 100解 析 : 如 图 , AOC=160 , ABC= AOC= 160 =80 , ABC+ AB C=180 , AB C=180 ABC=180 80 =100 . ABC的 度 数 是 : 80 或 100 .答 案 : D.9.如 图 , D、 E 分 别 是 ABC的 边 AB、 B

    8、C上 的 点 , DE AC, 若 S BDE: S CDE=1: 3, 则 S DOE: S AOC的 值 为 ( )A.B. C.D.解 析 : 证 明 BE: EC=1: 3, 进 而 证 明 BE: BC=1: 4; 证 明 DOE AOC, 得 到 ,借 助 相 似 三 角 形 的 性 质 即 可 解 决 问 题 .解 答 : 解 : S BDE: S CDE=1: 3, BE: EC=1: 3; BE: BC=1: 4; DE AC, DOE AOC, , S DOE: S AOC= = ,答 案 : D.10.如 图 , 矩 形 ABCD中 , AB=3, BC=5, 点 P 是

    9、 BC 边 上 的 一 个 动 点 ( 点 P与 点 B、 C 都 不 重 合 ) ,现 将 PCD沿 直 线 PD折 叠 , 使 点 C落 到 点 F处 ; 过 点 P 作 BPF的 角 平 分 线 交 AB于 点 E.设BP=x, BE=y, 则 下 列 图 象 中 , 能 表 示 y与 x的 函 数 关 系 的 图 象 大 致 是 ( ) A.B.C. D.解 析 : 证 明 BPE CDP, 根 据 相 似 三 角 形 的 对 应 边 的 比 相 等 求 得 y与 x的 函 数 关 系 式 ,根 据 函 数 的 性 质 即 可 作 出 判 断 .解 答 : CPD= FPD, BPE=

    10、 FPE,又 CPD+ FPD+ BPE+ FPE=180 , CPD+ BPE=90 ,又 直 角 BPE中 , BPE+ BEP=90 , BEP= CPD, 又 B= C, BPE CDP, , 即 , 则 y= x2+ , y 是 x 的 二 次 函 数 , 且 开 口 向 下 .答 案 : C.二 、 填 空 题 ( 本 题 共 8 小 题 , 每 小 题 3 分 , 共 24 分 )11.分 解 因 式 : x3y 2x2y+xy= .解 析 : 原 式 =xy( x 2 2x+1) =xy( x 1) 2.答 案 : xy( x 1) 212.分 式 方 程 的 解 是 .解 析

    11、 : 方 程 的 两 边 同 乘 x( x+3) , 得2( x+3) =5x,解 得 x=2.检 验 : 把 x=2代 入 x( x+3) =10 0, 即 x=2是 原 分 式 方 程 的 解 .故 原 方 程 的 解 为 : x=2.答 案 : x=2.13.在 函 数 y= 中 , 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 . 解 析 : 根 据 题 意 得 : x+1 0且 x 0,解 得 : x 1 且 x 0.答 案 : x 1且 x 0.14.定 义 新 运 算 : 对 于 任 意 实 数 a, b都 有 : a b=a( a b) +1, 其 中 等 式 右 边 是 通 常 的

    12、 加 法 、减 法 及 乘 法 运 算 .如 : 2 5=2 ( 2 5) +1=2 ( 3) +1= 5, 那 么 不 等 式 3 x 13的 解集 为 .解 析 : 3 x 13,3( 3 x) +1 13,解 得 : x 1.答 案 : x 1.15.已 知 、 均 为 锐 角 , 且 满 足 |sin |+ =0, 则 + = . 解 析 : |sin |+ =0, sin = , tan =1, =30 , =45 ,则 + =30 +45 =75 .答 案 : 75 .16.关 于 x 的 方 程 kx 2 4x =0有 实 数 根 , 则 k 的 取 值 范 围 是 .解 析 :

    13、 当 k=0时 , 4x =0, 解 得 x= ,当 k 0 时 , 方 程 kx2 4x =0是 一 元 二 次 方 程 , 根 据 题 意 可 得 : =16 4k ( ) 0,解 得 k 6, k 0,综 上 k 6,答 案 : k 6.7.如 图 , 半 圆 O的 直 径 AE=4, 点 B, C, D 均 在 半 圆 上 , 若 AB=BC, CD=DE, 连 接 OB, OD, 则图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 .解 析 : 根 据 题 意 可 知 , 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 扇 形 BOD的 面 积 , 根 据 扇 形 面 积 公 式 即 可 求 解

    14、.解 答 : AB=BC, CD=DE, = , = , + = + , BOD=90 , S 阴 影 =S 扇 形 OBD= = .答 案 : .18.古 希 腊 数 学 家 把 数 1, 3, 6, 10, 15, 21, 叫 做 三 角 形 数 , 其 中 1 是 第 一 个 三 角 形 数 ,3是 第 2 个 三 角 形 数 , 6 是 第 3个 三 角 形 数 , 依 此 类 推 , 那 么 第 9 个 三 角 形 数 是 , 2016是 第 个 三 角 形 数 .解 析 : 第 9 个 三 角 形 数 是 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,1+2+3+4+ +n=2016,

    15、n( n+1) =4032,解 得 : n=63.答 案 : 45, 63.三 、 解 答 题 ( 本 题 共 5 小 题 , 共 26 分 ) 19.计 算 : + +( 1) 2015 tan60 .解 析 : 原 式 第 一 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算 , 第 二 项 利 用 算 术 平 方 根 定 义 计 算 , 第 三 项 利 用乘 方 的 意 义 化 简 , 最 后 一 项 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 : 原 式 =1+2 1 =2 3= 1.20.先 化 简 , 再 求 值 : , 其 中 x=0.解 析

    16、: 先 根 据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式 进 行 化 简 , 再 把 x=0代 入 进 行 计 算 即 可 . 答 案 : 原 式 =当 x=0时 , 原 式 = .21.如 图 , 已 知 在 ABC中 , A=90( 1) 请 用 圆 规 和 直 尺 作 出 P, 使 圆 心 P 在 AC 边 上 , 且 与 AB, BC两 边 都 相 切 ( 保 留 作 图 痕迹 , 不 写 作 法 和 证 明 ) .( 2) 若 B=60 , AB=3, 求 P 的 面 积 . 解 析 : ( 1) 作 ABC的 平 分 线 交 AC于 P, 再 以 P 为 圆 心 PA为 半

    17、径 即 可 作 出 P;( 2) 根 据 角 平 分 线 的 性 质 得 到 ABP=30 , 根 据 三 角 函 数 可 得 AP= , 再 根 据 圆 的 面 积 公式 即 可 求 解 .答 案 : ( 1) 如 图 所 示 , 则 P为 所 求 作 的 圆 .( 2) B=60 , BP平 分 ABC, ABP=30 , tan ABP= , AP= , S P=3 .22.如 图 所 示 , 将 直 尺 摆 放 在 三 角 板 上 , 使 直 尺 与 三 角 板 的 边 分 别 交 于 点 D, E, F, G, 已知 CGD=42( 1) 求 CEF的 度 数 ;( 2) 将 直 尺

    18、 向 下 平 移 , 使 直 尺 的 边 缘 通 过 三 角 板 的 顶 点 B, 交 AC边 于 点 H, 如 图 所 示 ,点 H, B 在 直 尺 上 的 度 数 分 别 为 4, 13.4, 求 BC的 长 ( 结 果 保 留 两 位 小 数 ) .( 参 考 数 据 : sin42 0.67, cos42 0.74, tan42 0.90) 解 析 : ( 1) 先 根 据 直 角 三 角 形 的 两 锐 角 互 为 求 出 CDG的 度 数 , 再 根 据 两 直 线 平 行 , 同位 角 相 等 求 出 DEF, 然 后 根 据 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 与 它 不

    19、 相 邻 的 两 个 内 角 的 和 即 可 求 出 EFA;( 2) 根 据 度 数 求 出 HB的 长 度 , 再 根 据 CBH= CGD=42 , 利 用 42 的 余 弦 值 进 求 解 .答 案 : ( 1) CGD=42 , C=90 , CDG=90 42 =48 , DG EF, CEF= CDG=48 ;( 2) 点 H, B的 读 数 分 别 为 4, 13.4, HB=13.4 4=9.4( m) , BC=HBcos42 9.4 0.74 6.96( m) .答 : BC 的 长 为 6.96m.23.有 三 张 卡 片 ( 形 状 、 大 小 、 颜 色 、 质 地

    20、 都 相 等 ) , 正 面 分 别 下 上 整 式 x 2+1, x2 2, 3.将 这 三 张 卡 片 背 面 向 上 洗 匀 , 从 中 任 意 抽 取 一 张 卡 片 , 记 卡 片 上 的 整 式 为 A, 再 从 剩 下 的 卡片 中 任 意 抽 取 一 张 , 记 卡 片 上 的 整 式 为 B, 于 是 得 到 代 数 式 .( 1) 请 用 画 树 状 图 成 列 表 的 方 法 , 写 出 代 数 式 所 有 可 能 的 结 果 ;( 2) 求 代 数 式 恰 好 是 分 式 的 概 率 .解 析 : ( 1) 首 先 根 据 题 意 画 出 树 状 图 , 然 后 由 树

    21、 状 图 即 可 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 ;( 2) 由 ( 1) 中 的 树 状 图 , 可 求 得 抽 取 的 两 张 卡 片 结 果 能 组 成 分 式 的 情 况 , 然 后 利 用 概 率 公式 求 解 即 可 求 得 答 案 .答 案 : ( 1) 画 树 状 图 : 列 表 : 第 一 次 x2+1 x2 2 3 第 二 次x2+1 x2 23( 2) 代 数 式 所 有 可 能 的 结 果 共 有 6 种 , 其 中 代 数 式 是 分 式 的 有 4 种 : , , , ,所 以 P ( 是 分 式 ) = .四 、 解 答 题 ( 本 题 共 5 小 题 ,

    22、 共 40 分 )24.某 班 同 学 响 应 “ 阳 光 体 育 运 动 ” 号 召 , 利 用 课 外 活 动 积 极 参 加 体 育 锻 炼 , 每 位 同 学 从 长跑 、 铅 球 、 立 定 跳 远 、 篮 球 定 时 定 点 投 篮 中 任 选 一 项 进 行 了 训 练 , 训 练 前 后 都 进 行 了 测 试 ,现 将 项 目 选 择 情 况 及 训 练 后 篮 球 定 时 定 点 投 篮 进 球 数 进 行 整 理 , 作 出 如 下 统 计 图 表 .训 练 后 篮 球 定 点 投 篮 测 试 进 球 统 计 表进 球 数( 个 ) 8 7 6 5 4 3人 数 2 1

    23、4 7 8 2 请 你 根 据 图 表 中 的 信 息 回 答 下 列 问 题 :( 1) 训 练 后 篮 球 定 时 定 点 投 篮 人 均 进 球 数 为 个 ;( 2) 选 择 长 跑 训 练 的 人 数 占 全 班 人 数 的 百 分 比 是 , 该 班 共 有 同 学 人 ;( 3) 根 据 测 试 资 料 , 参 加 篮 球 定 时 定 点 投 篮 的 学 生 训 练 后 比 训 练 前 的 人 均 进 球 增 加 了 25%,求 参 加 训 练 之 前 的 人 均 进 球 数 .解 析 : ( 1) 根 据 平 均 数 的 概 念 计 算 平 均 进 球 数 ; ( 2) 根 据

    24、 所 有 人 数 的 比 例 和 为 1 计 算 选 择 长 跑 训 练 的 人 数 占 全 班 人 数 的 百 分 比 ; 由 总 人 数 =某 种 运 动 的 人 数 所 占 比 例 计 算 总 人 数 ;( 3) 通 过 比 较 训 练 前 后 的 成 绩 , 利 用 增 长 率 的 意 义 即 可 列 方 程 求 解 .答 案 : ( 1) 参 加 篮 球 训 练 的 人 数 是 : 2+1+4+7+8+2=24( 人 ) . 训 练 后 篮 球 定 时 定 点 投 篮 人 均 进 球 数 = =5( 个 ) .故 答 案 是 : 5;( 2) 由 扇 形 图 可 以 看 出 : 选

    25、择 长 跑 训 练 的 人 数 占 全 班 人 数 的 百 分 比 =1 60% 10% 20%=10%,则 全 班 同 学 的 人 数 为 24 60%=40( 人 ) ,故 答 案 是 : 10%, 40;( 3) 设 参 加 训 练 之 前 的 人 均 进 球 数 为 x 个 ,则 x( 1+25%) =5, 解 得 x=4.即 参 加 训 练 之 前 的 人 均 进 球 数 是 4 个 .25.如 图 , 平 行 四 边 形 ABCD中 , AB=3cm, BC=5cm, B=60 , G 是 CD 的 中 点 , E是 边 AD 上的 动 点 , EG的 延 长 线 与 BC的 延

    26、长 线 交 于 点 F, 连 结 CE, DF.( 1) 求 证 : 四 边 形 CEDF是 平 行 四 边 形 ;( 2) 当 AE= cm时 , 四 边 形 CEDF是 矩 形 ; 当 AE= cm时 , 四 边 形 CEDF 是 菱 形 .( 直 接 写 出 答 案 , 不 需 要 说 明 理 由 )解 析 : ( 1) 证 CFG EDG, 推 出 FG=EG, 根 据 平 行 四 边 形 的 判 定 推 出 即 可 ;( 2) 求 出 MBA EDC, 推 出 CED= AMB=90 , 根 据 矩 形 的 判 定 推 出 即 可 ; 求 出 CDE是 等 边 三 角 形 , 推 出

    27、 CE=DE, 根 据 菱 形 的 判 定 推 出 即 可 .解 答 : ( 1) 证 明 : 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 , CF ED, FCG= EDG, G 是 CD 的 中 点 , CG=DG,在 FCG和 EDG中 , FCG EDG( ASA) FG=EG, CG=DG, 四 边 形 CEDF 是 平 行 四 边 形 ;( 2) 解 : 当 AE=3.5 时 , 平 行 四 边 形 CEDF是 矩 形 ,理 由 是 : 过 A 作 AM BC 于 M, B=60 , AB=3, BM=1.5, 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 , CDA= B=60

    28、, DC=AB=3, BC=AD=5, AE=3.5, DE=1.5=BM,在 MBA和 EDC中 , MBA EDC( SAS) , CED= AMB=90 , 四 边 形 CEDF 是 平 行 四 边 形 , 四 边 形 CEDF 是 矩 形 ,故 答 案 为 : 3.5; 当 AE=2 时 , 四 边 形 CEDF是 菱 形 ,理 由 是 : AD=5, AE=2, DE=3, CD=3, CDE=60 , CDE是 等 边 三 角 形 , CE=DE, 四 边 形 CEDF 是 平 行 四 边 形 , 四 边 形 CEDF 是 菱 形 ,故 答 案 为 : 2.26.如 图 , 在 平

    29、 面 直 角 坐 标 系 中 , 菱 形 ABCD的 顶 点 C 与 原 点 O 重 合 , 点 B 在 y 轴 的 正 半 轴 上 , 点 A 在 反 比 例 函 数 y= ( k x, x 0) 的 图 象 上 , 点 D的 坐 标 为 ( 4, 3) .( 1) 求 k 的 值 ;( 2) 若 将 菱 形 ABCD沿 x轴 正 方 向 平 移 , 当 菱 形 的 顶 点 D落 在 函 数 y= ( k 0, x 0) 的图 象 上 时 , 求 菱 形 ABCD 沿 x 轴 正 方 向 平 移 的 距 离 . 解 析 : ( 1) 过 点 D 作 x 轴 的 垂 线 , 垂 足 为 F,

    30、首 先 得 出 A 点 坐 标 , 再 利 用 反 比 例 函 数 图象 上 点 的 坐 标 性 质 得 出 即 可 ;( 2) 将 菱 形 ABCD沿 x轴 正 方 向 平 移 , 使 得 点 D 落 在 函 数 ( x 0) 的 图 象 D 点 处 ,得 出 点 D 的 纵 坐 标 为 3, 求 出 其 横 坐 标 , 进 而 得 出 菱 形 ABCD平 移 的 距 离 .答 案 : ( 1) 过 点 D 作 x 轴 的 垂 线 , 垂 足 为 F, 点 D的 坐 标 为 ( 4, 3) , OF=4, DF=3, OD=5, AD=5, 点 A坐 标 为 ( 4, 8) , k=xy=4

    31、 8=32, k=32;( 2) 将 菱 形 ABCD沿 x 轴 正 方 向 平 移 , 使 得 点 D落 在 函 数 ( x 0) 的 图 象 D 点 处 ,过 点 D 做 x 轴 的 垂 线 , 垂 足 为 F . DF=3, D F =3, 点 D 的 纵 坐 标 为 3, 点 D 在 的 图 象 上 3= ,解 得 : x= ,即 OF = , FF = 4= , 菱 形 ABCD平 移 的 距 离 为 .27.已 知 ABC内 接 于 O, 过 点 A作 直 线 EF.( 1) 如 图 所 示 , 若 AB 为 O的 直 径 , 要 使 EF 成 为 O 的 切 线 , 还 需 要

    32、添 加 的 一 个 条 件 是( 至 少 说 出 两 种 ) : 或 者 .( 2) 如 图 所 示 , 如 果 AB是 不 过 圆 心 O 的 弦 , 且 CAE= B, 那 么 EF是 O 的 切 线 吗 ? 试证 明 你 的 判 断 . 解 析 : ( 1) 求 出 BAE=90 , 再 根 据 切 线 的 判 定 定 理 推 出 即 可 ;( 2) 作 直 径 AM, 连 接 CM, 根 据 圆 周 角 定 理 求 出 M= B, ACM=90 , 求 出 MAC+ CAE=90 ,再 根 据 切 线 的 判 定 推 出 即 可 .答 案 : ( 1) BAE=90 , EAC= AB

    33、C,理 由 是 : BAE=90 , AE AB, AB 是 直 径 , EF 是 O的 切 线 ; AB是 直 径 , ACB=90 , ABC+ BAC=90 , EAC= ABC, BAE= BAC+ EAC= BAC+ ABC=90 , 即 AE AB, AB 是 直 径 , EF 是 O的 切 线 ;( 2) EF是 O 的 切 线 .证 明 : 作 直 径 AM, 连 接 CM,则 ACM=90 , M= B, M+ CAM= B+ CAM=90 , CAE= B, CAM+ CAE=90 , AE AM, AM 为 直 径 , EF是 O 的 切 线 .28.如 图 , 在 直

    34、角 坐 标 系 中 , 抛 物 线 经 过 点 A( 0, 4) , B( 1, 0) , C( 5, 0) , 其 对 称 轴 与 x轴 相 交 于 点 M.( 1) 求 抛 物 线 的 解 析 式 和 对 称 轴 ;( 2) 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 是 否 存 在 一 点 P, 使 PAB的 周 长 最 小 ? 若 存 在 , 请 求 出 点 P 的 坐标 ; 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 ;( 3) 连 接 AC, 在 直 线 AC的 下 方 的 抛 物 线 上 , 是 否 存 在 一 点 N, 使 NAC 的 面 积 最 大 ? 若 存在 , 请 求 出 点 N的

    35、 坐 标 ; 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 . 解 析 : ( 1) 抛 物 线 经 过 点 A( 0, 4) , B( 1, 0) , C( 5, 0) , 可 利 用 两 点 式 法 设 抛 物 线 的解 析 式 为 y=a( x 1) ( x 5) , 代 入 A( 0, 4) 即 可 求 得 函 数 的 解 析 式 , 则 可 求 得 抛 物 线 的对 称 轴 ;( 2) 点 A 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 A 的 坐 标 为 ( 6, 4) , 连 接 BA 交 对 称 轴 于 点 P, 连 接 AP,此 时 PAB的 周 长 最 小 , 可 求 出 直 线 BA

    36、的 解 析 式 , 即 可 得 出 点 P的 坐 标 .( 3) 在 直 线 AC 的 下 方 的 抛 物 线 上 存 在 点 N, 使 NAC面 积 最 大 .设 N点 的 横 坐 标 为 t, 此 时点 N( t, t2 t+4) ( 0 t 5) , 再 求 得 直 线 AC的 解 析 式 , 即 可 求 得 NG 的 长 与 ACN的 面 积 , 由 二 次 函 数 最 大 值 的 问 题 即 可 求 得 答 案 .答 案 : ( 1) 根 据 已 知 条 件 可 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a( x 1) ( x 5) ,把 点 A( 0, 4) 代 入 上 式 得 :

    37、a= , y= ( x 1) ( x 5) = x2 x+4= ( x 3) 2 , 抛 物 线 的 对 称 轴 是 : x=3;( 2) P点 坐 标 为 ( 3, ) .理 由 如 下 : 点 A( 0, 4) , 抛 物 线 的 对 称 轴 是 x=3, 点 A关 于 对 称 轴 的 对 称 点 A 的 坐 标 为 ( 6, 4)如 图 1, 连 接 BA 交 对 称 轴 于 点 P, 连 接 AP, 此 时 PAB的 周 长 最 小 . 设 直 线 BA 的 解 析 式 为 y=kx+b,把 A ( 6, 4) , B( 1, 0) 代 入 得 , 解 得 , y= x , 点 P的

    38、横 坐 标 为 3, y= 3 = , P( 3, ) .( 3) 在 直 线 AC的 下 方 的 抛 物 线 上 存 在 点 N, 使 NAC面 积 最 大 .设 N 点 的 横 坐 标 为 t, 此 时 点 N( t, t 2 t+4) ( 0 t 5) ,如 图 2, 过 点 N作 NG y轴 交 AC 于 G; 作 AD NG于 D, 由 点 A( 0, 4) 和 点 C( 5, 0) 可 求 出 直 线 AC 的 解 析 式 为 : y= x+4,把 x=t代 入 得 : y= t+4, 则 G( t, t+4) ,此 时 : NG= t+4 ( t2 t+4) = t2+4t, AD+CF=CO=5, S ACN=S ANG+S CGN= AM NG+ NG CF= NG OC= ( t2+4t) 5= 2t2+10t= 2( t )2+ , 当 t= 时 , CAN面 积 的 最 大 值 为 ,由 t= , 得 : y= t2 t+4= 3, N( , 3) .


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