1、2015 年 甘 肃 省 酒 泉 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 （ 本 题 共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30分 ）1. 64的 立 方 根 是 （ ）A.4B. 4C.8D. 8解 析 ： 如 果 一 个 数 x 的 立 方 等 于 a， 那 么 x 是 a 的 立 方 根 ， 4 的 立 方 等 于 64， 64 的 立 方 根 等 于 4.答 案 ： A.2.中 国 航 空 母 舰 “ 辽 宁 号 ” 的 满 载 排 水 量 为 67500 吨 .将 数 67500 用 科 学 记 数 法 表 示 为 （ ）A.0.675 105B.6.75 104C.
2、67.5 103D.675 102解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n 为 整 数 .确 定 n 的 值时 ， 要 看 把 原 数 变 成 a时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当原 数 绝 对 值 1 时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1时 ， n 是 负 数 .将 67500 用 科 学 记 数 法 表示 为 ： 6.75 10 4.答 案 ： B.3.若 A=34 ， 则 A 的 补 角 为 （ ）A.56B.14
3、6C.156D.166解 析 ： A=34 ， A的 补 角 =180 34 =146 .答 案 ： B.4.下 列 运 算 正 确 的 是 （ ）A.x 2+x2=x4B.（ a b） 2=a2 b2C.（ a2） 3= a6D.3a2 2a3=6a6解 析 ： 根 据 同 类 项 、 完 全 平 方 公 式 、 幂 的 乘 方 和 单 项 式 的 乘 法 计 算 .A、 x2+x2=2x2， 错 误 ；B、 （ a b） 2=a2 2ab+b2， 错 误 ；C、 （ a 2） 3= a6， 正 确 ；D、 3a2 2a3=6a5， 错 误 ；答 案 ： C.5.如 图 是 由 6 个 相
4、同 的 小 正 方 体 搭 成 的 几 何 体 ， 那 么 这 个 几 何 体 的 俯 视 图 是 （ ） A.B.C. D.解 析 ： 从 上 面 看 易 得 上 面 第 一 层 中 间 有 1个 正 方 形 ， 第 二 层 有 3个 正 方 形 .下 面 一 层 左 边有 1个 正 方 形 .答 案 ： A.6.下 列 命 题 中 ， 假 命 题 是 （ ）A.平 行 四 边 形 是 中 心 对 称 图 形B.三 角 形 三 边 的 垂 直 平 分 线 相 交 于 一 点 ， 这 点 到 三 角 形 三 个 顶 点 的 距 离 相 等C.对 于 简 单 的 随 机 样 本 ， 可 以 用
5、样 本 的 方 差 去 估 计 总 体 的 方 差D.若 x 2=y2， 则 x=y解 析 ： A、 平 行 四 边 形 是 中 心 对 称 图 形 ， 它 的 中 心 对 称 点 为 两 条 对 角 线 的 交 点 ， 故 该 命 题 是真 命 题 ；B、 三 角 形 三 边 的 垂 直 平 分 线 相 交 于 一 点 ， 为 三 角 形 的 外 心 ， 这 点 到 三 角 形 三 个 顶 点 的 距 离相 等 ， 故 该 命 题 是 真 命 题 ；C、 用 样 本 的 数 字 特 征 估 计 总 体 的 数 字 特 征 ： 主 要 数 据 有 众 数 、 中 位 数 、 平 均 数 、 标
6、 准 差 与方 差 ， 故 该 命 题 是 真 命 题 ；D、 若 x2=y2， 则 x= y， 不 是 x=y， 故 该 命 题 是 假 命 题 ；答 案 ： D.7.今 年 来 某 县 加 大 了 对 教 育 经 费 的 投 入 ， 2013年 投 入 2500万 元 ， 2015年 投 入 3500 万 元 .假 设 该 县 投 入 教 育 经 费 的 年 平 均 增 长 率 为 x， 根 据 题 意 列 方 程 ， 则 下 列 方 程 正 确 的 是 （ ）A.2500 x 2=3500B.2500（ 1+x） 2=3500C.2500（ 1+x%） 2=3500D.2500（ 1+x
7、） +2500（ 1+x） 2=3500 解 析 ： 设 增 长 率 为 x， 根 据 题 意 得 2500 （ 1+x） 2=3500，答 案 ： B.8. ABC为 O 的 内 接 三 角 形 ， 若 AOC=160 ， 则 ABC的 度 数 是 （ ）A.80B.160C.100D.80 或 100解 析 ： 如 图 ， AOC=160 ， ABC= AOC= 160 =80 ， ABC+ AB C=180 ， AB C=180 ABC=180 80 =100 . ABC的 度 数 是 ： 80 或 100 .答 案 ： D.9.如 图 ， D、 E 分 别 是 ABC的 边 AB、 B
8、C上 的 点 ， DE AC， 若 S BDE： S CDE=1： 3， 则 S DOE： S AOC的 值 为 （ ）A.B. C.D.解 析 ： 证 明 BE： EC=1： 3， 进 而 证 明 BE： BC=1： 4； 证 明 DOE AOC， 得 到 ，借 助 相 似 三 角 形 的 性 质 即 可 解 决 问 题 .解 答 ： 解 ： S BDE： S CDE=1： 3， BE： EC=1： 3； BE： BC=1： 4； DE AC， DOE AOC， ， S DOE： S AOC= = ，答 案 ： D.10.如 图 ， 矩 形 ABCD中 ， AB=3， BC=5， 点 P 是
9、 BC 边 上 的 一 个 动 点 （ 点 P与 点 B、 C 都 不 重 合 ） ，现 将 PCD沿 直 线 PD折 叠 ， 使 点 C落 到 点 F处 ； 过 点 P 作 BPF的 角 平 分 线 交 AB于 点 E.设BP=x， BE=y， 则 下 列 图 象 中 ， 能 表 示 y与 x的 函 数 关 系 的 图 象 大 致 是 （ ） A.B.C. D.解 析 ： 证 明 BPE CDP， 根 据 相 似 三 角 形 的 对 应 边 的 比 相 等 求 得 y与 x的 函 数 关 系 式 ，根 据 函 数 的 性 质 即 可 作 出 判 断 .解 答 ： CPD= FPD， BPE=
10、 FPE，又 CPD+ FPD+ BPE+ FPE=180 ， CPD+ BPE=90 ，又 直 角 BPE中 ， BPE+ BEP=90 ， BEP= CPD， 又 B= C， BPE CDP， ， 即 ， 则 y= x2+ ， y 是 x 的 二 次 函 数 ， 且 开 口 向 下 .答 案 ： C.二 、 填 空 题 （ 本 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24 分 ）11.分 解 因 式 ： x3y 2x2y+xy= .解 析 ： 原 式 =xy（ x 2 2x+1） =xy（ x 1） 2.答 案 ： xy（ x 1） 212.分 式 方 程 的 解 是 .解 析
11、 ： 方 程 的 两 边 同 乘 x（ x+3） ， 得2（ x+3） =5x，解 得 x=2.检 验 ： 把 x=2代 入 x（ x+3） =10 0， 即 x=2是 原 分 式 方 程 的 解 .故 原 方 程 的 解 为 ： x=2.答 案 ： x=2.13.在 函 数 y= 中 ， 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 . 解 析 ： 根 据 题 意 得 ： x+1 0且 x 0，解 得 ： x 1 且 x 0.答 案 ： x 1且 x 0.14.定 义 新 运 算 ： 对 于 任 意 实 数 a， b都 有 ： a b=a（ a b） +1， 其 中 等 式 右 边 是 通 常 的
12、 加 法 、减 法 及 乘 法 运 算 .如 ： 2 5=2 （ 2 5） +1=2 （ 3） +1= 5， 那 么 不 等 式 3 x 13的 解集 为 .解 析 ： 3 x 13，3（ 3 x） +1 13，解 得 ： x 1.答 案 ： x 1.15.已 知 、 均 为 锐 角 ， 且 满 足 |sin |+ =0， 则 + = . 解 析 ： |sin |+ =0， sin = ， tan =1， =30 ， =45 ，则 + =30 +45 =75 .答 案 ： 75 .16.关 于 x 的 方 程 kx 2 4x =0有 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 .解 析 ：
13、 当 k=0时 ， 4x =0， 解 得 x= ，当 k 0 时 ， 方 程 kx2 4x =0是 一 元 二 次 方 程 ， 根 据 题 意 可 得 ： =16 4k （ ） 0，解 得 k 6， k 0，综 上 k 6，答 案 ： k 6.7.如 图 ， 半 圆 O的 直 径 AE=4， 点 B， C， D 均 在 半 圆 上 ， 若 AB=BC， CD=DE， 连 接 OB， OD， 则图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 .解 析 ： 根 据 题 意 可 知 ， 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 扇 形 BOD的 面 积 ， 根 据 扇 形 面 积 公 式 即 可 求 解
14、.解 答 ： AB=BC， CD=DE， = ， = ， + = + ， BOD=90 ， S 阴 影 =S 扇 形 OBD= = .答 案 ： .18.古 希 腊 数 学 家 把 数 1， 3， 6， 10， 15， 21， 叫 做 三 角 形 数 ， 其 中 1 是 第 一 个 三 角 形 数 ，3是 第 2 个 三 角 形 数 ， 6 是 第 3个 三 角 形 数 ， 依 此 类 推 ， 那 么 第 9 个 三 角 形 数 是 ， 2016是 第 个 三 角 形 数 .解 析 ： 第 9 个 三 角 形 数 是 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+ +n=2016，
15、n（ n+1） =4032，解 得 ： n=63.答 案 ： 45， 63.三 、 解 答 题 （ 本 题 共 5 小 题 ， 共 26 分 ） 19.计 算 ： + +（ 1） 2015 tan60 .解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第 二 项 利 用 算 术 平 方 根 定 义 计 算 ， 第 三 项 利 用乘 方 的 意 义 化 简 ， 最 后 一 项 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 =1+2 1 =2 3= 1.20.先 化 简 ， 再 求 值 ： ， 其 中 x=0.解 析
16、： 先 根 据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式 进 行 化 简 ， 再 把 x=0代 入 进 行 计 算 即 可 . 答 案 ： 原 式 =当 x=0时 ， 原 式 = .21.如 图 ， 已 知 在 ABC中 ， A=90（ 1） 请 用 圆 规 和 直 尺 作 出 P， 使 圆 心 P 在 AC 边 上 ， 且 与 AB， BC两 边 都 相 切 （ 保 留 作 图 痕迹 ， 不 写 作 法 和 证 明 ） .（ 2） 若 B=60 ， AB=3， 求 P 的 面 积 . 解 析 ： （ 1） 作 ABC的 平 分 线 交 AC于 P， 再 以 P 为 圆 心 PA为 半
17、径 即 可 作 出 P；（ 2） 根 据 角 平 分 线 的 性 质 得 到 ABP=30 ， 根 据 三 角 函 数 可 得 AP= ， 再 根 据 圆 的 面 积 公式 即 可 求 解 .答 案 ： （ 1） 如 图 所 示 ， 则 P为 所 求 作 的 圆 .（ 2） B=60 ， BP平 分 ABC， ABP=30 ， tan ABP= ， AP= ， S P=3 .22.如 图 所 示 ， 将 直 尺 摆 放 在 三 角 板 上 ， 使 直 尺 与 三 角 板 的 边 分 别 交 于 点 D， E， F， G， 已知 CGD=42（ 1） 求 CEF的 度 数 ；（ 2） 将 直 尺
18、 向 下 平 移 ， 使 直 尺 的 边 缘 通 过 三 角 板 的 顶 点 B， 交 AC边 于 点 H， 如 图 所 示 ，点 H， B 在 直 尺 上 的 度 数 分 别 为 4， 13.4， 求 BC的 长 （ 结 果 保 留 两 位 小 数 ） .（ 参 考 数 据 ： sin42 0.67， cos42 0.74， tan42 0.90） 解 析 ： （ 1） 先 根 据 直 角 三 角 形 的 两 锐 角 互 为 求 出 CDG的 度 数 ， 再 根 据 两 直 线 平 行 ， 同位 角 相 等 求 出 DEF， 然 后 根 据 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 与 它 不
19、 相 邻 的 两 个 内 角 的 和 即 可 求 出 EFA；（ 2） 根 据 度 数 求 出 HB的 长 度 ， 再 根 据 CBH= CGD=42 ， 利 用 42 的 余 弦 值 进 求 解 .答 案 ： （ 1） CGD=42 ， C=90 ， CDG=90 42 =48 ， DG EF， CEF= CDG=48 ；（ 2） 点 H， B的 读 数 分 别 为 4， 13.4， HB=13.4 4=9.4（ m） ， BC=HBcos42 9.4 0.74 6.96（ m） .答 ： BC 的 长 为 6.96m.23.有 三 张 卡 片 （ 形 状 、 大 小 、 颜 色 、 质 地
20、 都 相 等 ） ， 正 面 分 别 下 上 整 式 x 2+1， x2 2， 3.将 这 三 张 卡 片 背 面 向 上 洗 匀 ， 从 中 任 意 抽 取 一 张 卡 片 ， 记 卡 片 上 的 整 式 为 A， 再 从 剩 下 的 卡片 中 任 意 抽 取 一 张 ， 记 卡 片 上 的 整 式 为 B， 于 是 得 到 代 数 式 .（ 1） 请 用 画 树 状 图 成 列 表 的 方 法 ， 写 出 代 数 式 所 有 可 能 的 结 果 ；（ 2） 求 代 数 式 恰 好 是 分 式 的 概 率 .解 析 ： （ 1） 首 先 根 据 题 意 画 出 树 状 图 ， 然 后 由 树
21、 状 图 即 可 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 ；（ 2） 由 （ 1） 中 的 树 状 图 ， 可 求 得 抽 取 的 两 张 卡 片 结 果 能 组 成 分 式 的 情 况 ， 然 后 利 用 概 率 公式 求 解 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： （ 1） 画 树 状 图 ： 列 表 ： 第 一 次 x2+1 x2 2 3 第 二 次x2+1 x2 23（ 2） 代 数 式 所 有 可 能 的 结 果 共 有 6 种 ， 其 中 代 数 式 是 分 式 的 有 4 种 ： ， ， ， ，所 以 P （ 是 分 式 ） = .四 、 解 答 题 （ 本 题 共 5 小 题 ，
22、 共 40 分 ）24.某 班 同 学 响 应 “ 阳 光 体 育 运 动 ” 号 召 ， 利 用 课 外 活 动 积 极 参 加 体 育 锻 炼 ， 每 位 同 学 从 长跑 、 铅 球 、 立 定 跳 远 、 篮 球 定 时 定 点 投 篮 中 任 选 一 项 进 行 了 训 练 ， 训 练 前 后 都 进 行 了 测 试 ，现 将 项 目 选 择 情 况 及 训 练 后 篮 球 定 时 定 点 投 篮 进 球 数 进 行 整 理 ， 作 出 如 下 统 计 图 表 .训 练 后 篮 球 定 点 投 篮 测 试 进 球 统 计 表进 球 数（ 个 ） 8 7 6 5 4 3人 数 2 1
23、4 7 8 2 请 你 根 据 图 表 中 的 信 息 回 答 下 列 问 题 ：（ 1） 训 练 后 篮 球 定 时 定 点 投 篮 人 均 进 球 数 为 个 ；（ 2） 选 择 长 跑 训 练 的 人 数 占 全 班 人 数 的 百 分 比 是 ， 该 班 共 有 同 学 人 ；（ 3） 根 据 测 试 资 料 ， 参 加 篮 球 定 时 定 点 投 篮 的 学 生 训 练 后 比 训 练 前 的 人 均 进 球 增 加 了 25%，求 参 加 训 练 之 前 的 人 均 进 球 数 .解 析 ： （ 1） 根 据 平 均 数 的 概 念 计 算 平 均 进 球 数 ； （ 2） 根 据
24、 所 有 人 数 的 比 例 和 为 1 计 算 选 择 长 跑 训 练 的 人 数 占 全 班 人 数 的 百 分 比 ； 由 总 人 数 =某 种 运 动 的 人 数 所 占 比 例 计 算 总 人 数 ；（ 3） 通 过 比 较 训 练 前 后 的 成 绩 ， 利 用 增 长 率 的 意 义 即 可 列 方 程 求 解 .答 案 ： （ 1） 参 加 篮 球 训 练 的 人 数 是 ： 2+1+4+7+8+2=24（ 人 ） . 训 练 后 篮 球 定 时 定 点 投 篮 人 均 进 球 数 = =5（ 个 ） .故 答 案 是 ： 5；（ 2） 由 扇 形 图 可 以 看 出 ： 选
25、择 长 跑 训 练 的 人 数 占 全 班 人 数 的 百 分 比 =1 60% 10% 20%=10%，则 全 班 同 学 的 人 数 为 24 60%=40（ 人 ） ，故 答 案 是 ： 10%， 40；（ 3） 设 参 加 训 练 之 前 的 人 均 进 球 数 为 x 个 ，则 x（ 1+25%） =5， 解 得 x=4.即 参 加 训 练 之 前 的 人 均 进 球 数 是 4 个 .25.如 图 ， 平 行 四 边 形 ABCD中 ， AB=3cm， BC=5cm， B=60 ， G 是 CD 的 中 点 ， E是 边 AD 上的 动 点 ， EG的 延 长 线 与 BC的 延
26、长 线 交 于 点 F， 连 结 CE， DF.（ 1） 求 证 ： 四 边 形 CEDF是 平 行 四 边 形 ；（ 2） 当 AE= cm时 ， 四 边 形 CEDF是 矩 形 ； 当 AE= cm时 ， 四 边 形 CEDF 是 菱 形 .（ 直 接 写 出 答 案 ， 不 需 要 说 明 理 由 ）解 析 ： （ 1） 证 CFG EDG， 推 出 FG=EG， 根 据 平 行 四 边 形 的 判 定 推 出 即 可 ；（ 2） 求 出 MBA EDC， 推 出 CED= AMB=90 ， 根 据 矩 形 的 判 定 推 出 即 可 ； 求 出 CDE是 等 边 三 角 形 ， 推 出
27、 CE=DE， 根 据 菱 形 的 判 定 推 出 即 可 .解 答 ： （ 1） 证 明 ： 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， CF ED， FCG= EDG， G 是 CD 的 中 点 ， CG=DG，在 FCG和 EDG中 ， FCG EDG（ ASA） FG=EG， CG=DG， 四 边 形 CEDF 是 平 行 四 边 形 ；（ 2） 解 ： 当 AE=3.5 时 ， 平 行 四 边 形 CEDF是 矩 形 ，理 由 是 ： 过 A 作 AM BC 于 M， B=60 ， AB=3， BM=1.5， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， CDA= B=60
28、， DC=AB=3， BC=AD=5， AE=3.5， DE=1.5=BM，在 MBA和 EDC中 ， MBA EDC（ SAS） ， CED= AMB=90 ， 四 边 形 CEDF 是 平 行 四 边 形 ， 四 边 形 CEDF 是 矩 形 ，故 答 案 为 ： 3.5； 当 AE=2 时 ， 四 边 形 CEDF是 菱 形 ，理 由 是 ： AD=5， AE=2， DE=3， CD=3， CDE=60 ， CDE是 等 边 三 角 形 ， CE=DE， 四 边 形 CEDF 是 平 行 四 边 形 ， 四 边 形 CEDF 是 菱 形 ，故 答 案 为 ： 2.26.如 图 ， 在 平
29、 面 直 角 坐 标 系 中 ， 菱 形 ABCD的 顶 点 C 与 原 点 O 重 合 ， 点 B 在 y 轴 的 正 半 轴 上 ， 点 A 在 反 比 例 函 数 y= （ k x， x 0） 的 图 象 上 ， 点 D的 坐 标 为 （ 4， 3） .（ 1） 求 k 的 值 ；（ 2） 若 将 菱 形 ABCD沿 x轴 正 方 向 平 移 ， 当 菱 形 的 顶 点 D落 在 函 数 y= （ k 0， x 0） 的图 象 上 时 ， 求 菱 形 ABCD 沿 x 轴 正 方 向 平 移 的 距 离 . 解 析 ： （ 1） 过 点 D 作 x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 F，
30、首 先 得 出 A 点 坐 标 ， 再 利 用 反 比 例 函 数 图象 上 点 的 坐 标 性 质 得 出 即 可 ；（ 2） 将 菱 形 ABCD沿 x轴 正 方 向 平 移 ， 使 得 点 D 落 在 函 数 （ x 0） 的 图 象 D 点 处 ，得 出 点 D 的 纵 坐 标 为 3， 求 出 其 横 坐 标 ， 进 而 得 出 菱 形 ABCD平 移 的 距 离 .答 案 ： （ 1） 过 点 D 作 x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 F， 点 D的 坐 标 为 （ 4， 3） ， OF=4， DF=3， OD=5， AD=5， 点 A坐 标 为 （ 4， 8） ， k=xy=4
31、 8=32， k=32；（ 2） 将 菱 形 ABCD沿 x 轴 正 方 向 平 移 ， 使 得 点 D落 在 函 数 （ x 0） 的 图 象 D 点 处 ，过 点 D 做 x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 F . DF=3， D F =3， 点 D 的 纵 坐 标 为 3， 点 D 在 的 图 象 上 3= ，解 得 ： x= ，即 OF = ， FF = 4= ， 菱 形 ABCD平 移 的 距 离 为 .27.已 知 ABC内 接 于 O， 过 点 A作 直 线 EF.（ 1） 如 图 所 示 ， 若 AB 为 O的 直 径 ， 要 使 EF 成 为 O 的 切 线 ， 还 需 要
32、添 加 的 一 个 条 件 是（ 至 少 说 出 两 种 ） ： 或 者 .（ 2） 如 图 所 示 ， 如 果 AB是 不 过 圆 心 O 的 弦 ， 且 CAE= B， 那 么 EF是 O 的 切 线 吗 ？ 试证 明 你 的 判 断 . 解 析 ： （ 1） 求 出 BAE=90 ， 再 根 据 切 线 的 判 定 定 理 推 出 即 可 ；（ 2） 作 直 径 AM， 连 接 CM， 根 据 圆 周 角 定 理 求 出 M= B， ACM=90 ， 求 出 MAC+ CAE=90 ，再 根 据 切 线 的 判 定 推 出 即 可 .答 案 ： （ 1） BAE=90 ， EAC= AB
33、C，理 由 是 ： BAE=90 ， AE AB， AB 是 直 径 ， EF 是 O的 切 线 ； AB是 直 径 ， ACB=90 ， ABC+ BAC=90 ， EAC= ABC， BAE= BAC+ EAC= BAC+ ABC=90 ， 即 AE AB， AB 是 直 径 ， EF 是 O的 切 线 ；（ 2） EF是 O 的 切 线 .证 明 ： 作 直 径 AM， 连 接 CM，则 ACM=90 ， M= B， M+ CAM= B+ CAM=90 ， CAE= B， CAM+ CAE=90 ， AE AM， AM 为 直 径 ， EF是 O 的 切 线 .28.如 图 ， 在 直
34、角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 经 过 点 A（ 0， 4） ， B（ 1， 0） ， C（ 5， 0） ， 其 对 称 轴 与 x轴 相 交 于 点 M.（ 1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 和 对 称 轴 ；（ 2） 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 是 否 存 在 一 点 P， 使 PAB的 周 长 最 小 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 点 P 的 坐标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；（ 3） 连 接 AC， 在 直 线 AC的 下 方 的 抛 物 线 上 ， 是 否 存 在 一 点 N， 使 NAC 的 面 积 最 大 ？ 若 存在 ， 请 求 出 点 N的
35、 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： （ 1） 抛 物 线 经 过 点 A（ 0， 4） ， B（ 1， 0） ， C（ 5， 0） ， 可 利 用 两 点 式 法 设 抛 物 线 的解 析 式 为 y=a（ x 1） （ x 5） ， 代 入 A（ 0， 4） 即 可 求 得 函 数 的 解 析 式 ， 则 可 求 得 抛 物 线 的对 称 轴 ；（ 2） 点 A 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 A 的 坐 标 为 （ 6， 4） ， 连 接 BA 交 对 称 轴 于 点 P， 连 接 AP，此 时 PAB的 周 长 最 小 ， 可 求 出 直 线 BA
36、的 解 析 式 ， 即 可 得 出 点 P的 坐 标 .（ 3） 在 直 线 AC 的 下 方 的 抛 物 线 上 存 在 点 N， 使 NAC面 积 最 大 .设 N点 的 横 坐 标 为 t， 此 时点 N（ t， t2 t+4） （ 0 t 5） ， 再 求 得 直 线 AC的 解 析 式 ， 即 可 求 得 NG 的 长 与 ACN的 面 积 ， 由 二 次 函 数 最 大 值 的 问 题 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： （ 1） 根 据 已 知 条 件 可 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a（ x 1） （ x 5） ，把 点 A（ 0， 4） 代 入 上 式 得 ：
37、a= ， y= （ x 1） （ x 5） = x2 x+4= （ x 3） 2 ， 抛 物 线 的 对 称 轴 是 ： x=3；（ 2） P点 坐 标 为 （ 3， ） .理 由 如 下 ： 点 A（ 0， 4） ， 抛 物 线 的 对 称 轴 是 x=3， 点 A关 于 对 称 轴 的 对 称 点 A 的 坐 标 为 （ 6， 4）如 图 1， 连 接 BA 交 对 称 轴 于 点 P， 连 接 AP， 此 时 PAB的 周 长 最 小 . 设 直 线 BA 的 解 析 式 为 y=kx+b，把 A （ 6， 4） ， B（ 1， 0） 代 入 得 ， 解 得 ， y= x ， 点 P的
38、横 坐 标 为 3， y= 3 = ， P（ 3， ） .（ 3） 在 直 线 AC的 下 方 的 抛 物 线 上 存 在 点 N， 使 NAC面 积 最 大 .设 N 点 的 横 坐 标 为 t， 此 时 点 N（ t， t 2 t+4） （ 0 t 5） ，如 图 2， 过 点 N作 NG y轴 交 AC 于 G； 作 AD NG于 D， 由 点 A（ 0， 4） 和 点 C（ 5， 0） 可 求 出 直 线 AC 的 解 析 式 为 ： y= x+4，把 x=t代 入 得 ： y= t+4， 则 G（ t， t+4） ，此 时 ： NG= t+4 （ t2 t+4） = t2+4t， AD+CF=CO=5， S ACN=S ANG+S CGN= AM NG+ NG CF= NG OC= （ t2+4t） 5= 2t2+10t= 2（ t ）2+ ， 当 t= 时 ， CAN面 积 的 最 大 值 为 ，由 t= ， 得 ： y= t2 t+4= 3， N（ ， 3） .
