1、2016年 山 东 省 枣 庄 八 中 高 考 模 拟 试 卷 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 i是 虚 数 单 位 ， 若 复 数 a+ 51 2i i (a R)是 纯 虚 数 ， 则 a=( )A.-1B.1C.-2D.2 解 析 ： a+ 5 1 25 10 5 21 2 1 2 1 2 5i ii ia a a ii i i 是 纯 虚 数 ， a=2.故 选 ： D.2.已 知 集 合 P=2， 3
2、， 4， 5， 6， Q=3， 5， 7， 若 M=P Q， 则 M 的 子 集 个 数 为 ( )A.5B.4C.3D.2解 析 ： P=2， 3， 4， 5， 6， Q=3， 5， 7， M=P Q=3， 5， 则 M 的 子 集 个 数 为 2 2=4.故 选 ： B.3.在 ABC中 ， PQ分 别 是 AB， BC的 三 等 分 点 ， 且 AP=13AB， BQ=13BC， 若 AB a ， AC b ，则 PQ =( )A. 1 13 3a b B.- 1 13 3a b C. 1 13 3a b D. 1 13 3a b 解 析 ： BC AC AB b a . AP=13AB
3、， BQ=13BC， 2 23 3PB AB a ， 1 1 13 3 3BQ BC b a . 1 13 3PQ PB BQ a b .故 选 ： A. 4.已 知 函 数 f(x)=-x2+2， g(x)=log2|x|， 则 函 数 F(x)=f(x)-g(x)的 大 致 图 象 为 ( )A.B.C. D.解 析 ： f(-x)=-x2+2=f(x)， g(-x)=log2|x|=g(x)， F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=F(x)， 函 数 F(x)为 偶 函 数 ， 其 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 当 x + 时 ， f(x) - ， g(x) + ，
4、当 x + 时 ， F(x) - .故 选 ： B.5.已 知 双 曲 线 C： 2 22 2x ya b =1(a 0， b 0)的 左 、 右 焦 点 与 虚 轴 的 一 个 端 点 构 成 一 个 角 为 120的 三 角 形 ， 则 双 曲 线 C 的 离 心 率 为 ( )A. 52 B. 62C. 3D. 5解 析 ： 双 曲 线 C： 2 22 2x ya b =1(a 0， b 0)，可 得 虚 轴 的 一 个 端 点 M(0， b)， F 1(-c， 0)， F2(-c， 0)，设 F1MF2=120 ， 得 c= 3 b， 平 方 得 c2=3b2=3(c2-a2)，可 得
5、 3a2=2c2， 即 c= 62 a， 得 离 心 率 e= 62ca .故 选 ： B 6.已 知 p： 函 数 f(x)=(x-a)2在 (- ， -1)上 是 减 函 数 ， q： x 0， 2 1x x 恒 成 立 ， 则 p是 q 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： p： 函 数 f(x)=(x-a) 2在 (- ， -1)上 是 减 函 数 ， -1 a， p： a -1.q： x 0， 2 1 1 12 2x x xx x x ， 当 且 仅 当 x=1时 取 等 号 ，
6、a 2.则 p是 q的 充 分 不 必 要 条 件 .故 选 ： A7.已 知 两 条 不 同 的 直 线 m， n 和 两 个 不 同 的 平 面 ， ， 以 下 四 个 命 题 ： 若 m ， n ， 且 ， 则 m n； 若 m ， n ， 且 ， 则 m n； 若 m ， n ， 且 ， 则 m n； 若 m ， n ， 且 ， 则 m n. 其 中 正 确 命 题 的 个 数 是 ( )A.4B.3C.2D.1解 析 ： 由 两 条 不 同 的 直 线 m， n 和 两 个 不 同 的 平 面 ， ， 知 ：在 中 ， 若 m ， n ， 且 ， 则 m与 n平 行 或 异 面 ，
7、故 错 误 ；在 中 ， 若 m ， n ， 且 ， 则 由 直 线 与 平 面 垂 直 的 性 质 得 m n， 故 正 确 ；在 中 ， 若 m ， n ， 且 ， 则 m与 n相 交 、 平 行 或 异 面 ， 故 错 误 ；在 中 ， 若 m ， n ， 且 ， 则 由 面 面 垂 直 和 线 面 垂 直 的 性 质 得 m n， 故 正 确 .故 选 ： C. 8.设 函 数 y=f(x)(x R)为 偶 函 数 ， 且 x R， 满 足 f(x- 32 )=f(x+ 12 )， 当 x 2， 3时 ， f(x)=x，则 当 x -2， 0时 ， f(x)=( )A.|x+4|B.|
8、2-x|C.2+|x+1|D.3-|x+1|解 析 ： x R， 满 足 f(x- 32 )=f(x+ 12 )， x R， 满 足 f(x+ 32 - 32 )=f(x+ 32 + 12 )， 即 f(x)=f(x+2)，若 x 0， 1时 ， 则 x+2 2， 3， f(x)=f(x+2)=x+2， x 0， 1， 若 x -1， 0， 则 -x 0， 1， 函 数 y=f(x)(x R)为 偶 函 数 ， f(-x)=-x+2=f(x)，即 f(x)=-x+2， x -1， 0，若 x -2， -1， 则 x+2 0， 1，则 f(x)=f(x+2)=x+2+2=x+4， x -2， -
9、1，即 f(x)= 4 2 12 1 0.x xx x ， ，故 选 ： D9.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 出 的 n=7， 则 输 入 的 整 数 K的 最 大 值 是 ( ) A.18B.50C.78D.306解 析 ： 模 拟 执 行 程 序 ， 可 得n=1， S=0S=2， n=2不 满 足 条 件 S K， S=6， n=3不 满 足 条 件 S K， S=2， n=4不 满 足 条 件 S K， S=18， n=5不 满 足 条 件 S K， S=14， n=6不 满 足 条 件 S K， S=78， n=7由 题 意 ， 此 时 满 足 条 件 78
10、 K， 退 出 循 环 ， 输 出 n 的 值 为 7. 则 输 入 的 整 数 K的 最 大 值 是 78.故 选 ： C10. 已 知 函 数 f(x)= 2ln lnxax x x x 有 三 个 不 同 的 零 点 x1， x2， x3(其 中 x1 x2 x3)， 则 (1- 11ln xx )2(1- 22ln xx )(1- 3 3ln xx )的 值 为 ( )A.1-aB.a-1C.-1D.1解 析 ： 令 f(x)=0， 分 离 参 数 得 a= lnlnx xx x x ，令 h(x)= lnlnx xx x x ，由 h (x)= 22ln 1 ln 2 lnlnx x
11、 x xx x x =0， 得 x=1或 x=e. 当 x (0， 1)时 ， h (x) 0； 当 x (1， e)时 ， h (x) 0； 当 x (e， + )时 ， h (x)0.即 h(x)在 (0， 1)， (e， + )上 为 减 函 数 ， 在 (1， e)上 为 增 函 数 . 0 x1 1 x2 e x3，a= ln 1 lnlnln 1x x xxx x x xx ， 令 = ln xx ，则 a= 11 ， 即 2+(a-1) +1-a=0， 1+ 2=1-a 0， 1 2=1-a 0，对 于 = ln xx ， = 21 lnxx则 当 0 x e 时 ， 0； 当
12、x e 时 ， 0.而 当 x e 时 ， 恒 大 于 0.画 其 简 图 ， 不 妨 设 1 2， 则 1= 11ln xx ， 2= 22ln xx = 3 3ln xx = 3， (1- 11ln xx )2(1- 22ln xx )(1- 3 3ln xx )=(1- 1)2(1- 2)(1- 3)=(1- 1)(1- 2)2=1-(1-a)+(1-a)2=1.故 选 ： D二 、 填 空 题 (每 题 5 分 ， 满 分 25 分 ， 将 答 案 填 在 答 题 纸 上 )11.观 察 下 列 各 式 (如 图 )： 照 此 规 律 ， 当 n N*时 ， 22 21 1 11 2
13、3 1n .解 析 ： 由 各 式 的 规 律 可 知 ， 右 边 的 分 子 是 以 3 为 首 项 的 以 2 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 分 母 是 以 2为 首 项 的 以 1 为 公 差 的 等 差 数 列 ，依 此 类 推 可 以 得 到 当 n N*时 ， 22 21 1 11 2 3 1n 2 1nn .答 案 ： 2 1nn12.已 知 ABC 中 ， a， b， c 分 别 为 内 角 A， B， C 的 对 边 ， 且 a cosB+b cosA=3c cosC，则 cosC= . 解 析 ： a cosB+b cosA=3c cosC， 利 用 余 弦 定 理
14、可 得 ： 2 2 2 2 2 2 2 2 232 2 2a c b b c a a b ca b cac bc ab ， 整 理 可 得 ：a2+b2-c2= 23ab ， 由 余 弦 定 理 可 得 ： cosC= 2 2 2 2 132 2 3aba b cab ab .答 案 ： 13.13.如 图 所 示 ， 在 边 长 为 1 的 正 方 形 OABC 中 任 取 一 点 M， 则 点 M 恰 好 取 自 阴 影 部 分 的 概 率为 . 解 析 ： 根 据 题 意 ， 正 方 形 OABC的 面 积 为 1 1=1，由 函 数 y=x与 y= x 围 成 阴 影 部 分 的 面
15、积 为 3 21 02 10 2 13 2 | 6xx x dx x ，由 于 y=x2与 y= x 互 为 反 函 数 ， 所 以 阴 影 部 分 的 面 积 为 13，则 正 方 形 OABC 中 任 取 一 点 P， 点 P取 自 阴 影 部 分 的 概 率 为 13.答 案 ： 1314.将 编 号 为 1， 2， 3， 4的 四 个 小 球 放 入 3 个 不 同 的 盒 子 中 ， 每 个 盒 子 里 至 少 放 1 个 ， 则 恰有 1 个 盒 子 放 有 2 个 连 号 小 球 的 所 有 不 同 放 法 有 种 .(用 数 字 作 答 ) 解 析 ： 先 把 4个 小 球 分
16、 为 (2， 1， 1)一 组 ， 其 中 2个 连 号 小 球 的 种 类 有 (1， 2)， (2， 3)， (3，4)为 一 组 ， 分 组 后 分 配 到 三 个 不 同 的 盒 子 里 ， 共 有 1 33 3C A =18种 .答 案 ： 18.15.已 知 抛 物 线 y2=2px的 准 线 方 程 为 x=-1焦 点 为 F， A， B， C为 该 抛 物 线 上 不 同 的 三 点 ，|FA|， |FB |， |FC |成 等 差 数 列 ， 且 点 B在 x轴 下 方 ， 若 FA +FB +FC =0， 则 直 线 AC 的方 程 为 .解 析 ： 抛 物 线 的 准 线
17、 方 程 是 x=- 2p =-1， p=2，即 抛 物 线 方 程 为 y 2=4x， F(1， 0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， |FA|， |FB|， |FC|成 等 差 数 列 ， |FA|+|FC|=2|FB|，即 x1+1+x3+12(x2+1)， 即 x1+x3=2x2， FA+FB +FC =0， (x 1-1+x2-1+x3-1， y1+y2+y3)=0， x1+x2+x3=3， y1+y2+y3=0，则 x1+x3=2， x2=1，由 y22=4x2=4， 则 y2=-2或 2(舍 )， 则 y1+y3=2，则 AC 的 中 点 坐
18、 标 为 (x1+x32， y1+y32)， 即 (1， 1)， AC的 斜 率 k= 1 31 3y yx x = 1 3 22 314 4y yyy = 1 34y y = 42 =2，则 直 线 AC 的 方 程 为 y-1=2(x-1)， 即 2x-y-1=0.答 案 ： 2x-y-1=0三 、 解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .)16.已 知 函 数 f(x)=4sin( x- 4 ) cos x在 x= 4 处 取 得 最 值 ， 其 中 (0， 2).(1)求 函 数 f(x
19、)的 最 小 正 周 期 ；(2)将 函 数 f(x)的 图 象 向 左 平 移 36 个 单 位 ， 再 将 所 得 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 伸 长 为 原 来 的 3 倍 ， 纵 坐 标 不 变 ， 得 到 函 数 y=g(x)的 图 象 .若 为 锐 角 ， g( )= 43 - 2 ， 求 cos .解 析 ： (1)化 简 可 得 f(x)=2sin(2 x- 4 )- 2 ， 由 函 数 的 最 值 可 得 ， 再 由 周 期 公 式 可 得 ；(2)由 函 数 图 象 变 换 可 得 g(x)=2sin(x- 6 )- 2 ， 可 得 sin( - 6 )= 23 ，
20、 进 而 可 得 cos(- 6 )= 53 ， 整 体 代 入 cos =cos( - 6 )+ 6 = 32 cos( - 6 )- 12 sin( - 6 )计 算 可 得 .答 案 ： (1)化 简 可 得 f(x)=4sin( x- 4 ) cos x=4( 22 sin x- 22 sin x)cos x =2 2 sin xcos x-2 2 cos2 x= 2 sin2 x- 2 cos2 x- 2=2sin(2 x- 4 )- 2 ， 函 数 f(x)在 x= 4 处 取 得 最 值 ， 2 4 - 4 =k + 2 ， 解 得 =2k+ 32 ， k Z，又 (0， 2)，
21、 = 32 ， f(x)=2sin(3x- 4 )- 2 ， 最 小 正 周 期 T= 23 ；(2)将 函 数 f(x)的 图 象 向 左 平 移 36 个 单 位 得 到 y=2sin3(x+ 36 )- 4 -2=2sin(3x- 6 )- 2的 图 象 ， 再 将 所 得 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 伸 长 为 原 来 的 3 倍 ， 纵 坐 标 不 变 ， 得 到 函 数y=g(x)=2sin(x- 6 )- 2 的 图 象 . 为 锐 角 ， g( )=2sin( - 6 )- 2 = 43 - 2 ， sin( - 6 )= 23 ， cos( - 6 )= 2 (in
22、6 )1 s = 53 ， cos =cos( - 6 )+ 6 = 32 cos( - 6 )-12sin( - 6 )= 32 53 - 12 23 = 15 26 .17.如 图 所 示 的 几 何 体 中 ， 四 边 形 ABCD和 四 边 形 BCEF是 全 等 的 等 腰 梯 形 ， 且 平 面 BCEF 平面 ABCD， AB DC， CE BF， AD=BC， AB=2CD， ABC= CBF=60 ， G 为 线 段 AB 的 中 点 . (1)求 证 ： AC BF；(2)求 二 面 角 D-FG-B(钝 角 )的 余 弦 值 .解 析 ： (1)根 据 线 面 垂 直 的
23、 性 质 定 理 证 明 AC 平 面 BCEF即 可 .(2)建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 求 出 对 应 平 面 的 法 向 量 ， 利 用 向 量 法 进 行 求 解 即 可 .答 案 ： (1)连 接 CF， 四 边 形 ABCD和 四 边 形 BCEF是 全 等 的 等 腰 梯 形 ， AB DC， CE BF， AD=BC， AB=2CD， ABC= CBF=60 ， G为 线 段 AB的 中 点 ， DG BC， AC CB， 同 理 CF BC， 平 面 BCEF 平 面 ABCD， AC BC， AC 平 面 BCEF， BF平 面 BCEF， AC BF；(2)由
24、 (1)知 CF 平 面 ABCD， 建 立 以 C为 坐 标 原 点 ， 以 CA， CB， CF分 别 为 x， y， z 轴 的 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 ： AD=BC， AB=2CD， ABC= CBF=60 ， 设 BC=1， 则 AB=2， AC=CF= 3 ，则 A( 3 ， 0， 0)， B(0， 1， 0)， F(0， 0， 3 )， G( 32 ， 12 ， 0)，则 GF=(- 32 ， - 12 ， 3 )， DG=CB =(0， 1， 0)， GB=( 32 ， - 12 ， 0)， 设 平 面 DFG的 一 个 法 向 量 为 m =(x， y， z)，
25、 则 3 1 32 020m DG ym GF x y z ， ，则 y=0， 令 x=2， 则 z=1， 即 为 m =(2， 0， 1)，设 平 面 FGB的 一 个 法 向 量 为 n =(x， y， z)，则 3 12 23 1 32 0 02m GB x ym GF x y z ， ， 即 33y xy z ， 令 x=1， 则 y= 3 ， z=1， 即 为 n =(1， 3， 1)，则 cos m ， n = 22 2 1 3 3 55 52 1 1 3 1nm nm ， 二 面 角 D-FG-B是 钝 二 面 角 ， 二 面 角 (钝 角 )的 余 弦 值 为 -35.18.已
26、 知 正 项 数 列 a n的 前 n 项 和 为 Sn， 且 a1=1， Sn+1+Sn= 2 1na ， 数 列 bn满 足 bnbn+1=3an， 且 b1=1.( )求 数 列 an， bn的 通 项 公 式 ；( )记 Tn=anb2+an-1b4+ +a1b2n， 求 Tn.解 析 ： (I)正 项 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 且 a1=1， Sn+1+Sn= 2 1na ， 利 用 递 推 关 系 及 其 等 差 数 列的 通 项 公 式 即 可 得 出 .数 列 bn满 足 bnbn+1=3an， 且 b1=1.可 得 bnbn+1=3n， b2=3.利 用 递
27、 推 关 系 可得 ： b n+2=3bn.可 得 数 列 bn的 奇 数 项 与 偶 数 项 分 别 成 等 比 数 列 ， 公 比 为 3.即 可 得 出 .(II)利 用 “ 错 位 相 减 法 ” 与 等 比 数 列 的 前 n项 和 公 式 即 可 得 出 .答 案 ： (I)正 项 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn， 且 a1=1， Sn+1+Sn= 2 1na ， 当 n 2 时 ， Sn+Sn-1= 2na ， 相 减 可 得 ： an+1+an= 2 1na - 2na ， an+1-an=1， 数 列 an是 等 差 数 列 ， 首 项 为 1， 公 差 为 1. a
28、n=1+(n-1)=n. 数 列 b n满 足 bnbn+1=3 an， 且 b1=1. bnbn+1=3n， b2=3. bn+1bn+2bnbn+1= 11 21 33nn n nn nb bb b =3， bn+2=3bn. 数 列 bn的 奇 数 项 与 偶 数 项 分 别 成 等 比 数 列 ， 公 比 为 3. b 2k-1=3k-1， b2k=3k. bn= 1223 2 13 2nn n kn k ， (k N*). (II)Tn=anb2+an-1b4+ +a1b2n=3n+(n-1) 32+(n-2) 33+ +3n.3Tn=32n+(n-1)33+ +2 3n+3n+1，
29、 -2Tn=3n-32-33- -3n-3n+1=3n- 9 3 13 1n =3n- 92 (3n-1)， Tn= 94 (3n-1)- 32n.19.某 学 校 高 一 年 级 学 生 某 次 身 体 素 质 体 能 测 试 的 原 始 成 绩 采 用 百 分 制 ， 已 知 所 有 这 些 这 些学 生 的 原 始 成 绩 均 分 布 在 50， 100内 ， 发 布 成 绩 使 用 等 级 制 ， 各 等 级 划 分 标 准 见 表 ， 规 定 ：A， B， C 三 级 为 合 格 等 级 ， D 为 不 合 格 等 级 . 为 了 解 该 校 高 一 年 级 学 生 身 体 素 质
30、情 况 ， 从 中 抽 取 了 n 名 学 生 的 原 始 成 绩 作 为 样 本 进 行 统 计 ，按 照 50， 60)， 60， 70)， 70， 80)， 80， 90)， 90， 100的 分 组 作 出 频 率 分 布 直 方 图 如图 所 示 ， 样 本 中 分 数 在 80分 及 以 上 的 所 有 数 据 的 茎 叶 图 如 图 所 示 .(1)求 n 和 频 率 分 布 直 方 图 中 的 x， y 的 值 ； (2)根 据 样 本 估 计 总 体 的 思 想 ， 以 事 件 发 生 的 频 率 作 为 相 应 事 件 发 生 的 概 率 ， 若 在 该 校 高 一学 生
31、中 任 选 3 人 ， 求 至 少 有 1人 成 绩 是 合 格 等 级 的 概 率 ；(3)在 选 取 的 样 本 中 ， 从 A， C 两 个 等 级 的 学 生 中 随 机 抽 取 了 3名 学 生 进 行 调 研 ， 记 表 示 抽取 的 3名 学 生 中 为 C等 级 的 学 生 人 数 ， 求 随 机 变 量 的 分 布 列 及 数 学 期 望 .解 析 ： (1)根 据 频 率 分 布 直 方 图 和 树 形 图 求 解 ；(2)至 少 有 一 人 可 从 反 面 出 发 ， 用 间 接 法 求 解 ；(3)根 据 分 布 列 的 定 义 和 数 学 期 望 的 计 算 方 法
32、求 解 即 可 .答 案 ： (1)由 题 意 可 知 ， 样 本 容 量 n= 60.012 10 =50， x= 250 10 =0.02， y= 0.1810 =0.018；(2)不 合 格 的 概 率 为 0.1，设 至 少 有 1人 成 绩 是 合 格 等 级 为 事 件 A， P(A)=1-0.1 3=0.999，故 至 少 有 1人 成 绩 是 合 格 等 级 的 概 率 为 9991000 ；(3)C等 级 的 人 数 为 0.18 50=9人 ， A 等 级 的 为 3 人 ， 的 取 值 可 为 0， 1， 2， 3； P( =0)= 33312CC = 1220 ， P(
33、 =1)= 27220 ， P( =2)= 108220 ， P( =3)= 84220 ， 的 分 布 列 为E = 1 27 108 84 90 1 2 3220 220 220 220 4 . 20.已 知 椭 圆 E： 2 22 2x ya b =1(a b 0)的 离 心 率 e= 32 ， 过 椭 圆 的 左 焦 点 F且 倾 斜 角 为 30的 直 线 与 圆 x2+y2=b2相 交 所 得 弦 的 长 度 为 1.(I)求 椭 圆 E 的 方 程 ；( )若 动 直 线 l 交 椭 圆 E 于 不 同 两 点 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 设 OP=(bx1， a
34、y1)， OQ =(bx2，ay2)， O 为 坐 标 原 点 .当 以 线 段 PQ 为 直 径 的 圆 恰 好 过 点 O 时 ， 求 证 ： MON 的 面 积 为 定 值 ，并 求 出 该 定 值 .解 析 ： (I)运 用 离 心 率 公 式 和 直 线 与 圆 相 交 的 弦 长 公 式 ， 结 合 a， b， c 的 关 系 ， 解 方 程 可 得a， b， 进 而 得 到 椭 圆 方 程 ；( )讨 论 直 线 MN的 斜 率 存 在 和 不 存 在 ， 以 线 段 PQ为 直 径 的 圆 恰 好 过 点 O， 可 得 OP OQ ，运 用 向 量 的 数 量 积 为 0， 联
35、 立 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程 ， 运 用 韦 达 定 理 ， 化 简 整 理 ， 由 三 角 形 的 面 积 公 式 ， 计 算 即 可 得 到 定 值 .答 案 ： (I)由 题 意 可 得 e= 32ca ，过 椭 圆 的 左 焦 点 F(-c， 0)且 倾 斜 角 为 30 的 直 线 方 程 为 ： y= 33 (x+c)，由 直 线 与 圆 x2+y2=b2相 交 所 得 弦 的 长 度 为 1，可 得 2 22 22 2 4933 c cb b =1，又 a 2-b2=c2，解 方 程 可 得 a=2， b=1， c= 3 ，即 有 椭 圆 的 方 程 为 2 24x
36、y =1；( )(1)当 MN 的 斜 率 不 存 在 时 ， x1=x2， y1=-y2，以 线 段 PQ 为 直 径 的 圆 恰 好 过 点 O， 可 得 OP OQ ，即 有 OP OQ =0， 即 有 b 2x1x2+a2y1y2=0， 即 有 x1x2+4y1y2=0， 即 x12-4y12=0，又 (x1， y1)在 椭 圆 上 ， x12+4y12=4，可 得 x12=2， |y1|= 22 ，S OMN= 12 |x1| |y1-y2|= 12 2 2 =1；(2)当 MN 的 斜 率 存 在 ， 设 MN 的 方 程 为 y=kx+t，代 入 椭 圆 方 程 (1+4k 2)
37、x2+8ktx+4t2-4=0， =64k2t2-4(1+4k2)(4t2-4)=4k2-t2+1 0，x1+x2=- 281 4ktk ， x1x2= 2 24 41 4t k ，又 OP OQ =0， 即 有 x1x2+4y1y2=0， y1=kx1+t， y2=kx2+t，(1+k2)x 1x2+4kt(x1+x2)+4t2=0， 代 入 整 理 ， 可 得 2t2=1+4k2，即 有 |MN|= 22 1 2 1 21 4k x x x x = 2 22 2 28 16 161 1 4 1 4kt t tk k k = 2 22 24 1 41 1 4k tk k ，又 O 到 直 线
38、 的 距 离 为 d=|t|1+k 2，S OMN= 2 22 21 1 1 44 11 2 12 42 4 2 tk td MN t tk t .故 MON的 面 积 为 定 值 1.21.函 数 f(x)=(x-a)2(x+b)ex(a， b R).(1)当 a=0， b=-3时 .求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 ；(2)若 x=a 是 f(x)的 极 大 值 点 .(i)当 a=0 时 ， 求 b 的 取 值 范 围 ；(ii)当 a 为 定 值 时 .设 x 1， x2， x3(其 中 x1 x2 x3)是 f(x)的 3个 极 值 点 ， 问 ： 是 否 存 在 实 数b，
39、可 找 到 实 数 x4， 使 得 x4， x1， x2， x3成 等 差 数 列 ？ 若 存 在 求 出 b 的 值 及 相 应 的 x4， 若 不 存在 .说 明 理 由 .解 析 ： (1)求 出 函 数 的 导 数 ， 解 关 于 导 函 数 的 不 等 式 ， 求 出 函 数 的 单 调 区 间 即 可 ；(2)(i)函 数 g(x)=x2+(b+3)x+2b， 结 合 x=a 是 f(x)的 一 个 极 大 值 点 ， 我 们 分 析 函 数g(x)=x2+(b+3)x+2b 的 两 个 零 点 与 0 的 关 系 ， 即 可 确 定 b 的 取 值 范 围 ；(ii)由 函 数
40、f(x)=(x-a)2(x+b)ex， 我 们 易 求 出 f(x)的 解 析 式 ， 由 (I)可 得 x1、 a、 x2是 f(x)的 三 个 极 值 点 ， 求 出 x 1， x2， 分 别 讨 论 x1、 a、 x2是 x1， x2， x3， x4的 某 种 排 列 构 造 等 差 数 列时 其 中 三 项 ， 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1)a=0， b=-3时 ：f(x)=x2(x-3)2ex，f (x)=exx(x-3)(x-2)(+3)， 令 f (x) 0， 解 得 ： x -3 或 0 x 2 或 x 3，令 f (x) 0， 解 得 ： -3 x 0 或 2
41、x 3， f(x)在 (- ， -3)， (0， 2)， (3， + )递 增 ， 在 (-3， 0)， (2， 3)递 减 ；(2)(i) 解 ： a=0 时 ， f(x)=x2(x+b)ex ， f(x)=x2(x+b) ex+x2(x+b)(ex) =exxx2+(b+3)x+2b，令 g(x)=x2+(b+3)x+2b， =(b+3)2-8b=(b-1)2+8 0， 设 x1 x2是 g(x)=0的 两 个 根 ， 当 x1=0 或 x2=0时 ， 则 x=0 不 是 极 值 点 ， 不 合 题 意 ； 当 x 1 0 且 x2 0时 ， 由 于 x=0 是 f(x)的 极 大 值 点
42、 ， 故 x1 0 x2. g(0) 0， 即 2b 0， b 0.(ii)f(x)=ex(x-a)x2+(3-a+b)x+2b-ab-a，令 g(x)=x2+(3-a+b)x+2b-ab-a， 则 =(3-a+b)2-4(2b-ab-a)=(a+b-1)2+8 0，于 是 ， 假 设 x1， x2是 g(x)=0的 两 个 实 根 ， 且 x1 x2.由 (i)可 知 ， 必 有 x1 a x2， 且 x1、 a、 x2是 f(x)的 三 个 极 值 点 ，则 x 1= 23 1 82a b a b ， x2= 23 1 82a b a b ，假 设 存 在 b及 x4满 足 题 意 ， 当
43、 x1， a， x2等 差 时 ， 即 x2-a=a-x1时 ，则 x4=2x2-a或 x4=2x1-a，于 是 2a=x1+x2=a-b-3， 即 b=-a-3.此 时 x 4=2x2-a=a-b-3+ 21 8a b -a=a+2 6 或x4=2x1-a=a-b-3- 21 8a b -a=a-2 6 ， 当 x2-a a-x1时 ， 则 x2-a=2(a-x1)或 (a-x1)=2(x2-a)，若 x2-a=2(a-x1)， 则 x4= 22a x ，于 是 3a=2x 1+x2= 23 3 1 82a b a b ，即 21 8a b =-3(a+b+3).两 边 平 方 得 (a+b
44、-1)2+9(a+b-1)+17=0， a+b+3 0， 于 是 a+b-1= 9 132 .此 时 b=-a- 7 132 ，此 时 x 4= 2 2 3 3 3 1 332 4 2a a b a ba x b a . 若 (a-x1)=2(x2-a)， 则 x4= 12a x ，于 是 3a=2x2+x1= 23 3 1 82a b a b ， 即 21 8a b =3(a+b+3).两 边 平 方 得 (a+b-1)2+9(a+b-1)+17=0， a+b+3 0， 于 是 a+b-1= 9 132 ，此 时 b=-a- 7 132 ， 此 时 x4= 1 2 3 3 32 4a a b a ba x =-b-3=a+1 132 ，综 上 所 述 ， 存 在 b 满 足 题 意 ，当 b=-a-3 时 ， x 4=a 2 6 ，b=-a- 7 132 时 ， x4=a+1 132 ，b=-a- 7 132 时 ， x4=a+1 132 .
