1、2015 年 湖 南 省 岳 阳 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 8 道 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24 分 。 在 每 道 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 选出 符 合 要 求 的 一 项 )1. 实 数 -2015 的 绝 对 值 是 ( )A.2015B.-2015C. 2015D. 12015解 析 ： 计 算 绝 对 值 要 根 据 绝 对 值 的 定 义 求 解 .第 一 步 列 出 绝 对 值 的 表 达 式 ； 第 二 步 根 据 绝 对值 定 义 去 掉 这 个 绝 对 值 的 符 号 .|-2015|=2015. 答
2、 案 ： A2.有 一 种 圆 柱 体 茶 叶 筒 如 图 所 示 ， 则 它 的 主 视 图 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： 主 视 图 是 从 正 面 看 ， 茶 叶 盒 可 以 看 作 是 一 个 圆 柱 体 ， 圆 柱 从 正 面 看 是 长 方 形 .答 案 ： D 3.下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.a-2=-a2B.a+a2=a3 C. 2 3 5 D.(a2)3=a6解 析 ： A、 原 式 = 21a ， 错 误 ；B、 原 式 不 能 合 并 ， 错 误 ；C、 原 式 不 能 合 并 ， 错 误 ；D、 原 式 =a6， 正 确 .答 案 ： D4.一
3、个 关 于 x 的 一 元 一 次 不 等 式 组 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 如 图 ， 则 该 不 等 式 组 的 解 集 是 ( ) A.-2 x 1B.-2 x 1C.-2 x 1D.-2 x 1解 析 ： 该 不 等 式 组 的 解 集 是 ： -2 x 1.答 案 ： C5.现 有 甲 、 乙 两 个 合 唱 队 队 员 的 平 均 身 高 为 170cm， 方 差 分 别 是 S 甲 2、 S乙 2， 且 S甲 2 S乙 2， 则 两个 队 的 队 员 的 身 高 较 整 齐 的 是 ( )A.甲 队B.乙 队C.两 队 一 样 整 齐D.不 能 确 定解 析 ： 根 据
4、 方 差 的 意 义 ， 方 差 越 小 数 据 越 稳 定 ； 因 为 S 甲 2 S 乙 2， 故 有 甲 的 方 差 大 于 乙 的 方差 ， 故 乙 队 队 员 的 身 高 较 为 整 齐 .答 案 ： B6.下 列 命 题 是 真 命 题 的 是 ( )A.一 组 对 边 平 行 ， 另 一 组 对 边 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形B.对 角 线 互 相 垂 直 的 平 行 四 边 形 是 矩 形 C.四 条 边 相 等 的 四 边 形 是 菱 形D.正 方 形 是 轴 对 称 图 形 ， 但 不 是 中 心 对 称 图 形解 析 ： A、 一 组 对 边 平 行
5、， 且 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 所 以 A 选 项 错 误 ；B、 对 角 线 互 相 垂 直 ， 且 相 等 的 平 行 四 边 形 是 矩 形 ， 所 以 B 选 项 错 误 ；C、 四 条 边 相 等 的 四 边 形 是 菱 形 ， 所 以 C 选 项 正 确 ；D、 正 方 形 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 所 以 D 选 项 错 误 .答 案 ： C7.岳 阳 市 某 校 举 行 运 动 会 ， 从 商 场 购 买 一 定 数 量 的 笔 袋 和 笔 记 本 作 为 奖 品 .若 每 个 笔 袋 的 价格 比 每 个 笔
6、记 本 的 价 格 多 3元 ， 且 用 200元 购 买 笔 记 本 的 数 量 与 用 350元 购 买 笔 袋 的 数 量 相 同 .设 每 个 笔 记 本 的 价 格 为 x 元 ， 则 下 列 所 列 方 程 正 确 的 是 ( )A. 200 3503x x B. 200 3503x x C. 200 3503x xD. 200 3503x x解 析 ： 设 每 个 笔 记 本 的 价 格 为 x 元 ， 则 每 个 笔 袋 的 价 格 为 (x+3)元 ， 根 据 题 意 得 ： 200 3503x x .答 案 ： B. 8.如 图 ， 在 ABC 中 ， AB=CB， 以 A
7、B 为 直 径 的 O交 AC于 点 D.过 点 C 作 CF AB， 在 CF上 取一 点 E， 使 DE=CD， 连 接 AE.对 于 下 列 结 论 ： AD=DC； CBA CDE； 弧 BD=弧 AD； AE为 O 的 切 线 ， 一 定 正 确 的 结 论 全 部 包 含 其 中 的 选 项 是 ( )A. B. C. D. 解 析 ： AB为 直 径 ， ADB=90 ， BD AC， 而 AB=CB， AD=DC， 所 以 正 确 ； AB=CB， 1= 2， 而 CD=ED， 3= 4， CF AB， 1= 3， 1= 2= 3= 4， CBA CDE， 所 以 正 确 ；
8、ABC不 能 确 定 为 直 角 三 角 形 ， 1不 能 确 定 等 于 45 ， 弧 BD与 弧 AD 不 能 确 定 相 等 ，所 以 错 误 ； DA=DC=DE， 点 E在 以 AC 为 直 径 的 圆 上 ， AEC=90 ， CE AE， 而 CF AB， AB AE， AE 为 O的 切 线 ， 所 以 正 确 .答 案 ： D.二 、 填 空 题 (本 大 题 8 道 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 32分 。 )9.单 项 式 - 12 x2y3的 次 数 是 .解 析 ： 根 据 单 项 式 的 次 数 的 定 义 ： 单 项 式 中 ， 所 有 字 母 的
9、指 数 和 叫 做 这 个 单 项 式 的 次 数 解 答 .单 项 式 - 12 x 2y3的 次 数 是 2+3=5.答 案 ： 510.分 解 因 式 ： x2-9= .解 析 ： x2-9=(x+3)(x-3).答 案 ： (x+3)(x-3)11.据 统 计 ， 2015 年 岳 阳 市 参 加 中 考 的 学 生 约 为 49000 人 ， 用 科 学 记 数 法 可 将 49000 表 示为 .解 析 ： 用 科 学 记 数 法 可 将 49000 表 示 为 4.9 10 4，答 案 ： 4.9 104.12.若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2-3x+m=0有 两
10、 个 相 等 的 实 数 根 ， 则 m= .解 析 ： 方 程 x2-3x+m=0有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， =9-4m=0， 解 得 ： m= 94 .答 案 ： 94 .13.在 一 次 文 艺 演 出 中 ， 各 评 委 对 某 节 目 给 出 的 分 数 是 ： 9.20， 9.25， 9.10， 9.20， 9.15，9.20， 9.15， 这 组 数 据 的 众 数 是 .解 析 ： 因 为 9.20出 现 的 次 数 最 多 ， 所 以 众 数 是 9.20. 答 案 ： 9.2014.一 个 n 边 形 的 内 角 和 是 1800 ， 则 n= .解 析 ： 根
11、 据 题 意 得 180(n-2)=1800， 解 得 ： n=12.答 案 ： 1215.如 图 ， 直 线 a b， 1=50 ， 2=30 ， 则 3= . 解 析 ： 如 图 ： a b， 4= 1=50 .由 三 角 形 的 外 角 的 性 质 可 知 ： 4= 2+ 3， 3= 4- 2=50 -30 =20 .答 案 ： 20 .16.如 图 ， 已 知 抛 物 线 y=ax2+bx+c 与 x 轴 交 于 A、 B 两 点 ， 顶 点 C 的 纵 坐 标 为 -2， 现 将 抛 物线 向 右 平 移 2 个 单 位 ， 得 到 抛 物 线 y=a1x2+b1x+c1， 则 下
12、列 结 论 正 确 的 是 .(写 出 所有 正 确 结 论 的 序 号 ) b 0 a-b+c 0 阴 影 部 分 的 面 积 为 4 若 c=-1， 则 b2=4a.解 析 ： 抛 物 线 开 口 向 上 ， a 0，又 对 称 轴 为 x=- 2ba 0， b 0， 结 论 不 正 确 ； x=-1时 ， y 0， a-b+c 0， 结 论 不 正 确 ； 抛 物 线 向 右 平 移 了 2 个 单 位 ， 平 行 四 边 形 的 底 是 2， 函 数 y=ax 2+bx+c 的 最 小 值 是 y=-2， 平 行 四 边 形 的 高 是 2， 阴 影 部 分 的 面 积 是 ： 2 2
13、=4， 结 论 正 确 ； 24 4ac ba =-2， c=-1， b2=4a， 结 论 正 确 .综 上 ， 结 论 正 确 的 是 ： .答 案 ： .三 、 解 答 题 (本 大 题 8 道 小 题 ， 满 分 64分 。 )17.计 算 ： (-1) 4-2tan60 +( 3 - 2 )0+12.解 析 ： 根 据 有 理 数 的 乘 方 ， 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ， 零 指 数 幂 ， 二 次 根 式 的 性 质 分 别 求 出 每 一部 分 的 值 ， 再 求 出 即 可 .答 案 ： 原 式 =1-2 3 +1+2 3 =2. 18.先 化 简 ， 再 求 值
14、： 2211 2 4 4x xx x x ， 其 中 x= 2 .解 析 ： 先 根 据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式 进 行 化 简 ， 再 把 x 的 值 代 入 原 式 进 行 计 算 即 可 .答 案 ： 2211 2 4 4x xx x x = 221 22 1 1 22 2 12x x xx x xx x x x xx ，当 x= 2 时 ， 原 式 = 2 2 2 =1+ 2 .19.如 图 ， 直 线 y=x+b与 双 曲 线 y= mx 都 经 过 点 A(2， 3)， 直 线 y=x+b与 x轴 、 y 轴 分 别 交 于B、 C 两 点 . (1)求 直
15、 线 和 双 曲 线 的 函 数 关 系 式 ；(2)求 AOB的 面 积 .解 析 ： (1)将 点 A的 坐 标 分 别 代 入 直 线 y=x+b与 双 曲 线 y= mx 的 解 析 式 求 出 b 和 m 的 值 即 可 ；(2)当 y=0 时 ， 求 出 x 的 值 ， 求 出 B 的 坐 标 ， 就 可 以 求 出 OB的 值 ， 作 AE x 轴 于 点 E， 由 A的 坐 标 就 可 以 求 出 AE的 值 ， 由 三 角 形 的 面 积 公 式 就 可 以 求 出 结 论 .答 案 ： (1) 线 y=x+b 与 双 曲 线 y=mx 都 经 过 点 A(2， 3)， 3=
16、2+b， 3= 2m ， b=1， m=6， y=x+1， y=6x， 直 线 的 解 析 式 为 y=x+1， 双 曲 线 的 函 数 关 系 式 为 y= 6x .(2)当 y=0 时 ， 0=x+1， x=-1， B(-1， 0)， OB=1.作 AE x 轴 于 点 E， A(2， 3)， AE=3. S AOB=1 3 32 2 .答 ： AOB的 面 积 为 32 .20.如 图 是 放 在 水 平 地 面 上 的 一 把 椅 子 的 侧 面 图 ， 椅 子 高 为 AC， 椅 面 宽 为 BE， 椅 脚 高 为 ED，且 AC BE， AC CD， AC ED.从 点 A 测 得
17、 点 D、 E的 俯 角 分 别 为 64 和 53 .已 知 ED=35cm，求 椅 子 高 AC约 为 多 少 ？ (参 考 数 据 ： tan53 43 ， sin53 45 ， tan64 2， sin64 910 ) 解 析 ： 根 据 正 切 函 数 的 定 义 ， 可 得 方 程 ， 根 据 代 入 消 元 法 ， 可 得 答 案 .答 案 ： 在 Rt ABD中 ， tan ADC=tan64 = ACCD =2， CD= 2AC .在 Rt ABE中 tan ABE=tan53 = 43ABBE ， BE= 34 AB .BE=CD， 得 35 32 2 2 4AC AB D
18、E AB AB ， 解 得 AB=70cm，AC=AB+BC=AB+DE=70+35=105cm.21.某 校 以 “ 我 最 喜 爱 的 体 育 运 动 ” 为 主 题 对 全 校 学 生 进 行 随 机 抽 样 调 查 ， 调 查 的 运 动 项 目有 ： 篮 球 、 羽 毛 球 、 乒 乓 球 、 跳 绳 及 其 它 项 目 (每 位 同 学 仅 选 一 项 ).根 据 调 查 结 果 绘 制 了 如下 不 完 整 的 频 数 分 布 表 和 扇 形 统 计 图 ： 请 根 据 以 上 图 表 信 息 解 答 下 列 问 题 ：(1)频 数 分 布 表 中 的 m= ， n= ；(2)在
19、 扇 形 统 计 图 中 ， “ 乒 乓 球 ” 所 在 的 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 为 ；(3)从 选 择 “ 篮 球 ” 选 项 的 30名 学 生 中 ， 随 机 抽 取 3 名 学 生 作 为 代 表 进 行 投 篮 测 试 ， 则 其 中某 位 学 生 被 选 中 的 概 率 是 .解 析 ： (1)根 据 篮 球 的 人 数 和 所 占 的 百 分 比 求 出 总 人 数 ， 再 用 总 人 数 乘 以 羽 毛 球 所 占 的 百 分比 ， 求 出 m的 值 ； 再 用 乒 乓 球 的 人 数 除 以 总 人 数 ， 求 出 n的 值 ；(2)由 于 已 知 喜 欢 乒
20、 乓 球 的 百 分 比 ， 故 可 用 360 n 的 值 ， 即 可 求 出 对 应 的 扇 形 圆 心 角 的 度数 ；用 总 人 数 乘 以 最 喜 爱 篮 球 的 学 生 人 数 所 占 的 百 分 比 即 可 得 出 答 案 ；(3)用 随 机 抽 取 学 生 人 数 除 以 选 择 “ 篮 球 ” 选 项 的 学 生 人 数 ， 列 式 计 算 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： (1)30 0.25=120(人 )，120 0.2=24(人 )， 36 120=0.3.(2)360 0.3=108 .故 在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 乒 乓 球 ” 所 在 的 扇 形
21、的 圆 心 角 的 度 数 为 108 ；(3)3 30= 110 .故 其 中 某 位 学 生 被 选 中 的 概 率 是 110 .22.如 图 ， 正 方 形 ABCD中 ， M为 BC上 一 点 ， F是 AM的 中 点 ， EF AM， 垂 足 为 F， 交 AD的 延长 线 于 点 E， 交 DC 于 点 N. (1)求 证 ： ABM EFA；(2)若 AB=12， BM=5， 求 DE的 长 .解 析 ： (1)由 正 方 形 的 性 质 得 出 AB=AD， B=90 ， AD BC， 得 出 AMB= EAF， 再 由 B=AFE， 即 可 得 出 结 论 ；(2)由 勾
22、股 定 理 求 出 AM， 得 出 AF， 由 ABM EFA得 出 比 例 式 ， 求 出 AE， 即 可 得 出 DE 的 长 .答 案 ： (1) 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， AB=AD， B=90 ， AD BC， AMB= EAF，又 EF AM， AFE=90 ， B= AFE， ABM EFA.(2) B=90 ， AB=12， BM=5， AM= 2 212 5 =13， AD=12， F 是 AM 的 中 点 ， AF= 12 AM=6.5， ABM EFA， BM AMAF AE ， 即 5 136.5 AE ， AE=16.9， DE=AE-AD=4.9. 2
23、3.已 知 直 线 m n， 点 C是 直 线 m 上 一 点 ， 点 D 是 直 线 n 上 一 点 ， CD与 直 线 m、 n不 垂 直 ，点 P 为 线 段 CD 的 中 点 . (1)操 作 发 现 ： 直 线 l m， l n， 垂 足 分 别 为 A、 B， 当 点 A 与 点 C 重 合 时 (如 图 所 示 )， 连接 PB， 请 直 接 写 出 线 段 PA与 PB 的 数 量 关 系 ： .(2)猜 想 证 明 ： 在 图 的 情 况 下 ， 把 直 线 l向 上 平 移 到 如 图 的 位 置 ， 试 问 (1)中 的 PA 与 PB的 关 系 式 是 否 仍 然 成
24、立 ？ 若 成 立 ， 请 证 明 ； 若 不 成 立 ， 请 说 明 理 由 .(3)延 伸 探 究 ： 在 图 的 情 况 下 ， 把 直 线 l 绕 点 A 旋 转 ， 使 得 APB=90 (如 图 所 示 )， 若两 平 行 线 m、 n 之 间 的 距 离 为 2k.求 证 ： PA PB=k AB.解 析 ： (1)根 据 三 角 形 CBD 是 直 角 三 角 形 ， 而 且 点 P 为 线 段 CD的 中 点 ， 应 用 直 角 三 角 形 的 性质 ， 可 得 PA=PB， 据 此 解 答 即 可 .(2)首 先 过 C 作 CE n 于 点 E， 连 接 PE， 然 后
25、分 别 判 断 出 PC=PE、 PCA= PEB、 AC=BE； 然后 根 据 全 等 三 角 形 判 定 的 方 法 ， 判 断 出 PAC PBE， 即 可 判 断 出 PA=PB 仍 然 成 立 .(3)首 先 延 长 AP交 直 线 n 于 点 F， 作 AE BD于 点 E， 然 后 根 据 相 似 三 角 形 判 定 的 方 法 ， 判 断出 AEF BPF， 即 可 判 断 出 AF BP=AE BF， 再 个 AF=2PA， AE=2k， BF=AB， 可 得 2PA PB=2k AB，所 以 PA PB=k AB， 据 此 解 答 即 可 . 答 案 ： (1) l n，
26、BC BD， 三 角 形 CBD是 直 角 三 角 形 ，又 点 P 为 线 段 CD 的 中 点 ， PA=PB.(2)把 直 线 l 向 上 平 移 到 如 图 的 位 置 ， PA=PB 仍 然 成 立 ， 理 由 如 下 ：如 图 ， 过 C 作 CE n 于 点 E， 连 接 PE， 三 角 形 CED是 直 角 三 角 形 ， 点 P为 线 段 CD的 中 点 ， PD=PE， 又 点 P 为 线 段 CD 的 中 点 ， PC=PD， PC=PE； PD=PE， CDE= PEB， 直 线 m n， CDE= PCA， PCA= PEB，又 直 线 l m， l n， CE m，
27、 CE n， l CE， AC=BE，在 PAC和 PBE中 ， PC PEPCA PEBAC BE ， ， PAC PBE， PA=PB.(3)如 图 ， 延 长 AP交 直 线 n于 点 F， 作 AE BD于 点 E， 直 线 m n， 1AP PCPF PD ， AP=PF， APB=90 ， BP AF，又 AP=PF， BF=AB；在 AEF 和 BPF 中 ， 90AEF BPFAFE BFP ， AEF BPF， AF AEBF BP ， AF BP=AE BF， AF=2PA， AE=2k， BF=AB， 2PA PB=2k AB， PA PB=k AB.24.如 图 ， 抛
28、 物 线 y=ax 2+bx+c经 过 A(1， 0)、 B(4， 0)、 C(0， 3)三 点 .(1)求 抛 物 线 的 解 析 式 ； (2)如 图 ， 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 是 否 存 在 点 P， 使 得 四 边 形 PAOC 的 周 长 最 小 ？ 若 存 在 ， 求出 四 边 形 PAOC 周 长 的 最 小 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .(3)如 图 ， 点 Q 是 线 段 OB 上 一 动 点 ， 连 接 BC， 在 线 段 BC上 是 否 存 在 这 样 的 点 M， 使 CQM为 等 腰 三 角 形 且 BQM为 直 角 三 角 形 ？
29、若 存 在 ， 求 点 M 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)把 点 A(1， 0)、 B(4， 0)、 C(0， 3)三 点 的 坐 标 代 入 函 数 解 析 式 ， 利 用 待 定 系 数 法求 解 ；(2)A、 B 关 于 对 称 轴 对 称 ， 连 接 BC， 则 BC与 对 称 轴 的 交 点 即 为 所 求 的 点 P， 此 时 PA+PC=BC，四 边 形 PAOC的 周 长 最 小 值 为 ： OC+OA+BC； 根 据 勾 股 定 理 求 得 BC， 即 可 求 得 ；(3)分 两 种 情 况 分 别 讨 论 ， 即 可 求 得 .
30、答 案 ： (1)由 已 知 得 016 4 03a b cb cc ， ， 解 得 341543.abc ， ， 所 以 ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 y= 23 15 34 4x x .(2) A、 B关 于 对 称 轴 对 称 ， 如 图 1， 连 接 BC， BC 与 对 称 轴 的 交 点 即 为 所 求 的 点 P， 此 时 PA+PC=BC， 四 边 形 PAOC 的 周 长 最 小 值 为 ： OC+OA+BC， A(1， 0)、 B(4， 0)、 C(0， 3)， OA=1， OC=3， BC= 2 2OB OC =5， OC+OA+BC=1+3+5=9； 在 抛 物
31、线 的 对 称 轴 上 存 在 点 P， 使 得 四 边 形 PAOC 的 周 长 最 小 ， 四 边 形 PAOC周 长 的 最 小 值为 9.(3) B(4， 0)、 C(0， 3)， 直 线 BC 的 解 析 式 为 y=- 34 x+3， 当 BQM=90 时 ， 如 图 2， 设 M(a， b)， CMQ 90 ， 只 能 CM=MQ=b， MQ y 轴 ， MQB COB， BM MQBC OC ， 即 5 5 3b b ， 解 得 b=158 ， 代 入 y=- 34 x+3得 ， 158 =- 34 a+3， 解 得 a= 32 ， M( 32 ， 158 )； 当 QMB=9
32、0 时 ， 如 图 3， CMQ=90 ， 只 能 CM=MQ，设 CM=MQ=m， BM=5-m， BMQ= COB=90 ， MBQ= OBC， BMQ BOC， 53 4m m ， 解 得 m=157 ， 作 MN OB， MN CN CMOB OC BC ， 即 1574 3 5MN CN ， MN=127 ， CN= 97 ， ON=OC-CN=3- 97 =127 ， M(127 ， 127 )，综 上 ， 在 线 段 BC上 存 在 这 样 的 点 M， 使 CQM为 等 腰 三 角 形 且 BQM为 直 角 三 角 形 ， 点 M 的坐 标 为 ( 32 ， 158 )或 (127 ， 127 ).
