1、2015年 湖 南 省 长 沙 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 12 小 题 ， 每 小 题 3分 ， 满 分 36 分 )1.下 列 实 数 中 ， 为 无 理 数 的 是 ( )A.0.2B. 12C. 2D.-5解 析 ： -5是 整 数 ， -5是 有 理 数 ； 0.2是 有 限 小 数 ， 0.2是 有 理 数 ； 12 =0.5， 0.5是 有 限 小 数 ， 12 是 有 理 数 ； 2 =1.414 是 无 限 不 循 环 小 数 ， 2 是 无 理 数 .答 案 ： C.2.下 列 运 算 中 ， 正 确 的 是 ( )A.x 3+x=x4B.(x2)3
2、=x6C.3x-2x=1D.(a-b)2=a2-b2解 析 ： A、 x3与 x不 能 合 并 ， 错 误 ；B、 (x2)3=x6， 正 确 ；C、 3x-2x=x， 错 误 ；D、 (a-b) 2=a2-2ab+b2， 错 误 .答 案 ： B3. 2014 年 ， 长 沙 地 铁 2 号 线 的 开 通 运 营 ， 极 大 地 缓 解 了 城 市 中 心 的 交 通 压 力 ， 为 我 市 再次 获 评 “ 中 国 最 具 幸 福 感 城 市 ” 提 供 了 有 力 支 撑 ， 据 统 计 ， 长 沙 地 铁 2 号 线 每 天 承 动 力 约 为185000人 次 ， 则 数 据 18
3、5000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.1.85 105B.1.85 10 4C.1.8 105D.18.5 104解 析 ： 将 185000用 科 学 记 数 法 表 示 为 1.85 105.答 案 ： A4.下 列 图 形 中 ， 是 轴 对 称 图 形 ， 但 不 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： A、 既 是 轴 对 称 图 形 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 正 确 ；C、 既 是 轴 对 称 图 形 也 是 中
4、心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ； D、 既 是 轴 对 称 图 形 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 .答 案 ： B5.下 列 命 题 中 ， 为 真 命 题 的 是 ( )A.六 边 形 的 内 角 和 为 360度B.多 边 形 的 外 角 和 与 边 数 有 关C.矩 形 的 对 角 线 互 相 垂 直D.三 角 形 两 边 的 和 大 于 第 三 边解 析 ： A、 六 边 形 的 内 角 和 为 720 ， 错 误 ；B、 多 边 形 的 外 角 和 与 边 数 无 关 ， 都 等 于 360 ， 错 误 ；C、 矩 形 的 对 角 线
5、相 等 ， 错 误 ；D、 三 角 形 的 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ， 正 确 .答 案 ： D 6.在 数 轴 上 表 示 不 等 式 组 2 02 6 0 xx ， 的 解 集 ， 正 确 的 是 ( )A.B.C.D.解 析 ： 由 x+2 0 得 x -2，由 2x-6 0， 得 x 3， 把 解 集 画 在 数 轴 上 为 ： 答 案 ： A7.一 家 鞋 店 在 一 段 时 间 内 销 售 了 某 种 女 鞋 30 双 ， 各 种 尺 码 鞋 的 销 售 量 如 下 表 所 示 ， 你 认 为商 家 更 应 该 关 注 鞋 子 尺 码 的 ( )A.平 均 数B.中 位
6、 数C.众 数D.方 差 解 析 ： 众 数 体 现 数 据 的 最 集 中 的 一 点 ， 这 样 可 以 确 定 进 货 的 数 量 ， 鞋 店 最 喜 欢 的 是 众 数 .答 案 ： C8.下 列 说 法 中 正 确 的 是 ( )A.“ 打 开 电 视 机 ， 正 在 播 放 动 物 世 界 ” 是 必 然 事 件B.某 种 彩 票 的 中 奖 概 率 为 11000 ， 说 明 每 买 1000张 ， 一 定 有 一 张 中 奖C.抛 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 一 次 ， 出 现 正 面 朝 上 的 概 率 为 13D.想 了 解 长 沙 市 所 有 城 镇 居 民
7、的 人 均 年 收 入 水 平 ， 宜 采 用 抽 样 调 查解 析 ： A、 “ 打 开 电 视 机 ， 正 在 播 放 动 物 世 界 ” 是 随 机 事 件 ， 故 A 错 误 ； B、 某 种 彩 票 的 中 奖 概 率 为 11000 ， 说 明 每 买 1000张 ， 有 可 能 中 奖 ， 也 有 可 能 不 中 奖 ， 故 B错 误 ；C、 抛 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 一 次 ， 出 现 正 面 朝 上 的 概 率 为 12 ， 故 C 错 误 ；D、 想 了 解 长 沙 市 所 有 城 镇 居 民 的 人 均 年 收 入 水 平 ， 宜 采 用 抽 样 调 查
8、 ， 故 D 正 确 .答 案 ： D9.一 次 函 数 y=-2x+1的 图 象 不 经 过 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限 解 析 ： 一 次 函 数 y=-2x+1中 k=-2 0， b=1 0， 此 函 数 的 图 象 经 过 一 、 二 、 四 象 限 ， 不经 过 第 三 象 限 .答 案 ： C 10.如 图 ， 过 ABC的 顶 点 A， 作 BC边 上 的 高 ， 以 下 作 法 正 确 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 为 ABC中 BC边 上 的 高 的 是 A 选 项 .答 案 ： A.11.如 图 ， 为 测
9、量 一 棵 与 地 面 垂 直 的 树 OA的 高 度 ， 在 距 离 树 的 底 端 30 米 的 B处 ， 测 得 树 顶A的 仰 角 ABO 为 ， 则 树 OA的 高 度 为 ( ) A. 30tan 米B.30sin 米C.30tan 米D.30cos 米解 析 ： 在 Rt ABO中 ， BO=30 米 ， ABO 为 ， AO=BOtan =30tan (米 ).答 案 ： C12.长 沙 红 星 大 市 场 某 种 高 端 品 牌 的 家 用 电 器 ， 若 按 标 价 打 八 折 销 售 该 电 器 一 件 ， 则 可 获 利润 500 元 ， 其 利 润 率 为 20%.现
10、 如 果 按 同 一 标 价 打 九 折 销 售 该 电 器 一 件 ， 那 么 获 得 的 纯 利 润为 ( )A.562.5元 B.875元C.550元D.750元解 析 ： 设 该 商 品 的 进 价 为 x元 ， 标 价 为 y元 ， 由 题 意 得 500 20%0.8 500yy x ， ， 解 得 ： x=1500， y=2500.则 2500 0.9-1500=750(元 ).答 案 ： D.二 、 填 空 题 (共 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 18 分 )13.一 个 不 透 明 的 袋 子 中 只 装 有 3 个 黑 球 ， 2 个 白 球 ， 这 些
11、球 的 形 状 、 大 小 、 质 地 等 完 全 相同 ， 即 除 颜 色 外 无 其 他 差 别 .在 看 不 到 球 的 条 件 下 ， 随 机 从 袋 中 摸 出 1个 球 ， 则 摸 出 白 球 的 概 率 是 .解 析 ： 一 个 不 透 明 的 袋 子 中 只 装 有 3 个 黑 球 ， 2个 白 球 ， 这 些 球 的 形 状 、 大 小 、 质 地 等 完全 相 同 ， 即 除 颜 色 外 无 其 他 差 别 ， 随 机 从 袋 中 摸 出 1 个 球 ， 则 摸 出 白 球 的 概 率 是 ：2 23 2 5 .答 案 ： 2514.圆 心 角 是 60 且 半 径 为 2
12、的 扇 形 面 积 为 (结 果 保 留 ).解 析 ： 由 扇 形 面 积 公 式 得 ： S= 260 2360 = 23 . 答 案 ： 23 .15.把 22 + 2 进 行 化 简 ， 得 到 的 最 简 结 果 是 (结 果 保 留 根 号 ).解 析 ： 原 式 = 2 + 2 =2 2 .答 案 ： 2 2 .16.分 式 方 程 5 7 2x x 的 解 是 x= . 解 析 ： 去 分 母 ， 得 5(x-2)=7x， 解 得 ： x=-5， 经 检 验 ： x=-5是 原 方 程 的 解 .答 案 ： -517.如 图 ， 在 ABC中 ， DE BC， 13ADAB ，
13、 DE=6， 则 BC的 长 是 . 解 析 ： DE BC， DE： BC=AD： AB=13 ， 即 6： BC=1： 3， BC=18.答 案 ： 18.18.如 图 ， AB 是 O 的 直 径 ， 点 C 是 O 上 的 一 点 ， 若 BC=6， AB=10， OD BC 于 点 D， 则 OD的 长 为 .解 析 ： OD BC， BD=CD= 12 BC=3， OB= 12 AB=5， OD= 2 2OB BD =4. 答 案 ： 4.三 、 解 答 题 (共 8 小 题 ， 第 19、 20 题 每 小 题 6分 ， 第 21、 22题 每 小 题 6 分 ， 第 23、 2
14、4 题 每小 题 6 分 ， 第 25、 26题 每 小 题 6 分 ， 满 分 66 分 .解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或演 算 步 骤 )19.计 算 ： ( 12 ) -1+4cos60 -|-3|+ 9 .解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 负 整 数 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第 二 项 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 ， 第 三项 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化 简 ， 最 后 一 项 利 用 算 术 平 方 根 定 义 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 =2+4 12 -3+3=
15、4.20.先 化 简 ， 再 求 值 ： (x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy， 其 中 x=(3- ) 0， y=2.解 析 ： 首 先 去 掉 括 号 ， 然 后 合 并 同 类 项 ， 最 后 把 x=1， y=2代 入 化 简 式 进 行 计 算 即 可 .答 案 ： (x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy=x2-y2-x2-xy+2xy=xy-y2， x=(3- )0=1， y=2， 原 式 =2-4=-2.21.中 华 文 明 ， 源 远 流 长 ： 中 华 汉 字 ， 寓 意 深 广 ， 为 了 传 承 优 秀 传 统 文 化 ， 某 校 团 委 组 织 了一 次 全
16、校 3000 名 学 生 参 加 的 “ 汉 字 听 写 ” 大 赛 ， 赛 后 发 现 所 有 参 赛 学 生 的 成 绩 均 不 低 于 50分 .为 了 更 好 地 了 解 本 次 大 赛 的 成 绩 分 布 情 况 ， 随 机 抽 取 了 其 中 200 名 学 生 的 成 绩 (成 绩 x取 整 数 ， 总 分 100分 )作 为 样 本 进 行 整 理 ， 得 到 下 列 不 完 整 的 统 计 图 表 ： 请 根 据 所 给 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)a= ， b= ；(2)请 补 全 频 数 分 布 直 方 图 ；(3)这 次 比 赛 成 绩 的 中 位 数
17、会 落 在 分 数 段 ；(4)若 成 绩 在 90分 以 上 (包 括 90分 )的 为 “ 优 ” 等 ， 则 该 校 参 加 这 次 比 赛 的 3000名 学 生 中 成绩 “ 优 ” 等 约 有 多 少 人 ？解 析 ： (1)根 据 第 一 组 的 频 数 是 10， 频 率 是 0.05， 求 得 数 据 总 数 ， 再 用 数 据 总 数 乘 以 第 四 组频 率 可 得 a的 值 ， 用 第 三 组 频 数 除 以 数 据 总 数 可 得 b的 值 ；(2)根 据 (1)的 计 算 结 果 即 可 补 全 频 数 分 布 直 方 图 ；(3)根 据 中 位 数 的 定 义 ，
18、 将 这 组 数 据 按 照 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 后 ， 处 于 中 间 位 置 的 数 据 (或 中间 两 数 据 的 平 均 数 )即 为 中 位 数 ；(4)利 用 总 数 3000乘 以 “ 优 ” 等 学 生 的 所 占 的 频 率 即 可 .答 案 ： (1)样 本 容 量 是 ： 10 0.05=200， a=200 0.30=60， b=30 200=0.15； (2)补 全 频 数 分 布 直 方 图 ， 如 下 ：(3)一 共 有 200个 数 据 ， 按 照 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 后 ， 第 100个 与 第 101 个 数 据 都 落 在
19、第 四个 分 数 段 ，所 以 这 次 比 赛 成 绩 的 中 位 数 会 落 在 80 x 90 分 数 段 ；(4)3000 0.40=1200(人 ). 即 该 校 参 加 这 次 比 赛 的 3000 名 学 生 中 成 绩 “ 优 ” 等 的 大 约 有 1200人 .故 答 案 为 60， 0.15； 80 x 90； 1200.22.如 图 ， 在 菱 形 ABCD中 ， AB=2， ABC=60 ， 对 角 线 AC、 BD 相 交 于 点 O， 将 对 角 线 AC 所在 的 直 线 绕 点 O顺 时 针 旋 转 角 (0 90 )后 得 直 线 l， 直 线 l与 AD、
20、BC 两 边 分 别 相 交 于 点 E 和 点 F.(1)求 证 ： AOE COF；(2)当 =30 时 ， 求 线 段 EF 的 长 度 .解 析 ： (1)首 先 证 明 AE=CF， OE=OF， 结 合 AO=CO， 利 用 SSS证 明 AOE COF；(2)首 先 画 出 =30 时 的 图 形 ， 根 据 菱 形 的 性 质 得 到 EF AD， 解 三 角 形 即 可 求 出 OE的 长 ，进 而 得 到 EF的 长 . 答 案 ： (1) 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， AD BC， AO=OC， AE OE AOCF OF OC =1， AE=CF， OE=OF，
21、在 AOE和 COF中 ， AO COOE OFAE CF ， AOE COF.(2)当 =30 时 ， 即 AOE=30 ， 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， ABC=60 ， OAD=60 ， AEO=90 ，在 Rt AOB中 ， sin ABO= 12 2AO AOAB ， AO=1，在 Rt AEO中 ， cos AOE=cos30 = 32OEAO ， OE= 32 ， EF=2OE= 3.23.现 代 互 联 网 技 术 的 广 泛 应 用 ， 催 生 了 快 递 行 业 的 高 度 发 展 ， 据 调 查 ， 长 沙 市 某 家 小 型 “ 大学 生 自 主 创 业 ” 的
22、 快 递 公 司 ， 今 年 三 月 份 与 五 月 份 完 成 投 递 的 快 递 总 件 数 分 别 为 10万 件 和12.1万 件 ， 现 假 定 该 公 司 每 月 投 递 的 快 递 总 件 数 的 增 长 率 相 同 .(1)求 该 快 递 公 司 投 递 总 件 数 的 月 平 均 增 长 率 ；(2)如 果 平 均 每 人 每 月 最 多 可 投 递 0.6万 件 ， 那 么 该 公 司 现 有 的 21 名 快 递 投 递 业 务 员 能 否 完成 今 年 6 月 份 的 快 递 投 递 任 务 ？ 如 果 不 能 ， 请 问 至 少 需 要 增 加 几 名 业 务 员 ？
23、 解 析 ： (1)设 该 快 递 公 司 投 递 总 件 数 的 月 平 均 增 长 率 为 x， 根 据 “ 今 年 三 月 份 与 五 月 份 完 成投 递 的 快 递 总 件 数 分 别 为 10万 件 和 12.1万 件 ， 现 假 定 该 公 司 每 月 投 递 的 快 递 总 件 数 的 增 长率 相 同 ” 建 立 方 程 ， 解 方 程 即 可 ； (2)首 先 求 出 今 年 6 月 份 的 快 递 投 递 任 务 ， 再 求 出 21 名 快 递 投 递 业 务 员 能 完 成 的 快 递 投 递 任务 ， 比 较 得 出 该 公 司 不 能 完 成 今 年 6月 份 的
24、 快 递 投 递 任 务 ， 进 而 求 出 至 少 需 要 增 加 业 务 员 的人 数 .答 案 ： (1)设 该 快 递 公 司 投 递 总 件 数 的 月 平 均 增 长 率 为 x， 根 据 题 意 得 10(1+x)2=12.1，解 得 x1=0.1， x2=-2.2(不 合 题 意 舍 去 ).答 ： 该 快 递 公 司 投 递 总 件 数 的 月 平 均 增 长 率 为 10%；(2)今 年 6 月 份 的 快 递 投 递 任 务 是 12.1 (1+10%)=13.31(万 件 ). 平 均 每 人 每 月 最 多 可 投 递 0.6万 件 ， 21 名 快 递 投 递 业
25、务 员 能 完 成 的 快 递 投 递 任 务 是 ： 0.6 21=12.6 13.31， 该 公 司 现 有 的 21 名 快 递 投 递 业 务 员 不 能 完 成 今 年 6 月 份 的 快 递 投 递 任 务 需 要 增 加 业 务 员 (13.31-12.6) 0.6=1 1160 2(人 ).答 ： 该 公 司 现 有 的 21名 快 递 投 递 业 务 员 不 能 完 成 今 年 6 月 份 的 快 递 投 递 任 务 ， 至 少 需 要 增 加 2 名 业 务 员 .24.如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， M经 过 原 点 O(0， 0)， 点 A( 6 ， 0)与
26、 点 B(0， - 2 )， 点 D在 劣 弧 OA 上 ， 连 接 BD 交 x 轴 于 点 C， 且 COD= CBO. (1)求 M 的 半 径 ；(2)求 证 ： BD平 分 ABO；(3)在 线 段 BD 的 延 长 线 上 找 一 点 E， 使 得 直 线 AE恰 好 为 M 的 切 线 ， 求 此 时 点 E的 坐 标 .解 析 ： (1)由 点 A( 6 ， 0)与 点 B(0， - 2 )， 可 求 得 线 段 AB 的 长 ， 然 后 由 AOB=90 ， 可得 AB 是 直 径 ， 继 而 求 得 M 的 半 径 ；(2)由 圆 周 角 定 理 可 得 ： COD= AB
27、C， 又 由 COD= CBO， 即 可 得 BD 平 分 ABO；(3)首 先 过 点 A 作 AE AB， 垂 足 为 A， 交 BD的 延 长 线 于 点 E， 过 点 E 作 EF OA于 点 F， 易 得 AEC是 等 边 三 角 形 ， 继 而 求 得 EF与 AF的 长 ， 则 可 求 得 点 E的 坐 标 .答 案 ： (1) 点 A( 6 ， 0)与 点 B(0， - 2 )， OA= 6 ， OB= 2 ， AB= 2 2OA OB =2 2 ， AOB=90 ， AB是 直 径 ， M 的 半 径 为 ： 2 .(2) COD= CBO， COD= CBA， CBO= C
28、BA， 即 BD平 分 ABO.(3)如 图 ， 过 点 A 作 AE AB， 垂 足 为 A， 交 BD 的 延 长 线 于 点 E， 过 点 E作 EF OA于 点 F， 即 AE是 切 线 ， 在 Rt AOB中 ， tan OAB= 2 336OBOA ， OAB=30 ， ABO=90 - OAB=60 ， ABC= OBC= 12 ABO=30 ， OC=OB tan30 = 2 33 = 63 ， AC=OA-OC= 2 63 ， ACE= ABC+ OAB=60 ， EAC=60 ， ACE是 等 边 三 角 形 ， AE=AC= 2 63 ， AF= 12 AE= 63 ，
29、EF= 32 AE= 2 ， OF=OA-AF= 2 63 ， 点 E 的 坐 标 为 ： ( 2 63 ， 2 ).25.在 直 角 坐 标 系 中 ， 我 们 不 妨 将 横 坐 标 ， 纵 坐 标 均 为 整 数 的 点 称 之 为 “ 中 国 结 ” . (1)求 函 数 y= 3 x+2的 图 象 上 所 有 “ 中 国 结 ” 的 坐 标 ；(2)若 函 数 y= kx (k 0， k 为 常 数 )的 图 象 上 有 且 只 有 两 个 “ 中 国 结 ” ， 试 求 出 常 数 k 的 值 与相 应 “ 中 国 结 ” 的 坐 标 ；(3)若 二 次 函 数 y=(k2-3k+
30、2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k(k 为 常 数 )的 图 象 与 x 轴 相 交 得 到 两 个 不 同的 “ 中 国 结 ” ， 试 问 该 函 数 的 图 象 与 x 轴 所 围 成 的 平 面 图 形 中 (含 边 界 )， 一 共 包 含 有 多 少 个“ 中 国 结 ” ？解 析 ： (1)因 为 x是 整 数 ， x 0 时 ， 3x 是 一 个 无 理 数 ， 所 以 x 0 时 ， 3 x+2 不 是 整 数 ，所 以 x=0， y=2， 据 此 求 出 函 数 y= 3 x+2的 图 象 上 所 有 “ 中 国 结 ” 的 坐 标 即 可 .(2)首 先 判 断
31、出 当 k=1 时 ， 函 数 y= kx (k 0， k 为 常 数 )的 图 象 上 有 且 只 有 两 个 “ 中 国 结 ” ： (1， 1)、 (-1、 -1)； 然 后 判 断 出 当 k 1 时 ， 函 数 y=kx (k 0， k 为 常 数 )的 图 象 上 最 少 有 4个 “ 中 国 结 ” ， 据 此 求 出 常 数 k 的 值 与 相 应 “ 中 国 结 ” 的 坐 标 即 可 .(3)首 先 令 (k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k=0， 则 (k-1)x+k(k-2)x+(k-1)=0， 求 出 x1、 x2 的 值 是 多 少 ； 然 后 根
32、 据 x1、 x2的 值 是 整 数 ， 求 出 k 的 值 是 多 少 ； 最 后 根 据 横 坐 标 ， 纵 坐 标 均为 整 数 的 点 称 之 为 “ 中 国 结 ” ， 判 断 出 该 函 数 的 图 象 与 x 轴 所 围 成 的 平 面 图 形 中 (含 边 界 )，一 共 包 含 有 多 少 个 “ 中 国 结 ” 即 可 .答 案 ： (1) x 是 整 数 ， x 0 时 ， 3 x是 一 个 无 理 数 ， x 0时 ， 3 x+2不 是 整 数 ， x=0， y=2，即 函 数 y= 3 x+2的 图 象 上 “ 中 国 结 ” 的 坐 标 是 (0， 2).(2) 当
33、 k=1时 ， 函 数 y=kx (k 0， k为 常 数 )的 图 象 上 有 且 只 有 两 个 “ 中 国 结 ” ：(1， 1)、 (-1、 -1)； 当 k=-1 时 ， 函 数 y= kx (k 0， k 为 常 数 )的 图 象 上 有 且 只 有 两 个 “ 中 国 结 ” ：(1， -1)、 (-1， 1). 当 k 1 时 ， 函 数 y= kx (k 0， k 为 常 数 )的 图 象 上 最 少 有 4 个 “ 中 国 结 ” ：(1， k)、 (-1， -k)、 (k， 1)、 (-k， -1)， 这 与 函 数 y= kx (k 0， k 为 常 数 )的 图 象
34、上 有 且 只有 两 个 “ 中 国 结 ” 矛 盾 ，综 上 可 得 ， k=1时 ， 函 数 y= kx (k 0， k为 常 数 )的 图 象 上 有 且 只 有 两 个 “ 中 国 结 ” ： (1， 1)、(-1、 -1)；k=-1时 ， 函 数 y=kx (k 0， k 为 常 数 )的 图 象 上 有 且 只 有 两 个 “ 中 国 结 ” ： (1， -1)、 (-1、 1). (3)令 (k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k=0， 则 (k-1)x+k(k-2)x+(k-1)=0， 12 1 12kx kkx k ， ， k= 1 21 22 11 1x x
35、x x ， 整 理 ， 可 得 x1x2+2x2+1=0， x2(x1+2)=-1， x 1、 x2都 是 整 数 ， 21 12 1xx ， 或 21 12 1xx ， ， 12 31xx ， 或 12 11xx ， 当 12 31xx ， 时 ， 12k k =1， k= 32 . 当 12 11xx ， 时 ， 11 kk ， k=k-1， 无 解 ； 综 上 ， 可 得 k= 32 ， x1=-3， x2=1，y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k=( 32 ) 2-3 32 +2x2+2 ( 32 )2-4 32 +1x+( 32 )2- 32 =- 14 x2
36、- 12 x+ 34 . 当 x=-2 时 ， y=- 14 x2- 12 x+ 34 =- 14 (-2)2- 12 (-2)+ 34 = 34 . 当 x=-1 时 ， y=- 14 x 2- 12 x+ 34 =- 14 (-1)2- 12 (-1)+ 34 =1. 当 x=0 时 ， y= 34 ， 另 外 ， 该 函 数 的 图 象 与 x 轴 所 围 成 的 平 面 图 形 中 x 轴 上 的 “ 中 国 结 ”有 3 个 ： (-2， 0)、 (-1、 0)、 (0， 0).综 上 ， 可 得 ： 若 二 次 函 数 y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k(
37、k为 常 数 )的 图 象 与 x 轴 相 交 得 到两 个 不 同 的 “ 中 国 结 ” ，该 函 数 的 图 象 与 x 轴 所 围 成 的 平 面 图 形 中 (含 边 界 )， 一 共 包 含 有 6 个 “ 中 国 结 ” ： (-3， 0)、(-2， 0)、 (-1， 0)(-1， 1)、 (0， 0)、 (1， 0).26.若 关 于 x 的 二 次 函 数 y=ax 2+bx+c(a 0， c 0， a， b， c 是 常 数 )与 x 轴 交 于 两 个 不 同 的点 A(x1， 0)， B(x2， 0)(0 x1 x2)， 与 y轴 交 于 点 P， 其 图 象 顶 点
38、为 点 M， 点 O 为 坐 标 原 点 .(1)当 x 1=c=2， a=13 时 ， 求 x2与 b 的 值 ；(2)当 x1=2c时 ， 试 问 ABM能 否 为 等 边 三 角 形 ？ 判 断 并 证 明 你 的 结 论 ；(3)当 x1=mc(m 0)时 ， 记 MAB， PAB 的 面 积 分 别 为 S1， S2， 若 BPO PAO， 且 S1=S2，求 m 的 值 .解 析 ： (1)设 ax2+bx+c=0 的 两 根 为 x1、 x2， 把 a、 c 代 入 得 ： 13 x2+bx+2=0， 根 据 x1=2是 它 的一 个 根 ， 求 出 b， 再 根 据 13 x
39、2- 53 x+2=0， 即 可 求 出 另 一 个 根 .(2)根 据 x1=2c时 ， x2= 12a ， 得 出 b=-(2ac+ 12 )， 4ac=-2b-1， 根 据 M的 坐 标 为 (- 2ba ， 24 4ac ba )，得 出 当 ABM为 等 边 三 角 形 时 24 4ac ba = 32 ( 12a -2c)， 求 出 b1=-1， b2=2 3 -1(舍 去 )， 最 后 根 据 4ac=-2b-1=1， 得 出 2c= 12a ， A、 B重 合 ， ABM 不 可 能 为 等 边 三 角 形 ；(3)根 据 BPO PAO， 得 出 OP BOAO OP ， a
40、c=1， 由 S1=S2得 出 b2=4a 2c=8ac=8， 求 出 b=-2 2 ，最 后 根 据 1c x2-2 2 x+c=0 得 出 x=( 2 -1)c， 从 而 求 出 m.答 案 ： (1)设 ax2+bx+c=0的 两 根 为 x1、 x2，把 a=13 ， c=2代 入 得 ： 13 x 2+bx+2=0， x1=2是 它 的 一 个 根 ， 13 22+2b+2=0， 解 得 ： b=- 53 ， 方 程 为 ： 13 x2-53 x+2=0， 另 一 个 根 为 x2=3.(2)当 x 1=2c时 ， x2= 1cax = 12a ， 此 时 b=-a(x1+x2)=-
41、(2ac+ 12 )， 4ac=-2b-1， M(- 2ba ， 24 4ac ba )，当 ABM为 等 边 三 角 形 时 | 24 4ac ba |= 32 AB， 即 24 4ac ba = 32 ( 12a -2c)， 24 4ac ba = 32 1 2 12ba ， b 2+2b+1= 3 (1+2b+1)， 解 得 ： b1=-1， b2=2 3 -1(舍 去 )，此 时 4ac=-2b-1=1， 即 2c= 12a ， A、 B重 合 ， ABM不 可 能 为 等 边 三 角 形 .(3) BPO PAO， OP BOAO OP ， 即 x1x2=c2= ca ， ac=1，由 S 1=S2得 c=| 24 4ac ba |= 24ba -c， b2=4a 2c=8ac=8， b1=-2 2 ， b2=2 2 (舍 去 )，方 程 可 解 为 1c x2-2 2 x+c=0， x1= 2 2 4 2 2 21 12 2c c =( 2 -1)c， m= 2 -1.
