1、2015 年 浙 江 省 金 华 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： 本 题 有 10 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30 分 .1.计 算 (a2)3的 结 果 是 ( )A.a5B.a6C.a8D.3a 2解 析 ： 根 据 幂 的 乘 方 ， 底 数 不 变 ， 指 数 相 乘 ， 计 算 后 直 接 选 取 答 案 .(a2)3=a6.答 案 ： B2.要 使 分 式 1 2x 有 意 义 ， 则 x 的 取 值 应 满 足 ( )A.x=-2B.x 2C.x -2D.x -2解 析 ： 分 式 1 2x 有 意 义 ， x+2 0， x -2， 即 x的 取
2、值 应 满 足 ： x -2. 答 案 ： D3.点 P(4， 3)所 在 的 象 限 是 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： 因 为 点 P(4， 3)的 横 坐 标 是 正 数 ， 纵 坐 标 是 正 数 ， 所 以 点 P在 平 面 直 角 坐 标 系 的 第 一象 限 .答 案 ： A4.已 知 =35 ， 则 的 补 角 的 度 数 是 ( )A.55 B.65C.145D.165解 析 ： 根 据 互 补 即 两 角 的 和 为 180 ， 由 此 即 可 得 出 的 补 角 度 数 . 的 补 角 =180 -35 =145
3、.答 案 ： C5.一 元 二 次 方 程 x 2+4x-3=0的 两 根 为 x1、 x2， 则 x1 x2的 值 是 ( )A.4B.-4 C.3D.-3解 析 ： 根 据 根 与 系 数 的 关 系 求 解 . x1 x2= ca =-3.答 案 ： D.6.如 图 ， 数 轴 上 的 A、 B、 C、 D 四 点 中 ， 与 数 - 3 表 示 的 点 最 接 近 的 是 ( )A.点 AB.点 BC.点 C D.点 D解 析 ： 3 1.732， - 3 -1.732， 点 A、 B、 C、 D 表 示 的 数 分 别 为 -3、 -2、 -1、 2， 与 数 - 3 表 示 的 点
4、 最 接 近 的 是 点 B.答 案 ： B.7.如 图 的 四 个 转 盘 中 ， C、 D 转 盘 分 成 8 等 分 ， 若 让 转 盘 自 由 转 动 一 次 ， 停 止 后 ， 指 针 落 在阴 影 区 域 内 的 概 率 最 大 的 转 盘 是 ( ) A.B.C. D. 解 析 ： A、 如 图 所 示 ： 指 针 落 在 阴 影 区 域 内 的 概 率 为 ： 360 90 3360 4 ；B、 如 图 所 示 ： 指 针 落 在 阴 影 区 域 内 的 概 率 为 ： 360 120 2360 3 ；C、 如 图 所 示 ： 指 针 落 在 阴 影 区 域 内 的 概 率 为
5、 ： 12 ；D、 如 图 所 示 ： 指 针 落 在 阴 影 区 域 内 的 概 率 为 ： 58 ， 34 58 23 12 ， 指 针 落 在 阴 影 区 域 内 的 概 率 最 大 的 转 盘 是 ： 34 .答 案 ： A 8.图 2 是 图 1 中 拱 形 大 桥 的 示 意 图 ， 桥 拱 与 桥 面 的 交 点 为 O， B， 以 点 O 为 原 点 ， 水 平 直 线OB为 x轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 桥 的 拱 形 可 近 似 看 成 抛 物 线 y=- 1400 (x-80)2+16， 桥 拱 与桥 墩 AC的 交 点 C 恰 好 在 水 面 ， 有
6、 AC x 轴 ， 若 OA=10 米 ， 则 桥 面 离 水 面 的 高 度 AC 为 ( ) A.16 940 米B.174 米C. 716 40 米D.154 米解 析 ： AC x轴 ， OA=10 米 ， 点 C 的 横 坐 标 为 -10，当 x=-10 时 ， y=- 1400 (x-80) 2+16=- 1400 (-10-80)2+16=-174 ， C(-10， -174 )， 桥 面 离 水 面 的 高 度 AC 为 174 m.答 案 ： B.9.以 下 四 种 沿 AB折 叠 的 方 法 中 ， 不 一 定 能 判 定 纸 带 两 条 边 线 a， b互 相 平 行
7、的 是 ( ) A.如 图 1， 展 开 后 测 得 1= 2B.如 图 2， 展 开 后 测 得 1= 2 且 3= 4C.如 图 3， 测 得 1= 2D.如 图 4， 展 开 后 再 沿 CD折 叠 ， 两 条 折 痕 的 交 点 为 O， 测 得 OA=OB， OC=OD解 析 ： A、 1= 2， 根 据 内 错 角 相 等 ， 两 直 线 平 行 进 行 判 定 ， 故 正 确 ；B、 1= 2 且 3= 4， 由 图 可 知 1+ 2=180 ， 3+ 4=180 ， 1= 2= 3= 4=90 ， a b(内 错 角 相 等 ， 两 直 线 平 行 )， 故 正 确 ；C、 测
8、 得 1= 2， 1 与 2 即 不 是 内 错 角 也 不 是 同 位 角 ， 不 一 定 能 判 定 两 直 线 平 行 ，故 错 误 ；D、 在 AOB和 COD中 ， OA OBAOB CODOC OD ， ， AOB COD， CAO= DBO， a b(内 错 角 相 等 ， 两 直 线 平 行 )， 故 正 确 .答 案 ： C.10.如 图 ， 正 方 形 ABCD和 正 AEF都 内 接 于 O， EF 与 BC、 CD分 别 相 交 于 点 G、 H， 则 EFGH的 值 是 ( ) A. 62B. 2C. 3D.2解 析 ： 如 图 ， 连 接 AC、 BD、 OF， 设
9、 O的 半 径 是 r， 则 OF=r， AO 是 EAF的 平 分 线 ， OAF=60 2=30 ， OA=OF， OFA= OAF=30 ， COF=30 +30 =60 ， FI=r sin60 = 32 r， EF= 32 r 2= 3 r， AO=2OI， OI= 12 r， CI=r- 12 r= 12 r， GH CIBD CO = 12 ， GH= 12 BD= 12 2r=r， EFGH= 3rr = 3 ， 即 则 EFGH 的 值 是 3 .答 案 ： C 二 、 填 空 题 ： 本 题 有 6 小 题 ， 每 小 题 4分 ， 共 24分 。11.实 数 -3的 相
10、反 数 是 .解 析 ： 根 据 只 有 符 号 不 同 的 两 个 数 互 为 相 反 数 ， 可 得 一 个 数 的 相 反 数 .实 数 -3的 相 反 数 是 3，答 案 ： 312.数 据 6， 5， 7， 7， 9 的 众 数 是 .解 析 ： 数 字 7 出 现 了 2 次 ， 为 出 现 次 数 最 多 的 数 ， 故 众 数 为 7.答 案 ： 713.已 知 a+b=3， a-b=5， 则 代 数 式 a 2-b2的 值 是 .解 析 ： a+b=3， a-b=5， 原 式 =(a+b)(a-b)=15.答 案 ： 1514.如 图 ， 直 线 l1、 l2、 l6是 一
11、组 等 距 的 平 行 线 ， 过 直 线 l1上 的 点 A 作 两 条 射 线 ， 分 别 与直 线 l3、 l6相 交 于 点 B、 E、 C、 F.若 BC=2， 则 EF的 长 是 . 解 析 ： l3 l6， BC EF， ABC AEF， 25AB BCAE EF ， BC=2， EF=5.答 案 ： 515.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 菱 形 OBCD 的 边 OB 在 x 轴 正 半 轴 上 ， 反 比 例 函 数 y= kx (x 0)的 图 象 经 过 该 菱 形 对 角 线 的 交 点 A， 且 与 边 BC交 于 点 F.若 点 D 的 坐 标
12、 为 (6， 8)， 则 点F的 坐 标 是 . 解 析 ： 过 点 D 作 DM x 轴 于 点 M， 过 点 F 作 FE x 于 点 E， 点 D的 坐 标 为 (6， 8)， OD= 2 26 8 =10， 四 边 形 OBCD 是 菱 形 ， OB=OD=10， 点 B 的 坐 标 为 ： (10， 0)， AB=AD， 即 A 是 BD的 中 点 ， 点 A 的 坐 标 为 ： (8， 4)， 点 A在 反 比 例 函 数 y= kx 上 ， k=xy=8 4=32， OD BC， DOM= FBE， tan FBE=tan DOM= 8 46 3DMOM ，设 EF=4a， BE
13、=3a， 则 点 F的 坐 标 为 ： (10+3a， 4a)， 点 F在 反 比 例 函 数 y= 32x 上 ， 4a(10+3a)=32，即 3a 2+10a-8=0， 解 得 ： a1= 23 ， a2=-4(舍 去 )， 点 F 的 坐 标 为 ： (12， 83 ).答 案 ： (12， 83 ).16.图 1是 一 张 可 以 折 叠 的 小 床 展 开 后 支 撑 起 来 放 在 地 面 的 示 意 图 ， 此 时 点 A、 B、 C 在 同 一直 线 上 ， 且 ACD=90 ， 图 2 是 小 床 支 撑 脚 CD 折 叠 的 示 意 图 ， 在 折 叠 过 程 中 ， A
14、CD 变 形 为 四 边 形 ABC D ， 最 后 折 叠 形 成 一 条 线 段 BD .(1)小 床 这 样 设 计 应 用 的 数 学 原 理 是 .(2)若 AB： BC=1： 4， 则 tan CAD的 值 是 .解 析 ： (1)小 床 这 样 设 计 应 用 的 数 学 原 理 是 ： 三 角 形 具 有 稳 定 性 ；故 答 案 为 ： 三 角 形 具 有 稳 定 性 .(2) AB： BC=1： 4， 设 AB=x， DC=y， 则 BC=4x， C D =y，由 图 形 可 得 ： BC =4x， 则 AC =3x， AD=AD =3x+y， 故 AC2+DC2=AD2，
15、 即 (5x)2+y2=(3x+y)2， 解 得 ： y=83 x， 则 tan CAD的 值 是 ： 8 835 15xDCAC x .答 案 ： 815 .三 、 解 答 题 ： 本 题 有 8 小 题 ， 共 66分 ， 各 小 题 都 必 须 写 出 解 答 过 程 。17.计 算 ： 12+2 -1-4cos30 +|- 12 |.解 析 ： 首 先 根 据 算 术 平 方 根 、 负 整 数 指 数 幂 的 运 算 方 法 ， 以 及 30 的 三 角 函 数 值 ， 还 有 绝对 值 的 求 法 计 算 ， 然 后 根 据 加 法 交 换 律 和 加 法 结 合 律 ， 求 出
16、算 式 12 +2-1-4cos30 +|- 12 |的 值 是 多 少 即 可 .答 案 ： 12+2-1-4cos30 +|- 12 |=2 3 + 12 -4 32 + 12=2 3 + 12 -2 3 + 12 =(2 3 -2 3 )+( 12 + 12 )=0+1=118.解 不 等 式 组 5 3 44 1 3 2 .x xx x ， .解 析 ： 分 别 求 出 不 等 式 组 中 两 不 等 式 的 解 集 ， 找 出 解 集 的 公 共 部 分 即 可 . 答 案 ： 5 3 44 1 3 2 .x xx x ， 由 得 ： x 3，由 得 ： x 12 ， 则 不 等 式
17、 组 的 解 集 为 12 x 3.19.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 A 的 坐 标 是 (0， 3)， 点 B 在 x 轴 上 ， 将 AOB绕 点 A 逆 时 针 旋转 90 得 到 AEF， 点 O、 B 的 对 应 点 分 别 是 点 E、 F. (1)若 点 B 的 坐 标 是 (-4， 0)， 请 在 图 中 画 出 AEF， 并 写 出 点 E、 F的 坐 标 .(2)当 点 F 落 在 x 轴 的 上 方 时 ， 试 写 出 一 个 符 合 条 件 的 点 B 的 坐 标 .解 析 ： (1) AOB绕 点 A逆 时 针 旋 转 90 后 得 到 AEF， 所
18、以 AO AE， AB AF， BO EF， AO=AE，AB=AF， BO=EF， 据 此 在 图 中 画 出 AEF， 并 写 出 点 E、 F 的 坐 标 即 可 .(2)根 据 点 F 落 在 x 轴 的 上 方 ， 可 得 EF AO； 然 后 根 据 EF=OB， 判 断 出 OB 3， 即 可 求 出 一个 符 合 条 件 的 点 B 的 坐 标 是 多 少 .答 案 ： (1) AOB绕 点 A逆 时 针 旋 转 90 后 得 到 AEF， AO AE， AB AF， BO EF， AO=AE， AB=AF， BO=EF， AEF在 图 中 表 示 为 ： AO AE， AO=
19、AE， 点 E 的 坐 标 是 (3， 3)， EF=OB=4， 点 F 的 坐 标 是 (3， -1).(2) 点 F 落 在 x 轴 的 上 方 ， EF AO，又 EF=OB， OB AO， AO=3， OB 3， 一 个 符 合 条 件 的 点 B 的 坐 标 是 (-2， 0). 20.小 明 随 机 调 查 了 若 干 市 民 租 用 公 共 自 行 车 的 骑 车 时 间 t(单 位 ： 分 )， 将 获 得 的 数 据 分 成四 组 ， 绘 制 了 如 图 统 计 图 ， 请 根 据 图 中 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)这 次 被 调 查 的 总 人 数 是 多
20、 少 ？(2)试 求 表 示 A 组 的 扇 形 圆 心 角 的 度 数 ， 并 补 全 条 形 统 计 图 .(3)如 果 骑 自 行 车 的 平 均 速 度 为 12km/h， 请 估 算 ， 在 租 用 公 共 自 行 车 的 市 民 中 ， 骑 车 路 程 不 超 过 6km的 人 数 所 占 的 百 分 比 .解 析 ： (1)根 据 B 类 人 数 是 19， 所 占 的 百 分 比 是 38%， 据 此 即 可 求 得 调 查 的 总 人 数 ；(2)利 用 360 乘 以 对 应 的 百 分 比 即 可 求 解 ；(3)求 得 路 程 是 6km 时 所 用 的 时 间 ， 根
21、 据 百 分 比 的 意 义 可 求 得 路 程 不 超 过 6km 的 人 数 所 占 的百 分 比 .答 案 ： (1)调 查 的 总 人 数 是 ： 19 38%=50(人 )；(2)A组 所 占 圆 心 角 的 度 数 是 ： 360 1550 =108 ，C组 的 人 数 是 ： 50-15-19-4=12. (3)路 程 是 6km 时 所 用 的 时 间 是 ： 6 12=0.5(小 时 )=30(分 钟 )，则 骑 车 路 程 不 超 过 6km的 人 数 所 占 的 百 分 比 是 ： 50 450 100%=92%.21.如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， 点 F 在
22、边 BC上 ， 且 AF=AD， 过 点 D作 DE AF， 垂 足 为 点 E.(1)求 证 ： DE=AB. (2)以 D 为 圆 心 ， DE为 半 径 作 圆 弧 交 AD于 点 G.若 BF=FC=1， 试 求 弧 EG的 长 .解 析 ： (1)由 矩 形 的 性 质 得 出 B= C=90 ， AB=BC=AD=DC， AD BC， 得 出 EAD= AFB， 由AAS证 明 ADE FAB， 得 出 对 应 边 相 等 即 可 ；(2)连 接 DF， 先 证 明 DCF ABF， 得 出 DF=AF， 再 证 明 ADF是 等 边 三 角 形 ， 得 出 DAE=60 ， AD
23、E=30 ， 由 AE=BF=1， 根 据 三 角 函 数 得 出 DE， 由 弧 长 公 式 即 可 求 出 弧 EG的 长 .答 案 ： (1) 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， B= C=90 ， AB=BC=AD=DC， AD BC， EAD= AFB， DE AF， AED=90 ，在 ADE和 FAB中 ， 90AED BEAD AFBAD AB ， ADE FAB(AAS)， DE=AB.(2)连 接 DF， 如 图 所 示 ： 在 DCF和 ABF中 ， DC=AB C= B FC=BF ， DCF ABF(SAS)， DF=AF， AF=AD， DF=AF=AD， ADF是
24、 等 边 三 角 形 ， DAE=60 ， DE AF， AED=90 ， ADE=30 ， ADE FAB， AE=BF=1， DE= 3 AE= 3 ， 弧 EG 的 长 = 30 3 3180 6 .22.小 慧 和 小 聪 沿 图 1 中 的 景 区 公 路 游 览 .小 慧 乘 坐 车 速 为 30km/h 的 电 动 汽 车 ， 早 上 7： 00从 宾 馆 出 发 ， 游 玩 后 中 午 12： 00回 到 宾 馆 .小 聪 骑 车 从 飞 瀑 出 发 前 往 宾 馆 ， 速 度 为 20km/h，途 中 遇 见 小 慧 时 ， 小 慧 恰 好 游 完 一 景 点 后 乘 车 前
25、 往 下 一 景 点 .上 午 10： 00小 聪 到 达 宾 馆 .图2中 的 图 象 分 别 表 示 两 人 离 宾 馆 的 路 程 s(km)与 时 间 t(h)的 函 数 关 系 .试 结 合 图 中 信 息 回 答 ： (1)小 聪 上 午 几 点 钟 从 飞 瀑 出 发 ？(2)试 求 线 段 AB、 GH的 交 点 B的 坐 标 ， 并 说 明 它 的 实 际 意 义 .(3)如 果 小 聪 到 达 宾 馆 后 ， 立 即 以 30km/h的 速 度 按 原 路 返 回 ， 那 么 返 回 途 中 他 几 点 钟 遇 见 小 慧 ？解 析 ： (1)根 据 时 间 =路 程 速
26、度 ， 可 得 小 聪 骑 车 从 飞 瀑 出 发 到 宾 馆 所 用 时 间 为 ： 5020=2.5(小 时 )， 从 10点 往 前 推 2.5小 时 ， 即 可 解 答 ；(2)利 用 得 到 待 定 系 数 法 求 GH的 解 析 式 ， 当 s=30时 ， 求 出 t 的 值 ， 即 可 确 定 点 B 的 坐 标 ；(3)根 据 50 30= 53 (小 时 )=1小 时 40 分 钟 ， 确 定 当 小 慧 在 D点 时 ， 对 应 的 时 间 点 是 10： 20，而 小 聪 到 达 宾 馆 返 回 的 时 间 是 10： 00， 设 小 聪 返 回 x 小 时 后 两 人
27、相 遇 ， 根 据 题 意 得 ：30 x+30(x- 13 )=50， 解 得 ： x=1， 10+1=11点 ， 即 可 解 答 .答 案 ： (1)小 聪 骑 车 从 飞 瀑 出 发 到 宾 馆 所 用 时 间 为 ： 50 20=2.5(小 时 )， 上 午 10： 00 小 聪 到 达 宾 馆 ， 小 聪 上 午 7 点 30 分 从 飞 瀑 出 发 .(2)3-2.5=0.5， 点 G 的 坐 标 为 (0.5， 50)，设 GH 的 解 析 式 为 s=kt+b， 把 G(0.5， 50)， H(3， 0)， 代 入 得 ： 0.5 503 0k bk b ， 解 得 ： 206
28、0kb ， s=-20t+60，当 s=30时 ， t=1.5， B点 的 坐 标 为 (1.5， 30)，点 B 的 实 际 意 义 是 当 小 慧 出 发 1.5小 时 时 ， 小 慧 与 小 聪 相 遇 ， 且 离 宾 馆 的 路 程 为 30km.(3)50 30= 53 (小 时 )=1小 时 40分 钟 ， 12- 53 =1013 ， 当 小 慧 在 D 点 时 ， 对 应 的 时 间 点 是 10： 20，而 小 聪 到 达 宾 馆 返 回 的 时 间 是 10： 00，设 小 聪 返 回 x 小 时 后 两 人 相 遇 ， 根 据 题 意 得 ： 30 x+30(x- 13
29、)=50，解 得 ： x=1， 10+1=11=11点 ， 小 聪 到 达 宾 馆 后 ， 立 即 以 30km/h的 速 度 按 原 路 返 回 ， 那 么 返 回 途 中 他 11点 遇 见 小 慧 . 23.图 1、 图 2 为 同 一 长 方 体 房 间 的 示 意 图 ， 图 3为 该 长 方 体 的 表 面 展 开 图 .(1)蜘 蛛 在 顶 点 A 处 . 苍 蝇 在 顶 点 B处 时 ， 试 在 图 1 中 画 出 蜘 蛛 为 捉 住 苍 蝇 ， 沿 墙 面 爬 行 的 最 近 路 线 . 苍 蝇 在 顶 点 C 处 时 ， 图 2 中 画 出 了 蜘 蛛 捉 住 苍 蝇 的
30、两 条 路 线 ， 往 天 花 板 ABCD 爬 行 的 最 近路 线 A GC和 往 墙 面 BB C C 爬 行 的 最 近 路 线 A HC， 试 通 过 计 算 判 断 哪 条 路 线 更 近 .(2)在 图 3 中 ， 半 径 为 10dm 的 M 与 D C 相 切 ， 圆 心 M 到 边 CC 的 距 离 为 15dm， 蜘 蛛 P 在 线 段 AB 上 ， 苍 蝇 Q 在 M 的 圆 周 上 ， 线 段 PQ 为 蜘 蛛 爬 行 路 线 ， 若 PQ 与 M 相 切 ， 试 求PQ长 度 的 范 围 .解 析 ： (1) 根 据 “ 两 点 之 间 ， 线 段 最 短 ” 可
31、知 ： 线 段 A B 为 最 近 路 线 ； .将 长 方 体 展 开 ， 使 得 长 方 形 ABB A 和 长 方 形 ABCD在 同 一 平 面 内 ， 如 图 2 ， 运 用 勾 股 定 理 求 出 AC 长 ； .将 长 方 体 展 开 ， 使 得 长 方 形 ABB A 和 长 方 形 BCC B 在 同 一 平 面内 ， 如 图 2 ， 运 用 勾 股 定 理 求 出 A C长 ， 然 后 将 两 个 长 度 进 行 比 较 ， 就 可 解 决 问 题 ；(2)过 点 M 作 MH AB 于 H， 连 接 MQ、 MP、 MA、 MB， 如 图 3.由 M 与 D C 相 切
32、于 点 Q 可 得MQ PQ， 即 MQP=90 ， 根 据 勾 股 定 理 可 得 PQ= 2 2 2 100MP MQ MP .要 求 PQ 的取 值 范 围 ， 只 需 先 求 出 MP的 取 值 范 围 ， 就 可 解 决 问 题 .答 案 ： (1) 根 据 “ 两 点 之 间 ， 线 段 最 短 ” 可 知 ：线 段 A B 为 最 近 路 线 ， 如 图 1 所 示 . .将 长 方 体 展 开 ， 使 得 长 方 形 ABB A 和 长 方 形 ABCD在 同 一 平 面 内 ， 如 图 2 .在 Rt A B C中 ， B =90 ， A B =40， B C=60， AC=
33、 2 240 60 5200 20 13 . .将 长 方 体 展 开 ， 使 得 长 方 形 ABB A 和 长 方 形 BCC B 在 同 一 平 面 内 ， 如 图 2 . 在 Rt A C C中 ， C =90 ， A C =70， C C=30， A C= 2 270 30 5800 10 58 . 5200 5800 ， 往 天 花 板 ABCD爬 行 的 最 近 路 线 A GC更 近 ；(2)过 点 M 作 MH AB于 H， 连 接 MQ、 MP、 MA、 MB， 如 图 3. 半 径 为 10dm 的 M与 D C 相 切 ， 圆 心 M 到 边 CC 的 距 离 为 15
34、dm， BC =60dm， MH=60-10=50， HB=15， AH=40-15=25，根 据 勾 股 定 理 可 得 AM= 2 2 2 225 50 3125AH MH ，MB= 2 2 2 215 50 2725BH MH ， 50 MP 3125 . M与 D C 相 切 于 点 Q， MQ PQ， MQP=90 ， PQ= 2 2 2 100MP MQ MP .当 MP=50 时 ， PQ= 2400 =20 6 ；当 MP= 3125 时 ， PQ= 3025 =55. PQ 长 度 的 范 围 是 20 6 dm PQ 55dm. 24.如 图 ， 抛 物 线 y=ax2+c
35、(a 0)与 y 轴 交 于 点 A， 与 x 轴 交 于 B， C 两 点 (点 C 在 x 轴 正 半 轴上 )， ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 面 积 为 4， 现 将 抛 物 线 沿 BA 方 向 平 移 ， 平 移 后 的 抛 物 线过 点 C时 ， 与 x轴 的 另 一 点 为 E， 其 顶 点 为 F， 对 称 轴 与 x 轴 的 交 点 为 H. (1)求 a、 c的 值 .(2)连 接 OF， 试 判 断 OEF是 否 为 等 腰 三 角 形 ， 并 说 明 理 由 .(3)现 将 一 足 够 大 的 三 角 板 的 直 角 顶 点 Q 放 在 射 线 AF
36、或 射 线 HF 上 ， 一 直 角 边 始 终 过 点 E，另 一 直 角 边 与 y 轴 相 交 于 点 P， 是 否 存 在 这 样 的 点 Q， 使 以 点 P、 Q、 E 为 顶 点 的 三 角 形 与 POE全 等 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 Q的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)先 求 出 A(0， c)， 则 OA=c， 再 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 OA=OB=OC=c， 理 由 三角 形 面 积 公 式 得 12 c 2c=4， 解 得 c=2， 接 着 把 C(2， 0)代 入 y=ax 2+2可 求
37、出 a 的 值 ；(2)如 图 1， 先 利 用 待 定 系 数 法 求 出 直 线 AB 的 解 析 式 为 y=x+2， 设 F(t， t+2)， 利 用 抛 物 线平 移 的 规 律 可 设 平 移 后 的 抛 物 线 解 析 式 为 y=- 12 (x-t)2+t+2， 再 把 C(2， 0)代 入 得- 12 (2-t)2+t+2=0， 可 解 得 t=6， 则 平 移 后 的 抛 物 线 解 析 式 为 y=- 12 (x-6)2+8， 所 以 F(6， 8)，利 用 勾 股 定 理 计 算 出 OF=10， 接 着 根 据 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 问 题 确 定 E(
38、10， 0)， 则 OE=OF=10，于 是 可 判 断 OEF为 等 腰 三 角 形 ；(3)分 类 讨 论 ： 当 点 Q在 射 线 HF上 ， 如 图 2， 利 用 三 角 形 全 等 的 判 定 方 法 ， 当 EQ=EO=10时 ， EQP EOP， 则 可 根 据 勾 股 定 理 计 算 出 QH=2 21， 于 是 可 得 Q点 坐 标 为 (6， 2 21)； 当 点 Q 在 射 线 AF上 ， 如 图 3， 利 用 三 角 形 全 等 的 判 定 方 法 ， 当 EQ=EO=10时 ， EQP EOP，设 Q(m， m+2)， 利 用 两 点 间 的 距 离 公 式 得 到
39、(m-10)2+(m+2)2=102， 解 方 程 求 出 m的 值 即 可 得 到Q点 坐 标 .答 案 ： (1) 抛 物 线 y=ax2+c(a 0)与 y轴 交 于 点 A， A(0， c)， 则 OA=c， ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， OA=OB=OC=c， 12 c 2c=4， 解 得 c=2， C(2， 0)，把 C(2， 0)代 入 y=ax 2+2 得 4a+2=0， 解 得 a=- 12 ；(2) OEF是 等 腰 三 角 形 .理 由 如 下 ： 如 图 ，设 直 线 AB 的 解 析 式 为 y=kx+b， 把 A(0， 2)、 B(-2， 0)代 入 得
40、 22 0b k b ， ， 解 得 12kb ，则 直 线 AB 的 解 析 式 为 y=x+2，设 F(t， t+2)， 抛 物 线 y=- 12 x2+2沿 BA 方 向 平 移 ， 平 移 后 的 抛 物 线 过 点 C时 ， 顶 点 为 F， 平 移 后 的 抛 物 线 解 析 式 为 y=- 12 (x-t) 2+t+2，把 C(2， 0)代 入 得 - 12 (2-t)2+t+2=0， 解 得 t=6， 平 移 后 的 抛 物 线 解 析 式 为 y=- 12 (x-6)2+8， F(6， 8)， OF= 2 26 8 =10，令 y=0， - 12 (x-6)2+8=0， 解
41、得 x 1=2， x2=10， OE=10， OE=OF， OEF为 等 腰 三 角 形 ；(3)存 在 .点 Q 的 位 置 分 两 种 情 形 .情 形 一 ： 点 Q 在 射 线 HF 上 ，当 点 P在 x轴 上 方 时 ， 如 图 ， EQP=90 ， EP=EP， 当 EQ=EO=10时 ， EQP EOP，而 HE=10-6=4， QH= 2 210 4 2 21 ， 此 时 Q点 坐 标 为 (6， 2 21)；当 点 P在 x轴 下 方 时 ， 如 图 ， 有 PQ=OE=10， 过 P点 作 PK HF于 点 K， 则 有 PK=6， 在 Rt PQK中 ， QK=PQ2-
42、PK2=102-62=8， PQE=90 ， PQK+HQE=90 ， PKQ= QHE=90 ， PKQ QHE， PK QKQH HE ， 6 84QH ， 解 得 QH=3， Q(6， 3).情 形 二 、 点 Q 在 射 线 AF 上 ，当 PQ=OE=10时 ， 如 图 ， 有 QE=PO， 四 边 形 POEQ 为 矩 形 ， Q 的 横 坐 标 为 10，当 x=10时 ， y=x+2=12， Q(10， 12).当 QE=OE=10时 ， 如 图 ， 过 Q 作 QM y 轴 于 点 M， 过 E点 作 x 轴 的 垂 线 交 QM 于 点 N.设 Q 的 坐 标 为 为 (x
43、， x+2)， MQ=x， QN=10-x， EN=x+2，在 Rt QEN中 ， 有 QE2=QN2+EN2， 即 102=(10-x)2+(x+2)2， 解 得 x=4 14 ，当 x=4+ 14 时 ， 如 图 ， y=x+2=6+ 14 ， Q(4+ 14 ， 6+ 14 )，当 x=4- 14 时 ， 如 图 ， y=x+2=6- 14 ， Q(4- 14 ， 6- 14 )，综 上 所 述 ， Q 点 的 坐 标 为 (6， 2 21)或 (6， 3)或 (10， 12)或 (4+ 14， 6+ 14 )或 (4- 14，6- 14)， 使 P， Q， E 三 点 为 顶 点 的 三 角 形 与 POE全 等 .
