1、2015 年 广 东 省 茂 名 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 3分 ， 共 30 分 ， 每 小 题 给 出 的 四 个 答 案 ， 其 中 只 有一 个 是 正 确 的 )1. |-3|等 于 ( )A.3B.-3C. 13D.-13解 析 ： 根 据 负 数 的 绝 对 值 是 它 的 相 反 数 ， 得 |-3|=-(-3)=3. 答 案 ： A2.如 图 是 一 个 正 方 体 的 平 面 展 开 图 ， 折 叠 成 正 方 体 后 与 “ 建 ” 字 所 在 面 相 对 的 面 的 字 是 ( )A.创B.教C.强D.市
2、解 析 ： 正 方 体 的 表 面 展 开 图 ， 相 对 的 面 之 间 一 定 相 隔 一 个 正 方 形 ， “ 建 ” 与 “ 强 ” 是 相 对 面 .答 案 ： C3.下 列 各 式 计 算 正 确 的 是 ( )A.5a+3a=8a2B.(a-b)2=a2-b2C.a3 a7=a10D.(a 3)2=a7解 析 ： A、 5a+3a=8a， 故 错 误 ；B、 (a-b)2=a2-2ab+b2， 故 错 误 ；C、 a3 a7=a10， 正 确 ；D、 (a3)2=a6， 故 错 误 .答 案 ： C4. 如 图 ， 四 边 形 ABCD是 O的 内 接 四 边 形 ， B=70
3、 ， 则 D 的 度 数 是 ( ) A.110B.90C.70D.50解 析 ： 四 边 形 ABCD是 O 的 内 接 四 边 形 ， D+ B=180 ， D=180 -70 =110 ，答 案 ： A.5.在 等 腰 三 角 形 、 平 行 四 边 形 、 直 角 梯 形 和 圆 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是( )A.等 腰 三 角 形B.平 行 四 边 形 C.直 角 梯 形D.圆解 析 ： 在 等 腰 三 角 形 、 平 行 四 边 形 、 直 角 梯 形 和 圆 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的是
4、 圆 .答 案 ： D6.下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.面 积 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等B.矩 形 的 四 条 边 一 定 相 等C.一 个 图 形 和 它 旋 转 后 所 得 图 形 的 对 应 线 段 相 等D.随 机 投 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 ， 落 地 后 一 定 是 正 面 朝 上解 析 ： A、 面 积 相 等 的 两 个 三 角 形 不 一 定 全 等 ， 此 选 项 错 误 ；B、 矩 形 的 对 边 相 等 ， 此 选 项 错 误 ； C、 一 个 图 形 和 它 旋 转 后 所 得 图 形 的 对 应 线 段 相 等 ， 此 选
5、项 正 确 ；D、 随 机 投 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 ， 落 地 后 不 一 定 是 正 面 朝 上 ， 此 选 项 错 误 .答 案 ： C7.为 了 帮 扶 本 市 一 名 特 困 儿 童 ， 某 班 有 20 名 同 学 积 极 捐 款 ， 他 们 捐 款 的 数 额 如 下 表 ：对 于 这 20 名 同 学 的 捐 款 ， 众 数 是 ( ) A.20元B.50元C.80元D.100元解 析 ： 由 题 意 得 ， 所 给 数 据 中 ， 50元 出 现 了 7 次 ， 次 数 最 多 ， 即 这 组 数 据 的 众 数 为 50元 .答 案 ： B8.如 图 ，
6、OC是 AOB 的 平 分 线 ， P 是 OC上 一 点 ， PD OA于 点 D， PD=6， 则 点 P 到 边 OB的 距离 为 ( ) A.6B.5C.4D.3解 析 ： 如 图 ， 过 点 P作 PE OB于 点 E， OC 是 AOB的 平 分 线 ， PD OA 于 D， PE=PD， PD=6， PE=6， 即 点 P 到 OB 的 距 离 是 6.答 案 ： A 9.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 下 列 函 数 的 图 象 经 过 原 点 的 是 ( )A.y= 1xB.y=-2x-3C.y=2x2+1D.y=5x解 析 ： A、 当 x=0时 ， y= 1x 无
7、 意 义 ， 不 经 过 原 点 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 当 x=0 时 ， y=3， 不 经 过 原 点 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 当 x=0 时 ， y=1， 不 经 过 原 点 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 当 x=0 时 ， y=0， 经 过 原 点 ， 故 本 选 项 正 确 .答 案 ： D 10.张 三 和 李 四 两 人 加 工 同 一 种 零 件 ， 每 小 时 张 三 比 李 四 多 加 工 5个 零 件 ， 张 三 加 工 120个这 种 零 件 与 李 四 加 工 100个 这 种 零 件 所 用 时 间 相 等 ， 求 张 三 和 李 四
8、每 小 时 各 加 工 多 少 个 这 种零 件 ？ 若 设 张 三 每 小 时 经 过 这 种 零 件 x个 ， 则 下 面 列 出 的 方 程 正 确 的 是 ( ) A. 120 1005x xB.120 1005x x C. 120 1005x xD.120 1005x x 解 析 ： 设 张 三 每 小 时 加 工 这 种 零 件 x 个 ， 则 李 四 每 小 时 加 工 这 种 零 件 (x-5)个 ， 由 题 意 得 ，120 1005x x .答 案 ： B. 二 、 填 空 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 15 分 )11. -8的 立 方
9、 根 是 .解 析 ： (-2)3=-8， -8的 立 方 根 是 -2.答 案 ： -212.一 个 多 边 形 的 内 角 和 是 720 ， 那 么 这 个 多 边 形 是 边 形 .解 析 ： 这 个 正 多 边 形 的 边 数 是 n， 则 (n-2) 180 =720 ， 解 得 ： n=6.则 这 个 正 多 边 形 的 边数 是 六 .答 案 ： 六 .13.不 等 式 x-4 0 的 解 集 是 .解 析 ： x-4 0， 移 项 得 ： x 4. 答 案 ： x 414.如 图 ， 将 矩 形 ABCD 沿 对 角 线 BD 折 叠 ， 使 点 C 与 C 重 合 .若 A
10、B=3， 则 C D 的 长为 .解 析 ： 在 矩 形 ABCD 中 ， CD=AB， 矩 形 ABCD沿 对 角 线 BD折 叠 后 点 C 和 点 C 重 合 ， C D=CD， C D=AB， AB=3， C D=3.答 案 ： 315.为 了 求 1+3+32+33+ +3100的 值 ， 可 令 M=1+3+32+33+ +3100， 则 3M=3+32+33+34+ +3101， 因 此 ， 3M-M=3101-1， 所 以 M= 1013 12 ， 即 1+3+32+33+ +3100= 1013 12 ， 仿 照 以 上 推 理 计 算 ： 1+5+52+53+52015的
11、值 是 .解 析 ： 设 M=1+5+52+53+ +52015， 则 5M=5+52+53+54 +52016，两 式 相 减 得 ： 4M=52016-1， 则 M= 20165 14答 案 ： 20165 14三 、 用 心 做 一 做 (本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 7 分 ， 共 21 分 ) 16.计 算 ： (-13 )-1-|-4|+ 2 23 4 +(sin30 )0.解 析 ： 本 题 涉 及 负 整 数 指 数 幂 、 零 指 数 幂 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 、 二 次 根 式 化 简 四 个 考 点 .针 对 每 个 考 点 分 别 进 行
12、 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 .答 案 ： (- 13 )-1-|-4|+ 2 23 4 +(sin30 )0=-3-4+5+1=-1.17.设 y=ax， 若 代 数 式 (x+y)(x-2y)+3y(x+y)化 简 的 结 果 为 x 2， 请 你 求 出 满 足 条 件 的 a值 .解 析 ： 先 利 用 因 式 分 解 得 到 原 式 (x+y)(x-2y)+3y(x+y)=(x+y)2， 再 把 当 y=ax 代 入 得 到 原 式=(a+1)2x2， 所 以 当 (a+1)2=1 满 足 条 件 ， 然 后 解 关 于 a的 方
13、程 即 可 .答 案 ： 原 式 =(x+y)(x-2y)+3y(x+y)=(x+y)2，当 y=ax， 代 入 原 式 得 (1+a)2x2=x2， 即 (1+a)2=1， 解 得 ： a=-2或 0.18.补 充 完 整 三 角 形 中 位 线 定 理 ， 并 加 以 证 明 ： (1)三 角 形 中 位 线 定 理 ： 三 角 形 的 中 位 线 ；(2)已 知 ： 如 图 ， DE是 ABC 的 中 位 线 ， 求 证 ： DE BC， DE= 12 BC.解 析 ： (1)根 据 三 角 形 的 中 位 线 定 理 填 写 即 可 ；(2)延 长 DE 到 F， 使 FE=DE， 连
14、 接 CF， 利 用 “ 边 角 边 ” 证 明 ADE 和 CFE 全 等 ， 根 据 全 等三 角 形 对 应 角 相 等 可 得 A= ECF， 全 等 三 角 形 对 应 边 相 等 可 得 AD=CF， 然 后 求 出 四 边 形 BCFD是 平 行 四 边 形 ， 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 证 明 即 可 .答 案 ： (1)三 角 形 中 位 线 定 理 ： 三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 第 三 边 ， 且 等 于 第 三 边 的 一 半 ；故 答 案 为 ： 平 行 于 第 三 边 ， 且 等 于 第 三 边 的 一 半 ； (2)证 明 ： 如 图 ，
15、 延 长 DE到 F， 使 FE=DE， 连 接 CF，在 ADE和 CFE中 ， AE ECAED CEFDE EF ， ， ADE CFE(SAS)， A= ECF， AD=CF， CF AB， 又 AD=BD， CF=BD， 四 边 形 BCFD 是 平 行 四 边 形 ， DF BC， DF=BC， DE BC， DE= 12 BC.四 、 沉 着 冷 静 ， 缜 密 思 考 (本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 7 分 ， 共 14 分 )19.某 校 为 了 丰 富 学 生 的 第 二 课 堂 ， 对 学 生 参 与 演 讲 、 舞 蹈 、 书 法 和 摄 影 活 动 的
16、兴 趣 情 况 进行 调 查 ， 学 校 采 取 随 机 抽 样 的 方 法 进 行 问 卷 调 查 (每 个 被 调 查 的 学 生 必 须 选 择 而 且 只 能 选 择其 中 最 感 兴 趣 的 一 项 )， 对 调 查 结 果 进 行 统 计 后 ， 绘 制 了 如 下 两 个 统 计 图 ： (1)此 次 调 查 抽 取 的 学 生 人 数 m= 名 ， 其 中 选 择 “ 书 法 ” 的 学 生 占 抽 样 人 数 的 百 分 比n= ；(2)若 该 校 有 3000名 学 生 ， 请 根 据 以 上 数 据 估 计 该 校 对 “ 书 法 ” 最 感 兴 趣 的 学 生 人 数
17、.解 析 ： (1)利 用 扇 形 统 计 图 和 条 形 统 计 图 得 出 参 与 演 讲 的 人 数 和 所 占 百 分 比 ， 进 而 求 出 总 人数 ， 再 求 出 参 加 书 法 的 人 数 ， 进 而 求 出 占 抽 样 人 数 的 百 分 比 ；(2)利 用 (1)中 所 求 得 出 该 校 对 “ 书 法 ” 最 感 兴 趣 的 学 生 人 数 .答 案 ： (1)由 题 意 可 得 ： 此 次 调 查 抽 取 的 学 生 人 数 m=30 20%=150，选 择 “ 书 法 ” 的 学 生 占 抽 样 人 数 的 百 分 比 n=(150-30-60-15) 150 10
18、0%=30%；故 答 案 为 ： 150， 30%；(2)由 (1)得 ： 3000 30%=900(名 )，答 ： 该 校 对 “ 书 法 ” 最 感 兴 趣 的 学 生 人 数 为 900名 .20.在 一 个 不 透 明 的 袋 中 装 有 2 个 黄 球 ， 3 个 黑 球 和 5个 红 球 ， 它 们 除 颜 色 外 其 他 都 相 同 . (1)将 袋 中 的 球 摇 均 匀 后 ， 求 从 袋 中 随 机 摸 出 一 个 球 是 黄 球 的 概 率 ；(2)现 在 再 将 若 干 个 红 球 放 入 袋 中 ， 与 原 来 的 10个 球 均 匀 混 合 在 一 起 ， 使 从
19、袋 中 随 机 摸 出 一 个 球 是 红 球 的 概 率 是 23 ， 请 求 出 后 来 放 入 袋 中 的 红 球 的 个 数 .解 析 ： (1)用 黄 球 的 个 数 除 以 所 有 球 的 个 数 即 可 求 得 概 率 ；(2)根 据 概 率 公 式 列 出 方 程 求 得 红 球 的 个 数 即 可 .答 案 ： (1) 共 10 个 球 ， 有 2个 黄 球 ， P(黄 球 )= 2 110 5 ；(2)设 有 x 个 红 球 ， 根 据 题 意 得 ： 5 210 3xx ， 解 得 ： x=5.故 后 来 放 入 袋 中 的 红 球 有 5个 .五 、 满 怀 信 心 ，
20、 再 接 再 厉 (本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 24 分 )21.如 图 ， 一 条 输 电 线 路 从 A地 到 B地 需 要 经 过 C地 ， 图 中 AC=20千 米 ， CAB=30 ， CBA=45 ，因 线 路 整 改 需 要 ， 将 从 A地 到 B 地 之 间 铺 设 一 条 笔 直 的 输 电 线 路 . (1)求 新 铺 设 的 输 电 线 路 AB 的 长 度 ； (结 果 保 留 根 号 )(2)问 整 改 后 从 A 地 到 B 地 的 输 电 线 路 比 原 来 缩 短 了 多 少 千 米 ？ (结 果 保 留 根 号 )解 析 ：
21、(1)过 C 作 CD AB， 交 AB 于 点 D， 在 直 角 三 角 形 ACD中 ， 利 用 锐 角 三 角 函 数 定 义 求 出CD 与 AD 的 长 ， 在 直 角 三 角 形 BCD 中 ， 利 用 锐 角 三 角 函 数 定 义 求 出 BD 的 长 ， 由 AD+DB 求 出AB的 长 即 可 ；(2)在 直 角 三 角 形 BCD中 ， 利 用 勾 股 定 理 求 出 BC 的 长 ， 由 AC+CB-AB即 可 求 出 输 电 线 路 比 原来 缩 短 的 千 米 数 .答 案 ： (1)过 C 作 CD AB， 交 AB 于 点 D， 在 Rt ACD中 ， CD=A
22、C sin CAD=20 12 =10(千 米 )，AD=AC cos CAD=20 32 =10 3 (千 米 )，在 Rt BCD中 ， BD= 10tan 1CDCBD =10(千 米 )， AB=AD+DB=10 3 +10=10( 3 +1)(千 米 )，则 新 铺 设 的 输 电 线 路 AB 的 长 度 10( 3 +1)(千 米 )；(2)在 Rt BCD 中 ， 根 据 勾 股 定 理 得 ： BC= 2 2CD BD =10 2 (千 米 )， AC+CB-AB=20+10 2 -(10 3 +10)=10(1+ 2 - 3 )(千 米 )，则 整 改 后 从 A 地 到
23、B地 的 输 电 线 路 比 原 来 缩 短 了 10(1+ 2 - 3 )千 米 . 22.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 我 们 不 妨 把 纵 坐 标 是 横 坐 标 的 2 倍 的 点 称 之 为 “ 理 想 点 ” ， 例 如 点(-2， -4)， (1， 2)， (3， 6) 都 是 “ 理 想 点 ” ， 显 然 这 样 的 “ 理 想 点 ” 有 有 无 数 多 个 .(1)若 点 M(2， a)是 反 比 例 函 数 y=kx (k 为 常 数 ， k 0)图 象 上 的 “ 理 想 点 ” ， 求 这 个 反 比 例 函数 的 表 达 式 ；(2)函 数 y=3mx
24、-1(m 为 常 数 ， m 0)的 图 象 上 存 在 “ 理 想 点 ” 吗 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 “ 理 想 点 ”的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 “ 理 想 点 ” ， 确 定 a 的 值 ， 即 可 确 定 M点 的 坐 标 ， 代 入 反 比 例 函 数 解 析 式 ， 即可 解 答 ；(2)假 设 函 数 y=3mx-1(m 为 常 数 ， m 0)的 图 象 上 存 在 “ 理 想 点 ” (x， 2x)， 则 有 3mx-1=2x，整 理 得 ： (3m-2)x=1， 分 两 种 情 况 讨 论 ： 当 3m-2
25、0， 即 m 23 时 ， 解 得 ： x= 13 2m ， 当 3m-2=0， 即 m= 23 时 ， x无 解 ， 即 可 解 答 .答 案 ： 点 M(2， a)是 反 比 例 函 数 y= kx (k为 常 数 ， k 0)图 象 上 的 “ 理 想 点 ” ， a=4， 点 M(2， 4)在 反 比 例 函 数 y= kx (k 为 常 数 ， k 0)图 象 上 ， k=2 4=8， 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y= 8x .(2)假 设 函 数 y=3mx-1(m 为 常 数 ， m 0)的 图 象 上 存 在 “ 理 想 点 ” (x， 2x)， 则 有 3mx-1
26、=2x，整 理 得 ： (3m-2)x=1，当 3m-2 0， 即 m 23 时 ， 解 得 ： x= 13 2m ，当 3m-2=0， 即 m= 23 时 ， x 无 解 ， 综 上 所 述 ， 当 m 23 时 ， 函 数 图 象 上 存 在 “ 理 想 点 ” ， 为 ( 13 2m ， 23 2m )；当 m= 23 时 ， 函 数 图 象 上 不 存 在 “ 理 想 点 ” .23.某 公 司 生 产 的 某 种 产 品 每 件 成 本 为 40 元 ， 经 市 场 调 查 整 理 出 如 下 信 息 ： 该 产 品 90天 内 日 销 售 量 (m件 )与 时 间 (第 x 天 )
27、满 足 一 次 函 数 关 系 ， 部 分 数 据 如 下 表 ： 该 产 品 90天 内 每 天 的 销 售 价 格 与 时 间 (第 x 天 )的 关 系 如 下 表 ： (1)求 m 关 于 x 的 一 次 函 数 表 达 式 ；(2)设 销 售 该 产 品 每 天 利 润 为 y 元 ， 请 写 出 y关 于 x 的 函 数 表 达 式 ， 并 求 出 在 90 天 内 该 产 品哪 天 的 销 售 利 润 最 大 ？ 最 大 利 润 是 多 少 ？ 【 提 示 ： 每 天 销 售 利 润 =日 销 售 量 (每 件 销 售 价 格 -每 件 成 本 )】(3)在 该 产 品 销 售
28、的 过 程 中 ， 共 有 多 少 天 销 售 利 润 不 低 于 5400元 ， 请 直 接 写 出 结 果 .解 析 ： (1)根 据 待 定 系 数 法 解 出 一 次 函 数 解 析 式 即 可 ；(2)设 利 润 为 y 元 ， 则 当 1 x 50 时 ， y=-2x2+160 x+4000； 当 50 x 90 时 ， y=-120 x+12000，分 别 求 出 各 段 上 的 最 大 值 ， 比 较 即 可 得 到 结 论 ；(3)直 接 写 出 在 该 产 品 销 售 的 过 程 中 ， 共 有 46 天 销 售 利 润 不 低 于 5400 元 .答 案 ： (1) m
29、与 x 成 一 次 函 数 ， 设 m=kx+b， 将 x=1， m=198， x=3， m=194代 入 ， 得 ： 1983 194k bk b ， ， 解 得 ： 2200.kb ，所 以 m关 于 x 的 一 次 函 数 表 达 式 为 m=-2x+200；(2)设 销 售 该 产 品 每 天 利 润 为 y 元 ， y关 于 x 的 函 数 表 达 式 为 ： 2 (2 160 4000 1 50120 12000 50 )9( )0y x x xy x x ，当 1 x 50时 ， y=-2x2+160 x+4000=-2(x-40)2+7200， -2 0， 当 x=40时 ，
30、y 有 最 大 值 ， 最 大 值 是 7200；当 50 x 90 时 ， y=-120 x+12000， -120 0， y随 x增 大 而 减 小 ， 即 当 x=50时 ， y 的 值 最 大 ， 最 大 值 是 6000；综 上 所 述 ， 当 x=40时 ， y 的 值 最 大 ， 最 大 值 是 7200， 即 在 90 天 内 该 产 品 第 40天 的 销 售 利润 最 大 ， 最 大 利 润 是 7200元 ；(3)在 该 产 品 销 售 的 过 程 中 ， 共 有 46 天 销 售 利 润 不 低 于 5400 元 .六 、 灵 动 管 理 ， 超 越 自 我 (本 大
31、题 共 2 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 16 分 )24.如 图 ， Rt ABC 中 ， ACB=90 ， AC=6cm， BC=8cm.动 点 M 从 点 B 出 发 ， 在 BA 边 上 以 每 秒 3cm 的 速 度 向 定 点 A 运 动 ， 同 时 动 点 N 从 点 C 出 发 ， 在 CB 边 上 以 每 秒 2cm 的 速 度 向 点 B运 动 ， 运 动 时 间 为 t秒 (0 t 103 )， 连 接 MN.(1)若 BMN与 ABC相 似 ， 求 t 的 值 ；(2)连 接 AN， CM， 若 AN CM， 求 t的 值 .解 析 ： (1)根 据 题 意
32、得 出 BM， CN， 易 得 BN， BA， 分 类 讨 论 当 BMN BAC 时 ， 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 得 BM BNBA BC ， 解 得 t； 当 BMN BCA时 ， BM BNBC BA ， 解 得 t， 综 上 所 述 ， BMN与 ABC 相 似 ， 得 t 的 值 ；(2)过 点 M 作 MD CB 于 点 D， 利 用 锐 角 三 角 函 数 易 得 DM， BD， 由 BM=3tcm， CN=2tcm， 易 得 CD， 利 用 三 角 形 相 似 的 判 定 定 理 得 CAN DCM， 由 三 角 形 相 似 的 性 质 得 AC CDCN DM
33、 ， 解得 t.答 案 ： (1)由 题 意 知 ， BM=3tcm， CN=2tcm， BN=(8-2t)cm， BA= 2 26 8 =10(cm)，当 BMN BAC时 ， BM BNBA BC ， 3 8 210 8t t ， 解 得 ： 2011t ；当 BMN BCA时 ， BM BNBC BA ， 3 8 28 10t t ， 解 得 ： t= 3223 ， BMN与 ABC相 似 时 ， t 的 值 为 2011 或 3223 ；(2)过 点 M 作 MD CB于 点 D， 由 题 意 得 ： DM=BMsinB=3t 610 = 95 t(cm)， BD=BMcosB=3t
34、810 = 125 t(cm)，BM=3tcm， CN=2tcm， CD=(8- 125 t)cm， AN CM， ACB=90 ， CAN+ ACM=90 ， MCD+ ACM=90 ， CAN= MCD， MD CB， MDC= ACB=90 ， CAN DCM， AC CDCN DM ， 1286 592 5 tt t ， 解 得 t=1312 .25.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， A 与 x 轴 相 交 于 C(-2， 0)， D(-8， 0)两 点 ， 与 y 轴 相 切于 点 B(0， 4). (1)求 经 过 B， C， D 三 点 的 抛 物 线 的 函
35、数 表 达 式 ； (2)设 抛 物 线 的 顶 点 为 E， 证 明 ： 直 线 CE与 A 相 切 ；(3)在 x 轴 下 方 的 抛 物 线 上 ， 是 否 存 在 一 点 F， 使 BDF面 积 最 大 ， 最 大 值 是 多 少 ？ 并 求 出 点F的 坐 标 .解 析 ： (1)把 B(0， 4)， C(-2， 0)， D(-8， 0)代 入 二 次 函 数 的 解 析 式 即 可 得 到 结 果 ；(2)由 y= 2 21 5 1 94 ( 5)4 2 4 4x x x ， 得 到 顶 点 坐 标 E(-5， - 94 )， 求 得 直 线 CE 的 函 数解 析 式 y= 34
36、 x+ 32 ， 在 y= 34 x+ 32 中 ， 令 x=0， y= 32 ， 得 到 G(0， 32 )， 如 图 1， 连 接 AB， AC，AG， 得 BG=OB-OG=4- 32 = 52 ， CG= 52 ， 得 到 BG=CG， AB=AC， 证 得 ABG ACG， 得 到 ACG= ABG， 由 于 A与 y轴 相 切 于 点 B(0， 4)， 于 是 得 到 ABG=90 ， 即 可 求 得 结 论 ；(3)如 图 2， 连 接 BD， BF， DF， 设 F(t， 14 t 2+ 52 t+4)， 过 F作 FN y轴 交 BD于 点 N， 求 得 直线 BD 的 解
37、析 式 为 y= 12 x+4 ， 得 到 点 N 的 坐 标 为 (t ， 12 t+4) ， 于 是 得 到FN= 12 t+4-( 14 t2+ 52 t+4)=- 14 t2-2t， 推 出 S DBF=S DNF+S BNF= 12 OD FN= 12 8(- 14 t2-2t)=-t2-8t=-(t+4)2+16， 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1)设 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y=ax 2+bx+c，把 B(0， 4)， C(-2， 0)， D(-8， 0)代 入 得 ： 40 4 20 64 8ca b ca b c ， ， ， 解 得 14524.abc
38、， 经 过 B， C， D三 点 的 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 ： y=14x2+52x+4；(2) y= 14 x 2+ 52 x+4= 14 (x+5)2- 94 ， E(-5， - 94 )，设 直 线 CE 的 函 数 解 析 式 为 y=mx+n， 直 线 CE与 y轴 交 于 点 G， 则 0 29 54 m nm n ， ，解 得 343.2m nn ， y= 34 x+ 32 ，在 y= 34 x+ 32 中 ， 令 x=0， y= 32 ， G(0， 32 )， 如 图 1， 连 接 AB， AC， AG， 则 BG=OB-OG=4- 32 = 52 ， CG=
39、 2 2 2 22 3( )2OC OG = 52 ， BG=CG， AB=AC，在 ABG与 ACG中 ， AB ACBG CGAG AG ， ABG ACG， ACG= ABG， A与 y轴 相 切 于 点 B(0， 4)， ABG=90 ， ACG= ABG=90 点 C在 A 上 ， 直 线 CE 与 A相 切 ；(3)存 在 点 F， 使 BDF面 积 最 大 ，如 图 2连 接 BD， BF， DF， 设 F(t， 14 t 2+ 52 t+4)，过 F 作 FN y 轴 交 BD于 点 N， 设 直 线 BD 的 解 析 式 为 y=kx+d， 则 40 8d k d ， ， 解 得 124kd ， 直 线 BD 的 解 析 式 为 y= 12 x+4， 点 N 的 坐 标 为 (t， 12 t+4)， FN= 12 t+4-( 14 t2+ 52 t+4)=- 14 t2-2t， S DBF=S DNF+S BNF= 12 OD FN= 12 8 (- 14 t2-2t)=-t2-8t=-(t+4)2+16， 当 t=-4 时 ， S BDF最 大 ， 最 大 值 是 16，当 t=-4时 ， 14 t2+ 52 t+4=-2， F(-4， -2).
