1、2015 年 浙 江 省 温 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 题 有 10 小 题 , 每 小 题 4分 , 共 40分 )1.给 出 四 个 数 0, 3, 12 , -1, 其 中 最 小 的 是 ( )A.0B. 3C.12D.-1解 析 : 根 据 实 数 比 较 大 小 的 方 法 , 可 得 -1 0 12 3, 四 个 数 0, 3, 12 , -1, 其 中 最 小 的 是 -1.答 案 : D2.将 一 个 长 方 体 内 部 挖 去 一 个 圆 柱 (如 图 所 示 ), 它 的 主 视 图 是 ( ) A.B.C.D.解 析 : 从 正 面 看 易
2、 得 主 视 图 为 长 方 形 , 中 间 有 两 条 垂 直 地 面 的 虚 线 .答 案 : A 3.某 校 学 生 参 加 体 育 兴 趣 小 组 情 况 的 统 计 图 如 图 所 示 , 若 参 加 人 数 最 少 的 小 组 有 25人 , 则参 加 人 数 最 多 的 小 组 有 ( ) A.25人B.35人C.40人D.100人解 析 : 参 加 兴 趣 小 组 的 总 人 数 25 25%=100(人 ),参 加 乒 乓 球 小 组 的 人 数 100 (1-25%-35%)=40(人 ).答 案 : C4.下 列 选 项 中 的 图 形 , 不 属 于 中 心 对 称 图
3、 形 的 是 ( )A.等 边 三 角 形B.正 方 形C.正 六 边 形D.圆 解 析 : A、 不 是 中 心 对 称 图 形 , 故 本 选 项 正 确 ;B、 是 中 心 对 称 图 形 , 故 本 选 项 错 误 ;C、 是 中 心 对 称 图 形 , 故 本 选 项 错 误 ;D、 是 中 心 对 称 图 形 , 故 本 选 项 错 误 .答 案 : A5.如 图 , 在 ABC中 , C=90 , AB=5, BC=3, 则 cosA的 值 是 ( ) A.34B.43C.35D.45解 析 : AB=5, BC=3, AC=4, cosA= 45ACAB .答 案 : D 6.
4、若 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 4x2-4x+c=0有 两 个 相 等 实 数 根 , 则 c 的 值 是 ( )A.-1B.1C.-4D.4解 析 : 一 元 二 次 方 程 4x2-4x+c=0有 两 个 相 等 实 数 根 , =42-4 4c=0, c=1.答 案 : B7.不 等 式 组 1 21 2xx , 的 解 是 ( )A.x 1B.x 3 C.1 x 3D.1 x 3解 析 : 1 21 2xx , 解 不 等 式 得 : x 1, 解 不 等 式 得 : x 3, 不 等 式 组 的 解 集 为 1 x 3.答 案 : D8.如 图 , 点 A 的 坐 标 是
5、(2, 0), ABO是 等 边 三 角 形 , 点 B 在 第 一 象 限 .若 反 比 例 函 数 y= kx的 图 象 经 过 点 B, 则 k 的 值 是 ( ) A.1B.2C. 3D.2 3解 析 : 过 点 B 作 BC 垂 直 OA 于 C, 点 A的 坐 标 是 (2, 0), AO=2, ABO是 等 边 三 角 形 , OC=1, BC= 3, 点 B 的 坐 标 是 (1, 3), 把 (1, 3)代 入 y=kx , 得 k= 3.答 案 : C9.如 图 , 在 Rt AOB 的 平 分 线 ON 上 依 次 取 点 C, F, M, 过 点 C 作 DE OC,
6、分 别 交 OA, OB于 点 D, E, 以 FM 为 对 角 线 作 菱 形 FGMH.已 知 DFE= GFH=120 , FG=FE, 设 OC=x, 图 中 阴影 部 分 面 积 为 y, 则 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 是 ( ) A.y= 32 x2B.y= 3x2C.y=2 3x2D.y=3 3x 2解 析 : ON是 Rt AOB的 平 分 线 , DOC= EOC=45 , DE OC, ODC= OEC=45 , CD=CE=OC=x, DF=EF, DE=CD+CE=2x, DFE= GFH=120 , CEF=30 , CF=CE tan30 = 33
7、 x, EF=2CF=2 33 x, S DEF=12 DE CF= 33 x2, 四 边 形 FGMH 是 菱 形 , FG=MG=FE=2 33 x, G=180 - GFH=60 , FMG是 等 边 三 角 形 , S FGH= 33 x2, S 菱 形 FGMH=2 33 x2, S 阴 影 =S DEF+S 菱 形 FGMH= 3x2.答 案 : B10.如 图 , C 是 以 AB 为 直 径 的 半 圆 O上 一 点 , 连 结 AC, BC, 分 别 以 AC, BC 为 边 向 外 作 正 方 形 ACDE, BCFG.DE, FC, 弧 AC, 弧 BC 的 中 点 分
8、别 是 M, N, P, Q.若 MP+NQ=14, AC+BC=18,则 AB 的 长 为 ( )A.9 2 B.907C.13D.16解 析 : 连 接 OP, OQ, DE, FC, 弧 AC, 弧 BC的 中 点 分 别 是 M, N, P, Q, OP AC, OQ BC, H、 I 是 AC、 BD的 中 点 , OH+OI=12 (AC+BC)=9, MH+NI=AC+BC=18, MP+NQ=14, PH+QI=18-14=4, AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13.答 案 : C二 、 填 空 题 (本 题 有 6 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 3
9、0分 )11.分 解 因 式 : a 2-2a+1= .解 析 : a2-2a+1=a2-2 1 a+12=(a-1)2.答 案 : (a-1)212.一 个 不 透 明 的 袋 中 只 装 有 1个 红 球 和 2 个 篮 球 , 它 们 除 颜 色 外 其 余 均 相 同 .现 随 机 从 袋 中摸 出 两 个 球 , 颜 色 是 一 红 一 蓝 的 概 率 是 .解 析 : 画 树 状 图 得 : 共 有 6 种 等 可 能 的 结 果 , 随 机 从 袋 中 摸 出 两 个 球 , 颜 色 是 一 红 一 蓝 的 有 4种 情 况 , 随 机 从 袋 中 摸 出 两 个 球 , 颜 色
10、 是 一 红 一 蓝 的 概 率 是 : 4 26 3 .答 案 : 2313.已 知 扇 形 的 圆 心 角 为 120 , 弧 长 为 2 , 则 它 的 半 径 为 .解 析 : L= 180n R , R=180 2120 =3.答 案 : 314.方 程 2 31x x 的 根 为 . 解 析 : 去 分 母 得 : 2(x+1)=3x, 即 2x+2=3x, 解 得 : x=2, 经 检 验 : x=2 是 原 方 程 的 解 .答 案 : x=215.某 农 场 拟 建 两 间 矩 形 饲 养 室 , 一 面 靠 现 有 墙 (墙 足 够 长 ), 中 间 用 一 道 墙 隔 开
11、 , 并 在 如 图所 示 的 三 处 各 留 1m 宽 的 门 .已 知 计 划 中 的 材 料 可 建 墙 体 (不 包 括 门 )总 长 为 27m, 则 能 建 成 的饲 养 室 面 积 最 大 为 m2.解 析 : 设 垂 直 于 墙 的 材 料 长 为 x 米 ,则 平 行 于 墙 的 材 料 长 为 27+3-3x=30-3x, 则 总 面 积 S=x(30-3x)=-3x 2+30 x=-3(x-5)2+75,故 饲 养 室 的 最 大 面 积 为 75平 方 米 .答 案 : 7516.图 甲 是 小 明 设 计 的 带 菱 形 图 案 的 花 边 作 品 .该 作 品 由
12、形 如 图 乙 的 矩 形 图 案 拼 接 而 成 (不 重叠 、 无 缝 隙 ).图 乙 中 67ABBC , EF=4cm, 上 下 两 个 阴 影 三 角 形 的 面 积 之 和 为 54cm2, 其 内 部菱 形 由 两 组 距 离 相 等 的 平 行 线 交 叉 得 到 , 则 该 菱 形 的 周 长 为 cm. 解 析 : 如 图 乙 , 取 CD的 中 点 G, 连 接 HG,设 AB=6acm, 则 BC=7acm, 中 间 菱 形 的 对 角 线 HI的 长 度 为 xcm, BC=7acm, MN=EF=4cm, CN=7 42a , GH BC, GH DGCN DC ,
13、 7 127 4 22a xa , x=3.5a-2 (1); 上 下 两 个 阴 影 三 角 形 的 面 积 之 和 为 54cm2, 6a (7a-x) 2=54, a(7a-x)=18 (2);由 (1)(2), 可 得 a=2, x=5, CD=6 2=12(cm), CN=7 42a =7 2 42 =9(cm), DN= 2 212 9 =15(cm),又 DH= 2 2 2 2(7 2 )56 2DG GH =7.5(cm), HN=15-7.5=7.5(cm), AM FC, 4 49 4 5KN MNHK CN , HK= 5 257.54 5 6 (cm), 该 菱 形 的
14、 周 长 为 : 25 5046 3 (cm). 答 案 : 503 .三 、 解 答 题 ( 本 题 有 8 小 题 , 共 80分 )17.(1)计 算 : 20150+ 12+2 (-12 )(2)化 简 : (2a+1)(2a-1)-4a(a-1)解 析 : (1)先 算 乘 方 、 化 简 二 次 根 式 与 乘 法 , 最 后 算 加 法 ;(2)利 用 平 方 差 公 式 和 整 式 的 乘 法 计 算 , 进 一 步 合 并 得 出 答 案 即 可 .答 案 : (1)原 式 =1+2 3-1=2 3;(2)原 式 =4a 2-1-4a2+4a=4a-1.18.如 图 , 点
15、C, E, F, B在 同 一 直 线 上 , 点 A, D 在 BC 异 侧 , AB CD, AE=DF, A= D. (1)求 证 : AB=CD.(2)若 AB=CF, B=30 , 求 D 的 度 数 .解 析 : (1)易 证 得 ABE CDF, 即 可 得 AB=CD;(2)易 证 得 ABE CDF, 即 可 得 AB=CD, 又 由 AB=CF, B=30 , 即 可 证 得 ABE是 等 腰 三角 形 , 解 答 即 可 .答 案 : (1) AB CD, B= C,在 ABE和 CDF中 , A DC BAE DF , ABE CDF(AAS), AB=CD.(2) A
16、BE CDF, AB=CD, BE=CF, AB=CF, B=30 , AB=BE, ABE是 等 腰 三 角 形 , D=12 (180 -30 )=75 . 19.某 公 司 需 招 聘 一 名 员 工 , 对 应 聘 者 甲 、 乙 、 丙 从 笔 试 、 面 试 、 体 能 三 个 方 面 进 行 量 化 考核 .甲 、 乙 、 丙 各 项 得 分 如 下 表 :(1)根 据 三 项 得 分 的 平 均 分 , 从 高 到 低 确 定 三 名 应 聘 者 的 排 名 顺 序 .(2)该 公 司 规 定 : 笔 试 , 面 试 、 体 能 得 分 分 别 不 得 低 于 80 分 , 8
17、0分 , 70分 , 并 按 60%, 30%,10%的 比 例 计 入 总 分 .根 据 规 定 , 请 你 说 明 谁 将 被 录 用 .解 析 : (1)代 入 求 平 均 数 公 式 即 可 求 出 三 人 的 平 均 成 绩 , 比 较 得 出 结 果 ;(2)由 于 甲 的 面 试 成 绩 低 于 80分 , 根 据 公 司 规 定 甲 被 淘 汰 ; 再 将 乙 与 丙 的 总 成 绩 按 比 例 求 出测 试 成 绩 , 比 较 得 出 结 果 . 答 案 : (1)x甲 =(83+79+90) 3=84,x乙 =(85+80+75) 3=80,x丙 =(80+90+73) 3
18、=81.从 高 到 低 确 定 三 名 应 聘 者 的 排 名 顺 序 为 : 甲 , 丙 , 乙 ;(2) 该 公 司 规 定 : 笔 试 , 面 试 、 体 能 得 分 分 别 不 得 低 于 80 分 , 80分 , 70 分 , 甲 淘 汰 ;乙 成 绩 =85 60%+80 30%+75 10%=82.5,丙 成 绩 =80 60%+90 30%+73 10%=82.3, 乙 将 被 录 取 .20.各 顶 点 都 在 方 格 纸 格 点 (横 竖 格 子 线 的 交 错 点 )上 的 多 边 形 称 为 格 点 多 边 形 .如 何 计 算 它的 面 积 ? 奥 地 利 数 学 家
19、 皮 克 (G Pick, 1859 1942 年 )证 明 了 格 点 多 边 形 的 面 积 公 式S=a+12 b-1, 其 中 a 表 示 多 边 形 内 部 的 格 点 数 , b 表 示 多 边 形 边 界 上 的 格 点 数 , S 表 示 多 边形 的 面 积 .如 图 , a=4, b=6, S=4+12 6-1=6. (1)请 在 图 中 画 一 个 格 点 正 方 形 , 使 它 的 内 部 只 含 有 4 个 格 点 , 并 写 出 它 的 面 积 .(2)请 在 图 乙 中 画 一 个 格 点 三 角 形 , 使 它 的 面 积 为 72 , 且 每 条 边 上 除
20、顶 点 外 无 其 它 格 点 .(注 :图 甲 、 图 乙 在 答 题 纸 上 )解 析 : (1)根 据 皮 克 公 式 画 图 计 算 即 可 ;(2)根 据 题 意 可 知 a=3, b=3, 画 出 满 足 题 意 的 图 形 即 可 .答 案 : (1)如 图 所 示 , a=4, b=4, S=4+ 12 4-1=5; (2)因 为 S=72 , b=3, 所 以 a=3, 如 图 所 示 . 21.如 图 , AB 是 半 圆 O 的 直 径 , CD AB 于 点 C, 交 半 圆 于 点 E, DF 切 半 圆 于 点 F.已 知 AEF=135 .(1)求 证 : DF
21、AB;(2)若 OC=CE, BF=2 2, 求 DE的 长 .解 析 : (1)连 接 OF, 根 据 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 得 到 AEF+ B=180 , 由 于 AEF=135 , 得 出 B=45 , 于 是 得 到 AOF=2 B=90 , 由 DF切 O 于 F, 得 到 DFO=90 , 由 于 DC AB,得 到 DCO=90 , 于 是 结 论 可 得 ;(2)过 E 作 EM BF于 M, 由 四 边 形 DCOF是 矩 形 , 得 到 OF=DC=OA, 由 于 OC=CE, 推 出 AC=DE,设 DE=x, 则 AC=x, 在 Rt FOB中 , FO
22、B=90 , OF=OB, BF=2 2, 由 勾 股 定 理 得 : OF=OB=2,则 AB=4, BC=4-x, 由 于 AC=DE, OCDF=CE, 由 勾 股 定 理 得 : AE=EF, 通 过 Rt ECA Rt EMF,得 出 AC=MF=DE=x, 在 Rt ECB和 Rt EMB中 , 由 勾 股 定 理 得 : BC=BM, 问 题 可 得 .答 案 : (1)连 接 OF, A、 E、 F、 B 四 点 共 圆 , AEF+ B=180 , AEF=135 , B=45 , AOF=2 B=90 , DF 切 O于 F, DFO=90 , DC AB, DCO=90
23、, 即 DCO= FOC= DFO=90 , 四 边 形 DCOF是 矩 形 , DF AB.(2)过 E 作 EM BF 于 M, 四 边 形 DCOF 是 矩 形 , OF=DC=OA, OC=CE, AC=DE,设 DE=x, 则 AC=x, 在 Rt FOB中 , FOB=90 , OF=OB, BF=2 2, 由 勾 股 定 理 得 : OF=OB=2, 则 AB=4, BC=4-x, AC=DE, OCDF=CE, 由 勾 股 定 理 得 : AE=EF, ABE= FBE, EC AB, EM BF, EC=EM, ECB= M=90 ,在 Rt ECA和 Rt EMF中 AE
24、EFEC EM , , Rt ECA Rt EMF, AC=MF=DE=x,在 Rt ECB和 Rt EMB中 , 由 勾 股 定 理 得 : BC=BM, BF=BM-MF=BC-MF=4-x-x=2 2, 解 得 : x=2- 2, 即 DE=2- 2. 22.某 农 业 观 光 园 计 划 将 一 块 面 积 为 900m2的 圆 圃 分 成 A, B, C 三 个 区 域 , 分 别 种 植 甲 、 乙 、丙 三 种 花 卉 , 且 每 平 方 米 栽 种 甲 3 株 或 乙 6 株 或 丙 12株 .已 知 B区 域 面 积 是 A 区 域 面 积 的 2倍 .设 A 区 域 面 积
25、 为 x(m2).(1)求 该 园 圃 栽 种 的 花 卉 总 株 数 y 关 于 x 的 函 数 表 达 式 .(2)若 三 种 花 卉 共 栽 种 6600株 , 则 A, B, C三 个 区 域 的 面 积 分 别 是 多 少 ?(3)若 三 种 花 卉 的 单 价 (都 是 整 数 )之 和 为 45元 , 且 差 价 均 不 超 过 10元 , 在 (2)的 前 提 下 , 全部 栽 种 共 需 84000 元 .请 写 出 甲 、 乙 、 丙 三 种 花 卉 中 , 种 植 面 积 最 大 的 花 卉 总 价 .解 析 : (1)设 A 区 域 面 积 为 x, 则 B 区 域 面
26、 积 是 2x, C 区 域 面 积 是 900-3x, 根 据 每 平 方 米 栽种 甲 3株 或 乙 6株 或 丙 12株 , 即 可 解 答 ;(2)当 y=6600 时 , 即 -21x+10800=6600, 解 得 : x=200, 则 2x=400, 900-3x=300, 即 可 解 答 ;(3)设 三 种 花 卉 的 单 价 分 别 为 a 元 、 b 元 、 c,根 据 根 据 题 意 得 : 45600 2400 3600 84000a b ca b z , , 整 理 得 : 3b+5c=95, 根 据 三 种 花 卉 的 单 价 (都 是 整 数 )之 和 为 45元
27、 , 且 差 价 均 不 超 过 10元 , 所 以 b=15, c=10, a=20, 即 可 解 答 .答 案 : (1)y=3x+12x+12(900-3x)=-21x+10800.(2)当 y=6600 时 , 即 -21x+10800=6600, 解 得 : x=200, 2x=400, 900-3x=300,答 : A, B, C 三 个 区 域 的 面 积 分 别 是 200m2, 400m2, 300m2.(3)设 三 种 花 卉 的 单 价 分 别 为 a 元 、 b 元 、 c 元 , 在 (2)的 前 提 下 , 分 别 种 植 甲 、 乙 、 丙 三 种花 卉 的 株
28、数 为 600株 , 2400株 , 3600 株 ,根 据 题 意 得 : 45600 2400 3600 84000a b ca b z , , 整 理 得 : 3b+5c=95, 三 种 花 卉 的 单 价 (都 是 整 数 )之 和 为 45元 , 且 差 价 均 不 超 过 10 元 , b=15, c=10, a=20, 种 植 面 积 最 大 的 花 卉 总 价 为 : 2400 15=36000(元 ),答 : 种 植 面 积 最 大 的 花 卉 总 价 为 36000元 .23.如 图 , 抛 物 线 y=-x2+6x 交 x 轴 正 半 轴 于 点 A, 顶 点 为 M,
29、对 称 轴 MB 交 x 轴 于 点 B.过 点C(2, 0)作 射 线 CD交 MB 于 点 D(D在 x 轴 上 方 ), OE CD交 MB 于 点 E, EF x轴 交 CD 于 点 F,作 直 线 MF. (1)求 点 A, M 的 坐 标 .(2)当 BD 为 何 值 时 , 点 F恰 好 落 在 该 抛 物 线 上 ?(3)当 BD=1时 求 直 线 MF的 解 析 式 , 并 判 断 点 A 是 否 落 在 该 直 线 上 . 延 长 OE 交 FM 于 点 G, 取 CF 中 点 P, 连 结 PG, FPG, 四 边 形 DEGP, 四 边 形 OCDE的 面 积分 别 记
30、 为 S1, S2, S3, 则 S1: S2: S3= .解 析 : (1)在 抛 物 线 解 析 式 中 令 y=0, 容 易 求 得 A点 坐 标 , 再 根 据 顶 点 式 , 可 求 得 M 点 坐 标 ;(2)由 条 件 可 证 明 四 边 形 OCFE为 平 行 四 边 形 , 可 求 得 EF的 点 , 可 求 得 F 点 坐 标 , 可 得 出 BE的 长 , 再 利 用 平 行 线 的 性 质 可 求 得 BD 的 长 ;(3) 由 条 件 可 求 得 F点 坐 标 , 可 求 得 直 线 MF 的 解 析 式 , 把 A 点 坐 标 代 入 其 解 析 式 可 判 断 出
31、A点 在 直 线 MF 上 ; 由 点 的 坐 标 结 合 勾 股 定 理 求 得 OE、 GE、 CD、 DM、 MF 的 长 , 再 结 合 面 积公 式 可 分 别 表 示 出 S 1, S2, S3, 可 求 得 答 案 .答 案 : (1)令 y=0, 则 -x2+6x=0, 解 得 x=0或 x=6, A 点 坐 标 为 (6, 0),又 y=-x2+6x=-(x-3)2+9, M点 坐 标 为 (3, 9);(2) OE CF, OC EF, 四 边 形 OCFE为 平 行 四 边 形 , 且 C(2, 0), EF=OC=2,又 B(3, 0), OB=3, BC=1, F 点
32、 的 横 坐 标 为 5, 点 F落 在 抛 物 线 y=-x2+6x上 , F 点 的 坐 标 为 (5, 5), BE=5, OE CF, BD BCBE OB , 即 15 3BD , BD=53;(3) 当 BD=1时 , 由 (2)可 知 BE=3BD=3, F(5, 3),设 直 线 MF 解 析 式 为 y=kx+b,把 M、 F 两 点 坐 标 代 入 可 得 9 33 5k bk b , 解 得 318kb , 直 线 MF解 析 式 为 y=-3x+18, 当 x=6时 , y=-3 6+18=0, 点 A 落 在 直 线 MF上 . 如 图 所 示 , E(3, 3),
33、直 线 OE 解 析 式 为 y=x,联 立 直 线 OE和 直 线 MF 解 析 式 可 得 3 18y xy x , , 解 得 9292xy , G(92 , 92 ), OG= 2 29 9 9 22 2 2 , OE=CF=3 2, EG=OG-OE=9 2 3 23 2=2 2 , 13CDOE , CD=13OE=2, P 为 CF 中 点 , PF= 12 CF=3 22 , DP=CF-CD-PF=3 2- 2-3 22 = 22 , OG CF, 可 设 OG和 CF 之 间 的 距 离 为 h, S FPG=12 PF h=12 3 22 h=3 24 h,S 四 边 形
34、 DEGP=12 (EG+DP)h=12 (3 22 + 22 )h= 2h,S 四 边 形 OCDE=12 (OE+CD)h=12 (3 2+ 2)h=2 2h, S1, S2, S3=3 24 h: 2h: 2 2h=3: 4: 8.故 答 案 为 : 3: 4: 8.24.如 图 , 点 A 和 动 点 P在 直 线 l 上 , 点 P 关 于 点 A 的 对 称 点 为 Q, 以 AQ为 边 作 Rt ABQ,使 BAQ=90 , AQ: AB=3: 4, 作 ABQ的 外 接 圆 O.点 C 在 点 P右 侧 , PC=4, 过 点 C作 直 线m l, 过 点 O作 OD m于 点
35、 D, 交 AB 右 侧 的 圆 弧 于 点 E.在 射 线 CD上 取 点 F, 使 DF=32 CD,以 DE, DF 为 邻 边 作 矩 形 DEGF.设 AQ=3x. (1)用 关 于 x 的 代 数 式 表 示 BQ, DF.(2)当 点 P 在 点 A 右 侧 时 , 若 矩 形 DEGF的 面 积 等 于 90, 求 AP的 长 .(3)在 点 P 的 整 个 运 动 过 程 中 , 当 AP为 何 值 时 , 矩 形 DEGF是 正 方 形 ? 作 直 线 BG交 O 于 点 N, 若 BN 的 弦 心 距 为 1, 求 AP的 长 (直 接 写 出 答 案 ).解 析 : (
36、1)由 AQ: AB=3: 4, AQ=3x, 易 得 AB=4x, 由 勾 股 定 理 得 BQ, 再 由 中 位 线 的 性 质 得AH=BH=12 AB, 求 得 CD, FD;(2)利 用 (1)的 结 论 , 易 得 CQ 的 长 , 作 OM AQ 于 点 M(如 图 1), 则 OM AB, 由 垂 径 定 理 得QM=AM=32 x, 由 矩 形 性 质 得 OD=MC, 利 用 矩 形 面 积 , 求 得 x, 得 出 结 论 ;(3) 点 P 在 A 点 的 右 侧 时 (如 图 1), 利 用 (1)(2)的 结 论 和 正 方 形 的 性 质 得 2x+4=3x, 得
37、AP; 点 P 在 A点 的 左 侧 时 , 当 点 C在 Q 右 侧 , 0 x 47 时 (如 图 2), 4-7x=3x, 解 得 x, 易 得 AP;当 47 x 23 时 (如 图 3), 7-4x=3x, 得 AP; 当 点 C 在 Q 的 左 侧 时 , 即 x 23 (如 图 4), 同 理得 AP; 连 接 NQ, 由 点 O 到 BN 的 弦 心 距 为 l, 得 NQ=2, 当 点 N 在 AB 的 左 侧 时 (如 图 5), 过 点 B作 BM EG 于 点 M, GM=x, BM=x, 易 得 GBM=45 , BM AQ, 易 得 AI=AB, 求 得 IQ, 由
38、 NQ 得AP; 当 点 N在 AB的 右 侧 时 (如 图 6), 过 点 B作 BJ GE于 点 J, 由 GJ=x, BJ=4x得 tan GBJ=14 ,利 用 (1)(2)中 结 论 得 AI=16x, QI=19x, 解 得 x, 得 AP.答 案 : (1)在 Rt ABQ中 , AQ: AB=3: 4, AQ=3x, AB=4x, BQ=5x, OD m, m l, OD l, OB=OQ, AH=BH=12 AB=2x, CD=2x, FD=32 CD=3x.(2) AP=AQ=3x, PC=4, CQ=6x+4, 作 OM AQ 于 点 M(如 图 1), OM AB, O
39、是 ABQ 的 外 接 圆 , BAQ=90 , 点 O 是 BQ的 中 点 , QM=AM=32 x OD=MC=92 x+4, OE=12 BQ=52 x, ED=2x+4,S 矩 形 DEGF=DF DE=3x(2x+4)=90, 解 得 : x1=-5(舍 去 ), x2=3, AP=3x=9.(3) 若 矩 形 DEGF是 正 方 形 , 则 ED=DF,I.点 P在 A点 的 右 侧 时 (如 图 1), 2x+4=3x, 解 得 : x=4, AP=3x=12;II.点 P 在 A 点 的 左 侧 时 ,当 点 C在 Q右 侧 , 0 x 47 时 (如 图 2), ED=4-7
40、x, DF=3x, 4-7x=3x, 解 得 : x=25 , AP=65;当 47 x 23 时 (如 图 3), ED=7-4x, DF=3x, 7-4x=3x, 解 得 : x=1(舍 去 ), 当 点 C在 Q的 左 侧 时 , 即 x 23 (如 图 4),DE=7x-4, DF=3x, 7x-4=3x, 解 得 : x=1, AP=3, 综 上 所 述 : 当 AP为 12 或 65或 3 时 , 矩 形 DEGF是 正 方 形 ; 连 接 NQ, 由 点 O 到 BN的 弦 心 距 为 l, 得 NQ=2,当 点 N在 AB的 左 侧 时 (如 图 5), 过 点 B作 BM EG于 点 M, GM=x, BM=x, GBM=45 , BM AQ, AI=AB=4x, IQ=x, NQ= 2x =2, x=2 2, AP=6 2;当 点 N在 AB的 右 侧 时 (如 图 6), 过 点 B作 BJ GE于 点 J, GJ=x, BJ=4x, tan GBJ=14 , AI=16x, QI=19x, NQ= 1917x =2, x=2 1719 , AP=6 1719 ,综 上 所 述 : AP 的 长 为 6 2或 6 1719 .