1、2015 年 浙 江 省 杭 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 仔 细 选 一 选 (每 小 题 3 分 ， 共 30 分 )1.统 计 显 示 ， 2013 年 底 杭 州 市 各 类 高 中 在 校 学 生 人 数 大 约 是 11.4 万 人 ， 将 11.4 万 用 科 学记 数 法 表 示 应 为 ( )A.11.4 102B.1.14 103C.1.14 10 4D.1.14 105解 析 ： 将 11.4 万 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 1.14 105.答 案 ： D2.下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.23+26=29B.2 3-24=2-1C.23
2、23=29D.24 22=22解 析 ： A、 23与 26不 能 合 并 ， 错 误 ；B、 23与 24不 能 合 并 ， 错 误 ；C、 23 23=26， 错 误 ；D、 24 22=22， 正 确 .答 案 ： D3.下 列 图 形 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 由 中 心 对 称 的 定 义 知 ， 绕 一 个 点 旋 转 180 后 能 与 原 图 重 合 ， 则 只 有 选 项 A是 中 心 对 称 图 形 .答 案 ： A4.下 列 各 式 的 变 形 中 ， 正 确 的 是 ( ) A.(-x-y)(-x+y)=x2-y2B. 1
3、1 xxx x C.x2-4x+3=(x-2)2+1D.x (x2+x)= 1x +1解 析 ： A、 (-x-y)(-x+y)=x2-y2， 正 确 ；B、 21 1 xxx x ， 错 误 ；C、 x 2-4x+3=(x-2)2-1， 错 误 ；D、 x (x2+x)= 1 1x ， 错 误 .答 案 ： A5.圆 内 接 四 边 形 ABCD中 ， 已 知 A=70 ， 则 C=( )A.20B.30C.70D.110解 析 ： 四 边 形 ABCD为 圆 的 内 接 四 边 形 ， A+ C=180 ， C=180 -70 =110 .答 案 ： D 6.若 k 90 k+1(k 是
4、整 数 )， 则 k=( )A.6B.7C.8D.9解 析 ： k 90 k+1(k是 整 数 )， 9 90 10， k=9.答 案 ： D7.某 村 原 有 林 地 108公 顷 ， 旱 地 54公 顷 ， 为 保 护 环 境 ， 需 把 一 部 分 旱 地 改 造 为 林 地 ， 使 旱地 面 积 占 林 地 面 积 的 20%.设 把 x 公 顷 旱 地 改 为 林 地 ， 则 可 列 方 程 ( )A.54-x=20% 108 B.54-x=20%(108+x)C.54+x=20% 162D.108-x=20%(54+x)解 析 ： 设 把 x 公 顷 旱 地 改 为 林 地 ， 根
5、 据 题 意 可 得 方 程 ： 54-x=20%(108+x).答 案 ： B8.如 图 是 某 地 2月 18日 到 23日 PM2.5浓 度 和 空 气 质 量 指 数 AQI的 统 计 图 (当 AQI不 大 于 100时 称 空 气 质 量 为 “ 优 良 ” ).由 图 可 得 下 列 说 法 ： 18 日 的 PM2.5浓 度 最 低 ； 这 六 天 中 PM2.5 浓 度 的 中 位 数 是 112ug/m3； 这 六 天 中 有 4 天 空 气 质 量 为 “ 优 良 ” ； 空 气 质 量 指 数 AQI与PM2.5浓 度 有 关 .其 中 正 确 的 是 ( )A. B.
6、 C. D. 解 析 ： 由 图 1 可 知 ， 18 日 的 PM2.5浓 度 为 25ug/m3， 浓 度 最 低 ， 故 正 确 ；这 六 天 中 PM2.5浓 度 的 中 位 数 是 67 922 =79.5ug/m3， 故 错 误 ； 当 AQI不 大 于 100时 称 空 气 质 量 为 “ 优 良 ” ， 18 日 、 19日 、 20日 、 23 日 空 气 质 量 为 优 ， 故 正 确 ；空 气 质 量 指 数 AQI与 PM2.5 浓 度 有 关 ， 故 正 确 .答 案 ： C9.如 图 ， 已 知 点 A， B， C， D， E， F 是 边 长 为 1 的 正 六
7、边 形 的 顶 点 ， 连 接 任 意 两 点 均 可 得 到 一 条 线 段 .在 连 接 两 点 所 得 的 所 有 线 段 中 任 取 一 条 线 段 ， 取 到 长 度 为 3 的 线 段 的 概 率 为( )A. 14B. 25C. 23 D. 59解 析 ： 连 接 AF， EF， AE， 过 点 F 作 FN AE于 点 N， 点 A， B， C， D， E， F 是 边 长 为 1 的 正 六 边 形 的 顶 点 ， AF=EF=1， AFE=120 ， FAE=30 ， AN= 32 ， AE= 3 ， 同 理 可 得 ： AC= 3 ，故 从 任 意 一 点 ， 连 接 两
8、 点 所 得 的 所 有 线 段 一 共 有 15 种 ， 任 取 一 条 线 段 ， 取 到 长 度 为 3 的线 段 有 6 种 情 况 ， 则 在 连 接 两 点 所 得 的 所 有 线 段 中 任 取 一 条 线 段 ， 取 到 长 度 为 3 的 线 段 的概 率 为 ： 25 .答 案 ： B10.设 二 次 函 数 y 1=a(x-x1)(x-x2)(a 0， x1 x2)的 图 象 与 一 次 函 数 y2=dx+e(d 0)的 图 象 交 于点 (x1， 0)， 若 函 数 y=y1+y2的 图 象 与 x 轴 仅 有 一 个 交 点 ， 则 ( )A.a(x1-x2)=dB
9、.a(x2-x1)=dC.a(x1-x2)2=dD.a(x1+x2)2=d解 析 ： 一 次 函 数 y2=dx+e(d 0)的 图 象 经 过 点 (x1， 0)， dx 1+e=0， y2=d(x-x1)， y=y1+y2=a(x-x1)(x-x2)+d(x-x1)=(x-x1)a(x-x2)+d 函 数 y=y1+y2的 图 象 与 x轴 仅 有 一 个 交 点 ， 函 数 y=y1+y2是 二 次 函 数 ， 且 它 的 顶 点 在 x轴 上 ，即 y=y1+y2=a(x-x1)2， a(x-x2)+d=a(x-x1)，令 x=x2， 可 得 a(x2-x2)+d=a(x2-x1)，
10、a(x2-x1)=d.答 案 ： B二 、 认 真 填 一 填 (每 小 题 4 分 ， 共 24 分 )11.数 据 1， 2， 3， 5， 5 的 众 数 是 ， 平 均 数 是 .解 析 ： 数 据 1， 2， 3， 5， 5 的 众 数 是 5； 平 均 数 是 15 (1+2+3+5+5)=165 .答 案 ： 5； 165 .12.分 解 因 式 ： m3n-4mn= .解 析 ： m3n-4mn=mn(m2-4)=mn(m-2)(m+2). 答 案 ： mn(m-2)(m+2)13.函 数 y=x2+2x+1， 当 y=0时 ， x= ； 当 1 x 2时 ， y 随 x 的 增
11、 大 而 (填写 “ 增 大 ” 或 “ 减 小 ” ).解 析 ： 把 y=0代 入 y=x2+2x+1， 得 x2+2x+1=0， 解 得 x=-1，当 x -1 时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 ， 当 1 x 2 时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 .故 答 案 为 -1， 增 大14.如 图 ， 点 A， C， F， B在 同 一 直 线 上 ， CD 平 分 ECB， FG CD.若 ECA为 度 ， 则 GFB为 度 (用 关 于 的 代 数 式 表 示 ). 解 析 ： 点 A， C， F， B 在 同 一 直 线 上 ， ECA为 ， ECB=180 - ， C
12、D 平 分 ECB， DCB= 12 (180 - )， FG CD， GFB= DCB=90- 2 .答 案 ： 90- 215.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 为 坐 标 原 点 ， 设 点 P(1， t)在 反 比 例 函 数 y= 2x 的 图 象 上 ， 过 点P作 直 线 l 与 x 轴 平 行 ， 点 Q在 直 线 l 上 ， 满 足 QP=OP.若 反 比 例 函 数 y=kx 的 图 象 经 过 点 Q，则 k= . 解 析 ： 点 P(1， t)在 反 比 例 函 数 y= 2x 的 图 象 上 ， t= 21 =2， P(1.2)， OP= 2 21 2 5
13、， 过 点 P 作 直 线 l 与 x 轴 平 行 ， 点 Q 在 直 线 l 上 ， 满 足 QP=OP. Q(1+ 5 ， 2)或 (1- 5 ，2)， 反 比 例 函 数 y=kx 的 图 象 经 过 点 Q， 2=1 5k 或 1 5k ， 解 得 k=2+2 5 或 2-2 5 .答 案 ： 2+2 5 或 2-2 5 .16.如 图 ， 在 四 边 形 纸 片 ABCD中 ， AB=BC， AD=CD， A= C=90 ， B=150 .将 纸 片 先 沿 直线 BD 对 折 ， 再 将 对 折 后 的 图 形 沿 从 一 个 顶 点 出 发 的 直 线 裁 剪 ， 剪 开 后 的
14、 图 形 打 开 铺 平 .若 铺 平 后 的 图 形 中 有 一 个 是 面 积 为 2 的 平 行 四 边 形 ， 则 CD= . 解 析 ： 如 图 1 所 示 ： 延 长 AE 交 CD于 点 N， 过 点 B 作 BT EC 于 点 T，当 四 边 形 ABCE 为 平 行 四 边 形 ， AB=BC， 四 边 形 ABCE是 菱 形 ， A= C=90 ， B=150 ， BC AN， ADC=30 ， BAN= BCE=30 ，则 NAD=60 ， AND=90 ， 四 边 形 ABCE 面 积 为 2， 设 BT=x， 则 BC=EC=2x， 故 2x x=2， 解 得 ： x
15、=1(负 数 舍 去 )，则 AE=EC=2， EN= 2 22 1 3 ， 故 AN=2+ 3 ， 则 AD=DC=4+2 3 ；如 图 2， 当 四 边 形 BEDF是 平 行 四 边 形 ， BE=BF， 平 行 四 边 形 BEDF是 菱 形 ， A= C=90 ， B=150 ， ADB= BDC=15 ， BE=DE， AEB=30 ， 设 AB=y， 则 BE=2y， AE= 3 y， 四 边 形 BEDF 面 积 为 2， AB DE=2y2=1， 解 得 ： y=1， 故 AE= 3 ， DE=2， 则 AD=2+ 3 ， 综 上 所 述 ： CD 的 值 为 ： 2+ 3
16、或 4+2 3 .答 案 ： 2+ 3 或 4+2 3 .三 、 全 面 答 一 答 (共 66 分 )17.杭 州 市 推 行 垃 圾 分 类 已 经 多 年 ， 但 在 剩 余 垃 圾 中 除 了 厨 余 类 垃 圾 还 混 杂 着 非 厨 余 类 垃 圾 .如 图 是 杭 州 某 一 天 收 到 的 厨 余 垃 圾 的 统 计 图 . (1)试 求 出 m 的 值 ；(2)杭 州 市 某 天 收 到 厨 余 垃 圾 约 200吨 ， 请 计 算 其 中 混 杂 着 的 玻 璃 类 垃 圾 的 吨 数 .解 析 ： (1)根 据 整 体 单 位 减 去 其 它 类 垃 圾 所 占 的 百
17、分 比 ， 可 得 厨 余 类 所 占 的 百 分 比 ；(2)根 据 总 垃 圾 乘 以 玻 璃 类 垃 圾 所 占 的 百 分 比 ， 可 得 答 案 .答 案 ： (1)m%=1-22.39%-0.9%-7.55%-0.15%=69.01%， m=69.01；(2)其 中 混 杂 着 的 玻 璃 类 垃 圾 的 吨 数 约 等 于 200 0.9%=1.8(吨 ).18.如 图 ， 在 ABC中 ， 已 知 AB=AC， AD 平 分 BAC， 点 M， N 分 别 在 AB， AC 边 上 ， AM=2MB，AN=2NC.求 证 ： DM=DN. 解 析 ： 首 先 根 据 等 腰 三
18、 角 形 的 性 质 得 到 AD 是 顶 角 的 平 分 线 ， 再 利 用 全 等 三 角 形 进 行 证 明 即可 .答 案 ： AM=2MB， AN=2NC， AB=AC， AM=AN， AB=AC， AD平 分 BAC， MAD= NAD，在 AMD与 AND中 ， AM ANMAD NADAD AD ， ， AMD AND(SAS)， DM=DN.19.如 图 1， O 的 半 径 为 r(r 0)， 若 点 P 在 射 线 OP 上 ， 满 足 OP OP=r 2， 则 称 点 P是 点 P关 于 O的 “ 反 演 点 ” . 如 图 2， O的 半 径 为 4， 点 B 在 O
19、上 ， BOA=60 ， OA=8， 若 点 A ， B 分 别 是 点 A， B关 于 O 的 反 演 点 ， 求 A B 的 长 .解 析 ： 设 OA 交 O 于 C， 连 结 B C， 如 图 2， 根 据 新 定 义 计 算 出 OA =2， OB =4， 则 点 A为 OC 的 中 点 ， 点 B 和 B 重 合 ， 再 证 明 OBC为 等 边 三 角 形 ， 则 B A OC， 然 后 在 RtOA B 中 ， 利 用 正 弦 的 定 义 可 求 A B 的 长 .答 案 ： 设 OA交 O 于 C， 连 结 B C， 如 图 ， OA OA=42， 而 r=4， OA=8，
20、OA =2， OB OB=42， OB =4， 即 点 B和 B 重 合 ， BOA=60 ， OB=OC， OBC为 等 边 三 角 形 ，而 点 A 为 OC 的 中 点 ， B A OC，在 Rt OA B 中 ， sin A OB = ABOB ， A B =4sin60 =2 3 .20.设 函 数 y=(x-1)(k-1)x+(k-3)(k 是 常 数 ). (1)当 k 取 1和 2 时 的 函 数 y1和 y2的 图 象 如 图 所 示 ， 请 你 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 画 出 当 k 取 0时 的 函 数 的 图 象 ；(2)根 据 图 象 ， 写 出 你 发
21、现 的 一 条 结 论 ；(3)将 函 数 y2的 图 象 向 左 平 移 4个 单 位 ， 再 向 下 平 移 2个 单 位 ， 得 到 的 函 数 y3的 图 象 ， 求 函数 y3的 最 小 值 .解 析 ： (1)把 k=0代 入 函 数 解 析 式 即 可 得 到 所 求 的 函 数 解 析 式 ， 根 据 函 数 解 析 式 作 出 图 象 ；(2)根 据 函 数 图 象 回 答 问 题 ；(3)由 “ 左 减 右 加 ， 上 加 下 减 ” 的 规 律 写 出 函 数 解 析 式 ， 根 据 函 数 图 象 的 增 减 性 来 求 函 数 y 2 的 最 小 值 .答 案 ： (
22、1)当 k=0时 ， y=-(x-1)(x+3)， 所 画 函 数 图 象 如 图 所 示 ： (2) 根 据 图 象 知 ， 图 象 都 经 过 点 (1， 0)和 (-1， 4). 图 象 与 x轴 的 交 点 是 (1， 0). k 取 0 和 2 时 的 函 数 图 象 关 于 点 (0， 2)中 心 对 称 . 函 数 y=(x-1)(k-1)x+(k-3)(k是 常 数 )的 图 象 都 经 过 (1， 0)和 (-1， 4)等 等 .(3)平 移 后 的 函 数 y3的 表 达 式 为 y3=(x+3)2-2.所 以 当 x=-3时 ， 函 数 y3的 最 小 值 是 -2.21
23、.“ 综 合 与 实 践 ” 学 习 活 动 准 备 制 作 一 组 三 角 形 ， 记 这 些 三 角 形 的 三 边 分 别 为 a， b， c，并 且 这 些 三 角 形 三 边 的 长 度 为 大 于 1 且 小 于 5 的 整 数 个 单 位 长 度 .(1)用 记 号 (a， b， c)(a b c)表 示 一 个 满 足 条 件 的 三 角 形 ， 如 (2， 3， 3)表 示 边 长 分 别 为 2，3， 3 个 单 位 长 度 的 一 个 三 角 形 .请 列 举 出 所 有 满 足 条 件 的 三 角 形 .(2)用 直 尺 和 圆 规 作 出 三 边 满 足 a b c
24、的 三 角 形 (用 给 定 的 单 位 长 度 ， 不 写 作 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 ).解 析 ： (1)应 用 列 举 法 ， 根 据 三 角 形 三 边 关 系 列 举 出 所 有 满 足 条 件 的 三 角 形 .(2)首 先 判 断 满 足 条 件 的 三 角 形 只 有 一 个 ： a=2， b=3， c=4， 再 作 图 ： 作 射 线 AB， 且 取 AB=4； 以 点 AA 为 圆 心 ， 3为 半 径 画 弧 ； 以 点 BB为 圆 心 ， 2 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 交 于 点 C； 连 接 AC、 BC.则 ABC 即 为 满 足 条 件 的 三 角
25、 形 .答 案 ： (1)共 9 种 ： (2， 2， 2)， (2， 2， 3)， (2， 3， 3)， (2， 3， 4)， (2， 4， 4)， (3， 3，3)， (3， 3， 4)， (3， 4， 4)， (4， 4， 4).(2)由 (1)可 知 ， 只 有 (2， 3， 4)， 即 a=2， b=3， c=4 时 满 足 a b c.如 答 图 的 ABC即 为 满 足 条 件 的 三 角 形 . 22.如 图 ， 在 ABC中 (BC AC)， ACB=90 ， 点 D 在 AB边 上 ， DE AC于 点 E. (1)若 13ADDB ， AE=2， 求 EC的 长 ；(2)
26、设 点 F 在 线 段 EC 上 ， 点 G 在 射 线 CB 上 ， 以 F， C， G 为 顶 点 的 三 角 形 与 EDC有 一 个 锐角 相 等 ， FG 交 CD 于 点 P.问 ： 线 段 CP 可 能 是 CFG 的 高 线 还 是 中 线 ？ 或 两 者 都 有 可 能 ？ 请说 明 理 由 .解 析 ： (1)易 证 DE BC， 由 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 列 比 例 式 即 可 求 解 ；(2)分 三 种 情 况 讨 论 ： 若 CFG= ECD， 此 时 线 段 CP 是 CFG的 FG边 上 的 中 线 ； 若 CFG= EDC， 此 时 线 段
27、 CP为 CFG 的 FG 边 上 的 高 线 ； 当 CD为 ACB的 平 分 线 时 ， CP 既 是 CFG的 FG 边 上 的 高 线 又 是 中 线 .答 案 ： (1) ACB=90 ， DE AC， DE BC， AD AEDB EC ， 13ADDB ， AE=2， EC=6. (2) 如 图 1， 若 CFG= ECD， 此 时 线 段 CP是 CFG的 FG边 上 的 中 线 .证 明 ： CFG+ CGF=90 ， ECD+ PCG=90 ，又 CFG= ECD， CGF= PCG， CP=PG， CFG= ECD， CP=FP， PF=PG=CP， 线 段 CP 是 C
28、FG的 FG边 上 的 中 线 ； 如 图 2， 若 CFG= EDC， 此 时 线 段 CP为 CFG的 FG 边 上 的 高 线 . 证 明 ： DE AC， EDC+ ECD=90 ， CFG= EDC， CFG+ ECD=90 ， CPF=90 ， 线 段 CP 为 CFG的 FG边 上 的 高 线 . 如 图 3， 当 CD为 ACB的 平 分 线 时 ， CP 既 是 CFG的 FG边 上 的 高 线 又 是 中 线 . 23.方 成 同 学 看 到 一 则 材 料 ： 甲 开 汽 车 ， 乙 骑 自 行 车 从 M 地 出 发 沿 一 条 公 路 匀 速 前 往 N 地 .设 乙
29、 行 驶 的 时 间 为 t(h)， 甲 乙 两 人 之 间 的 距 离 为 y(km)， y 与 t 的 函 数 关 系 如 图 1 所 示 .方 成 思 考 后 发 现 了 如 图 1的 部 分 正 确 信 息 ： 乙 先 出 发 1h； 甲 出 发 0.5小 时 与 乙 相 遇 ； .请 你 帮 助 方 成 同 学 解 决 以 下 问 题 ： (1)分 别 求 出 线 段 BC， CD所 在 直 线 的 函 数 表 达 式 ；(2)当 20 y 30时 ， 求 t 的 取 值 范 围 ；(3)分 别 求 出 甲 ， 乙 行 驶 的 路 程 S 甲 ， S 乙 与 时 间 t 的 函 数
30、表 达 式 ， 并 在 图 2 所 给 的 直 角 坐标 系 中 分 别 画 出 它 们 的 图 象 ；(4)丙 骑 摩 托 车 与 乙 同 时 出 发 ， 从 N 地 沿 同 一 公 路 匀 速 前 往 M 地 ， 若 丙 经 过 43 h与 乙 相 遇 ，问 丙 出 发 后 多 少 时 间 与 甲 相 遇 ？解 析 ： (1)利 用 待 定 系 数 法 求 函 数 解 析 式 ， 即 可 解 答 ；(2)先 求 出 甲 、 乙 的 速 度 、 所 以 OA的 函 数 解 析 式 为 ： y=20t(0 t 1)， 所 以 点 A 的 纵 坐 标 为20， 根 据 当 20 y 30 时 ，
31、 得 到 20 40t-60 30， 或 20 -20t+80 30， 解 不 等 式 组 即 可 ；(3)得 到 S 甲 =60t-60(1 t 73 )， S 乙 =20t(0 t 4)， 画 出 函 数 图 象 即 可 ；(4)确 定 丙 距 M 地 的 路 程 S 丙 与 时 间 t 的 函 数 表 达 式 为 ： S 丙 =-40t+80(0 t 2)， 根 据 S 丙=-40t+80与 S 甲 =60t-60 的 图 象 交 点 的 横 坐 标 为 75 ， 所 以 丙 出 发 57 h与 甲 相 遇 .答 案 ： (1)直 线 BC 的 函 数 解 析 式 为 y=kt+b，把
32、(1.5， 0)， ( 73 ， 1003 )代 入 得 ： 1.5 07 1003 3k bk b ， ， 解 得 ： 4060kb ， ， 直 线 BC的 解 析 式 为 ：y=40t-60；设 直 线 CD 的 函 数 解 析 式 为 y 1=k1t+b1， 把 ( 73 ， 1003 )， (4， 0)代 入 得 ： 1 11 17 1003 34 0k bk b ， 解 得 ： 11 2080kb ， 直 线 CD 的 函 数 解 析 式 为 ： y=-20t+80.(2)设 甲 的 速 度 为 akm/h， 乙 的 速 度 为 bkm/h，根 据 题 意 得 ： 0.5 1.57
33、7 10013 3 3a ba b ， ， 解 得 ： 6020ab ， 甲 的 速 度 为 60km/h， 乙 的 速 度 为 20km/h， OA 的 函 数 解 析 式 为 ： y=20t(0 t 1)， 所 以 点 A 的 纵 坐 标 为 20，当 20 y 30 时 ， 即 20 40t-60 30， 或 20 -20t+80 30， 解 得 ： 2 t 94 或 52 t 3. (3)根 据 题 意 得 ： S 甲 =60t-60(1 t 73 )， S 乙 =20t(0 t 4)， 所 画 图 象 如 图 2 所 示 ：(4)当 t= 43 时 ， S 乙 = 803 ， 丙 距 M 地 的 路 程 S 丙 与 时 间 t 的 函 数 表 达 式 为 ： S 丙 =-40t+80(0 t 2)， 如 图 3， S 丙 =-40t+80与 S 甲 =60t-60的 图 象 交 点 的 横 坐 标 为 75 ， 所 以 丙 出 发 75 h 与 甲 相 遇 .
