1、2015 年 江 苏 省 常 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (每 小 题 2 分 ， 共 16 分 )1. -3的 绝 对 值 是 ( )A.3B.-3C. 13D.-13解 析 ： 根 据 一 个 负 数 的 绝 对 值 等 于 它 的 相 反 数 得 出 .|-3|=-(-3)=3.答 案 ： A 2.要 使 分 式 3 2x 有 意 义 ， 则 x 的 取 值 范 围 是 ( )A.x 2B.x 2C.x -2D.x 2解 析 ： 要 使 分 式 3 2x 有 意 义 ， 须 有 x-2 0， 即 x 2，答 案 ： D3.下 列 “ 慢 行 通 过 ， 注 意 危
2、险 ， 禁 止 行 人 通 行 ， 禁 止 非 机 动 车 通 行 ” 四 个 交 通 标 志 图 (黑 白阴 影 图 片 )中 为 轴 对 称 图 形 的 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： A、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 是 轴 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 正 确 ；C、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： B4.如 图 ， BC AE于 点 C， CD AB， B=40 ， 则 ECD的 度 数 是 ( ) A.70B.60C.50D.40
3、解 析 ： BC AE， ACB=90 ，在 Rt ABC中 ， B=40 ， A=90 - B=50 ， CD AB， ECD= A=50 .答 案 ： C5.如 图 ， ABCD的 对 角 线 AC、 BD相 交 于 点 O， 则 下 列 说 法 一 定 正 确 的 是 ( ) A.AO=ODB.AO ODC.AO=OCD.AO AB解 析 ： 对 角 线 不 一 定 相 等 ， A错 误 ；对 角 线 不 一 定 互 相 垂 直 ， B 错 误 ；对 角 线 互 相 平 分 ， C正 确 ；对 角 线 与 边 不 一 定 垂 直 ， D 错 误 .答 案 ： C 6.已 知 a= 22
4、， b= 33 ， c= 55 ， 则 下 列 大 小 关 系 正 确 的 是 ( )A.a b cB.c b aC.b a cD.a c b解 析 ： a= 22 = 12 ， b= 33 = 13 ， c= 55 = 15 ， 且 2 3 5 ， 12 13 15 ， 即 a b c.答 案 ： A. 7.已 知 二 次 函 数 y=x2+(m-1)x+1， 当 x 1 时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 ， 而 m 的 取 值 范 围 是 ( )A.m=-1B.m=3C.m -1D.m -1解 析 ： 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=- 12m ， 当 x 1 时 ， y
5、的 值 随 x值 的 增 大 而 增 大 ， - 12m 1， 解 得 m -1.答 案 ： D8.将 一 张 宽 为 4cm的 长 方 形 纸 片 (足 够 长 )折 叠 成 如 图 所 示 图 形 ， 重 叠 部 分 是 一 个 三 角 形 ， 则这 个 三 角 形 面 积 的 最 小 值 是 ( ) A. 83 3 cm2B.8cm2C.163 3 cm2D.16cm2解 析 ： 如 图 ， 当 AC AB 时 ， 三 角 形 面 积 最 小 ， BAC=90 ACB=45 AB=AC=4cm， S ABC= 12 4 4=8cm2.答 案 ： B二 、 填 空 题 (每 小 题 2 分
6、 ， 共 20 分 )9.计 算 ( -1)0+2-1= .解 析 ： 分 别 根 据 零 指 数 幂 ， 负 整 数 指 数 幂 的 运 算 法 则 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计算 结 果 .( -1) 0+2-1=1+ 12 =1 12 .答 案 ： 1 1210. 太 阳 半 径 约 为 696 000千 米 ， 数 字 696 000用 科 学 记 数 法 表 示 为 .解 析 ： 696 000=6.96 105.答 案 ： 6.96 10 511.分 解 因 式 ： 2x2-2y2= .解 析 ： 2x2-2y2=2(x2-y2)=2(x+y)
7、(x-y).答 案 ： 2(x+y)(x-y).12.已 知 扇 形 的 圆 心 角 为 120 ， 弧 长 为 6 ， 则 扇 形 的 面 积 是 .解 析 ： 设 扇 形 的 半 径 为 r.则 120180r =6 ， 解 得 r=9， 扇 形 的 面 积 = 2120 9360 =27 .答 案 ： 27 13.如 图 ， 在 ABC中 ， DE BC， AD： DB=1： 2， DE=2， 则 BC 的 长 是 .解 析 ： DE BC， AD DEAB BC ， AD： DB=1： 2， DE=2， 1 21 2 BC ， 解 得 BC=6. 答 案 ： 614.已 知 x=2是
8、关 于 x 的 方 程 a(x+1)= 12 a+x的 解 ， 则 a的 值 是 .解 析 ： 把 x=2代 入 方 程 得 ： 3a= 12 a+2， 解 得 ： a= 45 .答 案 ： 45 .15.二 次 函 数 y=-x 2+2x-3图 象 的 顶 点 坐 标 是 .解 析 ： y=-x2+2x-3=-(x2-2x+1)-2=-(x-1)2-2， 故 顶 点 的 坐 标 是 (1， -2).答 案 ： (1， -2)16.如 图 是 根 据 某 公 园 的 平 面 示 意 图 建 立 的 平 面 直 角 坐 标 系 ， 公 园 的 入 口 位 于 坐 标 原 点 O，古 塔 位 于
9、点 A(400， 300)， 从 古 塔 出 发 沿 射 线 OA方 向 前 行 300m是 盆 景 园 B， 从 盆 景 园 B 向左 转 90 后 直 行 400m到 达 梅 花 阁 C， 则 点 C 的 坐 标 是 . 解 析 ： 连 接 AC， 由 题 意 可 得 ： AB=300m， BC=400m，在 AOD和 ACB中 ， AD ABODA ABCDO BC ， ， AOD ACB(SAS)， CAB= OAD， B、 O在 一 条 直 线 上 ， C， A， D也 在 一 条 直 线 上 ， AC=AO=500m， 则 CD=AC=AD=800m， C 点 坐 标 为 ： (4
10、00， 800).答 案 ： (400， 800)17.数 学 家 歌 德 巴 赫 通 过 研 究 下 面 一 系 列 等 式 ， 作 出 了 一 个 著 名 的 猜 想 . 4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；通 过 这 组 等 式 ， 你 发 现 的 规 律 是 (请 用 文 字语 言 表 达 ).解 析 ： 此 规 律 用 文 字 语 言 表 达 为 ： 所 有 大 于 2 的 偶 数 都 可 以 写 成 两 个 素 数 之 和 .答 案 ： 所 有 大 于 2 的 偶
11、数 都 可 以 写 成 两 个 素 数 之 和18.如 图 ， 在 O 的 内 接 四 边 形 ABCD 中 ， AB=3， AD=5， BAD=60 ， 点 C 为 弧 BD 的 中 点 ，则 AC 的 长 是 . 解 析 ： 过 C作 CE AB于 E， CF AD于 F，则 E= CFD= CFA=90 ， 点 C为 弧 BD 的 中 点 ， 弧 BC=弧 CD， BAC= DAC， BC=CD， CE AB， CF AD， CE=CF， A、 B、 C、 D 四 点 共 圆 ， D= CBE， 在 CBE和 CDF中 ， CBE DE CFDCE CF ， CBE CDF， BE=DF
12、，在 AEC和 AFC中 ， E AFCEAC FACAC AC ， ， AEC AFC， AE=AF，设 BE=DF=x， AB=3， AD=5， AE=AF=x+3， 5=x+3+x， 解 得 ： x=1， 即 AE=4， AC= cos30AE =8 33 ， 答 案 ： 8 33 .三 、 解 答 题 (共 10 小 题 ， 共 84分 )19.先 化 简 ， 再 求 值 ： (x+1)2-x(2-x)， 其 中 x=2.解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 完 全 平 方 公 式 化 简 ， 第 二 项 利 用 单 项 式 乘 以 多 项 式 法 则 计 算 ， 去 括 号合 并
13、得 到 最 简 结 果 ， 把 x的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： 原 式 =x 2+2x+1-2x+x2=2x2+1，当 x=2时 ， 原 式 =8+1=9.20.解 方 程 和 不 等 式 组 ：(1) 123 1 1 3xx x ；(2) 2 4 01 2 5.x x ，解 析 ： (1)分 式 方 程 去 分 母 转 化 为 整 式 方 程 ， 求 出 整 式 方 程 的 解 得 到 x的 值 ， 经 检 验 即 可 得到 分 式 方 程 的 解 ；(2)分 别 求 出 不 等 式 组 中 两 不 等 式 的 解 集 ， 找 出 解 集 的 公 共 部 分 即
14、可 求 出 解 集 . 答 案 ： (1)去 分 母 得 ： x=6x-2+1， 解 得 ： x= 15 ， 经 检 验 x= 15 是 分 式 方 程 的 解 .(2) 2 4 01 2 5x x ， ， 由 得 ： x -2，由 得 ： x 3，则 不 等 式 组 的 解 集 为 -2 x 3.21.某 调 查 小 组 采 用 简 单 随 机 抽 样 方 法 ， 对 某 市 部 分 中 小 学 生 一 天 中 阳 光 体 育 运 动 时 间 进 行了 抽 样 调 查 ， 并 把 所 得 数 据 整 理 后 绘 制 成 如 下 的 统 计 图 ： (1)该 调 查 小 组 抽 取 的 样 本
15、 容 量 是 多 少 ？(2)求 样 本 学 生 中 阳 光 体 育 运 动 时 间 为 1.5 小 时 的 人 数 ， 并 补 全 占 频 数 分 布 直 方 图 ； (3)请 估 计 该 市 中 小 学 生 一 天 中 阳 光 体 育 运 动 的 平 均 时 间 .解 析 ： (1)利 用 0.5 小 时 的 人 数 为 ： 100人 ， 所 占 比 例 为 ： 20%， 即 可 求 出 样 本 容 量 ；(2)利 用 样 本 容 量 乘 以 1.5小 时 的 百 分 数 ， 即 可 求 出 1.5 小 时 的 人 数 ， 画 图 即 可 ；(3)计 算 出 该 市 中 小 学 生 一 天
16、 中 阳 光 体 育 运 动 的 平 均 时 间 即 可 .答 案 ： (1)由 题 意 可 得 ： 0.5小 时 的 人 数 为 ： 100人 ， 所 占 比 例 为 ： 20%， 本 次 调 查 共 抽 样 了 500名 学 生 .(2)1.5小 时 的 人 数 为 ： 500 2.4=120(人 )， 如 图 所 示 ： (3)根 据 题 意 得 ： 100 0.5 200 1 120 1.5 80 2100 200 120 80 =1.18， 即 该 市 中 小 学 生 一 天 中 阳 光体 育 运 动 的 平 均 时 间 约 1小 时 .22.甲 ， 乙 ， 丙 三 位 学 生 进
17、入 了 “ 校 园 朗 诵 比 赛 ” 冠 军 、 亚 军 和 季 军 的 决 赛 ， 他 们 将 通 过 抽签 来 决 定 比 赛 的 出 场 顺 序 .(1)求 甲 第 一 个 出 场 的 概 率 ；(2)求 甲 比 乙 先 出 场 的 概 率 .解 析 ： (1)画 树 状 图 得 出 所 有 等 可 能 的 情 况 数 ， 找 出 甲 第 一 个 出 场 的 情 况 数 ， 即 可 求 出 所 求的 概 率 ；(2)找 出 甲 比 乙 先 出 场 的 情 况 数 ， 即 可 求 出 所 求 的 概 率 .答 案 ： (1)画 树 状 图 如 下 ： 所 有 等 可 能 的 情 况 有
18、6 种 ， 其 中 甲 第 一 个 出 场 的 情 况 有 2 种 ， 则 P(甲 第 一 个 出 场 )= 2 16 3 .(2)甲 比 乙 先 出 场 的 情 况 有 3 种 ， 则 P(甲 比 乙 先 出 场 )= 3 16 2 .23.如 图 ， 在 ABCD 中 ， BCD=120 ， 分 别 延 长 DC、 BC到 点 E， F， 使 得 BCE 和 CDF都是 正 三 角 形 . (1)求 证 ： AE=AF；(2)求 EAF的 度 数 .解 析 ： (1)由 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 BAD= BCD=120 ， ABC= ADC， AB=CD， BC=AD， 由
19、等 边 三 角 形 的 性 质 得 出 BE=BC， DF=CD， EBC= CDF=60 ， 证 出 ABE= FDA， AB=DF， BE=AD，根 据 SAS证 明 ABE FDA， 得 出 对 应 边 相 等 即 可 ；(2)由 全 等 三 角 形 的 性 质 得 出 AEB= FAD， 求 出 AEB+ BAE=60 ， 得 出 FAD+ BAE=60 ，即 可 得 出 EAF的 度 数 .答 案 ： (1) 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， BAD= BCD=120 ， ABC= ADC， AB=CD， BC=AD， BCE和 CDF都 是 正 三 角 形 ， BE=
20、BC， DF=CD， EBC= CDF=60 ， ABE= FDA， AB=DF， BE=AD， 在 ABE和 FDA中 ， AB DFABE FDABE AD ， ， ABE FDA(SAS)， AE=AF.(2) ABE FDA， AEB= FAD， ABE=60 +60 =120 ， AEB+ BAE=60 ， FAD+ BAE=60 ， EAF=120 -60 =60 .24.已 知 某 市 的 光 明 中 学 、 市 图 书 馆 和 光 明 电 影 院 在 同 一 直 线 上 ， 它 们 之 间 的 距 离 如 图 所 示 .小 张 星 期 天 上 午 带 了 75 元 现 金 先
21、从 光 明 中 学 乘 出 租 车 去 了 市 图 书 馆 ， 付 费 9 元 ； 中 午 再 从市 图 书 馆 乘 出 租 车 去 了 光 明 电 影 院 ， 付 费 12.6 元 .若 该 市 出 租 车 的 收 费 标 准 是 ： 不 超 过 3公 里 计 费 为 m 元 ， 3公 里 后 按 n 元 /公 里 计 费 . (1)求 m， n的 值 ， 并 直 接 写 出 车 费 y(元 )与 路 程 x(公 里 )(x 3)之 间 的 函 数 关 系 式 ；(2)如 果 小 张 这 天 外 出 的 消 费 还 包 括 ： 中 午 吃 饭 花 费 15 元 ， 在 光 明 电 影 院 看
22、 电 影 花 费 25元 .问 小 张 剩 下 的 现 金 够 不 够 乘 出 租 车 从 光 明 电 影 院 返 回 光 明 中 学 ？ 为 什 么 ？解 析 ： (1)根 据 题 意 ， 不 超 过 3 公 里 计 费 为 m 元 ， 由 图 示 可 知 光 明 中 学 和 市 图 书 馆 相 距 2 公里 ， 可 由 此 得 出 m， 由 出 租 车 的 收 费 标 准 是 ： 不 超 过 3 公 里 计 费 为 m 元 ， 3 公 里 后 按 n 元 /公 里 计 费 .当 x 3 时 ， 由 收 费 与 路 程 之 间 的 关 系 就 可 以 求 出 结 论 ；(2)分 别 计 算
23、小 张 所 剩 钱 数 和 返 程 所 需 钱 数 ， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1) 由 图 示 可 知 光 明 中学 和 市 图 书 馆 相 距 2公 里 ， 付 费 9元 ， m=9， 从 市 图 书 馆 乘 出 租 车 去 光 明 电 影 院 ， 路 程 5 公 里 ， 付 费 12.6元 ， (5-3)n+9=12.6， 解 得 ： n=1.8. 车 费 y(元 )与 路 程 x(公 里 )(x 3)之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： y=1.8(x-3)+9=1.8x+3.6(x 3).(2)小 张 剩 下 坐 车 的 钱 数 为 ： 75-15-25-9-12.
24、6=13.4(元 )，乘 出 租 车 从 光 明 电 影 院 返 回 光 明 中 学 的 费 用 ： 1.8 7+3.6=16.2(元 ) 13.4 16.2， 故 小 张 剩 下 的 现 金 不 够 乘 出 租 车 从 光 明 电 影 院 返 回 光 明 中 学 .25.如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， A= C=45 ， ADB= ABC=105 . (1)若 AD=2， 求 AB；(2)若 AB+CD=2 3 +2， 求 AB.解 析 ： (1)在 四 边 形 ABCD 中 ， 由 A= C=45 ， ADB= ABC=105 ， 得 BDF= ADC-ADB=165 -105
25、 =60 ， ADE与 BCF为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 求 得 AE， 利 用 锐 角 三 角 函 数 得BE， 得 AB；(2)设 DE=x， 利 用 (1)的 某 些 结 论 ， 特 殊 角 的 三 角 函 数 和 勾 股 定 理 ， 表 示 AB， CD， 得 结 果 .答 案 ： (1)过 D 点 作 DE AB， 过 点 B 作 BF CD， A= C=45 ， ADB= ABC=105 ， ADC=360 - A- C- ABC=360 -45 -45 -105 =165 ， BDF= ADC- ADB=165 -105 =60 ， ADE与 BCF为 等 腰 直 角 三
26、 角 形 ， AD=2， AE=DE= 22 = 2 ， ABC=105 ， ABD=105 -45 -30 =30 ， BE= 6tan30 233DE ， AB= 2 + 6 .(2)设 DE=x， 则 AE=x， BE= 3tan30 33x x x ， BD= 22 3x x =2x， BDF=60 ， DBF=30 ， DF= 12 BD=x， BF= 22 2 22BD DF x x = 3 x， CF=3x， AB=AE+BE=x+ 3 x， CD=DF+CF=x+ 3 x， AB+CD=2 3 +2， AB= 3 +1.26.设 是 一 个 平 面 图 形 ， 如 果 用 直
27、尺 和 圆 规 经 过 有 限 步 作 图 (简 称 尺 规 作 图 )， 画 出 一 个 正方 形 与 的 面 积 相 等 (简 称 等 积 )， 那 么 这 样 的 等 积 转 化 称 为 的 “ 化 方 ” . (1)阅 读 填 空如 图 ， 已 知 矩 形 ABCD， 延 长 AD 到 E， 使 DE=DC， 以 AE 为 直 径 作 半 圆 .延 长 CD 交 半 圆 于 点H， 以 DH 为 边 作 正 方 形 DFGH， 则 正 方 形 DFGH与 矩 形 ABCD等 积 .理 由 ： 连 接 AH， EH. AE 为 直 径 ， AHE=90 ， HAE+ HEA=90 . D
28、H AE， ADH= EDH=90 ， HAD+ AHD=90 ， AHD= HED， ADH . AD DHDH DE ， 即 DH 2=AD DE.又 DE=DC， DH2= ， 即 正 方 形 DFGH与 矩 形 ABCD等 积 .(2)操 作 实 践平 行 四 边 形 的 “ 化 方 ” 思 路 是 ， 先 把 平 行 四 边 形 转 化 为 等 积 的 矩 形 ， 再 把 矩 形 转 化 为 等 积 的正 方 形 .如 图 ， 请 用 尺 规 作 图 作 出 与 ?ABCD 等 积 的 矩 形 (不 要 求 写 具 体 作 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 ). (3)解 决 问 题三
29、 角 形 的 “ 化 方 ” 思 路 是 ： 先 把 三 角 形 转 化 为 等 积 的 (填 写 图 形 名 称 )， 再 转 化 为 等积 的 正 方 形 .如 图 ， ABC的 顶 点 在 正 方 形 网 格 的 格 点 上 ， 请 作 出 与 ABC等 积 的 正 方 形 的 一 条 边 (不 要求 写 具 体 作 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 通 过 计 算 ABC面 积 作 图 ).(4)拓 展 探 究n边 形 (n 3)的 “ 化 方 ” 思 路 之 一 是 ： 把 n 边 形 转 化 为 等 积 的 n-1边 形 ， ， 直 至 转 化 为 等积 的 三 角 形 ，
30、从 而 可 以 化 方 .如 图 ， 四 边 形 ABCD的 顶 点 在 正 方 形 网 格 的 格 点 上 ， 请 作 出 与 四 边 形 ABCD等 积 的 三 角 形 (不要 求 写 具 体 作 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 通 过 计 算 四 边 形 ABCD面 积 作 图 ).解 析 ： (1)首 先 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 方 法 ， 可 得 ADH HDE； 然 后 根 据 等 量 代 换 ， 可 得DH 2=AD DC， 据 此 判 断 即 可 .(2)首 先 把 平 行 四 边 形 ABCD转 化 为 等 积 的 矩 形 ADMN， 然 后 延 长
31、AD到 E， 使 DE=DM， 以 AE为直 径 作 半 圆 .延 长 MD 交 半 圆 于 点 H， 以 DH 为 边 作 正 方 形 DFGH， 则 正 方 形 DFGH 与 矩 形 ABMN等 积 ， 所 以 正 方 形 DFGH 与 平 行 四 边 形 ABCD等 积 ， 据 此 解 答 即 可 .(3)首 先 以 三 角 形 的 底 为 矩 形 的 长 ， 以 三 角 形 的 高 的 一 半 为 矩 形 的 宽 ， 将 ABC转 化 为 等 积的 矩 形 MBCD； 然 后 延 长 MD到 E， 使 DE=DC， 以 ME为 直 径 作 半 圆 .延 长 CD 交 半 圆 于 点 H
32、， 则DH即 为 与 ABC等 积 的 正 方 形 的 一 条 边 .(4)首 先 根 据 AG EH， 判 断 出 AG=2EH， 然 后 根 据 CF=2DF， 可 得 CF EH=DF AG， 据 此 判 断 出S CEF=S ADF， S CDI=S AEI， 所 以 S BCE=S 四 边 形 ABCD， 即 BCE 与 四 边 形 ABCD等 积 ， 据 此 解 答 即 可 .答 案 ： (1)如 图 ， 连 接 AH， EH， AE 为 直 径 ， AHE=90 ， HAE+ HEA=90 . DH AE， ADH= EDH=90 ， HAD+ AHD=90 ， AHD= HED
33、， ADH HDE. AD DHDH DE ， 即 DH 2=AD DE.又 DE=DC， DH2=AD DC， 即 正 方 形 DFGH与 矩 形 ABCD 等 积 .(2)作 法 ： 过 A、 D 作 AN、 DM分 别 垂 直 BC 于 N、 M； 延 长 AD， 取 DE=DM； 以 AE为 直 径 作 半 圆 O； 延 长 MD 交 半 圆 O 于 H； 以 H、 D 作 正 方 形 HDFG， 则 正 方 形 HDFG为 平 行 四 边 形 ABCD的 等 积 正 方 形 .证 明 ： 矩 形 ADMN的 长 和 宽 分 别 等 于 平 行 四 边 形 ABCD的 底 和 高 ，
34、矩 形 ADMN的 面 积 等 于 平 行 四 边 形 ABCD的 面 积 ， AE 为 直 径 ， AHE=90 ， HAE+ HEA=90 . DH AE， ADH= EDH=90 ， HAD+ AHD=90 ， AHD= HED， ADH HDE. AD DHDH DE ， 即 DH 2=AD DE.又 DE=DM， DH2=AD DM，即 正 方 形 DFGH 与 矩 形 ABMN等 积 ， 正 方 形 DFGH与 平 行 四 边 形 ABCD等 积 .(3)作 法 ： 过 A点 作 AD 垂 直 BC 于 D； 作 AD的 垂 直 平 分 线 ， 取 AD中 点 E； 过 E作 BC
35、平 行 线 ， 作 长 方 形 BCGF， 则 S 矩 形 BCGF=S ABC；其 他 步 骤 同 (2)可 作 出 其 等 积 正 方 形 .(4)作 法 ： 过 A点 作 BD 平 行 线 l； 延 长 CD 交 平 行 线 与 E 点 ； 连 接 BE， 则 S 四 边 形 ABCD=S EBC， 同 (3)可 作 出 其 等 积 正 方 形 . BCE与 四 边 形 ABCD等 积 ， 理 由 如 下 ： BD l， S ABD=S EBD， S BCE=S 四 边 形 ABCD， 即 EBC与 四 边 形 ABCD等 积 .27.如 图 ， 一 次 函 数 y=-x+4的 图 象
36、与 x 轴 、 y 轴 分 别 相 交 于 点 A、 B， 过 点 A 作 x 轴 的 垂 线 l，点 P 为 直 线 l 上 的 动 点 ， 点 Q为 直 线 AB与 OAP外 接 圆 的 交 点 ， 点 P、 Q 与 点 A都 不 重 合 . (1)写 出 点 A 的 坐 标 ；(2)当 点 P 在 直 线 l 上 运 动 时 ， 是 否 存 在 点 P使 得 OQB与 APQ全 等 ？ 如 果 存 在 ， 求 出 点 P的 坐 标 ； 如 果 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .(3)若 点 M 在 直 线 l 上 ， 且 POM=90 ， 记 OAP 外 接 圆 和 OAM外 接 圆
37、 的 面 积 分 别 是 S1、 S2，求 1 21 1S S 的 值 .解 析 ： (1)将 y=0代 入 y=-x+4， 求 得 x的 值 ， 从 而 得 到 点 A 的 坐 标 ；(2)首 先 根 据 题 意 画 出 图 形 ， 然 后 在 Rt BOA中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： AB的 长 度 ， 然 后 由 全 等 三角 形 的 性 质 求 得 QA 的 长 度 ， 从 而 得 到 BQ 的 长 ， 然 后 根 据 PA=BQ 求 得 PA的 长 度 ， 从 而 可 求得 点 P的 坐 标 ；(3)首 先 根 据 题 意 画 出 图 形 ， 设 AP=m， 由 OAM PAO
38、， 可 求 得 AM 的 长 度 ， 然 后 根 据 勾 股定 理 可 求 得 两 圆 的 直 径 (用 含 m 的 式 子 表 示 )， 然 后 利 用 圆 的 面 积 公 式 求 得 两 圆 的 面 积 ， 最 后 代 入 所 求 代 数 式 求 解 即 可 .答 案 ： (1)令 y=0， 得 ： -x+4=0， 解 得 x=4， 所 以 点 A的 坐 标 为 (4， 0)；(2)存 在 .理 由 ： 如 图 所 示 ： OBA= BAP， 它 们 是 对 应 角 ， BQ=PA，将 x=0代 入 y=-x+4 得 ： y=4， OB=4，由 (1)可 知 OA=4，在 Rt BOA中
39、， 由 勾 股 定 理 得 ： 2 2 4 2AB OB OA . BOQ AQP. QA=OB=4， BQ=PA. BQ=AB-AQ=4 2 -4， PA=4 2 -4. 点 P 的 坐 标 为 (4， 4 2 -4).(3)如 图 所 示 ： 令 PA=a， MA=b， OAP外 接 圆 的 圆 心 为 O1， OAM的 外 接 圆 的 圆 心 为 O2， OP2=OA2+PA2=42+a2=16+a2， OM2=OA2+MA2=42+b2=16+b2，在 Rt POM中 ， PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16，又 PM2=(PA+AM)2=(a+b)2=a2+2ab+b2，
40、ab=16， O1A2=O1Q2+QA2=( 2OA )2+( 2PA)2= 14 a2+4， O2A2=O2N2+NA2=( 2OA )2+( 2MA )2= 14 b2+4， S 1= O1A2=( 14 a2+4) ， S2= O2A2=( 14 b2+4) ， 1 21 2 1 21 1 S SS S S S = 2 22 24 441 14 41 14 4 4a ba b = 2 22 2 2 24 16 16 1416 16 16 16a ba b 28.如 图 ， 反 比 例 函 数 y=kx 的 图 象 与 一 次 函 数 y= 14 x的 图 象 交 于 点 A、 B， 点
41、B的 横 坐 标 是 4.点 P 是 第 一 象 限 内 反 比 例 函 数 图 象 上 的 动 点 ， 且 在 直 线 AB的 上 方 . (1)若 点 P 的 坐 标 是 (1， 4)， 直 接 写 出 k 的 值 和 PAB的 面 积 ；(2)设 直 线 PA、 PB 与 x 轴 分 别 交 于 点 M、 N， 求 证 ： PMN是 等 腰 三 角 形 ；(3)设 点 Q 是 反 比 例 函 数 图 象 上 位 于 P、 B之 间 的 动 点 (与 点 P、 B 不 重 合 )， 连 接 AQ、 BQ， 比较 PAQ与 PBQ的 大 小 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)过 点
42、 A 作 AR y轴 于 R， 过 点 P 作 PS y 轴 于 S， 连 接 PO， 设 AP 与 y 轴 交 于 点 C，如 图 1， 可 根 据 条 件 先 求 出 点 B的 坐 标 ， 然 后 把 点 B 的 坐 标 代 入 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ， 即 可求 出 k， 然 后 求 出 直 线 AB与 反 比 例 函 数 的 交 点 A 的 坐 标 ， 从 而 得 到 OA=OB， 由 此 可 得 S PAB=2S AOP， 要 求 PAB的 面 积 ， 只 需 求 PAO的 面 积 ， 只 需 用 割 补 法 就 可 解 决 问 题 ；(2)过 点 P 作 PH x 轴
43、 于 H， 如 图 2.可 用 待 定 系 数 法 求 出 直 线 PB 的 解 析 式 ， 从 而 得 到 点 N的 坐 标 ， 同 理 可 得 到 点 M 的 坐 标 ， 进 而 得 到 MH=NH， 根 据 垂 直 平 分 线 的 性 质 可 得 PM=PN， 即 PMN是 等 腰 三 角 形 ；(3)过 点 Q 作 QT x轴 于 T， 设 AQ交 x 轴 于 D， QB的 延 长 线 交 x 轴 于 E， 如 图 3.可 设 点 Q 为(c， 4c )， 运 用 待 定 系 数 法 求 出 直 线 AQ 的 解 析 式 ， 即 可 得 到 点 D 的 坐 标 为 (c-4， 0)，
44、同 理可 得 E(c+4， 0)， 从 而 得 到 DT=ET， 根 据 垂 直 平 分 线 的 性 质 可 得 QD=QE， 则 有 QDE= QED.然 后 根 据 对 顶 角 相 等 及 三 角 形 外 角 的 性 质 ， 就 可 得 到 PAQ= PBQ.答 案 ： (1)k=4， S PAB=15.过 点 A作 AR y轴 于 R， 过 点 P 作 PS y 轴 于 S， 连 接 PO，设 AP 与 y 轴 交 于 点 C， 如 图 1， 把 x=4代 入 y= 14 x， 得 到 点 B 的 坐 标 为 (4， 1)，把 点 B(4， 1)代 入 y= kx ， 得 k=4.解 方
45、 程 组 414y xy x ， 得 到 点 A 的 坐 标 为 (-4， -1)，则 点 A与 点 B 关 于 原 点 对 称 ， OA=OB， S AOP=S BOP， S PAB=2S AOP.设 直 线 AP 的 解 析 式 为 y=mx+n， 把 点 A(-4， -1)、 P(1， 4)代 入 y=mx+n，求 得 直 线 AP的 解 析 式 为 y=x+3， 则 点 C的 坐 标 (0， 3)， OC=3， S AOP=S AOC+S POC= 12 OC AR+ 12 OC PS= 12 3 4+ 12 3 1=152 ， S PAB=2S AOP=15.(2)过 点 P 作 P
46、H x 轴 于 H， 如 图 2. B(4， 1)， 则 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y= 4x ，设 P(m， 4m )， 直 线 PA的 方 程 为 y=ax+b， 直 线 PB的 方 程 为 y=px+q，联 立 41 4m ma ba b ， 解 得 直 线 PA的 方 程 为 y= 1m x+ 4m -1， 联 立 44 1m mp qp q ， 解 得 直 线 PB 的 方 程 为 y=- 1m x+ 4m +1， M(m-4， 0)， N(m+4， 0)， H(m， 0)， MH=m-(m-4)=4， NH=m+4-m=4， MH=NH， PH垂 直 平 分 MN， PM
47、=PN， PMN是 等 腰 三 角 形 .(3) PAQ= PBQ.理 由 如 下 ：过 点 Q作 QT x轴 于 T， 设 AQ交 x轴 于 D， QB 的 延 长 线 交 x 轴 于 E， 如 图 3. 可 设 点 Q 为 (c， 4c )， 直 线 AQ 的 解 析 式 为 y=px+q，则 有 4 14p qcp q c ， 解 得 ： 14 1p cq c ， ， 直 线 AQ 的 解 析 式 为 y= 1c x+ 4c -1.当 y=0时 ， 1c x+ 4c -1=0， 解 得 ： x=c-4， D(c-4， 0).同 理 可 得 E(c+4， 0)， DT=c-(c-4)=4， ET=c+4-c=4， DT=ET， QT垂 直 平 分 DE， QD=QE， QDE= QED. MDA= QDE， MDA= QED. PM=PN， PMN= PNM. PAQ= PMN- MDA， PBQ= NBE= PNM- QED， PAQ= PBQ.
