1、2016年 吉 林 省 延 边 州 高 考 模 拟 试 卷 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 ， 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 ， 请 将 正 确 选 项 填 写 在 答 题 卡 上 .1.若 Ma 1， a2， a3， a4， a5， 且 M a1， a2， a3=a1， a2， 则 满 足 上 述 要 求 的 集 合 M 的 个数 是 ( )A.1B.2C.3D.4解 析 ： M a 1， a2， a3=a1， a2， a1， a2 M且 a3M， Ma1，
2、 a2， a3， a4， a5， M=a1， a2， a4， a5或 a1， a2， a4或 a1， a2， a5或 a1， a2.故 选 D2.复 数 21 ii 的 共 轭 复 数 是 ( )A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i 解 析 ： 2 12 2 2 11 1 1 2i ii i ii i i ， z=-1-i.故 选 ： D3.若 向 量 a =(3， 4)， 且 存 在 实 数 x， y， 使 得 a =x 1e +y 2e ， 则 1e ， 2e 可 以 是 ( )A. 1e =(0， 0)， 2e =(-1， 2)B. 1e =(-1， 3)， 2e =(2， -6
3、)C. 1e =(-1， 2)， 2e =(3， -1) D. 1e =(-12， 1)， 2e =(1， -2)解 析 ： 根 据 平 面 向 量 基 本 定 理 知 ： 1e ， 2e 不 共 线 ； A. 1e =0e2， 1e ， 2e 共 线 ；B. 2e =-2 1e ， 1e ， 2e 共 线 ；C. 1e =(-1， 2)， 2e =(3， -1)， -1 (-1)-2 3=-5 0， 1e 与 2e 不 共 线 ， 即 该 选 项 正 确 ；D. 2e =-2 1e ， 1e ， 2e 共 线 .故 选 ： C.4.如 图 ， 水 平 放 置 的 三 棱 柱 的 侧 棱 长
4、和 底 边 长 均 为 2， 且 侧 棱 AA 1 面 A1B1C1， 正 视 图 是 正 方形 ， 俯 视 图 是 正 三 角 形 ， 该 三 棱 柱 的 侧 视 图 面 积 为 ( )A.2 3 B. 3C.2 2D.4解 析 ： 由 题 意 知 三 棱 柱 的 侧 视 图 是 一 个 矩 形 ，矩 形 的 长 是 三 棱 柱 的 侧 棱 长 ， 宽 是 底 面 三 角 形 的 一 条 边 上 的 高 ，在 边 长 是 2的 等 边 三 角 形 中 ，底 边 上 的 高 是 2 32 = 3 ， 侧 视 图 的 面 积 是 32 .故 选 A 5.在 二 项 式 (3x2- 1x )n的
5、展 开 式 中 ， 所 有 二 项 式 系 数 的 和 是 32， 则 展 开 式 中 各 项 系 数 的 和 为( )A.-32B.0C.32D.1 解 析 ： 二 项 式 (3x2- 1x )n的 展 开 式 中 ， 所 有 二 项 式 系 数 的 和 是 32， 2n=32， 解 得 n=5； 令 x=1， 可 得 展 开 式 中 各 项 系 数 的 和 为 (3 12-11)5=32.故 选 ： C.6.若 x， y 满 足 约 束 条 件 2 2 12 1x yx yx y ， ， 则 z=3x+2y 的 取 值 范 围 ( )A. 54 ， 5 B. 72 ， 5C. 54 ， 4
6、D. 72 ， 4解 析 ： 由 题 意 作 出 其 平 面 区 域 ， 令 z=3x+2y， 则 y=- 32 x+ 2z ；由 2 2 1x yy x ， 解 得 ， x=y= 14 ； 故 C( 14 ， 14 )； 由 2 1y xy x ， 解 得 ， x=y=1； 故 D(1， 1)；结 合 图 象 及 2z 的 几 何 意 义 知 ， 3 14 +2 14 3x+2y 3 1+2 1； 即 54 3x+2y 5.故 选 A7.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 P=153， Q=63， 则 输 出 的 P的 值 是 ( ) A.2B.3C.9D.27解
7、 析 ： 模 拟 执 行 程 序 ， 可 得 P=153， Q=63；不 满 足 条 件 Q=0， R=27， P=63， Q=27；不 满 足 条 件 Q=0， R=9， P=27， Q=9；不 满 足 条 件 Q=0， R=0， P=9， Q=0；满 足 条 件 Q=0， 退 出 循 环 ， 输 出 P的 值 为 9.故 选 ： C 8.在 ABC中 ， 若 a2-b2= 3 bc， 且 sinsinA BB =2 3 ， 则 角 A=( )A. 6B. 3C. 23D. 56解 析 ： 在 ABC中 ， sinsinA BB = sinsinCB =2 3 ， 由 正 弦 定 理 可 得
8、 ： sinsinc Cb B =2 3 ， 即 ： c=2 3 b， a2-b2= 3 bc， a2-b2= 3 b 2 3 b， 解 得 ： 2 27a b ， 由 余 弦 定 理 可 得 ： cosA= 2 2 2 2 2 212 72 33 22 2b c a b b bbc b b ， A (0， )， A= 6 . 故 选 ： A.9.下 列 四 种 说 法 中 ， 正 确 的 个 数 有 ( ) 命 题 “ x R， 均 有 x2-3x-2 0” 的 否 定 是 ： “ x0 R， 使 得 x02-3x0-2 0” ； m R， 使 f(x)= 2 2m mmx 是 幂 函 数
9、， 且 在 (0， + )上 是 单 调 递 增 ； 不 过 原 点 (0， 0)的 直 线 方 程 都 可 以 表 示 成 x ya b =1； 回 归 直 线 的 斜 率 的 估 计 值 为 1.23， 样 本 点 的 中 心 为 (4， 5)， 则 回 归 直 线 方 程 为y=1.23x+0.08.A.3个 B.2个C.1个D.0个解 析 ： 命 题 “ x R， 均 有 x2-3x-2 0” 的 否 定 是 ： “ x0 R， 使 得 x02-3x0-2 0， 故 错 误 ； m=1， 使 f(x)= 2 2m mmx 是 幂 函 数 ， 且 在 (0， + )上 是 单 调 递 增
10、 ， 故 正 确 ； 不 过 原 点 (0， 0)的 直 线 方 程 不 都 可 以 表 示 成 x ya b =1， 比 如 a=0或 b=0时 ， 故 错 误 ； 回 归 直 线 的 斜 率 的 估 计 值 为 1.23， 样 本 点 的 中 心 为 (4， 5)， 则 回 归 直 线 方 程 为y=1.23x+0.08， 故 正 确 . 故 选 ： B10.如 图 所 示 ， M， N是 函 数 y=2sin( x+ )( 0)图 象 与 x轴 的 交 点 ， 点 P 在 M， N之 间 的图 象 上 运 动 ， 当 MPN面 积 最 大 时 ， PM PN， 则 =( )A. 4 B.
11、 3C. 2D.8解 析 ： 由 图 象 可 知 ， 当 P位 于 M、 N 之 间 函 数 y=2sin(wx+ )( 0)图 象 的 最 高 点 时 ， MPN面 积 最 大 . 又 此 时 PM PN =0， MPN为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 过 P作 PQ x轴 于 Q， |PQ|=2，则 |MN|=2|PQ|=4， 周 期 T=2|MN|=8. = 2 28 4T .故 选 ： A11.已 知 抛 物 线 y 2=4px(p 0)与 双 曲 线 2 22 2x ya b =1(a 0， b 0)有 相 同 的 焦 点 F， 点 A 是 两 曲线 的 交 点 ， 且 AF x轴
12、 ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 ( )A. 5 12B. 2 +1C. 3 +1D. 2 2 12 解 析 ： 设 双 曲 线 的 左 焦 点 为 F， 连 接 AF. F 是 抛 物 线 y 2=4px的 焦 点 ， 且 AF x轴 ， 设 A(p， y0)， 得 y02=4p p， 得 y0=2p， A(p， 2p)，因 此 ， Rt AFF中 ， |AF|=|FF|=2p， 得 |AF|=2 2 p 双 曲 线 2 22 2x ya b =1的 焦 距 2c=|FF|=2p， 实 轴 2a=|AF|-|AF|=2p(2-1),由 此 可 得 离 心 率 为 ： e= 2 22
13、22 1c c pa a p = 2 +1.故 选 ： B12.已 知 函 数 f(x)= 1 1ln4 11 x xx x ， ， ， 则 方 程 f(x)=ax恰 有 两 个 不 同 实 数 根 时 ， 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( )(注 ： e 为 自 然 对 数 的 底 数 ) A.(0， 1e )B. 14 ， 1e C.(0， 14 )D. 14 ， e解 析 ： 方 程 f(x)=ax恰 有 两 个 不 同 实 数 根 ， y=f(x)与 y=ax有 2 个 交 点 ，又 a表 示 直 线 y=ax的 斜 率 ， y = 1x ， 设 切 点 为 (x0， y0)，
14、k= 01x ， 切 线 方 程 为 y-y0= 01x (x-x0)，而 切 线 过 原 点 ， y0=1， x0=e， k= 1e ， 直 线 l1的 斜 率 为 1e ，又 直 线 l2与 y= 14 x+1平 行 ， 直 线 l2的 斜 率 为 14 ， 实 数 a的 取 值 范 围 是 14 ， 1e ).故 选 ： B二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 20分 ， 把 正 确 答 案 填 在 答 题 卡 中 的 横 线 上 . 13.如 图 所 示 ， 在 一 个 边 长 为 1 的 正 方 形 AOBC 内 ， 曲 线 y=x2和 曲
15、 线 y= x 围 成 一 个 叶 形 图 (阴影 部 分 )， 向 正 方 形 AOBC 内 随 机 投 一 点 (该 点 落 在 正 方 形 AOBC 内 任 何 一 点 是 等 可 能 的 )， 则所 投 的 点 落 在 叶 形 图 内 部 的 概 率 是 .解 析 ： 由 定 积 分 可 求 得 阴 影 部 分 的 面 积 为 S= 31 2 30 2 1 12 103 | 33X X dx x x ， 所 以 p= 13 .答 案 ： 13 . 14.若 从 1， 2， 3， ， 9 这 9 个 整 数 中 同 时 取 4个 不 同 的 数 ， 其 和 为 奇 数 ， 则 不 同 的
16、 取 法 共有 种 (用 数 字 作 答 ).解 析 ： 9 个 数 中 ， 有 5 个 奇 数 4 个 偶 数同 时 取 4 个 不 同 的 数 ， 和 为 奇 数 分 下 面 几 种 情 况1个 奇 数 3个 偶 数 ， 共 有 5 34C =20种 取 法 ；3个 奇 数 1个 偶 数 ， 共 有 35C 14C =40种 取 法 . 不 同 的 取 法 共 有 60 种 .答 案 ： 60.15.三 棱 锥 P-ABC 中 ， ABC 为 等 边 三 角 形 ， PA=PB=PC=2， PA PB， 三 棱 锥 P-ABC 的 外 接 球 的 表 面 积 为 .解 析 ： 三 棱 锥
17、P-ABC 中 ， ABC为 等 边 三 角 形 ， PA=PB=PC=2， PAB PAC PBC. PA PB， PA PC， PB PC.以 PA、 PB、 PC 为 过 同 一 顶 点 的 三 条 棱 ， 作 长 方 体 如 图 ：则 长 方 体 的 外 接 球 同 时 也 是 三 棱 锥 P-ABC 外 接 球 . 长 方 体 的 对 角 线 长 为 4 4 4 =2 3 ， 球 直 径 为 2 3 ， 半 径 R= 3 ，因 此 ， 三 棱 锥 P-ABC外 接 球 的 表 面 积 是 4 R2=4 ( 3 )2=12 .答 案 ： 1216.给 出 下 列 命 题 ： 已 知 服
18、 从 正 态 分 布 N(0， 2)， 且 P(-2 2)=0.4， 则 P( 2)=0.3； f(x-1)是 偶 函 数 ， 且 在 (0， + )上 单 调 递 增 ， 则 218 2 1 12 log 8 8f f f ； 已 知 直 线 l1： ax+3y-1=0， l2： x+by+1=0， 则 l1 l2的 充 要 条 件 是 3ab ； 已 知 a 0， b 0， 函 数 y=2aex+b的 图 象 过 点 (0， 1)， 则 1 1a b 的 最 小 值 是 4 2 .其 中 正 确 命 题 的 序 号 是 (把 你 认 为 正 确 的 序 号 都 填 上 ). 解 析 ： 若
19、 服 从 正 态 分 布 N(0 ， 2) ， 且 P(-2 2)=0.4 ， 则 P( 2)=1 2 2 1 0.42( 2)P =0.3， 故 正 确 ， f(x-1)是 偶 函 数 ， 且 在 (0， + )上 单 调 递 增 ， 则 f(x)关 于 x=-1 对 称 ， 且 在 (-1， + )上单 调 递 增 ，182 1， log 2 18 =-3， ( 18 )2 (0， 1)，则 f(log2 18 )=f(-3)=f(1)，则 f( 182 ) f(1) f( 18 )2)， 即 218 2 1 12 log 8 8f f f ， 故 正 确 ， 当 b=0， a=0 时 ，
20、 两 直 线 分 别 为 l 1： 3y-1=0， l2： x+1=0， 满 足 l1 l2， 故 l1 l2的 充 要 条件 是 ab =-3错 误 ， 故 错 误 ， 已 知 a 0 ， b 0 ， 函 数 y=2aex+b 的 图 象 过 点 (0 ， 1) ， 则 2a+b=1 ， 则1 1a b =( 1 1a b )(2a+b)=2+1+ 2a bb a 3+ 22 a bb a =3+2 2 ，即 则 1 1a b 的 最 小 值 是 3+2 2 .故 错 误 ，答 案 ： .三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5小 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说
21、明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 17.数 列 an是 首 项 a1=4 的 等 比 数 列 ， Sn为 其 前 n项 和 ， 且 S3， S2， S4成 等 差 数 列 .( )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )若 bn=log2|an|， 设 Tn为 数 列 11n nb b 的 前 n 项 和 ， 求 证 Tn 12 .解 析 ： (I)设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q， 先 看 当 q=1 时 ， S3， S2， S4不 成 等 差 数 列 ， 不 符 合 题意 ， 判 断 出 q 1， 进 而 根 据 等 比 数 列 求 和 公 式 表 示 出 S
22、3， S2， S4， 根 据 等 差 中 项 的 性 质 建 立等 式 ， 求 得 q， 则 数 列 an的 通 项 公 式 可 得 .( )把 (1)中 的 an代 入 bn， 进 而 利 用 裂 项 法 求 得 前 n 项 的 和 ， 根 据 Tn= 12 21 21 n .原 式 得证 .答 案 ： (I)设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q.当 q=1时 ， S 3=12， S2=8， S4=16， 不 成 等 差 数 列 ， q 1， S3= 34 11 qq ， S2= 24 11 qq ， S4= 44 11 qq ， 2S2=S3+S4， 2 3 48 1 4 1 4 1
23、1 1 1q q qq q q ，即 q4+q3-2q2=0. q 0， q 1， q=-2， an=4(-2)n-1=(-2)n+1，( )bn=log2|an|=log2|(-2)n+1|=n+1， 11 1 1 11 2 1 2n nb b n n n n ， 1 1 1 1 1 1 23 4 12 3nT n n ， 1 21 12 2nT n .18. 2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分 ， 台 风 “ 莲 花 ” 在 我 国 广 东 省 陆 丰 市 甲 东 镇 沿 海 登 陆 ， 造成 165.17 万 人 受 灾 ， 5.6 万 人 紧 急 转 移 安 置 ， 28
24、8 间 房 屋 倒 塌 ， 46.5千 公 顷 农 田 受 灾 ， 直接 经 济 损 失 12.99 亿 元 .距 离 陆 丰 市 222千 米 的 梅 州 也 受 到 了 台 风 的 影 响 ， 适 逢 暑 假 ， 小 明 调 查 了 梅 州 某 小 区 的 50 户 居 民 由 于 台 风 造 成 的 经 济 损 失 ， 将 收 集 的 数 据 分 成 0， 2000，(2000， 4000， (4000， 6000， (6000， 8000， (8000， 10000五 组 ， 并 作 出 如 下 频 率 分 布直 方 图 ： ( )试 根 据 频 率 分 布 直 方 图 估 计 小 区
25、 平 均 每 户 居 民 的 平 均 损 失 (同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间的 中 点 值 作 代 表 )；( )小 明 向 班 级 同 学 发 出 倡 议 ， 为 该 小 区 居 民 捐 款 .现 从 损 失 超 过 4000元 的 居 民 中 随 机 抽 出2户 进 行 捐 款 援 助 ， 设 抽 出 损 失 超 过 8000元 的 居 民 为 户 ， 求 的 分 布 列 和 数 学 期 望 ；( )台 风 后 区 委 会 号 召 小 区 居 民 为 台 风 重 灾 区 捐 款 ， 小 明 调 查 的 50 户 居 民 捐 款 情 况 如 表 ，根 据 表 格 中 所 给
26、 数 据 ， 分 别 求 b， c， a+b， c+d， a+c， b+d， a+b+c+d 的 值 ， 并 说 明 是 否 有95%以 上 的 把 握 认 为 捐 款 数 额 多 于 或 少 于 500元 和 自 身 经 济 损 失 是 否 到 4000元 有 关 ？ 附 ： 临 界 值 表 参 考 公 式 ： ， K2= 2n ad bca b c d a c b d ， n=a+b+c+d.解 析 ： ( )根 据 频 率 分 布 直 方 图 ， 即 可 估 计 小 区 平 均 每 户 居 民 的 平 均 损 失 ；( )由 频 率 分 布 直 方 图 可 得 ， 损 失 不 少 于 6
27、000 元 的 居 民 共 有 (0.00003+0.00003) 200050=6户 ， 损 失 为 6000 8000 元 的 居 民 共 有 0.00003 2000 50=3 户 ， 损 失 不 少 于 8000 元的 居 民 共 有 0.00003 2000 50=3户 ， 即 可 求 这 两 户 在 同 一 分 组 的 概 率 ；( )求 出 K 2， 与 临 界 值 比 较 ， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： ( )记 每 户 居 民 的 平 均 损 失 为 x元 ， 则 ： x=(1000 0.00015+3000 0.0002+50000.00009+7000 0.00
28、003+9000 0.00003) 2000=3360.( )由 频 率 分 布 直 方 图 可 得 ， 损 失 不 少 于 6000 元 的 居 民 共 有 (0.00003+0.00003) 200050=6户 ，损 失 为 6000 8000 元 的 居 民 共 有 0.00003 2000 50=3 户 ，损 失 不 少 于 8000元 的 居 民 共 有 0.00003 2000 50=3户 ，因 此 ， 这 两 户 在 同 一 分 组 的 概 率 为 P= 3 2 3 2 26 5 5 .( )如 图 ： K2= 2( )50 30 6 9 539 11 35 15 4.046 3
29、.841，所 以 有 95%以 上 的 把 握 认 为 捐 款 数 额 是 否 多 于 或 少 于 500元 和 自 身 经 济 损 失 是 否 4000 元 有关 .19.如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， AB=4， AD=2， E是 CD 的 中 点 ， O 是 AE 的 中 点 ， 以 AE 为 折 痕 向 上折 起 ， 使 D为 D ， 且 D B=D C. ( )求 证 ： 平 面 D AE 平 面 ABCE；( )求 CD 与 平 面 ABD 所 成 角 的 正 弦 值 .解 析 ： (I)取 BC中 点 F， 连 结 OF， D O， D F， 则 BC 平 面 D OF，
30、 于 是 BC OD ， 又 OD AE， 于 是 OD 平 面 ABCE， 故 而 平 面 D AE 平 面 ABCE；(II)以 O 为 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 求 出 平 面 ABD 的 法 向 量 n ， 则 CD 与 平 面 ABD 所成 角 的 正 弦 值 等 于 |cos n ， CD |.答 案 ： (I)取 BC中 点 F， 连 结 OF， D O， D F， 则 BC OF， D B=D C， BC D F，又 OF 平 面 D OF， D F平 面 D OF， OF D F=F， BC 平 面 D OF， D O平 面 D OF， BC D O，
31、DA=DE， 即 D A=D E， D O AE， 又 AE平 面 ABCE， BC平 面 ABCE， AE与 BC 相 交 ， D O 平 面 ABCE， D O平 面 D AE， 平 面 D AE 平 面 ABCE.(II)以 O 为 原 点 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz，则 A(1， -1， 0)， B(1， 3， 0)， C(-1， 3， 0).D (0， 0， 2 ). D A =(1， -1， - 2 )， D B =(1， 3， - 2 ).CD =(-1， 3， - 2 ).设 平 面 ABD 的 法 向 量 为 n =(x， y， z)，
32、 则 n D A ， n D B . 2 0023x y zx y z ， ， 令 z= 2 ， 得 x=2， y=0， n =(2， 0， 2 ).|n |= 6 ， |CD |=2 3 .n CD =-4. cos n ， CD = n CDn CD =- 23 . CD 与 平 面 ABD 所 成 角 的 正 弦 值 为 23 .20.已 知 点 P为 y轴 上 的 动 点 ， 点 M为 x轴 上 的 动 点 ， 点 F(1， 0)为 定 点 ， 且 满 足 12 0PN NM ，PM PF =0.( )求 动 点 N 的 轨 迹 E 的 方 程 ；( )过 点 F 且 斜 率 为 k
33、的 直 线 l 与 曲 线 E交 于 两 点 A， B， 试 判 断 在 x 轴 上 是 否 存 在 点 C， 使得 |CA| 2+|CB|2=|AB|2成 立 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： ( )设 出 N点 的 坐 标 ， 由 已 知 条 件 12 0PN NM 可 知 P 为 MN 的 中 点 ， 由 题 意 设 出P和 M的 坐 标 ， 求 出 PM 和 PF 的 坐 标 ， 代 入 PM PF =0可 求 动 点 N 的 轨 迹 E 的 方 程 ；( )设 出 直 线 l的 方 程 ， 和 抛 物 线 方 程 联 立 后 化 为 关 于 y 的 一 元 二 次 方 程 ， 由
34、 根 与 系 数 关 系写 出 A， B 两 点 的 纵 坐 标 的 和 与 积 ， 假 设 存 在 点 C(m， 0)满 足 条 件 ， 则 CA =(x 1-m， y1)， CB =(x2-m，y2)， 由 |CA|2+|CB|2=|AB|2成 立 得 到 CA CB =0， 代 入 坐 标 后 得 到 关 于 m 的 一 元 二 次 方 程 ， 分 析 知 方 程 有 解 ， 从 而 得 到 答 案 .答 案 ： ( )设 N(x， y)， 则 由 12 0PN NM ， 得 P为 MN的 中 点 . P(0， 2y )， M(-x， 0). PM=(-x， - 2y )， PF=(1，
35、 - 2y ). PM PF =-x+ 24y =0， 即 y2=4x. 动 点 N 的 轨 迹 E 的 方 程 y 2=4x.( )设 直 线 l 的 方 程 为 y=k(x-1)， 由 2 14y k xy x ， 消 去 x得 y2- 4k y-4=0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y1+y2=4k， y1y2=-4.假 设 存 在 点 C(m， 0)满 足 条 件 ， 则 CA =(x1-m， y1)， CB =(x2-m， y2)， CA CB =x 1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2=( 1 24y y )2-m( 2 21 24y y )+m2-4=-
36、 4m (y1+y2)2-2y1y2+m2-3=m2-m( 24k +2)-3. =( 24k +2) 2+12 0， 关 于 m 的 方 程 m2-m( 24k +2)-3=0有 解 . 假 设 成 立 ， 即 在 x轴 上 存 在 点 C， 使 得 |CA|2+|CB|2=|AB|2成 立 .21.设 函 数 f(x)=ax-sinx， x 0， .(1)当 a= 12 时 ， 求 f(x)的 单 调 区 间 ；(2)若 不 等 式 f(x) 1-cosx 恒 成 立 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)当 a= 12 时 ， f(x)= 12 x-sinx， x
37、0， ， 从 而 求 导 f (x)= 12 -cosx， 从 而 判 断 函 数 的 单 调 性 ；(2)化 简 可 得 ax-sinx 1-cosx， 作 函 数 y=ax-1与 函 数 y=sinx-cosx的 图 象 ， 结 合 图 象 求 解即 可 .答 案 ： (1)当 a= 12 时 ， f(x)= 12 x-sinx， x 0， ， f (x)= 12 -cosx，故 x 0， 3 )时 ， f (x) 0， x ( 3 ， 时 ， f (x) 0；故 f(x)在 0， 3 )上 是 减 函 数 ， 在 3 ， 上 是 增 函 数 ；(2)由 题 意 得 ， ax-sinx 1
38、-cosx，故 ax-1 sinx-cosx，作 函 数 y=ax-1 与 函 数 y=sinx-cosx的 图 象 如 图 ， 结 合 图 象 可 得 ， a 1 1 20 ；故 实 数 a 的 取 值 范 围 为 (- ， 2 .22.如 图 所 示 ， 已 知 O1和 O2相 交 于 A， B 两 点 .过 点 A 作 O1的 切 线 交 O2于 点 C， 过 点 B作 两 圆 的 割 线 ， 分 别 交 O 1， O2于 点 D， E， DE与 AC 相 交 于 点 P，( )求 证 ： PE AD=PD CE；( )若 AD 是 O 2的 切 线 ， 且 PA=6， PC=2， BD
39、=9， 求 AD 的 长 .解 析 ： ( )连 接 AB， 根 据 弦 切 角 定 理 和 圆 周 角 定 理 的 推 论 得 到 CAB= D， CAB= E， 则 F= D， 根 据 内 错 角 相 等 ， 得 到 AD CE， 即 可 证 明 PE AD=PD CE；( )利 用 PCE PAD， 结 合 相 交 弦 定 理 ， 切 割 线 定 理 ， 即 可 求 AD的 长 .答 案 ： (1)连 接 AB， CA 切 O1于 A， CAB= D， CAB= E， E= D. AD CE， PCE PAD. PE CEPD AD . PE AD=PD CE；( )设 BP=x， PE
40、=y， PA=6， PC=2， xy=12 ， PCE PAD， DP APEP CP ， 9 62xy ，由 可 得 34xy ， 或 121xy ， (舍 去 )， DE=9+x+y=16， AD 是 O2的 切 线 ， AD2=DB DE=9 16， AD=12.23.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为 12 32 2x ty t ， (t 为 参 数 )， 若 以 原 点 O 为 极点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 已 知 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 =4cos ， 设 M 是 圆 C 上任 一 点 ，
41、连 结 OM并 延 长 到 Q， 使 |OM|=|MQ|.( )求 点 Q轨 迹 的 直 角 坐 标 方 程 ；( )若 直 线 l 与 点 Q轨 迹 相 交 于 A， B 两 点 ， 点 P 的 直 角 坐 标 为 (0， 2)， 求 |PA|+|PB|的 值 . 解 析 ： ( )圆 C的 极 坐 标 方 程 为 =4cos ， 化 为 2=4 cos ， 把 cossinxy ，代 入 即 可 得 直 角 坐 标 方 程 ： x2+y2=4x， 设 Q(x， y)， 则 M( 2x ， 2y )，代 入 圆 的 方 程 即 可 得 出 .( )把 直 线 l的 参 数 方 程 12 32
42、 2x ty t ， (t 为 参 数 )代 入 点 Q 的 方 程 可 得 t 2+(4+2 3 )t+4=0，利 用 根 与 系 数 的 关 系 及 其 |PA|+|PB|=|t1+t2|即 可 得 出 . 答 案 ： ( )圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 =4cos ， 化 为 2=4 cos ， 可 得 直 角 坐 标 方 程 ： x2+y2=4x，配 方 为 (x-2)2+y2=4，设 Q(x， y)， 则 M( 2x ， 2y )，代 入 圆 的 方 程 可 得 ( 2x -2)2+( 2y )2=4，化 为 (x-4)2+y2=16.即 为 点 Q 的 直 角 坐 标 方 程
43、 .( )把 直 线 l 的 参 数 方 程 12 32 2x ty t ， (t为 参 数 )代 入 (x-4) 2+y2=16.得 t2+(4+2 3 )t+4=0，令 A， B 对 应 参 数 分 别 为 t1， t2， 则 t1+t2=-(4+2 3 ) 0， t1t2 0. |PA|+|PB|=|t 1|+|t2|=|t1+t2|=4+2 3 .24.已 知 函 数 f(x)=|x-1|.(1)解 不 等 式 f(x)+f(x+4) 8；(2)若 |a| 1， |b| 1， 且 a 0， 求 证 ： f(ab) |a|f( ba ).解 析 ： ( )根 据 f(x)+f(x+4)=
44、|x-1|+|x+3|= 2 2 34 3 12 2 1x xxx x ， ， ， ，分 类 讨 论 求 得 不 等 式 f(x)+f(x+4) 8 的 解 集 . ( )要 证 的 不 等 式 即 |ab-1| |a-b|， 根 据 |a| 1， |b| 1， 可 得 |ab-1|2-|a-b|2 0， 从 而得 到 所 证 不 等 式 成 立 .答 案 ： ( )f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|= 2 2 34 3 12 2 1x xxx x ， ， ， ，当 x -3 时 ， 由 -2x-2 8， 解 得 x -5；当 -3 x 1时 ， f(x) 8不 成 立 ；当 x 1 时 ， 由 2x+2 8， 解 得 x 3.所 以 ， 不 等 式 f(x) 4 的 解 集 为 x|x -5， 或 x 3.( )f(ab) |a|f( ba )， 即 |ab-1| |a-b|. 因 为 |a| 1， |b| 1，所 以 |ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1) 0， 所 以 |ab-1| |a-b|， 故 所 证 不 等 式 成 立 .
