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    2015年浙江省金华市中考真题数学及答案解析.docx

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    2015年浙江省金华市中考真题数学及答案解析.docx

    1、2015 年 浙 江 省 金 华 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 : 本 题 有 10 小 题 , 每 小 题 3 分 , 共 30 分 .1.计 算 (a2)3的 结 果 是 ( )A.a5B.a6C.a8D.3a 2解 析 : 根 据 幂 的 乘 方 , 底 数 不 变 , 指 数 相 乘 , 计 算 后 直 接 选 取 答 案 .(a2)3=a6.答 案 : B2.要 使 分 式 1 2x 有 意 义 , 则 x 的 取 值 应 满 足 ( )A.x=-2B.x 2C.x -2D.x -2解 析 : 分 式 1 2x 有 意 义 , x+2 0, x -2, 即 x的 取

    2、值 应 满 足 : x -2. 答 案 : D3.点 P(4, 3)所 在 的 象 限 是 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 : 因 为 点 P(4, 3)的 横 坐 标 是 正 数 , 纵 坐 标 是 正 数 , 所 以 点 P在 平 面 直 角 坐 标 系 的 第 一象 限 .答 案 : A4.已 知 =35 , 则 的 补 角 的 度 数 是 ( )A.55 B.65C.145D.165解 析 : 根 据 互 补 即 两 角 的 和 为 180 , 由 此 即 可 得 出 的 补 角 度 数 . 的 补 角 =180 -35 =145

    3、.答 案 : C5.一 元 二 次 方 程 x 2+4x-3=0的 两 根 为 x1、 x2, 则 x1 x2的 值 是 ( )A.4B.-4 C.3D.-3解 析 : 根 据 根 与 系 数 的 关 系 求 解 . x1 x2= ca =-3.答 案 : D.6.如 图 , 数 轴 上 的 A、 B、 C、 D 四 点 中 , 与 数 - 3 表 示 的 点 最 接 近 的 是 ( )A.点 AB.点 BC.点 C D.点 D解 析 : 3 1.732, - 3 -1.732, 点 A、 B、 C、 D 表 示 的 数 分 别 为 -3、 -2、 -1、 2, 与 数 - 3 表 示 的 点

    4、 最 接 近 的 是 点 B.答 案 : B.7.如 图 的 四 个 转 盘 中 , C、 D 转 盘 分 成 8 等 分 , 若 让 转 盘 自 由 转 动 一 次 , 停 止 后 , 指 针 落 在阴 影 区 域 内 的 概 率 最 大 的 转 盘 是 ( ) A.B.C. D. 解 析 : A、 如 图 所 示 : 指 针 落 在 阴 影 区 域 内 的 概 率 为 : 360 90 3360 4 ;B、 如 图 所 示 : 指 针 落 在 阴 影 区 域 内 的 概 率 为 : 360 120 2360 3 ;C、 如 图 所 示 : 指 针 落 在 阴 影 区 域 内 的 概 率 为

    5、 : 12 ;D、 如 图 所 示 : 指 针 落 在 阴 影 区 域 内 的 概 率 为 : 58 , 34 58 23 12 , 指 针 落 在 阴 影 区 域 内 的 概 率 最 大 的 转 盘 是 : 34 .答 案 : A 8.图 2 是 图 1 中 拱 形 大 桥 的 示 意 图 , 桥 拱 与 桥 面 的 交 点 为 O, B, 以 点 O 为 原 点 , 水 平 直 线OB为 x轴 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 桥 的 拱 形 可 近 似 看 成 抛 物 线 y=- 1400 (x-80)2+16, 桥 拱 与桥 墩 AC的 交 点 C 恰 好 在 水 面 , 有

    6、 AC x 轴 , 若 OA=10 米 , 则 桥 面 离 水 面 的 高 度 AC 为 ( ) A.16 940 米B.174 米C. 716 40 米D.154 米解 析 : AC x轴 , OA=10 米 , 点 C 的 横 坐 标 为 -10,当 x=-10 时 , y=- 1400 (x-80) 2+16=- 1400 (-10-80)2+16=-174 , C(-10, -174 ), 桥 面 离 水 面 的 高 度 AC 为 174 m.答 案 : B.9.以 下 四 种 沿 AB折 叠 的 方 法 中 , 不 一 定 能 判 定 纸 带 两 条 边 线 a, b互 相 平 行

    7、的 是 ( ) A.如 图 1, 展 开 后 测 得 1= 2B.如 图 2, 展 开 后 测 得 1= 2 且 3= 4C.如 图 3, 测 得 1= 2D.如 图 4, 展 开 后 再 沿 CD折 叠 , 两 条 折 痕 的 交 点 为 O, 测 得 OA=OB, OC=OD解 析 : A、 1= 2, 根 据 内 错 角 相 等 , 两 直 线 平 行 进 行 判 定 , 故 正 确 ;B、 1= 2 且 3= 4, 由 图 可 知 1+ 2=180 , 3+ 4=180 , 1= 2= 3= 4=90 , a b(内 错 角 相 等 , 两 直 线 平 行 ), 故 正 确 ;C、 测

    8、 得 1= 2, 1 与 2 即 不 是 内 错 角 也 不 是 同 位 角 , 不 一 定 能 判 定 两 直 线 平 行 ,故 错 误 ;D、 在 AOB和 COD中 , OA OBAOB CODOC OD , , AOB COD, CAO= DBO, a b(内 错 角 相 等 , 两 直 线 平 行 ), 故 正 确 .答 案 : C.10.如 图 , 正 方 形 ABCD和 正 AEF都 内 接 于 O, EF 与 BC、 CD分 别 相 交 于 点 G、 H, 则 EFGH的 值 是 ( ) A. 62B. 2C. 3D.2解 析 : 如 图 , 连 接 AC、 BD、 OF, 设

    9、 O的 半 径 是 r, 则 OF=r, AO 是 EAF的 平 分 线 , OAF=60 2=30 , OA=OF, OFA= OAF=30 , COF=30 +30 =60 , FI=r sin60 = 32 r, EF= 32 r 2= 3 r, AO=2OI, OI= 12 r, CI=r- 12 r= 12 r, GH CIBD CO = 12 , GH= 12 BD= 12 2r=r, EFGH= 3rr = 3 , 即 则 EFGH 的 值 是 3 .答 案 : C 二 、 填 空 题 : 本 题 有 6 小 题 , 每 小 题 4分 , 共 24分 。11.实 数 -3的 相

    10、反 数 是 .解 析 : 根 据 只 有 符 号 不 同 的 两 个 数 互 为 相 反 数 , 可 得 一 个 数 的 相 反 数 .实 数 -3的 相 反 数 是 3,答 案 : 312.数 据 6, 5, 7, 7, 9 的 众 数 是 .解 析 : 数 字 7 出 现 了 2 次 , 为 出 现 次 数 最 多 的 数 , 故 众 数 为 7.答 案 : 713.已 知 a+b=3, a-b=5, 则 代 数 式 a 2-b2的 值 是 .解 析 : a+b=3, a-b=5, 原 式 =(a+b)(a-b)=15.答 案 : 1514.如 图 , 直 线 l1、 l2、 l6是 一

    11、组 等 距 的 平 行 线 , 过 直 线 l1上 的 点 A 作 两 条 射 线 , 分 别 与直 线 l3、 l6相 交 于 点 B、 E、 C、 F.若 BC=2, 则 EF的 长 是 . 解 析 : l3 l6, BC EF, ABC AEF, 25AB BCAE EF , BC=2, EF=5.答 案 : 515.如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 菱 形 OBCD 的 边 OB 在 x 轴 正 半 轴 上 , 反 比 例 函 数 y= kx (x 0)的 图 象 经 过 该 菱 形 对 角 线 的 交 点 A, 且 与 边 BC交 于 点 F.若 点 D 的 坐 标

    12、 为 (6, 8), 则 点F的 坐 标 是 . 解 析 : 过 点 D 作 DM x 轴 于 点 M, 过 点 F 作 FE x 于 点 E, 点 D的 坐 标 为 (6, 8), OD= 2 26 8 =10, 四 边 形 OBCD 是 菱 形 , OB=OD=10, 点 B 的 坐 标 为 : (10, 0), AB=AD, 即 A 是 BD的 中 点 , 点 A 的 坐 标 为 : (8, 4), 点 A在 反 比 例 函 数 y= kx 上 , k=xy=8 4=32, OD BC, DOM= FBE, tan FBE=tan DOM= 8 46 3DMOM ,设 EF=4a, BE

    13、=3a, 则 点 F的 坐 标 为 : (10+3a, 4a), 点 F在 反 比 例 函 数 y= 32x 上 , 4a(10+3a)=32,即 3a 2+10a-8=0, 解 得 : a1= 23 , a2=-4(舍 去 ), 点 F 的 坐 标 为 : (12, 83 ).答 案 : (12, 83 ).16.图 1是 一 张 可 以 折 叠 的 小 床 展 开 后 支 撑 起 来 放 在 地 面 的 示 意 图 , 此 时 点 A、 B、 C 在 同 一直 线 上 , 且 ACD=90 , 图 2 是 小 床 支 撑 脚 CD 折 叠 的 示 意 图 , 在 折 叠 过 程 中 , A

    14、CD 变 形 为 四 边 形 ABC D , 最 后 折 叠 形 成 一 条 线 段 BD .(1)小 床 这 样 设 计 应 用 的 数 学 原 理 是 .(2)若 AB: BC=1: 4, 则 tan CAD的 值 是 .解 析 : (1)小 床 这 样 设 计 应 用 的 数 学 原 理 是 : 三 角 形 具 有 稳 定 性 ;故 答 案 为 : 三 角 形 具 有 稳 定 性 .(2) AB: BC=1: 4, 设 AB=x, DC=y, 则 BC=4x, C D =y,由 图 形 可 得 : BC =4x, 则 AC =3x, AD=AD =3x+y, 故 AC2+DC2=AD2,

    15、 即 (5x)2+y2=(3x+y)2, 解 得 : y=83 x, 则 tan CAD的 值 是 : 8 835 15xDCAC x .答 案 : 815 .三 、 解 答 题 : 本 题 有 8 小 题 , 共 66分 , 各 小 题 都 必 须 写 出 解 答 过 程 。17.计 算 : 12+2 -1-4cos30 +|- 12 |.解 析 : 首 先 根 据 算 术 平 方 根 、 负 整 数 指 数 幂 的 运 算 方 法 , 以 及 30 的 三 角 函 数 值 , 还 有 绝对 值 的 求 法 计 算 , 然 后 根 据 加 法 交 换 律 和 加 法 结 合 律 , 求 出

    16、算 式 12 +2-1-4cos30 +|- 12 |的 值 是 多 少 即 可 .答 案 : 12+2-1-4cos30 +|- 12 |=2 3 + 12 -4 32 + 12=2 3 + 12 -2 3 + 12 =(2 3 -2 3 )+( 12 + 12 )=0+1=118.解 不 等 式 组 5 3 44 1 3 2 .x xx x , .解 析 : 分 别 求 出 不 等 式 组 中 两 不 等 式 的 解 集 , 找 出 解 集 的 公 共 部 分 即 可 . 答 案 : 5 3 44 1 3 2 .x xx x , 由 得 : x 3,由 得 : x 12 , 则 不 等 式

    17、 组 的 解 集 为 12 x 3.19.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 点 A 的 坐 标 是 (0, 3), 点 B 在 x 轴 上 , 将 AOB绕 点 A 逆 时 针 旋转 90 得 到 AEF, 点 O、 B 的 对 应 点 分 别 是 点 E、 F. (1)若 点 B 的 坐 标 是 (-4, 0), 请 在 图 中 画 出 AEF, 并 写 出 点 E、 F的 坐 标 .(2)当 点 F 落 在 x 轴 的 上 方 时 , 试 写 出 一 个 符 合 条 件 的 点 B 的 坐 标 .解 析 : (1) AOB绕 点 A逆 时 针 旋 转 90 后 得 到 AEF, 所

    18、以 AO AE, AB AF, BO EF, AO=AE,AB=AF, BO=EF, 据 此 在 图 中 画 出 AEF, 并 写 出 点 E、 F 的 坐 标 即 可 .(2)根 据 点 F 落 在 x 轴 的 上 方 , 可 得 EF AO; 然 后 根 据 EF=OB, 判 断 出 OB 3, 即 可 求 出 一个 符 合 条 件 的 点 B 的 坐 标 是 多 少 .答 案 : (1) AOB绕 点 A逆 时 针 旋 转 90 后 得 到 AEF, AO AE, AB AF, BO EF, AO=AE, AB=AF, BO=EF, AEF在 图 中 表 示 为 : AO AE, AO=

    19、AE, 点 E 的 坐 标 是 (3, 3), EF=OB=4, 点 F 的 坐 标 是 (3, -1).(2) 点 F 落 在 x 轴 的 上 方 , EF AO,又 EF=OB, OB AO, AO=3, OB 3, 一 个 符 合 条 件 的 点 B 的 坐 标 是 (-2, 0). 20.小 明 随 机 调 查 了 若 干 市 民 租 用 公 共 自 行 车 的 骑 车 时 间 t(单 位 : 分 ), 将 获 得 的 数 据 分 成四 组 , 绘 制 了 如 图 统 计 图 , 请 根 据 图 中 信 息 , 解 答 下 列 问 题 :(1)这 次 被 调 查 的 总 人 数 是 多

    20、 少 ?(2)试 求 表 示 A 组 的 扇 形 圆 心 角 的 度 数 , 并 补 全 条 形 统 计 图 .(3)如 果 骑 自 行 车 的 平 均 速 度 为 12km/h, 请 估 算 , 在 租 用 公 共 自 行 车 的 市 民 中 , 骑 车 路 程 不 超 过 6km的 人 数 所 占 的 百 分 比 .解 析 : (1)根 据 B 类 人 数 是 19, 所 占 的 百 分 比 是 38%, 据 此 即 可 求 得 调 查 的 总 人 数 ;(2)利 用 360 乘 以 对 应 的 百 分 比 即 可 求 解 ;(3)求 得 路 程 是 6km 时 所 用 的 时 间 , 根

    21、 据 百 分 比 的 意 义 可 求 得 路 程 不 超 过 6km 的 人 数 所 占 的百 分 比 .答 案 : (1)调 查 的 总 人 数 是 : 19 38%=50(人 );(2)A组 所 占 圆 心 角 的 度 数 是 : 360 1550 =108 ,C组 的 人 数 是 : 50-15-19-4=12. (3)路 程 是 6km 时 所 用 的 时 间 是 : 6 12=0.5(小 时 )=30(分 钟 ),则 骑 车 路 程 不 超 过 6km的 人 数 所 占 的 百 分 比 是 : 50 450 100%=92%.21.如 图 , 在 矩 形 ABCD中 , 点 F 在

    22、边 BC上 , 且 AF=AD, 过 点 D作 DE AF, 垂 足 为 点 E.(1)求 证 : DE=AB. (2)以 D 为 圆 心 , DE为 半 径 作 圆 弧 交 AD于 点 G.若 BF=FC=1, 试 求 弧 EG的 长 .解 析 : (1)由 矩 形 的 性 质 得 出 B= C=90 , AB=BC=AD=DC, AD BC, 得 出 EAD= AFB, 由AAS证 明 ADE FAB, 得 出 对 应 边 相 等 即 可 ;(2)连 接 DF, 先 证 明 DCF ABF, 得 出 DF=AF, 再 证 明 ADF是 等 边 三 角 形 , 得 出 DAE=60 , AD

    23、E=30 , 由 AE=BF=1, 根 据 三 角 函 数 得 出 DE, 由 弧 长 公 式 即 可 求 出 弧 EG的 长 .答 案 : (1) 四 边 形 ABCD是 矩 形 , B= C=90 , AB=BC=AD=DC, AD BC, EAD= AFB, DE AF, AED=90 ,在 ADE和 FAB中 , 90AED BEAD AFBAD AB , ADE FAB(AAS), DE=AB.(2)连 接 DF, 如 图 所 示 : 在 DCF和 ABF中 , DC=AB C= B FC=BF , DCF ABF(SAS), DF=AF, AF=AD, DF=AF=AD, ADF是

    24、 等 边 三 角 形 , DAE=60 , DE AF, AED=90 , ADE=30 , ADE FAB, AE=BF=1, DE= 3 AE= 3 , 弧 EG 的 长 = 30 3 3180 6 .22.小 慧 和 小 聪 沿 图 1 中 的 景 区 公 路 游 览 .小 慧 乘 坐 车 速 为 30km/h 的 电 动 汽 车 , 早 上 7: 00从 宾 馆 出 发 , 游 玩 后 中 午 12: 00回 到 宾 馆 .小 聪 骑 车 从 飞 瀑 出 发 前 往 宾 馆 , 速 度 为 20km/h,途 中 遇 见 小 慧 时 , 小 慧 恰 好 游 完 一 景 点 后 乘 车 前

    25、 往 下 一 景 点 .上 午 10: 00小 聪 到 达 宾 馆 .图2中 的 图 象 分 别 表 示 两 人 离 宾 馆 的 路 程 s(km)与 时 间 t(h)的 函 数 关 系 .试 结 合 图 中 信 息 回 答 : (1)小 聪 上 午 几 点 钟 从 飞 瀑 出 发 ?(2)试 求 线 段 AB、 GH的 交 点 B的 坐 标 , 并 说 明 它 的 实 际 意 义 .(3)如 果 小 聪 到 达 宾 馆 后 , 立 即 以 30km/h的 速 度 按 原 路 返 回 , 那 么 返 回 途 中 他 几 点 钟 遇 见 小 慧 ?解 析 : (1)根 据 时 间 =路 程 速

    26、度 , 可 得 小 聪 骑 车 从 飞 瀑 出 发 到 宾 馆 所 用 时 间 为 : 5020=2.5(小 时 ), 从 10点 往 前 推 2.5小 时 , 即 可 解 答 ;(2)利 用 得 到 待 定 系 数 法 求 GH的 解 析 式 , 当 s=30时 , 求 出 t 的 值 , 即 可 确 定 点 B 的 坐 标 ;(3)根 据 50 30= 53 (小 时 )=1小 时 40 分 钟 , 确 定 当 小 慧 在 D点 时 , 对 应 的 时 间 点 是 10: 20,而 小 聪 到 达 宾 馆 返 回 的 时 间 是 10: 00, 设 小 聪 返 回 x 小 时 后 两 人

    27、相 遇 , 根 据 题 意 得 :30 x+30(x- 13 )=50, 解 得 : x=1, 10+1=11点 , 即 可 解 答 .答 案 : (1)小 聪 骑 车 从 飞 瀑 出 发 到 宾 馆 所 用 时 间 为 : 50 20=2.5(小 时 ), 上 午 10: 00 小 聪 到 达 宾 馆 , 小 聪 上 午 7 点 30 分 从 飞 瀑 出 发 .(2)3-2.5=0.5, 点 G 的 坐 标 为 (0.5, 50),设 GH 的 解 析 式 为 s=kt+b, 把 G(0.5, 50), H(3, 0), 代 入 得 : 0.5 503 0k bk b , 解 得 : 206

    28、0kb , s=-20t+60,当 s=30时 , t=1.5, B点 的 坐 标 为 (1.5, 30),点 B 的 实 际 意 义 是 当 小 慧 出 发 1.5小 时 时 , 小 慧 与 小 聪 相 遇 , 且 离 宾 馆 的 路 程 为 30km.(3)50 30= 53 (小 时 )=1小 时 40分 钟 , 12- 53 =1013 , 当 小 慧 在 D 点 时 , 对 应 的 时 间 点 是 10: 20,而 小 聪 到 达 宾 馆 返 回 的 时 间 是 10: 00,设 小 聪 返 回 x 小 时 后 两 人 相 遇 , 根 据 题 意 得 : 30 x+30(x- 13

    29、)=50,解 得 : x=1, 10+1=11=11点 , 小 聪 到 达 宾 馆 后 , 立 即 以 30km/h的 速 度 按 原 路 返 回 , 那 么 返 回 途 中 他 11点 遇 见 小 慧 . 23.图 1、 图 2 为 同 一 长 方 体 房 间 的 示 意 图 , 图 3为 该 长 方 体 的 表 面 展 开 图 .(1)蜘 蛛 在 顶 点 A 处 . 苍 蝇 在 顶 点 B处 时 , 试 在 图 1 中 画 出 蜘 蛛 为 捉 住 苍 蝇 , 沿 墙 面 爬 行 的 最 近 路 线 . 苍 蝇 在 顶 点 C 处 时 , 图 2 中 画 出 了 蜘 蛛 捉 住 苍 蝇 的

    30、两 条 路 线 , 往 天 花 板 ABCD 爬 行 的 最 近路 线 A GC和 往 墙 面 BB C C 爬 行 的 最 近 路 线 A HC, 试 通 过 计 算 判 断 哪 条 路 线 更 近 .(2)在 图 3 中 , 半 径 为 10dm 的 M 与 D C 相 切 , 圆 心 M 到 边 CC 的 距 离 为 15dm, 蜘 蛛 P 在 线 段 AB 上 , 苍 蝇 Q 在 M 的 圆 周 上 , 线 段 PQ 为 蜘 蛛 爬 行 路 线 , 若 PQ 与 M 相 切 , 试 求PQ长 度 的 范 围 .解 析 : (1) 根 据 “ 两 点 之 间 , 线 段 最 短 ” 可

    31、知 : 线 段 A B 为 最 近 路 线 ; .将 长 方 体 展 开 , 使 得 长 方 形 ABB A 和 长 方 形 ABCD在 同 一 平 面 内 , 如 图 2 , 运 用 勾 股 定 理 求 出 AC 长 ; .将 长 方 体 展 开 , 使 得 长 方 形 ABB A 和 长 方 形 BCC B 在 同 一 平 面内 , 如 图 2 , 运 用 勾 股 定 理 求 出 A C长 , 然 后 将 两 个 长 度 进 行 比 较 , 就 可 解 决 问 题 ;(2)过 点 M 作 MH AB 于 H, 连 接 MQ、 MP、 MA、 MB, 如 图 3.由 M 与 D C 相 切

    32、于 点 Q 可 得MQ PQ, 即 MQP=90 , 根 据 勾 股 定 理 可 得 PQ= 2 2 2 100MP MQ MP .要 求 PQ 的取 值 范 围 , 只 需 先 求 出 MP的 取 值 范 围 , 就 可 解 决 问 题 .答 案 : (1) 根 据 “ 两 点 之 间 , 线 段 最 短 ” 可 知 :线 段 A B 为 最 近 路 线 , 如 图 1 所 示 . .将 长 方 体 展 开 , 使 得 长 方 形 ABB A 和 长 方 形 ABCD在 同 一 平 面 内 , 如 图 2 .在 Rt A B C中 , B =90 , A B =40, B C=60, AC=

    33、 2 240 60 5200 20 13 . .将 长 方 体 展 开 , 使 得 长 方 形 ABB A 和 长 方 形 BCC B 在 同 一 平 面 内 , 如 图 2 . 在 Rt A C C中 , C =90 , A C =70, C C=30, A C= 2 270 30 5800 10 58 . 5200 5800 , 往 天 花 板 ABCD爬 行 的 最 近 路 线 A GC更 近 ;(2)过 点 M 作 MH AB于 H, 连 接 MQ、 MP、 MA、 MB, 如 图 3. 半 径 为 10dm 的 M与 D C 相 切 , 圆 心 M 到 边 CC 的 距 离 为 15

    34、dm, BC =60dm, MH=60-10=50, HB=15, AH=40-15=25,根 据 勾 股 定 理 可 得 AM= 2 2 2 225 50 3125AH MH ,MB= 2 2 2 215 50 2725BH MH , 50 MP 3125 . M与 D C 相 切 于 点 Q, MQ PQ, MQP=90 , PQ= 2 2 2 100MP MQ MP .当 MP=50 时 , PQ= 2400 =20 6 ;当 MP= 3125 时 , PQ= 3025 =55. PQ 长 度 的 范 围 是 20 6 dm PQ 55dm. 24.如 图 , 抛 物 线 y=ax2+c

    35、(a 0)与 y 轴 交 于 点 A, 与 x 轴 交 于 B, C 两 点 (点 C 在 x 轴 正 半 轴上 ), ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 , 且 面 积 为 4, 现 将 抛 物 线 沿 BA 方 向 平 移 , 平 移 后 的 抛 物 线过 点 C时 , 与 x轴 的 另 一 点 为 E, 其 顶 点 为 F, 对 称 轴 与 x 轴 的 交 点 为 H. (1)求 a、 c的 值 .(2)连 接 OF, 试 判 断 OEF是 否 为 等 腰 三 角 形 , 并 说 明 理 由 .(3)现 将 一 足 够 大 的 三 角 板 的 直 角 顶 点 Q 放 在 射 线 AF

    36、或 射 线 HF 上 , 一 直 角 边 始 终 过 点 E,另 一 直 角 边 与 y 轴 相 交 于 点 P, 是 否 存 在 这 样 的 点 Q, 使 以 点 P、 Q、 E 为 顶 点 的 三 角 形 与 POE全 等 ? 若 存 在 , 求 出 点 Q的 坐 标 ; 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 .解 析 : (1)先 求 出 A(0, c), 则 OA=c, 再 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 OA=OB=OC=c, 理 由 三角 形 面 积 公 式 得 12 c 2c=4, 解 得 c=2, 接 着 把 C(2, 0)代 入 y=ax 2+2可 求

    37、出 a 的 值 ;(2)如 图 1, 先 利 用 待 定 系 数 法 求 出 直 线 AB 的 解 析 式 为 y=x+2, 设 F(t, t+2), 利 用 抛 物 线平 移 的 规 律 可 设 平 移 后 的 抛 物 线 解 析 式 为 y=- 12 (x-t)2+t+2, 再 把 C(2, 0)代 入 得- 12 (2-t)2+t+2=0, 可 解 得 t=6, 则 平 移 后 的 抛 物 线 解 析 式 为 y=- 12 (x-6)2+8, 所 以 F(6, 8),利 用 勾 股 定 理 计 算 出 OF=10, 接 着 根 据 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 问 题 确 定 E(

    38、10, 0), 则 OE=OF=10,于 是 可 判 断 OEF为 等 腰 三 角 形 ;(3)分 类 讨 论 : 当 点 Q在 射 线 HF上 , 如 图 2, 利 用 三 角 形 全 等 的 判 定 方 法 , 当 EQ=EO=10时 , EQP EOP, 则 可 根 据 勾 股 定 理 计 算 出 QH=2 21, 于 是 可 得 Q点 坐 标 为 (6, 2 21); 当 点 Q 在 射 线 AF上 , 如 图 3, 利 用 三 角 形 全 等 的 判 定 方 法 , 当 EQ=EO=10时 , EQP EOP,设 Q(m, m+2), 利 用 两 点 间 的 距 离 公 式 得 到

    39、(m-10)2+(m+2)2=102, 解 方 程 求 出 m的 值 即 可 得 到Q点 坐 标 .答 案 : (1) 抛 物 线 y=ax2+c(a 0)与 y轴 交 于 点 A, A(0, c), 则 OA=c, ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 , OA=OB=OC=c, 12 c 2c=4, 解 得 c=2, C(2, 0),把 C(2, 0)代 入 y=ax 2+2 得 4a+2=0, 解 得 a=- 12 ;(2) OEF是 等 腰 三 角 形 .理 由 如 下 : 如 图 ,设 直 线 AB 的 解 析 式 为 y=kx+b, 把 A(0, 2)、 B(-2, 0)代 入 得

    40、 22 0b k b , , 解 得 12kb ,则 直 线 AB 的 解 析 式 为 y=x+2,设 F(t, t+2), 抛 物 线 y=- 12 x2+2沿 BA 方 向 平 移 , 平 移 后 的 抛 物 线 过 点 C时 , 顶 点 为 F, 平 移 后 的 抛 物 线 解 析 式 为 y=- 12 (x-t) 2+t+2,把 C(2, 0)代 入 得 - 12 (2-t)2+t+2=0, 解 得 t=6, 平 移 后 的 抛 物 线 解 析 式 为 y=- 12 (x-6)2+8, F(6, 8), OF= 2 26 8 =10,令 y=0, - 12 (x-6)2+8=0, 解

    41、得 x 1=2, x2=10, OE=10, OE=OF, OEF为 等 腰 三 角 形 ;(3)存 在 .点 Q 的 位 置 分 两 种 情 形 .情 形 一 : 点 Q 在 射 线 HF 上 ,当 点 P在 x轴 上 方 时 , 如 图 , EQP=90 , EP=EP, 当 EQ=EO=10时 , EQP EOP,而 HE=10-6=4, QH= 2 210 4 2 21 , 此 时 Q点 坐 标 为 (6, 2 21);当 点 P在 x轴 下 方 时 , 如 图 , 有 PQ=OE=10, 过 P点 作 PK HF于 点 K, 则 有 PK=6, 在 Rt PQK中 , QK=PQ2-

    42、PK2=102-62=8, PQE=90 , PQK+HQE=90 , PKQ= QHE=90 , PKQ QHE, PK QKQH HE , 6 84QH , 解 得 QH=3, Q(6, 3).情 形 二 、 点 Q 在 射 线 AF 上 ,当 PQ=OE=10时 , 如 图 , 有 QE=PO, 四 边 形 POEQ 为 矩 形 , Q 的 横 坐 标 为 10,当 x=10时 , y=x+2=12, Q(10, 12).当 QE=OE=10时 , 如 图 , 过 Q 作 QM y 轴 于 点 M, 过 E点 作 x 轴 的 垂 线 交 QM 于 点 N.设 Q 的 坐 标 为 为 (x

    43、, x+2), MQ=x, QN=10-x, EN=x+2,在 Rt QEN中 , 有 QE2=QN2+EN2, 即 102=(10-x)2+(x+2)2, 解 得 x=4 14 ,当 x=4+ 14 时 , 如 图 , y=x+2=6+ 14 , Q(4+ 14 , 6+ 14 ),当 x=4- 14 时 , 如 图 , y=x+2=6- 14 , Q(4- 14 , 6- 14 ),综 上 所 述 , Q 点 的 坐 标 为 (6, 2 21)或 (6, 3)或 (10, 12)或 (4+ 14, 6+ 14 )或 (4- 14,6- 14), 使 P, Q, E 三 点 为 顶 点 的 三 角 形 与 POE全 等 .


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