1、2015 年 浙 江 省 温 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 题 有 10 小 题 ， 每 小 题 4分 ， 共 40分 )1.给 出 四 个 数 0， 3， 12 ， -1， 其 中 最 小 的 是 ( )A.0B. 3C.12D.-1解 析 ： 根 据 实 数 比 较 大 小 的 方 法 ， 可 得 -1 0 12 3， 四 个 数 0， 3， 12 ， -1， 其 中 最 小 的 是 -1.答 案 ： D2.将 一 个 长 方 体 内 部 挖 去 一 个 圆 柱 (如 图 所 示 )， 它 的 主 视 图 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 从 正 面 看 易
2、 得 主 视 图 为 长 方 形 ， 中 间 有 两 条 垂 直 地 面 的 虚 线 .答 案 ： A 3.某 校 学 生 参 加 体 育 兴 趣 小 组 情 况 的 统 计 图 如 图 所 示 ， 若 参 加 人 数 最 少 的 小 组 有 25人 ， 则参 加 人 数 最 多 的 小 组 有 ( ) A.25人B.35人C.40人D.100人解 析 ： 参 加 兴 趣 小 组 的 总 人 数 25 25%=100(人 )，参 加 乒 乓 球 小 组 的 人 数 100 (1-25%-35%)=40(人 ).答 案 ： C4.下 列 选 项 中 的 图 形 ， 不 属 于 中 心 对 称 图
3、 形 的 是 ( )A.等 边 三 角 形B.正 方 形C.正 六 边 形D.圆 解 析 ： A、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 正 确 ；B、 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： A5.如 图 ， 在 ABC中 ， C=90 ， AB=5， BC=3， 则 cosA的 值 是 ( ) A.34B.43C.35D.45解 析 ： AB=5， BC=3， AC=4， cosA= 45ACAB .答 案 ： D 6.
4、若 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 4x2-4x+c=0有 两 个 相 等 实 数 根 ， 则 c 的 值 是 ( )A.-1B.1C.-4D.4解 析 ： 一 元 二 次 方 程 4x2-4x+c=0有 两 个 相 等 实 数 根 ， =42-4 4c=0， c=1.答 案 ： B7.不 等 式 组 1 21 2xx ， 的 解 是 ( )A.x 1B.x 3 C.1 x 3D.1 x 3解 析 ： 1 21 2xx ， 解 不 等 式 得 ： x 1， 解 不 等 式 得 ： x 3， 不 等 式 组 的 解 集 为 1 x 3.答 案 ： D8.如 图 ， 点 A 的 坐 标 是
5、(2， 0)， ABO是 等 边 三 角 形 ， 点 B 在 第 一 象 限 .若 反 比 例 函 数 y= kx的 图 象 经 过 点 B， 则 k 的 值 是 ( ) A.1B.2C. 3D.2 3解 析 ： 过 点 B 作 BC 垂 直 OA 于 C， 点 A的 坐 标 是 (2， 0)， AO=2， ABO是 等 边 三 角 形 ， OC=1， BC= 3， 点 B 的 坐 标 是 (1， 3)， 把 (1， 3)代 入 y=kx ， 得 k= 3.答 案 ： C9.如 图 ， 在 Rt AOB 的 平 分 线 ON 上 依 次 取 点 C， F， M， 过 点 C 作 DE OC，
6、分 别 交 OA， OB于 点 D， E， 以 FM 为 对 角 线 作 菱 形 FGMH.已 知 DFE= GFH=120 ， FG=FE， 设 OC=x， 图 中 阴影 部 分 面 积 为 y， 则 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 是 ( ) A.y= 32 x2B.y= 3x2C.y=2 3x2D.y=3 3x 2解 析 ： ON是 Rt AOB的 平 分 线 ， DOC= EOC=45 ， DE OC， ODC= OEC=45 ， CD=CE=OC=x， DF=EF， DE=CD+CE=2x， DFE= GFH=120 ， CEF=30 ， CF=CE tan30 = 33
7、 x， EF=2CF=2 33 x， S DEF=12 DE CF= 33 x2， 四 边 形 FGMH 是 菱 形 ， FG=MG=FE=2 33 x， G=180 - GFH=60 ， FMG是 等 边 三 角 形 ， S FGH= 33 x2， S 菱 形 FGMH=2 33 x2， S 阴 影 =S DEF+S 菱 形 FGMH= 3x2.答 案 ： B10.如 图 ， C 是 以 AB 为 直 径 的 半 圆 O上 一 点 ， 连 结 AC， BC， 分 别 以 AC， BC 为 边 向 外 作 正 方 形 ACDE， BCFG.DE， FC， 弧 AC， 弧 BC 的 中 点 分
8、别 是 M， N， P， Q.若 MP+NQ=14， AC+BC=18，则 AB 的 长 为 ( )A.9 2 B.907C.13D.16解 析 ： 连 接 OP， OQ， DE， FC， 弧 AC， 弧 BC的 中 点 分 别 是 M， N， P， Q， OP AC， OQ BC， H、 I 是 AC、 BD的 中 点 ， OH+OI=12 (AC+BC)=9， MH+NI=AC+BC=18， MP+NQ=14， PH+QI=18-14=4， AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13.答 案 ： C二 、 填 空 题 (本 题 有 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 3
9、0分 )11.分 解 因 式 ： a 2-2a+1= .解 析 ： a2-2a+1=a2-2 1 a+12=(a-1)2.答 案 ： (a-1)212.一 个 不 透 明 的 袋 中 只 装 有 1个 红 球 和 2 个 篮 球 ， 它 们 除 颜 色 外 其 余 均 相 同 .现 随 机 从 袋 中摸 出 两 个 球 ， 颜 色 是 一 红 一 蓝 的 概 率 是 .解 析 ： 画 树 状 图 得 ： 共 有 6 种 等 可 能 的 结 果 ， 随 机 从 袋 中 摸 出 两 个 球 ， 颜 色 是 一 红 一 蓝 的 有 4种 情 况 ， 随 机 从 袋 中 摸 出 两 个 球 ， 颜 色
10、 是 一 红 一 蓝 的 概 率 是 ： 4 26 3 .答 案 ： 2313.已 知 扇 形 的 圆 心 角 为 120 ， 弧 长 为 2 ， 则 它 的 半 径 为 .解 析 ： L= 180n R ， R=180 2120 =3.答 案 ： 314.方 程 2 31x x 的 根 为 . 解 析 ： 去 分 母 得 ： 2(x+1)=3x， 即 2x+2=3x， 解 得 ： x=2， 经 检 验 ： x=2 是 原 方 程 的 解 .答 案 ： x=215.某 农 场 拟 建 两 间 矩 形 饲 养 室 ， 一 面 靠 现 有 墙 (墙 足 够 长 )， 中 间 用 一 道 墙 隔 开
11、 ， 并 在 如 图所 示 的 三 处 各 留 1m 宽 的 门 .已 知 计 划 中 的 材 料 可 建 墙 体 (不 包 括 门 )总 长 为 27m， 则 能 建 成 的饲 养 室 面 积 最 大 为 m2.解 析 ： 设 垂 直 于 墙 的 材 料 长 为 x 米 ，则 平 行 于 墙 的 材 料 长 为 27+3-3x=30-3x， 则 总 面 积 S=x(30-3x)=-3x 2+30 x=-3(x-5)2+75，故 饲 养 室 的 最 大 面 积 为 75平 方 米 .答 案 ： 7516.图 甲 是 小 明 设 计 的 带 菱 形 图 案 的 花 边 作 品 .该 作 品 由
12、形 如 图 乙 的 矩 形 图 案 拼 接 而 成 (不 重叠 、 无 缝 隙 ).图 乙 中 67ABBC ， EF=4cm， 上 下 两 个 阴 影 三 角 形 的 面 积 之 和 为 54cm2， 其 内 部菱 形 由 两 组 距 离 相 等 的 平 行 线 交 叉 得 到 ， 则 该 菱 形 的 周 长 为 cm. 解 析 ： 如 图 乙 ， 取 CD的 中 点 G， 连 接 HG，设 AB=6acm， 则 BC=7acm， 中 间 菱 形 的 对 角 线 HI的 长 度 为 xcm， BC=7acm， MN=EF=4cm， CN=7 42a ， GH BC， GH DGCN DC ，
13、 7 127 4 22a xa ， x=3.5a-2 (1)； 上 下 两 个 阴 影 三 角 形 的 面 积 之 和 为 54cm2， 6a (7a-x) 2=54， a(7a-x)=18 (2)；由 (1)(2)， 可 得 a=2， x=5， CD=6 2=12(cm)， CN=7 42a =7 2 42 =9(cm)， DN= 2 212 9 =15(cm)，又 DH= 2 2 2 2(7 2 )56 2DG GH =7.5(cm)， HN=15-7.5=7.5(cm)， AM FC， 4 49 4 5KN MNHK CN ， HK= 5 257.54 5 6 (cm)， 该 菱 形 的
14、 周 长 为 ： 25 5046 3 (cm). 答 案 ： 503 .三 、 解 答 题 （ 本 题 有 8 小 题 ， 共 80分 ）17.(1)计 算 ： 20150+ 12+2 (-12 )(2)化 简 ： (2a+1)(2a-1)-4a(a-1)解 析 ： (1)先 算 乘 方 、 化 简 二 次 根 式 与 乘 法 ， 最 后 算 加 法 ；(2)利 用 平 方 差 公 式 和 整 式 的 乘 法 计 算 ， 进 一 步 合 并 得 出 答 案 即 可 .答 案 ： (1)原 式 =1+2 3-1=2 3；(2)原 式 =4a 2-1-4a2+4a=4a-1.18.如 图 ， 点
15、C， E， F， B在 同 一 直 线 上 ， 点 A， D 在 BC 异 侧 ， AB CD， AE=DF， A= D. (1)求 证 ： AB=CD.(2)若 AB=CF， B=30 ， 求 D 的 度 数 .解 析 ： (1)易 证 得 ABE CDF， 即 可 得 AB=CD；(2)易 证 得 ABE CDF， 即 可 得 AB=CD， 又 由 AB=CF， B=30 ， 即 可 证 得 ABE是 等 腰 三角 形 ， 解 答 即 可 .答 案 ： (1) AB CD， B= C，在 ABE和 CDF中 ， A DC BAE DF ， ABE CDF(AAS)， AB=CD.(2) A
16、BE CDF， AB=CD， BE=CF， AB=CF， B=30 ， AB=BE， ABE是 等 腰 三 角 形 ， D=12 (180 -30 )=75 . 19.某 公 司 需 招 聘 一 名 员 工 ， 对 应 聘 者 甲 、 乙 、 丙 从 笔 试 、 面 试 、 体 能 三 个 方 面 进 行 量 化 考核 .甲 、 乙 、 丙 各 项 得 分 如 下 表 ：(1)根 据 三 项 得 分 的 平 均 分 ， 从 高 到 低 确 定 三 名 应 聘 者 的 排 名 顺 序 .(2)该 公 司 规 定 ： 笔 试 ， 面 试 、 体 能 得 分 分 别 不 得 低 于 80 分 ， 8
17、0分 ， 70分 ， 并 按 60%， 30%，10%的 比 例 计 入 总 分 .根 据 规 定 ， 请 你 说 明 谁 将 被 录 用 .解 析 ： (1)代 入 求 平 均 数 公 式 即 可 求 出 三 人 的 平 均 成 绩 ， 比 较 得 出 结 果 ；(2)由 于 甲 的 面 试 成 绩 低 于 80分 ， 根 据 公 司 规 定 甲 被 淘 汰 ； 再 将 乙 与 丙 的 总 成 绩 按 比 例 求 出测 试 成 绩 ， 比 较 得 出 结 果 . 答 案 ： (1)x甲 =(83+79+90) 3=84，x乙 =(85+80+75) 3=80，x丙 =(80+90+73) 3
18、=81.从 高 到 低 确 定 三 名 应 聘 者 的 排 名 顺 序 为 ： 甲 ， 丙 ， 乙 ；(2) 该 公 司 规 定 ： 笔 试 ， 面 试 、 体 能 得 分 分 别 不 得 低 于 80 分 ， 80分 ， 70 分 ， 甲 淘 汰 ；乙 成 绩 =85 60%+80 30%+75 10%=82.5，丙 成 绩 =80 60%+90 30%+73 10%=82.3， 乙 将 被 录 取 .20.各 顶 点 都 在 方 格 纸 格 点 (横 竖 格 子 线 的 交 错 点 )上 的 多 边 形 称 为 格 点 多 边 形 .如 何 计 算 它的 面 积 ？ 奥 地 利 数 学 家
19、 皮 克 (G Pick， 1859 1942 年 )证 明 了 格 点 多 边 形 的 面 积 公 式S=a+12 b-1， 其 中 a 表 示 多 边 形 内 部 的 格 点 数 ， b 表 示 多 边 形 边 界 上 的 格 点 数 ， S 表 示 多 边形 的 面 积 .如 图 ， a=4， b=6， S=4+12 6-1=6. (1)请 在 图 中 画 一 个 格 点 正 方 形 ， 使 它 的 内 部 只 含 有 4 个 格 点 ， 并 写 出 它 的 面 积 .(2)请 在 图 乙 中 画 一 个 格 点 三 角 形 ， 使 它 的 面 积 为 72 ， 且 每 条 边 上 除
20、顶 点 外 无 其 它 格 点 .(注 ：图 甲 、 图 乙 在 答 题 纸 上 )解 析 ： (1)根 据 皮 克 公 式 画 图 计 算 即 可 ；(2)根 据 题 意 可 知 a=3， b=3， 画 出 满 足 题 意 的 图 形 即 可 .答 案 ： (1)如 图 所 示 ， a=4， b=4， S=4+ 12 4-1=5； (2)因 为 S=72 ， b=3， 所 以 a=3， 如 图 所 示 . 21.如 图 ， AB 是 半 圆 O 的 直 径 ， CD AB 于 点 C， 交 半 圆 于 点 E， DF 切 半 圆 于 点 F.已 知 AEF=135 .(1)求 证 ： DF
21、AB；(2)若 OC=CE， BF=2 2， 求 DE的 长 .解 析 ： (1)连 接 OF， 根 据 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 得 到 AEF+ B=180 ， 由 于 AEF=135 ， 得 出 B=45 ， 于 是 得 到 AOF=2 B=90 ， 由 DF切 O 于 F， 得 到 DFO=90 ， 由 于 DC AB，得 到 DCO=90 ， 于 是 结 论 可 得 ；(2)过 E 作 EM BF于 M， 由 四 边 形 DCOF是 矩 形 ， 得 到 OF=DC=OA， 由 于 OC=CE， 推 出 AC=DE，设 DE=x， 则 AC=x， 在 Rt FOB中 ， FO
22、B=90 ， OF=OB， BF=2 2， 由 勾 股 定 理 得 ： OF=OB=2，则 AB=4， BC=4-x， 由 于 AC=DE， OCDF=CE， 由 勾 股 定 理 得 ： AE=EF， 通 过 Rt ECA Rt EMF，得 出 AC=MF=DE=x， 在 Rt ECB和 Rt EMB中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： BC=BM， 问 题 可 得 .答 案 ： (1)连 接 OF， A、 E、 F、 B 四 点 共 圆 ， AEF+ B=180 ， AEF=135 ， B=45 ， AOF=2 B=90 ， DF 切 O于 F， DFO=90 ， DC AB， DCO=90
23、， 即 DCO= FOC= DFO=90 ， 四 边 形 DCOF是 矩 形 ， DF AB.(2)过 E 作 EM BF 于 M， 四 边 形 DCOF 是 矩 形 ， OF=DC=OA， OC=CE， AC=DE，设 DE=x， 则 AC=x， 在 Rt FOB中 ， FOB=90 ， OF=OB， BF=2 2， 由 勾 股 定 理 得 ： OF=OB=2， 则 AB=4， BC=4-x， AC=DE， OCDF=CE， 由 勾 股 定 理 得 ： AE=EF， ABE= FBE， EC AB， EM BF， EC=EM， ECB= M=90 ，在 Rt ECA和 Rt EMF中 AE
24、EFEC EM ， ， Rt ECA Rt EMF， AC=MF=DE=x，在 Rt ECB和 Rt EMB中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： BC=BM， BF=BM-MF=BC-MF=4-x-x=2 2， 解 得 ： x=2- 2， 即 DE=2- 2. 22.某 农 业 观 光 园 计 划 将 一 块 面 积 为 900m2的 圆 圃 分 成 A， B， C 三 个 区 域 ， 分 别 种 植 甲 、 乙 、丙 三 种 花 卉 ， 且 每 平 方 米 栽 种 甲 3 株 或 乙 6 株 或 丙 12株 .已 知 B区 域 面 积 是 A 区 域 面 积 的 2倍 .设 A 区 域 面 积
25、 为 x(m2).(1)求 该 园 圃 栽 种 的 花 卉 总 株 数 y 关 于 x 的 函 数 表 达 式 .(2)若 三 种 花 卉 共 栽 种 6600株 ， 则 A， B， C三 个 区 域 的 面 积 分 别 是 多 少 ？(3)若 三 种 花 卉 的 单 价 (都 是 整 数 )之 和 为 45元 ， 且 差 价 均 不 超 过 10元 ， 在 (2)的 前 提 下 ， 全部 栽 种 共 需 84000 元 .请 写 出 甲 、 乙 、 丙 三 种 花 卉 中 ， 种 植 面 积 最 大 的 花 卉 总 价 .解 析 ： (1)设 A 区 域 面 积 为 x， 则 B 区 域 面
26、 积 是 2x， C 区 域 面 积 是 900-3x， 根 据 每 平 方 米 栽种 甲 3株 或 乙 6株 或 丙 12株 ， 即 可 解 答 ；(2)当 y=6600 时 ， 即 -21x+10800=6600， 解 得 ： x=200， 则 2x=400， 900-3x=300， 即 可 解 答 ；(3)设 三 种 花 卉 的 单 价 分 别 为 a 元 、 b 元 、 c，根 据 根 据 题 意 得 ： 45600 2400 3600 84000a b ca b z ， ， 整 理 得 ： 3b+5c=95， 根 据 三 种 花 卉 的 单 价 (都 是 整 数 )之 和 为 45元
27、 ， 且 差 价 均 不 超 过 10元 ， 所 以 b=15， c=10， a=20， 即 可 解 答 .答 案 ： (1)y=3x+12x+12(900-3x)=-21x+10800.(2)当 y=6600 时 ， 即 -21x+10800=6600， 解 得 ： x=200， 2x=400， 900-3x=300，答 ： A， B， C 三 个 区 域 的 面 积 分 别 是 200m2， 400m2， 300m2.(3)设 三 种 花 卉 的 单 价 分 别 为 a 元 、 b 元 、 c 元 ， 在 (2)的 前 提 下 ， 分 别 种 植 甲 、 乙 、 丙 三 种花 卉 的 株
28、数 为 600株 ， 2400株 ， 3600 株 ，根 据 题 意 得 ： 45600 2400 3600 84000a b ca b z ， ， 整 理 得 ： 3b+5c=95， 三 种 花 卉 的 单 价 (都 是 整 数 )之 和 为 45元 ， 且 差 价 均 不 超 过 10 元 ， b=15， c=10， a=20， 种 植 面 积 最 大 的 花 卉 总 价 为 ： 2400 15=36000(元 )，答 ： 种 植 面 积 最 大 的 花 卉 总 价 为 36000元 .23.如 图 ， 抛 物 线 y=-x2+6x 交 x 轴 正 半 轴 于 点 A， 顶 点 为 M，
29、对 称 轴 MB 交 x 轴 于 点 B.过 点C(2， 0)作 射 线 CD交 MB 于 点 D(D在 x 轴 上 方 )， OE CD交 MB 于 点 E， EF x轴 交 CD 于 点 F，作 直 线 MF. (1)求 点 A， M 的 坐 标 .(2)当 BD 为 何 值 时 ， 点 F恰 好 落 在 该 抛 物 线 上 ？(3)当 BD=1时 求 直 线 MF的 解 析 式 ， 并 判 断 点 A 是 否 落 在 该 直 线 上 . 延 长 OE 交 FM 于 点 G， 取 CF 中 点 P， 连 结 PG， FPG， 四 边 形 DEGP， 四 边 形 OCDE的 面 积分 别 记
30、 为 S1， S2， S3， 则 S1： S2： S3= .解 析 ： (1)在 抛 物 线 解 析 式 中 令 y=0， 容 易 求 得 A点 坐 标 ， 再 根 据 顶 点 式 ， 可 求 得 M 点 坐 标 ；(2)由 条 件 可 证 明 四 边 形 OCFE为 平 行 四 边 形 ， 可 求 得 EF的 点 ， 可 求 得 F 点 坐 标 ， 可 得 出 BE的 长 ， 再 利 用 平 行 线 的 性 质 可 求 得 BD 的 长 ；(3) 由 条 件 可 求 得 F点 坐 标 ， 可 求 得 直 线 MF 的 解 析 式 ， 把 A 点 坐 标 代 入 其 解 析 式 可 判 断 出
31、A点 在 直 线 MF 上 ； 由 点 的 坐 标 结 合 勾 股 定 理 求 得 OE、 GE、 CD、 DM、 MF 的 长 ， 再 结 合 面 积公 式 可 分 别 表 示 出 S 1， S2， S3， 可 求 得 答 案 .答 案 ： (1)令 y=0， 则 -x2+6x=0， 解 得 x=0或 x=6， A 点 坐 标 为 (6， 0)，又 y=-x2+6x=-(x-3)2+9， M点 坐 标 为 (3， 9)；(2) OE CF， OC EF， 四 边 形 OCFE为 平 行 四 边 形 ， 且 C(2， 0)， EF=OC=2，又 B(3， 0)， OB=3， BC=1， F 点
32、 的 横 坐 标 为 5， 点 F落 在 抛 物 线 y=-x2+6x上 ， F 点 的 坐 标 为 (5， 5)， BE=5， OE CF， BD BCBE OB ， 即 15 3BD ， BD=53；(3) 当 BD=1时 ， 由 (2)可 知 BE=3BD=3， F(5， 3)，设 直 线 MF 解 析 式 为 y=kx+b，把 M、 F 两 点 坐 标 代 入 可 得 9 33 5k bk b ， 解 得 318kb ， 直 线 MF解 析 式 为 y=-3x+18， 当 x=6时 ， y=-3 6+18=0， 点 A 落 在 直 线 MF上 . 如 图 所 示 ， E(3， 3)，
33、直 线 OE 解 析 式 为 y=x，联 立 直 线 OE和 直 线 MF 解 析 式 可 得 3 18y xy x ， ， 解 得 9292xy ， G(92 ， 92 )， OG= 2 29 9 9 22 2 2 ， OE=CF=3 2， EG=OG-OE=9 2 3 23 2=2 2 ， 13CDOE ， CD=13OE=2， P 为 CF 中 点 ， PF= 12 CF=3 22 ， DP=CF-CD-PF=3 2- 2-3 22 = 22 ， OG CF， 可 设 OG和 CF 之 间 的 距 离 为 h， S FPG=12 PF h=12 3 22 h=3 24 h，S 四 边 形
34、 DEGP=12 (EG+DP)h=12 (3 22 + 22 )h= 2h，S 四 边 形 OCDE=12 (OE+CD)h=12 (3 2+ 2)h=2 2h， S1， S2， S3=3 24 h： 2h： 2 2h=3： 4： 8.故 答 案 为 ： 3： 4： 8.24.如 图 ， 点 A 和 动 点 P在 直 线 l 上 ， 点 P 关 于 点 A 的 对 称 点 为 Q， 以 AQ为 边 作 Rt ABQ，使 BAQ=90 ， AQ： AB=3： 4， 作 ABQ的 外 接 圆 O.点 C 在 点 P右 侧 ， PC=4， 过 点 C作 直 线m l， 过 点 O作 OD m于 点
35、 D， 交 AB 右 侧 的 圆 弧 于 点 E.在 射 线 CD上 取 点 F， 使 DF=32 CD，以 DE， DF 为 邻 边 作 矩 形 DEGF.设 AQ=3x. (1)用 关 于 x 的 代 数 式 表 示 BQ， DF.(2)当 点 P 在 点 A 右 侧 时 ， 若 矩 形 DEGF的 面 积 等 于 90， 求 AP的 长 .(3)在 点 P 的 整 个 运 动 过 程 中 ， 当 AP为 何 值 时 ， 矩 形 DEGF是 正 方 形 ？ 作 直 线 BG交 O 于 点 N， 若 BN 的 弦 心 距 为 1， 求 AP的 长 (直 接 写 出 答 案 ).解 析 ： (
36、1)由 AQ： AB=3： 4， AQ=3x， 易 得 AB=4x， 由 勾 股 定 理 得 BQ， 再 由 中 位 线 的 性 质 得AH=BH=12 AB， 求 得 CD， FD；(2)利 用 (1)的 结 论 ， 易 得 CQ 的 长 ， 作 OM AQ 于 点 M(如 图 1)， 则 OM AB， 由 垂 径 定 理 得QM=AM=32 x， 由 矩 形 性 质 得 OD=MC， 利 用 矩 形 面 积 ， 求 得 x， 得 出 结 论 ；(3) 点 P 在 A 点 的 右 侧 时 (如 图 1)， 利 用 (1)(2)的 结 论 和 正 方 形 的 性 质 得 2x+4=3x， 得
37、AP； 点 P 在 A点 的 左 侧 时 ， 当 点 C在 Q 右 侧 ， 0 x 47 时 (如 图 2)， 4-7x=3x， 解 得 x， 易 得 AP；当 47 x 23 时 (如 图 3)， 7-4x=3x， 得 AP； 当 点 C 在 Q 的 左 侧 时 ， 即 x 23 (如 图 4)， 同 理得 AP； 连 接 NQ， 由 点 O 到 BN 的 弦 心 距 为 l， 得 NQ=2， 当 点 N 在 AB 的 左 侧 时 (如 图 5)， 过 点 B作 BM EG 于 点 M， GM=x， BM=x， 易 得 GBM=45 ， BM AQ， 易 得 AI=AB， 求 得 IQ， 由
38、 NQ 得AP； 当 点 N在 AB的 右 侧 时 (如 图 6)， 过 点 B作 BJ GE于 点 J， 由 GJ=x， BJ=4x得 tan GBJ=14 ，利 用 (1)(2)中 结 论 得 AI=16x， QI=19x， 解 得 x， 得 AP.答 案 ： (1)在 Rt ABQ中 ， AQ： AB=3： 4， AQ=3x， AB=4x， BQ=5x， OD m， m l， OD l， OB=OQ， AH=BH=12 AB=2x， CD=2x， FD=32 CD=3x.(2) AP=AQ=3x， PC=4， CQ=6x+4， 作 OM AQ 于 点 M(如 图 1)， OM AB， O
39、是 ABQ 的 外 接 圆 ， BAQ=90 ， 点 O 是 BQ的 中 点 ， QM=AM=32 x OD=MC=92 x+4， OE=12 BQ=52 x， ED=2x+4，S 矩 形 DEGF=DF DE=3x(2x+4)=90， 解 得 ： x1=-5(舍 去 )， x2=3， AP=3x=9.(3) 若 矩 形 DEGF是 正 方 形 ， 则 ED=DF，I.点 P在 A点 的 右 侧 时 (如 图 1)， 2x+4=3x， 解 得 ： x=4， AP=3x=12；II.点 P 在 A 点 的 左 侧 时 ，当 点 C在 Q右 侧 ， 0 x 47 时 (如 图 2)， ED=4-7
40、x， DF=3x， 4-7x=3x， 解 得 ： x=25 ， AP=65；当 47 x 23 时 (如 图 3)， ED=7-4x， DF=3x， 7-4x=3x， 解 得 ： x=1(舍 去 )， 当 点 C在 Q的 左 侧 时 ， 即 x 23 (如 图 4)，DE=7x-4， DF=3x， 7x-4=3x， 解 得 ： x=1， AP=3， 综 上 所 述 ： 当 AP为 12 或 65或 3 时 ， 矩 形 DEGF是 正 方 形 ； 连 接 NQ， 由 点 O 到 BN的 弦 心 距 为 l， 得 NQ=2，当 点 N在 AB的 左 侧 时 (如 图 5)， 过 点 B作 BM EG于 点 M， GM=x， BM=x， GBM=45 ， BM AQ， AI=AB=4x， IQ=x， NQ= 2x =2， x=2 2， AP=6 2；当 点 N在 AB的 右 侧 时 (如 图 6)， 过 点 B作 BJ GE于 点 J， GJ=x， BJ=4x， tan GBJ=14 ， AI=16x， QI=19x， NQ= 1917x =2， x=2 1719 ， AP=6 1719 ，综 上 所 述 ： AP 的 长 为 6 2或 6 1719 .
