1、2015年 浙 江 省 湖 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 10 小 题 ， 每 小 题 3分 ， 满 分 30 分 )1. -5的 绝 对 值 为 ( )A.-5B.5C.-15D. 15解 析 ： -5 的 绝 对 值 为 5.答 案 ： B 2.当 x=1时 ， 代 数 式 4-3x的 值 是 ( )A.1B.2C.3D.4解 析 ： 当 x=1时 ， 原 式 =4-3=1.答 案 ： A3. 4的 算 术 平 方 根 是 ( )A. 2B.2C.-2D.2 解 析 ： 4 的 算 术 平 方 根 是 2 .答 案 ： B4.若 一 个 圆 锥 的 侧 面 展 开
2、 图 是 半 径 为 18cm， 圆 心 角 为 240 的 扇 形 ， 则 这 个 圆 锥 的 底 面 半 径长 是 ( )A.6cmB.9cmC.12cmD.18cm解 析 ： 圆 锥 的 弧 长 为 ： 240 18180 =24 ， 圆 锥 的 底 面 半 径 为 24 2 =12.答 案 ： C 5.已 知 一 组 数 据 的 方 差 是 3， 则 这 组 数 据 的 标 准 差 是 ( )A.9B.3 C. 32D. 3解 析 ： 数 据 的 方 差 是 S2=3， 这 组 数 据 的 标 准 差 是 3 .答 案 ： D6.如 图 ， 已 知 在 ABC中 ， CD是 AB边 上
3、 的 高 线 ， BE平 分 ABC， 交 CD于 点 E， BC=5， DE=2，则 BCE的 面 积 等 于 ( ) A.10B.7C.5D.4解 析 ： 作 EF BC于 F， BE 平 分 ABC， ED AB， EF BC， EF=DE=2， S BCE= 12 BC EF= 12 5 2=5.答 案 ： C7.一 个 布 袋 内 只 装 有 1 个 黑 球 和 2个 白 球 ， 这 些 球 除 颜 色 外 其 余 都 相 同 ， 随 机 摸 出 一 个 球 后放 回 并 搅 匀 ， 再 随 机 摸 出 一 个 球 ， 则 两 次 摸 出 的 球 都 是 黑 球 的 概 率 是 (
4、)A. 49 B.13C. 16D. 19解 析 ： 列 表 得 ： 共 9种 等 可 能 的 结 果 ， 两 次 都 是 黑 色 的 情 况 有 1 种 ， 两 次 摸 出 的 球 都 是 黑 球 的 概 率 为 19 .答 案 ： D8.如 图 ， 以 点 O 为 圆 心 的 两 个 圆 中 ， 大 圆 的 弦 AB 切 小 圆 于 点 C， OA 交 小 圆 于 点 D， 若 OD=2，tan OAB= 12 ， 则 AB 的 长 是 ( ) A.4B.2 3C.8D.4 3解 析 ： 连 接 OC， 大 圆 的 弦 AB 切 小 圆 于 点 C， OC AB， AB=2AC， OD=2
5、， OC=2， tan OAB= 12 ， AC=4， AB=8.答 案 ： C9.如 图 ， AC 是 矩 形 ABCD的 对 角 线 ， O是 ABC 的 内 切 圆 ， 现 将 矩 形 ABCD 按 如 图 所 示 的 方式 折 叠 ， 使 点 D 与 点 O重 合 ， 折 痕 为 FG.点 F， G 分 别 在 边 AD， BC 上 ， 连 结 OG， DG.若 OGDG， 且 O的 半 径 长 为 1， 则 下 列 结 论 不 成 立 的 是 ( ) A.CD+DF=4B.CD-DF=2 3 -3 C.BC+AB=2 3 +4D.BC-AB=2解 析 ： 如 图 ，设 O与 BC的
6、切 点 为 M， 连 接 MO 并 延 长 MO交 AD于 点 N， 将 矩 形 ABCD 按 如 图 所 示 的 方 式 折 叠 ， 使 点 D 与 点 O 重 合 ， 折 痕 为 FG， OG=DG， OG DG， MGO+ DGC=90 ， MOG+ MGO=90 ， MOG= DGC，在 OMG和 GCD中 ， 90OMG DCGMOG DGCOG DG ， OMG GCD， OM=GC=1， CD=GM=BC-BM-GC=BC-2. AB=CD， BC-AB=2.设 AB=a， BC=b， AC=c， O 的 半 径 为 r， O 是 Rt ABC的 内 切 圆 可 得 r= 12
7、(a+b-c)， c=a+b-2.在 Rt ABC中 ， 由 勾 股 定 理 可 得 a 2+b2=(a+b-2)2， 整 理 得 2ab-4a-4b+4=0，又 BC-AB=2即 b=2+a， 代 入 可 得 2a(2+a)-4a-4(2+a)+4=0，解 得 a1=1+ 3 ， a2=1- 3 (舍 去 )， a=1+ 3 ， b=3+ 3 ， BC+AB=2 3 +4.再 设 DF=x， 在 Rt ONF中 ， FN=3+ 3 -1-x， OF=x， ON=1+ 3 -1= 3 ，由 勾 股 定 理 可 得 (2+ 3 -x) 2+( 3 )2=x2， 解 得 x=4- 3 ， CD-D
8、F= 3 +1-(4- 3 )=2 3 -3， CD+DF= 3 +1+4- 3 =5.综 上 只 有 选 项 A错 误 .答 案 ： A.10.如 图 ， 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， O 是 坐 标 原 点 ， 点 A 是 函 数 y= 1x (x 0)图 象 上 一点 ， AO 的 延 长 线 交 函 数 y= 2kx (x 0， k是 不 等 于 0的 常 数 )的 图 象 于 点 C， 点 A 关 于 y轴 的 对 称 点 为 A ， 点 C 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 C ， 交 于 x 轴 于 点 B， 连 结 AB， AA ， A C .若 AB
9、C的 面 积 等 于 6， 则 由 线 段 AC， CC ， C A ， A A 所 围 成 的 图 形 的 面 积 等 于 ( )A.8 B.10C.310D.46解 析 ： 过 A作 AD x轴 于 D， 连 接 OA ， 点 A是 函 数 y= 1x (x 0)图 象 上 一 点 ， 设 A(a， 1a )， 点 C在 函 数 y= 2kx (x 0， k 是 不 等 于 0的 常 数 )的 图 象 上 ， 设 C(b， 2kb )， AD BD， BC BD， OAD BCO， 2 22ADOBCOS OD aS OB b ， S ADO= 12 ， S BOC= 22k ， k2=(
10、ba )2， k=-ba ， S ABC=S AOB+S BOC= 12 (- 1a ) b+ 22k =6， k2-ba =12， k2+k-12=0，解 得 ： k=3， k=-4(不 合 题 意 舍 去 )， 点 A关 于 y 轴 的 对 称 点 为 A ， 点 C关 于 x 轴 的 对 称 点 为 C ， 1= 2， 3= 4， 1+ 4= 2+ 3=90 ， OA ， OC 在 同 一 条 直 线 上 ， S OBC =S OBC= 22k = 92 ， S OAA =2S OAD=1， 由 线 段 AC， CC ， C A ， A A 所 围 成 的 图 形 的 面 积 =S OB
11、C+S OBC +S OAA =10.答 案 ： B.二 、 填 空 题 (共 6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 24 分 )11.计 算 ： 2 3 ( 12 )2= .解 析 ： 23 ( 12 )2=8 14 =2，答 案 ： 212.放 学 后 ， 小 明 骑 车 回 家 ， 他 经 过 的 路 程 s(千 米 )与 所 用 时 间 t(分 钟 )的 函 数 关 系 如 图 所 示 ，则 小 明 的 骑 车 速 度 是 千 米 /分 钟 . 解 析 ： 由 纵 坐 标 看 出 路 程 是 2千 米 ，由 横 坐 标 看 出 时 间 是 10 分 钟 ，小 明 的 骑 车
12、速 度 是 2 10=0.2(千 米 /分 钟 ).答 案 ： 0.213.在 “ 争 创 美 丽 校 园 ， 争 做 文 明 学 生 ” 示 范 校 评 比 活 动 中 ， 10 位 评 委 给 某 校 的 评 分 情 况 下表 所 示 ： 则 这 10位 评 委 评 分 的 平 均 数 是 分 .解 析 ： 这 10位 评 委 评 分 的 平 均 数 是 ： (80+85 2+90 5+95 2) 10=89(分 ).答 案 ： 8914.如 图 ， 已 知 C， D 是 以 AB为 直 径 的 半 圆 周 上 的 两 点 ， O是 圆 心 ， 半 径 OA=2， COD=120 ，则 图
13、 中 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 . 解 析 ： 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 = 12 22- 2120 2360 =2 - 43 = 23 .答 案 ： 23 15.如 图 ， 已 知 抛 物 线 C1： y=a1x2+b1x+c1和 C2： y=a2x2+b2x+c2都 经 过 原 点 ， 顶 点 分 别 为 A， B，与 x 轴 的 另 一 交 点 分 别 为 M， N， 如 果 点 A 与 点 B， 点 M与 点 N都 关 于 原 点 O 成 中 心 对 称 ， 则称 抛 物 线 C 1和 C2为 姐 妹 抛 物 线 ， 请 你 写 出 一 对 姐 妹 抛 物 线 C1
14、和 C2， 使 四 边 形 ANBM恰 好 是 矩形 ， 你 所 写 的 一 对 抛 物 线 解 析 式 是 和 .解 析 ： 连 接 AB， 根 据 姐 妹 抛 物 线 的 定 义 ， 可 得 姐 妹 抛 物 线 的 二 次 项 的 系 数 互 为 相 反 数 ， 一 次 项 系 数 相 等 且 不等 于 零 ， 常 数 项 都 是 零 ，设 抛 物 线 C1的 解 析 式 为 y=ax2+bx，根 据 四 边 形 ANBM恰 好 是 矩 形 可 得 ： OA=OM， OA=MA， AOM是 等 边 三 角 形 ，设 OM=2， 则 点 A的 坐 标 是 (1， 3 )， 则 30 4 2a
15、 ba b ， ， 解 得 ： 32 3ab ，则 抛 物 线 C1的 解 析 式 为 y=- 3 x 2+2 3 x， 抛 物 线 C2 的 解 析 式 为 y= 3 x2+2 3 x. 答 案 ： y=- 3 x2+2 3 x， y= 3 x2+2 3 x.16.已 知 正 方 形 ABC1D1的 边 长 为 1， 延 长 C1D1到 A1， 以 A1C1为 边 向 右 作 正 方 形 A1C1C2D2， 延 长C2D2到 A2， 以 A2C2为 边 向 右 作 正 方 形 A2C2C3D3(如 图 所 示 )， 以 此 类 推 .若 A1C1=2， 且 点 A， D2，D3， ， D10
16、都 在 同 一 直 线 上 ， 则 正 方 形 A9C9C10D10的 边 长 是 . 解 析 ： 延 长 D4A和 C1B 交 于 O， AB A 2C1， AOB D2OC2， 2 2 2OB ABOC D C ， AB=BC1=1， D2C2=C1C2=2， 2 2 2 12OB ABOC D C ， OC2=2OB， OB=BC2=3， OC2=6，设 正 方 形 A2C2C3D3的 边 长 为 x1，同 理 证 得 ： D 2OC2 D3OC3， 1 12 66x x ， 解 得 x1=3， 正 方 形 A2C2C3D3的 边 长 为 3，设 正 方 形 A3C3C4D4的 边 长
17、为 x2，同 理 证 得 ： D3OC3 D4OC4， 2 23 99x x ， 解 得 x2= 92 ， 正 方 形 A3C3C4D4的 边 长 为 92 ；设 正 方 形 A 4C4C5D5的 边 长 为 x3，同 理 证 得 ： D4OC4 D5OC5， 3 39 272 2272x x ， 解 得 x= 274 ， 正 方 形 A4C4C5D5的 边 长 为 274 ；以 此 类 推 . 正 方 形 An-1Cn-1CnDn的 边 长 为 2332nn ； 正 方 形 A9C9C10D10的 边 长 为 8732 .答 案 ： 8732 .三 、 解 答 题 (本 题 有 8 个 小
18、题 ， 共 66 分 )17.计 算 ： 2 2a ba b a b .解 析 ： 原 式 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 ， 约 分 即 可 得 到 结 果 . 答 案 ： 原 式 = 2 2 a b a ba ba b a b =a+b.18.解 不 等 式 组 2 42 1 1.xx ，解 析 ： 先 求 出 每 个 不 等 式 的 解 集 ， 再 根 据 找 不 等 式 组 解 集 的 规 律 找 出 不 等 式 组 的 解 集 即 可 .答 案 ： 2 42 1 1 .xx ， 解 不 等 式 得 ： x 6， 解 不 等 式 得 ： x 1， 不 等 式 组
19、 的 解 集 为 1 x 6.19.已 知 y 是 x 的 一 次 函 数 ， 当 x=3时 ， y=1； 当 x=-2时 ， y=-4， 求 这 个 一 次 函 数 的 解 析 式 . 解 析 ： 一 次 函 数 解 析 式 为 y=kx+b， 将 x 与 y 的 两 对 值 代 入 求 出 k 与 b 的 值 ， 即 可 确 定 出 一次 函 数 解 析 式 .答 案 ： 设 一 次 函 数 解 析 式 为 y=kx+b，将 x=3， y=1； x=-2， y=-4代 入 得 ： 3 12 4k bk b ， ， 解 得 ： k=1， b=-2.则 一 次 函 数 解 析 式 为 y=x-
20、2.20.如 图 ， 已 知 BC是 O 的 直 径 ， AC 切 O 于 点 C， AB 交 O于 点 D， E为 AC的 中 点 ， 连 结DE. (1)若 AD=DB， OC=5， 求 切 线 AC的 长 ；(2)求 证 ： ED是 O 的 切 线 .解 析 ： (1)连 接 CD， 由 直 径 所 对 的 圆 周 角 为 直 角 可 得 ： BDC=90 ， 即 可 得 ： CD AB， 然 后根 据 AD=DB， 进 而 可 得 CD是 AB的 垂 直 平 分 线 ， 进 而 可 得 AC=BC=2OC=10；(2)连 接 OD， 先 由 直 角 三 角 形 中 线 的 性 质 可
21、得 DE=EC， 然 后 根 据 等 边 对 等 角 可 得 1= 2， 由OD=OC， 根 据 等 边 对 等 角 可 得 3= 4， 然 后 根 据 切 线 的 性 质 可 得 2+ 4=90 ， 进 而 可 得 ： 1+ 3=90 ， 进 而 可 得 ： DE OD， 从 而 可 得 ： ED 是 O的 切 线 .答 案 (1)连 接 CD， BC 是 O的 直 径 ， BDC=90 ， 即 CD AB， AD=DB， OC=5， CD是 AB 的 垂 直 平 分 线 ， AC=BC=2OC=10；(2)连 接 OD， 如 图 所 示 ， ADC=90 ， E 为 AC 的 中 点 ，
22、DE=EC= 12 AC， 1= 2， OD=OC， 3= 4， AC 切 O于 点 C， AC OC， 1+ 3= 2+ 4=90 ， 即 DE OD， ED是 O 的 切 线 .21.为 了 深 化 课 程 改 革 ， 某 校 积 极 开 展 校 本 课 程 建 设 ， 计 划 成 立 “ 文 学 鉴 赏 ” 、 “ 科 学 实 验 ” 、“ 音 乐 舞 蹈 ” 和 “ 手 工 编 织 ” 等 多 个 社 团 ， 要 求 每 位 学 生 都 自 主 选 择 其 中 一 个 社 团 .为 此 ，随 机 调 查 了 本 校 各 年 级 部 分 学 生 选 择 社 团 的 意 向 ， 并 将 调
23、 查 结 果 绘 制 成 如 下 统 计 图 表 (不 完整 )： 根 据 统 计 图 表 中 的 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)求 本 次 调 查 的 学 生 总 人 数 及 a， b， c 的 值 ；(2)将 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ；(3)若 该 校 共 有 1200名 学 生 ， 试 估 计 全 校 选 择 “ 科 学 实 验 ” 社 团 的 学 生 人 数 .解 析 ： (1)先 计 算 出 本 次 调 查 的 学 生 总 人 数 ， 再 分 别 计 算 出 百 分 比 ， 即 可 解 答 ；(2)根 据 百 分 比 ， 计 算 出 文 学 鉴 赏 和 手
24、工 编 织 的 人 数 ， 即 可 补 全 条 形 统 计 图 ；(3)用 总 人 数 乘 以 “ 科 学 实 验 ” 社 团 的 百 分 比 ， 即 可 解 答 .答 案 ： (1)本 次 调 查 的 学 生 总 人 数 是 ： 70 35%=200(人 )，b=40 200=20%，c=10 200=5%，a=1-(35%+20%+10%+5%)=30%.(2)文 学 鉴 赏 的 人 数 ： 30% 200=60(人 )，手 工 编 织 的 人 数 ： 10% 200=20(人 )， 如 图 所 示 ，(3)全 校 选 择 “ 科 学 实 验 ” 社 团 的 学 生 人 数 ： 1200
25、35%=420(人 ).22. 某 工 厂 计 划 在 规 定 时 间 内 生 产 24000个 零 件 .若 每 天 比 原 计 划 多 生 产 30个 零 件 ， 则 在 规 定 时 间 内 可 以 多 生 产 300个 零 件 .(1)求 原 计 划 每 天 生 产 的 零 件 个 数 和 规 定 的 天 数 ；(2)为 了 提 前 完 成 生 产 任 务 ， 工 厂 在 安 排 原 有 工 人 按 原 计 划 正 常 生 产 的 同 时 ， 引 进 5 组 机 器人 生 产 流 水 线 共 同 参 与 零 件 生 产 ， 已 知 每 组 机 器 人 生 产 流 水 线 每 天 生 产
26、零 件 的 个 数 比 20 个 工 人 原 计 划 每 天 生 产 的 零 件 总 数 还 多 20%.按 此 测 算 ， 恰 好 提 前 两 天 完 成 24000 个 零 件 的 生产 任 务 ， 求 原 计 划 安 排 的 工 人 人 数 .解 析 ： (1)可 设 原 计 划 每 天 生 产 的 零 件 x 个 ， 根 据 时 间 是 一 定 的 ， 列 出 方 程 求 得 原 计 划 每 天生 产 的 零 件 个 数 ， 再 根 据 工 作 时 间 =工 作 总 量 工 作 效 率 ， 即 可 求 得 规 定 的 天 数 ；(2)可 设 原 计 划 安 排 的 工 人 人 数 为
27、y 人 ， 根 据 等 量 关 系 ： 恰 好 提 前 两 天 完 成 24000 个 零 件 的生 产 任 务 ， 列 出 方 程 求 解 即 可 .答 案 ： (1)设 原 计 划 每 天 生 产 的 零 件 x 个 ，依 题 意 有 24000 24000 30030 x x ， 解 得 x=2400，经 检 验 ， x=2400是 原 方 程 的 根 ， 且 符 合 题 意 . 规 定 的 天 数 为 24000 2400=10(天 ).答 ： 原 计 划 每 天 生 产 的 零 件 2400 个 ， 规 定 的 天 数 是 10 天 ；(2)设 原 计 划 安 排 的 工 人 人 数
28、 为 y 人 ， 依 题 意 有 5 20 (1+20%) 2400y +2400 (10-2)=24000， 解 得 y=480，经 检 验 ， y=480是 原 方 程 的 根 ， 且 符 合 题 意 .答 ： 原 计 划 安 排 的 工 人 人 数 为 480人 .23. 问 题 背 景已 知 在 ABC 中 ， AB 边 上 的 动 点 D 由 A向 B 运 动 (与 A， B 不 重 合 )， 点 E 与 点 D同 时 出 发 ，由 点 C 沿 BC 的 延 长 线 方 向 运 动 (E不 与 C 重 合 )， 边 结 DE交 AC 于 点 F， 点 H 是 线 段 AF 上 一点
29、. (1)初 步 尝 试如 图 1， 若 ABC 是 等 边 三 角 形 ， DH AC， 且 点 D， E 的 运 动 速 度 相 等 .求 证 ： HF=AH+CF.小 五 同 学 发 现 可 以 由 以 下 两 种 思 路 解 决 此 问 题 ：思 路 一 ： 过 点 D作 DG BC， 交 AC于 点 G， 先 证 DH=AH， 再 证 GF=CF， 从 而 证 得 结 论 成 立 ；思 路 二 ： 过 点 E 作 EM AC， 交 AC的 延 长 线 于 点 M， 先 证 CM=AH， 再 证 HF=MF， 从 而 证 得 结 论成 立 .请 你 任 选 一 种 思 路 ， 完 整
30、地 书 写 本 小 题 的 证 明 过 程 (如 用 两 种 方 法 作 答 ， 则 以 第 一 种 方 法 评分 )；(2)类 比 探 究如 图 2， 若 在 ABC中 ， AB=AC， ADH= BAC=36 ， 且 D， E的 运 动 速 度 之 比 是 3 ： 1， 求 ACHF 的 值 ；(3)延 伸 拓 展如 图 3， 若 在 ABC 中 ， AB=AC， ADH= BAC=36 ， 记 BCAB =m， 且 点 D， E运 动 速 度 相 等 ，试 用 含 m 的 代 数 式 表 示 ACHF (直 接 写 出 结 果 ， 不 必 写 解 答 过 程 ).解 析 ： (1)过 点
31、 D 作 DG BC， 交 AC于 点 G， 先 证 明 ADG是 等 边 三 角 形 ， 得 出 GD=AD=CE， 再证 明 GH=AH， 由 ASA证 明 GDF CEF， 得 出 GF=CF， 即 可 得 出 结 论 ；(2)过 点 D 作 DG BC， 交 AC 于 点 G， 先 证 出 AH=GH=GD， AD= 3 GD， 由 题 意 AD= 3 CE， 得 出GD=CE， 再 证 明 GDF CEF， 得 出 GF=CF， 即 可 得 出 结 论 ；(3)过 点 D 作 DG BC， 交 AC于 点 G， 先 证 出 DG=DH=AH， 再 证 明 ADG ABC， ADG D
32、GH， DGH ABC， 得 出 DG BCAD AB =m， GF DG DGCF CE AD =m， DGH ABC， 得 出GH BCDG AB =m， GHAH =m， 证 明 DFG EFC， 得 出 GF DGFC CE =m， GH GFAH FC =m，1AH FCHF m ， 即 可 得 出 结 果 .答 案 ： (1)证 明 (选 择 思 路 一 )： 过 点 D 作 DG BC， 交 AC 于 点 G， 如 图 1所 示 ： 则 ADG= B， AGD= ACB， ABC是 等 边 三 角 形 ， A= B= ACB=60 ， ADG= AGD= A， ADG是 等 边
33、三 角 形 ， GD=AD=CE， DH AC， GH=AH， DG BC， GDF= CEF， DGF= ECF，在 GDF和 CEF中 ， GDF CEFGD CEDGF ECF ， ， GDF CEF(ASA)， GF=CF， GH+GF=AH+CF，即 HF=AH+CF.(2)过 点 D 作 DG BC， 交 AC 于 点 G， 如 图 2所 示 ： 则 ADG= B=90 ， BAC= ADH=30 ， HGD= HDG=60 ， AH=GH=GD， AD= 3 GD，根 据 题 意 得 ： AD= 3 CE， GD=CE， DG BC， GDF= CEF， DGF= ECF，在 G
34、DF和 CEF中 ， GDF CEFGD CEDGF ECF ， ， GDF CEF(ASA)， GF=CF， GH+GF=AH+CF，即 HF=AH+CF， ACHF =2. (3) 1AC mHF m ， 理 由 如 下 ： 过 点 D 作 DG BC， 交 AC 于 点 G， 如 图 3所 示 ：则 ADG= B， AGD= ACB， AB=AC， BAC=36 ， ACB= B= ADG= AGD=72 ， ADH= BAC=36 ， AH=DH， DHG=72 = AGD， DG=DH=AH， ADG ABC， ADG DGH， DG BCAD AB =m， GF DG DGCF C
35、E AD =m， DGH ABC， GH BCDG AB =m， GHAH =m， DG BC， DFG EFC， GF DGFC CE =m， GH GFAH FC =m，即 HFAH FC =m， AH FCHF = 1m， 1 11AC AH FC HF mHF HF m m .24.已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， O 为 坐 标 原 点 ， 线 段 AB 的 两 个 端 点 A(0， 2)， B(1， 0) 分 别 在 y 轴 和 x 轴 的 正 半 轴 上 ， 点 C 为 线 段 AB的 中 点 ， 现 将 线 段 BA绕 点 B按 顺 时 针 方 向 旋转
36、90 得 到 线 段 BD， 抛 物 线 y=ax2+bx+c(a 0)经 过 点 D.(1)如 图 1， 若 该 抛 物 线 经 过 原 点 O， 且 a=-13 . 求 点 D 的 坐 标 及 该 抛 物 线 的 解 析 式 ； 连 结 CD， 问 ： 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 P， 使 得 POB 与 BCD互 余 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 所 有 满 足 条 件 的 点 P的 坐 标 ， 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；(2)如 图 2， 若 该 抛 物 线 y=ax2+bx+c(a 0)经 过 点 E(1， 1)， 点 Q 在 抛 物 线 上 ， 且 满
37、 足 QOB与 BCD互 余 .若 符 合 条 件 的 Q点 的 个 数 是 4个 ， 请 直 接 写 出 a的 取 值 范 围 .解 析 ： (1) 过 点 D作 DF x轴 于 点 F， 先 通 过 三 角 形 全 等 求 得 D的 坐 标 ， 把 D的 坐 标 和 a=-13 ，c=0代 入 y=ax2+bx+c即 可 求 得 抛 物 线 的 解 析 式 ； 先 证 得 CD x轴 ， 进 而 求 得 要 使 得 POB与 BCD 互 余 ， 则 必 须 POB= BAO， 设 P的 坐 标为 (x， -13 x 2+ 43 x)， 分 两 种 情 况 讨 论 即 可 求 得 ；(2)若
38、 符 合 条 件 的 Q 点 的 个 数 是 4 个 ， 则 当 a 0 时 ， 抛 物 线 交 于 y 轴 的 负 半 轴 ， 当 a 0时 ，最 小 值 得 -1， 解 不 等 式 即 可 求 得 .答 案 ： (1) 过 点 D 作 DF x 轴 于 点 F， 如 图 1， DBF+ ABO=90 ， BAO+ ABO=90 ， DBF= BAO， 又 AOB= BFD=90 ， AB=BD，在 AOB和 BFD中 ， DBF BAOAOB BFDAB BD ， AOB BFD(AAS)， DF=BO=1， BF=AO=2， D 的 坐 标 是 (3， 1)，根 据 题 意 ， 得 a=
39、-13 ， c=0， 且 a 3 2+b 3+c=1， b= 43 ， 该 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=-13 x2+ 43 x； 点 A(0， 2)， B(1， 0)， 点 C 为 线 段 AB的 中 点 ， C( 12 ， 1)， C、 D两 点 的 纵 坐 标 都 为 1， CD x轴 ， BCD= ABO， BAO与 BCD互 余 ，要 使 得 POB与 BCD互 余 ， 则 必 须 POB= BAO，设 P 的 坐 标 为 (x， - 13 x2+ 43 x)，( )当 P 在 x 轴 的 上 方 时 ， 过 P 作 PG x 轴 于 点 G， 如 图 2， 则 tan PO
40、B=tan BAO， 即 PG BOOG AO ， 21 4 13 3 2x xx ， 解 得 x1=0(舍 去 )， x2= 52 ， -13 x2+ 43 x= 54 ， P 点 的 坐 标 为 ( 52 ， 54 )；( )当 P 在 x 轴 的 上 方 时 ， 过 P 作 PG x 轴 于 点 G， 如 图 3. 则 tan POB=tan BAO， 即 PG BOOG AO ， 21 4 13 3 2x xx ， 解 得 x1=0(舍 去 )， x2=112 ， 21 43 3x x =-114 ， P 点 的 坐 标 为 ( 52 ， -114 )；综 上 ， 在 抛 物 线 上
41、是 否 存 在 点 P( 52 ， 54 )或 ( 52 ， -114 )， 使 得 POB与 BCD互 余 .(2)如 图 3， D(3， 1)， E(1， 1)， 抛 物 线 y=ax2+bx+c 过 点 E 、 D ， 代 入 可 得 19 3 1a b ca b c ， ， 解 得 41 3b ac a ， ， 所 以y=ax2-4ax+3a+1.分 两 种 情 况 ： 当 抛 物 线 y=ax2+bx+c 开 口 向 下 时 ， 若 满 足 QOB与 BCD 互 余 且 符 合 条 件 的 Q 点 的 个 数 是4个 ， 则 点 Q 在 x 轴 的 上 、 下 方 各 有 两 个 .
42、(i)当 点 Q 在 x 轴 的 下 方 时 ， 直 线 OQ 与 抛 物 线 有 两 个 交 点 ， 满 足 条 件 的 Q 有 2 个 ；(ii)当 点 Q 在 x 轴 的 上 方 时 ， 要 使 直 线 OQ 与 抛 物 线 y=ax 2+bx+c 有 两 个 交 点 ， 抛 物 线y=ax2+bx+c与 x轴 的 交 点 必 须 在 x 轴 的 正 半 轴 上 ， 与 y 轴 的 交 点 在 y 轴 的 负 半 轴 ， 所 以 3a+1 0， 解 得 a -13 ； 当 抛 物 线 y=ax2+bx+c 开 口 向 上 时 ， 点 Q 在 x 轴 的 上 、 下 方 各 有 两 个 ，
43、(i)当 点 Q 在 x 轴 的 上 方 时 ， 直 线 OQ 与 抛 物 线 y=ax2+bx+c 有 两 个 交 点 ， 符 合 条 件 的 点 Q 有两 个 ；(ii)当 点 Q在 x轴 的 下 方 时 ， 要 使 直 线 OQ与 抛 物 线 y=ax 2+bx+c 有 两 个 交 点 ， 符 合 条 件 的 点Q才 两 个 .根 据 (2)可 知 ， 要 使 得 QOB与 BCD互 余 ， 则 必 须 POB= BAO， tan QOB=tan BAO= 12OBOA ， 此 时 直 线 OQ 的 斜 率 为 - 12 ， 则 直 线 OQ的 解 析 式 为 y=- 12 x，要 使 直 线 OQ与 抛 物 线 y=ax2+bx+c 有 两 个 交 点 ， 所 以 方 程 ax2-4ax+3a+1=- 12 x 有 两 个 不 相 等的 实 数 根 ， 所 以 =(-4a+ 12 ) 2-4a(3a+1) 0， 即 4a2-8a+ 14 0， 解 得 a 4 154 (a4 154 舍 去 )综 上 所 示 ， a 的 取 值 范 围 为 a - 13 或 a 4 154 .
