1、2015年 甘 肃 省 武 威 市 中 考 真 题 数 学一 、 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30分1.(3分 )64的 立 方 根 是 ( )A.4B. 4C.8D. 8解 析 ： 4的 立 方 等 于 64， 64 的 立 方 根 等 于 4.答 案 ： A.2.(3分 )中 国 航 空 母 舰 “ 辽 宁 号 ” 的 满 载 排 水 量 为 67500吨 .将 数 67500用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.0.675 105B.6.75 104C.67.5 103D.675 102解 析 ： 将 67500用 科 学 记 数 法 表 示 为
2、 ： 6.75 104.答 案 ： B.3.(3分 )若 A=34 ， 则 A 的 补 角 为 ( )A.56B.146C.156D.166 解 析 ： A=34 ， A的 补 角 =180 -34 =146 .答 案 ： B.4.(3分 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.x2+x2=x4B.(a-b)2=a2-b2C.(-a 2)3=-a6D.3a2 2a3=6a6解 析 ： A、 x2+x2=2x2， 错 误 ；B、 (a-b)2=a2-2ab+b2， 错 误 ；C、 (-a2)3=-a6， 正 确 ；D、 3a2 2a3=6a5， 错 误 .答 案 ： C.5.(3分 )如 图
3、 是 由 6个 相 同 的 小 正 方 体 搭 成 的 几 何 体 ， 那 么 这 个 几 何 体 的 俯 视 图 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 从 上 面 看 易 得 上 面 第 一 层 中 间 有 1 个 正 方 形 ， 第 二 层 有 3 个 正 方 形 .下 面 一 层 左 边 有1个 正 方 形 .答 案 ： A.6.(3分 )下 列 命 题 中 ， 假 命 题 是 ( )A.平 行 四 边 形 是 中 心 对 称 图 形B.三 角 形 三 边 的 垂 直 平 分 线 相 交 于 一 点 ， 这 点 到 三 角 形 三 个 顶 点 的 距 离 相 等C.对 于 简 单 的
4、 随 机 样 本 ， 可 以 用 样 本 的 方 差 去 估 计 总 体 的 方 差D.若 x 2=y2， 则 x=y解 析 ： A、 平 行 四 边 形 是 中 心 对 称 图 形 ， 它 的 中 心 对 称 点 为 两 条 对 角 线 的 交 点 ， 故 该 命 题 是真 命 题 ；B、 三 角 形 三 边 的 垂 直 平 分 线 相 交 于 一 点 ， 为 三 角 形 的 外 心 ， 这 点 到 三 角 形 三 个 顶 点 的 距 离相 等 ， 故 该 命 题 是 真 命 题 ；C、 用 样 本 的 数 字 特 征 估 计 总 体 的 数 字 特 征 ： 主 要 数 据 有 众 数 、
5、中 位 数 、 平 均 数 、 标 准 差 与方 差 ， 故 该 命 题 是 真 命 题 ；D、 若 x2=y2， 则 x= y， 不 是 x=y， 故 该 命 题 是 假 命 题 .答 案 ： D.7.(3分 )今 年 来 某 县 加 大 了 对 教 育 经 费 的 投 入 ， 2013年 投 入 2500 万 元 ， 2015年 投 入 3500万 元 .假 设 该 县 投 入 教 育 经 费 的 年 平 均 增 长 率 为 x， 根 据 题 意 列 方 程 ， 则 下 列 方 程 正 确 的 是 ( )A.2500 x2=3500 B.2500(1+x)2=3500C.2500(1+x%
6、)2=3500D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3500解 析 ： 设 增 长 率 为 x， 根 据 题 意 得 2500 (1+x)2=3500.答 案 ： B.8.(3分 ) ABC 为 O的 内 接 三 角 形 ， 若 AOC=160 ， 则 ABC的 度 数 是 ( )A.80B.160C.100D.80 或 100解 析 ： 如 图 ， AOC=160 ， ABC= 12 AOC= 12 160 =80 ， ABC+ AB C=180 ， AB C=180 - ABC=180 -80 =100 . ABC的 度 数 是 ： 80 或 100 .答 案 ： D.9.(3分
7、)如 图 ， D、 E 分 别 是 ABC的 边 AB、 BC上 的 点 ， DE AC， 若 S BDE： S CDE=1： 3， 则 S DOE：S AOC的 值 为 ( )A. 13B. 14 C. 19D. 116 解 析 ： S BDE： S CDE=1： 3， BE： EC=1： 3； BE： BC=1： 4； DE AC， DOE AOC， 14DE BEAC BC ， S DOE： S AOC= 2 116DEAC .答 案 ： D.10.(3分 )如 图 ， 矩 形 ABCD中 ， AB=3， BC=5， 点 P 是 BC 边 上 的 一 个 动 点 (点 P 与 点 B、
8、C 都不 重 合 )， 现 将 PCD沿 直 线 PD折 叠 ， 使 点 C落 到 点 F处 ； 过 点 P 作 BPF的 角 平 分 线 交 AB于 点 E.设 BP=x， BE=y， 则 下 列 图 象 中 ， 能 表 示 y 与 x 的 函 数 关 系 的 图 象 大 致 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： CPD= FPD， BPE= FPE，又 CPD+ FPD+ BPE+ FPE=180 ， CPD+ BPE=90 ，又 直 角 BPE中 ， BPE+ BEP=90 ， BEP= CPD，又 B= C， BPE CDP， BP BECD PC ， 即 3 5x xx ， 则
9、y=-13 x2+ 53 ， y是 x的 二 次 函 数 ， 且 开 口 向 下 .答 案 ： C.二 、 填 空 题 ， 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24分11.(3分 )分 解 因 式 ： x 3y-2x2y+xy=_.解 析 ： 原 式 =xy(x2-2x+1)=xy(x-1)2.答 案 ： xy(x-1)212.(3分 )分 式 方 程 2 5 3x x 的 解 是 _.解 析 ： 方 程 的 两 边 同 乘 x(x+3)， 得2(x+3)=5x，解 得 x=2.检 验 ： 把 x=2代 入 x(x+3)=10 0， 即 x=2是 原 分 式 方 程 的
10、 解 .故 原 方 程 的 解 为 ： x=2.答 案 ： x=2. 13.(3分 )在 函 数 y= 1xx 中 ， 自 变 量 x的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 根 据 题 意 得 ： x+1 0 且 x 0，解 得 ： x -1且 x 0.答 案 ： x -1且 x 0.14.(3分 )定 义 新 运 算 ： 对 于 任 意 实 数 a， b都 有 ： a b=a(a-b)+1， 其 中 等 式 右 边 是 通 常 的加 法 、 减 法 及 乘 法 运 算 .如 ： 2 5=2 (2-5)+1=2 (-3)+1=-5， 那 么 不 等 式 3 x 13的 解 集为 _.解 析 ：
11、 3 x 13，3(3-x)+1 13，解 得 ： x -1.答 案 ： x -1. 15.(3分 )已 知 、 均 为 锐 角 ， 且 满 足 |sin - 12 |+ 2tan 1 =0， 则 + =_.解 析 ： |sin - 12 |+ 2tan 1 =0， sin = 12 ， tan =1， =30 ， =45 ，则 + =30 +45 =75 . 答 案 ： 75 .16.(3分 )关 于 x的 方 程 kx2-4x- 23 =0有 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 当 k=0时 ， -4x- 23 =0， 解 得 x=- 16 ，当 k 0 时 ，
12、 方 程 kx 2-4x- 23 =0 是 一 元 二 次 方 程 ，根 据 题 意 可 得 ： =16-4k (- 23 ) 0，解 得 k -6， k 0，综 上 k -6.答 案 ： k -6.17.(3分 )如 图 ， 半 圆 O 的 直 径 AE=4， 点 B， C， D 均 在 半 圆 上 ， 若 AB=BC， CD=DE， 连 接 OB，OD， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 _. 解 析 ： AB=BC， CD=DE， = ， = ， + = + ， BOD=90 ， S 阴 影 =S 扇 形 OBD= 290 4 2360 = .答 案 ： .18.(3分 )古
13、希 腊 数 学 家 把 数 1， 3， 6， 10， 15， 21， 叫 做 三 角 形 数 ， 其 中 1是 第 一 个 三 角形 数 ， 3是 第 2 个 三 角 形 数 ， 6 是 第 3个 三 角 形 数 ， 依 此 类 推 ， 那 么 第 9 个 三 角 形 数 是 _，2016是 第 _个 三 角 形 数 .解 析 ： 第 9个 三 角 形 数 是 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+ +n=2016，n(n+1)=4032，解 得 ： n=63.答 案 ： 45， 63. 三 、 简 答 题 (一 )本 大 题 共 5 小 题 ， 共 26分19.(4分 )
14、计 算 ： ( 5 )0+ 4 +(-1)2015- 3 tan60 . 解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第 二 项 利 用 算 术 平 方 根 定 义 计 算 ， 第 三 项 利 用 乘方 的 意 义 化 简 ， 最 后 一 项 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 =1+2-1- 3 3=2-3=-1.20.(4分 )先 化 简 ， 再 求 值 ： 2 22 1 311 1x xx x ， 其 中 x=0.解 析 ： 先 根 据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式 进 行 化
15、 简 ， 再 把 x=0代 入 进 行 计 算 即 可 .答 案 ： 原 式 = 21 1 31 1 1 1x xx x x x = 21 11 1 2x xx x x = 12xx ，当 x=0时 ， 原 式 = 12 .21.(6分 )如 图 ， 已 知 在 ABC中 ， A=90 (1)请 用 圆 规 和 直 尺 作 出 P， 使 圆 心 P在 AC边 上 ， 且 与 AB， BC两 边 都 相 切 (保 留 作 图 痕 迹 ，不 写 作 法 和 证 明 ).(2)若 B=60 ， AB=3， 求 P的 面 积 .解 析 ： (1)作 ABC的 平 分 线 交 AC于 P， 再 以 P
16、为 圆 心 PA为 半 径 即 可 作 出 P；(2)根 据 角 平 分 线 的 性 质 得 到 ABP=30 ， 根 据 三 角 函 数 可 得 AP= 3 ， 再 根 据 圆 的 面 积 公 式即 可 求 解 .答 案 ： (1)如 图 所 示 ， 则 P 为 所 求 作 的 圆 . (2) B=60 ， BP平 分 ABC， ABP=30 ， tan ABP= APAB ， AP=， S P=3 .22.(6分 )如 图 所 示 ， 将 直 尺 摆 放 在 三 角 板 上 ， 使 直 尺 与 三 角 板 的 边 分 别 交 于 点 D， E， F，G， 已 知 CGD=42(1)求 CE
17、F的 度 数 ； (2)将 直 尺 向 下 平 移 ， 使 直 尺 的 边 缘 通 过 三 角 板 的 顶 点 B， 交 AC边 于 点 H， 如 图 所 示 ， 点H， B 在 直 尺 上 的 度 数 分 别 为 4， 13.4， 求 BC的 长 (结 果 保 留 两 位 小 数 ).(参 考 数 据 ： sin42 0.67， cos42 0.74， tan42 0.90)解 析 ： (1)先 根 据 直 角 三 角 形 的 两 锐 角 互 为 求 出 CDG的 度 数 ， 再 根 据 两 直 线 平 行 ， 同 位 角相 等 求 出 DEF， 然 后 根 据 三 角 形 的 一 个 外
18、角 等 于 与 它 不 相 邻 的 两 个 内 角 的 和 即 可 求 出 EFA；(2)根 据 度 数 求 出 HB 的 长 度 ， 再 根 据 CBH= CGD=42 ， 利 用 42 的 余 弦 值 进 求 解 .答 案 ： (1) CGD=42 ， C=90 ， CDG=90 -42 =48 ， DG EF， CEF= CDG=48 ；(2) 点 H， B 的 读 数 分 别 为 4， 13.4， HB=13.4-4=9.4(m)， BC=HBcos42 9.4 0.74 6.96(m). 答 ： BC 的 长 为 6.96m.23.(6分 )有 三 张 卡 片 (形 状 、 大 小
19、、 颜 色 、 质 地 都 相 等 )， 正 面 分 别 下 上 整 式 x2+1， -x2-2， 3.将 这 三 张 卡 片 背 面 向 上 洗 匀 ， 从 中 任 意 抽 取 一 张 卡 片 ， 记 卡 片 上 的 整 式 为 A， 再 从 剩 下 的 卡片 中 任 意 抽 取 一 张 ， 记 卡 片 上 的 整 式 为 B， 于 是 得 到 代 数 式 AB .(1)请 用 画 树 状 图 成 列 表 的 方 法 ， 写 出 代 数 式 AB 所 有 可 能 的 结 果 ；(2)求 代 数 式 AB 恰 好 是 分 式 的 概 率 .解 析 ： (1)首 先 根 据 题 意 画 出 树
20、状 图 ， 然 后 由 树 状 图 即 可 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 ；(2)由 (1)中 的 树 状 图 ， 可 求 得 抽 取 的 两 张 卡 片 结 果 能 组 成 分 式 的 情 况 ， 然 后 利 用 概 率 公 式 求解 即 可 求 得 答 案 . 答 案 ： (1)画 树 状 图 ： 列 表 ： (2)代 数 式 AB 所 有 可 能 的 结 果 共 有 6种 ， 其 中 代 数 式 AB 是 分 式 的 有 4种 ： 22 12xx ， 22 22xx ，23 1x ， 23 2x ，所 以 P (是 分 式 )= 4 26 3 .四 、 简 答 题 (二 )本
21、大 题 共 5 小 题 ， 共 40分24.(7分 )某 班 同 学 响 应 “ 阳 光 体 育 运 动 ” 号 召 ， 利 用 课 外 活 动 积 极 参 加 体 育 锻 炼 ， 每 位 同学 从 长 跑 、 铅 球 、 立 定 跳 远 、 篮 球 定 时 定 点 投 篮 中 任 选 一 项 进 行 了 训 练 ， 训 练 前 后 都 进 行 了测 试 ， 现 将 项 目 选 择 情 况 及 训 练 后 篮 球 定 时 定 点 投 篮 进 球 数 进 行 整 理 ， 作 出 如 下 统 计 图 表 .训 练 后 篮 球 定 点 投 篮 测 试 进 球 统 计 表 请 你 根 据 图 表 中
22、的 信 息 回 答 下 列 问 题 ：(1)训 练 后 篮 球 定 时 定 点 投 篮 人 均 进 球 数 为 _个 ；(2)选 择 长 跑 训 练 的 人 数 占 全 班 人 数 的 百 分 比 是 _， 该 班 共 有 同 学 _人 ；(3)根 据 测 试 资 料 ， 参 加 篮 球 定 时 定 点 投 篮 的 学 生 训 练 后 比 训 练 前 的 人 均 进 球 增 加 了 25%，求 参 加 训 练 之 前 的 人 均 进 球 数 .解 析 ： (1)根 据 平 均 数 的 概 念 计 算 平 均 进 球 数 ；(2)根 据 所 有 人 数 的 比 例 和 为 1 计 算 选 择 长
23、 跑 训 练 的 人 数 占 全 班 人 数 的 百 分 比 ； 由 总 人 数 =某 种 运 动 的 人 数 所 占 比 例 计 算 总 人 数 ；(3)通 过 比 较 训 练 前 后 的 成 绩 ， 利 用 增 长 率 的 意 义 即 可 列 方 程 求 解 .答 案 ： (1)参 加 篮 球 训 练 的 人 数 是 ： 2+1+4+7+8+2=24(人 ).训 练 后 篮 球 定 时 定 点 投 篮 人 均 进 球 数 =8 2 7 1 6 4 5 7 4 8 3 224 =5(个 ).故 答 案 是 ： 5； (2)由 扇 形 图 可 以 看 出 ： 选 择 长 跑 训 练 的 人 数
24、 占 全 班 人 数 的 百 分 比 =1-60%-10%-20%=10%，则 全 班 同 学 的 人 数 为 24 60%=40(人 )，故 答 案 是 ： 10%， 40；(3)设 参 加 训 练 之 前 的 人 均 进 球 数 为 x 个 ，则 x(1+25%)=5， 解 得 x=4.即 参 加 训 练 之 前 的 人 均 进 球 数 是 4 个 .25.(7分 )如 图 ， 平 行 四 边 形 ABCD中 ， AB=3cm， BC=5cm， B=60 ， G 是 CD 的 中 点 ， E 是 边AD上 的 动 点 ， EG的 延 长 线 与 BC 的 延 长 线 交 于 点 F， 连
25、结 CE， DF. (1)求 证 ： 四 边 形 CEDF是 平 行 四 边 形 ；(2) 当 AE=_cm时 ， 四 边 形 CEDF 是 矩 形 ； 当 AE=_cm时 ， 四 边 形 CEDF是 菱 形 .(直 接 写 出 答 案 ， 不 需 要 说 明 理 由 )解 析 ： (1)证 CFG EDG， 推 出 FG=EG， 根 据 平 行 四 边 形 的 判 定 推 出 即 可 ；(2) 求 出 MBA EDC， 推 出 CED= AMB=90 ， 根 据 矩 形 的 判 定 推 出 即 可 ； 求 出 CDE是 等 边 三 角 形 ， 推 出 CE=DE， 根 据 菱 形 的 判 定
26、 推 出 即 可 .答 案 ： (1)证 明 ： 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， CF ED， FCG= EDG， G 是 CD 的 中 点 ， CG=DG，在 FCG和 EDG中 ，FCG EDGCG DGCGF DGE ， FCG EDG(ASA) FG=EG， CG=DG， 四 边 形 CEDF 是 平 行 四 边 形 ；(2) 解 ： 当 AE=3.5时 ， 平 行 四 边 形 CEDF 是 矩 形 ，理 由 是 ： 过 A 作 AM BC 于 M， B=60 ， AB=3， BM=1.5， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， CDA= B=60 ， DC
27、=AB=3， BC=AD=5， AE=3.5， DE=1.5=BM，在 MBA和 EDC中 ，BM DEB CDAAB CD ， MBA EDC(SAS)， CED= AMB=90 ， 四 边 形 CEDF 是 平 行 四 边 形 ， 四 边 形 CEDF 是 矩 形 ，故 答 案 为 ： 3.5； 当 AE=2 时 ， 四 边 形 CEDF是 菱 形 ，理 由 是 ： AD=5， AE=2， DE=3， CD=3， CDE=60 ， CDE是 等 边 三 角 形 ， CE=DE， 四 边 形 CEDF 是 平 行 四 边 形 ， 四 边 形 CEDF 是 菱 形 ，故 答 案 为 ： 2.
28、26.(8分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 菱 形 ABCD的 顶 点 C与 原 点 O重 合 ， 点 B 在 y 轴 的 正半 轴 上 ， 点 A 在 反 比 例 函 数 y=kx (k x， x 0)的 图 象 上 ， 点 D 的 坐 标 为 (4， 3).(1)求 k 的 值 ；(2)若 将 菱 形 ABCD沿 x 轴 正 方 向 平 移 ， 当 菱 形 的 顶 点 D 落 在 函 数 y=kx (k 0， x 0)的 图 象 上 时 ， 求 菱 形 ABCD 沿 x 轴 正 方 向 平 移 的 距 离 .解 析 ： (1)过 点 D 作 x 轴 的 垂 线 ，
29、垂 足 为 F， 首 先 得 出 A 点 坐 标 ， 再 利 用 反 比 例 函 数 图 象 上点 的 坐 标 性 质 得 出 即 可 ；(2)将 菱 形 ABCD沿 x 轴 正 方 向 平 移 ， 使 得 点 D落 在 函 数 32y x (x 0)的 图 象 D 点 处 ， 得出 点 D 的 纵 坐 标 为 3， 求 出 其 横 坐 标 ， 进 而 得 出 菱 形 ABCD平 移 的 距 离 .答 案 ： (1)过 点 D 作 x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 F， 点 D的 坐 标 为 (4， 3)， OF=4， DF=3， OD=5， AD=5， 点 A坐 标 为 (4， 8)， k
30、=xy=4 8=32， k=32；(2)将 菱 形 ABCD沿 x轴 正 方 向 平 移 ， 使 得 点 D 落 在 函 数 32y x (x 0)的 图 象 D 点 处 ，过 点 D 做 x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 F . DF=3， D F =3， 点 D 的 纵 坐 标 为 3， 点 D 在 32y x 的 图 象 上 3= 32x ， 解 得 ： x= 323 ，即 OF = 323 ， FF = 323 -4= 203 ， 菱 形 ABCD平 移 的 距 离 为 203 .27.(8分 )已 知 ABC内 接 于 O， 过 点 A 作 直 线 EF. (1)如 图 所 示 ，
31、 若 AB为 O 的 直 径 ， 要 使 EF成 为 O 的 切 线 ， 还 需 要 添 加 的 一 个 条 件 是 (至少 说 出 两 种 )： _或 者 _.(2)如 图 所 示 ， 如 果 AB 是 不 过 圆 心 O 的 弦 ， 且 CAE= B， 那 么 EF是 O 的 切 线 吗 ？ 试 证明 你 的 判 断 .解 析 ： (1)求 出 BAE=90 ， 再 根 据 切 线 的 判 定 定 理 推 出 即 可 ；(2)作 直 径 AM， 连 接 CM， 根 据 圆 周 角 定 理 求 出 M= B， ACM=90 ， 求 出 MAC+ CAE=90 ，再 根 据 切 线 的 判 定
32、 推 出 即 可 .答 案 ： (1) BAE=90 ， EAC= ABC，理 由 是 ： BAE=90 ， AE AB， AB 是 直 径 ， EF 是 O的 切 线 ； AB是 直 径 ， ACB=90 ， ABC+ BAC=90 ， EAC= ABC， BAE= BAC+ EAC= BAC+ ABC=90 ，即 AE AB， AB 是 直 径 ， EF 是 O的 切 线 ；(2)EF是 O 的 切 线 . 证 明 ： 作 直 径 AM， 连 接 CM，则 ACM=90 ， M= B， M+ CAM= B+ CAM=90 ， CAE= B， CAM+ CAE=90 ， AE AM， AM
33、为 直 径 ， EF是 O 的 切 线 .28.(10分 )如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 经 过 点 A(0， 4)， B(1， 0)， C(5， 0)， 其 对 称 轴与 x 轴 相 交 于 点 M. (1)求 抛 物 线 的 解 析 式 和 对 称 轴 ；(2)在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 是 否 存 在 一 点 P， 使 PAB的 周 长 最 小 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 点 P 的 坐 标 ；若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；(3)连 接 AC， 在 直 线 AC的 下 方 的 抛 物 线 上 ， 是 否 存 在 一 点 N， 使 NAC
34、的 面 积 最 大 ？ 若 存 在 ，请 求 出 点 N的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)抛 物 线 经 过 点 A(0， 4)， B(1， 0)， C(5， 0)， 可 利 用 两 点 式 法 设 抛 物 线 的 解 析 式为 y=a(x-1)(x-5)， 代 入 A(0， 4)即 可 求 得 函 数 的 解 析 式 ， 则 可 求 得 抛 物 线 的 对 称 轴 ；(2)点 A 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 A 的 坐 标 为 (6， 4)， 连 接 BA 交 对 称 轴 于 点 P， 连 接 AP， 此时 PAB的 周 长 最 小 ， 可
35、求 出 直 线 BA 的 解 析 式 ， 即 可 得 出 点 P 的 坐 标 .(3)在 直 线 AC的 下 方 的 抛 物 线 上 存 在 点 N， 使 NAC面 积 最 大 .设 N 点 的 横 坐 标 为 t， 此 时 点N(t， 45 t 2- 245 t+4)(0 t 5)， 再 求 得 直 线 AC的 解 析 式 ， 即 可 求 得 NG的 长 与 ACN 的 面 积 ，由 二 次 函 数 最 大 值 的 问 题 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： (1)根 据 已 知 条 件 可 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a(x-1)(x-5)，把 点 A(0， 4)代 入 上
36、式 得 ： a= 45 ， y= 45 (x-1)(x-5)= 45 x2- 245 x+4= 45 (x-3)2-165 ， 抛 物 线 的 对 称 轴 是 ： x=3；(2)P点 坐 标 为 (3， 85 ).理 由 如 下 ： 点 A(0， 4)， 抛 物 线 的 对 称 轴 是 x=3， 点 A关 于 对 称 轴 的 对 称 点 A 的 坐 标 为 (6， 4)如 图 1， 连 接 BA 交 对 称 轴 于 点 P， 连 接 AP， 此 时 PAB的 周 长 最 小 . 设 直 线 BA 的 解 析 式 为 y=kx+b，把 A (6， 4)， B(1， 0)代 入 得 4 60 k
37、bk b ，解 得 4545kb ， y= 45 x- 45 ， 点 P的 横 坐 标 为 3， y= 45 3- 45 = 85 ， P(3， 85 ).(3)在 直 线 AC 的 下 方 的 抛 物 线 上 存 在 点 N， 使 NAC 面 积 最 大 .设 N 点 的 横 坐 标 为 t， 此 时 点 N(t， 45 t2- 245 t+4)(0 t 5)，如 图 2， 过 点 N作 NG y轴 交 AC 于 G； 作 AD NG于 D， 由 点 A(0， 4)和 点 C(5， 0)可 求 出 直 线 AC 的 解 析 式 为 ： y=- 45 x+4，把 x=t代 入 得 ： y=- 45 t+4， 则 G(t， - 45 t+4)，此 时 ： NG=- 45 t+4-( 45 t2- 245 t+4)=- 45 t2+4t， AD+CF=CO=5， S ACN=S ANG+S CGN= 12 AM NG+ 12 NG CF= 12 NG OC= 12 (- 45 t2+4t) 5=-2t2+10t=-2(t- 52 )2+ 252 ， 当 t= 52 时 ， CAN面 积 的 最 大 值 为 252 ，由 t= 52 ， 得 ： y= 45 t 2- 245 t+4=-3， N( 52 ， -3).
