1、2015年 甘 肃 省 兰 州 市 中 考 真 题 数 学 （ a 卷 ）一 、 选 择 题 (共 15小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 60 分 )1.(4分 )下 列 函 数 解 析 式 中 ， 一 定 为 二 次 函 数 的 是 ( )A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+1D.y=x 2+ 1x解 析 ： A、 y=3x-1是 一 次 函 数 ， 故 A 错 误 ；B、 y=ax2+bx+c (a 0)是 二 次 函 数 ， 故 B 错 误 ；C、 s=2t2-2t+1 是 二 次 函 数 ， 故 C 正 确 ；D、 y=x2+ 1x 不 是 二 次
2、函 数 ， 故 D错 误 .答 案 ： C.2.(4分 )由 五 个 同 样 大 小 的 立 方 体 组 成 如 图 的 几 何 体 ， 则 关 于 此 几 何 体 三 种 视 图 叙 述 正 确 的是 ( ) A.左 视 图 与 俯 视 图 相 同B.左 视 图 与 主 视 图 相 同C.主 视 图 与 俯 视 图 相 同D.三 种 视 图 都 相 同解 析 ： 如 图 所 示 几 何 体 的 左 视 图 与 主 视 图 都 是 两 列 ， 每 列 正 方 形 的 个 数 从 左 往 右 都 是 3， 1，左 视 图 与 主 视 图 相 同 ； 俯 视 图 是 两 列 ， 每 列 正 方 形
3、 的 个 数 从 左 往 右 都 是 2， 1.答 案 ： B.3.(4分 )在 下 列 二 次 函 数 中 ， 其 图 象 对 称 轴 为 x=-2的 是 ( )A.y=(x+2) 2B.y=2x2-2C.y=-2x2-2D.y=2(x-2)2解 析 ： y=(x+2)2的 对 称 轴 为 x=-2， A 正 确 ；y=2x2-2的 对 称 轴 为 x=0， B 错 误 ；y=-2x2-2 的 对 称 轴 为 x=0， C 错 误 ；y=2(x-2) 2的 对 称 轴 为 x=2， D错 误 .答 案 ： A.4.(4分 )如 图 ， ABC中 ， B=90 ， BC=2AB， 则 cosA
4、=( ) A. 52B. 12C. 2 55D. 55解 析 ： B=90 ， BC=2AB， 22 2 2 2 5AC AB BC AB AB AB ， cosA= 555AB ABAC AB .答 案 ： D.5.(4分 )如 图 ， 线 段 CD 两 个 端 点 的 坐 标 分 别 为 C(1， 2)、 D(2， 0)， 以 原 点 为 位 似 中 心 ， 将线 段 CD放 大 得 到 线 段 AB， 若 点 B坐 标 为 (5， 0)， 则 点 A的 坐 标 为 ( )A.(2， 5) B.(2.5， 5)C.(3， 5)D.(3， 6)解 析 ： 以 原 点 O 为 位 似 中 心
5、， 在 第 一 象 限 内 ， 将 线 段 CD放 大 得 到 线 段 AB， B 点 与 D点 是 对 应 点 ， 则 位 似 比 为 ： 5： 2， C(1， 2)， 点 A的 坐 标 为 ： (2.5， 5)答 案 ： B.6.(4分 )一 元 二 次 方 程 x 2-8x-1=0 配 方 后 可 变 形 为 ( )A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15C.(x-4)2=17D.(x-4)2=15解 析 ： 方 程 变 形 得 ： x2-8x=1，配 方 得 ： x2-8x+16=17， 即 (x-4)2=17.答 案 ： C7.(4分 )下 列 命 题 错 误 的 是 ( )A
6、.对 角 线 互 相 垂 直 平 分 的 四 边 形 是 菱 形B.平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相 平 分C.矩 形 的 对 角 线 相 等D.对 角 线 相 等 的 四 边 形 是 矩 形解 析 ： A、 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 的 四 边 形 是 菱 形 ， 正 确 ； B、 平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相 平 分 ， 正 确 ；C、 矩 形 的 对 角 线 相 等 ， 正 确 ；D、 对 角 线 相 等 的 平 行 四 边 形 是 矩 形 ， 故 错 误 .答 案 ： D.8.(4分 )在 同 一 直 角 坐 标 系 中 ， 一 次 函 数 y=kx-
7、k与 反 比 例 函 数 y= kx (k 0)的 图 象 大 致 是( )A. B.C.D.解 析 ： (1)当 k 0 时 ， 一 次 函 数 y=kx-k 经 过 一 、 三 、 四 象 限 ， 反 比 例 函 数 经 过 一 、 三 象 限 ， 如 图 所 示 ： (2)当 k 0时 ， 一 次 函 数 y=kx-k 经 过 一 、 二 、 四 象 限 ， 反 比 例 函 数 经 过 二 、 四 象 限 .如 图 所示 ：答 案 ： A.9.(4分 )如 图 ， 已 知 经 过 原 点 的 P 与 x、 y轴 分 别 交 于 A、 B 两 点 ， 点 C 是 劣 弧 OB 上 一 点
8、， 则 ACB=( )A.80B.90C.100D.无 法 确 定解 析 ： AOB与 ACB 是 优 弧 AB所 对 的 圆 周 角 ， AOB= ACB， AOB=90 ， ACB=90 .答 案 ： B.10.(4分 )如 图 ， 菱 形 ABCD中 ， AB=4， B=60 ， AE BC， AF CD， 垂 足 分 别 为 E， F， 连 接EF， 则 的 AEF的 面 积 是 ( ) A.4 3B.3 3C.2 3D. 3解 析 ： 四 边 形 ABCD是 菱 形 ， BC=CD， B= D=60 ， AE BC， AF CD， BC AE=CD AF， BAE= DAF=30 ，
9、 AE=AF， B=60 ， BAD=120 ， EAF=120 -30 -30 =60 ， AEF是 等 边 三 角 形 ， AE=EF， AEF=60 ， AB=4， AE=2 3 ， EF=AE=2 3 ，过 A 作 AM EF， AM=AE sin60 =3， AEF的 面 积 是 ： 12 EF AM= 12 2 3 3=3 3 .答 案 ： B. 11.(4分 )股 票 每 天 的 涨 、 跌 幅 均 不 能 超 过 10%， 即 当 涨 了 原 价 的 10%后 ， 便 不 能 再 涨 ， 叫 做涨 停 ； 当 跌 了 原 价 的 10%后 ， 便 不 能 再 跌 ， 叫 做 跌
10、 停 .已 知 一 只 股 票 某 天 跌 停 ， 之 后 两 天 时间 又 涨 回 到 原 价 .若 这 两 天 此 股 票 股 价 的 平 均 增 长 率 为 x， 则 x满 足 的 方 程 是 ( )A.(1+x)2=1110B.(1+x)2=109C.1+2x=1110D.1+2x=109解 析 ： 设 平 均 每 天 涨 x.则 90%(1+x) 2=1，即 (1+x)2=109 .答 案 ： B.12.(4分 )若 点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)在 反 比 例 函 数 y= kx (k 0)的 图 象 上 ， 且 x1=-x2， 则 ( )A.y 1 y2B.y1
11、=y2C.y1 y2D.y1=-y2解 析 ： 点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)在 反 比 例 函 数 y= kx (k 0)的 图 象 上 ， y 1= 1kx ， y2= 2kx ， x1=-x2， y1= 1kx =- 2kx y 1=-y2.答 案 ： D.13.(4分 )二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 图 象 如 图 ， 点 C 在 y 轴 的 正 半 轴 上 ， 且 OA=OC， 则 ( )A.ac+1=b B.ab+1=cC.bc+1=aD.以 上 都 不 是解 析 ： 当 x=0时 ， y=ax2+bx+c=c， 则 C(0， c)(c 0)， OA=
12、OC， A(-c， 0)， a (-c)2+b (-c)+c=0， ac-b+1=0，即 ac+1=b.答 案 ： A.14.(4分 )二 次 函 数 y=x 2+x+c 的 图 象 与 x 轴 的 两 个 交 点 A(x1， 0)， B(x2， 0)， 且 x1 x2， 点P(m， n)是 图 象 上 一 点 ， 那 么 下 列 判 断 正 确 的 是 ( )A.当 n 0 时 ， m 0B.当 n 0 时 ， m x2C.当 n 0 时 ， x1 m x2D.当 n 0 时 ， m x1解 析 ： a=1 0， 开 口 向 上 ， 抛 物 线 的 对 称 轴 为 ： 1 12 2 1 2b
13、x a ，二 次 函 数 y=x 2+x+c的 图 象 与 x轴 的 两 个 交 点 A(x1， 0)， B(x2， 0)， 且 x1 x2，无 法 确 定 x1与 x2的 正 负 情 况 ， 当 n 0 时 ， x1 m x2， 但 m 的 正 负 无 法 确 定 ， 故 A 错 误 ， C正 确 ；当 n 0 时 ， m x1 或 m x2， 故 B， D 错 误 . 答 案 ： C.15.(4分 )如 图 ， O 的 半 径 为 2， AB、 CD 是 互 相 垂 直 的 两 条 直 径 ， 点 P是 O 上 任 意 一 点 (P与 A、 B、 C、 D 不 重 合 )， 经 过 P 作
14、 PM AB 于 点 M， PN CD 于 点 N， 点 Q是 MN的 中 点 ， 当 点P沿 着 圆 周 转 过 45 时 ， 点 Q走 过 的 路 径 长 为 ( ) A. 4B. 2C. 6D. 3解 析 ： PM y轴 于 点 M， PN x 轴 于 点 N， 四 边 形 ONPM 是 矩 形 ，又 点 Q 为 MN 的 中 点 ， 点 Q为 OP的 中 点 ，则 OQ=1， 点 Q 走 过 的 路 径 长 = 45 1180 4 .答 案 ： A.二 、 填 空 题 (共 5 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 20分 )16.(4分 )若 一 元 二 次 方 程 ax2-b
15、x-2015=0 有 一 根 为 x=-1， 则 a+b=_.解 析 ： 把 x=-1 代 入 一 元 二 次 方 程 ax2-bx-2015=0得 ： a+b-2015=0，即 a+b=2015.答 案 ： 2015.17.(4分 )如 果 a c e kb d f (b+d+f 0)， 且 a+c+e=3(b+d+f)， 那 么 k=_. 解 析 ： 由 等 比 性 质 ， 得 3a a c ek b b d f .答 案 ： 3.18.(4分 )在 一 个 不 透 明 的 袋 中 装 有 除 颜 色 外 其 余 均 相 同 的 n 个 小 球 ， 其 中 有 5 个 黑 球 ， 从袋 中
16、 随 机 摸 出 一 球 ， 记 下 其 颜 色 ， 这 称 为 一 次 摸 球 试 验 ， 之 后 把 它 放 回 袋 中 ， 搅 匀 后 ， 再 继续 摸 出 一 球 ， 以 下 是 利 用 计 算 机 模 拟 的 摸 球 试 验 次 数 与 摸 出 黑 球 次 数 的 列 表 ： 根 据 列 表 ， 可 以 估 计 出 n的 值 是 _.解 析 ： 通 过 大 量 重 复 试 验 后 发 现 ， 摸 到 黑 球 的 频 率 稳 定 于 0.5， 5n =0.5，解 得 ： n=10.答 案 ： 10.19.(4分 )如 图 ， 点 P、 Q是 反 比 例 函 数 y= kx 图 象 上
17、的 两 点 ， PA y 轴 于 点 A， QN x轴 于 点N， 作 PM x 轴 于 点 M， QB y轴 于 点 B， 连 接 PB、 QM， ABP的 面 积 记 为 S 1， QMN 的 面 积记 为 S2， 则 S1_S2.(填 “ ” 或 “ ” 或 “ =” )解 析 ： 设 p(a， b)， Q(m， n)，则 S ABP= 12 AP AB= 12 a(b-n)= 12 ab- 12 an，S QMN= 12 MN QN= 12 (m-a)n= 12 mn- 12 ， 点 P， Q 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上 ， ab=mn=k， S1=S2.答 案 ： =20
18、.(4分 )已 知 ABC的 边 BC=4cm， O 是 其 外 接 圆 ， 且 半 径 也 为 4cm， 则 A 的 度 数 是 _.解 析 ： 如 图 ： 连 接 BO， CO， ABC的 边 BC=4cm， O 是 其 外 接 圆 ， 且 半 径 也 为 4cm， OBC是 等 边 三 角 形 ， BOC=60 ， A=30 .若 点 A在 劣 弧 BC上 时 ， A=150 . A=30 或 150 .答 案 ： 30 或 150 . 三 、 解 答 题 (共 8 小 题 ， 满 分 70分 )21.(10分 )(1)计 算 ： 2-1- 3 tan60 +( -2015)0+|- 1
19、2 |；(2)解 方 程 ： x2-1=2(x+1).解 析 ： (1)原 式 第 一 项 利 用 负 整 数 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第 二 项 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 ，第 三 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算 ， 最 后 一 项 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化 简 ， 计 算 即 可 得 到 结 果 ；(2)方 程 整 理 后 ， 利 用 因 式 分 解 法 求 出 解 即 可 .答 案 ： (1)原 式 = 12 - 3 3 +1+ 12 =-1；(2)方 程 整 理 得 ： x 2-2x-3=0， 即 (x-3)(x+1)=0
20、，解 得 ： x1=-1， x2=3.22.(5分 )如 图 ， 在 图 中 求 作 P， 使 P 满 足 以 线 段 MN为 弦 且 圆 心 P到 AOB 两 边 的 距 离 相等 .(要 求 ： 尺 规 作 图 ， 不 写 作 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 ， 并 把 作 图 痕 迹 用 黑 色 签 字 笔 加 黑 ) 解 析 ： 作 AOB的 角 平 分 线 ， 作 MN 的 垂 直 平 分 线 ， 以 角 平 分 线 与 垂 直 平 分 线 的 交 点 为 圆 心 ，以 圆 心 到 M 点 (或 N 点 )的 距 离 为 半 径 作 圆 .答 案 ： 如 图 所 示 .圆 P即 为
21、所 作 的 圆 .23.(6分 )为 了 参 加 中 考 体 育 测 试 ， 甲 、 乙 、 丙 三 位 同 学 进 行 足 球 传 球 训 练 ， 球 从 一 个 人 脚 下 随 机 传 到 另 一 个 人 脚 下 ， 且 每 位 传 球 人 传 给 其 余 两 人 的 机 会 是 均 等 的 ， 由 甲 开 始 传 球 ， 共传 球 三 次 .(1)请 利 用 树 状 图 列 举 出 三 次 传 球 的 所 有 可 能 情 况 ；(2)求 三 次 传 球 后 ， 球 回 到 甲 脚 下 的 概 率 ；(3)三 次 传 球 后 ， 球 回 到 甲 脚 下 的 概 率 大 还 是 传 到 乙
22、脚 下 的 概 率 大 ？解 析 ： (1)画 出 树 状 图 ，(2)根 据 (1)的 树 形 图 ， 利 用 概 率 公 式 列 式 进 行 计 算 即 可 得 解 ；(3)分 别 求 出 球 回 到 甲 脚 下 的 概 率 和 传 到 乙 脚 下 的 概 率 ， 比 较 大 小 即 可 .答 案 ： (1)根 据 题 意 画 出 树 状 图 如 下 ： 由 树 形 图 可 知 三 次 传 球 有 8 种 等 可 能 结 果 ；(2)由 (1)可 知 三 次 传 球 后 ， 球 回 到 甲 脚 下 的 概 率 = 2 18 4 ；(3)由 (1)可 知 球 回 到 甲 脚 下 的 概 率
23、= 14 ， 传 到 乙 脚 下 的 概 率 = 38 ，所 以 球 回 到 乙 脚 下 的 概 率 大 .24.(8分 )如 图 ， 在 一 面 与 地 面 垂 直 的 围 墙 的 同 侧 有 一 根 高 10米 的 旗 杆 AB 和 一 根 高 度 未 知的 电 线 杆 CD， 它 们 都 与 地 面 垂 直 ， 为 了 测 得 电 线 杆 的 高 度 ， 一 个 小 组 的 同 学 进 行 了 如 下 测量 ： 某 一 时 刻 ， 在 太 阳 光 照 射 下 ， 旗 杆 落 在 围 墙 上 的 影 子 EF 的 长 度 为 2 米 ， 落 在 地 面 上 的影 子 BF的 长 为 10
24、米 ， 而 电 线 杆 落 在 围 墙 上 的 影 子 GH的 长 度 为 3 米 ， 落 在 地 面 上 的 影 子 DH的 长 为 5 米 ， 依 据 这 些 数 据 ， 该 小 组 的 同 学 计 算 出 了 电 线 杆 的 高 度 . (1)该 小 组 的 同 学 在 这 里 利 用 的 是 _投 影 的 有 关 知 识 进 行 计 算 的 ；(2)试 计 算 出 电 线 杆 的 高 度 ， 并 写 出 计 算 的 过 程 .解 析 ： (1)这 是 利 用 了 平 行 投 影 的 有 关 知 识 ；(2)过 点 E 作 EM AB 于 M， 过 点 G 作 GN CD 于 N.利 用
25、 矩 形 的 性 质 和 平 行 投 影 的 知 识 可 以 得到 比 例 式 ： AM CNME NG ， 即 8 310 5CD ， 由 此 求 得 CD 即 电 线 杆 的 高 度 即 可 .答 案 ： (1)该 小 组 的 同 学 在 这 里 利 用 的 是 平 行 投 影 的 有 关 知 识 进 行 计 算 的 ；故 答 案 是 ： 平 行 ；(2)过 点 E 作 EM AB于 M， 过 点 G作 GN CD于 N. 则 MB=EF=2， ND=GH=3， ME=BF=10， NG=DH=5.所 以 AM=10-2=8，由 平 行 投 影 可 知 ， AM CNME NG ， 即 8
26、 310 5CD ，解 得 CD=7， 即 电 线 杆 的 高 度 为 7 米 .25.(9分 )如 图 ， 四 边 形 ABCD中 ， AB CD， AB CD， BD=AC. (1)求 证 ： AD=BC；(2)若 E、 F、 G、 H分 别 是 AB、 CD、 AC、 BD的 中 点 ， 求 证 ： 线 段 EF与 线 段 GH 互 相 垂 直 平 分 .解 析 ： (1)由 平 行 四 边 形 的 性 质 易 得 AC=BM=BD， BDC= M= ACD， 由 全 等 三 角 形 判 定 定 理及 性 质 得 出 结 论 ；(2)连 接 EH， HF， FG， GE， E， F， G
27、， H 分 别 是 AB， CD， AC， BD 的 中 点 ， 易 得 四 边 形 HFGE为 平 行 四 边 形 ， 由 平 行 四 边 形 的 性 质 及 (1)结 论 得 HFGE为 菱 形 ， 易 得 EF与 GH互 相 垂 直 平分 .答 案 ： (1)过 点 B 作 BM AC 交 DC 的 延 长 线 于 点 M， 如 图 1， AB CD 四 边 形 ABMC 为 平 行 四 边 形 ， AC=BM=BD， BDC= M= ACD，在 ACD和 BDC中 ，AC BDACD BDCCD DC ， ACD BDC(SAS)， AD=BC；(2)连 接 EH， HF， FG， G
28、E， 如 图 2， E， F， G， H 分 别 是 AB， CD， AC， BD的 中 点 ， HE AD， 且 HE= 12 AD， FG AD， 且 FG= 12 AD， 四 边 形 HFGE 为 平 行 四 边 形 ，由 (1)知 ， AD=BC， HE=EG， HFGE为 菱 形 ， EF 与 GH互 相 垂 直 平 分 .26.(10分 )如 图 ， A(-4， 12 )， B(-1， 2)是 一 次 函 数 y 1=ax+b 与 反 比 例 函 数 y2= x 图 象 的 两 个交 点 ， AC x 轴 于 点 C， BD y轴 于 点 D.(1)根 据 图 象 直 接 回 答
29、： 在 第 二 象 限 内 ， 当 x 取 何 值 时 ， y 1-y2 0？(2)求 一 次 函 数 解 析 式 及 m 的 值 ；(3)P是 线 段 AB上 一 点 ， 连 接 PC， PD， 若 PCA和 PDB 面 积 相 等 ， 求 点 P 的 坐 标 .解 析 ： (1)观 察 函 数 图 象 得 到 当 -4 x -1 时 ， 一 次 函 数 图 象 都 在 反 比 例 函 数 图 象 上 方 ；(2)先 利 用 待 定 系 数 法 求 一 次 函 数 解 析 式 ， 然 后 把 B 点 坐 标 代 入 y= x 可 计 算 出 m的 值 ；(3)设 P 点 坐 标 为 (m，
30、12 m+ 52 )， 利 用 三 角 形 面 积 公 式 可 得 到 12 12 (m+4)=12 1 (2- 12 m- 52 )， 解 方 程 得 到 m=- 52 ， 从 而 可 确 定 P点 坐 标 .答 案 ： (1)当 y 1-y2 0，即 ： y1 y2， 一 次 函 数 y1=ax+b的 图 象 在 反 比 例 函 数 y2= x 图 象 的 上 面 ， A(-4， 12 )， B(-1， 2) 当 -4 x -1时 ， y1-y2 0；(2) y2= x 图 象 过 B(-1， 2)， m=-1 2=-2， y1=ax+b 过 A(-4， 12 )， B(-1， 2)， 1
31、4 22a ba b ， 解 得 1252ab ， 一 次 函 数 解 析 式 为 ； y= 12 x+ 52 ， (3)设 P(m， 12 m+ 52 )， 过 P 作 PM x 轴 于 M， PN y 轴 于 N， PM= 12 m+ 52 ， PN=-m， PCA和 PDB面 积 相 等 ， 1 12 2AC CM BD DN ，即 ； 1 1 1 1 54 1 22 2 2 2 2m m ，解 得 m=- 52 ， P(- 52 ， 54 ). 27.(10分 )如 图 ， 在 Rt ABC中 ， C=90 ， BAC 的 角 平 分 线 AD交 BC边 于 D.以 AB上 某一 点
32、O为 圆 心 作 O， 使 O 经 过 点 A 和 点 D.(1)判 断 直 线 BC与 O 的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 ；(2)若 AC=3， B=30 . 求 O 的 半 径 ； 设 O 与 AB 边 的 另 一 个 交 点 为 E， 求 线 段 BD、 BE 与 劣 弧 DE所 围 成 的 阴 影 部 分 的 图 形 面 积 .(结 果 保 留 根 号 和 )解 析 ： (1)连 接 OD， 根 据 平 行 线 判 定 推 出 OD AC， 推 出 OD BC， 根 据 切 线 的 判 定 推 出 即 可 ； (2) 根 据 含 有 30 角 的 直 角 三 角 形 的
33、性 质 得 出 OB=2OD=2r， AB=2AC=3r， 从 而 求 得 半 径 r的 值 ； 根 据 S 阴 影 =S BOD-S 扇 形 DOE求 得 即 可 .答 案 ： (1)直 线 BC 与 O相 切 ；连 结 OD， OA=OD， OAD= ODA， BAC的 角 平 分 线 AD 交 BC边 于 D， CAD= OAD， CAD= ODA， OD AC， ODB= C=90 ，即 OD BC.又 直 线 BC过 半 径 OD 的 外 端 ， 直 线 BC 与 O相 切 .(2)设 OA=OD=r， 在 Rt BDO中 ， B=30 ， OB=2r，在 Rt ACB中 ， B=3
34、0 ， AB=2AC=6， 3r=6， 解 得 r=2. (3)在 Rt ACB 中 ， B=30 ， BOD=60 . 260 2 2360 3ODES 扇 形 . 所 求 图 形 面 积 为 22 3 3BOD ODES S 扇 形 .28.(12分 )已 知 二 次 函 数 y=ax 2的 图 象 经 过 点 (2， 1). (1)求 二 次 函 数 y=ax2的 解 析 式 ；(2)一 次 函 数 y=mx+4的 图 象 与 二 次 函 数 y=ax2的 图 象 交 于 点 A(x1、 y1)、 B(x2、 y2)两 点 . 当 m= 32 时 (图 )， 求 证 ： AOB为 直 角
35、 三 角 形 ； 试 判 断 当 m 32 时 (图 )， AOB 的 形 状 ， 并 证 明 ；(3)根 据 第 (2)问 ， 说 出 一 条 你 能 得 到 的 结 论 .(不 要 求 证 明 )解 析 ： (1)把 点 (2， 1)代 入 可 求 得 a 的 值 ， 可 求 得 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2) 可 先 求 得 A、 B 两 点 的 坐 标 ， 过 A、 B 两 点 作 x 轴 的 垂 线 ， 结 合 条 件 可 证 明 ACO ODB，可 证 明 AOB=90 ， 可 判 定 AOB为 直 角 三 角 形 ； 可 用 m 分 别 表 示 出 A、 B两 点 的 坐
36、标 ，过 A、 B 两 点 作 x 轴 的 垂 线 ， 表 示 出 AC、 BD的 长 ， 可 证 明 ACO ODB， 结 合 条 件 可 得 到 AOB=90 ， 可 判 定 AOB为 直 角 三 角 形 ；(3)结 合 (2)的 过 程 可 得 到 AOB恒 为 直 角 三 角 形 等 结 论 . 答 案 ： (1)解 ： y=ax2过 点 (2， 1)， 1=4a， 解 得 a= 14 ， 抛 物 线 解 析 式 为 y= 14 x2；(2) 证 明 ：当 m= 32 时 ， 联 立 直 线 和 抛 物 线 解 析 式 可 得 23 4214y xy x ， 解 得 21xy 或 81
37、6xy ， A(-2， 1)， B(8， 16)，分 别 过 A、 B 作 AC x 轴 ， BD x 轴 ， 垂 足 分 别 为 C、 D， 如 图 1， AC=1， OC=2， OD=8， BD=16， 12AC ODOC BD ， 且 ACO= ODB， ACO ODB， AOC= OBD，又 OBD+ BOD=90 ， AOC+ BOD=90 ， 即 AOB=90 ， AOB为 直 角 三 角 形 ； 解 ： AOB为 直 角 三 角 形 . 证 明 如 下 ：当 m 32 时 ， 联 立 直 线 和 抛 物 线 解 析 式 可 得 2 414y mxy x ， 解 得 2 222 2
38、 44x m my m m 或 2 222 2 44x m my m m ， A(2m-2 2 4m ， (m- 2 4m ) 2)， B(2m+2 2 4m ， (m+ 2 4m )2)，分 别 过 A、 B 作 AC x 轴 ， BD x 轴 ， 如 图 2， AC=(m- 2 4m )2， OC=-(2m-2 2 4m )， BD=(m+ 2 4m )2， OD=2m+2 2 4m ， 2 42AC OD m mOC BD ， 且 ACO= ODB， ACO OBD， AOC= OBD，又 OBD+ BOD=90 ， AOC+ BOD=90 ， 即 AOB=90 ， AOB为 直 角 三 角 形 ；(3)解 ： 由 (2)可 知 ， 一 次 函 数 y=mx+4的 图 象 与 二 次 函 数 y=ax 2的 交 点 为 A、 B， 则 AOB恒为 直 角 三 角 形 .(答 案 不 唯 一 ).
