1、2015年 湖 南 省 益 阳 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 8小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1.下 列 实 数 中 ， 是 无 理 数 的 为 ( )A. 3B. 13C.0D.-3 解 析 ： A、 是 无 理 数 ， 选 项 正 确 ；B、 是 分 数 ， 是 有 理 数 ， 选 项 错 误 ；C、 是 整 数 ， 是 有 理 数 ， 选 项 错 误 ；D、 是 整 数 ， 是 有 理 数 ， 选 项 错 误 .答 案 ： A2.下 列
2、 运 算 正 确 的 是 ( )A.x 2 x3=x6B.(x3)2=x5C.(xy2)3=x3y6D.x6 x3=x2解 析 ： A、 同 底 数 幂 的 乘 法 底 数 不 变 指 数 相 加 ， 故 A 错 误 ；B、 幂 的 乘 方 底 数 不 变 指 数 相 乘 ， 故 B 错 误 ；C、 积 的 乘 方 等 于 乘 方 的 积 ， 故 C 正 确 ；D、 通 敌 数 幂 的 除 法 底 数 不 变 指 数 相 减 ， 故 D 错 误 .答 案 ： C3.某 小 组 5名 同 学 在 一 周 内 参 加 家 务 劳 动 的 时 间 如 下 表 所 示 ， 关 于 “ 劳 动 时 间
3、” 的 这 组 数 据 ，以 下 说 法 正 确 的 是 ( ) A.中 位 数 是 4， 平 均 数 是 3.75B.众 数 是 4， 平 均 数 是 3.75C.中 位 数 是 4， 平 均 数 是 3.8D.众 数 是 2， 平 均 数 是 3.8解 析 ： 这 组 数 据 中 4出 现 的 次 数 最 多 ， 众 数 为 4， 共 有 5 个 人 ， 第 3 个 人 的 劳 动 时 间 为 中 位 数 ， 故 中 位 数 为 ： 4， 平 均 数 为 ： 3 3.5 4 2 4.55 =3.8.答 案 ： C4.一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 这 个 几 何
4、 体 是 ( )A.三 棱 锥B.三 棱 柱C.圆 柱 D.长 方 体解 析 ： 根 据 图 中 三 视 图 的 形 状 ， 符 合 条 件 的 只 有 直 三 棱 柱 ， 因 此 这 个 几 何 体 的 名 称 是 直 三 棱柱 .答 案 ： B5.如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， 对 角 线 AC、 BD 交 于 点 O， 以 下 说 法 错 误 的 是 ( )A. ABC=90B.AC=BD C.OA=OBD.OA=AD解 析 ： 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， ABC= BCD= CDA= BAD=90 ， AC=BD， OA= 12 AC， OB= 12 BD， OA=OB
5、， A、 B、 C正 确 ， D错 误 .答 案 ： D6.下 列 等 式 成 立 的 是 ( )A. 1 2 3a b a b B. 2 12a b a b C. 2ab aab b a b D. a aa b a b 解 析 ： A、 原 式 = 2b aab ， 错 误 ；B、 原 式 不 能 约 分 ， 错 误 ；C、 原 式 = ab ab a b a b ， 正 确 ；D、 原 式 = a aa b a b ， 错 误 .答 案 ： C7.沅 江 市 近 年 来 大 力 发 展 芦 笋 产 业 ， 某 芦 笋 生 产 企 业 在 两 年 内 的 销 售 额 从 20 万 元 增 加
6、 到 80万 元 .设 这 两 年 的 销 售 额 的 年 平 均 增 长 率 为 x， 根 据 题 意 可 列 方 程 为 ( ) A.20(1+2x)=80B.2 20(1+x)=80C.20(1+x2)=80D.20(1+x)2=80解 析 ： 设 增 长 率 为 x， 根 据 题 意 得 20(1+x)2=80.答 案 ： D8.若 抛 物 线 y=(x-m) 2+(m+1)的 顶 点 在 第 一 象 限 ， 则 m的 取 值 范 围 为 ( )A.m 1B.m 0C.m -1D.-1 m 0解 析 ： 由 y=(x-m)2+(m+1)=x2-2mx+(m2+m+1)，根 据 题 意
7、， 222 024 1 2 04mm m m ， ，解 不 等 式 (1)， 得 m 0， 解 不 等 式 (2)， 得 m -1； 所 以 不 等 式 组 的 解 集 为 m 0. 答 案 ： B.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 5小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 .把 答 案 填 在 答 题 卡 中 对 应 题 号 后 的 横线 上 )9.计 算 ： 2 8 = .解 析 ： 原 式 = 2 8 = 16 =4.答 案 ： 410.已 知 y 是 x 的 反 比 例 函 数 ， 当 x 0 时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 .请 写 出 一 个 满 足 以 上
8、 条 件 的 函 数 表 达 式 .解 析 ： 只 要 使 反 比 例 系 数 大 于 0 即 可 .如 y= 1x (x 0)， 答 案 不 唯 一 .答 案 ： y= 1x (x 0)， 答 案 不 唯 一 .11.甲 、 乙 、 丙 三 位 好 朋 友 随 机 站 成 一 排 照 合 影 ， 甲 没 有 站 在 中 间 的 概 率 为 .解 析 ： 甲 、 乙 、 丙 三 个 同 学 排 成 一 排 拍 照 有 以 下 可 能 ：甲 乙 丙 ， 甲 丙 乙 ， 乙 甲 丙 ， 乙 丙 甲 ， 丙 甲 乙 ， 丙 乙 甲 ， 全 部 6种 情 况 ，有 4 种 甲 没 在 中 间 ， 所
9、以 甲 没 排 在 中 间 的 概 率 是 46 = 23 .答 案 ： 23 12.如 图 ， 正 六 边 形 ABCDEF 内 接 于 O， O的 半 径 为 1， 则 弧 AB 的 长 为 .解 析 ： ABCDEF为 正 六 边 形 ， AOB=360 16 =60 ， 弧 AB的 长 为 60180 = 3 .答 案 ： 3 . 13.如 图 是 用 长 度 相 等 的 小 棒 按 一 定 规 律 摆 成 的 一 组 图 案 ， 第 1 个 图 案 中 有 6 根 小 棒 ， 第 2个 图 案 中 有 11 根 小 棒 ， ， 则 第 n 个 图 案 中 有 根 小 棒 .解 析 ：
10、 第 1 个 图 案 中 有 5+1=6 根 小 棒 ，第 2 个 图 案 中 有 2 5+2-1=11根 小 棒 ，第 3 个 图 案 中 有 3 5+3-2=16根 小 棒 ， 第 n个 图 案 中 有 5n+n-(n-1)=5n+1根 小 棒 .答 案 ： 5n+1 三 、 解 答 题 (本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 16 分 )14.化 简 ： (x+1)2-x(x+1). 解 析 ： 利 用 完 全 平 方 公 式 和 整 式 的 乘 法 计 算 ， 进 一 步 合 并 得 出 答 案 即 可 .答 案 ： 原 式 =x2+2x+1-x2-x=x+1.1
11、5.如 图 ， 直 线 AB CD， BC 平 分 ABD， 1=65 ， 求 2的 度 数 .解 析 ： 由 平 行 线 的 性 质 得 到 ABC= 1=65 ， ABD+ BDC=180 ， 由 BC 平 分 ABD， 得 到 ABD=2 ABC=130 ， 于 是 得 到 结 论 .答 案 ： AB CD， ABC= 1=65 ， ABD+ BDC=180 ， BC 平 分 ABD， ABD=2 ABC=130 ， BDC=180 - ABD=50 ， 2= BDC=50 .四 、 解 答 题 (本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 10 分 ， 共 30 分 )16.如 图 ，
12、 直 线 l 上 有 一 点 P 1(2， 1)， 将 点 P1先 向 右 平 移 1个 单 位 ， 再 向 上 平 移 2 个 单 位 得到 像 点 P2， 点 P2恰 好 在 直 线 l 上 .(1)写 出 点 P 2的 坐 标 ；(2)求 直 线 l 所 表 示 的 一 次 函 数 的 表 达 式 ；(3)若 将 点 P2先 向 右 平 移 3 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 6 个 单 位 得 到 像 点 P3.请 判 断 点 P3是 否 在 直线 l 上 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 “ 右 加 左 减 、 上 加 下 减 ” 的 规 律 来 求 点 P2的
13、 坐 标 ；(2)设 直 线 l 所 表 示 的 一 次 函 数 的 表 达 式 为 y=kx+b(k 0)， 把 点 P1(2， 1)， P2(3， 3)代 入 直线 方 程 ， 利 用 方 程 组 来 求 系 数 的 值 ；(3)把 点 (6， 9)代 入 (2)中 的 函 数 解 析 式 进 行 验 证 即 可 .答 案 ： (1)P 2(3， 3).(2)设 直 线 l 所 表 示 的 一 次 函 数 的 表 达 式 为 y=kx+b(k 0)， 点 P1(2， 1)， P2(3， 3)在 直 线 l上 ， 2 13 3k bk b ， 解 得 23kb ， 直 线 l 所 表 示 的
14、 一 次 函 数 的 表 达 式 为 y=2x-3.(3)点 P3在 直 线 l 上 .由 题 意 知 点 P3的 坐 标 为 (6， 9)， 2 6-3=9， 点 P3在 直 线 l 上 .17. 2014年 益 阳 市 的 地 区 生 产 总 值 (第 一 、 二 、 三 产 业 的 增 加 值 之 和 )已 进 入 千 亿 元 俱 乐 部 ，如 图 表 示 2014年 益 阳 市 第 一 、 二 、 三 产 业 增 加 值 的 部 分 情 况 ， 请 根 据 图 中 提 供 的 信 息 解 答下 列 问 题 . (1)2014年 益 阳 市 的 地 区 生 产 总 值 为 多 少 亿 元
15、 ？(2)请 将 条 形 统 计 图 中 第 二 产 业 部 分 补 充 完 整 ；(3)求 扇 形 统 计 图 中 第 二 产 业 对 应 的 扇 形 的 圆 心 角 度 数 .解 析 ： (1)用 第 一 产 业 增 加 值 除 以 它 所 占 的 百 分 比 ， 即 可 解 答 ；(2)算 出 第 二 产 业 的 增 加 值 即 可 补 全 条 形 图 ；(3)算 出 第 二 产 业 的 百 分 比 再 乘 以 360 ， 即 可 解 答 .答 案 ： (1)237.5 19%=1250(亿 元 ).(2)第 二 产 业 的 增 加 值 为 1250-237.5-462.5=550(亿
16、元 )， 画 图 如 下 ： (3)扇 形 统 计 图 中 第 二 产 业 部 分 的 圆 心 角 为 5501250 360 =158.4 .18.如 图 ， 在 ABCD中 ， 对 角 线 AC 与 BD 相 交 于 点 O， CAB= ACB， 过 点 B 作 BE AB 交 AC于 点 E. (1)求 证 ： AC BD；(2)若 AB=14， cos CAB= 78 ， 求 线 段 OE 的 长 .解 析 ： (1)根 据 CAB= ACB利 用 等 角 对 等 边 得 到 AB=CB， 从 而 判 定 平 行 四 边 形 ABCD是 菱 形 ，根 据 菱 形 的 对 角 线 互 相
17、 垂 直 即 可 证 得 结 论 ；(2)分 别 在 Rt AOB 中 和 在 Rt ABE中 求 得 AO 和 AE， 从 而 利 用 OE=AE-AO求 解 即 可 .答 案 ： (1) CAB= ACB， AB=CB， ABCD是 菱 形 . AC BD.(2)在 Rt AOB 中 ， cos CAB= 78AOAB ， AB=14， AO=14 78 = 494 ，在 Rt ABE中 ， cos EAB= 78ABAE ， AB=14， AE= 87 AB=16， OE=AE-AO=16- 494 =154 .五 、 解 答 题 (本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 12 分
18、， 共 24 分 ) 19.大 学 生 小 刘 回 乡 创 办 小 微 企 业 ， 初 期 购 得 原 材 料 若 干 吨 ， 每 天 生 产 相 同 件 数 的 某 种 产 品 ，单 件 产 品 所 耗 费 的 原 材 料 相 同 .当 生 产 6 天 后 剩 余 原 材 料 36 吨 ， 当 生 产 10 天 后 剩 余 原 材 料30吨 .若 剩 余 原 材 料 数 量 小 于 或 等 于 3吨 ， 则 需 补 充 原 材 料 以 保 证 正 常 生 产 .(1)求 初 期 购 得 的 原 材 料 吨 数 与 每 天 所 耗 费 的 原 材 料 吨 数 ；(2)若 生 产 16 天 后
19、， 根 据 市 场 需 求 每 天 产 量 提 高 20%， 则 最 多 再 生 产 多 少 天 后 必 须 补 充 原 材料 ？解 析 ： (1)设 初 期 购 得 原 材 料 a 吨 ， 每 天 所 耗 费 的 原 材 料 为 b吨 ， 根 据 “ 当 生 产 6天 后 剩 余原 材 料 36 吨 ， 当 生 产 10天 后 剩 余 原 材 料 30吨 .” 列 出 方 程 组 解 决 问 题 ；(2)最 多 再 生 产 x 天 后 必 须 补 充 原 材 料 ， 根 据 若 剩 余 原 材 料 数 量 小 于 或 等 于 3 吨 列 出 不 等 式解 决 问 题 .答 案 ： (1)设
20、初 期 购 得 原 材 料 a 吨 ， 每 天 所 耗 费 的 原 材 料 为 b 吨 ，根 据 题 意 得 ： 6 3610 30a ba b ， 解 得 451.5ab ， 答 ： 初 期 购 得 原 材 料 45 吨 ， 每 天 所 耗 费 的 原 材 料 为 1.5 吨 .(2)设 再 生 产 x 天 后 必 须 补 充 原 材 料 ，依 题 意 得 ： 45-16 1.5-1.5(1+20%)x 3， 解 得 ： x 10.答 ： 最 多 再 生 产 10 天 后 必 须 补 充 原 材 料 .20.已 知 点 P是 线 段 AB上 与 点 A不 重 合 的 一 点 ， 且 AP P
21、B.AP 绕 点 A逆 时 针 旋 转 角 (0 90 )得 到 AP1， BP 绕 点 B顺 时 针 也 旋 转 角 得 到 BP2， 连 接 PP1、 PP2. (1)如 图 1， 当 =90 时 ， 求 P1PP2的 度 数 ；(2)如 图 2， 当 点 P2在 AP1的 延 长 线 上 时 ， 求 证 ： P2P1P P2PA；(3)如 图 3， 过 BP 的 中 点 E 作 l1 BP， 过 BP2的 中 点 F 作 l2 BP2， l1与 l2交 于 点 Q， 连 接 PQ，求 证 ： P1P PQ.解 析 ： (1)利 用 旋 转 的 性 质 以 及 等 腰 直 角 三 角 形
22、得 出 APP1= BPP2=45 ， 进 而 得 出 答 案 ；(2)根 据 题 意 得 出 PAP1和 PBP2均 为 顶 角 为 的 等 腰 三 角 形 ， 进 而 得 出 P1PP2= PAP2= ，求 出 P2P1P P2PA；(3)首 先 连 结 QB， 得 出 Rt QBE Rt QBF， 利 用 P 1PQ=180 - APP1- QPB求 出 即 可 .答 案 (1)由 旋 转 的 性 质 得 ： AP=AP1， BP=BP2. =90 ， PAP1和 PBP2均 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， APP1= BPP2=45 ， P1PP2=180 - APP1- BPP2
23、=90 .(2)由 旋 转 的 性 质 可 知 PAP1和 PBP2均 为 顶 角 为 的 等 腰 三 角 形 ， APP1= BPP2=90 - 2 ， P1PP2=180 -( APP1+ BPP2)=180 -2(90 - 2 )= ，在 PP 2P1和 P2PA 中 ， P1PP2= PAP2= ，又 PP2P1= AP2P， P2P1P P2PA.(3)如 图 ， 连 接 QB. l 1， l2分 别 为 PB， P2B的 中 垂 线 ， EB= 12 BP， FB= 12 BP2.又 BP=BP2， EB=FB.在 Rt QBE和 Rt QBF中 ， EB FBQB QB ， Rt
24、 QBE Rt QBF， QBE= QBF= 12 PBP2= 2 ，由 中 垂 线 性 质 得 ： QP=QB， QPB= QBE= 2 ，由 (2)知 APP 1=90 - 2 ， P1PQ=180 - APP1- QPB=180 -(90 - 2 )- 2 =90 ， 即 P1P PQ.六 、 解 答 题 (本 题 满 分 15分 ) 21.已 知 抛 物 线 E1： y=x2经 过 点 A(1， m)， 以 原 点 为 顶 点 的 抛 物 线 E2经 过 点 B(2， 2)， 点 A、B关 于 y 轴 的 对 称 点 分 别 为 点 A ， B .(1)求 m 的 值 及 抛 物 线
25、E 2所 表 示 的 二 次 函 数 的 表 达 式 ；(2)如 图 1， 在 第 一 象 限 内 ， 抛 物 线 E1上 是 否 存 在 点 Q， 使 得 以 点 Q、 B、 B 为 顶 点 的 三 角 形为 直 角 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 Q的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；(3)如 图 2， P 为 第 一 象 限 内 的 抛 物 线 E1上 与 点 A不 重 合 的 一 点 ， 连 接 OP并 延 长 与 抛 物 线 E2相 交 于 点 P ， 求 PAA 与 P BB 的 面 积 之 比 .解 析 ： (1)直 接 将 (2， 2)代 入
26、函 数 解 析 式 进 而 求 出 a 的 值 ；(2)由 题 意 可 得 ， 在 第 一 象 限 内 ， 抛 物 线 E1上 存 在 点 Q， 使 得 QBB 为 直 角 三 角 形 ， 由 图 象可 知 直 角 顶 点 只 能 为 点 B 或 点 Q， 分 别 利 用 当 点 B 为 直 角 顶 点 时 以 及 当 点 Q 为 直 角 顶 点 时 求出 Q 点 坐 标 即 可 ；(3)首 先 设 P(c， c 2)、 P (d， 12 d2)， 进 而 得 出 c与 d 的 关 系 ， 再 表 示 出 PAA 与 P BB的 面 积 进 而 得 出 答 案 .答 案 ： (1) 抛 物 线
27、 E1经 过 点 A(1， m)， m=12=1. 抛 物 线 E2的 顶 点 在 原 点 ， 可 设 它 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=ax2(a 0)，又 点 B(2， 2)在 抛 物 线 E2上 ， 2=a 22， 解 得 ： a= 12 ， 抛 物 线 E 2所 对 应 的 二 次 函 数 表 达 式 为 y= 12 x2.(2)如 图 1， 假 设 在 第 一 象 限 内 ， 抛 物 线 E1上 存 在 点 Q， 使 得 QBB 为 直 角 三 角 形 ，由 图 象 可 知 直 角 顶 点 只 能 为 点 B 或 点 Q. 当 点 B 为 直 角 顶 点 时 ， 过 B作
28、QB BB 交 抛 物 线 E1于 Q，则 点 Q与 B的 横 坐 标 相 等 且 为 2， 将 x=2代 入 y=x2得 y=4， 点 Q 的 坐 标 为 (2， 4). 当 点 Q 为 直 角 顶 点 时 ， 则 有 QB 2+QB2=B B2， 过 点 Q 作 GQ BB 于 G，设 点 Q的 坐 标 为 (t， t2)(t 0)，则 有 (t+2)2+(t2-2)2+(2-t)2+(t2-2)2=4， 整 理 得 ： t4-3t2=0， t 0， t2-3=0， 解 得 t1= 3 ， t2=- 3 (舍 去 )， 点 Q 的 坐 标 为 ( 3 ， 3)，综 合 ， 存 在 符 合
29、条 件 的 点 Q 坐 标 为 (2， 4)与 ( 3 ， 3).(3)如 图 2， 过 点 P 作 PC x 轴 ， 垂 足 为 点 C， PC交 直 线 AA 于 点 E， 过 点 P 作 P D x轴 ， 垂 足 为 点 D， P D交 直 线 BB 于 点 F，依 题 意 可 设 P(c， c2)、 P (d， 12 d2) (c 0， c q)， tan POC=tan P OD， 22 12 dcc d ， d=2c. AA =2， BB =4， PAAP BBSS = 1212 AA PEBB P F = 2 21 2 121 14 22 2cd = 2 21 142 2 2c c .
