1、2015年 广 东 省 梅 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： 每 小 题 3 分 ， 共 21 分 ， 每 小 题 给 出 四 个 答 案 ， 其 中 只 有 一 个 是 正 确 的 .1. 12 的 相 反 数 是 ( )A.2B.-2C. 12D.- 12 解 析 ： 12 的 相 反 数 是 - 12 .答 案 ： D2.如 图 所 示 几 何 体 的 左 视 图 为 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： 从 左 边 看 第 一 层 一 个 小 正 方 形 ， 第 二 层 一 个 小 正 方 形 ， 第 三 层 一 个 小 正 方 形 ，答 案 ： A3.下 列 计
2、算 正 确 的 是 ( )A.x+x2=x3 B.x2 x3=x6C.(x3)2=x6D.x9 x3=x3解 析 ： A、 原 式 不 能 合 并 ， 错 误 ；B、 原 式 =x5， 错 误 ；C、 原 式 =x6， 正 确 ；D、 原 式 =x6， 错 误 .答 案 ： C4.下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.掷 一 枚 均 匀 的 骰 子 ， 骰 子 停 止 转 动 后 ， 6点 朝 上 是 必 然 事 件B.甲 、 乙 两 人 在 相 同 条 件 下 各 射 击 10 次 ， 他 们 的 成 绩 平 均 数 相 同 ， 方 差 分 别 是 S 甲 2=0.4， S乙 2=0.6
3、， 则 甲 的 射 击 成 绩 较 稳 定C.“ 明 天 降 雨 的 概 率 为 12 ” ， 表 示 明 天 有 半 天 都 在 降 雨D.了 解 一 批 电 视 机 的 使 用 寿 命 ， 适 合 用 普 查 的 方 式解 析 ： A、 掷 一 枚 均 匀 的 骰 子 ， 骰 子 停 止 转 动 后 ， 6 点 朝 上 是 可 能 事 件 ， 此 选 项 错 误 ；B、 甲 、 乙 两 人 在 相 同 条 件 下 各 射 击 10 次 ， 他 们 的 成 绩 平 均 数 相 同 ， 方 差 分 别 是 S 甲 2=0.4，S 乙 2=0.6， 则 甲 的 射 击 成 绩 较 稳 定 ， 此
4、 选 项 正 确 ；C、 “ 明 天 降 雨 的 概 率 为 12 ” ， 表 示 明 天 有 可 能 降 雨 ， 此 选 项 错 误 ；D、 解 一 批 电 视 机 的 使 用 寿 命 ， 适 合 用 抽 查 的 方 式 ， 此 选 项 错 误 .答 案 ： B5.下 列 命 题 正 确 的 是 ( )A.对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 是 菱 形B.一 组 对 边 相 等 ， 另 一 组 对 边 平 行 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形C.对 角 线 相 等 的 四 边 形 是 矩 形D.对 角 线 互 相 垂 直 平 分 且 相 等 的 四 边 形 是 正 方 形解 析
5、 ： A、 对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 不 一 定 是 菱 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 一 组 对 边 相 等 ， 另 一 组 对 边 平 行 的 四 边 形 不 一 定 是 平 行 四 边 形 ， 也 可 能 是 等 腰 梯 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 对 角 线 相 等 的 四 边 形 不 一 定 是 矩 形 ， 例 如 等 腰 梯 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 且 相 等 的 四 边 形 是 正 方 形 ， 故 本 选 项 正 确 .答 案 ： D6.如 图 ， AB 是 O 的 弦 ， AC 是 O
6、切 线 ， A 为 切 点 ， BC 经 过 圆 心 .若 B=20 ， 则 C 的 大小 等 于 ( ) A.20B.25C.40D.50解 析 ： 如 图 ， 连 接 OA， AC 是 O的 切 线 ， OAC=90 ， OA=OB， B= OAB=20 ， AOC=40 ， C=50 .答 案 ： D 7.对 于 二 次 函 数 y=-x2+2x.有 下 列 四 个 结 论 ： 它 的 对 称 轴 是 直 线 x=1； 设 y1=-x12+2x1，y2=-x22+2x2， 则 当 x2 x1时 ， 有 y2 y1； 它 的 图 象 与 x 轴 的 两 个 交 点 是 (0， 0)和 (2
7、， 0)； 当 0 x 2 时 ， y 0.其 中 正 确 的 结 论 的 个 数 为 ( )A.1B.2C.3D.4解 析 ： y=-x 2+2x=-(x-1)2+1， 故 它 的 对 称 轴 是 直 线 x=1， 正 确 ； 直 线 x=1 两 旁 部 分 增 减 性 不 一 样 ， 设 y1=-x12+2x1， y2=-x22+2x2， 则 当 x2 x1时 ， 有 y2 y1或 y2 y1， 错 误 ； 当 y=0， 则 x(-x+2)=0， 解 得 ： x1=0， x2=2， 故 它 的 图 象 与 x 轴 的 两 个 交 点 是 (0， 0)和 (2，0)， 正 确 ； a=-1
8、0， 抛 物 线 开 口 向 下 ， 它 的 图 象 与 x轴 的 两 个 交 点 是 (0， 0)和 (2， 0)， 当 0 x 2 时 ， y 0， 正 确 .答 案 ： C二 、 填 空 题 ： 每 小 题 3 分 ， 共 24 分 .8.函 数 y= x -1中 ， 自 变 量 x的 取 值 范 围 是 . 解 析 ： 根 据 二 次 根 式 的 意 义 ， 被 开 方 数 不 能 为 负 数 ， 根 据 题 意 ， 得 x 0.答 案 ： x 0.9.分 解 因 式 ： m3-m= .解 析 ： 先 提 取 公 因 式 m， 再 对 余 下 的 多 项 式 利 用 平 方 差 公 式
9、 继 续 分 解 ，m3-m=m(m2-1)=m(m+1)(m-1).10.据 统 计 ， 2014年 我 市 常 住 人 口 约 为 4320000人 ， 这 个 数 用 科 学 记 数 法 表 示 为 .解 析 ： 4320000=4.32 10 6.答 案 ： 4.32 106. 11.一 个 学 习 兴 趣 小 组 有 4名 女 生 ， 6名 男 生 ， 现 要 从 这 10名 学 生 中 选 出 一 人 担 任 组 长 ， 则女 生 当 选 组 长 的 概 率 是 .解 析 ： 女 生 当 选 组 长 的 概 率 是 ： 4 10= 410 = 25 .答 案 ： 2512.已 知
10、： ABC 中 ， 点 E 是 AB 边 的 中 点 ， 点 F 在 AC 边 上 ， 若 以 A， E， F 为 顶 点 的 三 角 形与 ABC相 似 ， 则 需 要 增 加 的 一 个 条 件 是 .(写 出 一 个 即 可 )解 析 ： 分 两 种 情 况 ： AEF ABC， AE： AB=AF： AC， 即 1： 2=AF： AC， AF= 12 AC； AFE ACB， AFE= ABC. 要 使 以 A、 E、 F 为 顶 点 的 三 角 形 与 ABC相 似 ， 则 AF= 12 AC或 AFE= ABC.答 案 ： AF= 12 AC或 AFE= ABC13.如 图 ， 在
11、 ABCD中 ， BE平 分 ABC， BC=6， DE=2， 则 ABCD的 周 长 等 于 .解 析 ： 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形 ， AE BC， AD=BC， AD=BC， AEB= EBC， BE 平 分 ABC， ABE= EBC， ABE= AEB， AB=AE， AE+DE=AD=BC=6， AE+2=6， AE=4， AB=CD=4， ABCD的 周 长 =4+4+6+6=20.答 案 ： 2014.如 图 ， 将 矩 形 纸 片 ABCD 折 叠 ， 使 点 A 与 点 C 重 合 ， 折 痕 为 EF， 若 AB=4， BC=2， 那 么 线段 EF 的
12、 长 为 .解 析 ： 如 图 所 示 ， AC交 EF于 点 O， 由 勾 股 定 理 知 AC=2 5 ，又 折 叠 矩 形 使 C 与 A 重 合 时 有 EF AC，则 Rt AOE Rt ABC， OE AOBC AB ， OE= 52 ， 故 EF=2OE= 5 .答 案 ： 515.若 12 1 2 1 2 1 2 1a bn n n n ， 对 任 意 自 然 数 n都 成 立 ， 则 a= ， b= ；计 算 ： m= 1 1 11 3 3 5 5 7 + + 119 21 = . 解 析 ： 12 1 2 1 2 1 2 1a bn n n n = 2 1 2 12 1 2
13、 1a n b nn n ，可 得 2n(a+b)+a-b=1， 即 01a ba b ， 解 得 ： a= 12 ， b=- 12 ；m= 12 (1- 13 + 13 - 15 + + 119 - 121 )= 12 (1- 121 )=1021 .答 案 ： 12 ； - 12 ； 1021 .三 、 解 答 下 列 各 题 ： 本 大 题 有 9 小 题 ， 共 75分 ， 解 答 应 写 文 字 说 明 、 推 理 过 程 或 演 算 步 骤 . 16.在 “ 全 民 读 书 月 ” 活 动 中 ， 小 明 调 查 了 班 级 里 40名 同 学 本 学 期 计 划 购 买 课 外
14、书 的 花 费 情况 ， 并 将 结 果 绘 制 成 如 图 所 示 的 统 计 图 ， 请 根 据 相 关 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ： (直 接 填 写 结 果 ) (1)本 次 调 查 获 取 的 样 本 数 据 的 众 数 是 元 ；(2)这 次 调 查 获 取 的 样 本 数 据 的 中 位 数 是 元 ；(3)若 该 校 共 有 学 生 1000 人 ， 根 据 样 本 数 据 ， 估 计 本 学 期 计 划 购 买 课 外 书 花 费 50元 的 学 生有 人 .解 析 ： (1)众 数 就 是 出 现 次 数 最 多 的 数 ， 众 数 是 ： 30元 ；(2)中 位
15、 数 就 是 大 小 处 于 中 间 位 置 的 数 ， 中 位 数 是 ： 50元 ；(3)调 查 的 总 人 数 是 ： 6+12+10+8+4=40(人 )，则 估 计 本 学 期 计 划 购 买 课 外 书 花 费 50 元 的 学 生 有 ： 1000 1040 =250(人 ).答 案 ： (1)30； (2)50； (3)250.17.计 算 ： 8 +|2 2 -3|-( 13 ) -1-(2015+ 2 )0.解 析 ： 原 式 第 一 项 化 为 最 简 二 次 根 式 ， 第 二 项 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化 简 ， 第 三 项 利 用 负 整数 指 数
16、 幂 法 则 计 算 ， 最 后 一 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 =2 2 +3-2 2 -3-1=-1.18.已 知 a+b=- 2 ， 求 代 数 式 (a-1) 2+b(2a+b)+2a的 值 .解 析 ： 原 式 利 用 完 全 平 方 公 式 及 单 项 式 乘 以 多 项 式 法 则 计 算 ， 将 已 知 等 式 代 入 计 算 即 可 求 出值 .答 案 ： 原 式 =a2-2a+1+2ab+b2+2a=(a+b)2+1，把 a+b=- 2 代 入 得 ： 原 式 =2+1=3.19.已 知 关 于 x 的 方 程
17、x 2+2x+a-2=0.(1)若 该 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ；(2)当 该 方 程 的 一 个 根 为 1 时 ， 求 a 的 值 及 方 程 的 另 一 根 .解 析 ： (1)关 于 x的 方 程 x2-2x+a-2=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 即 判 别 式 =b2-4ac 0.即 可得 到 关 于 a的 不 等 式 ， 从 而 求 得 a的 范 围 .(2)设 方 程 的 另 一 根 为 x1， 根 据 根 与 系 数 的 关 系 列 出 方 程 组 ， 求 出 a 的 值 和 方 程 的 另 一
18、根 .答 案 ： (1) b2-4ac=(2)2-4 1 (a-2)=12-4a 0， 解 得 ： a 3， a 的 取 值 范 围 是 a 3.(2)设 方 程 的 另 一 根 为 x 1， 由 根 与 系 数 的 关 系 得 ： 111 21 2xx a ， ， 解 得 ： 1 13ax ， ，则 a 的 值 是 -1， 该 方 程 的 另 一 根 为 -3.20.如 图 ， 如 图 ， 已 知 ABC， 按 如 下 步 骤 作 图 ： 以 A为 圆 心 ， AB 长 为 半 径 画 弧 ； 以 C为 圆 心 ， CB 长 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 相 交 于 点 D； 连 接 BD
19、， 与 AC交 于 点 E， 连 接 AD， CD.(1)求 证 ： ABC ADC；(2)若 BAC=30 ， BCA=45 ， AC=4， 求 BE 的 长 .解 析 ： (1)利 用 SSS 定 理 证 得 结 论 ；(2)设 BE=x， 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 易 得 AE的 长 ， 由 BCA=45 易 得 CE=BE=x， 解 得 x， 得CE的 长 .答 案 ： (1)在 ABC与 ADC中 ， AB ADBC CDAC AC ， ABC ADC(SSS).(2)设 BE=x， BAC=30 ， ABE=60 ， AE=tan60 x= 3 x， ABC ADC，
20、 CB=CD， BCA= DCA， BCA=45 ， BCA= DCA=45 ， CBD= CDB=45 ， CE=BE=x， 3 x+x=4， x=2 3 -2， BE=2 3 -2.21.九 年 级 数 学 兴 趣 小 组 经 过 市 场 调 查 ， 得 到 某 种 运 动 服 每 月 的 销 量 与 售 价 的 相 关 信 息 如 下表 ：已 知 该 运 动 服 的 进 价 为 每 件 60元 ， 设 售 价 为 x 元 . (1)请 用 含 x 的 式 子 表 示 ： 销 售 该 运 动 服 每 件 的 利 润 是 元 ； 月 销 量 是 件 ； (直 接 写 出 结 果 )(2)设
21、销 售 该 运 动 服 的 月 利 润 为 y元 ， 那 么 售 价 为 多 少 时 ， 当 月 的 利 润 最 大 ， 最 大 利 润 是 多少 ？解 析 ： (1)根 据 利 润 =售 价 -进 价 求 出 利 润 ， 运 用 待 定 系 数 法 求 出 月 销 量 ；(2)根 据 月 利 润 =每 件 的 利 润 月 销 量 列 出 函 数 关 系 式 ， 根 据 二 次 函 数 的 性 质 求 出 最 大 利 润 .答 案 ： (1) 销 售 该 运 动 服 每 件 的 利 润 是 (x-60)元 ； 设 月 销 量 W 与 x 的 关 系 式 为 w=kx+b，由 题 意 得 ， 1
22、00 200110 180k bk b ， 解 得 2400kb ， ， W=-2x+400. (2)由 题 意 得 ， y=(x-60)(-2x+400)=-2x2+520 x-24000=-2(x-130)2+9800， 售 价 为 130元 时 ， 当 月 的 利 润 最 大 ， 最 大 利 润 是 9800 元 .22.如 图 ， 直 线 l 经 过 点 A(4， 0)， B(0， 3).(1)求 直 线 l 的 函 数 表 达 式 ； (2)若 圆 M 的 半 径 为 2， 圆 心 M在 y轴 上 ， 当 圆 M与 直 线 l相 切 时 ， 求 点 M 的 坐 标 .解 析 ： (1
23、)把 点 A(4， 0)， B(0， 3)代 入 直 线 l 的 解 析 式 y=kx+b， 即 可 求 出 结 果 .(2)先 画 出 示 意 图 ， 在 Rt ABM 中 求 出 sin BAM， 然 后 在 Rt AMC中 ， 利 用 锐 角 三 角 函 数 的定 义 求 出 AM， 继 而 可 得 点 M 的 坐 标 .答 案 ： (1) 直 线 l 经 过 点 A(4， 0)， B(0， 3)， 设 直 线 l的 解 析 式 为 ： y=kx+b， 0 43 k bb ， 343kb ， . 直 线 l 的 解 析 式 为 ： y=- 34 x+3.(2)设 M 坐 标 为 (0，
24、m)(m 0)， 即 OM=m， 若 M 在 B 点 下 边 时 ， BM=3-m， MBN = ABO， MN B= BOA=90 ， MBN ABO， MN BMOA AB ， 即 2 34 5m ， 解 得 ： m= 12 ， 此 时 M(0， 12 )；若 M 在 B 点 上 边 时 ， BM=m-3，同 理 BMN BAO， 则 有 MN BMOA AB ， 即 2 34 5m ，解 得 ： m=112 .此 时 M(0， 112 ).23.在 Rt ABC中 ， A=90 ， AC=AB=4， D， E分 别 是 AB， AC的 中 点 .若 等 腰 Rt ADE绕 点 A逆 时
25、针 旋 转 ， 得 到 等 腰 Rt AD 1E1， 设 旋 转 角 为 (0 180 )， 记 直 线 BD1与 CE1的 交 点为 P. (1)如 图 1， 当 =90 时 ， 线 段 BD1的 长 等 于 ， 线 段 CE1的 长 等 于 ； (直接 填 写 结 果 )(2)如 图 2， 当 =135 时 ， 求 证 ： BD1=CE1， 且 BD1 CE1；(3) 设 BC的 中 点 为 M， 则 线 段 PM的 长 为 ； 点 P到 AB所 在 直 线 的 距 离 的 最 大 值 为 .(直 接 填 写 结 果 )解 析 ： (1)利 用 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 结
26、合 勾 股 定 理 分 别 得 出 BD1的 长 和 CE1的 长 ；(2)根 据 旋 转 的 性 质 得 出 ， D1AB= E1AC=135 ， 进 而 求 出 D1AB E1AC(SAS)， 即 可 得 出答 案 ；(3) 直 接 利 用 直 角 三 角 形 的 性 质 得 出 PM= 12 BC得 出 答 案 即 可 ； 首 先 作 PG AB， 交 AB 所 在 直 线 于 点 G， 则 D 1， E1在 以 A 为 圆 心 ， AD 为 半 径 的 圆 上 ， 当 BD1所 在 直 线 与 A相 切 时 ， 直 线 BD1与 CE1的 交 点 P到 直 线 AB的 距 离 最 大
27、，此 时 四 边 形 AD1PE1是 正 方 形 ， 进 而 求 出 PG的 长 .答 案 ： (1) A=90 ， AC=AB=4， D， E分 别 是 边 AB， AC的 中 点 ， AE=AD=2， 等 腰 Rt ADE绕 点 A 逆 时 针 旋 转 ， 得 到 等 腰 Rt AD1E1， 设 旋 转 角 为 (0 180 )， 当 =90 时 ， AE1=2， E1AE=90 ， BD 1= 2 24 2 =2 5 ， E1C= 2 24 2 =2 5 ；故 答 案 为 ： 2 5 ， 2 5 ；(2)当 =135 时 ， 如 图 2， Rt AD1E是 由 Rt ADE绕 点 A 逆
28、 时 针 旋 转 135 得 到 ， AD1=AE1， D1AB= E1AC=135 ，在 D1AB 和 E1AC 中 ， 1 11 1AD AED AB E ACAB AC ， ， D1AB E1AC(SAS)， BD1=CE1， 且 D1BA= E1CA， 记 直 线 BD1与 AC交 于 点 F， BFA= CFP， CPF= FAB=90 ， BD1 CE1.(3) 如 图 2， CPB= CAB=90 ， BC的 中 点 为 M， PM= 12 BC， PM= 12 2 24 4 =2 2 ，故 答 案 为 ： 2 2 ； 如 图 3， 作 PG AB， 交 AB 所 在 直 线 于
29、 点 G， D1， E1在 以 A 为 圆 心 ， AD为 半 径 的 圆 上 ，当 BD1所 在 直 线 与 A相 切 时 ， 直 线 BD1与 CE1的 交 点 P 到 直 线 AB 的 距 离 最 大 ，此 时 四 边 形 AD1PE1是 正 方 形 ， PD1=2， 则 BD1= 2 24 2 =2 3 ，故 ABP=30 ， 则 PB=2+2 3 ， 故 点 P到 AB所 在 直 线 的 距 离 的 最 大 值 为 ： PG=1+ 3 .故 答 案 为 ： 1+ 3 .24.如 图 ， 过 原 点 的 直 线 y=k 1x 和 y=k2x 与 反 比 例 函 数 y= 1x 的 图
30、象 分 别 交 于 两 点 A， C 和 B，D， 连 接 AB， BC， CD， DA.(1)四 边 形 ABCD一 定 是 四 边 形 ； (直 接 填 写 结 果 ) (2)四 边 形 ABCD可 能 是 矩 形 吗 ？ 若 可 能 ， 试 求 此 时 k1， k2之 间 的 关 系 式 ； 若 不 能 ， 说 明 理 由 ；(3)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)(x2 x1 0)是 函 数 y= 1x 图 象 上 的 任 意 两 点 ， a= 1 22y y ， b= 1 22x x ，试 判 断 a， b 的 大 小 关 系 ， 并 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)
31、由 直 线 y=k1x 和 y=k2x 与 反 比 例 函 数 y= 1x 的 图 象 关 于 原 点 对 称 ， 即 可 得 到 结 论 .(2)联 立 方 程 求 得 A、 B点 的 坐 标 ， 然 后 根 据 OA=OB， 依 据 勾 股 定 理 得 出 1 21 21 1k kk k ，两 边 平 分 得 11k +k1= 21k +k2， 整 理 后 得 (k1-k2)(k1k2-1)=0， 根 据 k1 k2， 则 k1k2-1=0， 即 可 求 得 ；(3)由 P(x 1， y1)， Q(x2， y2)(x2 x1 0)是 函 数 y= 1x 图 象 上 的 任 意 两 点 ，
32、得 到 y1= 11x ， y2= 21x ，求 出 a= 1 22y y = 1 21 12x x = 1 21 22x xx x ，得 到 a-b= 1 21 22x xx x - 1 22x x = 21 2 1 21 2 1 242x x x xx x x x = 21 21 2 1 22 x xx x x x 0， 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： (1) 直 线 y=k 1x 和 y=k2x 与 反 比 例 函 数 y= 1x 的 图 象 关 于 原 点 对 称 ， OA=OC， OB=OD， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ；故 答 案 为 ： 平 行 ；(2)
33、 正 比 例 函 数 y=k1x(k1 0)与 反 比 例 函 数 y= 1x 的 图 象 在 第 一 象 限 相 交 于 A， k 1x= 1x ， 解 得 x= 11k (因 为 交 于 第 一 象 限 ， 所 以 负 根 舍 去 ， 只 保 留 正 根 )将 x= 11k 带 入 y=k1x得 y= 1k ，故 A 点 的 坐 标 为 ( 11k ， 1k )同 理 则 B 点 坐 标 为 ( 21k ， 2k )，又 OA=OB， 1 21 21 1k kk k ， 两 边 平 分 得 得 11k +k 1= 21k +k2， 整 理 后 得 (k1-k2)(k1k2-1)=0， k1
34、 k2， 所 以 k1k2-1=0， 即 k1k2=1.(3) P(x1， y1)， Q(x2， y2)(x2 x1 0)是 函 数 y= 1x 图 象 上 的 任 意 两 点 ， y 1= 11x ， y2= 21x ， a= 1 22y y = 1 21 12x x = 1 21 22x xx x ， a-b= 1 21 2 1 222x xx x x x = 21 2 1 21 2 1 242x x x xx x x x = 21 21 2 1 22 x xx x x x ， x2 x1 0， (x1-x2)2 0， x1x2 0， (x1+x2) 0， 21 21 2 1 22 x xx x x x 0， a-b 0， a b.
