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    2015年甘肃省武威市中考真题数学及答案解析.docx

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    2015年甘肃省武威市中考真题数学及答案解析.docx

    1、2015年 甘 肃 省 武 威 市 中 考 真 题 数 学一 、 本 大 题 共 10 小 题 , 每 小 题 3 分 , 共 30分1.(3分 )64的 立 方 根 是 ( )A.4B. 4C.8D. 8解 析 : 4的 立 方 等 于 64, 64 的 立 方 根 等 于 4.答 案 : A.2.(3分 )中 国 航 空 母 舰 “ 辽 宁 号 ” 的 满 载 排 水 量 为 67500吨 .将 数 67500用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.0.675 105B.6.75 104C.67.5 103D.675 102解 析 : 将 67500用 科 学 记 数 法 表 示 为

    2、 : 6.75 104.答 案 : B.3.(3分 )若 A=34 , 则 A 的 补 角 为 ( )A.56B.146C.156D.166 解 析 : A=34 , A的 补 角 =180 -34 =146 .答 案 : B.4.(3分 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.x2+x2=x4B.(a-b)2=a2-b2C.(-a 2)3=-a6D.3a2 2a3=6a6解 析 : A、 x2+x2=2x2, 错 误 ;B、 (a-b)2=a2-2ab+b2, 错 误 ;C、 (-a2)3=-a6, 正 确 ;D、 3a2 2a3=6a5, 错 误 .答 案 : C.5.(3分 )如 图

    3、 是 由 6个 相 同 的 小 正 方 体 搭 成 的 几 何 体 , 那 么 这 个 几 何 体 的 俯 视 图 是 ( ) A.B.C. D.解 析 : 从 上 面 看 易 得 上 面 第 一 层 中 间 有 1 个 正 方 形 , 第 二 层 有 3 个 正 方 形 .下 面 一 层 左 边 有1个 正 方 形 .答 案 : A.6.(3分 )下 列 命 题 中 , 假 命 题 是 ( )A.平 行 四 边 形 是 中 心 对 称 图 形B.三 角 形 三 边 的 垂 直 平 分 线 相 交 于 一 点 , 这 点 到 三 角 形 三 个 顶 点 的 距 离 相 等C.对 于 简 单 的

    4、 随 机 样 本 , 可 以 用 样 本 的 方 差 去 估 计 总 体 的 方 差D.若 x 2=y2, 则 x=y解 析 : A、 平 行 四 边 形 是 中 心 对 称 图 形 , 它 的 中 心 对 称 点 为 两 条 对 角 线 的 交 点 , 故 该 命 题 是真 命 题 ;B、 三 角 形 三 边 的 垂 直 平 分 线 相 交 于 一 点 , 为 三 角 形 的 外 心 , 这 点 到 三 角 形 三 个 顶 点 的 距 离相 等 , 故 该 命 题 是 真 命 题 ;C、 用 样 本 的 数 字 特 征 估 计 总 体 的 数 字 特 征 : 主 要 数 据 有 众 数 、

    5、中 位 数 、 平 均 数 、 标 准 差 与方 差 , 故 该 命 题 是 真 命 题 ;D、 若 x2=y2, 则 x= y, 不 是 x=y, 故 该 命 题 是 假 命 题 .答 案 : D.7.(3分 )今 年 来 某 县 加 大 了 对 教 育 经 费 的 投 入 , 2013年 投 入 2500 万 元 , 2015年 投 入 3500万 元 .假 设 该 县 投 入 教 育 经 费 的 年 平 均 增 长 率 为 x, 根 据 题 意 列 方 程 , 则 下 列 方 程 正 确 的 是 ( )A.2500 x2=3500 B.2500(1+x)2=3500C.2500(1+x%

    6、)2=3500D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3500解 析 : 设 增 长 率 为 x, 根 据 题 意 得 2500 (1+x)2=3500.答 案 : B.8.(3分 ) ABC 为 O的 内 接 三 角 形 , 若 AOC=160 , 则 ABC的 度 数 是 ( )A.80B.160C.100D.80 或 100解 析 : 如 图 , AOC=160 , ABC= 12 AOC= 12 160 =80 , ABC+ AB C=180 , AB C=180 - ABC=180 -80 =100 . ABC的 度 数 是 : 80 或 100 .答 案 : D.9.(3分

    7、)如 图 , D、 E 分 别 是 ABC的 边 AB、 BC上 的 点 , DE AC, 若 S BDE: S CDE=1: 3, 则 S DOE:S AOC的 值 为 ( )A. 13B. 14 C. 19D. 116 解 析 : S BDE: S CDE=1: 3, BE: EC=1: 3; BE: BC=1: 4; DE AC, DOE AOC, 14DE BEAC BC , S DOE: S AOC= 2 116DEAC .答 案 : D.10.(3分 )如 图 , 矩 形 ABCD中 , AB=3, BC=5, 点 P 是 BC 边 上 的 一 个 动 点 (点 P 与 点 B、

    8、C 都不 重 合 ), 现 将 PCD沿 直 线 PD折 叠 , 使 点 C落 到 点 F处 ; 过 点 P 作 BPF的 角 平 分 线 交 AB于 点 E.设 BP=x, BE=y, 则 下 列 图 象 中 , 能 表 示 y 与 x 的 函 数 关 系 的 图 象 大 致 是 ( ) A.B.C. D.解 析 : CPD= FPD, BPE= FPE,又 CPD+ FPD+ BPE+ FPE=180 , CPD+ BPE=90 ,又 直 角 BPE中 , BPE+ BEP=90 , BEP= CPD,又 B= C, BPE CDP, BP BECD PC , 即 3 5x xx , 则

    9、y=-13 x2+ 53 , y是 x的 二 次 函 数 , 且 开 口 向 下 .答 案 : C.二 、 填 空 题 , 本 大 题 共 8 小 题 , 每 小 题 3 分 , 共 24分11.(3分 )分 解 因 式 : x 3y-2x2y+xy=_.解 析 : 原 式 =xy(x2-2x+1)=xy(x-1)2.答 案 : xy(x-1)212.(3分 )分 式 方 程 2 5 3x x 的 解 是 _.解 析 : 方 程 的 两 边 同 乘 x(x+3), 得2(x+3)=5x,解 得 x=2.检 验 : 把 x=2代 入 x(x+3)=10 0, 即 x=2是 原 分 式 方 程 的

    10、 解 .故 原 方 程 的 解 为 : x=2.答 案 : x=2. 13.(3分 )在 函 数 y= 1xx 中 , 自 变 量 x的 取 值 范 围 是 _.解 析 : 根 据 题 意 得 : x+1 0 且 x 0,解 得 : x -1且 x 0.答 案 : x -1且 x 0.14.(3分 )定 义 新 运 算 : 对 于 任 意 实 数 a, b都 有 : a b=a(a-b)+1, 其 中 等 式 右 边 是 通 常 的加 法 、 减 法 及 乘 法 运 算 .如 : 2 5=2 (2-5)+1=2 (-3)+1=-5, 那 么 不 等 式 3 x 13的 解 集为 _.解 析 :

    11、 3 x 13,3(3-x)+1 13,解 得 : x -1.答 案 : x -1. 15.(3分 )已 知 、 均 为 锐 角 , 且 满 足 |sin - 12 |+ 2tan 1 =0, 则 + =_.解 析 : |sin - 12 |+ 2tan 1 =0, sin = 12 , tan =1, =30 , =45 ,则 + =30 +45 =75 . 答 案 : 75 .16.(3分 )关 于 x的 方 程 kx2-4x- 23 =0有 实 数 根 , 则 k 的 取 值 范 围 是 _.解 析 : 当 k=0时 , -4x- 23 =0, 解 得 x=- 16 ,当 k 0 时 ,

    12、 方 程 kx 2-4x- 23 =0 是 一 元 二 次 方 程 ,根 据 题 意 可 得 : =16-4k (- 23 ) 0,解 得 k -6, k 0,综 上 k -6.答 案 : k -6.17.(3分 )如 图 , 半 圆 O 的 直 径 AE=4, 点 B, C, D 均 在 半 圆 上 , 若 AB=BC, CD=DE, 连 接 OB,OD, 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 _. 解 析 : AB=BC, CD=DE, = , = , + = + , BOD=90 , S 阴 影 =S 扇 形 OBD= 290 4 2360 = .答 案 : .18.(3分 )古

    13、希 腊 数 学 家 把 数 1, 3, 6, 10, 15, 21, 叫 做 三 角 形 数 , 其 中 1是 第 一 个 三 角形 数 , 3是 第 2 个 三 角 形 数 , 6 是 第 3个 三 角 形 数 , 依 此 类 推 , 那 么 第 9 个 三 角 形 数 是 _,2016是 第 _个 三 角 形 数 .解 析 : 第 9个 三 角 形 数 是 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,1+2+3+4+ +n=2016,n(n+1)=4032,解 得 : n=63.答 案 : 45, 63. 三 、 简 答 题 (一 )本 大 题 共 5 小 题 , 共 26分19.(4分 )

    14、计 算 : ( 5 )0+ 4 +(-1)2015- 3 tan60 . 解 析 : 原 式 第 一 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算 , 第 二 项 利 用 算 术 平 方 根 定 义 计 算 , 第 三 项 利 用 乘方 的 意 义 化 简 , 最 后 一 项 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 : 原 式 =1+2-1- 3 3=2-3=-1.20.(4分 )先 化 简 , 再 求 值 : 2 22 1 311 1x xx x , 其 中 x=0.解 析 : 先 根 据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式 进 行 化

    15、 简 , 再 把 x=0代 入 进 行 计 算 即 可 .答 案 : 原 式 = 21 1 31 1 1 1x xx x x x = 21 11 1 2x xx x x = 12xx ,当 x=0时 , 原 式 = 12 .21.(6分 )如 图 , 已 知 在 ABC中 , A=90 (1)请 用 圆 规 和 直 尺 作 出 P, 使 圆 心 P在 AC边 上 , 且 与 AB, BC两 边 都 相 切 (保 留 作 图 痕 迹 ,不 写 作 法 和 证 明 ).(2)若 B=60 , AB=3, 求 P的 面 积 .解 析 : (1)作 ABC的 平 分 线 交 AC于 P, 再 以 P

    16、为 圆 心 PA为 半 径 即 可 作 出 P;(2)根 据 角 平 分 线 的 性 质 得 到 ABP=30 , 根 据 三 角 函 数 可 得 AP= 3 , 再 根 据 圆 的 面 积 公 式即 可 求 解 .答 案 : (1)如 图 所 示 , 则 P 为 所 求 作 的 圆 . (2) B=60 , BP平 分 ABC, ABP=30 , tan ABP= APAB , AP=, S P=3 .22.(6分 )如 图 所 示 , 将 直 尺 摆 放 在 三 角 板 上 , 使 直 尺 与 三 角 板 的 边 分 别 交 于 点 D, E, F,G, 已 知 CGD=42(1)求 CE

    17、F的 度 数 ; (2)将 直 尺 向 下 平 移 , 使 直 尺 的 边 缘 通 过 三 角 板 的 顶 点 B, 交 AC边 于 点 H, 如 图 所 示 , 点H, B 在 直 尺 上 的 度 数 分 别 为 4, 13.4, 求 BC的 长 (结 果 保 留 两 位 小 数 ).(参 考 数 据 : sin42 0.67, cos42 0.74, tan42 0.90)解 析 : (1)先 根 据 直 角 三 角 形 的 两 锐 角 互 为 求 出 CDG的 度 数 , 再 根 据 两 直 线 平 行 , 同 位 角相 等 求 出 DEF, 然 后 根 据 三 角 形 的 一 个 外

    18、角 等 于 与 它 不 相 邻 的 两 个 内 角 的 和 即 可 求 出 EFA;(2)根 据 度 数 求 出 HB 的 长 度 , 再 根 据 CBH= CGD=42 , 利 用 42 的 余 弦 值 进 求 解 .答 案 : (1) CGD=42 , C=90 , CDG=90 -42 =48 , DG EF, CEF= CDG=48 ;(2) 点 H, B 的 读 数 分 别 为 4, 13.4, HB=13.4-4=9.4(m), BC=HBcos42 9.4 0.74 6.96(m). 答 : BC 的 长 为 6.96m.23.(6分 )有 三 张 卡 片 (形 状 、 大 小

    19、、 颜 色 、 质 地 都 相 等 ), 正 面 分 别 下 上 整 式 x2+1, -x2-2, 3.将 这 三 张 卡 片 背 面 向 上 洗 匀 , 从 中 任 意 抽 取 一 张 卡 片 , 记 卡 片 上 的 整 式 为 A, 再 从 剩 下 的 卡片 中 任 意 抽 取 一 张 , 记 卡 片 上 的 整 式 为 B, 于 是 得 到 代 数 式 AB .(1)请 用 画 树 状 图 成 列 表 的 方 法 , 写 出 代 数 式 AB 所 有 可 能 的 结 果 ;(2)求 代 数 式 AB 恰 好 是 分 式 的 概 率 .解 析 : (1)首 先 根 据 题 意 画 出 树

    20、状 图 , 然 后 由 树 状 图 即 可 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 ;(2)由 (1)中 的 树 状 图 , 可 求 得 抽 取 的 两 张 卡 片 结 果 能 组 成 分 式 的 情 况 , 然 后 利 用 概 率 公 式 求解 即 可 求 得 答 案 . 答 案 : (1)画 树 状 图 : 列 表 : (2)代 数 式 AB 所 有 可 能 的 结 果 共 有 6种 , 其 中 代 数 式 AB 是 分 式 的 有 4种 : 22 12xx , 22 22xx ,23 1x , 23 2x ,所 以 P (是 分 式 )= 4 26 3 .四 、 简 答 题 (二 )本

    21、大 题 共 5 小 题 , 共 40分24.(7分 )某 班 同 学 响 应 “ 阳 光 体 育 运 动 ” 号 召 , 利 用 课 外 活 动 积 极 参 加 体 育 锻 炼 , 每 位 同学 从 长 跑 、 铅 球 、 立 定 跳 远 、 篮 球 定 时 定 点 投 篮 中 任 选 一 项 进 行 了 训 练 , 训 练 前 后 都 进 行 了测 试 , 现 将 项 目 选 择 情 况 及 训 练 后 篮 球 定 时 定 点 投 篮 进 球 数 进 行 整 理 , 作 出 如 下 统 计 图 表 .训 练 后 篮 球 定 点 投 篮 测 试 进 球 统 计 表 请 你 根 据 图 表 中

    22、的 信 息 回 答 下 列 问 题 :(1)训 练 后 篮 球 定 时 定 点 投 篮 人 均 进 球 数 为 _个 ;(2)选 择 长 跑 训 练 的 人 数 占 全 班 人 数 的 百 分 比 是 _, 该 班 共 有 同 学 _人 ;(3)根 据 测 试 资 料 , 参 加 篮 球 定 时 定 点 投 篮 的 学 生 训 练 后 比 训 练 前 的 人 均 进 球 增 加 了 25%,求 参 加 训 练 之 前 的 人 均 进 球 数 .解 析 : (1)根 据 平 均 数 的 概 念 计 算 平 均 进 球 数 ;(2)根 据 所 有 人 数 的 比 例 和 为 1 计 算 选 择 长

    23、 跑 训 练 的 人 数 占 全 班 人 数 的 百 分 比 ; 由 总 人 数 =某 种 运 动 的 人 数 所 占 比 例 计 算 总 人 数 ;(3)通 过 比 较 训 练 前 后 的 成 绩 , 利 用 增 长 率 的 意 义 即 可 列 方 程 求 解 .答 案 : (1)参 加 篮 球 训 练 的 人 数 是 : 2+1+4+7+8+2=24(人 ).训 练 后 篮 球 定 时 定 点 投 篮 人 均 进 球 数 =8 2 7 1 6 4 5 7 4 8 3 224 =5(个 ).故 答 案 是 : 5; (2)由 扇 形 图 可 以 看 出 : 选 择 长 跑 训 练 的 人 数

    24、 占 全 班 人 数 的 百 分 比 =1-60%-10%-20%=10%,则 全 班 同 学 的 人 数 为 24 60%=40(人 ),故 答 案 是 : 10%, 40;(3)设 参 加 训 练 之 前 的 人 均 进 球 数 为 x 个 ,则 x(1+25%)=5, 解 得 x=4.即 参 加 训 练 之 前 的 人 均 进 球 数 是 4 个 .25.(7分 )如 图 , 平 行 四 边 形 ABCD中 , AB=3cm, BC=5cm, B=60 , G 是 CD 的 中 点 , E 是 边AD上 的 动 点 , EG的 延 长 线 与 BC 的 延 长 线 交 于 点 F, 连

    25、结 CE, DF. (1)求 证 : 四 边 形 CEDF是 平 行 四 边 形 ;(2) 当 AE=_cm时 , 四 边 形 CEDF 是 矩 形 ; 当 AE=_cm时 , 四 边 形 CEDF是 菱 形 .(直 接 写 出 答 案 , 不 需 要 说 明 理 由 )解 析 : (1)证 CFG EDG, 推 出 FG=EG, 根 据 平 行 四 边 形 的 判 定 推 出 即 可 ;(2) 求 出 MBA EDC, 推 出 CED= AMB=90 , 根 据 矩 形 的 判 定 推 出 即 可 ; 求 出 CDE是 等 边 三 角 形 , 推 出 CE=DE, 根 据 菱 形 的 判 定

    26、 推 出 即 可 .答 案 : (1)证 明 : 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 , CF ED, FCG= EDG, G 是 CD 的 中 点 , CG=DG,在 FCG和 EDG中 ,FCG EDGCG DGCGF DGE , FCG EDG(ASA) FG=EG, CG=DG, 四 边 形 CEDF 是 平 行 四 边 形 ;(2) 解 : 当 AE=3.5时 , 平 行 四 边 形 CEDF 是 矩 形 ,理 由 是 : 过 A 作 AM BC 于 M, B=60 , AB=3, BM=1.5, 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 , CDA= B=60 , DC

    27、=AB=3, BC=AD=5, AE=3.5, DE=1.5=BM,在 MBA和 EDC中 ,BM DEB CDAAB CD , MBA EDC(SAS), CED= AMB=90 , 四 边 形 CEDF 是 平 行 四 边 形 , 四 边 形 CEDF 是 矩 形 ,故 答 案 为 : 3.5; 当 AE=2 时 , 四 边 形 CEDF是 菱 形 ,理 由 是 : AD=5, AE=2, DE=3, CD=3, CDE=60 , CDE是 等 边 三 角 形 , CE=DE, 四 边 形 CEDF 是 平 行 四 边 形 , 四 边 形 CEDF 是 菱 形 ,故 答 案 为 : 2.

    28、26.(8分 )如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 菱 形 ABCD的 顶 点 C与 原 点 O重 合 , 点 B 在 y 轴 的 正半 轴 上 , 点 A 在 反 比 例 函 数 y=kx (k x, x 0)的 图 象 上 , 点 D 的 坐 标 为 (4, 3).(1)求 k 的 值 ;(2)若 将 菱 形 ABCD沿 x 轴 正 方 向 平 移 , 当 菱 形 的 顶 点 D 落 在 函 数 y=kx (k 0, x 0)的 图 象 上 时 , 求 菱 形 ABCD 沿 x 轴 正 方 向 平 移 的 距 离 .解 析 : (1)过 点 D 作 x 轴 的 垂 线 ,

    29、垂 足 为 F, 首 先 得 出 A 点 坐 标 , 再 利 用 反 比 例 函 数 图 象 上点 的 坐 标 性 质 得 出 即 可 ;(2)将 菱 形 ABCD沿 x 轴 正 方 向 平 移 , 使 得 点 D落 在 函 数 32y x (x 0)的 图 象 D 点 处 , 得出 点 D 的 纵 坐 标 为 3, 求 出 其 横 坐 标 , 进 而 得 出 菱 形 ABCD平 移 的 距 离 .答 案 : (1)过 点 D 作 x 轴 的 垂 线 , 垂 足 为 F, 点 D的 坐 标 为 (4, 3), OF=4, DF=3, OD=5, AD=5, 点 A坐 标 为 (4, 8), k

    30、=xy=4 8=32, k=32;(2)将 菱 形 ABCD沿 x轴 正 方 向 平 移 , 使 得 点 D 落 在 函 数 32y x (x 0)的 图 象 D 点 处 ,过 点 D 做 x 轴 的 垂 线 , 垂 足 为 F . DF=3, D F =3, 点 D 的 纵 坐 标 为 3, 点 D 在 32y x 的 图 象 上 3= 32x , 解 得 : x= 323 ,即 OF = 323 , FF = 323 -4= 203 , 菱 形 ABCD平 移 的 距 离 为 203 .27.(8分 )已 知 ABC内 接 于 O, 过 点 A 作 直 线 EF. (1)如 图 所 示 ,

    31、 若 AB为 O 的 直 径 , 要 使 EF成 为 O 的 切 线 , 还 需 要 添 加 的 一 个 条 件 是 (至少 说 出 两 种 ): _或 者 _.(2)如 图 所 示 , 如 果 AB 是 不 过 圆 心 O 的 弦 , 且 CAE= B, 那 么 EF是 O 的 切 线 吗 ? 试 证明 你 的 判 断 .解 析 : (1)求 出 BAE=90 , 再 根 据 切 线 的 判 定 定 理 推 出 即 可 ;(2)作 直 径 AM, 连 接 CM, 根 据 圆 周 角 定 理 求 出 M= B, ACM=90 , 求 出 MAC+ CAE=90 ,再 根 据 切 线 的 判 定

    32、 推 出 即 可 .答 案 : (1) BAE=90 , EAC= ABC,理 由 是 : BAE=90 , AE AB, AB 是 直 径 , EF 是 O的 切 线 ; AB是 直 径 , ACB=90 , ABC+ BAC=90 , EAC= ABC, BAE= BAC+ EAC= BAC+ ABC=90 ,即 AE AB, AB 是 直 径 , EF 是 O的 切 线 ;(2)EF是 O 的 切 线 . 证 明 : 作 直 径 AM, 连 接 CM,则 ACM=90 , M= B, M+ CAM= B+ CAM=90 , CAE= B, CAM+ CAE=90 , AE AM, AM

    33、为 直 径 , EF是 O 的 切 线 .28.(10分 )如 图 , 在 直 角 坐 标 系 中 , 抛 物 线 经 过 点 A(0, 4), B(1, 0), C(5, 0), 其 对 称 轴与 x 轴 相 交 于 点 M. (1)求 抛 物 线 的 解 析 式 和 对 称 轴 ;(2)在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 是 否 存 在 一 点 P, 使 PAB的 周 长 最 小 ? 若 存 在 , 请 求 出 点 P 的 坐 标 ;若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 ;(3)连 接 AC, 在 直 线 AC的 下 方 的 抛 物 线 上 , 是 否 存 在 一 点 N, 使 NAC

    34、的 面 积 最 大 ? 若 存 在 ,请 求 出 点 N的 坐 标 ; 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 .解 析 : (1)抛 物 线 经 过 点 A(0, 4), B(1, 0), C(5, 0), 可 利 用 两 点 式 法 设 抛 物 线 的 解 析 式为 y=a(x-1)(x-5), 代 入 A(0, 4)即 可 求 得 函 数 的 解 析 式 , 则 可 求 得 抛 物 线 的 对 称 轴 ;(2)点 A 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 A 的 坐 标 为 (6, 4), 连 接 BA 交 对 称 轴 于 点 P, 连 接 AP, 此时 PAB的 周 长 最 小 , 可

    35、求 出 直 线 BA 的 解 析 式 , 即 可 得 出 点 P 的 坐 标 .(3)在 直 线 AC的 下 方 的 抛 物 线 上 存 在 点 N, 使 NAC面 积 最 大 .设 N 点 的 横 坐 标 为 t, 此 时 点N(t, 45 t 2- 245 t+4)(0 t 5), 再 求 得 直 线 AC的 解 析 式 , 即 可 求 得 NG的 长 与 ACN 的 面 积 ,由 二 次 函 数 最 大 值 的 问 题 即 可 求 得 答 案 .答 案 : (1)根 据 已 知 条 件 可 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a(x-1)(x-5),把 点 A(0, 4)代 入 上

    36、式 得 : a= 45 , y= 45 (x-1)(x-5)= 45 x2- 245 x+4= 45 (x-3)2-165 , 抛 物 线 的 对 称 轴 是 : x=3;(2)P点 坐 标 为 (3, 85 ).理 由 如 下 : 点 A(0, 4), 抛 物 线 的 对 称 轴 是 x=3, 点 A关 于 对 称 轴 的 对 称 点 A 的 坐 标 为 (6, 4)如 图 1, 连 接 BA 交 对 称 轴 于 点 P, 连 接 AP, 此 时 PAB的 周 长 最 小 . 设 直 线 BA 的 解 析 式 为 y=kx+b,把 A (6, 4), B(1, 0)代 入 得 4 60 k

    37、bk b ,解 得 4545kb , y= 45 x- 45 , 点 P的 横 坐 标 为 3, y= 45 3- 45 = 85 , P(3, 85 ).(3)在 直 线 AC 的 下 方 的 抛 物 线 上 存 在 点 N, 使 NAC 面 积 最 大 .设 N 点 的 横 坐 标 为 t, 此 时 点 N(t, 45 t2- 245 t+4)(0 t 5),如 图 2, 过 点 N作 NG y轴 交 AC 于 G; 作 AD NG于 D, 由 点 A(0, 4)和 点 C(5, 0)可 求 出 直 线 AC 的 解 析 式 为 : y=- 45 x+4,把 x=t代 入 得 : y=- 45 t+4, 则 G(t, - 45 t+4),此 时 : NG=- 45 t+4-( 45 t2- 245 t+4)=- 45 t2+4t, AD+CF=CO=5, S ACN=S ANG+S CGN= 12 AM NG+ 12 NG CF= 12 NG OC= 12 (- 45 t2+4t) 5=-2t2+10t=-2(t- 52 )2+ 252 , 当 t= 52 时 , CAN面 积 的 最 大 值 为 252 ,由 t= 52 , 得 : y= 45 t 2- 245 t+4=-3, N( 52 , -3).


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