1、2015年 湖 北 省 鄂 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (每 小 题 3 分 ， 共 30分 )1.(3分 )- 13 的 倒 数 是 ( )A. 13B.3C.-3D. 13解 析 ： - 13 的 倒 数 是 - =-3. 答 案 ： C.2.(3分 )某 小 区 居 民 王 先 生 改 进 用 水 设 施 ， 在 5年 内 帮 助 他 居 住 小 区 的 居 民 累 计 节 水 39400吨 ， 将 39400 用 科 学 记 数 法 表 示 (结 果 保 留 2 个 有 效 数 字 )应 为 ( )A.3.9 104B.3.94 104C.39.4 103D.4.
2、0 10 4解 析 ： 39 400 3.9 104.答 案 ： A.3.(3分 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.a4 a2=a8B.(a2)4=a6C.(ab) 2=ab2D.2a3 a=2a2解 析 ： A、 a4 a2=a6， 故 错 误 ；B、 (a2)4=a8， 故 错 误 ；C、 (ab)2=a2b2， 故 错 误 ；D、 正 确 ；答 案 ： D.4.(3分 )为 了 解 某 社 区 居 民 的 用 电 情 况 ， 随 机 对 该 社 区 10户 居 民 进 行 调 查 ， 下 表 是 这 10户居 民 2015 年 4 月 份 用 电 量 的 调 查 结 果 ： 那
3、 么 关 于 这 10 户 居 民 月 用 电 量 (单 位 ： 度 )， 下 列 说 法 错 误 的 是 ( )A.中 位 数 是 50B.众 数 是 51C.方 差 是 42 D.极 差 是 21解 析 ： 10 户 居 民 2015年 4 月 份 用 电 量 为 30， 42， 42， 50， 50， 50， 51， 51， 51， 51，平 均 数 为 110 (30+42+42+50+50+50+51+51+51+51)=46.8，中 位 数 为 50； 众 数 为 51， 极 差 为 51-30=21， 方 差 为 110(30-46.8)2+2(42-46.8)2+3(50-46
4、.8)2+4(51-46.8)2=42.96.答 案 ： C.5.(3分 )如 图 所 示 的 几 何 体 是 由 一 些 正 方 体 组 合 而 成 的 立 体 图 形 ， 则 这 个 几 何 体 的 俯 视 图 是( ) A.B.C.D.解 析 ： 从 上 面 看 易 得 左 侧 有 2个 正 方 形 ， 右 侧 有 一 个 正 方 形 .答 案 ： A. 6.(3分 )如 图 ， AB CD， EF 与 AB、 CD 分 别 相 交 于 点 E、 F， EP EF， 与 EFD的 平 分 线 FP相 交 于 点 P， 且 BEP=50 ， 则 EPF=( )度 .A.70B.65C.60
5、D.55解 析 ： 如 图 所 示 ， EP EF， PEF=90 ， BEP=50 ， BEF= BEP+ PEF=140 ， AB CD， BEF+ EFD=180 ， EFD=40 ， FP 平 分 EFD， =20 ， PEF+ EFP+ EPF=180 ， EPF=70 .答 案 ： A. 7.(3分 )如 图 ， 直 线 y=x-2 与 y 轴 交 于 点 C， 与 x 轴 交 于 点 B， 与 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 在第 一 象 限 交 于 点 A， 连 接 OA.若 S AOB： S BOC=1： 2， 则 k 的 值 为 ( )A.2B.3C.4 D.6解 析
6、 ： 直 线 y=x-2与 y轴 交 于 点 C， 与 x轴 交 于 点 B， C(0， -2)， B(2， 0)， S BOC= 12 OB OC= 12 2 2=2， S AOB： S BOC=1： 2， S AOB= 12 S BOC=1， 12 2 yA=1， yA=1， 把 y=1代 入 y=x-2，得 1=x-2， 解 得 x=3， A(3， 1). 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 过 点 A， k=3 1=3.答 案 ： B.8.(3分 )如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， AB=8， BC=12， 点 E是 BC的 中 点 ， 连 接 AE， 将 ABE沿 AE折 叠
7、 ， 点 B落 在 点 F处 ， 连 接 FC， 则 sin ECF=( ) A.B.C.D.解 析 ： 过 E作 EH CF于 H， 由 折 叠 的 性 质 得 ： BE=EF， BEA= FEA， 点 E是 BC的 中 点 ， CE=BE， EF=CE， FEH= CEH， AEB+ CEH=90 ，在 矩 形 ABCD中 ， B=90 ， BAE+ BEA=90 ， BAE= CEH， B= EHC， ABE EHC， ， ，答 案 ： D.9.(3分 )甲 、 乙 两 车 从 A城 出 发 匀 速 行 驶 至 B 城 .在 整 个 行 驶 过 程 中 ， 甲 、 乙 两 车 离 开 A
8、 城的 距 离 y(千 米 )与 甲 车 行 驶 的 时 间 t(小 时 )之 间 的 函 数 关 系 如 图 所 示 .则 下 列 结 论 ： A， B两 城 相 距 300千 米 ； 乙 车 比 甲 车 晚 出 发 1 小 时 ， 却 早 到 1小 时 ； 乙 车 出 发 后 2.5小 时 追 上 甲 车 ； 当 甲 、 乙 两 车 相 距 50 千 米 时 ， t= 或 .其 中 正 确 的 结 论 有 ( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解 析 ： 由 图 象 可 知 A、 B 两 城 市 之 间 的 距 离 为 300km， 甲 行 驶 的 时 间 为 5小 时 ， 而 乙 是
9、在 甲出 发 1小 时 后 出 发 的 ， 且 用 时 3 小 时 ， 即 比 甲 早 到 1小 时 ， 都 正 确 ；设 甲 车 离 开 A 城 的 距 离 y与 t的 关 系 式 为 y 甲 =kt，把 (5， 300)代 入 可 求 得 k=60， y 甲 =60t，设 乙 车 离 开 A 城 的 距 离 y与 t的 关 系 式 为 y 乙 =mt+n，把 (1， 0)和 (4， 300)代 入 可 得 ， 解 得 ， y 乙 =100t-100，令 y 甲 =y 乙 可 得 ： 60t=100t-100， 解 得 t=2.5，即 甲 、 乙 两 直 线 的 交 点 横 坐 标 为 t=
10、2.5，此 时 乙 出 发 时 间 为 1.5小 时 ， 即 乙 车 出 发 1.5小 时 后 追 上 甲 车 ， 不 正 确 ；令 |y 甲 -y 乙 |=50， 可 得 |60t-100t+100|=50， 即 |100-40t|=50，当 100-40t=50 时 ， 可 解 得 t= ， 当 100-40t=-50时 ， 可 解 得 t= ， 正 确 ；综 上 可 知 正 确 的 有 共 三 个 ，答 案 ： C.10.(3分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 正 方 形 A1B1C1D1、 D1E1E2B2、 A2B2C2D2、 D2E3E4B3、 A3B3C3D3 按 如图
11、 所 示 的 方 式 放 置 ， 其 中 点 B 1在 y轴 上 ， 点 C1、 E1、 E2、 C2、 E3、 E4、 C3 在 x轴 上 ， 已 知 正方 形 A1B1C1D1的 边 长 为 1， B1C1O=60 ， B1C1 B2C2 B3C3 则 正 方 形 A2015B2015C2015D2015的 边 长 是( ) A.( )2014B.( )2015C.( )2015D.( )2014解 析 ： 如 图 所 示 ： 正 方 形 A 1B1C1D1的 边 长 为 1， B1C1O=60 ， B1C1 B2C2 B3C3 D1E1=B2E2， D2E3=B3E4， D1C1E1=
12、C2B2E2= C3B3E4=30 ， D1E1=C1D1sin30 = ， 则 B2C2= = =( )1，同 理 可 得 ： B3C3= =( )2，故 正 方 形 A nBnCnDn的 边 长 是 ： ( )n-1.则 正 方 形 A2015B2015C2015D2015的 边 长 是 ： ( )2014.答 案 ： D.二 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 ， 共 18分 )11.(3分 )若 使 二 次 根 式 有 意 义 ， 则 x 的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 二 次 根 式 有 意 义 ， 2x-4 0，解 得 x 2.故 答 案 为 ： x 2.12.(3分 )
13、分 解 因 式 ： a3b-4ab=_.解 析 ： 原 式 =ab(a2-4)=ab(a+2)(a-2)，故 答 案 为 ： ab(a+2)(a-2)13.(3分 )下 列 命 题 中 正 确 的 个 数 有 _个 . 如 果 单 项 式 3a 4byc与 2axb3cz是 同 类 项 ， 那 么 x=4， y=3， z=1； 在 反 比 例 函 数 y= 中 ， y随 x的 增 大 而 减 小 ； 要 了 解 一 批 炮 弹 的 杀 伤 半 径 ， 适 合 用 普 查 方 式 ； 从 -3， -2， 2， 3 四 个 数 中 任 意 取 两 个 数 分 别 作 为 k， b的 值 ， 则 直
14、 线 y=kx+b 经 过 第 一 、二 、 三 象 限 的 概 率 是 .解 析 ： 由 同 类 项 的 定 义 可 知 ： x=4， y=3， z=1， 故 正 确 ； k=3 0 函 数 图 象 在 “ 每 个 分 支 上 ” y随 x的 增 大 而 减 小 ， 故 错 误 ； 具 有 破 坏 性 的 调 查 不 适 合 普 查 ， 故 错 误 ； 画 树 状 图 得 ： 共 12 中 情 况 ， 当 k 0， b 0时 ， 一 次 函 数 y=kx+b 的 图 象 经 过 第 一 、 二 、 三 象 限 ， 故 符 合条 件 的 有 2个 . 一 次 函 数 y=kx+b 的 图 象
15、经 过 第 一 、 二 、 三 象 限 的 概 率 是 ： .故 填 ： 2.14.(3分 )圆 锥 体 的 底 面 周 长 为 6 ， 侧 面 积 为 12 ， 则 该 圆 锥 体 的 高 为 _.解 析 ： 让 周 长 除 以 2 即 为 圆 锥 的 底 面 半 径 ； 根 据 圆 锥 的 侧 面 积 = 侧 面 展 开 图 的 弧 长 母 线 长 可 得 圆 锥 的 母 线 长 ， 利 用 勾 股 定 理 可 得 圆 锥 的 高 .答 案 ： 圆 锥 的 底 面 周 长 为 6 ， 圆 锥 的 底 面 半 径 为 6 2 =3， 圆 锥 的 侧 面 积 = 侧 面 展 开 图 的 弧 长
16、 母 线 长 ， 母 线 长 =2 12 (6 )=4， 这 个 圆 锥 的 高 是 ， 故 答 案 为 ： .15.(3分 )已 知 点 P是 半 径 为 1的 O外 一 点 ， PA切 O于 点 A， 且 PA=1， AB是 O的 弦 ， AB= ，连 接 PB， 则 PB=_.解 析 ： 本 题 应 分 两 种 情 况 进 行 讨 论 ：(1)如 图 1， 可 以 根 据 已 知 条 件 证 明 POA POB， 然 后 即 可 求 出 PB；(2)如 图 2， 此 时 可 以 根 据 已 知 条 件 证 明 PABO 是 平 行 四 边 形 ， 然 后 利 用 平 行 四 边 形 的
17、性 质 和勾 股 定 理 即 可 求 出 PB.答 案 ： 连 接 OA，(1)如 图 1， 连 接 OA， PA=AO=1， OA=OB， PA 是 的 切 线 ， AOP=45 OA=OB， BOP= AOP=45 ，在 POA与 POB中 ， ， POA POB， PB=PA=1；(2)如 图 2， 连 接 OA， 与 PB 交 于 C， PA 是 O的 切 线 ， OA PA，而 PA=AO=， 1 OP= 2 ； AB= 2 ，而 OA=OB=1， AO BO， 四 边 形 PABO 是 平 行 四 边 形 ， PB， AO 互 相 平 分 ；设 AO 交 PB与 点 C，即 OC=
18、 12 ， BC= 52 ， PB= 5 .故 答 案 为 ： 1 或 5 .16.(3分 )如 图 ， AOB=30 ， 点 M、 N 分 别 是 射 线 OA、 OB上 的 动 点 ， OP 平 分 AOB， 且 OP=6， 当 PMN的 周 长 取 最 小 值 时 ， 四 边 形 PMON的 面 积 为 _.解 析 ： 设 点 P关 于 OA 的 对 称 点 为 C， 关 于 OB的 对 称 点 为 D， 当 点 M、 N 在 CD 上 时 ， PMN的 周 长 最 小 ， 此 时 COD是 等 边 三 角 形 ， 求 得 三 角 形 PMN和 COD的 面 积 ， 根 据 四 边 形
19、PMON的 面 积 为 ： 12 ( S COD+S PMN)求 得 即 可 .答 案 ： 分 别 作 点 P 关 于 OA、 OB的 对 称 点 C、 D， 连 接 CD， 分 别 交 OA、 OB于 点 M、 N， 连 接 OP、OC、 OD、 PM、 PN. 点 P关 于 OA 的 对 称 点 为 C， 关 于 OB的 对 称 点 为 D， PM=CM， OP=OC， COA= POA； 点 P关 于 OB 的 对 称 点 为 D， PN=DN， OP=OD， DOB= POB， OC=OD=OP=6， COD= COA+ POA+ POB+ DOB=2 POA+2 POB=2 AOB=
20、60 ， COD是 等 边 三 角 形 ， CD=OC=OD=6. POC= POD， OP CD， OQ=6 =3 3 ， PQ=6-3 ，设 MQ=x， 则 PM=CM=3-x， (3-x)2-x2=(6-3 3 )2， 解 得 x=6 3 -9， S PMN= 12 MN PQ=MQ PQ=(6 3 -9) (6-3 3 )=63 3 -108， S COD= 12 3 3 6=9 3 ， 四 边 形 PMON 的 面 积 为 ： ( S COD+S PMN)= 12 (72 3 -108)=36 3 -54.故 答 案 为 36 3 -54.三 、 解 答 题 (17-20每 题 8
21、分 ， 21-22 每 题 9分 ， 23题 10 分 ， 24 题 12 分 ， 共 72分 )17.(8分 )先 化 简 ， 再 求 值 ： ， 其 中 a= 2 -1. 解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 加 法 法 则 计 算 ， 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约分 得 到 最 简 结 果 ， 把 a的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： 原 式 = ，当 a= 2 -1 时 ， 原 式 = .18.(8分 )如 图 ， 在 正 方 形 ABCD的 外 侧 ， 作 等 边 三 角 形 ADE， 连 接 BE
22、， CE. (1)求 证 ： BE=CE.(2)求 BEC的 度 数 .解 析 ： (1)根 据 正 方 形 的 性 质 ， 可 得 AB=AD=CD， BAD= ADC=90 ， 根 据 正 三 角 形 的 性 质 ，可 得 AE=AD=DE， EAD= EDA=60 ， 根 据 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ， 可 得 答 案 ；(2)根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 ， ABE= AEB， 根 据 三 角 形 的 内 角 和 定 理 ， 可 得 AEB， 根 据 角的 和 差 ， 可 得 答 案 .答 案 ： (1)证 明 ： 四 边 形 ABCD为 正 方 形 AB
23、=AD=CD， BAD= ADC=90 三 角 形 ADE为 正 三 角 形 AE=AD=DE， EAD= EDA=60 BAE= CDE=150在 BAE和 CDE中 ， BAE CDE BE=CE；(2) AB=AD， AD=AE， AB=AE， ABE= AEB，又 BAE=150 ， ABE= AEB=15 ， 同 理 ： CED=15 BEC=60 -15 2=30 .19.(8分 )八 年 级 (1)班 学 生 在 完 成 课 题 学 习 “ 体 质 健 康 测 试 中 的 数 据 分 析 ” 后 ， 利 用 课 外 活动 时 间 积 极 参 加 体 育 锻 炼 ， 每 位 同 学
24、 从 篮 球 、 跳 绳 、 立 定 跳 远 、 长 跑 、 铅 球 中 选 一 项 进 行 训练 ， 训 练 后 都 进 行 了 测 试 .现 将 项 目 选 择 情 况 及 训 练 后 篮 球 定 时 定 点 投 篮 测 试 成 绩 整 理 后 作出 如 下 统 计 图 . 请 你 根 据 上 面 提 供 的 信 息 回 答 下 列 问 题 ：(1)扇 形 图 中 跳 绳 部 分 的 扇 形 圆 心 角 为 _度 ， 该 班 共 有 学 生 _人 ， 训 练 后 篮 球 定 时 定点 投 篮 平 均 每 个 人 的 进 球 数 是 _.(2)老 师 决 定 从 选 择 铅 球 训 练 的
25、3 名 男 生 和 1 名 女 生 中 任 选 两 名 学 生 先 进 行 测 试 ， 请 用 列 表或 画 树 形 图 的 方 法 求 恰 好 选 中 两 名 男 生 的 概 率 .解 析 ： (1)跳 绳 部 分 的 圆 心 角 的 度 数 用 周 角 乘 以 跳 绳 部 分 所 占 的 百 分 比 即 可 ； 总 人 数 用 用 篮球 的 总 人 数 除 以 其 所 占 的 百 分 比 即 可 求 得 总 人 数 ；(2)列 树 状 图 将 所 有 等 可 能 的 结 果 列 举 出 来 后 利 用 概 率 公 式 求 解 即 可 .答 案 ： (1)扇 形 图 中 跳 绳 部 分 的
26、扇 形 圆 心 角 为 360 (1-50%-20%-10%-10%)=36 度 ；该 班 共 有 学 生 (2+5+7+4+1+1) 50%=40人 ；训 练 后 篮 球 定 时 定 点 投 篮 平 均 每 个 人 的 进 球 数 是 ，故 答 案 为 ： 36， 40， 5. (2)三 名 男 生 分 别 用 A1， A2， A3表 示 ， 一 名 女 生 用 B 表 示 .根 据 题 意 ， 可 画 树 形 图 如 下 ： 由 上 图 可 知 ， 共 有 12种 等 可 能 的 结 果 ， 选 中 两 名 学 生 恰 好 是 两 名 男 生 (记 为 事 件 M)的 结 果有 6 种 ，
27、 P(M)= 612 = 12 .20.(8分 )关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2+(2k+1)x+k2+1=0有 两 个 不 等 实 根 x1， x2.(1)求 实 数 k 的 取 值 范 围 .(2)若 方 程 两 实 根 x 1， x2满 足 |x1|+|x2|=x1 x2， 求 k的 值 .解 析 ： (1)根 据 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 可 得 =(2k+1)2-4(k2+1)=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3 0，求 出 k的 取 值 范 围 ；(2)首 先 判 断 出 两 根 均 小 于 0， 然 后 去 掉 绝 对 值 ， 进 而 得 到
28、 2k+1=k2+1， 结 合 k 的 取 值 范 围 解方 程 即 可 .答 案 ： (1) 原 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， =(2k+1)2-4(k2+1)=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3 0，解 得 ： k 34 ；(2) k 34 ， x 1+x2=-(2k+1) 0，又 x1 x2=k2+1 0， x1 0， x2 0， |x1|+|x2|=-x1-x2=-(x1+x2)=2k+1， |x1|+|x2|=x1 x2， 2k+1=k2+1， k1=0， k2=2，又 k 34 ， k=2.21.(9分 )如 图 ， 某 数 学 兴 趣 小 组 在 活 动
29、 课 上 测 量 学 校 旗 杆 的 高 度 .已 知 小 亮 站 着 测 量 ， 眼 睛与 地 面 的 距 离 (AB)是 1.7米 ， 看 旗 杆 顶 部 E的 仰 角 为 30 ； 小 敏 蹲 着 测 量 ， 眼 睛 与 地 面 的 距 离 (CD)是 0.7米 ， 看 旗 杆 顶 部 E的 仰 角 为 45 .两 人 相 距 5米 且 位 于 旗 杆 同 侧 (点 B、 D、 F在 同 一 直 线 上 ). (1)求 小 敏 到 旗 杆 的 距 离 DF.(结 果 保 留 根 号 )(2)求 旗 杆 EF 的 高 度 .(结 果 保 留 整 数 ， 参 考 数 据 ： 2 1.4， 3
30、 1.7)解 析 ： (1)过 点 A 作 AM EF 于 点 M， 过 点 C作 CN EF于 点 N.设 CN=x， 分 别 表 示 出 EM、 AM的 长 度 ， 然 后 在 Rt AEM中 ， 根 据 tan EAM= 33 ， 代 入 求 解 即 可 ；(2)根 据 (1)求 得 的 结 果 ， 可 得 EF=DF+CD， 代 入 求 解 .答 案 ： (1)过 点 A 作 AM EF 于 点 M， 过 点 C作 CN EF于 点 N， 设 CN=x，在 Rt ECN中 ， ECN=45 ， EN=CN=x， EM=x+0.7-1.7=x-1， BD=5， AM=BF=5+x，在 R
31、t AEM中 ， EAM=30 = 33 ， x-1= 33 (x+5)，解 得 ： x=4+3 3 ，即 DF=(4+3 3 )(米 )；(2)由 (1)得 ：EF=x+0.7=4+ +0.7=4+3 1.7+0.7=9.8 10(米 ).22.(9分 )如 图 ， 在 ABC中 ， AB=AC， AE是 BAC的 平 分 线 ， ABC的 平 分 线 BM交 AE于 点M， 点 O 在 AB 上 ， 以 点 O为 圆 心 ， OB 的 长 为 半 径 的 圆 经 过 点 M， 交 BC 于 点 G， 交 AB于 点 F. (1)求 证 ： AE为 O 的 切 线 .(2)当 BC=8， A
32、C=12 时 ， 求 O的 半 径 .(3)在 (2)的 条 件 下 ， 求 线 段 BG的 长 .解 析 ： (1)连 接 OM.利 用 角 平 分 线 的 性 质 和 平 行 线 的 性 质 得 到 AE OM后 即 可 证 得 AE 是 O的 切 线 ；(2)设 O 的 半 径 为 R， 根 据 OM BE， 得 到 OMA BEA， 利 用 平 行 线 的 性 质 得 到 ，即 可 解 得 R=3， 从 而 求 得 O 的 半 径 为 3；(3)过 点 O 作 OH BG 于 点 H， 则 BG=2BH， 根 据 OME= MEH= EHO=90 ， 得 到 四 边 形 OMEH是 矩
33、 形 ， 从 而 得 到 HE=OM=3和 BH=1， 证 得 结 论 BG=2BH=2.答 案 ： (1)证 明 ： 连 接 OM. AC=AB， AE平 分 BAC， AE BC， CE=BE= 12 BC=4， OB=OM， OBM= OMB， BM 平 分 ABC， OBM= CBM， OMB= CBM， OM BC又 AE BC， AE OM， AE 是 O的 切 线 ；(2)设 O 的 半 径 为 R， OM BE， OMA BEA， 即 ，解 得 R=3， O的 半 径 为 3；(3)过 点 O 作 OH BG于 点 H， 则 BG=2BH， OME= MEH= EHO=90 ，
34、 四 边 形 OMEH 是 矩 形 ， HE=OM=3， BH=1， BG=2BH=2.23.(10分 )鄂 州 市 化 工 材 料 经 销 公 司 购 进 一 种 化 工 原 料 若 干 千 克 ， 价 格 为 每 千 克 30 元 .物 价部 门 规 定 其 销 售 单 价 不 高 于 每 千 克 60 元 ， 不 低 于 每 千 克 30 元 .经 市 场 调 查 发 现 ： 日 销 售 量y(千 克 )是 销 售 单 价 x(元 )的 一 次 函 数 ， 且 当 x=60时 ， y=80； x=50时 ， y=100.在 销 售 过 程 中 ，每 天 还 要 支 付 其 他 费 用 4
35、50元 .(1)求 出 y 与 x 的 函 数 关 系 式 ， 并 写 出 自 变 量 x 的 取 值 范 围 .(2)求 该 公 司 销 售 该 原 料 日 获 利 w(元 )与 销 售 单 价 x(元 )之 间 的 函 数 关 系 式 .(3)当 销 售 单 价 为 多 少 元 时 ， 该 公 司 日 获 利 最 大 ？ 最 大 获 利 是 多 少 元 ？ 解 析 ： (1)根 据 y 与 x 成 一 次 函 数 解 析 式 ， 设 为 y=kx+b， 把 x与 y的 两 对 值 代 入 求 出 k 与 b的 值 ， 即 可 确 定 出 y与 x的 解 析 式 ， 并 求 出 x 的 范
36、围 即 可 ；(2)根 据 利 润 =单 价 销 售 量 列 出 W关 于 x 的 二 次 函 数 解 析 式 即 可 ；(3)利 用 二 次 函 数 的 性 质 求 出 W 的 最 大 值 ， 以 及 此 时 x 的 值 即 可 .答 案 ： (1)设 y=kx+b， 根 据 题 意 得 ，解 得 ： x=- ， y=-2x+200(30 x 60)；(2)W=(x-30)(-2x+200)-450=-2x 2+260 x-6450=-2(x-65)2+2000；(3)W=-2(x-65)2+2000， 30 x 60， x=60时 ， w 有 最 大 值 为 1950元 ， 当 销 售 单
37、 价 为 60元 时 ， 该 公 司 日 获 利 最 大 ， 为 1950元 .24.(12分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 直 线 y= 12 x+2与 x轴 交 于 点 A， 与 y 轴 交 于 点C.抛 物 线 y=ax 2+bx+c的 对 称 轴 是 x=- 且 经 过 A、 C 两 点 ， 与 x 轴 的 另 一 交 点 为 点 B. (1) 直 接 写 出 点 B 的 坐 标 ； 求 抛 物 线 解 析 式 .(2)若 点 P 为 直 线 AC上 方 的 抛 物 线 上 的 一 点 ， 连 接 PA， PC.求 PAC的 面 积 的 最 大 值 ， 并
38、 求出 此 时 点 P的 坐 标 .(3)抛 物 线 上 是 否 存 在 点 M， 过 点 M作 MN垂 直 x轴 于 点 N， 使 得 以 点 A、 M、 N 为 顶 点 的 三 角形 与 ABC相 似 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 M 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1) 先 求 的 直 线 y= 12 x+2与 x 轴 交 点 的 坐 标 ， 然 后 利 用 抛 物 线 的 对 称 性 可 求 得 点 B的 坐 标 ； 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=y=a(x+4)(x-1)， 然 后 将 点 C 的 坐 标 代 入 即 可 求 得 a
39、 的 值 ；(2)设 点 P、 Q 的 横 坐 标 为 m， 分 别 求 得 点 P、 Q 的 纵 坐 标 ， 从 而 可 得 到 线 段 PQ=- 12 m 2-2m， 然后 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 可 求 得 S PAC= 12 PQ 4， 然 后 利 用 配 方 法 可 求 得 PAC的 面 积 的 最大 值 以 及 此 时 m的 值 ， 从 而 可 求 得 点 P的 坐 标 ；(3)首 先 可 证 明 ABC ACO CBO， 然 后 分 以 下 几 种 情 况 分 类 讨 论 即 可 ： 当 M点 与 C点 重 合 ， 即 M(0， 2)时 ， MAN BAC； 根
40、据 抛 物 线 的 对 称 性 ， 当 M(-3， 2)时 ， MAN ABC； 当 点 M在 第 四 象 限 时 ， 解 题 时 ， 需 要 注 意 相 似 三 角 形 的 对 应 关 系 .答 案 ： (1) y= 当 x=0 时 ， y=2， 当 y=0时 ， x=-4， C(0， 2)， A(-4， 0)，由 抛 物 线 的 对 称 性 可 知 ： 点 A与 点 B 关 于 x=- 对 称 ， 点 B的 坐 标 为 1， 0). 抛 物 线 y=ax2+bx+c 过 A(-4， 0)， B(1， 0)， 可 设 抛 物 线 解 析 式 为 y=a(x+4)(x-1)，又 抛 物 线 过
41、 点 C(0， 2)， 2=-4a a= 12 y= 12 x 2 x+2.(2)设 P(m， 12 m2 m+2).过 点 P作 PQ x轴 交 AC 于 点 Q， Q(m， 12 m+2)， PQ= 12 m2 m+2-( 12 m+2)= 12 m2-2m， S PAC= 12 PQ 4，=2PQ=-m 2-4m=-(m+2)2+4， 当 m=-2 时 ， PAC的 面 积 有 最 大 值 是 4，此 时 P(-2， 3).(3)在 Rt AOC 中 ， tan CAO= 12 在 Rt BOC中 ， tan BCO= 12 ， CAO= BCO， BCO+ OBC=90 ， CAO+
42、OBC=90 ， ACB=90 ， ABC ACO CBO，如 下 图 ： 当 M点 与 C 点 重 合 ， 即 M(0， 2)时 ， MAN BAC； 根 据 抛 物 线 的 对 称 性 ， 当 M(-3， 2)时 ， MAN ABC； 当 点 M 在 第 四 象 限 时 ， 设 M(n， 12 n2 n+2)， 则 N(n， 0) MN= 12 n2+ 32 n-2， AN=n+4当 时 ， MN= 12 AN， 即 12 n2+ 32 n-2= 12 (n+4)整 理 得 ： n2+2n-8=0解 得 ： n1=-4(舍 )， n2=2 M(2， -3)；当 时 ， MN=2AN， 即 12 n 2+ 32 n-2=2(n+4)，整 理 得 ： n2-n-20=0解 得 ： n1=-4(舍 )， n2=5， M(5， -18).综 上 所 述 ： 存 在 M1(0， 2)， M2(-3， 2)， M3(2， -3)， M4(5， -18)， 使 得 以 点 A、 M、 N为 顶 点的 三 角 形 与 ABC相 似 .
