1、2015年 广 东 省 汕 头 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： 本 大 题 10小 题 ， 每 小 题 3分 ， 共 30 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一个 是 正 确 的 ， 请 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 所 选 的 选 项 涂 黑 。1.|-2|=( )A.2B.-2C. 12D.- 12解 析 ： 根 据 绝 对 值 的 性 质 可 知 ： |-2|=2. 答 案 ： A2.据 国 家 统 计 局 网 站 2014年 12月 4日 发 布 的 消 息 ， 2014年 广 东 省 粮 食 总 产 量 约 为 13 5730
2、00吨 ， 将 13 573 000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.1.3573 106B.1.3573 107C.1.3573 108D.1.3573 10 9解 析 ： 将 13 573 000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 1.3573 107.答 案 ： B3.一 组 数 据 2， 6， 5， 2， 4， 则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 ( )A.2B.4C.5D.6解 析 ： 把 数 据 由 小 到 大 排 列 为 ： 2， 2， 4， 5， 6，所 以 这 组 数 据 的 中 位 数 是 4.答 案 ： B 4.如 图 ， 直 线 a b， 1=75
3、 ， 2=35 ， 则 3 的 度 数 是 ( )A.75B.55C.40D.35解 析 ： 直 线 a b， 1=75 ， 4= 1=75 ， 2+ 3= 4， 3= 4- 2=75 -35 =40 .答 案 ： C5.下 列 所 述 图 形 中 ， 既 是 中 心 对 称 图 形 ， 又 是 轴 对 称 图 形 的 是 ( )A.矩 形B.平 行 四 边 形C.正 五 边 形D.正 三 角 形解 析 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 正 确 ；B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 因 为 找 不 到 任 何 这 样 的 一 条 直 线
4、 ， 沿 这 条 直 线 对 折 后 它 的 两 部 分 能 够重 合 ；即 不 满 足 轴 对 称 图 形 的 定 义 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ； D、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 因 为 找 不 到 任 何 这 样 的 一 点 ， 旋 转 180度 后 它 的 两部 分 能 够 重 合 ； 即 不 满 足 中 心 对 称 图 形 的 定 义 ， 故 此 选 项 错 误 .答 案 ： A6.(-4x)2=( )A.-8x2B.
5、8x2C.-16x 2D.16x2解 析 ： 原 式 利 用 积 的 乘 方 运 算 法 则 计 算 即 可 得 到 结 果 .原 式 =16x2.答 案 ： D7.在 0， 2， (-3)0， -5这 四 个 数 中 ， 最 大 的 数 是 ( )A.0B.2C.(-3) 0D.-5解 析 ： 在 0， 2， (-3)0， -5这 四 个 数 中 ， 最 大 的 数 是 2.答 案 ： B8.若 关 于 x的 方 程 x2+x-a+ 94 =0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( )A.a 2B.a 2C.a 2D.a 2 解 析 ： 根 据
6、 题 意 得 =12-4(-a+ 94 ) 0， 解 得 a 2.答 案 ： C9.如 图 ， 某 数 学 兴 趣 小 组 将 边 长 为 3 的 正 方 形 铁 丝 框 ABCD变 形 为 以 A 为 圆 心 ， AB为 半 径 的扇 形 (忽 略 铁 丝 的 粗 细 )， 则 所 得 扇 形 DAB的 面 积 为 ( )A.6B.7 C.8D.9解 析 ： 正 方 形 的 边 长 为 3， 弧 BD 的 弧 长 =6， S 扇 形 DAB= 12 lr= 12 6 3=9.答 案 ： D10.如 图 ， 已 知 正 ABC的 边 长 为 2， E、 F、 G 分 别 是 AB、 BC、 C
7、A上 的 点 ， 且 AE=BF=CG， 设 EFG的 面 积 为 y， AE的 长 为 x， 则 y 关 于 x 的 函 数 图 象 大 致 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 根 据 题 意 ， 有 AE=BF=CG， 且 正 三 角 形 ABC的 边 长 为 2，故 BE=CF=AG=2-x；故 AEG、 BEF、 CFG三 个 三 角 形 全 等 .在 AEG中 ， AE=x， AG=2-x.则 S AEG= 12 AE AG sinA= 34 x(2-x)；故 y=S ABC-3S AEG= 3 -3 34 x(2-x)= 34 (3x2-6x+4).故 可 得 其 大 致 图
8、 象 应 类 似 于 抛 物 线 ， 且 抛 物 线 开 口 方 向 向 上 .答 案 ： D二 、 填 空 题 ： 本 大 题 6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 24分 。 请 将 下 列 各 题 的 正 确 答 案 填 写 在 答 题卡 相 应 的 位 置 上 。11.正 五 边 形 的 外 角 和 等 于 (度 ).解 析 ： 任 意 多 边 形 的 外 角 和 都 是 360 ， 故 正 五 边 形 的 外 角 和 为 360 . 答 案 ： 36012.如 图 ， 菱 形 ABCD的 边 长 为 6， ABC=60 ， 则 对 角 线 AC 的 长 是 .解 析 ： 四 边
9、 形 ABCD是 菱 形 ， AB=BC， ABC=60 ， ABC是 等 边 三 角 形 ， AC=AB=6.答 案 ： 6 13.分 式 方 程 3 21x x 的 解 是 .解 析 ： 去 分 母 得 ： 3x=2x+2，解 得 ： x=2，经 检 验 x=2是 分 式 方 程 的 解 .答 案 ： x=2.14.若 两 个 相 似 三 角 形 的 周 长 比 为 2： 3， 则 它 们 的 面 积 比 是 .解 析 ： 两 个 相 似 三 角 形 的 周 长 比 为 2： 3， 这 两 个 相 似 三 角 形 的 相 似 比 为 2： 3， 它 们 的 面 积 比 是 4： 9.答 案
10、 ： 4： 915.观 察 下 列 一 组 数 ： 13 ， 25 ， 37 ， 49 ， 511， ， 根 据 该 组 数 的 排 列 规 律 ， 可 推 出 第 10个数 是 .解 析 ： 分 子 为 1， 2， 3， 4， 5， ， 第 10个 数 的 分 子 为 10， 分 母 为 3， 5， 7， 9， 11， ， 第 10个 数 的 分 母 为 ： 1+2 10=21， 第 10个 数 为 ： 1021 . 答 案 ： 1021 .16.如 图 ， ABC 三 边 的 中 线 AD、 BE、 CF 的 公 共 点 为 G， 若 S ABC=12， 则 图 中 阴 影 部 分 的面
11、积 是 .解 析 ： ABC的 三 条 中 线 AD、 BE， CF交 于 点 G， S CGE=S AGE= 13 S ACF， S BGF=S BGD= 13 S BCF， S ACF=S BCF= 12 S ABC= 12 12=6， S CGE= 13 S ACF= 13 6=2， S BGF= 13 S BCF= 13 6=2， S 阴 影 =S CGE+S BGF=4.答 案 ： 4三 、 解 答 题 (一 )： 本 大 题 3 小 题 ， 每 小 题 6分 ， 共 18分 。17.解 方 程 ： x 2-3x+2=0.解 析 ： 把 方 程 的 左 边 利 用 十 字 相 乘 法
12、 因 式 分 解 为 (x-1)(x-2)， 再 利 用 积 为 0 的 特 点 求 解 即 可 .答 案 ： x2-3x+2=0， (x-1)(x-2)=0， x-1=0 或 x-2=0， x1=1， x2=2.18.先 化 简 ， 再 求 值 ： 2 111 1xx x ， 其 中 x= 2 -1. 解 析 ： 式 的 化 简 ， 要 熟 悉 混 合 运 算 的 顺 序 ， 分 子 、 分 母 能 因 式 分 解 的 先 因 式 分 解 ； 除 法 要 统一 为 乘 法 运 算 ， 注 意 化 简 后 ， 将 x= 2 -1， 代 入 化 简 后 的 式 子 求 出 即 可 .答 案 ：
13、2 111 1xx x = 1 1xx x 1 11 1xx x （ ）= 1 1 1x xx x x = 11 1x xx x x = 1 1x ，把 x= 2 -1， 代 入 原 式 = 1 1x = 1 1 222 1 1 2 .19.如 图 ， 已 知 锐 角 ABC. (1)过 点 A 作 BC边 的 垂 线 MN， 交 BC 于 点 D(用 尺 规 作 图 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 要 求 写 作 法 )；(2)在 (1)的 条 件 下 ， 若 BC=5， AD=4， tan BAD= 34 ， 求 DC 的 长 .解 析 ： (1)利 用 基 本 作 图 ： 过 直
14、 线 外 一 点 作 直 线 的 垂 线 作 出 垂 线 段 AD；(2)先 在 Rt ABD中 利 用 BAD的 正 切 计 算 出 BD， 然 后 利 用 BC-BD 求 CD的 长 .答 案 ： (1)如 图 ， (2) AD BC， ADB= ADC=90 ， 在 Rt ABD中 ， tan BAD= BDAD = 34 ， BD= 34 4=3， CD=BC-BD=5-3=2.四 、 解 答 题 (二 )： 本 大 题 3 小 题 ， 每 小 题 7分 ， 共 21分 。20.老 师 和 小 明 同 学 玩 数 学 游 戏 .老 师 取 出 一 个 不 透 明 的 口 袋 ， 口 袋
15、 中 装 有 三 张 分 别 标 有 数 字1， 2， 3 的 卡 片 ， 卡 片 除 数 字 外 其 余 都 相 同 ， 老 师 要 求 小 明 同 学 两 次 随 机 抽 取 一 张 卡 片 ， 并计 算 两 次 抽 到 卡 片 上 的 数 字 之 积 是 奇 数 的 概 率 .于 是 小 明 同 学 用 画 树 状 图 的 方 法 寻 求 他 两 次抽 取 卡 片 的 所 有 可 能 结 果 .如 图 是 小 明 同 学 所 画 的 正 确 树 状 图 的 一 部 分 . (1)补 全 小 明 同 学 所 画 的 树 状 图 ；(2)求 小 明 同 学 两 次 抽 到 卡 片 上 的 数
16、 字 之 积 是 奇 数 的 概 率 .解 析 ： (1)根 据 题 意 可 得 此 题 是 放 回 实 验 ， 即 可 补 全 树 状 图 ；(2)由 树 状 图 可 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 与 小 明 同 学 两 次 抽 到 卡 片 上 的 数 字 之 积 是 奇 数 的 情 况 ，再 利 用 概 率 公 式 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： (1)补 全 小 明 同 学 所 画 的 树 状 图 ：(2) 共 有 9 种 等 可 能 的 结 果 ， 小 明 同 学 两 次 抽 到 卡 片 上 的 数 字 之 积 是 奇 数 的 有 4 种 情 况 ， 小 明 同 学 两
17、 次 抽 到 卡 片 上 的 数 字 之 积 是 奇 数 的 概 率 为 ： 49 .21.如 图 ， 在 边 长 为 6 的 正 方 形 ABCD中 ， E是 边 CD 的 中 点 ， 将 ADE沿 AE 对 折 至 AFE， 延长 EF 交 边 BC 于 点 G， 连 接 AG. (1)求 证 ： ABG AFG；(2)求 BG 的 长 .解 析 ： (1)利 用 翻 折 变 换 对 应 边 关 系 得 出 AB=AF， B= AFG=90 ， 利 用 HL 定 理 得 出 ABG AFG即 可 ； (2)利 用 勾 股 定 理 得 出 GE2=CG2+CE2， 进 而 求 出 BG即 可
18、 ；答 案 ： (1)在 正 方 形 ABCD中 ， AD=AB=BC=CD， D= B= BCD=90 ， 将 ADE沿 AE对 折 至 AFE， AD=AF， DE=EF， D= AFE=90 ， AB=AF， B= AFG=90 ，又 AG=AG，在 Rt ABG和 Rt AFG中 ， AG AGAB AF ， ABG AFG(HL)；(2) ABG AFG， BG=FG，设 BG=FG=x， 则 GC=6-x， E 为 CD 的 中 点 ， CE=EF=DE=3， EG=3+x， 在 Rt CEG中 ， 3 2+(6-x)2=(3+x)2， 解 得 x=2， BG=2.22.某 电 器
19、 商 场 销 售 A、 B两 种 型 号 计 算 器 ， 两 种 计 算 器 的 进 货 价 格 分 别 为 每 台 30 元 ， 40元 ，商 场 销 售 5 台 A 型 号 和 1 台 B 型 号 计 算 器 ， 可 获 利 润 76 元 ； 销 售 6台 A 型 号 和 3 台 B 型 号计 算 器 ， 可 获 利 润 120元 .(1)求 商 场 销 售 A、 B 两 种 型 号 计 算 器 的 销 售 价 格 分 别 是 多 少 元 ？ (利 润 =销 售 价 格 -进 货 价 格 )(2)商 场 准 备 用 不 多 于 2500元 的 资 金 购 进 A、 B 两 种 型 号 计
20、算 器 共 70台 ， 问 最 少 需 要 购 进 A型 号 的 计 算 器 多 少 台 ？解 析 ： (1)首 先 设 A 种 型 号 计 算 器 的 销 售 价 格 是 x 元 ， A 种 型 号 计 算 器 的 销 售 价 格 是 y 元 ，根 据 题 意 可 等 量 关 系 ： 5 台 A 型 号 和 1 台 B 型 号 计 算 器 ， 可 获 利 润 76 元 ； 销 售 6 台 A型 号 和 3 台 B 型 号 计 算 器 ， 可 获 利 润 120元 ， 根 据 等 量 关 系 列 出 方 程 组 ， 再 解 即 可 ；(2)根 据 题 意 表 示 出 所 用 成 本 ， 进 而
21、 得 出 不 等 式 求 出 即 可 . 答 案 ： (1)设 A 种 型 号 计 算 器 的 销 售 价 格 是 x 元 ， B 种 型 号 计 算 器 的 销 售 价 格 是 y 元 ， 由 题意 得 ： 5 30 40 766 30 3 40 120 x yx y ， ， 解 得 ： 4256.xy ，答 ： A种 型 号 计 算 器 的 销 售 价 格 是 42 元 ， B种 型 号 计 算 器 的 销 售 价 格 是 56 元 ；(2)设 购 进 A 型 计 算 器 a 台 ， 则 购 进 B 台 计 算 器 ： (70-a)台 ，则 30a+40(70-a) 2500， 解 得 ：
22、 a 30，答 ： 最 少 需 要 购 进 A型 号 的 计 算 器 30 台 .五 、 解 答 题 (三 )： 本 大 题 3 小 题 ， 每 小 题 9分 ， 共 27分 。23.如 图 ， 反 比 例 函 数 y=kx (k 0， x 0)的 图 象 与 直 线 y=3x相 交 于 点 C， 过 直 线 上 点 A(1， 3)作 AB x轴 于 点 B， 交 反 比 例 函 数 图 象 于 点 D， 且 AB=3BD. (1)求 k 的 值 ；(2)求 点 C 的 坐 标 ；(3)在 y 轴 上 确 定 一 点 M， 使 点 M 到 C、 D 两 点 距 离 之 和 d=MC+MD最 小
23、 ， 求 点 M 的 坐 标 .解 析 ： (1)根 据 A 坐 标 ， 以 及 AB=3BD 求 出 D坐 标 ， 代 入 反 比 例 解 析 式 求 出 k的 值 ；(2)直 线 y=3x与 反 比 例 解 析 式 联 立 方 程 组 即 可 求 出 点 C 坐 标 ；(3)作 C 关 于 y 轴 的 对 称 点 C ， 连 接 C D 交 y轴 于 M， 则 d=MC+MD 最 小 ， 得 到 C (- 33 ，3 )， 求 得 直 线 C D 的 解 析 式 为 y=- 3 x+1+ 3 ， 直 线 与 y 轴 的 交 点 即 为 所 求 .答 案 ： (1) A(1， 3)， AB=
24、3， OB=1， AB=3BD， BD=1， D(1， 1)， 将 D 坐 标 代 入 反 比 例 解 析 式 得 ： k=1. (2)由 (1)知 ， k=1， 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 ； y= 1x ，解 ： y=3x， y=1x， 解 得 ： 333xy ， 或 333xy ， x 0， C( 33 ， 3 ).(3)如 图 ， 作 C 关 于 y 轴 的 对 称 点 C ， 连 接 C D 交 y 轴 于 M， 则 d=MC+MD 最 小 ， C (- 33 ， 3 )，设 直 线 C D 的 解 析 式 为 ： y=kx+b， 33 31 k bk b ， 3 2 3
25、,2 3 2.kb ， y=(3-2 3 )x+2 3 -2，当 x=0时 ， y=2 3 -2， M(0， 2 3 -2).24. O 是 ABC 的 外 接 圆 ， AB 是 直 径 ， 过 弧 BC 的 中 点 P 作 O 的 直 径 PG 交 弦 BC 于 点 D， 连 接 AG、 CP、 PB.(1)如 图 1， 若 D是 线 段 OP的 中 点 ， 求 BAC的 度 数 ；(2)如 图 2， 在 DG上 取 一 点 K， 使 DK=DP， 连 接 CK， 求 证 ： 四 边 形 AGKC是 平 行 四 边 形 ；(3)如 图 3， 取 CP的 中 点 E， 连 接 ED 并 延 长
26、 ED 交 AB于 点 H， 连 接 PH， 求 证 ： PH AB.解 析 ： (1)由 垂 径 定 理 得 出 PG BC， CD=BD， 再 由 三 角 函 数 求 出 BOD=60 ， 证 出 AC PG，得 出 同 位 角 相 等 即 可 ； (2)先 由 SAS证 明 PDB CDK， 得 出 CK=BP， OPB= CKD， 证 出 AG=CK， 再 证 明 AG CK，即 可 得 出 结 论 ；(3)先 证 出 DH AG， 得 出 OAG= OHD， 再 证 OD=OH， 由 SAS 证 明 OBD HOP， 得 出 OHP= ODB=90 ， 即 可 得 出 结 论 .答
27、案 ： (1) 点 P 为 弧 BC的 中 点 ， AB 为 O直 径 ， BP=PC， PG BC， CD=BD， ODB=90 ， D 为 OP 的 中 点 ， OD= 12 OP= 12 OB， cos BOD=ODOB = 12 ， BOD=60 ， AB 为 O直 径 ， ACB=90 ， ACB= ODB， AC PG， BAC= BOD=60 .(2)由 (1)知 ， CD=BD，在 PDB和 CDK中 ， CD BDBDP CDKDP DK ， ， PDB CDK(SAS)， CK=BP， OPB= CKD， AOG= BOP， AG=BP， AG=CK， OP=OB， OPB
28、= OBP，又 G= OBP， AG CK， 四 边 形 AGCK是 平 行 四 边 形 .(3) CE=PE， CD=BD， DE PB， 即 DH PB， G= OPB， PB AG， DH AG， OAG= OHD， OA=OG， OAG= G， ODH= OHD， OD=OH，在 OBD和 HOP中 ， OD OHBOD HOPOB OP ， ， OBD HOP(SAS)， OHP= ODB=90 ， PH AB.25.如 图 ， 在 同 一 平 面 上 ， 两 块 斜 边 相 等 的 直 角 三 角 板 Rt ABC和 Rt ADC拼 在 一 起 ， 使 斜 边 AC 完 全 重 合
29、 ， 且 顶 点 B， D 分 别 在 AC的 两 旁 ， ABC= ADC=90 ， CAD=30 ， AB=BC=4cm (1)填 空 ： AD= (cm)， DC= (cm)；(2)点 M， N 分 别 从 A 点 ， C 点 同 时 以 每 秒 1cm的 速 度 等 速 出 发 ， 且 分 别 在 AD， CB上 沿 A D，C B 方 向 运 动 ， 点 N到 AD的 距 离 (用 含 x 的 式 子 表 示 )(3)在 (2)的 条 件 下 ， 取 DC 中 点 P， 连 接 MP， NP， 设 PMN 的 面 积 为 y(cm2)， 在 整 个 运 动 过程 中 ， PMN的 面
30、 积 y 存 在 最 大 值 ， 请 求 出 y 的 最 大 值 .(参 考 数 据 sin75 = 6 24 ， sin15 = 6 24 )解 析 ： (1)由 勾 股 定 理 求 出 AC， 由 CAD=30 ， 得 出 DC= 12 AC=2 2 ， 由 三 角 函 数 求 出 AD即可 ；(2)过 N作 NE AD于 E， 作 NF DC， 交 DC的 延 长 线 于 F， 则 NE=DF， 求 出 NCF=75 ， FNC=15 ， 由 三 角 函 数 求 出 FC， 得 NE=DF= 6 24 x+2 2 ， 即 可 得 出 结 果 ；(3)由 三 角 函 数 求 出 FN， 得
31、 出 PF， PMN 的 面 积 y=梯 形 MDFN 的 面 积 - PMD 的 面 积 - PNF的 面 积 ， 得 出 y是 x的 二 次 函 数 ， 即 可 得 出 y 的 最 大 值 .答 案 ： (1) ABC=90 ， AB=BC=4cm， AC= 2 2 2 24 4AB BC =4 2 ， ADC=90 ， CAD=30 ， DC= 12 AC=2 2 ， AD= 3 DC=2 6 ；故 答 案 为 ： 2 6 ， 2 2 .(2)过 点 N 作 NE AD于 E， 作 NF DC， 交 DC的 延 长 线 于 F， 如 图 所 示 ： 则 NE=DF， ABC= ADC=9
32、0 ， AB=BC， CAD=30 ， ACB=45 ， ACD=60 ， NCF=180 -45 -60 =75 ， FNC=15 ， sin FNC= FCNC ， NC=x， FC= 6 24 x， NE=DF= 6 24 x+2 2 ， 点 N到 AD的 距 离 为 6 24 x+2 2 .(3) sin NCF= FNNC ， FN= 6 24 x， P 为 DC 的 中 点 ， PD=CP= 2 ， PF= 6 24 x+ 2 ， PMN的 面 积 y=梯 形 MDFN 的 面 积 - PMD的 面 积 - PNF的 面 积 = 12 ( 6 24 x+2 6 -x)( 6 24 x+2 2 )- 12 (2 6 -x) 2 - 12 ( 6 24 x+ 2 )( 6 24 x)= 22 6 7 3 2 2 2 38 4x x ， 即 y 是 x的 二 次 函 数 ， 2 68 0， y有 最 大 值 ，当 x= 7 3 2 2 7 3 2 242 6 6 22 8 时 ， y有 最 大 值 为 6 6 7 3 10 2 30 8 3 23 6 9 2 16164 2 4 6 .
