1、2016 年 上 海 市 闸 北 区 高 考 二 模 数 学 理一 、 填 空 题 (6 0 分 )本 大 题 共 有 1 0 题 ， 要 求 在 答 题 纸 相 应 题 序 的 空 格 内 直 接 填 写 结 果 ， 每 个空 格 填 对 得 6 分 ， 否 则 一 律 得 零 分 1 .已 知 函 数 0 1x xf x a a a a （ ） （ ， ） ， 且 f(1 )=3 ， 则 f(0 )+f(1 )+f(2 )的 值 是 .解 析 ： 1 2 2 1 21 3 0 2 2 2 7f a a f f a a a a （ ） ， （ ） ， （ ） （ ） ， f(1 )+f(0
2、)+f(2 )=1 2 答 案 ： 1 2 2 .已 知 集 合 2 | | 2 2 3 0A x x a B x x x B A ， ， 若 ， 则 实 数 a 的 取 值 范围 是 .解 析 ： 由 |x-2 | a， 可 得 2 -a x 2 +a(a 0 )， A=(2 -a， 2 +a)(a 0 )由 2 2 3 0 x x ， 解 得 -1 x 3 B=(-1 ， 3 ) 2 12 3aB A a ， 则 ， 解 得 a 3 答 案 ： a 3 3 .如 果 复 数 z 满 足 |z|=1 且 2z a bi ， 其 中 a， b R， 则 a+b 的 最 大 值 是 . 解 析
3、： |z|=1 ， 2 1z ，2 2 2 1z a bi a b 由 ， 得 ， 2 2 22 2a b a b （ ） （ ） ，故 当 22a b 时 ， a+b 的 最 大 值 是 2 答 案 ： 2 4 .在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 三 点 A(a， 1 )， B(2 ， b)， C(3 ， 4 )， 若 向 量 OAOB ， 在 向 量 OC 方 向 上 的 投 影 相 同 ， 则 3 a-4 b 的 值 是 .解 析 ： 向 量 OAOB ， 在 向 量 OC 方 向 上 的 投 影 相 同 ， OA OC OB OC ， A(a， 1 )， B(2 ， b)
4、， C(3 ， 4 )， 3 a+4 =6 +4 b， 3 a-4 b=2 ，答 案 ： 2 5 .某 科 技 创 新 大 赛 设 有 一 、 二 、 三 等 奖 (参 与 活 动 的 都 有 奖 )且 相 应 奖 项 获 奖 的 概 率 是 以 a 为首 项 ， 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 相 应 的 奖 金 分 别 是 以 7 0 0 0 元 、 5 6 0 0 元 、 4 2 0 0 元 ， 则 参 加 此 次大 赛 获 得 奖 金 的 期 望 是 .解 析 ： 某 科 技 创 新 大 赛 设 有 一 、 二 、 三 等 奖 (参 与 活 动 的 都 有 奖 )且 相 应 奖
5、 项 获 奖 的 概 率 是以 a 为 首 项 ， 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 获 得 一 、 二 、 三 等 奖 的 概 率 分 别 为 a， 2 a， 4 a， 且 a+2 a+4 a=1 ， 解 得 17a ， 获 得 一 、 二 、 三 等 奖 的 概 率 分 别 为 1 2 47 7 7， ， ， 一 、 三 、 三 等 奖 相 应 的 奖 金 分 别 是 以 7 0 0 0 元 、 5 6 0 0 元 、 4 2 0 0 元 ， 参 加 此 次 大 赛 获 得 奖 金 的 期 望 1 2 47000 5600 4200 50007 7 7E X （ ） 元 答 案 ：
6、5 0 0 0 6 .已 知 1 2F F、 是 椭 圆 C： 222 2 1 0 0yx a ba b （ ， ） 的 两 个 焦 点 ， P 为 椭 圆 C 上 一 点 ， 且1 2PF PF 若 1 2PF F 的 面 积 为 9 ， 则 b= . 解 析 ： 1 2F F、 是 椭 圆 C： 222 2 1 0 0yx a ba b （ ， ） 的 两 个 焦 点 ， P 为 椭 圆 C 上 一 点 ， 且1 2PF PF 2 2 21 2 1 2 1 212 4 92PF PF a PF PF c PF PF ， ， ， 2 2 21 2 1 24 2 4PF PF c PF PF
7、a （ ） ， 2 2 236 4 4a c b （ ） ， b=3 答 案 ： 3 7 . ABC 中 ， a， b， c 分 别 是 A， B， C 的 对 边 且 2 2 2ac c b a ， 若 ABC 最 大 边长 是 7 且 sinC=2 sinA， 则 ABC 最 小 边 的 边 长 为 .解 析 ： 2 2 22 2 2 12 2a c bac c b a cosB ac ， ， 2 73B b ， sinC=2 sinA， c=2 a， 三 角 形 的 最 短 边 为 a由 余 弦 定 理 得 2 224 7 124a acosB a ， 解 得 a=1 答 案 ： 1 8
8、 .在 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 =sin +2 与 sin =2 的 公 共 点 到 极 点 的 距 离 为 .解 析 ： =sin +2 与 sin =2 消 去 sin ， 可 得 ( -2 )=2 ， 由 于 0 ， 解 得 1 3 答 案 ： 1 3 9 .如 图 ， A， B 是 直 线 l 上 的 两 点 ， 且 AB=2 两 个 半 径 相 等 的 动 圆 分 别 与 l 相 切 于 A， B 点 ，C 是 这 两 个 圆 的 公 共 点 ， 则 圆 弧 ， 与 线 段 AB 围 成 图 形 面 积 S 的 取 值 范 围 是 解 析 ： 如 图 ， 当 O1 与 O2
9、外 切 于 点 C 时 ， S 最 大 ， 此 时 ， 两 圆 半 径 为 1 ， S 等 于 矩 形 ABO2 O1 的 面 积 减 去 两 扇 形 面 积 ， 212 1 2 1 24 2( )maxS ，随 着 圆 半 径 的 变 化 ， C 可 以 向 直 线 l 靠 近 ，当 C 到 直 线 l 的 距 离 d 0 时 ， S 0 ， 02( 2S ， 答 案 ： (0 2 2，1 0 .设 函 数 f(x)=x 2 -1 ， 对 任 意 243 1 42 xx f m f x f x f mm ， ） ， （ ） （ ） （ ） （ ） 恒 成 立 ，则 实 数 m 的 取 值 范
10、 围 是 .解 析 ： 依 据 题 意 得 2 2 2 2 22 31 4 1 1 1 4 1 2x m x x m xm （ ） （ ） （ ） 在 ， ） 上 恒 定成 立 ， 即 2 23 31 24 2 1 2m xxm x 在 ， ） 上 恒 成 立 当 x= 32 时 ， 函 数 23 2 1y xx 取 得 最 小 值 53 ， 2 51 4 2 3mm ， 即 (3 m2 +1 )(4 m2 -3 ) 0 ，解 得 3 32 2m m 或 ，答 案 ： 3 32 )2( ， ， 二 、 选 择 题 (1 5 分 )本 大 题 共 有 3 题 ， 每 题 都 给 出 四 个 结
11、论 ， 其 中 有 且 只 有 一 个 结 论 是 正 确 的 ，必 须 把 答 题 纸 上 相 应 题 序 内 的 正 确 结 论 代 号 涂 黑 ， 选 对 得 5 分 ， 否 则 一 律 得 零 分 . 1 1 .向 量 ab ， 均 为 单 位 向 量 ， 其 夹 角 为 ， 则 命 题 “ p： 1a b ” 是 命 题 q： 562 ， ）的 ( )条 件 ( )A.充 分 非 必 要 条 件B.必 要 非 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.非 充 分 非 必 要 条 件解 析 ： 若 1a b ， 则 平 方 得 ： 2 2 12 2 2 1 2a a b b a b
12、a b ， 即 ， 则12a bcos a ba b ， 3 3 p （ ， ， 即 ： （ ， ， 命 题 q： 562 ， ） ， p 是 q 的 必 要 不 充 分 条 件 .答 案 ： B1 2 .已 知 S， A， B， C 是 球 O 表 面 上 的 点 ， SA 平 面 ABC， AB BC， SA=AB=1 ， 2BC， 则 球 O 的 表 面 积 等 于 ( )A.4 B.3 C.2 D.解 析 ： 已 知 S， A， B， C 是 球 O 表 面 上 的 点 OA=OB=OC=OS=1又 SA 平 面 ABC， AB BC， SA=AB=1 ， 2BC ， 球 O 的 直
13、径 为 2 R=SC=2 ， R=1 ， 表 面 积 为 4 R2 =4 答 案 ： A 1 3 .已 知 数 列 an中 ， an+1 =3 Sn， 则 下 列 关 于 an的 说 法 正 确 的 是 ( )A.一 定 为 等 差 数 列B.一 定 为 等 比 数 列C.可 能 为 等 差 数 列 ， 但 不 会 为 等 比 数 列D.可 能 为 等 比 数 列 ， 但 不 会 为 等 差 数 列解 析 ： an+1 =3 Sn， Sn+1 -Sn=3 Sn， Sn+1 =4 Sn，若 S 1 =0 ， 则 数 列 an为 等 差 数 列 ；若 S1 0 ， 则 数 列 Sn为 首 项 为
14、S1 ， 公 比 为 4 的 等 比 数 列 ， Sn=S1 4 n-1 ，此 时 an=Sn-Sn-1 =3 S1 4 n-2 (n 2 )， 即 数 列 从 第 二 项 起 ， 后 面 的 项 组 成 等 比 数 列 综 上 ， 数 列 an可 能 为 等 差 数 列 ， 但 不 会 为 等 比 数 列 答 案 ： C三 、 解 答 题 (本 题 满 分 7 5 分 )本 大 题 共 有 5 题 ， 解 答 下 列 各 题 必 须 在 答 题 纸 的 规 定 区 域 (对 应的 题 号 )内 写 出 必 要 的 步 骤 1 4 .(理 )在 长 方 体 ABCD-A 1 B1 C1 D1
15、中 ， AB=2 ， AD=1 ， AA1 =1 ， 点 E 在 棱 AB 上 移 动 (1 )探 求 AE 等 于 何 值 时 ， 直 线 D1 E 与 平 面 AA1 D1 D 成 4 5 角 ；(2 )点 E 移 动 为 棱 AB 中 点 时 ， 求 点 E 到 平 面 A1 DC1 的 距 离 解 析 ： (1 )解 法 一 ： 先 找 到 直 线 D 1 E 与 平 面 AA1 D1 D 所 成 的 平 面 角 ， 放 入 直 角 三 角 形 中 ， 根 据角 的 大 小 为 4 5 ， 来 求 三 角 形 中 边 之 间 的 关 系 ， 即 可 求 出 AE 长 度 解 法 二 ：
16、 利 用 空 间 向 量 来 解 ， 先 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 求 出 1D E 坐 标 ， 以 及 平 面 AA1 D1 D 的 法 向 量 的 坐 标 ， 因 为 直 线 D1 E 与 平 面 AA1 D1 D 成 4 5 角 ， 所 以 1D E 与 平 面 AA1 D1 D 的 法 向 量成 4 5 角 ， 再 用 向 量 的 数 量 积 公 式 即 可 求 出 1D E 坐 标 ， 进 而 判 断 E 点 位 置 (2 )利 用 空 间 向 量 的 知 识 ， 点 到 平 面 的 距 离 可 用 公 式 n DEd n 来 求 ， 其 中 n 为 平 面 的 法 向
17、量 ， DE 为 E 点 到 平 面 上 任 意 一 点 的 向 量 答 案 ： (1 )解 法 一 ： 长 方 体 ABCD-A 1 B1 C1 D1 中 ， 因 为 点 E 在 棱 AB 上 移 动 ， 所 以 EA 平 面 AA1 D1 D，从 而 ED1 A 为 直 线 D1 E 与 平 面 AA1 D1 D 所 成 的 平 面 角 ，Rt ED1 A 中 ， 1 145 2ED A AE AD 解 法 二 ： 以 D 为 坐 标 原 点 ， 射 线 DA、 DC、 DD1 依 次 为 x、 y、 z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，则 点 D1 (0 ， 0 ， 1 )
18、， 平 面 AA1 D1 D 的 法 向 量 为 DC (0 ， 2 ， 0 )， 设 E(1 ， y， 0 )， 得 1D E (1 ，y， -1 )，由 11 4D E DC sinD E DC ， 得 2y ，故 2AE (2 )以 D 为 坐 标 原 点 ， 射 线 DA、 DC、 DD1 依 次 为 x、 y、 z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 点 E(1 ，1 ， 0 )， A1 (1 ， 0 ， 1 )，C1 (0 ， 2 ， 1 )，从 而 1 1( )101 021 110( ) ( )DA DC DE ， ， ， ， ， ， ， ，设 平 面 DA1
19、C1 的 法 向 量 为 n (x， y， z)， 由 11 0 02 00n DA x zy zn DC 令 11 2( )1n ， ， ，所 以 点 E 到 平 面 A 1 DC1 的 距 离 为 n DEd n =1 1 5 .某 公 司 生 产 的 某 批 产 品 的 销 售 量 P 万 件 (生 产 量 与 销 售 量 相 等 )与 促 销 费 用 x 万 元 满 足24xP (其 中 0 x a， a 为 正 常 数 ) 已 知 生 产 该 产 品 还 需 投 入 成 本 16 P P（ ） 万 元 (不 含促 销 费 用 )， 产 品 的 销 售 价 格 定 为 204 p（ ）
20、 元 /件 (1 )将 该 产 品 的 利 润 y 万 元 表 示 为 促 销 费 用 x 万 元 的 函 数 ； (2 )促 销 费 用 投 入 多 少 万 元 时 ， 该 公 司 的 利 润 最 大 ？解 析 ： (1 )根 据 产 品 的 利 润 =销 售 额 -产 品 的 成 本 建 立 函 数 关 系 ；(2 )利 用 导 数 基 本 不 等 式 可 求 出 该 函 数 的 最 值 ， 注 意 等 号 成 立 的 条 件 答 案 ： (1 )由 题 意 知 ， 20 14 6y p x Pp P （ ） （ ） ，将 24xP 代 入 化 简 得 ： 32419 02 2y x x
21、ax （ ） ；(2 ) 3 16 1622 2 22 3 2 102 2 2y x xx x （ ） ，当 且 仅 当 16 = 22 xx ， 即 x=2 时 ， 上 式 取 等 号 ；当 a 2 时 ， 促 销 费 用 投 入 2 万 元 时 ， 该 公 司 的 利 润 最 大 ；23 324 2419 2 2 22y x yx x ， （ ） ， a 2 时 ， 函 数 在 0 ， a上 单 调 递 增 ， x=a 时 ， 函 数 有 最 大 值 即 促 销 费 用 投 入 a 万 元 时 ， 该 公 司 的 利 润 最 大 1 6 .已 知 函 数 f(x)=sin( x+ )( 0
22、 ， 0 )的 周 期 为 ， 图 象 的 一 个 对 称 中 心 为 04（ ， ） ，将 函 数 f(x)图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 (纵 坐 标 不 变 )， 再 将 所 得 到 的 图 象 向 右平 移 2 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 g(x)的 图 象 (1 )求 函 数 f(x)与 g(x)的 解 析 式 ；(2 )求 证 ： 存 在 x 0 6 4 （ ， ） ， 使 得 f(x0 )， g(x0 )， f(x0 ) g(x0 )能 按 照 某 种 顺 序 成 等 差 数 列 解 析 ： (1 )由 周 期 公 式 可 得
23、， 0 ， 再 由 对 称 中 心 可 得 值 ， 可 得 f(x)解 析 式 ， 由 函 数 图象 变 换 和 诱 导 公 式 化 简 可 得 ；(2 )当 x 6 4 （ ， ） 时 sinx cos2 x sinx?cos2 x， 问 题 转 化 为 方 程 2 cos2 x=sinx+sinx?cos2 x 在6 4 （ ， ） 内 是 否 有 解 ， 由 函 数 零 点 的 存 在 性 定 理 可 得 答 案 ： (1 ) 函 数 f(x)=sin( x+ )的 周 期 为 ， 0 ， 2 T 2 ，又 曲 线 y=f(x)的 一 个 对 称 中 心 为 ( 04（ ， ） ， (0
24、 ， )， sin(2 4 + )=0 ， 可 得 2 ， f(x)=cos2 x， 将 函 数 f(x)图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 (纵 坐 标 不 变 )后 可 得 y=cosx 的 图 象 ，再 将 y=cosx 的 图 象 向 右 平 移 2 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 g(x)=cos(x- 2 )的 图 象 ，由 诱 导 公 式 化 简 可 得 g(x)=sinx；(2 )当 x 6 4 （ ， ） 时 ， 21 10 22 2 2sinx cos x ， ， sinx cos2 x sinx cos2 x， 问 题 转 化
25、为 方 程 2 cos2 x=sinx+sinx cos2 x 在 6 4 （ ， ） 内 是 否 有 解 设 G(x)=sinx+sinx cos2 x-2 cos2 x， x 6 4 （ ， ） ， 21 0 06 4 4 2( ) ( )G G ， ， 且 函 数 G(x)的 图 象 连 续 不 断 ， 函 数 G(x)在 ( 6 4 （ ， ） 内 存 在 零 点 x0 ，即 存 在 x0 6 4 （ ， ） ， 使 得 f(x 0 )， g(x0 )， f(x0 ) g(x0 )能 按 照 某 种 顺 序 成 等 差 数 列 1 7 .若 动 点 M 到 定 点 A(0 ， 1 )与
26、 定 直 线 l： y=3 的 距 离 之 和 为 4 (1 )求 点 M 的 轨 迹 方 程 ， 并 画 出 方 程 的 曲 线 草 图 ；(2 )记 (1 )得 到 的 轨 迹 为 曲 线 C， 问 曲 线 C 上 关 于 点 B(0 ， t)(t R)对 称 的 不 同 点 有 几 对 ？ 请 说 明理 由 解 析 ： (1 )设 M(x， y)， 由 题 意 22 1 3 4x y y ， 分 类 讨 论 ， 可 得 点 M 的 轨 迹 方程 ， 并 画 出 方 程 的 曲 线 草 图 ；(2 )当 t 0 或 t 4 显 然 不 存 在 符 合 题 意 的 对 称 点 当 0 t 4
27、 时 ， 注 意 到 曲 线 C 关 于 y 轴 对称 ， 至 少 存 在 一 对 (关 于 y 轴 对 称 的 )对 称 点 ， 下 面 研 究 曲 线 C 上 关 于 B(0 ， t)对 称 但 不 关 于 y轴 对 称 的 对 称 点 即 可 答 案 ： (1 )设 M(x， y)， 由 题 意 22 1 3 4x y y ： 当 y 3 时 ， 有 22 1 = 1x y y ， 化 简 得 ： x2 =4 y ： 当 y 3 时 ， 有 22 1 =7-x y y ， 化 简 得 ： x2 =-1 2 (y-4 )(二 次 函 数 )综 上 所 述 ： 点 M 的 轨 迹 方 程 为
28、 2 4 312 4 3y yx y y ， ， (如 图 ) (2 )当 t 0 或 t 4 显 然 不 存 在 符 合 题 意 的 对 称 点当 0 t 4 时 ， 注 意 到 曲 线 C 关 于 y 轴 对 称 ， 至 少 存 在 一 对 (关 于 y 轴 对 称 的 )对 称 点下 面 研 究 曲 线 C 上 关 于 B(0 ， t)对 称 但 不 关 于 y 轴 对 称 的 对 称 点设 P(x0 ， y0 )是 轨 迹 x2 =4 y(y 3 )上 任 意 一 点 ， 则 x2 0 4 y0 (y0 3 )， 它 关 于 B(0 ， t)的 对 称 点 为 Q(-x0 ，2 t-y
29、0 )， 由 于 点 Q 在 轨 迹 x2 =-1 2 (y-4 )上 ，所 以 (-x0 )2 -1 2 (2 t-y0 -4 )， 联 立 方 程 组 20 020 04 12 2 4x yx t y (*)得4 y 0 =-1 2 (2 t-y0 -4 )， 化 简 得 0 0(0 )6 33yt y 当 y0 (0 ， 3 )时 ， t (2 ， 3 )， 此 时 方 程 组 (*)有 两 解 ， 即 增 加 有 两 组 对 称 点 当 y0 =0 时 ， t=2 ， 此 时 方 程 组 (*)只 有 一 组 解 ， 即 增 加 一 组 对 称 点 (注 ： 对 称 点 为 P(0 ，
30、 0 )，Q(0 ， 4 ) 当 y0 =3 时 ， t=3 ， 此 时 方 程 组 (*)有 两 解 为 2 33( )2) 33(P Q ， ， ， ， 没 有 增 加 新 的 对 称 点 综 上 所 述 ： 0 402 12 223 334 1( )( ) )t ttttt ， ， 不 存 在， ， ， ， ， ， 对对 对对1 8 .已 知 数 列 a n， Sn为 其 前 n 项 的 和 ， 满 足 12n n nS (1 )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；(2 )设 数 列 1na 的 前 n项 和 为 Tn， 数 列 Tn的 前 n项 和 为 Rn， 求 证 ： 当 n 2
31、 ， n N*时 Rn-1 =n(Tn-1 )；(3 )已 知 当 n N*， 且 n 6 时 有 11 3 2 mm nn （ ） （ ） ， 其 中 m=1 ， 2 ， ， n， 求 满 足 3 n+4 n+(n+2 )n=(an+3 )an 的 所 有 n 的 值 解 析 ： (1 )利 用 递 推 关 系 即 可 得 出 ；(2 )法 一 ： 直 接 计 算 化 简 即 可 证 明 ；法 二 ： 利 用 数 学 归 纳 法 即 可 证 明 (3 )利 用 “ 累 加 求 和 ” 方 法 、 不 等 式 的 性 质 、 分 类 讨 论 即 可 得 出 答 案 ： (1 )解 ： 当 n
32、2 时 ， 1 1 12 2n n n n n n na S S n ，又 a1 =S1 =1 ， an=n (2 )证 明 ： 法 一 ： 1 1 1 11 2nn Ta n n ， ， 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 ?2 3 12 2 3 2 1) 2( 3 1nR n n nn n = 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 22 3 1 2( ) ( ) ( )3 1 nn n n T nn n n n 法 二 ： 数 学 归 纳 法 n=2 时 ， 1 1 21 1 21 1 112 1 2 1 1R T Ta a a ， ， 假 设 n=k(k
33、 2 ， k N*)时 有 R k-1 =k(Tk-1 )，当 n=k+1 时 ， 1 1 1 111 11 1 1 1 1 1 1 11k k k k k k k k kkR R T k T T k T k k T k k T k k Ta k ， n=k+1 是 原 式 成 立由 可 知 当 n 2 ， n N*时 Rn-1 =n(Tn-1 )(3 )解 ： 11 123 2n mm m nn ， ， ， ， 23 12 11 3 21 12 3 213 3 24 11 3 23 13 2nnn n nn nnm nnm nnm nm n nm n n ， ， ， 相 加 得 ， ， 时时
34、时 时时 ， 2 3 12 1 34 1 1 1 1 13 3 3 3 2 2 2 2 2n n n n n nn nn n n n ， 2 3 11 1 1 1 1 1=1 12 2 2 2 2 2n n n ， 3 n+4 n+ +(n+2 )n (n+3 )n， n 6 时 ， 3 n+4 n+ +(n+2 )n=(n+3 )n无 解 ，又 当 n=1 时 ； 3 4 ， n=2 时 ， 3 2 +4 2 =5 2 ； n=3 时 ， 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 n=4 时 ， 3 4 +4 4 +5 4 +6 4 为 偶 数 ， 而7 4 为 奇 数 ， 不 符 合 n=5 时 ， 3 5 +4 5 +5 5 +6 5 +7 5 为 奇 数 ， 而 8 5 为 偶 数 ， 不 符 合 综 上 所 述 n=2 或 者 n=3
