1、2015年 湖 南 省 衡 阳 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 3分 ， 共 36 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 。1.计 算 (-1)0+|-2|的 结 果 是 ( )A.-3B.1C.-1D.3解 析 ： 原 式 =1+2=3.答 案 ： D. 2.下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.a+a=2aB.b3 b3=2b3C.a3 a=a3D.(a5)2=a7解 析 ： A、 a+a=2a， 故 本 选 项 正 确 ；B、 b3 b3=b3+3=
2、b6， 故 本 选 项 错 误 ；C、 a 3 a=a3-1=a2， 故 本 选 项 错 误 ；D、 (a5)2=a5 2=a10， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： A.3.如 图 所 示 的 几 何 体 是 由 一 个 圆 柱 体 和 一 个 长 方 形 组 成 的 ， 则 这 个 几 何 体 的 俯 视 图 是 ( )A. B.C.D. 解 析 ： 从 上 面 看 外 边 是 一 个 矩 形 ， 里 面 是 一 个 圆 ，答 案 ： C.4.若 分 式 21xx 的 值 为 0， 则 x 的 值 为 ( )A.2或 -1B.0C.2D.-1解 析 ： 由 题 意 可 得 ： x-2=
3、0 且 x+1 0， 解 得 x=2.答 案 ： C. 5.函 数 y= 1x 中 自 变 量 x的 取 值 范 围 为 ( )A.x 0B.x -1C.x -1D.x 1解 析 ： 根 据 题 意 得 ： x+1 0， 解 得 ： x -1.答 案 ： B6.不 等 式 组 21xx ， 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 为 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 不 等 式 组 的 解 集 为 ： -2 x 1， 其 数 轴 表 示 如 下 ：答 案 ： A 7. 已 知 等 腰 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 5 和 6， 则 这 个 等 腰 三 角 形 的 周 长 为 ( )A.
4、11B.16C.17D.16或 17解 析 ： 6是 腰 长 时 ， 三 角 形 的 三 边 分 别 为 6、 6、 5， 能 组 成 三 角 形 ， 周 长 =6+6+5=17； 6 是 底 边 时 ， 三 角 形 的 三 边 分 别 为 6、 5、 5， 能 组 成 三 角 形 ， 周 长 =6+5+5=16.综 上 所 述 ， 三 角 形 的 周 长 为 16或 17.答 案 ： D8.若 关 于 x的 方 程 x2+3x+a=0有 一 个 根 为 -1， 则 另 一 个 根 为 ( )A.-2B.2C.4D.-3解 析 ： 设 一 元 二 次 方 程 的 另 一 根 为 x 1， 则
5、根 据 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 ， 得 -1+x1=-3，解 得 ： x1=-2.答 案 ： A9. 下 列 命 题 是 真 命 题 的 是 ( )A.对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形B.对 角 线 相 等 的 四 边 形 是 矩 形C.对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 是 菱 形D.对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 是 正 方 形解 析 ： A、 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 所 以 A 选 项 为 真 命 题 ；B、 对 角 线 相 等 的 平 行 四 边 形 是 矩
6、 形 ， 所 以 B 选 项 为 假 命 题 ；C、 对 角 线 互 相 垂 直 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 ， 所 以 C 选 项 为 假 命 题 ；D、 对 角 线 互 相 垂 直 的 矩 形 是 正 方 形 ， 所 以 D 选 项 为 假 命 题 . 答 案 ： A10.在 今 年 “ 全 国 助 残 日 ” 捐 款 活 动 中 ， 某 班 级 第 一 小 组 7名 同 学 积 极 捐 出 自 己 的 零 花 钱 ，奉 献 自 己 的 爱 心 ， 他 们 捐 款 的 数 额 分 别 是 (单 位 ： 元 )50、 20、 50、 30、 25、 50、 55， 这 组 数据 的
7、众 数 和 中 位 数 分 别 是 ( )A.50元 ， 30元B.50元 ， 40元C.50元 ， 50元D.55元 ， 50元解 析 ： 50 出 现 了 3 次 ， 出 现 的 次 数 最 多 ， 则 众 数 是 50；把 这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 为 ： 20， 25， 30， 50， 50， 50， 55，最 中 间 的 数 是 50， 则 中 位 数 是 50.答 案 ： C 11.绿 苑 小 区 在 规 划 设 计 时 ， 准 备 在 两 幢 楼 房 之 间 ， 设 置 一 块 面 积 为 900平 方 米 的 矩 形 绿 地 ，并 且 长 比 宽 多 10米 .设
8、 绿 地 的 宽 为 x 米 ， 根 据 题 意 ， 可 列 方 程 为 ( )A.x(x-10)=900B.x(x+10)=900C.10(x+10)=900D.2x+(x+10)=900解 析 ： 设 绿 地 的 宽 为 x， 则 长 为 10+x；根 据 长 方 形 的 面 积 公 式 可 得 ： x(x+10)=900. 答 案 ： B12.如 图 ， 为 了 测 得 电 视 塔 的 高 度 AB， 在 D 处 用 高 为 1 米 的 测 角 仪 CD， 测 得 电 视 塔 顶 端 A的 仰 角 为 30 ， 再 向 电 视 塔 方 向 前 进 100米 达 到 F 处 ， 又 测 得
9、 电 视 塔 顶 端 A的 仰 角 为 60 ，则 这 个 电 视 塔 的 高 度 AB(单 位 ： 米 )为 ( ) A.50 3B.51C.50 3 +1D.101解 析 ： 设 AG=x，在 Rt AEG中 ， tan AEG= AGEG ， EG= 3AG = 33 x，在 Rt ACG中 ， tan ACG= AGCG ， CG= tan30 x = 3 x， 3 x- 33 x=100， 解 得 ： x=50 3 .则 AB=50 3 +1(米 ).答 案 ： C二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 8个 小 题 ， 每 小 题 3分 ， 共 24分 。13.在 -1， 0， -
10、2这 三 个 数 中 ， 最 小 的 数 是 .解 析 ： 根 据 有 理 数 比 较 大 小 的 方 法 ， 可 得 -2 -1 0， 所 以 在 -1， 0， -2 这 三 个 数 中 ， 最 小的 数 是 -2.答 案 ： -214.如 图 ， 已 知 直 线 a b， 1=120 ， 则 2 的 度 数 是 . 解 析 ： a b， 1=120 ， 2=180 - 1=180 -120 =60 .答 案 ： 6015.计 算 ： 8 - 2 = .解 析 ： 原 式 =2 2 - 2 = 2 .答 案 ： 2 .16.方 程 1 3 2x x 的 解 为 .解 析 ： 方 程 两 边
11、同 乘 x(x-2)， 得 x-2=3x， 解 得 ： x=-1，经 检 验 x=-1是 方 程 的 解 .答 案 ： x=-117.圆 心 角 为 120 的 扇 形 的 半 径 为 3， 则 这 个 扇 形 的 面 积 为 (结 果 保 留 ).解 析 ： 扇 形 的 面 积 = 2120 3360 =3 cm2.答 案 ： 3 .18.如 图 所 示 ， 小 明 为 了 测 量 学 校 里 一 池 塘 的 宽 度 AB， 选 取 可 以 直 达 A、 B 两 点 的 点 O 处 ，再 分 别 取 OA、 OB的 中 点 M、 N， 量 得 MN=20m， 则 池 塘 的 宽 度 AB为
12、m. 解 析 ： 点 M、 N 是 OA、 OB 的 中 点 ， MN 是 ABO的 中 位 线 ， AB=AMN.又 MN=20m， AB=40m.答 案 ： 4019.已 知 a+b=3， a-b=-1， 则 a2-b2的 值 为 .解 析 ： a+b=3， a-b=-1， 原 式 =(a+b)(a-b)=-3.答 案 ： -3.20.如 图 ， A 1B1A2， A2B2A3， A3B3A4， ， AnBnAn+1都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 其 中 点 A1、 A2、 、An在 x轴 上 ， 点 B1、 B2、 、 Bn在 直 线 y=x上 ， 已 知 OA1=1， 则 OA
13、2015的 长 为 . 解 析 ： 因 为 OA1=1， OA2=2， OA3=4， OA4=8， 由 此 得 出 OAn=2n-1， 所 以 OA2015=22014，答 案 ： 22014.三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 8 个 小 题 ， 满 分 60分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。21.先 化 简 ， 再 求 值 ： a(a-2b)+(a+b)2， 其 中 a=-1， b= 2 .解 析 ： 原 式 利 用 单 项 式 乘 以 多 项 式 ， 以 及 完 全 平 方 公 式 化 简 ， 去 括 号 合 并 得 到 最 简 结
14、 果 ， 把a与 b的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： 原 式 =a 2-2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2，当 a=-1， b= 2 时 ， 原 式 =2+2=4.22. 为 了 进 一 步 了 解 义 务 教 育 阶 段 学 生 的 体 质 健 康 状 况 ， 教 育 部 对 我 市 某 中 学 九 年 级 的 部 分学 生 进 行 了 体 质 抽 测 ， 体 质 抽 测 的 结 果 分 为 四 个 等 级 ： 优 秀 、 良 好 、 合 格 、 不 合 格 ， 根 据 调查 结 果 绘 制 了 下 列 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ， 请 你 根 据 统
15、 计 图 提 供 的 信 息 回 答 以 下 问 题 ： (1)在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 合 格 ” 的 百 分 比 为 ；(2)本 次 体 质 抽 测 中 ， 抽 测 结 果 为 “ 不 合 格 ” 等 级 的 学 生 有 人 ；(3)若 该 校 九 年 级 有 400 名 学 生 ， 估 计 该 校 九 年 级 体 质 为 “ 不 合 格 ” 等 级 的 学 生 约 有人 .解 析 ： (1)用 1 减 去 其 它 各 组 的 百 分 比 ， 据 此 即 可 求 解 ；(2)根 据 优 秀 的 人 数 是 8， 所 占 的 百 分 比 是 16%即 可 求 得 调 查 的 总 人
16、 数 ， 利 用 总 人 数 乘 以 对 应的 百 分 比 即 可 求 解 ；(3)利 用 总 人 数 400 乘 以 对 应 的 百 分 比 即 可 求 解 .答 案 ： (1)“ 合 格 ” 的 百 分 比 为 1-12%-16%-32%=40%， 故 答 案 是 ： 40%； (2)抽 测 的 总 人 数 是 ： 8 16%=50(人 )，则 抽 测 结 果 为 “ 不 合 格 ” 等 级 的 学 生 有 ： 50 32%=16(人 ).故 答 案 是 ： 16；(3)该 校 九 年 级 体 质 为 “ 不 合 格 ” 等 级 的 学 生 约 有 400 32%=128(人 ).故 答
17、案 是 ： 128.23.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ABC的 三 个 顶 点 坐 标 分 别 为 A(3， 2)、 B(3， 5)、 C(1， 2). (1)在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 ABC关 于 x 轴 对 称 的 A1B1C1；(2)把 ABC绕 点 A 顺 时 针 旋 转 一 定 的 角 度 ， 得 图 中 的 AB2C2， 点 C2在 AB上 . 旋 转 角 为 多 少 度 ？ 写 出 点 B2的 坐 标 .解 析 ： (1)分 别 得 到 点 A、 B、 C 关 于 x 轴 的 对 称 点 ， 连 接 点 A1， B1， C1， 即 可 解
18、 答 ；(2) 根 据 点 A， B， C的 坐 标 分 别 求 出 AC， BC， AC的 长 度 ， 根 据 勾 股 定 理 逆 定 理 得 到 CAB=90 ，即 可 得 到 旋 转 角 ； 根 据 旋 转 的 性 质 可 知 AB=AB 2=3， 所 以 CB2=AC+AB2=5， 所 以 B2的 坐 标 为 (6， 2).答 案 ： (1)A(3， 2)、 B(3， 5)、 C(1， 2)关 于 x 轴 的 对 称 点 分 别 为 A1(3， -2)， B1(3， -5)， C1(1，-2)，如 图 所 示 ， (2) A(3， 2)、 B(3， 5)、 C(1， 2)， AB=3，
19、 AC=2， BC= 2 23 1 5 2 13 ， AB2+AC2=13， BC2=( 13 )2=13， AB2+AC2=BC2， CAB=90 ， AC 与 AC2的 夹 角 为 CAC2， 旋 转 角 为 90 ； AB=AB2=3， CB2=AC+AB2=5， B2的 坐 标 为 (6， 2).24.某 校 学 生 会 正 筹 备 一 个 “ 庆 毕 业 ” 文 艺 汇 演 活 动 ， 现 准 备 从 4 名 (其 中 两 男 两 女 )节 目 主持 候 选 人 中 ， 随 机 选 取 两 人 担 任 节 目 主 持 人 ， 请 用 列 表 法 或 画 树 状 图 求 选 出 的 两
20、 名 主 持 人 “ 恰好 为 一 男 一 女 ” 的 概 率 .解 析 ： 列 表 得 出 所 有 等 可 能 的 情 况 数 ， 找 出 选 出 的 两 名 主 持 人 “ 恰 好 为 一 男 一 女 ” 的 情 况 数 ，即 可 求 出 所 求 的 概 率 .答 案 ： 列 表 如 下 ： 所 有 等 可 能 的 情 况 有 12 种 ， 其 中 选 出 的 两 名 主 持 人 “ 恰 好 为 一 男 一 女 ” 的 情 况 有 8 种 ，则 P(选 出 的 两 名 主 持 人 “ 恰 好 为 一 男 一 女 ” )= 8 212 3 .25.某 药 品 研 究 所 开 发 一 种 抗
21、菌 新 药 ， 经 多 年 动 物 实 验 ， 首 次 用 于 临 床 人 体 试 验 ， 测 得 成 人服 药 后 血 液 中 药 物 浓 度 y(微 克 /毫 升 )与 服 药 时 间 x小 时 之 间 函 数 关 系 如 图 所 示 (当 4 x 10时 ， y与 x成 反 比 例 ). (1)根 据 图 象 分 别 求 出 血 液 中 药 物 浓 度 上 升 和 下 降 阶 段 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 .(2)问 血 液 中 药 物 浓 度 不 低 于 4 微 克 /毫 升 的 持 续 时 间 多 少 小 时 ？解 析 ： (1)分 别 利 用 正 比 例 函 数
22、以 及 反 比 例 函 数 解 析 式 求 法 得 出 即 可 ；(2)利 用 y=4分 别 得 出 x 的 值 ， 进 而 得 出 答 案 .答 案 ： (1)当 0 x 4 时 ， 设 直 线 解 析 式 为 ： y=kx，将 (4， 8)代 入 得 ： 8=4k， 解 得 ： k=2， 故 直 线 解 析 式 为 ： y=2x，当 4 x 10时 ， 设 直 反 比 例 函 数 解 析 式 为 ： y= ax ，将 (4， 8)代 入 得 ： 8= 4a ， 解 得 ： a=32，故 反 比 例 函 数 解 析 式 为 ： y= 32x ； 因 此 血 液 中 药 物 浓 度 上 升 阶
23、 段 的 函 数 关 系 式 为 y=2x(0 x 4)， 下 降 阶 段 的 函 数 关 系 式 为y= 32x (4 x 10).(2)当 y=4， 则 4=2x， 解 得 ： x=2，当 y=4， 则 4= 32x ， 解 得 ： x=8， 8-2=6(小 时 )， 血 液 中 药 物 浓 度 不 低 于 4 微 克 /毫 升 的 持 续 时 间 6 小 时 .26.如 图 ， AB 是 O 的 直 径 ， 点 C、 D 为 半 圆 O的 三 等 分 点 ， 过 点 C 作 CE AD， 交 AD 的 延 长线 于 点 E. (1)求 证 ： CE是 O 的 切 线 ；(2)判 断 四
24、边 形 AOCD是 否 为 菱 形 ？ 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)连 接 AC， 由 题 意 得 弧 AD=弧 CD=弧 CB， DAC= CAB， 即 可 证 明 AE OC， 从 而 得出 OCE=90 ， 即 可 证 得 结 论 ；(2)四 边 形 AOCD为 菱 形 .由 弧 AD=弧 CB， 则 DCA= CAB可 证 明 四 边 形 AOCD是 平 行 四 边 形 ，再 由 OA=OC， 即 可 证 明 平 行 四 边 形 AOCD是 菱 形 (一 组 邻 边 相 等 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 ).答 案 ： (1)连 接 AC， 点 CD是 半 圆 O 的
25、 三 等 分 点 ， 弧 AD=弧 CD=弧 CB， DAC= CAB， OA=OC， CAB= OCA， DAC= OCA， AE OC(内 错 角 相 等 ， 两 直 线 平 行 )， OCE= E， CE AD， OCE=90 ， OC CE， CE是 O 的 切 线 ；(2)四 边 形 AOCD为 菱 形 .理 由 是 ： 弧 AD=弧 CB， DCA= CAB， CD OA，又 AE OC， 四 边 形 AOCD 是 平 行 四 边 形 ， OA=OC， 平 行 四 边 形 AOCD是 菱 形 .27.如 图 ， 顶 点 M在 y轴 上 的 抛 物 线 与 直 线 y=x+1 相 交
26、 于 A、 B 两 点 ， 且 点 A在 x轴 上 ， 点 B的 横 坐 标 为 2， 连 结 AM、 BM. (1)求 抛 物 线 的 函 数 关 系 式 ；(2)判 断 ABM的 形 状 ， 并 说 明 理 由 ；(3)把 抛 物 线 与 直 线 y=x 的 交 点 称 为 抛 物 线 的 不 动 点 .若 将 (1)中 抛 物 线 平 移 ， 使 其 顶 点 为 (m，2m)， 当 m 满 足 什 么 条 件 时 ， 平 移 后 的 抛 物 线 总 有 不 动 点 .解 析 ： (1)由 条 件 可 分 别 求 得 A、 B 的 坐 标 ， 设 出 抛 物 线 解 析 式 ， 利 用 待
27、 定 系 数 法 可 求 得 抛 物线 解 析 式 ；(2)结 合 (1)中 A、 B、 C 的 坐 标 ， 根 据 勾 股 定 理 可 分 别 求 得 AB、 AM、 BM， 可 得 到 AB2+AM2=BM2，可 判 定 ABM为 直 角 三 角 形 ；(3)由 条 件 可 写 出 平 移 后 的 抛 物 线 的 解 析 式 ， 联 立 y=x， 可 得 到 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， 根据 根 的 判 别 式 可 求 得 m 的 范 围 .答 案 ： (1) A 点 为 直 线 y=x+1与 x轴 的 交 点 ， A(-1， 0)，又 B 点 横 坐 标 为 2， 代 入
28、 y=x+1 可 求 得 y=3， B(2， 3)， 抛 物 线 顶 点 在 y 轴 上 ， 可 设 抛 物 线 解 析 式 为 y=ax2+c，把 A、 B 两 点 坐 标 代 入 可 得 04 3a ca c ， ， 解 得 11ac ， ， 抛 物 线 解 析 式 为 y=x2-1.(2) ABM为 直 角 三 角 形 .理 由 如 ：由 (1)抛 物 线 解 析 式 为 y=x2-1可 知 M 点 坐 标 为 (0， -1)， AM= 2 ， AB= 2 23 3 18 =3 2 ， BM= 222 3 1 =2 5 ， AM 2+AB2=2+18=20=BM2， ABM 为 直 角
29、三 角 形 ；(3)当 抛 物 线 y=x2-1平 移 后 顶 点 坐 标 为 (m， 2m)时 ， 其 解 析 式 为 y=(x-m)2+2m， 即 y=x2-2mx+m2+2m，联 立 y=x， 可 得 2 22 2y xy x mx m m ， ， 消 去 y整 理 可 得 x2-(2m+1)x+m2+2m=0， 平 移 后 的 抛 物 线 总 有 不 动 点 ， 方 程 x2-(2m+1)x+m2+2m=0 总 有 实 数 根 ， 0， 即 (2m+1) 2-4(m2+2m) 0，解 得 m 14 ， 即 当 m 14 时 ， 平 移 后 的 抛 物 线 总 有 不 动 点 .28.如
30、 图 ， 四 边 形 OABC是 边 长 为 4 的 正 方 形 ， 点 P 为 OA 边 上 任 意 一 点 (与 点 O、 A 不 重 合 )，连 接 CP， 过 点 P 作 PM CP 交 AB 于 点 D， 且 PM=CP， 过 点 M 作 MN OA， 交 BO 于 点 N， 连 接 ND、 BM， 设 OP=t.(1)求 点 M 的 坐 标 (用 含 t的 代 数 式 表 示 ).(2)试 判 断 线 段 MN 的 长 度 是 否 随 点 P 的 位 置 的 变 化 而 改 变 ？ 并 说 明 理 由 .(3)当 t 为 何 值 时 ， 四 边 形 BNDM的 面 积 最 小 .
31、解 析 ： (1)作 ME x轴 于 E， 则 MEP=90 ， 先 证 出 PME= CPO， 再 证 明 MPE PCO， 得出 ME=PO=t， EP=OC=4， 求 出 OE， 即 可 得 出 点 M 的 坐 标 ；(2)连 接 AM， 先 证 明 四 边 形 AEMF 是 正 方 形 ， 得 出 MAE=45 = BOA， AM OB， 证 出 四 边 形OAMN是 平 行 四 边 形 ， 即 可 得 出 MN=OA=4；(3)先 证 明 PAD PEM， 得 出 比 例 式 AD APME EP ， 得 出 AD， 求 出 BD， 求 出 四 边 形 BNDM的面 积 S是 关 于
32、 t的 二 次 函 数 ， 即 可 得 出 结 果 .答 案 ： (1)作 ME x 轴 于 E， 如 图 1所 示 ： 则 MEP=90 ， ME AB， MPE+ PME=90 ， 四 边 形 OABC 是 正 方 形 ， POC=90 ， OA=OC=AB=BC=4， BOA=45 ， PM CP， CPM=90 ， MPE+ CPO=90 ， PME= CPO，在 MPE和 PCO中 ， 90MEP POCPME CPOPM CP ， MPE PCO(AAS)， ME=PO=t， EP=OC=4， OE=t+4， 点 M 的 坐 标 为 ： (t+4， t)；(2)线 段 MN的 长
33、度 不 发 生 改 变 ； 理 由 如 下 ： 连 接 AM， 如 图 2 所 示 ： MN OA， ME AB， MEA=90 ， 四 边 形 AEMF是 矩 形 ，又 EP=OC=OA， AE=PO=t=ME， 四 边 形 AEMF 是 正 方 形 ， MAE=45 = BOA， AM OB， 四 边 形 OAMN是 平 行 四 边 形 ， MN=OA=4.(3) ME AB， PAD PEM， AD APME EP ， 即 44AD tt ， AD=- 14 t 2+t， BD=AB-AD=4-(- 14 t2+t)= 14 t2-t+4， MN OA， AB OA， MN AB， 四 边 形 BNDM 的 面 积 S= 12 MN BD= 12 4( 14 t2-t+4)= 12 (t-2)2+6， S 是 t 的 二 次 函 数 ， 12 0， S有 最 小 值 ，当 t=2时 ， S 的 值 最 小 ； 当 t=2时 ， 四 边 形 BNDM的 面 积 最 小 .
