1、2015 年 湖 南 省 湘 潭 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 8 个 小 题 ， 每 小 题 有 且 只 有 一 个 正 确 答 案 ， 请 将 正 确 答 案 的 选 项 代 号涂 在 答 题 卡 相 应 的 位 置 上 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24分 )1.在 数 轴 上 表 示 -2 的 点 与 表 示 3 的 点 之 间 的 距 离 是 ( )A.5B.-5C.1D.-1解 析 ： 根 据 正 负 数 的 运 算 方 法 ， 用 3 减 去 -2， 求 出 在 数 轴 上 表 示 -2 的 点 与 表 示 3 的 点 之 间的 距 离 为
2、 多 少 即 可 ， 3-(-2)=2+3=5.所 以 在 数 轴 上 表 示 -2的 点 与 表 示 3的 点 之 间 的 距 离 为 5. 答 案 ： A2.下 面 四 个 立 体 图 形 中 ， 三 视 图 完 全 相 同 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： A、 主 视 图 、 左 试 图 是 矩 形 ， 俯 视 图 是 圆 ， 故 A 错 误 ；B、 主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 都 是 圆 ， 故 B 正 确 ；C、 主 视 图 、 左 视 图 都 是 三 角 形 ， 俯 视 图 是 圆 ， 故 C 错 误 ；D、 主 视 图 、 俯 视 图 都 是 矩 形
3、， 左 视 图 是 三 角 形 ， 故 D 错 误 .答 案 ： B3.下 列 计 算 正 确 的 是 ( ) A. 5 2 3 B.3-1=-3C.(a4)2=a8D.a6 a2=a3解 析 ： A.不 是 同 类 二 次 根 式 ， 不 能 合 并 ， 故 A 错 误 ；B.3-1= 13 ， 故 B 错 误 ；C.(a4)2=a4 2=a8， 故 C正 确 ；D.a 6 a2=a6-2=a4， 故 D 错 误 .答 案 ： C4.在 ABC中 ， D、 E为 边 AB、 AC 的 中 点 ， 已 知 ADE的 面 积 为 4， 那 么 ABC的 面 积 是 ( )A.8B.12 C.16
4、D.20解 析 ： D、 E 分 别 是 AB、 AC的 中 点 ， DE 是 ABC的 中 位 线 ， DE BC， 12DEBC ， ADE ABC， ADEABCSS =( 12 )2， ADE的 面 积 为 4， 4 14ABCS ， S ABC=16.答 案 ： C5. 下 列 四 个 命 题 中 ， 真 命 题 是 ( )A.“ 任 意 四 边 形 内 角 和 为 360 ” 是 不 可 能 事 件B.“ 湘 潭 市 明 天 会 下 雨 ” 是 必 然 事 件C.“ 预 计 本 题 的 正 确 率 是 95%” 表 示 100位 考 生 中 一 定 有 95 人 做 对D.抛 掷
5、一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 ， 正 面 朝 上 的 概 率 是 12解 析 ： A、 “ 任 意 四 边 形 内 角 和 为 360 ” 是 必 然 事 件 ， 错 误 ；B、 “ 湘 潭 市 明 天 会 下 雨 ” 是 随 机 事 件 ， 错 误 ；C、 “ 预 计 本 题 的 正 确 率 是 95%” 表 示 100位 考 生 中 不 一 定 有 95人 做 对 ， 错 误 ； D、 抛 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 ， 正 面 朝 上 的 概 率 是 12 ， 正 确 .答 案 ： D6.如 图 ， 已 知 直 线 AB CD， 且 直 线 EF分 别 交 AB、 CD
6、 于 M、 N 两 点 ， NH是 MND的 角 平 分 线 . 若 AMN=56 ， 则 MNH的 度 数 是 ( )A.28B.30C.34D.56 解 析 ： 直 线 AB CD， AMN=56 ， MND= AMN=56 . NH 是 MND的 角 平 分 线 ， MNH= 12 MND=28 .答 案 ： A7.如 图 ， 四 边 形 ABCD是 O 的 内 接 四 边 形 ， 若 DAB=60 ， 则 BCD的 度 数 是 ( ) A.60B.90C.100D.120解 析 ： 四 边 形 ABCD是 O 的 内 接 四 边 形 ， DAB+ DCB=180 . DAB=60 ，
7、BCD=180 -60 =120 .答 案 ： D8.如 图 ， 观 察 二 次 函 数 y=ax 2+bx+c的 图 象 ， 下 列 结 论 ： a+b+c 0， 2a+b 0， b2-4ac 0， ac 0.其 中 正 确 的 是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 由 图 象 可 知 当 x=1时 ， y 0， a+b+c 0， 故 不 正 确 ；由 图 象 可 知 0 - 2ba 1， 2ba -1，又 开 口 向 上 ， a 0， b -2a， 2a+b 0， 故 正 确 ；由 图 象 可 知 二 次 函 数 与 x轴 有 两 个 交 点 ， 方 程 ax 2+bx+c=0有
8、 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 0， 即 b2-4ac 0， 故 正 确 ；由 图 象 可 知 抛 物 线 开 口 向 上 ， 与 y轴 的 交 点 在 x轴 的 下 方 ， a 0， c 0， ac 0， 故 不 正 确 ；综 上 可 知 正 确 的 为 .答 案 ： C二 、 填 空 题 (本 题 共 8 个 小 题 ， 请 将 答 案 写 在 答 题 卡 相 应 的 位 置 上 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24分 )9. 12 的 倒 数 是 .解 析 ： 12 的 倒 数 是 2. 答 案 ： 210.计 算 ： 23-(-2)= .解 析 ： 根 据 有 理 数 的
9、 混 合 计 算 解 答 即 可 .23-(-2)=8+2=10.答 案 ： 1011.在 今 年 的 湘 潭 市 “ 党 和 人 民 满 意 的 好 老 师 ” 的 评 选 活 动 中 ， 截 止 到 5 月 底 ， 王 老 师 获 得网 络 点 赞 共 计 183000个 ， 用 科 学 记 数 法 表 示 这 个 数 为 .解 析 ： 将 183000用 科 学 记 数 法 表 示 为 1.83 10 5.故 答 案 为 1.83 105.12.高 一 新 生 入 学 军 训 射 击 训 练 中 ， 小 张 同 学 的 射 击 成 绩 (单 位 ： 环 )为 ： 5、 7、 9、 10、
10、 7，则 这 组 数 据 的 众 数 是 .解 析 ： 这 组 数 据 的 众 数 是 7.故 答 案 为 ： 7.13.湘 潭 盘 龙 大 观 园 开 园 啦 ！ 其 中 杜 鹃 园 的 门 票 售 价 为 ： 成 人 票 每 张 50 元 ， 儿 童 票 每 张 30元 .如 果 某 日 杜 鹃 园 售 出 门 票 100 张 ， 门 票 收 入 共 4000 元 .那 么 当 日 售 出 成 人 票 张 .解 析 ： 设 当 日 售 出 成 人 票 x 张 ， 儿 童 票 (100-x)张 ，可 得 ： 50 x+30(100-x)=4000， 解 得 ： x=50.答 ： 当 日 售
11、出 成 人 票 50 张 . 故 答 案 为 ： 5014.已 知 菱 形 ABCD的 面 积 为 24cm2， 若 对 角 线 AC=6cm， 则 这 个 菱 形 的 边 长 为 cm.解 析 ： 菱 形 ABCD的 面 积 = 12 AC BD， 菱 形 ABCD的 面 积 是 24cm2， 其 中 一 条 对 角 线 AC长 6cm， 另 一 条 对 角 线 BD 的 长 =8cm； 边 长 是 ： 2 23 4 =5cm.故 答 案 为 ： 515.如 图 ， 将 ABC绕 点 A顺 时 针 旋 转 60 得 到 AED， 若 线 段 AB=3， 则 BE= . 解 析 ： 将 ABC
12、绕 点 A顺 时 针 旋 转 60 得 到 AED， BAE=60 ， AB=AE， BAE是 等 边 三 角 形 ， BE=3.答 案 ： 316.小 华 为 参 加 毕 业 晚 会 演 出 ， 准 备 制 一 顶 圆 锥 形 彩 色 纸 帽 ， 如 图 所 示 ， 如 果 纸 帽 的 底 面 半径 为 8cm， 母 线 长 为 25cm， 那 么 制 作 这 顶 纸 帽 至 少 需 要 彩 色 纸 板 的 面 积 为 cm2.(结 果保 留 ) 解 析 ： 底 面 半 径 为 8cm， 则 底 面 周 长 =16 ， 侧 面 面 积 = 12 16 25=200 cm2.答 案 ： 200
13、 .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 10 个 小 题 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ， 请 将 解 答 过程 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 ， 满 分 72分 )17.解 不 等 式 组 ： 5 36 4 3.xx x ，解 析 ： 先 求 出 两 个 不 等 式 的 解 集 ， 再 求 其 公 共 解 .答 案 ： 5 36 4 3xx x ， ， 由 得 ， x -2，由 得 ， x 3.所 以 ， 不 等 式 组 的 解 集 为 -2 x 3.18.先 化 简 ， 再 求 值 ： 2 22 11 1 1x x xx x ，
14、 其 中 x= 5 +1.解 析 ： 首 先 将 小 括 号 内 的 部 分 进 行 通 分 、 计 算 ， 然 后 将 除 法 转 化 为 乘 法 ， 接 下 来 再 进 行 分 解 、约 分 ， 最 后 代 数 求 值 即 可 .答 案 ： 原 式 =(x+1x+1-xx+1) x 2-2x+1x2-1= 221 11 2 1xx x x = 21 11 1 1x xx x = 1 1x ，将 x= 5 +1代 入 得 ： 原 式 = 1 1 555 1 1 5 . 19.“ 东 方 之 星 ” 客 船 失 事 之 后 ， 本 着 “ 关 爱 生 命 ， 救 人 第 一 ” 的 宗 旨 .
15、搜 救 部 门 紧 急 派 遣 直升 机 到 失 事 地 点 进 行 搜 救 ， 搜 救 过 程 中 ， 假 设 直 升 机 飞 到 A 处 时 ， 发 现 前 方 江 面 上 B 处 有 一漂 浮 物 ， 从 A 测 得 B 处 的 俯 角 为 30 ， 已 知 该 直 升 机 一 直 保 持 在 距 江 面 100米 高 度 飞 行 搜索 ， 飞 行 速 度 为 10 米 每 秒 ， 求 该 直 升 机 沿 直 线 方 向 朝 漂 浮 物 飞 行 多 少 秒 可 到 达 漂 浮 物 的 正上 方 ？ (结 果 精 确 到 0.1， 3 1.73)解 析 ： 作 AD BD于 点 D， 由
16、题 意 得 ： ABC=30 ， AD=100米 ， 在 Rt ABD 中 ， ADBD =tan ABC， 求 得 BD 的 长 后 除 以 速 度 即 可 得 到 时 间 .答 案 ： 作 AD BD于 点 D，由 题 意 得 ： ABC=30 ， AD=100 米 ， 在 Rt ABD中 ， ADBD =tan ABC， BD= 100 100 3tan30 33AD 米 ， 飞 行 速 度 为 10米 每 秒 ， 飞 行 时 间 为 100 3 10=10 3 17.3 秒 ， 该 直 升 机 沿 直 线 方 向 朝 漂 浮 物 飞 行 17.3 秒 可 到 达 漂 浮 物 的 正 上
17、 方 .20. 2015年 湘 潭 市 中 考 招 生 政 策 发 生 较 大 改 变 ， 其 中 之 一 是 ： 省 级 示 范 性 高 中 批 次 志 愿 中 ，每 个 考 生 可 填 报 两 所 学 校 (有 先 后 顺 序 )， 我 市 某 区 域 的 初 三 毕 业 生 可 填 报 的 省 级 示 范 性 高 中有 A、 B、 C、 D 四 所 .(1)请 列 举 出 该 区 域 学 生 填 报 省 级 示 范 性 高 中 批 次 志 愿 的 所 有 可 能 结 果 ； (2)求 填 报 方 案 中 含 有 A 学 校 的 概 率 .解 析 ： (1)首 先 根 据 题 意 画 出
18、树 状 图 ， 从 而 可 得 到 所 有 可 能 结 果 ；(2)根 据 树 状 图 找 出 所 有 含 有 A 的 结 果 ， 然 后 再 利 用 概 率 公 式 计 算 即 可 .答 案 ： (1)该 区 域 学 生 填 报 省 级 示 范 性 高 中 批 次 志 愿 的 所 有 可 能 结 果 如 下 图 所 示 ：(2)根 据 树 状 图 可 知 ： 该 区 域 学 生 填 报 省 级 示 范 性 高 中 批 次 志 愿 的 所 有 可 能 结 果 共 有 12种 ，其 中 含 有 A的 共 有 6种 ， 故 填 报 方 案 中 含 有 A 学 校 的 概 率 = 6 112 2 .
19、 21.水 利 部 确 定 每 年 的 3月 22日 至 28 日 为 “ 中 国 水 周 ” (1994 年 以 前 为 7 月 1 日 至 7 日 )，从 1991年 起 ， 我 国 还 将 每 年 5月 的 第 二 周 作 为 城 市 节 约 用 水 宣 传 周 .某 社 区 为 了 进 一 步 提 高居 民 珍 惜 水 、 保 护 水 和 水 忧 患 意 识 ， 提 倡 节 约 用 水 ， 从 本 社 区 5000 户 家 庭 中 随 机 抽 取 100户 ， 调 查 他 们 家 庭 每 月 的 平 均 用 水 量 ， 并 将 调 查 的 结 果 绘 制 成 如 下 的 两 幅 不 完
20、 整 的 统 计 图 表 ： 请 根 据 上 面 的 统 计 图 表 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)在 频 数 分 布 表 中 ： m= ， n= ；(2)根 据 题 中 数 据 补 全 频 数 直 方 图 ；(3)如 果 自 来 水 公 司 将 基 本 月 用 水 量 定 为 每 户 每 月 12吨 ， 不 超 过 基 本 月 用 水 量 的 部 分 享 受 基本 价 格 ， 超 出 基 本 月 用 水 量 的 部 分 实 行 加 价 收 费 ， 那 么 该 社 区 用 户 中 约 有 多 少 户 家 庭 能 够 全部 享 受 基 本 价 格 ？解 析 ： (1)根 据 频 率 =频
21、数 数 据 总 数 ， 可 得 到 m 100=0.2， 可 求 得 m=20， 然 后 利 用 频 率 =频 数 数 据 可 求 得 n的 值 ；(2)根 据 (1)中 的 结 果 画 出 统 计 图 即 可 ；(3)求 得 100户 家 庭 中 能 够 全 部 享 受 基 本 价 的 频 数 ， 然 后 再 乘 50 即 可 .答 案 ： (1)m 100=02， 解 得 m=20， n=25 100=0.25.(2)补 全 频 数 直 方 图 如 图 ： (3)(10+20+36) 1005000 =3300(户 ).答 ： 该 社 区 用 户 中 约 有 3300 户 家 庭 能 够
22、全 部 享 受 基 本 价 格 .22.如 图 ， 在 Rt ABC中 ， C=90 ， ACD沿 AD 折 叠 ， 使 得 点 C 落 在 斜 边 AB 上 的 点 E 处 . (1)求 证 ： BDE BAC；(2)已 知 AC=6， BC=8， 求 线 段 AD 的 长 度 .解 析 ： (1)根 据 折 叠 的 性 质 得 出 C= AED=90 ， 利 用 DEB= C， B= B证 明 三 角 形 相 似即 可 ；(2)由 折 叠 的 性 质 知 CD=DE， AC=AE.根 据 题 意 在 Rt BDE 中 运 用 勾 股 定 理 求 DE， 进 而 得 出 AD即 可 .答 案
23、 ： (1) C=90 ， ACD沿 AD折 叠 ， C= AED=90 ， DEB= C=90 ，又 B= B， BDE BAC.(2)由 勾 股 定 理 得 ， AB=10.由 折 叠 的 性 质 知 ， AE=AC=6， DE=CD， AED= C=90 . BE=AB-AE=10-6=4，在 Rt BDE中 ， 由 勾 股 定 理 得 ， DE 2+BE2=BD2， 即 CD2+42=(8-CD)2， 解 得 ： CD=3，在 Rt ACD中 ， 由 勾 股 定 理 得 AC2+CD2=AD2， 即 32+62=AD2， 解 得 ： AD=3 5 .23.如 图 ， 已 知 一 次 函
24、 数 y=x+b 与 反 比 例 函 数 y= kx 的 图 象 交 于 A、 B 两 点 ， 其 中 点 A 的 坐 标为 (2， 3). (1)求 一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ；(2)求 点 B 的 坐 标 ；(3)请 根 据 图 象 直 接 写 出 不 等 式 x+b kx 的 解 集 .解 析 ： (1)把 A 的 坐 标 代 入 一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 的 解 析 式 即 可 求 出 解 析 式 ；(2)把 一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 的 解 析 式 联 立 得 出 方 程 组 ， 求 出 方 程 组 的 解 即 可 ；(3)根
25、 据 A、 B 的 坐 标 结 合 图 象 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： (1)把 点 A 的 坐 标 (2， 3)代 入 一 次 函 数 的 解 析 式 中 ， 可 得 ： 3=2+b， 解 得 ： b=1，所 以 一 次 函 数 的 解 析 式 为 ： y=x+1；把 点 A的 坐 标 (2， 3)代 入 反 比 例 函 数 的 解 析 式 中 ， 可 得 ： k=6， 所 以 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 ： y= 6x .(2)把 一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 的 解 析 式 联 立 得 出 方 程 组 ，可 得 ： 16y xy x ， 解 得 ： x1=
26、2， x2=-3， 所 以 点 B 的 坐 标 为 (-3， -2).(3) A(2， 3)， B(-3， -2)， 使 一 次 函 数 值 大 于 反 比 例 函 数 值 的 x 的 范 围 是 ： -3 x 0或x 2.24.阅 读 材 料 ： 用 配 方 法 求 最 值 .已 知 x， y 为 非 负 实 数 ， x+y-2 xy =( x ) 2+( y )2-2 x y =( x - y )2 0， x+y 2 xy ， 当 且 仅 当 “ x=y” 时 ， 等 号 成 立 .示 例 ： 当 x 0 时 ， 求 y=x+ 1x +4的 最 小 值 .解 ： y=(x+ 1x )+4
27、2 1x x +4=6， 当 x= 1x ， 即 x=1时 ， y 的 最 小 值 为 6.(1)尝 试 ： 当 x 0 时 ， 求 y= 2 1x xx 的 最 小 值 .(2)问 题 解 决 ： 随 着 人 们 生 活 水 平 的 快 速 提 高 ， 小 轿 车 已 成 为 越 来 越 多 家 庭 的 交 通 工 具 ， 假 设 某 种 小 轿 车 的 购 车 费 用 为 10 万 元 ， 每 年 应 缴 保 险 费 等 各 类 费 用 共 计 0.4 万 元 ， n 年 的 保养 、 维 护 费 用 总 和 为 210n n 万 元 .问 这 种 小 轿 车 使 用 多 少 年 报 废
28、最 合 算 (即 ： 使 用 多 少 年 的年 平 均 费 用 最 少 ， 年 平 均 费 用 = n所 有 用 之 和年 费 数 )？ 最 少 年 平 均 费 用 为 多 少 万 元 ？解 析 ： (1)首 先 根 据 y= 2 1x xx ， 可 得 y=x+ 1x +1， 然 后 应 用 配 方 法 ， 求 出 当 x 0 时 ，y= 2 1x xx 的 最 小 值 是 多 少 即 可 . (2)首 先 根 据 题 意 ， 求 出 年 平 均 费 用 =( 210n n +0.4n+10) n= 10 110 2n n ， 然 后 应 用 配 方 法 ，求 出 这 种 小 轿 车 使 用
29、 多 少 年 报 废 最 合 算 ， 以 及 最 少 年 平 均 费 用 为 多 少 万 元 即 可 .答 案 ： (1)y= 2 1x xx = x+ 1x +1 2 1x x +1=3， 当 x= 1x ， 即 x=1时 ， y 的 最 小 值 为 3.(2)年 平 均 费 用 =( 210n n +0.4n+10) n= 10 110 2n n 2 1010n n + 12 =2+0.5=2.5， 当 1010n n ，即 n=10时 ， 最 少 年 平 均 费 用 为 2.5万 元 .25.如 图 ， 已 知 AB 是 O 的 直 径 ， 过 点 A 作 O 的 切 线 MA， P 为
30、 直 线 MA 上 一 动 点 ， 以 点 P为 圆 心 ， PA为 半 径 作 P， 交 O 于 点 C， 连 接 PC、 OP、 BC. (1)知 识 探 究 (如 图 1)： 判 断 直 线 PC 与 O的 位 置 关 系 ， 请 证 明 你 的 结 论 ； 判 断 直 线 OP 与 BC的 位 置 关 系 ， 请 证 明 你 的 结 论 .(2)知 识 运 用 (如 图 2)：当 PA OA 时 ， 直 线 PC 交 AB 的 延 长 线 于 点 D， 若 BD=2AB， 求 tan ABC的 值 .解 析 ： (1) PC与 O相 切 .易 证 明 PAO PCO， 则 PAO= P
31、CO， 由 PA是 O的 切 线 ， 可知 PAO= PCO=90 ， 即 可 证 明 结 论 ； OP BC.由 (1)可 知 POA= POC， 根 据 同 弧 所 对 圆 周 角 是 圆 心 角 的 一 半 可 知 ABC= 12 AOC， 根 据 同 位 角 相 等 可 证 明 OP BC.(2)根 据 OP BC， 可 知 BD CDOD PD ， 由 BD=2AB， 可 知 AD=6OA， OD=5OB， 所 以 PD=5PC， 设 设PA=PC=R， OA=r， 根 据 勾 股 定 理 列 方 程 求 出 R 与 r 的 数 量 关 系 ， 即 可 在 Rt PAO 中 求 出
32、tan ABC=tan POA.答 案 ： (1) PC与 O 相 切 .证 明 ： 如 图 1， 连 接 OC， 在 PAO和 PCO中 ， OA OCPO POPA PC ， PAO PCO， PAO= PCO， PA 是 O的 切 线 ， AB 是 O的 直 径 ， PAO= PCO=90 ， PC 与 O相 切 . OP BC.证 明 ： PAO PCO， POA= POC，又 ABC= 12 AOC(同 弧 所 对 圆 周 角 是 圆 心 角 的 一 半 )， ABC= POA， OP BC.(2)如 图 2， BD=2AB， BD=4OB， AD=6OA， 45BDOD ， OP
33、BC， 45BD CDOD PD ， PD=5PC，设 PA=PC=R， OA=r， AD=6r， PD=5R， PA2+AD2=PD2， R 2+(6r)2=(5R)2， 解 得 ： R= 62 r， tan ABC=tan POA= PAOA ， tan ABC= 62 rPAOA r = 62 . 26.如 图 ， 二 次 函 数 y=x2+bx+c 的 图 象 交 x 轴 于 A(-1， 0)、 B(3， 0)两 点 ， 交 y轴 于 点 C， 连接 BC， 动 点 P 以 每 秒 1 个 单 位 长 度 的 速 度 从 A 向 B 运 动 ， 动 点 Q 以 每 秒 2 个 单 位
34、长 度 的 速度 从 B向 C运 动 ， P、 Q同 时 出 发 ， 连 接 PQ， 当 点 Q到 达 C 点 时 ， P、 Q同 时 停 止 运 动 ， 设 运动 时 间 为 t秒 . (1)求 二 次 函 数 的 解 析 式 ；(2)如 图 1， 当 BPQ为 直 角 三 角 形 时 ， 求 t的 值 ；(3)如 图 2， 当 t 2 时 ， 延 长 QP 交 y 轴 于 点 M， 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 一 点 N， 使 得 PQ 的 中点 恰 为 MN 的 中 点 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 N 的 坐 标 与 t 的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .
35、解 析 ： (1)根 据 二 次 函 数 y=x2+bx+c 的 图 象 经 过 A(-1， 0)、 B(3， 0)两 点 ， 应 用 待 定 系 数 法 ，求 出 二 次 函 数 的 解 析 式 即 可 .(2)首 先 根 据 待 定 系 数 法 ， 求 出 BC 所 在 的 直 线 的 解 析 式 ， 再 分 别 求 出 点 P、 点 Q的 坐 标 各 是多 少 ； 然 后 分 两 种 情 况 ： 当 QPB=90 时 ； 当 PQB=90 时 ； 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性质 ， 求 出 t的 值 各 是 多 少 即 可 .(3)首 先 延 长 MQ交 抛 物 线 于 点
36、 N， H 是 PQ的 中 点 ， 再 用 待 定 系 数 法 ， 求 出 PQ所 在 的 直 线 的解 析 式 ， 然 后 PQ的 中 点 恰 为 MN 的 中 点 ， 判 断 出 是 否 存 在 满 足 题 意 的 点 N 即 可 .答 案 ： (1) 二 次 函 数 y=x2+bx+c 的 图 象 经 过 A(-1， 0)、 B(3， 0)两 点 ， 1 09 3 0b cb c ， ， 解 得 23.bc ， 二 次 函 数 的 解 析 式 是 ： y=x2-2x-3.(2) y=x2-2x-3， 点 C的 坐 标 是 (0， -3)， BC= 223 0 0 3 =3 2 ，设 BC
37、 所 在 的 直 线 的 解 析 式 是 ： y=mx+n， 则 3 03m nn ， 解 得 13mn ， BC 所 在 的 直 线 的 解 析 式 是 ： y=x-3， 经 过 t 秒 ， AP=t， BQ= 2 t， 点 P 的 坐 标 是 (t-1， 0)，设 点 Q的 坐 标 是 (x， x-3)， OB=OC=3， OBC= OCB=45 ， 则 y= 2 t sin45 = 2 t 22 =t， 则 Q 点 纵 坐 标 为 -t， x=3-t， 点 Q的 坐 标 是 (3-t， -t)， 如 图 1， 当 QPB=90 时 ， 点 P 和 点 Q的 横 坐 标 相 同 ， 点 P
38、的 坐 标 是 (t-1， 0)， 点 Q 的 坐 标 是 (3-t， -t)， t-1=3-t， 解 得 t=2，即 当 t=2时 ， BPQ为 直 角 三 角 形 . 如 图 2， 当 PQB=90 时 ， PBQ=45 ， BP= 2 BQ， BP=3-(t-1)=4-t， BQ= 2 t， 4-t= 2 2 t即 4-t=2t， 解 得 t= 43 ，即 当 t= 43 时 ， BPQ为 直 角 三 角 形 .综 上 ， 可 得 当 BPQ为 直 角 三 角 形 ， t= 43 或 2.(3)如 图 3， 延 长 MQ交 抛 物 线 于 点 N， H是 PQ的 中 点 ， 设 PQ 所
39、 在 的 直 线 的 解 析 式 是 y=px+q， 点 P的 坐 标 是 (t-1， 0)， 点 Q 的 坐 标 是 (3-t， -t)， 1 03p t qp t q t ， ， 解 得 22 4.2 4tp tt tq t ， PQ 所 在 的 直 线 的 解 析 式 是 y= 24 2 2 4t t txt t ， 点 M的 坐 标 是 (0， 22 4t tt ) 1 3 12t t ， 02 2t t ， PQ 的 中 点 H 的 坐 标 是 (1， 2t )假 设 PQ的 中 点 恰 为 MN 的 中 点 ， 1 2-0=2， 2t 2- 22 4t tt = 232 4t tt ， 点 N的 坐 标 是 (2， 232 4t tt )，又 点 N 在 抛 物 线 上 ， 232 4t tt =22-2 2-3=-3， 解 得 t= 9 332 或 t= 9 332 ， t 2， t= 9 332 ， 当 t 2时 ， 延 长 QP交 y 轴 于 点 M， 当 t= 9 332 时 在 抛 物 线 上存 在 一 点 N， 使 得 PQ的 中 点 恰 为 MN的 中 点 .
