1、2015年 湖 北 省 黄 冈 市 红 安 县 西 河 中 学 中 考 模 拟 数 学一 、 选 择 题 ( 每 小 题 3 分 , 共 21 分 )1. 计 算 2( -2) =2 的 结 果 是 ( )A.-2B.2C.-4D.4解 析 : 直 接 利 用 二 次 根 式 的 性 质 化 简 求 出 即 可 .答 案 : B2.资 料 显 示 , 2015 年 “ 五 一 ” 全 国 实 现 旅 游 收 入 约 463 亿 元 , 用 科 学 记 数 法 表 示 463 亿 这 个 数 是 ( )A.463 108B.4.63 108C.4.63 1010D.0.463 1011解 析 :
2、 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 , 其 中 1 |a| 10, n 为 整 数 确 定 n 的 值时 , 要 看 把 原 数 变 成 a 时 , 小 数 点 移 动 了 多 少 位 , n的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 当原 数 绝 对 值 1时 , n 是 正 数 ; 当 原 数 的 绝 对 值 1 时 , n是 负 数 .答 案 : C3. 函 数 12 3y x 中 , 自 变 量 x 的 取 值 范 围 为 ( ) A.x 32B.x 32C.x 32 且 x 0D.x 32解 析 : 该 函 数 是 分 式 , 分 式
3、有 意 义 的 条 件 是 分 母 不 等 于 0, 故 分 母 2x-3 0, 解 得 x 32 .答 案 : B4. 若 x y, 则 下 列 式 子 中 错 误 的 是 ( ) A.x-3 y-3B.x+3 y+3C.-3x -3yD. 33x y解 析 : 根 据 不 等 式 的 性 质 : 不 等 式 两 边 加 ( 或 减 ) 同 一 个 数 ( 或 式 子 ) , 不 等 号 的 方 向 不 变 ; 不 等 式 两 边 乘 ( 或 除 以 ) 同 一 个 正 数 , 不 等 号 的 方 向 不 变 ; 不 等 式 两 边 乘 ( 或 除 以 ) 同 一 个负 数 , 不 等 号
4、的 方 向 改 变 故 选 : C.答 案 : C5. 下 列 方 程 没 有 实 数 根 的 是 ( )A.x2+4x=10B.3x2+8x-3=0C.x 2-2x+3=0D.( x-2) ( x-3) =12解 析 : A、 方 程 变 形 为 : x2+4x-10=0, =42-4 1 ( -10) =56 0, 所 以 方 程 有 两 个 不 相 等的 实 数 根 , 故 A选 项 不 符 合 题 意 ;B、 =82-4 3 ( -3) =100 0, 所 以 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 , 故 B 选 项 不 符 合 题 意 ;C、 =( -2) 2-4 1 3=
5、-8 0, 所 以 方 程 没 有 实 数 根 , 故 C 选 项 符 合 题 意 ;D、 方 程 变 形 为 : x2-5x-6=0, =52-4 1 ( -6) =49 0, 所 以 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ,故 D 选 项 不 符 合 题 意 故 选 : C.答 案 : C6. 如 图 是 一 个 正 方 体 被 截 去 一 角 后 得 到 的 几 何 体 , 它 的 俯 视 图 是 ( ) A.B.C.D.解 析 : 俯 视 图 是 从 上 面 看 到 的 图 形 , 从 上 面 看 , 是 正 方 形 右 边 有 一 条 斜 线 , 故 选 : A. 答 案
6、: A7. 二 次 函 数 y=ax2+b( b 0) 与 反 比 例 函 数 ay x 在 同 一 坐 标 系 中 的 图 象 可 能 是 ( ) A.B.C. D.解 析 : A、 对 于 反 比 例 函 数 ay x 经 过 第 二 、 四 象 限 , 则 a 0, 所 以 抛 物 线 开 口 向 下 , 故 A选 项 错 误 ;B、 对 于 反 比 例 函 数 ay x 经 过 第 一 、 三 象 限 , 则 a 0, 所 以 抛 物 线 开 口 向 上 , b 0, 抛 物线 与 y轴 的 交 点 在 x轴 上 方 , 故 B选 项 正 确 ;C、 对 于 反 比 例 函 数 ay
7、x 经 过 第 一 、 三 象 限 , 则 a 0, 所 以 抛 物 线 开 口 向 上 , 故 C选 项 错误 ;D、 对 于 反 比 例 函 数 ay x 经 过 第 一 、 三 象 限 , 则 a 0, 所 以 抛 物 线 开 口 向 上 , 而 b 0, 抛 物 线 与 y轴 的 交 点 在 x轴 上 方 , 故 D选 项 错 误 故 选 : B答 案 : B二 、 填 空 题 ( 每 小 题 3 分 , 共 21 分 )8. a2-4a=解 析 : 由 于 原 式 子 中 含 有 公 因 式 a, 可 用 提 取 公 因 式 法 求 解 . a2-4a=a( a-4) 答 案 : a
8、( a-4) 9. 若 -2xm-ny2与 3x4y2m+n是 同 类 项 , 则 m-3n的 立 方 根 是解 析 : 若 -2xm-ny2与 3x4y2m+n是 同 类 项 , 42 2m nm n ,解 方 程 得 : 22mn m-3n=2-3 ( -2) =88的 立 方 根 是 2答 案 : 2 10. 不 等 式 组 1 32 3 0 xx 的 解 集 是解 析 : 1 32 3 0 xx ,解 得 : x 4,解 得 : x - 32 则 不 等 式 组 的 解 集 是 : - 32 x 4.答 案 : - 32 x 4 11.为 了 估 计 湖 里 有 多 少 条 鱼 , 我
9、 们 从 湖 里 捕 上 100条 做 上 标 记 , 然 后 放 回 湖 里 , 经 过 一 段时 间 待 带 标 记 的 鱼 完 全 混 合 于 鱼 群 中 后 , 第 二 次 捕 得 200条 , 发 现 其 中 带 标 记 的 鱼 8 条 , 通过 这 种 调 查 方 式 , 我 们 可 以 估 计 湖 里 有 鱼 条 .解 析 : 200条 鱼 , 发 现 带 有 记 号 的 鱼 只 有 8条 , 则 可 求 出 带 记 号 的 鱼 所 占 的 百 分 比 , 再 根 据带 记 号 的 总 计 有 100条 , 即 可 求 得 湖 里 鱼 的 总 条 数 . 100 ( 8 200
10、100%) =2500( 条 ) 答 案 : 250012.将 量 角 器 按 如 图 所 示 的 方 式 放 置 在 三 角 形 纸 板 上 , 使 点 C 在 半 圆 上 点 A、 B 的 读 数 分 别为 86 、 30 , 则 ACB的 大 小 为 解 析 : 设 半 圆 圆 心 为 O, 连 OA, OB, 如 图 , ACB= 12 AOB,而 AOB=86 -30 =56 , ACB= 12 56 =28 答 案 : 2813. 如 图 , 将 ABC放 在 每 个 小 正 方 形 的 边 长 为 1 的 网 格 中 , 点 A、 B、 C 均 落 在 格 点 上 , 用一 个
11、圆 面 去 覆 盖 ABC, 能 够 完 全 覆 盖 这 个 三 角 形 的 最 小 圆 面 的 半 径 是 解 析 : 如 图 所 示 :点 O 为 ABC外 接 圆 圆 心 , 则 AO 为 外 接 圆 半 径 ,故 能 够 完 全 覆 盖 这 个 三 角 形 的 最 小 圆 面 的 半 径 是 : 5 答 案 : 514. 若 直 线 y=m( m 为 常 数 ) 与 函 数 2 ( 2)24 ( 2)x xxx 的 图 象 恒 有 三 个 不 同 的 交 点 , 则 常 数 m的 取值 范 围 是解 析 : 如 图 所 示 : 当 x=2时 , y=2, 故 直 线 y=m( m 为
12、常 数 ) 与 函 数 2 ( 2)24 ( 2)x xxx 的 图 象 恒 有 三 个 不 同 的 交 点 ,则 常 数 m 的 取 值 范 围 是 : 0 m 2答 案 : 0 m 2三 、 解 答 题 ( 共 10 小 题 , 共 78 分 )15. 计 算 : |-3|+(-3) 2+(6- )0-( 12 )-1解 析 : 直 接 利 用 负 整 数 指 数 幂 的 性 质 和 绝 对 值 的 性 质 、 零 指 数 幂 的 性 质 化 简 各 数 进 而 求 出 .答 案 : 原 式 =3+9+1-2=11.16. 张 凯 同 学 到 邮 局 买 了 两 种 型 号 的 信 封 ,
13、 共 30 个 , 其 中 买 A 型 号 的 信 封 用 了 3 元 , 买 B型 号 的 信 封 用 了 2元 4角 , 其 中 B型 号 的 信 封 每 个 比 A 型 号 的 信 封 便 宜 4 分 两 种 型 号 的 信封 的 单 价 各 是 多 少 ?解 析 : 本 题 中 的 两 个 等 量 关 系 为 “ 两 种 型 号 的 信 封 共 30 个 ” 和 “ B 型 号 的 信 封 每 个 比 A 型号 的 信 封 便 宜 3分 ” , 根 据 这 两 个 等 量 关 系 可 以 设 出 未 知 数 并 列 出 方 程 .答 案 : 设 A型 号 信 封 单 价 是 x分 ,
14、依 题 意 得 :300 240 304x x , 解 得 x1=20, x2=2,经 检 验 x1=20, x2=2 都 是 原 方 程 的 根 ,因 为 x-4 0, 故 x=2不 符 合 实 际 情 况 , 舍 去 所 以 x=20, x-4=16答 : A型 号 信 封 单 价 是 2角 , B 型 号 信 封 单 价 是 1 角 6 分 .17. 如 图 , 正 方 形 ABCD 中 , 点 E 在 对 角 线 AC 上 , 连 接 EB、 ED ( 1) 求 证 : BCE DCE;( 2) 延 长 BE 交 AD 于 点 F, 若 DEB=140 , 求 AFE的 度 数 .解
15、析 : ( 1) 根 据 正 方 形 的 性 质 得 出 BC=DC, BCE= DCE=45 , 根 据 SAS推 出 即 可 ;( 2) 根 据 全 等 求 出 DEC= BEC=70 , 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出 FBC, 根 据 平 行 线 的 性质 求 出 即 可 .答 案 : ( 1) 正 方 形 ABCD中 , E 为 对 角 线 AC上 一 点 , BC=DC, BCE= DCE=45 ,在 BCE和 DCE中CE CEBCE DCEBC DC BCE DCE( SAS) ; ( 2) 由 全 等 可 知 , BEC= DEC= 12 DEB= 12 14
16、0 =70 , 在 BCE中 , CBE=180 -70 -45 =65 , 在 正 方 形 ABCD中 , AD BC, 有 AFE= CBE=65 .18. 如 图 , 已 知 双 曲 线 1y x 与 两 直 线 14y x , y=-kx( k 0, 且 k 14 ) 分 别 相 交 于A、 B、 C、 D四 点 ( 1) 当 点 C 的 坐 标 为 ( -1, 1) 时 , A、 B、 D 三 点 坐 标 分 别 是 A( , ) , B( , ) ,D( , ) ( 2) 证 明 : 以 点 A、 D、 B、 C为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ( 3) 当 k
17、为 何 值 时 , 平 行 四 边 形 ADBC是 矩 形 . 解 析 : ( 1) 由 C坐 标 , 利 用 反 比 例 函 数 的 中 心 对 称 性 确 定 出 D 坐 标 , 联 立 双 曲 线 1y x 与直 线 14y x , 求 出 A 与 B 坐 标 即 可 ;( 2) 由 反 比 例 函 数 为 中 心 对 称 图 形 , 利 用 中 心 对 称 性 质 得 到 OA=OB, OC=OD, 利 用 对 角 线 互相 平 分 的 四 边 形 为 平 行 四 边 形 即 可 得 证 ; ( 3) 由 A与 B坐 标 , 利 用 两 点 间 的 距 离 公 式 求 出 AB 的 长
18、 , 联 立 双 曲 线 1y x 与 直 线 y=-kx,表 示 出 CD 的 长 , 根 据 对 角 线 相 等 的 平 行 四 边 形 为 矩 形 , 得 到 AB=CD, 即 可 求 出 此 时 k 的 值 .答 案 : ( 1) C( -1, 1) , C, D 为 双 曲 线 1y x 与 直 线 y=-kx 的 两 个 交 点 , 且 双 曲 线 1y x为 中 心 对 称 图 形 , D( 1, -1) ,联 立 得 : 114y xy x ,消 去 y得 : 1 14 x x , 即 x 2=4,解 得 : x=2或 x=-2,当 x=2时 , y=- 12 ; 当 x=-2
19、时 , y= 12 , A( -2, 12 ) , B( 2, - 12 ) ;答 案 : -2, 12 , 2, - 12 , 1, -1;( 2) 双 曲 线 1y x 为 中 心 对 称 图 形 , 且 双 曲 线 1y x 与 两 直 线 14y x , y=-kx( k 0, 且 k 14 ) 分 别 相 交 于 A、 B、 C、 D四 点 , OA=OB, OC=OD,则 以 点 A、 D、 B、 C 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ;( 3) 若 平 行 四 边 形 ADBC是 矩 形 , 可 得 AB=CD,联 立 得 : 1y xy kx ,消 去 y得
20、: 1x =-kx, 即 x 2= 1k ,解 得 : x= 1k 或 x=- 1k ,当 x= 1k 时 , y=- k ; 当 x=- 1k 时 , y= k , C( - 1k , k ) , D( 1k , - k ) , 2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) ( 2 2) ( ) 172 2CD k k ABk k , 整 理 得 : ( 4k-1) ( k-4) =0,k1= 14 , k2=4,又 k 14 , k=4,则 当 k=4时 , 平 行 四 边 形 ADBC是 矩 形 .19. 在 一 个 不 透 明 的 布 袋 里 装 有 4 个 完 全 相 同 的 标 有
21、数 字 1、 2、 3、 4 的 小 球 小 明 从 布 袋里 随 机 取 出 一 个 小 球 , 记 下 数 字 为 x, 小 红 从 布 袋 里 剩 下 的 小 球 中 随 机 取 出 一 个 , 记 下 数 字为 y 计 算 由 x、 y 确 定 的 点 ( x, y) 在 函 数 y=-x+5的 图 象 上 的 概 率 .解 析 : 首 先 根 据 题 意 画 出 树 状 图 , 然 后 由 树 状 图 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 与 点 ( x, y) 在 函 数y=-x+5的 图 象 上 的 情 况 , 再 利 用 概 率 公 式 即 可 求 得 答 案 .答 案 :
22、画 树 状 图 得 : 共 有 等 可 能 的 结 果 12 种 : ( x, y) 为 ( 1, 2) 、 ( 1, 3) 、 ( 1, 4) 、 ( 2, 1) 、 ( 2, 3) 、 ( 2, 4) 、( 3, 1) 、 ( 3, 2) 、 ( 3, 4) 、 ( 4, 1) 、 ( 4, 2) 、 ( 4, 3) ; 其 中 ( x, y) 所 表 示 的 点 在 函 数 y=-x+5的 图 象 上 的 有 4种 , P( 点 ( x, y) 在 函 数 y=-x+5 的 图 象 上 ) = 4 112 3 .20. 如 图 : 已 知 AB是 O的 直 径 , BC是 O 的 切 线
23、 , OC与 O 相 交 于 点 D, 连 接 AD 并 延 长 ,与 BC 相 交 于 点 E( 1) 若 BC= 3 , CD=1, 求 O 的 半 径 ;( 2) 取 BE的 中 点 F, 连 接 DF, 求 证 : DF 是 O的 切 线 . 解 析 : ( 1) 先 设 O 的 半 径 为 r, 由 于 AB 是 O 的 直 径 , BC 是 O 的 切 线 , 根 据 切 线 性 质 可知 AB BC, 在 Rt OBC中 , 利 用 勾 股 定 理 可 得 ( r+1) 2=r2+( 3 ) 2, 解 得 r=1;( 2) 连 接 OF, 由 于 OA=OB, BF=EF, 可
24、知 OF是 BAE 的 中 位 线 , 那 么 OF AE, 于 是 A= 2,根 据 三 角 形 外 角 性 质 可 得 BOD=2 A, 易 证 1= 2, 而 OD=OB, OF=OF, 利 用 SAS可 证 OBF ODF, 那 么 ODF=OBF=90 , 于 是 OD DF,从 而 可 证 FD是 O 的 切 线 . 答 案 : ( 1) 设 O 的 半 径 为 r, AB 是 O的 直 径 , BC 是 O的 切 线 , AB BC,在 Rt OBC中 , OC2=OB2+CB2, ( r+1) 2=r2+( 3 ) 2,解 得 r=1, O的 半 径 为 1;( 2) 连 接
25、OF, OA=OB, BF=EF, OF 是 BAE的 中 位 线 , OF AE, A= 2,又 BOD=2 A, 1= 2,在 OBF和 ODF中 ,1 2OB ODOF OF OBF ODF, ODF= OBF=90 , 即 OD DF, FD 是 O的 切 线 .21.“ 知 识 改 变 命 运 , 科 技 繁 荣 祖 国 ” 我 区 中 小 学 每 年 都 要 举 办 一 届 科 技 比 赛 如 图 为 我 区某 校 2011年 参 加 科 技 比 赛 ( 包 括 电 子 百 拼 、 航 模 、 机 器 人 、 建 模 四 个 类 别 ) 的 参 赛 人 数 统计 图( 1) 该 校
26、 参 加 机 器 人 、 建 模 比 赛 的 人 数 分 别 是 人 和 人 ;( 2) 该 校 参 加 科 技 比 赛 的 总 人 数 是 人 , 电 子 百 拼 所 在 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 是 ,并 把 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ;( 3) 从 全 区 中 小 学 参 加 科 技 比 赛 选 手 中 随 机 抽 取 80人 , 其 中 有 32人 获 奖 今 年 我 区 中 小学 参 加 科 技 比 赛 人 数 共 有 2485人 , 请 你 估 算 今 年 参 加 科 技 比 赛 的 获 奖 人 数 约 是 多 少 人 ? 解 析 : ( 1) 由 图 知 参
27、加 机 器 人 、 建 模 比 赛 的 人 数 ;( 2) 参 加 建 模 的 有 6 人 , 占 总 人 数 的 25%, 根 据 总 人 数 =参 加 航 模 比 赛 的 人 数 25%, 算 出电 子 百 拼 比 赛 的 人 数 , 再 算 出 所 占 的 百 分 比 360 ;( 3) 先 求 出 随 机 抽 取 80人 中 获 奖 的 百 分 比 , 再 乘 以 我 市 中 小 学 参 加 科 技 比 赛 比 赛 的 总 人 数 .答 案 : ( 1) 由 条 形 统 计 图 可 得 : 该 校 参 加 机 器 人 、 建 模 比 赛 的 人 数 分 别 是 4人 , 6 人 ;答
28、案 : 4, 6( 2) 该 校 参 加 科 技 比 赛 的 总 人 数 是 : 6 25%=24,电 子 百 拼 所 在 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 是 : ( 24-6-6-4) 24 360 =120 ,答 案 : 24, 120 ( 3) 32 80=0.4,0.4 2485=994,答 : 今 年 参 加 科 技 比 赛 比 赛 的 获 奖 人 数 约 是 994人 .22. 如 图 , 一 台 起 重 机 , 他 的 机 身 高 AC 为 21m, 吊 杆 AB长 为 40m, 吊 杆 与 水 平 线 的 夹 角 BAD可 从 30 升 到 80 求 这 台 起 重 机 工
29、 作 时 , 吊 杆 端 点 B离 地 面 CE 的 最 大 高 度 和 离 机 身AC的 最 大 水 平 距 离 ( 结 果 精 确 到 0.1m)( 参 考 数 据 : sin80 0.98, cos80 0.17, tan33 5.67) . 解 析 : 当 BAD=30 时 , 吊 杆 端 点 B 离 机 身 AC的 水 平 距 离 最 大 ; 当 B AD=80 时 , 吊 杆端 点 B 离 地 面 CE的 高 度 最 大 作 BF AD 于 F, B G CE 于 G, 交 AD于 F , 在 Rt BAF中 , AFcos BAF AB 可 求 出 AF的 长 , 在 Rt B
30、AF 中 由 B Fsin B AF AB 可 得 出 BF 的 长 .答 案 : 如 图 , 当 BAD=30 时 , 吊 杆 端 点 B离 机 身 AC的 水 平 距 离 最 大 ;当 B AD=80 时 , 吊 杆 端 点 B 离 地 面 CE的 高 度 最 大 作 BF AD 于 F, B G CE于 G, 交 AD于 F 在 Rt BAF中 , AFcos BAF AB , AF=AB cos BAF=40 cos30 34.6( m) 在 Rt B AF 中 , B Fsin B AF AB , B F =AB sin B AF =40 sin80 39.2( m) B G=B F
31、 +F G=60.2( m) 答 : 吊 杆 端 点 B离 地 面 CE的 最 大 高 度 为 60.2 m, 离 机 身 AC 的 最 大 水 平 距 离 为 34.6m.23. 某 店 因 为 经 营 不 善 欠 下 38400 元 的 无 息 贷 款 的 债 务 , 想 转 行 经 营 服 装 专 卖 店 又 缺 少 资 金 “ 中 国 梦 想 秀 ” 栏 目 组 决 定 借 给 该 店 30000元 资 金 , 并 约 定 利 用 经 营 的 利 润 偿 还 债 务 ( 所有 债 务 均 不 计 利 息 ) 已 知 该 店 代 理 的 品 牌 服 装 的 进 价 为 每 件 40 元
32、, 该 品 牌 服 装 日 销 售 量 y( 件 ) 与 销 售 价 x( 元 /件 ) 之 间 的 关 系 可 用 图 中 的 一 条 折 线 ( 实 线 ) 来 表 示 该 店 应 支 付 员 工 的 工 资 为 每 人 每 天 82元 , 每 天 还 应 支 付 其 它 费 用 为 106 元 ( 不 包 含 债 务 ) ( 1) 求 日 销 售 量 y( 件 ) 与 销 售 价 x( 元 /件 ) 之 间 的 函 数 关 系 式 ;( 2) 若 该 店 暂 不 考 虑 偿 还 债 务 , 当 某 天 的 销 售 价 为 48元 /件 时 , 当 天 正 好 收 支 平 衡 ( 收 人
33、=支 出 ) , 求 该 店 员 工 的 人 数 ;( 3) 若 该 店 只 有 2 名 员 工 , 则 该 店 最 早 需 要 多 少 天 能 还 清 所 有 债 务 , 此 时 每 件 服 装 的 价 格应 定 为 多 少 元 ? 解 析 : ( 1) 根 据 待 定 系 数 法 , 可 得 函 数 解 析 式 ;( 2) 根 据 收 入 等 于 指 出 , 可 得 一 元 一 次 方 程 , 根 据 解 一 元 一 次 方 程 , 可 得 答 案 ;( 3) 分 类 讨 论 40 x 58, 或 58 x 71, 根 据 收 入 减 去 支 出 大 于 或 等 于 债 务 , 可 得 不
34、 等 式 ,根 据 解 不 等 式 , 可 得 答 案 .答 案 : ( 1) 当 40 x 58时 , 设 y与 x的 函 数 解 析 式 为 y=k1x+b1, 由 图 象 可 得1 11 140 6058 24k bk b ,解 得 11 40kb -2 1 y=-2x+140当 58 x 71 时 , 设 y 与 x 的 函 数 解 析 式 为 y=k 2x+b2, 由 图 象 得2 22 258 2471 11k bk b ,解 得 22kb -1 82 , y=-x+82,综 上 所 述 : ( )2 140 40 5882 58 71( )x xy x x ;( 2) 设 人 数
35、 为 a, 当 x=48时 , y=-2 48+140=44, ( 48-40) 44=106+82a,解 得 a=3;( 3) 设 需 要 b 天 , 该 店 还 清 所 有 债 务 , 则 :b( x-40) y-82 2-106 68400, 6840040 82 2 106b x y ,当 40 x 58 时 , 268400 6840040 2 140 270 2 220 5870b x x x x , 220 552 2x 时 , -2x2+220 x-5870的 最 大 值 为 180, 68400180b , 即 b 380;当 58 x 71 时 , 268400 68400
36、40 82 270 122 3550b x x x x , 当 122 612 1x 时 , -x2+122x-3550的 最 大 值 为 171, 68400171b , 即 b 400综 合 两 种 情 形 得 b 380, 即 该 店 最 早 需 要 380天 能 还 清 所 有 债 务 , 此 时 每 件 服 装 的 价 格 应定 为 55元 .24. 如 图 , 抛 物 线 与 x轴 交 于 A( x 1, 0) , B( x2, 0) 两 点 , 且 x1 x2, 与 y 轴 交 于 点 C( 0,4) , 其 中 x1, x2是 方 程 x2-2x-8=0 的 两 个 根 ( 1
37、) 求 这 条 抛 物 线 的 解 析 式 ;( 2) 点 P 是 线 段 AB上 的 动 点 , 过 点 P作 PE AC, 交 BC 于 点 E, 连 接 CP, 当 CPE的 面 积最 大 时 , 求 点 P的 坐 标 ;( 3) 探 究 : 若 点 Q是 抛 物 线 对 称 轴 上 的 点 , 是 否 存 在 这 样 的 点 Q, 使 QBC成 为 等 腰 三 角 形 ?若 存 在 , 请 直 接 写 出 所 有 符 合 条 件 的 点 Q 的 坐 标 ; 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 . 解 析 : ( 1) 先 通 过 解 方 程 求 出 A, B 两 点 的 坐 标 ,
38、 然 后 根 据 A, B, C三 点 的 坐 标 , 用 待 定 系数 法 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ( 2) 本 题 要 通 过 求 CPE的 面 积 与 P 点 横 坐 标 的 函 数 关 系 式 而 后 根 据 函 数 的 性 质 来 求 CPE 的 面 积 的 最 大 值 以 及 对 应 的 P 的 坐 标 CPE 的 面 积 无 法 直 接 表 示 出 , 可 用 CPB 和 BEP的 面 积 差 来 求 , 设 出 P 点 的 坐 标 , 即 可 表 示 出 BP 的 长 , 可 通 过 相 似 三 角 形 BEP 和 BAC求 出 BEP中 BP边 上 的 高 , 然
39、 后 根 据 三 角 形 面 积 计 算 方 法 即 可 得 出 CEP的 面 积 , 然 后 根据 上 面 分 析 的 步 骤 即 可 求 出 所 求 的 值 ( 3) 本 题 要 分 三 种 情 况 进 行 讨 论 : QC=BC, 那 么 Q 点 的 纵 坐 标 就 是 C 点 的 纵 坐 标 减 去 或 加 上 BC的 长 由 此 可 得 出 Q 点 的 坐 标 QB=BC, 此 时 Q, C关 于 x 轴 对 称 , 据 此 可 求 出 Q 点 的 坐 标 QB=QC, Q 点 在 BC 的 垂 直 平 分 线 上 , 可 通 过 相 似 三 角 形 来 求 出 QC 的 长 , 进
40、 而 求 出 Q 点 的坐 标 .答 案 : ( 1) x 2-2x-8=0, ( x-4) ( x+2) =0 x1=4, x2=-2 A( 4, 0) , B( -2, 0) 又 抛 物 线 经 过 点 A、 B、 C, 设 抛 物 线 解 析 式 为 y=ax2+bx+c( a 0) , 416 4 04 2 0c a b ca b c 1214abc 所 求 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=- 12 x2+x+4( 2) 设 P 点 坐 标 为 ( m, 0) , 过 点 E 作 EG x 轴 于 点 G 点 B坐 标 为 ( -2, 0) , 点 A坐 标 ( 4, 0) , A
41、B=6, BP=m+2 PE AC, BPE BAC EGBPAB CO 24 6EG m 2 43mEG S CPE=S CBP-S EBP= 12 BP CO- 12 BP EG S CPE= 12 ( m+2) ( 4- 2 43m )=- 13 m 2+ 23 m+ 83 S CPE=- 13 ( m-1) 2+3又 -2 m 4, 当 m=1时 , S CPE有 最 大 值 3此 时 P点 的 坐 标 为 ( 1, 0) ( 3) 存 在 Q 点 , BC=2 5 ,设 Q( 1, n) ,当 BQ=CQ 时 , 则 32+n2=12+( n-4) 2,解 得 : n=1,即 Q1( 1, 1) ;当 BC=BQ=2 5 时 , 9+n2=20,解 得 : n= 11, Q 2( 1, 11) , Q3( 1, - 11 ) ;当 BC=CQ=2 5 时 , 1+( n-4) 2=20,解 得 : n=4 19 , Q4( 1, 4+ 19 ) , Q5( 1, 4- 19 ) 综 上 可 得 : 坐 标 为 Q 1( 1, 1) , Q2( 1, 11 ) , Q3( 1, - 11 ) , Q4( 1, 4+ 19 ) , Q5( 1,4- 19 ) .