1、2015 年 湖 北 省 武 汉 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 10小 题 , 每 小 题 3分 , 共 30分 )下 列 各 题 中 均 有 四 个 备 选 答 案 , 其 中 有 且 只有 一 个 是 正 确 的 , 请 在 答 题 卡 上 将 正 确 答 案 的 代 号 涂 黑 .1.在 实 数 -3, 0, 5, 3 中 , 最 小 的 实 数 是 ( )A.-3B.0C.5D.3解 析 : 根 据 实 数 比 较 大 小 的 方 法 , 可 得 -3 0 3 5, 所 以 在 实 数 -3, 0, 5, 3 中 , 最 小 的实 数 是 -3.答 案 : A 2
2、.若 代 数 式 2x 在 实 数 范 围 内 有 意 义 , 则 x 的 取 值 范 围 是 ( )A.x -2B.x -2C.x 2D.x 2解 析 : 根 据 二 次 根 式 的 性 质 , 被 开 方 数 大 于 等 于 0, 就 可 以 求 解 .根 据 题 意 得 : x-2 0, 解 得 x 2.答 案 : C3.把 a 2-2a分 解 因 式 , 正 确 的 是 ( )A.a(a-2)B.a(a+2)C.a(a2-2)D.a(2-a)解 析 : 原 式 提 取 公 因 式 得 到 结 果 , 原 式 =a(a-2).答 案 : A4.一 组 数 据 3, 8, 12, 17,
3、40的 中 位 数 为 ( )A.3B.8C.12 D.17解 析 : 把 3, 8, 12, 17, 40 从 小 到 大 排 列 , 可 得 3, 8, 12, 17, 40,所 以 这 组 数 据 3, 8, 12, 17, 40 的 中 位 数 为 12.答 案 : C5.下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.2a2-4a2=-2B.3a+a=3a 2 C.3a a=3a2D.4a6 2a3=2a2解 析 : A、 原 式 =-2a2, 错 误 ;B、 原 式 =4a, 错 误 ;C、 原 式 =3a2, 正 确 ;D、 原 式 =2a3, 错 误 .答 案 : C6.如 图 ,
4、在 直 角 坐 标 系 中 , 有 两 点 A(6, 3), B(6, 0), 以 原 点 O 位 似 中 心 , 相 似 比 为 13 ,在 第 一 象 限 内 把 线 段 AB 缩 小 后 得 到 线 段 CD, 则 点 C的 坐 标 为 ( ) A.(2, 1)B.(2, 0)C.(3, 3)D.(3, 1)解 析 : 由 题 意 得 , ODC OBA, 相 似 比 是 13, OD DCOB AB , 又 OB=6, AB=3, OD=2, CD=1, 点 C 的 坐 标 为 : (2, 1).答 案 : A7.如 图 , 是 由 一 个 圆 柱 体 和 一 个 长 方 体 组 成
5、的 几 何 体 .其 主 视 图 是 ( ) A.B.C.D.解 析 : 从 正 面 看 下 面 是 一 个 比 较 长 的 矩 形 , 上 面 是 一 个 比 较 宽 的 矩 形 . 答 案 : B8.下 面 的 折 线 图 描 述 了 某 地 某 日 的 气 温 变 化 情 况 .根 据 图 中 信 息 , 下 列 说 法 错 误 的 是 ( )A.4: 00气 温 最 低 B.6: 00气 温 为 24C.14: 00 气 温 最 高D.气 温 是 30 的 时 刻 为 16: 00解 析 : A、 由 横 坐 标 看 出 4: 00气 温 最 低 是 24 , 故 A 正 确 ;B、
6、由 纵 坐 标 看 出 6: 00 气 温 为 24 , 故 B正 确 ;C、 由 横 坐 标 看 出 14: 00气 温 最 高 31 ;D、 由 横 坐 标 看 出 气 温 是 30 的 时 刻 是 12: 00, 16: 00, 故 D错 误 .答 案 : D9.在 反 比 例 函 数 y=1 3mx 图 象 上 有 两 点 A(x 1, y1), B (x2, y2), x1 0 x2, y1 y2, 则 m 的取 值 范 围 是 ( )A.m 13B.m 13C.m 13D.m 13解 析 : x 1 0 x2时 , y1 y2, 反 比 例 函 数 图 象 在 第 一 , 三 象
7、限 , 1-3m 0, 解 得 : m13 .答 案 : B10.如 图 , ABC, EFG均 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 , 点 D 是 边 BC、 EF的 中 点 , 直 线 AG、FC相 交 于 点 M.当 EFG绕 点 D旋 转 时 , 线 段 BM长 的 最 小 值 是 ( ) A.2- 3B. 3 +1C. 2D. 3 -1解 析 : AC 的 中 点 O, 连 接 AD、 DG、 BO、 OM, 如 图 . ABC, EFG均 是 边 长 为 2的 等 边 三 角 形 , 点 D 是 边 BC、 EF的 中 点 , AD BC, GD EF, DA=DG, DC
8、=DF, ADG=90 - CDG= FDC, DA DGDC DF , DAG DCF, DAG= DCF. A、 D、 C、 M四 点 共 圆 .根 据 两 点 之 间 线 段 最 短 可 得 : BO BM+OM, 即 BM BO-OM,当 M 在 线 段 BO 与 该 圆 的 交 点 处 时 , 线 段 BM最 小 ,此 时 , BO= 2 2 2 22 1BC OC = 3 , OM= 12 AC=1, 则 BM=BO-OM= 3 -1.答 案 : D.二 、 填 空 题 (共 6 小 题 , 每 小 题 3 分 , 共 18分 )请 将 答 案 填 在 答 题 卡 对 应 题 号
9、的 位 置 上 .11.计 算 : -10+(+6)= . 解 析 : 原 式 利 用 异 号 两 数 相 加 的 法 则 计 算 即 可 得 到 结 果 .原 式 =-(10-6)=-4.答 案 : -412.中 国 的 领 水 面 积 约 为 370 000km2, 将 数 370 000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 .解 析 : 370 000=3.7 105. 答 案 : 3.7 10513.一 组 数 据 2, 3, 6, 8, 11的 平 均 数 是 .解 析 : (2+3+6+8+11) 5=30 5=6, 所 以 一 组 数 据 2, 3, 6, 8, 11的 平 均
10、数 是 6.答 案 : 614.如 图 所 示 , 购 买 一 种 苹 果 , 所 付 款 金 额 y(元 )与 购 买 量 x(千 克 )之 间 的 函 数 图 象 由 线 段OA 和 射 线 AB 组 成 , 则 一 次 购 买 3 千 克 这 种 苹 果 比 分 三 次 每 次 购 买 1 千 克 这 种 苹 果 可 节 省元 . 解 析 : 由 线 段 OA的 图 象 可 知 , 当 0 x 2 时 , y=10 x,1千 克 苹 果 的 价 钱 为 : y=10,设 射 线 AB 的 解 析 式 为 y=kx+b(x 2),把 (2, 20), (4, 36)代 入 得 : 2 20
11、4 36k bk b , 解 得 : 84kb , y=8x+4,当 x=3时 , y=8 3+4=28.当 购 买 3 千 克 这 种 苹 果 分 三 次 分 别 购 买 1 千 克 时 , 所 花 钱 为 : 10 3=30(元 ),30-28=2(元 ).则 一 次 购 买 3 千 克 这 种 苹 果 比 分 三 次 每 次 购 买 1千 克 这 种 苹 果 可 节 省 2元 .答 案 : 215.定 义 运 算 “ *” , 规 定 x*y=ax 2+by, 其 中 a、 b 为 常 数 , 且 1*2=5, 2*1=6, 则 2*3= .解 析 : 根 据 题 中 的 新 定 义 化
12、 简 已 知 等 式 得 : 2 54 6a ba b , 解 得 : 12ab ,则 2*3=4a+3b=4+6=10.答 案 : 1016.如 图 , AOB=30 , 点 M、 N 分 别 在 边 OA、 OB 上 , 且 OM=1, ON=3, 点 P、 Q 分 别 在 边 OB、OA上 , 则 MP+PQ+QN的 最 小 值 是 . 解 析 : 作 M关 于 OB 的 对 称 点 M , 作 N关 于 OA的 对 称 点 N , 连 接 M N , 即 为 MP+PQ+QN的 最 小 值 .根 据 轴 对 称 的 定 义 可 知 : N OQ= M OB=30 , ONN =60 ,
13、 ONN 为 等 边 三 角 形 , OMM 为 等 边 三 角 形 , N OM =90 , 在 Rt M ON 中 , M N = 2 23 1 10 . 答 案 : 10三 、 解 答 题 (共 8 小 题 , 共 72分 )下 列 各 题 解 答 应 写 出 文 字 说 明 , 证 明 过 程 或 演 算 过 程 .17.已 知 一 次 函 数 y=kx+3的 图 象 经 过 点 (1, 4).(1)求 这 个 一 次 函 数 的 解 析 式 ;(2)求 关 于 x 的 不 等 式 kx+3 6 的 解 集 .解 析 : (1)把 x=1, y=4代 入 y=kx+3, 求 出 k 的
14、 值 是 多 少 , 即 可 求 出 这 个 一 次 函 数 的 解 析 式 .(2)首 先 把 (1)中 求 出 的 k的 值 代 入 kx+3 6, 然 后 根 据 一 元 一 次 不 等 式 的 解 法 , 求 出 关 于 x的 不 等 式 kx+3 6 的 解 集 即 可 .答 案 : (1) 一 次 函 数 y=kx+3的 图 象 经 过 点 (1, 4), 4=k+3, k=1, 这 个 一 次 函 数 的 解 析 式 是 : y=x+3. (2) k=1, x+3 6, x 3, 即 关 于 x 的 不 等 式 kx+3 6 的 解 集 是 : x 3.18.如 图 , 点 B、
15、 C、 E、 F 在 同 一 直 线 上 , BC=EF, AC BC于 点 C, DF EF 于 点 F, AC=DF.求证 :(1) ABC DEF;(2)AB DE.解 析 : (1)由 SAS容 易 证 明 ABC DEF; (2)由 ABC DEF, 得 出 对 应 角 相 等 B= DEF, 即 可 得 出 结 论 .答 案 : (1) AC BC于 点 C, DF EF于 点 F, ACB= DFE=90 ,在 ABC和 DEF中 , BC EFACB DFEAC DF , , ABC DEF(SAS). (2) ABC DEF, B= DEF, AB DE.19.一 个 不 透
16、 明 的 口 袋 中 有 四 个 完 全 相 同 的 小 球 , 它 们 分 别 标 号 为 1, 2, 3, 4.(1)随 机 摸 取 一 个 小 球 , 直 接 写 出 “ 摸 出 的 小 球 标 号 是 3” 的 概 率 ;(2)随 机 摸 取 一 个 小 球 然 后 放 回 , 再 随 机 摸 出 一 个 小 球 , 直 接 写 出 下 列 结 果 : 两 次 取 出 的 小 球 一 个 标 号 是 1, 另 一 个 标 号 是 2 的 概 率 ; 第 一 次 取 出 标 号 是 1 的 小 球 且 第 二 次 取 出 标 号 是 2的 小 球 的 概 率 .解 析 : (1)由 一
17、个 不 透 明 的 口 袋 中 有 四 个 完 全 相 同 的 小 球 , 它 们 分 别 标 号 为 1, 2, 3, 4直 接利 用 概 率 公 式 求 解 即 可 求 得 答 案 ;(2) 首 先 根 据 题 意 画 出 树 状 图 , 然 后 由 树 状 图 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 与 两 次 取 出 的 小 球 一个 标 号 是 1, 另 一 个 标 号 是 2的 情 况 , 再 利 用 概 率 公 式 求 解 即 可 求 得 答 案 ; 由 树 状 图 即 可 求 得 第 一 次 取 出 标 号 是 1的 小 球 且 第 二 次 取 出 标 号 是 2 的 小 球
18、的 情 况 , 再 利用 概 率 公 式 求 解 即 可 求 得 答 案 . 答 案 : (1) 一 个 不 透 明 的 口 袋 中 有 四 个 完 全 相 同 的 小 球 , 它 们 分 别 标 号 为 1, 2, 3, 4, 随 机 摸 取 一 个 小 球 , 直 接 写 出 “ 摸 出 的 小 球 标 号 是 3” 的 概 率 为 : 14 ;(2)画 树 状 图 得 :则 共 有 16 种 等 可 能 的 结 果 ; 两 次 取 出 的 小 球 一 个 标 号 是 1, 另 一 个 标 号 是 2的 有 2 种 情 况 , 两 次 取 出 的 小 球 一 个 标 号 是 1, 另 一
19、个 标 号 是 2 的 概 率 为 : 2 116 8 ; 第 一 次 取 出 标 号 是 1的 小 球 且 第 二 次 取 出 标 号 是 2 的 小 球 的 只 有 1种 情 况 , 第 一 次 取 出 标 号 是 1 的 小 球 且 第 二 次 取 出 标 号 是 2的 小 球 的 概 率 为 : 116 .20.如 图 , 已 知 点 A(-4, 2), B(-1, -2), 平 行 四 边 形 ABCD的 对 角 线 交 于 坐 标 原 点 O. (1)请 直 接 写 出 点 C、 D 的 坐 标 ;(2)写 出 从 线 段 AB 到 线 段 CD 的 变 换 过 程 ;(3)直 接
20、 写 出 平 行 四 边 形 ABCD的 面 积 .解 析 : (1)利 用 中 心 对 称 图 形 的 性 质 得 出 C, D 两 点 坐 标 ;(2)利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 以 及 结 合 平 移 的 性 质 得 出 即 可 ; (3)利 用 SABCD 的 可 以 转 化 为 边 长 为 ; 5和 4的 矩 形 面 积 , 进 而 求 出 即 可 .答 案 : (1) 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 , 四 边 形 ABCD 关 于 O 中 心 对 称 , A(-4, 2), B(-1, -2), C(4, -2), D(1, 2).(2)线 段 AB到 线
21、 段 CD的 变 换 过 程 是 : 绕 点 O 旋 转 180 .(3)由 (1)得 : A到 y轴 距 离 为 : 4, D 到 y 轴 距 离 为 : 1,A到 x轴 距 离 为 : 2, B 到 x 轴 距 离 为 : 2, S 平 行 四 边 形 ABCD的 可 以 转 化 为 边 长 为 ; 5 和 4 的 矩 形 面 积 , S 平 行 四 边 形 ABCD=5 4=20.21.如 图 , AB是 O 的 直 径 , ABT=45 , AT=AB. (1)求 证 : AT是 O 的 切 线 ;(2)连 接 OT交 O 于 点 C, 连 接 AC, 求 tan TAC.解 析 :
22、(1)根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 求 得 TAB=90 , 得 出 TA AB, 从 而 证 得 AT是 O 的 切 线 ;(2)作 CD AT于 D, 设 OA=x, 则 AT=2x, 根 据 勾 股 定 理 得 出 OT= 5 x, TC=( 5 -1)x, 由 CD AT, TA AB 得 出 CD AB, 根 据 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 得 出CD TC TDOA OT TA , 即 5 1 25 xCD TDx xx , 从 而 求 得CD=(1- 55 )x, AD=2x-2(1- 55 )x= 2 55 x, 然 后 解 正 切 函 数 即 可 求
23、 得 .答 案 : (1) ABT=45 , AT=AB. TAB=90 , TA AB, AT是 O 的 切 线 ; (2)作 CD AT 于 D, TA AB, TA=AB=2OA,设 OA=x, 则 AT=2x, OT= 5 x, TC=( 5 -1)x, CD AT, TA AB, CD AB, CD TC TDOA OT TA , 即 5 1 25 xCD TDx xx , CD=(1- 55 )x, TD=2(1- 55 )x, AD=2x-2(1- 55 )x= 2 55 x, tan TAC= 51 5 5 122 55 xCDAD x .22.已 知 锐 角 ABC中 , 边
24、 BC长 为 12, 高 AD长 为 8. (1)如 图 , 矩 形 EFGH的 边 GH在 BC边 上 , 其 余 两 个 顶 点 E、 F分 别 在 AB、 AC 边 上 , EF 交 AD于 点 K. 求 EFAK 的 值 ; 设 EH=x, 矩 形 EFGH的 面 积 为 S, 求 S 与 x 的 函 数 关 系 式 , 并 求 S 的 最 大 值 ;(2)若 AB=AC, 正 方 形 PQMN 的 两 个 顶 点 在 ABC 一 边 上 , 另 两 个 顶 点 分 别 在 ABC 的 另 两 边上 , 直 接 写 出 正 方 形 PQMN的 边 长 .解 析 : (1) 根 据 EF
25、 BC, 可 得 AK EFAD BC , 所 以 EF BCAK AD , 据 此 求 出 EFAK 的 值 是 多 少即 可 . 首 先 根 据 EH=x, 求 出 AK=8-x, 再 根 据 32EFAK , 求 出 EF 的 值 ; 然 后 根 据 矩 形 的 面 积 公式 , 求 出 S与 x的 函 数 关 系 式 , 利 用 配 方 法 , 求 出 S的 最 大 值 是 多 少 即 可 . (2)根 据 题 意 , 设 正 方 形 的 边 长 为 a, 分 两 种 情 况 : 当 正 方 形 PQMN 的 两 个 顶 点 在 BC 边 上时 ; 当 正 方 形 PQMN 的 两 个
26、 顶 点 在 AB或 AC边 上 时 ; 分 类 讨 论 , 求 出 正 方 形 PQMN的 边 长 各是 多 少 即 可 .答 案 : (1) EF BC, AK EFAD BC , 12 38 2EF BCAK AD , 即 EFAK 的 值 是 32 . EH=x, KD=EH=x, AK=8-x, EFAK = 32 , EF= 32 (8-x), S=EH EF= 32 x(8-x)=- 32 (x-4) 2+24, 当 x=4时 , S 的 最 大 值 是 24.(2)设 正 方 形 的 边 长 为 a, 当 正 方 形 PQMN的 两 个 顶 点 在 BC边 上 时 , 8 81
27、2aa , 解 得 a= 245 . 当 正 方 形 PQMN的 两 个 顶 点 在 AB或 AC边 上 时 , AB=AC, AD BC, BD=CD=12 2=6, AB=AC= 2 2 2 26 8AD BD =10, AB 或 AC边 上 的 高 等 于 : AD BC AB=8 12 10= 485 48 485 510aa , 解 得 a= 24049 .综 上 , 可 得 正 方 形 PQMN 的 边 长 是 245 或 24049 .23. 如 图 , ABC 中 , 点 E、 P在 边 AB上 , 且 AE=BP, 过 点 E、 P 作 BC 的 平 行 线 , 分 别 交
28、AC于 点 F、 Q, 记 AEF的 面 积 为 S 1, 四 边 形 EFQP 的 面 积 为 S2, 四 边 形 PQCB的 面 积 为 S3.(1)求 证 : EF+PQ=BC;(2)若 S 1+S3=S2, 求 PEAE 的 值 ;(3)若 S3-S1=S2, 直 接 写 出 PEAE 的 值 .解 析 : (1)由 平 行 线 得 出 比 例 式 EF AEBC AB , PQ APBC AB , 证 出 AP=BE, 得 出 EF PQBC BC =1,即 可 得 出 EF+PQ=BC;(2)过 点 A 作 AH BC于 H, 分 别 交 PQ 于 M、 N, 设 EF=a, PQ
29、=b, AM=h, 则 BC=a+b, 由 平 行 线得 出 AEF APQ, 得 出 AM EFAN PQ , 得 出 AN=ba h, MN=(ba -1)h,由 三 角 形 的 面 积 公 式 得 出 S 1= 12 ah, S2= 12 (a+b)( ba -1)h, S3= 12 (b+a+b)h, 得 出12 ah+ 12 (a+b+b)h= 12 (a+b)( ba -1)h, 求 出 b=3a, 即 可 得 出 结 果 ; (3)由 题 意 得 出12 (a+b+b)h- 12 ah= 12 (a+b)(ba -1)h, 得 出 b=(1+ 2 )a, 即 可 得 出 结 果
30、.答 案 : (1) EF BC, PQ BC, EF AEBC AB , PQ APBC AB , AE=BP, AP=BE, EF PQBC BC = AE BEAB AB =1, EF PQBC =1, EF+PQ=BC.(2)过 点 A 作 AH BC于 H, 分 别 交 PQ 于 M、 N, 如 图 所 示 : 设 EF=a, PQ=b, AM=h, 则 BC=a+b, EF PQ, AEF APQ, AM EFAN PQ , AN=ba h, MN=(ba -1)h, S1= 12 ah, S2= 12 (a+b)(ba -1)h, S3= 12 (b+a+b)h, S 1+S3=
31、S2, 12 ah+ 12 (a+b+b)h= 12 (a+b)(ba -1)h, 解 得 : b=3a, PQAE =3, PEAE =2.(3) S3-S1=S2, 12 (a+b+b)h- 12 ah= 12 (a+b)(ba -1)h,解 得 : b=(1 2 )a(负 值 舍 去 ), b=(1+ 2 )a, PQAE =1+ 2 , PEAE = 2 .24.已 知 抛 物 线 y= 12 x 2+c与 x 轴 交 于 A(-1, 0), B两 点 , 交 y 轴 于 点 C. (1)求 抛 物 线 的 解 析 式 ;(2)点 E(m, n)是 第 二 象 限 内 一 点 , 过
32、点 E 作 EF x轴 交 抛 物 线 于 点 F, 过 点 F 作 FG y轴 于点 G, 连 接 CE、 CF, 若 CEF= CFG.求 n的 值 并 直 接 写 出 m 的 取 值 范 围 (利 用 图 1 完 成 你 的探 究 ).(3)如 图 2, 点 P是 线 段 OB 上 一 动 点 (不 包 括 点 O、 B), PM x 轴 交 抛 物 线 于 点 M, OBQ=OMP, BQ交 直 线 PM 于 点 Q, 设 点 P的 横 坐 标 为 t, 求 PBQ的 周 长 .解 析 : (1)将 点 A 的 坐 标 代 入 抛 物 线 解 析 式 即 可 求 得 c 的 值 , 则
33、 可 得 抛 物 线 解 析 式 ;(2)过 点 C 作 CH EF于 点 H, 易 证 EHC FGC, 再 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 可 得 n 的 值 ; (3)首 先 表 示 出 点 P 的 坐 标 , 再 根 据 OPM QPB, 然 后 由 对 应 边 的 比 值 相 等 得 出 PQ 和 BQ的 长 , 从 而 可 得 PBQ的 周 长 .答 案 : (1)把 A(-1, 0)代 入 y= 12 x2+c得 c=- 12 , 抛 物 线 解 析 式 为 y= 12 x2- 12 .(2)如 图 1, 过 点 C 作 CH EF于 点 H, CEF= CFG, FG
34、y 轴 于 点 G, EHC FGC, E(m, n), F(m, 12 m2- 12 ),又 C(0, - 12 ), EH=n+ 12 , CH=-m, FG=-m, CG= 12 m2,又 EH FGCH CG , 则 212 12n mm m , n+ 12 =2, n= 32 (-2 m 0).(3)由 题 意 可 知 P(t, 0), M(t, 12 t 2- 12 ), PM x 轴 交 抛 物 线 于 点 M, OBQ= OMP, OPM QPB. OP PQPM PB .其 中 OP=t, PM= 12 - 12 t2, PB=1-t, PQ= 21 tt .BQ= 22 2 11tPB PQ t , PQ+BQ+PB= 22 11 1t tt t +1-t=2. PBQ的 周 长 为 2.