1、2015年 甘 肃 省 甘 南 州 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 40分 ） 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的1. 2 的 相 反 数 是 （ ）A.2B. 2C.D.解 析 ： 2 的 相 反 数 为 ： 2.答 案 ： B. 2.下 列 运 算 中 ， 结 果 正 确 的 是 （ ）A.x3 x3=x6B.3x2+2x2=5x4C.（ x2） 3=x5D.（ x+y） 2=x2+y2解 析 ： A、 x3 x3=x6， 本 选 项 正 确 ；B、 3x2+
2、2x2=5x2， 本 选 项 错 误 ；C、 （ x 2） 3=x6， 本 选 项 错 误 ；D、 （ x+y） 2=x2+2xy+y2， 本 选 项 错 误 ，答 案 ： A3.在 “ 百 度 ” 搜 索 引 擎 中 输 入 “ 姚 明 ” ， 能 搜 索 到 与 之 相 关 的 网 页 约 27000000 个 ， 将 这 个数 用 科 学 记 数 法 表 示 为 （ ）A.2.7 105B.2.7 106C.2.7 10 7D.2.7 108解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n 为 整 数 .确 定 n 的 值时
3、 ， 要 看 把 原 数 变 成 a时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当原 数 绝 对 值 1 时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1时 ， n 是 负 数 .将 27 000 000用 科 学 记 数法 表 示 为 2.7 107.答 案 :C.4.下 列 交 通 标 志 中 ， 是 中 心 对 称 图 形 的 是 （ ）A. B. C.D.解 析 ： A.此 图 形 旋 转 180 后 不 能 与 原 图 形 重 合 ， 此 图 形 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项错 误
4、；B： 此 图 形 旋 转 180 后 不 能 与 原 图 形 重 合 ， 此 图 形 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；C. 此 图 形 旋 转 180 后 不 能 与 原 图 形 重 合 ， 此 图 形 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；D.此 图 形 旋 转 180 后 能 与 原 图 形 重 合 ， 此 图 形 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 正 确 ；答 案 :D.5. O过 点 B， C， 圆 心 O在 等 腰 直 角 ABC内 部 ， BAC=90 ， OA=1， BC=6， 则 O 的 半 径为 （ ） A
5、.B.2C.D.3解 析 ： 过 A作 AD BC， 由 题 意 可 知 AD必 过 点 O， 连 接 OB； BAC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AD BC， BD=CD=AD=3； OD=AD OA=2；Rt OBD中 ， 根 据 勾 股 定 理 ， 得 ：OB= = .答 案 :C.6.有 一 组 数 据 ： 3， 4， 5， 6， 6， 则 这 组 数 据 的 平 均 数 、 众 数 、 中 位 数 分 别 是 （ ）A.4.8， 6， 6B.5， 5， 5C.4.8， 6， 5D.5， 6， 6解 析 ： 在 这 一 组 数 据 中 6是 出 现 次 数 最 多 的 ， 故 众
6、 数 是 6；而 将 这 组 数 据 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 3， 4， 5， 6， 6， 处 于 中 间 位 置 的 数 是 5，平 均 数 是 ： （ 3+4+5+6+6） 5=4.8， 答 案 ： C. 7.如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， E是 AB的 中 点 ， CE和 BD交 于 点 O， 设 OCD的 面 积 为 m， OEB的 面 积 为 ， 则 下 列 结 论 中 正 确 的 是 （ ）A.m=5B.m=4C.m=3D.m=10解 析 ： AB CD， OCD OEB，又 E是 AB的 中 点 ， 2EB=AB=CD， =（ ） 2， 即 =（
7、 ） 2，解 得 m=4 .答 案 :B.8.若 函 数 ， 则 当 函 数 值 y=8时 ， 自 变 量 x的 值 是 （ ）A.B.4C. 或 4D.4或 解 析 ： 把 y=8代 入 函 数 ，先 代 入 上 边 的 方 程 得 x= ， x 2， x= 不 合 题 意 舍 去 ， 故 x= ；再 代 入 下 边 的 方 程 x=4， x 2， 故 x=4，综 上 ， x 的 值 为 4 或 .答 案 ： D.9.如 图 ， 直 线 y=kx+b经 过 A（ 2， 1） ， B（ 1， 2） 两 点 ， 则 不 等 式 x kx+b 2 的 解集 为 （ ） A.x 2 B.x 1C.x
8、 1 或 x 2D. 1 x 2解 析 ： 把 A（ 2， 1） ， B（ 1， 2） 两 点 的 坐 标 代 入 y=kx+b，得 ：解 得 ：解 不 等 式 组 ： x x 1 2，得 ： 1 x 2.答 案 :D. 10.在 盒 子 里 放 有 三 张 分 别 写 有 整 式 a+1， a+2， 2 的 卡 片 ， 从 中 随 机 抽 取 两 张 卡 片 ， 把 两 张卡 片 上 的 整 式 分 别 作 为 分 子 和 分 母 ， 则 能 组 成 分 式 的 概 率 是 （ ）A.B.C.D.解 析 ： 分 母 含 有 字 母 的 式 子 是 分 式 ， 整 式 a+1， a+2， 2
9、中 ， 抽 到 a+1， a+2 做 分 母 时 组 成 的都 是 分 式 ， 共 有 3 2=6种 情 况 ， 其 中 a+1， a+2为 分 母 的 情 况 有 4 种 ， 所 以 能 组 成 分 式 的 概 率 = = .答 案 :B.二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 16分 ）11.分 解 因 式 ： ax2 ay2= .解 析 ： ax2 ay2，=a（ x2 y2） ，=a（ x+y） （ x y） .答 案 ： a（ x+y） （ x y） .12.将 点 A（ 2， 1） 向 上 平 移 3个 单 位 长 度 得 到 点 B 的
10、 坐 标 是 .解 析 ： 原 来 点 的 横 坐 标 是 2， 纵 坐 标 是 1， 向 上 平 移 3 个 单 位 长 度 得 到 新 点 的 横 坐 标 不 变 ，纵 坐 标 为 1+3=4.即 该 坐 标 为 （ 2， 4） . 答 案 ： （ 2， 4） .13.如 图 是 一 次 函 数 的 y=kx+b图 象 ， 则 关 于 x 的 不 等 式 kx+b 0 的 解 集 为 . 解 析 ： 由 图 可 知 ： 当 x 2 时 ， y 0， 即 kx+b 0；因 此 kx+b 0的 解 集 为 ： x 2.答 案 ： x 214.如 图 ， AB为 O 的 弦 ， O 的 半 径
11、为 5， OC AB于 点 D， 交 O于 点 C， 且 CD=1， 则 弦 AB的 长 是 .解 析 ： 连 接 AO， 半 径 是 5， CD=1， OD=5 1=4，根 据 勾 股 定 理 ， AB=3 2=6，因 此 弦 AB 的 长 是 6.三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 44分 ）15.计 算 ： | 1|+2012 0 （ ） 1 3tan30 .解 析 ： 根 据 绝 对 值 的 概 念 、 零 指 数 幂 、 负 整 数 指 数 幂 的 法 则 ， 以 及 特 殊 三 角 函 数 值 计 算 即可 .答 案 ： 原 式 = 1+1 （ 3） 3 =
12、 +3 =3.16.解 不 等 式 组 ： 并 把 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 . 解 析 ： 将 不 等 式 组 的 两 不 等 式 分 别 记 作 和 ， 由 不 等 式 移 项 ， 将 x 的 系 数 化 为 1， 求 出x 的 范 围 ， 由 不 等 式 左 边 去 括 号 后 ， 移 项 并 将 x 的 系 数 化 为 1 求 出 解 集 ， 找 出 两 解 集 的 公共 部 分 ， 确 定 出 原 不 等 式 组 的 解 集 ， 并 将 此 解 集 表 示 在 数 轴 上 即 可 .答 案 ：由 不 等 式 移 项 得 ： 4x+x 1 6，整 理 得 ： 5x 5，解
13、 得 ： x 1，由 不 等 式 去 括 号 得 ： 3x 3 x+5，移 项 得 ： 3x x 5+3，合 并 得 ： 2x 8，解 得 ： x 4， 则 不 等 式 组 的 解 集 为 1 x 4.在 数 轴 上 表 示 不 等 式 组 的 解 集 如 图 所 示 ，17.已 知 x 3y=0， 求 （ x y） 的 值 .解 析 ： 首 先 将 分 式 的 分 母 分 解 因 式 ， 然 后 再 约 分 、 化 简 ， 最 后 将 x、 y 的 关 系 式 代 入 化 简后 的 式 子 中 进 行 计 算 即 可 .答 案 ： 当 x 3y=0时 ， x=3y；原 式 =18.如 图 ，
14、 从 热 气 球 C 上 测 得 两 建 筑 物 A、 B底 部 的 俯 角 分 别 为 30 和 60度 .如 果 这 时 气 球的 高 度 CD 为 90米 .且 点 A、 D、 B 在 同 一 直 线 上 ， 求 建 筑 物 A、 B 间 的 距 离 .解 析 ： 在 图 中 两 个 直 角 三 角 形 中 ， 都 是 知 道 已 知 角 和 对 边 ， 根 据 正 切 函 数 求 出 邻 边 后 ， 相加 求 和 即 可 . 答 案 ： 由 已 知 ， 得 ECA=30 ， FCB=60 ， CD=90， EF AB， CD AB于 点 D. A= ECA=30 ， B= FCB=60
15、 .在 Rt ACD中 ， CDA=90 ， tanA= ，在 Rt BCD中 ， CDB=90 ， tanB= ， AB=AD+BD=90 3 +30 3 =120 3 . 答 ： 建 筑 物 A、 B 间 的 距 离 为 120 3 米 .19.如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 矩 形 OABC的 顶 点 O与 坐 标 原 点 重 合 ， A， C分 别 在 坐 标 轴 上 ，点 B 的 坐 标 为 （ 4， 2） ， 直 线 y= x+3 交 AB， BC于 点 M， N， 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 经 过点 M， N.（ 1） 求 反 比 例 函 数 的 答 案
16、式 ；（ 2） 若 点 P 在 x 轴 上 ， 且 OPM的 面 积 与 四 边 形 BMON的 面 积 相 等 ， 求 点 P的 坐 标 . 解 析 ： （ 1） 求 出 OA=BC=2， 将 y=2代 入 y= x+3求 出 x=2， 得 出 M 的 坐 标 ， 把 M 的 坐 标代 入 反 比 例 函 数 的 答 案 式 即 可 求 出 答 案 ；（ 2） 求 出 四 边 形 BMON的 面 积 ， 求 出 OP 的 值 ， 即 可 求 出 P 的 坐 标 .答 案 ： （ 1） B（ 4， 2） ， 四 边 形 OABC 是 矩 形 ， OA=BC=2，将 y=2代 入 y= x+3得
17、 ： x=2， M（ 2， 2） ，把 M 的 坐 标 代 入 y= 得 ： k=4， 反 比 例 函 数 的 答 案 式 是 y= ； （ 2） 把 x=4代 入 y= 得 ： y=1， 即 CN=1， S 四 边 形 BMON=S 矩 形 OABC S AOM S CON =4 2 2 2 4 1=4，由 题 意 得 ： |OP| AO=4， AO=2， |OP|=4， 点 P的 坐 标 是 （ 4， 0） 或 （ 4， 0） .20.如 图 1， 在 ABC和 EDC中 ， AC=CE=CB=CD； ACB= DCE=90 ， AB与 CE 交 于 F， ED与 AB， BC， 分 别
18、交 于 M， H.（ 1） 求 证 ： CF=CH；（ 2） 如 图 2， ABC不 动 ， 将 EDC绕 点 C旋 转 到 BCE=45 时 ， 试 判 断 四 边 形 ACDM是 什么 四 边 形 ？ 并 证 明 你 的 结 论 . 解 析 ： （ 1） 要 证 明 CF=CH， 可 先 证 明 BCF ECH， 由 ABC= DCE=90 ， AC=CE=CB=CD，可 得 B= E=45 ， 得 出 CF=CH；（ 2） 根 据 EDC 绕 点 C 旋 转 到 BCE=45 ， 推 出 四 边 形 ACDM是 平 行 四 边 形 ， 由 AC=CD判 断出 四 边 形 ACDM是 菱
19、形 .解 答 ： （ 1） 证 明 ： AC=CE=CB=CD， ACB= ECD=90 ， A= B= D= E=45 .在 BCF和 ECH中 ， BCF ECH（ ASA） ， CF=CH（ 全 等 三 角 形 的 对 应 边 相 等 ） ； （ 2） 解 ： 四 边 形 ACDM是 菱 形 .证 明 ： ACB= DCE=90 ， BCE=45 ， 1= 2=45 . E=45 ， 1= E， AC DE， AMH=180 A=135 = ACD，又 A= D=45 ， 四 边 形 ACDM 是 平 行 四 边 形 （ 两 组 对 角 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ）
20、 ， AC=CD， 四 边 形 ACDM是 菱 形 .四 、 填 空 题 （ 每 小 题 4 分 ， 共 20 分 ） 21.已 知 若 分 式 的 值 为 0， 则 x的 值 为 .解 析 ： 分 式 的 值 为 0，解 得 x=3，即 x 的 值 为 3.答 案 ： 3.22.在 第 一 象 限 内 ， 点 P（ 2， 3） ， M（ a， 2） 是 双 曲 线 y= （ k 0） 上 的 两 点 ， PA x 轴 于点 A， MB x 轴 于 点 B， PA与 OM 交 于 点 C， 则 OAC 的 面 积 为 . 解 析 ： 点 P（ 2， 3） 在 双 曲 线 y= （ k 0） 上
21、 ， k=2 3=6， y= ，当 y=2时 ， x=3， 即 M（ 3， 2） . 直 线 OM 的 答 案 式 为 y= x，当 x=2时 ， y= ， 即 C（ 2， ） . OAC的 面 积 = 2 = .答 案 ： . 23.已 知 a2 a 1=0， 则 a3 a2 a+2015= .解 析 ： a2 a 1=0， a2 a=1， a3 a2 a+2015=a（ a2 a） a+2015=a a+2015=2015，答 案 ： 2015.24.如 图 ， 两 个 同 心 圆 ， 大 圆 半 径 为 5cm， 小 圆 的 半 径 为 3cm， 若 大 圆 的 弦 AB与 小 圆 相
22、交 ，则 弦 AB的 取 值 范 围 是 . 解 析 ： 如 图 ， 当 AB 与 小 圆 相 切 时 有 一 个 公 共 点 D，连 接 OA， OD， 可 得 OD AB， D 为 AB 的 中 点 ， 即 AD=BD，在 Rt ADO中 ， OD=3， OA=5， AD=4， AB=2AD=8；当 AB 经 过 同 心 圆 的 圆 心 时 ， 弦 AB最 大 且 与 小 圆 相 交 有 两 个 公 共 点 ，此 时 AB=10，所 以 AB的 取 值 范 围 是 8 AB 10.答 案 ： 8 AB 1025.如 图 ， 点 A 在 双 曲 线 上 ， 点 B 在 双 曲 线 y= 上
23、， 且 AB x 轴 ， C、 D 在 x 轴 上 ， 若 四边 形 ABCD 为 矩 形 ， 则 它 的 面 积 为 . 解 析 ： 过 A点 作 AE y 轴 ， 垂 足 为 E， 点 A在 双 曲 线 上 ， 四 边 形 AEOD 的 面 积 为 1， 点 B在 双 曲 线 y= 上 ， 且 AB x 轴 ， 四 边 形 BEOC 的 面 积 为 3， 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ， 则 它 的 面 积 为 3 1=2.答 案 ： 2.五 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 3 小 题 ， 共 30分 ）26.某 酒 厂 每 天 生 产 A， B两 种 品 牌 的 白 酒 共 60
24、0瓶 ， A， B两 种 品 牌 的 白 酒 每 瓶 的 成 本 和 利润 如 下 表 ：设 每 天 生 产 A 种 品 牌 白 酒 x 瓶 ， 每 天 获 利 y元 . （ 1） 请 写 出 y 关 于 x 的 函 数 关 系 式 ；（ 2） 如 果 该 酒 厂 每 天 至 少 投 入 成 本 26400 元 ， 那 么 每 天 至 少 获 利 多 少 元 ？A B成 本 （ 元 /瓶 ） 50 35利 润 （ 元 /瓶 ） 20 15解 析 ： （ 1） A 种 品 牌 白 酒 x 瓶 ， 则 B 种 品 牌 白 酒 （ 600 x） 瓶 ； 利 润 =A种 品 牌 白 酒 瓶 数 A种
25、品 牌 白 酒 一 瓶 的 利 润 +B种 品 牌 白 酒 瓶 数 B 种 品 牌 白 酒 一 瓶 的 利 润 ， 列 出 函 数 关 系 式 ；（ 2） A 种 品 牌 白 酒 x 瓶 ， 则 B 种 品 牌 白 酒 （ 600 x） 瓶 ； 成 本 =A种 品 牌 白 酒 瓶 数 A 种 品牌 白 酒 一 瓶 的 成 本 +B 种 品 牌 白 酒 瓶 数 B种 品 牌 白 酒 一 瓶 的 成 本 ， 列 出 方 程 ， 求 x 的 值 ， 再代 入 （ 1） 求 利 润 .答 案 ： （ 1） A 种 品 牌 白 酒 x 瓶 ， 则 B 种 品 牌 白 酒 （ 600 x） 瓶 ， 依 题
26、 意 ， 得y=20 x+15（ 600 x） =5x+9000； （ 2） A种 品 牌 白 酒 x瓶 ， 则 B种 品 牌 白 酒 （ 600 x） 瓶 ， 依 题 意 ， 得50 x+35（ 600 x） =26400， 解 得 x=360， 每 天 至 少 获 利 y=5x+9000=10800.27.如 图 ， 在 ABC中 ， C=90 ， AC+BC=8， 点 O 是 斜 边 AB上 一 点 ， 以 O为 圆 心 的 O 分 别与 AC， BC 相 切 于 点 D， E.（ 1） 当 AC=2时 ， 求 O的 半 径 ；（ 2） 设 AC=x， O 的 半 径 为 y， 求 y
27、与 x 的 函 数 关 系 式 . 解 析 ： （ 1） 连 接 OD， OE， 由 ABC是 直 角 三 角 形 ， 以 O 为 圆 心 的 O 分 别 与 AC， BC 相 切 于点 D， E， 可 知 OD BC， 在 ADO中 ， 解 得 半 径 .（ 2） 由 题 意 可 知 ， OD BC， AOD= B， 则 两 角 正 切 值 相 等 ， 进 而 列 出 关 系 式 .答 案 ： （ 1） 连 接 OE， OD，在 ABC中 ， C=90 ， AC+BC=8， AC=2， BC=6； 以 O为 圆 心 的 O分 别 与 AC， BC相 切 于 点 D， E， 四 边 形 OEC
28、D 是 正 方 形 ， tan B=tan AOD= = = ， 解 得 OD= ， 圆 的 半 径 为 ；（ 2） AC=x， BC=8 x，在 直 角 三 角 形 ABC中 ， tanB= = 以 O为 圆 心 的 O分 别 与 AC， BC相 切 于 点 D， E， 四 边 形 OECD 是 正 方 形 .tan AOD=tanB= = =解 得 y= x 2+x.28.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 y= x2+bx+c， 经 过 A（ 0， 4） ， B（ x1， 0） ， C（ x2， 0） 三 点 ， 且 |x2 x1|=5.（ 1） 求 b， c
29、 的 值 ；（ 2） 在 抛 物 线 上 求 一 点 D， 使 得 四 边 形 BDCE是 以 BC为 对 角 线 的 菱 形 ；（ 3） 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 一 点 P， 使 得 四 边 形 BPOH是 以 OB 为 对 角 线 的 菱 形 ？ 若 存 在 ， 求出 点 P的 坐 标 ， 并 判 断 这 个 菱 形 是 否 为 正 方 形 ？ 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： （ 1） 把 A（ 0， 4） 代 入 可 求 c， 运 用 两 根 关 系 及 |x2 x1|=5， 对 式 子 合 理 变 形 ，求 b；（ 2） 因 为 菱 形 的 对 角
30、线 互 相 垂 直 平 分 ， 故 菱 形 的 另 外 一 条 对 角 线 必 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 ，满 足 条 件 的 D 点 ， 就 是 抛 物 线 的 顶 点 ；（ 3） 由 四 边 形 BPOH是 以 OB为 对 角 线 的 菱 形 ， 可 得 PH垂 直 平 分 OB， 求 出 OB的 中 点 坐 标 ，代 入 抛 物 线 答 案 式 即 可 ， 再 根 据 所 求 点 的 坐 标 与 线 段 OB的 长 度 关 系 ， 判 断 是 否 为 正 方 形 即可 .答 案 ： （ 1） 抛 物 线 y= x 2+bx+c， 经 过 点 A（ 0， 4） ， c= 4又 由
31、 题 意 可 知 ， x1、 x2是 方 程 x2+bx 4=0的 两 个 根 ， x1+x2= b， x1x2=6 由 已 知 得 （ x2 x1） 2=25又 （ x2 x1） 2=（ x2+x1） 2 4x1x2= b2 24 b2 24=25解 得 b= ， 当 b= 时 ， 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 在 x 轴 的 正 半 轴 上 ， 不 合 题 意 ， 舍 去 . b= .（ 2） 四 边 形 BDCE是 以 BC 为 对 角 线 的 菱 形 ， 根 据 菱 形 的 性 质 ， 点 D 必 在 抛 物 线 的 对 称 轴上 ，又 y= x 2 x 4= （ x+ ） 2+
32、 ， 抛 物 线 的 顶 点 （ ， ） 即 为 所 求 的 点 D.（ 3） 四 边 形 BPOH是 以 OB 为 对 角 线 的 菱 形 ， 点 B 的 坐 标 为 （ 6， 0） ， 根 据 菱 形 的 性 质 ，点 P 必 是 直 线 x= 3与抛 物 线 y= x2 x 4的 交 点 ， 当 x= 3时 ， y= （ 3） 2 （ 3） 4=4， 在 抛 物 线 上 存 在 一 点 P（ 3， 4） ， 使 得 四 边 形 BPOH为 菱 形 .四 边 形 BPOH 不 能 成 为 正 方 形 ， 因 为 如 果 四 边 形 BPOH为 正 方 形 ， 点 P 的 坐 标 只 能 是 （ 3， 3） ，但 这 一 点 不 在 抛 物 线 上 .
