1、2015年 四 川 省 乐 山 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 个 选 项 符 合 题 目 要 求 .1.(3分 )3 的 相 反 数 是 ( )A.-3B.3C.-D.解 析 ： 根 据 相 反 数 的 含 义 ， 可 得 3的 相 反 数 是 ： -3.故 选 ： A.2.(3分 )下 列 几 何 体 中 ， 正 视 图 是 矩 形 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： A、 球 的 正 视 图 是 圆 ， 故 此 选 项 错 误 ；B
2、、 圆 柱 的 正 视 图 是 矩 形 ， 故 此 选 项 正 确 ；C、 圆 锥 的 正 视 图 是 等 腰 三 角 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；D、 圆 台 的 正 视 图 是 等 腰 梯 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；故 选 ： B.3.(3分 )某 班 开 展 1分 钟 仰 卧 起 坐 比 赛 活 动 ， 5 名 同 学 的 成 绩 如 下 (单 位 ： 个 )： 37、 38、 40、 40、 42.这 组 数 据 的 众 数 是 ( )A.37B.38C.40 D.42解 析 ： 由 题 意 得 ， 40出 现 的 次 数 最 多 ， 众 数 为 40.故 选 ： C.4
3、.(3分 )下 列 说 法 不 一 定 成 立 的 是 ( )A.若 a b， 则 a+c b+cB.若 a+c b+c， 则 a bC.若 a b， 则 ac 2 bc2D.若 ac2 bc2， 则 a b解 析 ： A、 在 不 等 式 a b的 两 边 同 时 加 上 c， 不 等 式 仍 成 立 ， 即 a+c b+c， 故 本 选 项 错 误 ；B、 在 不 等 式 a+c b+c的 两 边 同 时 减 去 c， 不 等 式 仍 成 立 ， 即 a b， 故 本 选 项 错 误 ；C、 当 c=0 时 ， 若 a b， 则 不 等 式 ac2 bc2不 成 立 ， 故 本 选 项 正
4、 确 ；D、 在 不 等 式 ac2 bc2的 两 边 同 时 除 以 不 为 0的 c2， 该 不 等 式 仍 成 立 ， 即 a b， 故 本 选 项 错误 .故 选 ： C.5.(3分 )如 图 ， l 1 l2 l3， 两 条 直 线 与 这 三 条 平 行 线 分 别 交 于 点 A、 B、 C 和 D、 E、 F.已 知 ，则 的 值 为 ( )A. B.C.D.解 析 ： l1 l2 l3， ， ，故 选 ： D.6.(3分 )二 次 函 数 y=-x 2+2x+4的 最 大 值 为 ( )A.3B.4 C.5D.6解 析 ： y=-(x-1)2+5， a=-1 0， 当 x=1
5、时 ， y有 最 大 值 ， 最 大 值 为 5.故 选 ： C.7.(3分 )如 图 ， 已 知 ABC的 三 个 顶 点 均 在 格 点 上 ， 则 cosA的 值 为 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 过 B点 作 BD AC， 如 图 ， 由 勾 股 定 理 得 ， ，故 选 ： D.8.(3分 )电 影 刘 三 姐 中 ， 秀 才 和 刘 三 姐 对 歌 的 场 面 十 分 精 彩 .罗 秀 才 唱 到 ： “ 三 百 条 狗交 给 你 ， 一 少 三 多 四 下 分 ， 不 要 双 数 要 单 数 ， 看 你 怎 样 分 得 均 ？ ” 刘 三 姐 示 意 舟 妹 来 答 ， 舟
6、 妹 唱 道 ： “ 九 十 九 条 打 猎 去 ，九 十 九 条 看 羊 来 ， 九 十 九 条 守 门 口 ， 剩 下 三 条 财 主 请 来 当 奴 才 .” 若 用 数 学 方 法 解 决 罗 秀 才提 出 的 问 题 ， 设 “ 一 少 ” 的 狗 有 x条 ， “ 三 多 ” 的 狗 有 y 条 ， 则 解 此 问 题 所 列 关 系 式 正 确 的是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 设 “ 一 少 ” 的 狗 有 x 条 ， “ 三 多 ” 的 狗 有 y 条 ， 可 得 ： ，故 选 ： B. 9.(3分 )已 知 二 次 函 数 y=ax2+bx+c的 图 象 如 图 所
7、 示 ， 记 m=|a-b+c|+|2a+b+c|，n=|a+b+c|+|2a-b-c|.则 下 列 选 项 正 确 的 是 ( )A.m nB.m nC.m=nD.m、 n 的 大 小 关 系 不 能 确 定 解 析 ： 抛 物 线 开 口 向 下 ， a 0， 对 称 轴 在 y 轴 右 边 ， b 0， 抛 物 线 经 过 原 点 ， c=0， a-b+c 0； x=1时 ， y 0， a+b+c 0， c=0， a+b 0. x=- 1， a 0， b -2a， 2a+b 0，m=|a-b+c|+|2a+b+c|=b-a+(2a+b)=a+2b n=|a+b+c|+|2a-b-c|=a
8、+b+(b-2a)=2b-am-n=(a+2b)-(2b-a)=2a a 0， 2a 0，即 m-n 0， m n.故 选 ： A.10.(3分 )如 图 ， 已 知 直 线 y= x-3与 x轴 、 y 轴 分 别 交 于 A、 B两 点 ， P 是 以 C(0， 1)为 圆 心 ， 1为 半 径 的 圆 上 一 动 点 ， 连 结 PA、 PB.则 PAB面 积 的 最 大 值 是 ( )A.8B.12C. D.解 析 ： 直 线 y= x-3与 x 轴 、 y轴 分 别 交 于 A、 B 两 点 ， A 点 的 坐 标 为 (4， 0)， B 点 的 坐 标 为 (0， -3)， 3x-
9、4y-12=0， 即 OA=4， OB=3， 由 勾 股 定 理 得 ： AB=5， 点 C(0， 1)到 直 线 3x-4y-3=0 的 距 离 是 ， 圆 C上 点 到 直 线 y= x-3的 最 大 距 离 是 1+ = ， PAB面 积 的 最 大 值 是 5 = ，故 选 ： C.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18分 .11.(3分 ) 的 倒 数 是 _. 解 析 ： 的 倒 数 是 2，故 答 案 为 ： 2.12.(3分 )函 数 的 自 变 量 x的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 根 据 题 意 得 ， x-2 0，
10、解 得 x 2.故 答 案 为 ： x 2.13.(3分 )九 年 级 1 班 9 名 学 生 参 加 学 校 的 植 树 活 动 ， 活 动 结 束 后 ， 统 计 每 人 植 树 的 情 况 ，植 了 2棵 树 的 有 5 人 ， 植 了 4 棵 树 的 有 3人 ， 植 了 5 棵 树 的 有 1 人 ， 那 么 平 均 每 人 植 树 _棵 . 解 析 ： 平 均 每 人 植 树 棵 ，故 答 案 为 ： 3.14.(3分 )如 图 ， 在 等 腰 三 角 形 ABC中 ， AB=AC， DE垂 直 平 分 AB， 已 知 ADE=40 ， 则 DBC=_ .解 析 ： DE垂 直 平
11、 分 AB， AD=BD， AED=90 ， A= ABD， ADE=40 ， A=90 -40 =50 ， ABD= A=50 ， AB=AC， ABC= C= (180 - A)=65 ， DBC= ABC- ABD=65 -50 =15 ，故 答 案 为 ： 15.15.(3分 )如 图 ， 已 知 A(2 ， 2)、 B(2 ， 1)， 将 AOB绕 着 点 O 逆 时 针 旋 转 ， 使 点 A旋转 到 点 A (-2， 2 )的 位 置 ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 _. 解 析 ： 由 A(2 ， 2)使 点 A 旋 转 到 点 A (-2， 2 )的 位 置
12、易 得 旋 转 90 ， 根 据 旋 转 的 性质 可 得 ， 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 S 扇 形 AOA-S 扇 形 COC， 从 而 根 据 A， B 点 坐 标 知 OA=4， OC=OB= ，可 得 出 阴 影 部 分 的 面 积 .答 案 ： A(2 ， 2)、 B(2 ， 1)， OA=4， OB= ， 由 A(2 ， 2)使 点 A旋 转 到 点 A (-2， 2 )， A OA= B OB=90 ， 根 据 旋 转 的 性 质 可 得 ， S =SOBC， 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 S 扇 形 AOA-S 扇 形 COC= 42- ( )2= ，故 答 案
13、 为 ： .16.(3分 )在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 对 于 点 P(x， y)和 Q(x， y )， 给 出 如 下 定 义 ： 若， 则 称 点 Q 为 点 P 的 “ 可 控 变 点 ” .例 如 ： 点 (1， 2)的 “ 可 控 变 点 ” 为 点 (1， 2)， 点 (-1， 3)的 “ 可 控 变 点 ” 为 点 (-1， -3).(1)若 点 (-1， -2)是 一 次 函 数 y=x+3 图 象 上 点 M 的 “ 可 控 变 点 ” ， 则 点 M 的 坐 标 为 _. (2)若 点 P 在 函 数 y=-x2+16(-5 x a)的 图 象 上 ， 其 “ 可
14、 控 变 点 ” Q的 纵 坐 标 y 的 取 值 范 围是 -16 y 16， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _. 解 析 ： (1)直 接 根 据 “ 可 控 变 点 ” 的 定 义 直 接 得 出 答 案 ；(2)根 据 题 意 可 知 y=-x2+16图 象 上 的 点 P的 “ 可 控 变 点 ” 必 在 函 数的 图 象 上 ， 结 合 图 象 即 可 得 到 答 案 .答 案 ： (1)根 据 “ 可 控 变 点 ” 的 定 义 可 知 点 M 的 坐 标 为 (-1， 2)；(2)依 题 意 ， y=-x 2+16图 象 上 的 点 P 的 “ 可 控 变 点 ” 必
15、 在 函 数 的图 象 上 . -16 y 16，当 y =16 时 ， 16=-x2+16或 -16=-x2+16. x=0或 x=4 .当 y =-16时 ， -16=-x2+16. x=4 . a 的 取 值 范 围 是 0 a 4 .故 答 案 为 (-1， 2)， 0 a 4 .三 、 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 9 分 ， 共 27分 .17.(9分 )计 算 ： |- |+ -4cos45 +(-1) 2015.解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化 简 ， 第 二 项 化 为 最 简 二 次 根 式 ， 第 三 项 利 用 特
16、 殊角 的 三 角 函 数 值 计 算 ， 最 后 一 项 利 用 乘 方 的 意 义 化 简 ， 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 = +2 -4 -1=- .18.(9分 )求 不 等 式 组 的 解 集 ， 并 把 它 们 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 .解 析 ： 先 解 每 个 不 等 式 ， 两 个 不 等 式 解 集 的 公 共 部 分 就 是 不 等 式 组 的 解 集 ， 然 后 再 数 轴 上 表 示 出 来 即 可 .答 案 ：解 不 等 式 得 ： x 3；解 不 等 式 得 ： x -1.则 不 等 式 组 的 解 集 是 ： -1
17、x 3. 19.(9分 )化 简 求 值 ： ， 其 中 a= -2.解 析 ： 先 根 据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式 进 行 化 简 ， 再 把 a的 值 代 入 进 行 计 算 即 可 .答 案 ： 原 式 =当 a= -2 时 ， 原 式 = . 四 、 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 10 分 ， 共 30分 .20.(10分 )如 图 ， 将 矩 形 纸 片 ABCD沿 对 角 线 BD折 叠 ， 使 点 A落 在 平 面 上 的 F 点 处 ， DF 交BC于 点 E.(1)求 证 ： DCE BFE；(2)若 CD=2， ADB=30 ， 求 B
18、E 的 长 . 解 析 ： (1)由 AD BC， 知 ADB= DBC， 根 据 折 叠 的 性 质 ADB= BDF， 所 以 DBC= BDF，得 BE=DE， 即 可 用 AAS证 DCE BFE；(2)在 Rt BCD中 ， CD=2， ADB= DBC=30 ， 知 BC=2 ， 在 Rt BCD中 ， CD=2， EDC=30 ，知 CE= ， 所 以 BE=BC-EC= .答 案 ： (1) AD BC， ADB= DBC，根 据 折 叠 的 性 质 ADB= BDF， F= A= C=90 ， DBC= BDF， BE=DE，在 DCE和 BFE中 ， DCE BFE；(2)
19、在 Rt BCD 中 ， CD=2， ADB= DBC=30 ， BC=2 ，在 Rt BCD中 ， CD=2， EDC=30 ， DE=2EC， (2EC)2-EC2=CD2， CE= ， BE=BC-EC= .21.(10分 )某 班 开 展 安 全 知 识 竞 赛 活 动 ， 班 长 将 所 有 同 学 的 成 绩 分 成 四 类 ， 并 制 作 了 如 下 的统 计 图 表 ： 根 据 图 表 信 息 ， 回 答 下 列 问 题 ：(1)该 班 共 有 学 生 _人 ； 表 中 a=_；(2)将 丁 类 的 五 名 学 生 分 别 记 为 A、 B、 C、 D、 E， 现 从 中 随
20、机 挑 选 两 名 学 生 参 加 学 校 的 决 赛 ，请 借 助 树 状 图 、 列 表 或 其 他 方 式 求 B 一 定 能 参 加 决 赛 的 概 率 .解 析 ： (1)根 据 丙 的 人 数 除 以 占 的 百 分 比 求 出 学 生 总 数 ， 进 而 求 出 a 的 值 即 可 ；(2)列 表 得 出 所 有 等 可 能 的 情 况 数 ， 找 出 B 一 定 参 加 的 情 况 数 ， 即 可 求 出 所 求 的 概 率 . 答 案 ： (1)根 据 题 意 得 ： 10 25%=40(人 )， a=40-5-10-5=20；故 答 案 为 ： 40； 20；(2)列 表
21、如 下 ：所 有 等 可 能 的 情 况 有 20 种 ， 其 中 B 一 定 参 加 的 情 况 有 8 种 ，则 P(B一 定 参 加 )= = . 22.(10分 )“ 六 一 ” 期 间 ， 小 张 购 进 100只 两 种 型 号 的 文 具 进 行 销 售 ， 其 进 价 和 售 价 之 间 的关 系 如 下 表 ：(1)小 张 如 何 进 货 ， 使 进 货 款 恰 好 为 1300元 ？(2)要 使 销 售 文 具 所 获 利 润 最 大 ， 且 所 获 利 润 不 超 过 进 货 价 格 的 40%， 请 你 帮 小 张 设 计 一 个进 货 方 案 ， 并 求 出 其 所
22、获 利 润 的 最 大 值 .解 析 ： (1)设 A 文 具 为 x 只 ， 则 B 文 具 为 (100-x)只 ， 根 据 题 意 列 出 方 程 解 答 即 可 ；(2)设 A 文 具 为 x 只 ， 则 B 文 具 为 (100-x)只 ， 根 据 题 意 列 出 函 数 解 答 即 可 .答 案 ： (1)设 A 文 具 为 x 只 ， 则 B 文 具 为 (100-x)只 ， 可 得 ：10 x+15(100-x)=1300， 解 得 ： x=40.答 ： A文 具 为 40只 ， 则 B文 具 为 100-40=60只 ；(2)设 A 文 具 为 x 只 ， 则 B 文 具 为
23、 (100-x)只 ， 可 得(12-10)x+(23-15)(100-x) 40%10 x+15(100-x)，解 得 ： x 50，设 利 润 为 y， 则 可 得 ： y=(12-10)x+(23-15)(100-x)=2x+800-8x=-6x+800，因 为 是 减 函 数 ， 所 以 当 x=50时 ， 利 润 最 大 ， 即 最 大 利 润 =-50 6+800=500元 .五 、 本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 10 分 ， 共 20分 .23.(10分 )如 图 1， 四 边 形 ABCD中 ， B= D=90 ， AB=3， BC=2， tanA= . (1)求
24、 CD 边 的 长 ；(2)如 图 2， 将 直 线 CD边 沿 箭 头 方 向 平 移 ， 交 DA于 点 P， 交 CB于 点 Q(点 Q 运 动 到 点 B 停 止 ).设 DP=x， 四 边 形 PQCD的 面 积 为 y， 求 y 与 x 的 函 数 关 系 式 ， 并 求 出 自 变 量 x 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)分 别 延 长 AD、 BC 相 交 于 E， 在 Rt ABE中 ， 由 tanA= ， AB=3， BC=2， 得 到 BE=4，EC=2， AE=5， 通 过 等 角 的 余 角 相 等 得 到 A= ECD， 由 tanA= ， 得 cosA=
25、， 于 是 得 到cos ECD= = ， 即 问 题 可 得 ； (2)由 (1)可 知 tan ECD= ， 得 到 ED= ， 如 图 4， 由 PQ DC， 可 知 EDC EPQ， 得 到 比例 式 ， 求 得 ， 由 S 四 边 形 PQCD=S EPQ-S EDC， 于 是 得 到 ， 于 是 当 Q 点 到 达B 点 时 ， 点 P在 M点 处 ， 由 EC=BC， DC PQ， 得 到 DM=ED= ， 于 是 结 论 可 得 .答 案 ： (1)如 图 (3)， 分 别 延 长 AD、 BC 相 交 于 E， 在 Rt ABE中 ， tanA= ， AB=3， BC=2，
26、BE=4， EC=2， AE=5，又 E+ A=90 ， E+ ECD=90 ， A= ECD，由 tanA= ， 得 cosA= ， cos ECD= = ， CD= ； (2)如 图 4， 由 (1)可 知 tan ECD= ， ED= ，如 图 4， 由 PQ DC， 可 知 EDC EPQ， ， ， 即 ， S 四 边 形 PQCD=S EPQ-S EDC， ， 当 Q点 到 达 B点 时 ， 点 P 在 M 点 处 ，由 EC=BC， DC PQ， DM=ED= ， 自 变 量 x的 取 值 方 范 围 为 ： 0 x .24.(10分 )如 图 ， 正 比 例 函 数 y=2x的
27、图 象 与 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 交 于 A、 B 两 点 ， 过 点 A作 AC 垂 直 x 轴 于 点 C， 连 结 BC.若 ABC的 面 积 为 2. (1)求 k 的 值 ；(2)x轴 上 是 否 存 在 一 点 D， 使 ABD为 直 角 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 D的 坐 标 ； 若 不 存 在 ，请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)首 先 根 据 反 比 例 函 数 与 正 比 例 函 数 的 图 象 特 征 ， 可 知 A、 B两 点 关 于 原 点 对 称 ， 则O为 线 段 AB的 中 点 ， 故 BOC 的 面 积 等 于 AOC的
28、 面 积 ， 都 等 于 1， 然 后 由 反 比 例 函 数 y= 的比 例 系 数 k的 几 何 意 义 ， 可 知 AOC的 面 积 等 于 |k|， 从 而 求 出 k的 值 ；(2)先 将 y=2x与 y= 联 立 成 方 程 组 ， 求 出 A、 B两 点 的 坐 标 ， 然 后 分 三 种 情 况 讨 论 ： 当 AD AB时 ， 求 出 直 线 AD 的 关 系 式 ， 令 y=0， 即 可 确 定 D 点 的 坐 标 ； 当 BD AB时 ， 求 出 直 线 BD的 关 系 式 ， 令 y=0， 即 可 确 定 D点 的 坐 标 ； 当 AD BD时 ， 由 O为 线 段 A
29、B的 中 点 ， 可 得 OD= AB=OA， 然 后 利 用 勾 股 定 理 求 出 OA 的 值 ， 即 可 求 出 D 点 的 坐 标 .答 案 ： (1) 反 比 例 函 数 与 正 比 例 函 数 的 图 象 相 交 于 A、 B两 点 ， A、 B两 点 关 于 原 点 对 称 ， OA=OB， BOC的 面 积 = AOC的 面 积 =2 2=1，又 A是 反 比 例 函 数 y= 图 象 上 的 点 ， 且 AC x轴 于 点 C， AOC的 面 积 = |k|， |k|=1， k 0， k=2.故 这 个 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y= ； (2)x轴 上 存
30、在 一 点 D， 使 ABD为 直 角 三 角 形 .将 y=2x与 y= 联 立 成 方 程 组 得 ：，解 得 ： ， ， A(1， 2)， B(-1， -2)， 当 AD AB时 ， 如 图 1， 设 直 线 AD 的 关 系 式 为 y=- x+b，将 A(1， 2)代 入 上 式 得 ： b= ， 直 线 AD 的 关 系 式 为 y=- x+ ，令 y=0得 ： x=5， D(5， 0)； 当 BD AB时 ， 如 图 2， 设 直 线 BD 的 关 系 式 为 y=- x+b，将 B(-1， -2)代 入 上 式 得 ： b=- ， 直 线 AD 的 关 系 式 为 y=- x-
31、 ，令 y=0得 ： x=-5， D(-5， 0)； 当 AD BD时 ， 如 图 3， O 为 线 段 AB 的 中 点 ， OD= AB=OA， A(1， 2)， OC=1， AC=2，由 勾 股 定 理 得 ： ， OD= ， D( ， 0).根 据 对 称 性 ， 当 D 为 直 角 顶 点 ， 且 D 在 x 轴 负 半 轴 时 ， D(- ， 0).故 x轴 上 存 在 一 点 D， 使 ABD 为 直 角 三 角 形 ， 点 D 的 坐 标 为 (5， 0)或 (-5， 0)或 ( ， 0)或 (- ， 0. 六 、 本 大 题 共 2 小 题 ， 第 25题 12 分 ， 第
32、26题 13分 ， 共 25分 .25.(12分 )已 知 Rt ABC中 ， AB 是 O的 弦 ， 斜 边 AC交 O 于 点 D， 且 AD=DC， 延 长 CB 交 O 于 点 E. (1)图 1 的 A、 B、 C、 D、 E 五 个 点 中 ， 是 否 存 在 某 两 点 间 的 距 离 等 于 线 段 CE的 长 ？ 请 说 明 理由 ；(2)如 图 2， 过 点 E 作 O的 切 线 ， 交 AC的 延 长 线 于 点 F. 若 CF=CD时 ， 求 sin CAB 的 值 ； 若 CF=aCD(a 0)时 ， 试 猜 想 sin CAB的 值 .(用 含 a 的 代 数 式
33、表 示 ， 直 接 写 出 结 果 )解 析 ： (1)连 接 AE、 DE， 如 图 1， 根 据 圆 周 角 定 理 可 得 ADE= ABE=90 ， 由 于 AD=DC， 根据 垂 直 平 分 线 的 性 质 可 得 AE=CE；(2)连 接 AE、 ED， 如 图 2， 由 ABE=90 可 得 AE是 O的 直 径 ， 根 据 切 线 的 性 质 可 得 AEF=90 ，从 而 可 证 到 ADE AEF， 然 后 运 用 相 似 三 角 形 的 性 质 可 得 AE 2=AD AF. 当 CF=CD 时 ， 可得 AE2=3CD2， 从 而 有 EC=AE= CD， 在 Rt D
34、EC中 运 用 三 角 函 数 可 得 sin CED= = ， 根据 圆 周 角 定 理 可 得 CAB= DEC， 即 可 求 出 sin CAB的 值 ； 当 CF=aCD(a 0)时 ， 同 即可 解 决 问 题 .答 案 ： (1)AE=CE.理 由 ： 连 接 AE、 DE， 如 图 1， ABC=90 ， ABE=90， ADE= ABE=90 . AD=DC， AE=CE；(2)连 接 AE、 ED， 如 图 2， ABE=90 ， AE是 O 的 直 径 . EF 是 OO的 切 线 ， AEF=90 ， ADE= AEF=90 .又 DAE= EAF， ADE AEF， =
35、 ， AE 2=AD AF. 当 CF=CD时 ，AD=DC=CF， AF=3DC， AE2=DC 3DC=3DC2， AE= DC. EC=AE， EC= DC. sin CAB=sin CED= = = ； 当 CF=aCD(a 0)时 ， sin CAB= .提 示 ： CF=aCD， AD=DC， AF=AD+DC+CF=(a+2)CD， AE2=DC (a+2)DC=(a+2)DC2， AE= DC. EC=AE， EC= DC. sin CAB=sin CED= .26.(13分 )如 图 1， 二 次 函 数 y=ax 2+bx+c 的 图 象 与 x轴 分 别 交 于 A、 B
36、两 点 ， 与 y轴 交 于 点 C.若 tan ABC=3， 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0 的 两 根 为 -8、 2. (1)求 二 次 函 数 的 解 析 式 ；(2)直 线 l 绕 点 A 以 AB 为 起 始 位 置 顺 时 针 旋 转 到 AC 位 置 停 止 ， l 与 线 段 BC交 于 点 D， P 是AD的 中 点 . 求 点 P 的 运 动 路 程 ； 如 图 2， 过 点 D 作 DE 垂 直 x轴 于 点 E， 作 DF AC 所 在 直 线 于 点 F， 连 结 PE、 PF， 在 l 运动 过 程 中 ， EPF的 大 小 是 否 改 变 ？ 请
37、说 明 理 由 ；(3)在 (2)的 条 件 下 ， 连 结 EF， 求 PEF周 长 的 最 小 值 .解 析 ： (1)利 用 tan ABC=3， 得 出 C 但 坐 标 ， 再 利 用 待 定 系 数 法 求 出 二 次 函 数 解 析 式 ；(2) 当 l 在 AB位 置 时 ， P 即 为 AB的 中 点 H， 当 l 运 动 到 AC 位 置 时 ， P即 为 AC中 点 K， 则P的 运 动 路 程 为 ABC的 中 位 线 HK， 再 利 用 勾 股 定 理 得 出 答 案 ； 首 先 利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 出 PAE= PEA= EPD， 同 理 可
38、得 ： PAF= PFA= DPF，进 而 求 出 EPF= EPD+ FPD=2( PAE+ PAF)， 即 可 得 出 答 案 ； (3)首 先 得 出 C PEF=AD+EF， 进 而 得 出 EG= PE， EF= PE= AD， 利 用 C PEF=AD+EF=(1+ )AD= AD，得 出 最 小 值 即 可 .答 案 ： (1) 函 数 y=ax2+bx+c与 x轴 交 于 A、 B 两 点 ， 且 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0两 根 为 ：-8， 2， A(-8， 0)、 B(2， 0)， 即 OB=2，又 tan ABC=3， OC=6， 即 C(0， -6)
39、，将 A(-8， 0)、 B(2， 0)代 入 y=ax 2+bx-6中 ， 得 ：，解 得 ： ， 二 次 函 数 的 解 析 式 为 ： y= x 2+ x-6；(2) 如 图 1， 当 l 在 AB位 置 时 ， P 即 为 AB的 中 点 H，当 l 运 动 到 AC 位 置 时 ， P即 为 AC中 点 K， P 的 运 动 路 程 为 ABC 的 中 位 线 HK， HK= BC，在 Rt BOC中 ， OB=2， OC=6， BC=2 ， HK= ，即 P 的 运 动 路 程 为 ： ； EPF的 大 小 不 会 改 变 ，理 由 如 下 ： 如 图 2， DE AB， 在 Rt
40、 AED中 ， P为 斜 边 AD的 中 点 ， PE= AD=PA， PAE= PEA= EPD， 同 理 可 得 ： PAF= PFA= DPF， EPF= EPD+ FPD=2( PAE+ PAF)，即 EPF=2 EAF，又 EAF大 小 不 变 ， EPF的 大 小 不 会 改 变 ；(3)设 PEF的 周 长 为 C， 则 C PEF=PE+PF+EF， PE= AD， PF= AD， C PEF=AD+EF，在 等 腰 三 角 形 PEF中 ， 如 图 2， 过 点 P作 PG EF于 点 G， EPC= EPF= BAC， tan BAC= = ， tan EPG= = ， EG= PE， EF= PE= AD， C PEF=AD+EF=(1+ )AD= AD，又 当 AD BC时 ， AD最 小 ， 此 时 C PEF最 小 ，又 S ABC=30， BC AD=30， AD=3 ， C PEF最 小 值 为 ： AD= .
